Modelli matematici in architettura. Origini e sviluppi attuali

Nella mia tesi indago sul rapporto tra matematica intesa come utilizzo di modelli di
calcoli numerici (computer), in particolare meccanici, e metodi della progettazione
architettonica. in particolare intendo evidenziare come la moderna pratica dell‟
„ottimizzazione strutturale‟ si configuri come un metodo del progettazione strutturale
orientata a ridurre la distanza tra la componente formale e strutturale della
progettazione stessa. Al contempo però mi preme mettere in discussione le architetture
dell‟era digitale, che mirano alla “spettacolarità” del risultato (architetture “virtuali”)
e, che appaiono spesso molto distanti dal progetto originario. Di contro sottolineo
l‟intresse per quelle architetture che dichiarano un chiaro connotato
strutturale/costruttivo e risultano sufficientemente aderenti al progetto ( “etica”
costruttiva).
principali fasi storiche che hanno caratterizzato l’evoluzione delle conoscenze
meccaniche e matematiche in ambito architettonico.
_ ‘Architettura - Costruzione’
Triade vitruviana
Parthenone 447-438 a.c
“firmitas, venustas, utilitas”.
il linguaggio matematico era
parte del processo costruttivo
come il supporto geometrico e la
meccanica
sfruttava
un
linguaggio di oggetti (la leva, il
cuneo, il piano inclinato,...).
“De divina proportione”
Da vinci‟s drawing‟s of openfaced platonic.
NESSUNA DICOTOMIA TRA PROGETTAZIONE E COSTRUZIONE
La materia impone la forma
La tecnologia impone la forma
La tecnologia costruttiva, patrimonio comune
di esperienza delle persone, ha influenzato
significativamente lo spazio realizzato
coerenza della concezione strutturale
e la consapevolezza di metodi di costruzione
Pantheon 118-128 d.c
Terme di Diocleziano 298-305d.c
Cit: P. Trovalusci
_‘Il disegno Architettonico’
Il Rapporto tra Matematica e Architettura
Matematica intesa come Geometria
Leonardo da Vinci
‘Uomo vitruviano’, 1490
L. B. Alberti facciata di
Santa Maria Novella 1458-60
Matematica intesa come Calculus
Cupola vaticana, La soluzione catenaria,
Jakob Bernouilli ,1697
il calcolo infinitesimale e la fisica
Newtoniana, la meccanica e lo studio della resistenza dei materiali
Scienza nuova di Galilei (1958)
Cit: P. Trovalusci
_‘Forma strutturale’
scienza dell‟arte del costruire
Divisione
tra Architettura e Ingegneria
Forma – Struttura
Movimento Moderno
Villa Savoye a Parigi di Le Corbusier,1928-31
La torre Eiffel a Parigi di G. Eiffel, 1886-89
Il Modulor di Le Corbusier,1948
Palazzetto dello Sport a Roma di P.L.Nervi,1958-60
Cit: P. Trovalusci
_ Invenzione di “Nuove forme”
FORME MECCANICHE
RESISTENTI
Padiglione Expo a Montreal di F.OTTO, 1967.
FORME LIBERE
Problemi Strutturali
Guggenheim Museum a Bilbao di F.Gehry,1997.
ARCHITETTURA VIRTUALE
uso di software
museo d’arte contemporane a cagliari di Z. Hadid
Chiesa Tor Tre Teste a di P. Eisenman,1996.
2.1. Metodi e Tematiche
2.2. Elementi fondamentali
2.3. Tipologie principali
2.4. Origini dell‟ottimizzazione
Modello per ponte
Tor di Quinto,
S.Musmesci ,1959
Eladio Dieste : Non c'è niente di più nobile ed elegante
dal punto di vista intellettuale di questo: la resistenza
attraverso la forma.
Padiglione Philips a
Bruxelles 1957, di
Le Corbusier
Metodi e Tematiche
Ottimizzazione strutturale :
la scelta e il dimensionamento
delle soluzioni costruttive
dipendono
dallo
studio
dell‟andamento degli sforzi
nei singoli elementi della
struttura.
Musmesci, Il ponte sul
Basento, Potenza 1969;
- Ottimizzazione con uso di linee isostatiche,
tramite calcoli manuali o numerici;
- Ottimizzazione con uso di modelli fisici;
- Ottimizzazione con uso di programmi di calcolo;
Robert Maillart , SwissExpo 1939
Test-tube building ;
Media teca di Sendai,
Ito- Sasaki, Tokyo 2002;
- Le variabili del progetto
- l‟obiettivo del progetto
- lo spazio del progetto
- i vincoli del progetto
Le variabili del progetto a seconda di cosa si intende far variare
all‟interno del processo di ottimizzazione :
-Variabile di progetto dimensionale
In una travatura reticolare: le aree delle aste;
In un guscio: la distribuzione di densità del
materiale;
-Variabile di progetto topologica
il numero e la posizione dei buchi in una
superficie o le aste scelte tra le molte possibili;
-Variabile di progetto di forma
In una travatura reticolare: la posizione dei nodi
In un guscio: i confini e le curvature della
superficie;
-Variabile di progetto materiale
il comportamento del materiale – il modulo di
elasticità;
L’ottimizzazione
- sizing optimization :
definizione ottimale delle
proprietà sezionali (area,
geometria, ecc).
le strutture discrete
le strutture continuo
- shape optimization :
definizione della forma dei
bordi esterni ed interni del
corpo .
Cit: F. Bontempi
- topology optimization :
definizione il grado di
connessione, la forma, la
dimensione del corpo;
Ponte ferroviario di piacenza, 1931
Viadotto di Pannes sull‟ autostrada A77,Francia 1999
Ponte Paul Sauer,
R.Morandi, 1953-56
Ponte Karmsund di Haugesund, Norvegia, 1955
Viadotto Bisantis, Catanzaro,
R. Morandi, 1960-61
Copertura di stazione montesanto di Napoli, 1925
“
”
Il tetto della stazione ha una forma strutturale ad albero che è
il risultato di una ottimizzazione topologica (ESO).
Questo automatismo che produce
risultati
sostanzialmente
prevedibili, date le condizioni al
contorno (carichi, vincoli), fa
intuire i rischi che si corrono
nell‟estendere il procedimento di
ottimizzazione alla progettazione
architettonica.
L‟utilizzo incontrollato (non
controllato dall‟architetto…) del
software può produrre esercizi di
matematica pura con risultati che,
paradossalmente, invece di essere
innovativi ricadono in una (per
citare le parole della prof.
Trovalusci…)
“figuratività
ripetitiva”. Come il progetto della
pensilina della nuova stazione di
Firenze di Mutsuro Sasaki e
Arata Isozaki, confrontato con gli
schemi ottimi dell‟ing. Frattari di
Altair (società che produce
software per ottimizzazione ).
structural
optimization
Fasi di ottimizzazione di una mensola
Guardando tutti passaggi che
compie il programma alla ricerca della forma ottimale, si può anche decidere di
fermarsi ad uno step intermedio,in relazione ad esempio al materiale che si
intende utilizzare o al risultato estetico che si vuole raggiungere.
Cit: F. Bontempi
. Il solido di uniforme resistenza “Form Improving”
- La Mensola di Gallileo
- Girard, Il Pilastro pesante
. La Curva Catenaria “Form Finding”
- G.Bernoulli, l‟arco pesante
- Il Ponte Sospeso
La Mensola di Gallileo
Shape Optimization
La trave prismatica non realizza il miglior utilizzo
possibile del materiale.
momento limite è uguale al momento esterno
per
2
ogni valore di z : Mlim = Pz
σlim BH / 4 = Pz
L‟altezza è definita in ogni sezione dalla:
h(z) = 2 √ (P / σlim B) z
Equazione di una Parabola
Minimo materiale
H?
Minimo peso
Forma ottimale
Il Towr Bridge, Horace
Jones, 1894, Londra
Girard, Il Pilastro pesante
Minimo materiale
Shape Optimization
sforzo costante
A?
Minimo peso
Forma ottimale
σ = σlim = P/A0 = cost
Analogia tra momento dovuto al
vento e La Torre Eiffel di Parigi
Quartiere Wohnpark , Alt
Erlaa, Vienna, 1985.
Per carico esterno nullo
questi solidi hanno
un‟altezza infinita e si
assottigliano a partire
dalla loro base sino alla
cima.
Gastone Pardies (1673)
“teorema fondamentale per la catenaria”
Leibniz (1691)
l‟utilizzo
del calcolo differenziale per problema
della catenaria nel piano (x, y).
La curva catenaria
sulla parabola
Dove (a) è il segmento (O-A) e (b) è un
numero puro e deve coincidere con (e) la
base dei logaritmi
coseno iperbolico
“cosh”.
se alla catena sono appesi dei carichi la distribuzione
del peso è uniforme per unità orizzontale di
lunghezza e la curva descritta è una parabola, che
rappresenta, quindi, la forma migliore che può
assumere un arco per sostenere un carico uniforme.
la fune esprimere solo
forza normale N
Gallileo:
La catenaria è
una parabola
solo se a-b
è molto minore della luce f-c.
Esprimere in forma differenziale le
equazioni di equilibrio, imponendo
l‟equilibrio per ogni elemento
infinitesimo della fune.
Form improving
G.Bernoulli, l‟arco pesante (1704):
N = - N + dN
b
a
un arco soggetto
solo al peso proprio Nb+ Na + fds = 0
deve avere la forma
dn + fds = 0
della
catenaria
rovescia, così come
la fune ha la forma
della catenaria :
Sistemi Equitesi o
Equicompressi
G.Poleni, la verifica
di
stabilità
della
cupola di San Pietro,
1743;
OTTIMIZZAZIONE
con linee
ISOSTATICHE
y 1 x a x a
 (e  e )
a 2
IL PROBLEMA DEL PONTE SOSPESO
3.1. I modelli di soluzione d‟acqua saponata
3.2. I modelli in materiale elastico
3.3. I modelli di fili appesi o “rovesci”
3.4. Il modello digitale
è noto che la distribuzione delle sollecitazioni interne in una
struttura dipende dal tipo di struttura stessa e dai modi con lui le
forze agiscono su di essa, e non dalla scala metrica dei sistemi
agente e resistente >> p.L.Nervi.
<<
una membrana d‟acqua saponata, applicata su un
perimetro chiuso, si dispone in modo da costituire, in
ogni suo punto, una distribuzione uniforme di tensione
grazie al fenomeno fisico della tensione superficiale.
L‟esperimento a “fili e bolle” consiste in un dispositivo
costituito da sostegni di diverse altezze alle estremità
dei quali venivano appesi dei fili sottili rigidi o meno.
Immergendo tale dispositivo in una soluzione saponata
la pellicola di sapone che si forma su questa singolare
contorno, è la superficie di area minima.
Frei Otto
costruzioni leggere
Il modello di stadio di
Monaco di Baviera di Frei
Otto,1972, è Costruito con
dei dispositivi di fili
conficcati in basi di
plexiglas,
i
modelli
venivano immersi in acqua
saponata e la pellicola che si
formava era una superficie
minima avente la forma di
una tenda.
Questi modelli sono realizzati con una rete di
materiale elastico ortotropo di poliestere (Tulle),
o con membrane in Gomma, o membrane in
Neoprene e solitamente vengono costruiti in scala
maggiore rispetto alla tecnica delle membrane a
base di soluzioni saponate.
Il ponte sul Basento,
Potenza 1967, di Sergio
Musmesci: la forma pensata
per aumentare il rendimento
del materiale impiegato
deriva dagli studio effettuati
su modelli che possono
ammettere soltanto sforzi di
trazione, come appunto i
modelli
in
materiale
elastico, e la struttura
realizzata, costituita da una
membrana in calcestruzzo
armato a compressione
uniforme, di 30 cm di
spessore per tutto il suo
sviluppo si presenta come
una linea fluida e continua
tra gli appoggi.
Un metodo progettuale per individuare
geometrie per strutture
spaziali che
lavorano a compressione è quello di creare
un modello dei fili appesi‟ costituito da un
sistema „rovescio‟ di funi e tessuti che
riproponeva quello voltato; alle funi venivano
applicati pesi proporzionali ai carichi che si
assumeva fossero sopportati in ogni nodo, Si
eseguiva poi un rilievo del modello.
Heinz Isler utilizzava il „modello
dell‟inversione della membrana‟ come il
metodo
progettuale
che
si
basava
sull‟ottenimento di uno stato di pura
trazione di una superficie elastica priva di
alcuna rigidezza flessionale. Una volta
raggiunta la configurazione funicolare del
carico si inverte la superficie in modo da
avere una sollecitazione di compressione
uniforme.
Nel 1898 Antonio Gaudi utilizzà questo
metodo per progettare la chiesa di Santa
Coloma de Cervellò di cui è stata costruita
solo la cripta.
CAD
CAAM
CATIA
3D
Max
RHINO
ALGORITMI/PARAMETRI
1) ISTANZA “INPUT”
LINGUAGGIO MATEMATICO DELL’INFORMATICA
2) ALGORITMO “ANALISI”
superfici N.U.R.B.S.
curve geometriche complesse
FREE FORM
costo elevato di realizzazione
Tecniche di morfogenesi (architettura non standard):
I dati che configurano le sembianze delle architetture
vengono modificati attraverso complesse formule
matematiche e algoritmi, tramite l‟immissione di codici
genetici capaci di modificarne le conformazioni.
GUGGENHEIM MUSEUM DI BILBAO DI FRANK O.GEHRY
3) OUTPUT “SOLUZIONE”
tecniche di Ottimizzazione strutturale:
una graduale rimozione di materiale a livello strutturale così da ottenere forme
evolute verso un risultato basato sulla razionalizzazione della materia.
Evolutinary Structural Optimization
(Eso)
: modifica la topologia di un dato di
struttura progettata rimuovendo lentamente
regioni di materiale efficiente.
Biological Growth
(BG)
: simula la
crescita biologica delle strutture naturali come le
ossa e gli alberi.
uttillizzo della procedura BG per modellare la
forma ottima dei piloni portante di un ponte
sospeso sotto carichi multipli.
Cit: F. Bontempi
4.1. Superfici minime o “intelligenti”_„tensostrutture‟
4.2. Strutture e andamento delle linee isostatiche
4.3. „Form Improving‟ e „Form Finding‟
. Bionica e Architettura
. Autopoiesis e Mimesis in Architettura
Eduardo Torroja
Il Frontòn Recoletos.
“ Great Stove Chatsworth”
di Paxton, 1836-40.
Strutture Reticolari e Geodetiche
Richard Fuller ,1971.
Aviorimessa di Orbetello
P.L.Nervi,1939.
Copertura della scuola della
Sacra Famiglia, Antonio Gaudì.
VOLTE SOTTILI E
TENSOSTRUTTURE
Ristorante a Xochimilco, Messico, a volte
Plurilobate, Felix Candela, 1957-58.
„Tensostrutture‟
La superficie minimo in Membrana
sottilissima tesa sul contorno stesso
Linee
isostatiche in
una lastra
strutturale
Andamento
delle isostatiche
nelle cupole
Disposizione delle
trabecole ossee a
seconda di
diagramma delle
isostatiche
Lanificio Gatti, P.L.
NERVI, Roma, 1951
Le direzioni che appartengono
ad una linea isostatica sono
soggette esclusivamente ad una
componente assiale di sforzo, di
trazione o di compressione.
Pier luigi Nervi:
Con elementi prefabbricfati in
ferro-cemento
si
possono
costruire strutture resistenti per
forma con nervature disposte
lungo le isostatiche delle
tensioni principali(...).
, persegue un metodo di pianificazione che,
mentre conserva la centralità della ‘visione’ architettonica dalla sua traduzione in
immanenza del materiale, mantiene la fase creativa lontano dalla fase di verifica
e realizzazione. Arata Isozaki / Mutsuro Sasaki, Kitagata Community Centre, Japan 2001-2005
,una gamma più flessibile su ricerca di forma,
come ad esempio la funzione, o lo spazio disponibile di progettazione, che però
non tiene conto del comportamento strutturale ‘ottimale’.
Il progetto della nuova stazione di Firenze, dalla
coppia di architetto-ingegnere Isozaki-Sasaki.
Qatar Education City,Convention Centre, Doha, Qatar,
2003-2009
La concezione dell’edificio si basa su tre elementi
compositivi :
1- Una pelle di rivestimento
2-Tredici colonne reticolari
3- Sei piani lineari
ELEMENTI PORTANTI
13 colonne a forma di paraboloide iperbolico, derivato dal concetto di un
cilindro, prima sottoposto a torsione e poi deformato per oscillazione. Le quattro
colonne di diametro maggiore in cemento armato, resistenti ai terremoti Sono
posizionate ai quattro angoli ,Le altre nove colonne più sottili sono per sostenere
solo i carichi verticali e controllare il fenomeno di deformazione, con l'aggiunta
di un anello nella parte mediana contro lo schiacciamento. Le colonne permettono
l’illuminazione naturale delle parti centrali dei vari piani e contengono le tubazioni
degli impianti,l’impianto elettrico, il cablaggio a fibre ottiche, gli ascensori e le
scale di emergenza.
ILLUMINAZIONE
alla sommità delle I dispositivi sul
tetto riflettono la luce del sole verso
il basso, all’interno degli ambienti.
VENTILAZIONE
Le colonne come condotti per la
ventilazione interna, La griglie di
ventilazione sulla copertura, facciata
a “doppia pelle”
SOLAI
una struttura a “sandwich”,
a
soli
40
centimetri,
resistente ai terremoti.
crematorio „Meiso no mori‟ Kakamigahara, arch. Toyo Ito e arch. Strutturista
Mutsuro Sasaki, Gifu, Giappone 2007.
Numerical simulations in
Architecture: towards a new
geometry
of
Nature,
Kokkugia, iSaw, Varsavia,
2008;
“We do not work on the shapes but on the rules that generates these shapes”. Kokkugia
Cit: P. Trovalusci
Architetture animali:
nido di tessitore
mascherato africano.
Turritella communis e Borromini,
“Disegno della lanterna di S.Ivo
alla sapienza”.
Renzo Piano, modello per il Centro
culturale Jean Marie Tjibaou – Nuova
Caledonia
“I più esperti Artisti fra gli Antichi erano dell'opinione che Leon Battista Alberti
un edificio fosse come un animale, di modo che nella
R.H. Francé
formazione di esso noi dovremmo imitare la Natura.”
“tutte le forme nella
natura organica vivente, essendo il prodotto della selezione, sono il necessario risultato
delle funzioni svolte e per ogni problema biologico è possibile trovare un'unica,
ottimale risposta formale e strutturale che ne possa fornire una soluzione ottimale”.
In
termini
geometricocostruttivo, nella natura si
possono
riscontrare
tipici
modelli organizzativi fondamentali che si manifestano sia a
livello macroscopico che a
livello microscopico:
● Spirali ed eliche
● Esplosioni radiali
● Geometrie geodetiche
● Automorfismi – frattali
● Tassellazioni 2D e 3D
● Close-packed
● Geometrie poliedriche
● Meandri
● Tensegrità
● Simmetrie bilaterali e radiali
● Canoni di proporzionamento
Botanica Magnifica, 2009. Milan: Jaca Books.
Jorn Utzon, Opera House, Sydney
fotografia SEM di
Buckminsterfullereni
Progetto sperimentale
ILEK –Stoccarda.
Ragnatele
Linfociti
Monaco, complesso olimpico
Ossatura di bisonte
Ponte Firth of Fourth.
Dicotomia tra progetto e realizzazione
Cit: A. Casale
British Museum, Londra
l'invenzione creativa non è una questione di genialità, ma piuttosto
l'espressione della conoscenza di un sistema articolato di norme
regolate dalla cultura ed esperienza.
Uno dei rischi principali è quello di
generare mega-strutture che sono lontano
dalla natura, almeno dal punto di vista
dimensionale. Come esempio il progetto
The Water Cube in Beijing (China),2008
è un esempio piuttosto critico al confronto
di Eden Project. Nicholas Grimshaw. 2001.
Eden Project. Nicholas Grimshaw. 2001.
The Water Cube in Beijing (China),2008
la bellezza intrinseca dei grappoli di bolle
naturali, è il tentativo di realizzare un
programma di alta tecnologica architettonica a
dare servizio alla natura derivando suggestioni
dalla natura stessa.
Cit: P. Trovalusci
È evidente che una grande parte della produzione architettonica, rappresentata da figure di
spicco nella scena internazionale come Frank Gehry, Ben Van Berkel, e Zaha Hadid, mostra
una partenza graduale e sostanziale dai temi legati all'etica della costruzione e della coerenza
strutturale del progetto, perseguendo intenti figurativi, e acclamato come spettacolare.
Il rilievo dimensionale e la complessità geometrica ('non-linearità') di queste
architetture non sempre corrispondono al vero coerenza tettonica dell'edificio, una
sorta di contraddizione tra come l'architettura 'guarda' e quello che in realta 'è'.
Quindi il recupero di una dimensione etica della costruzione è una sfida che l'architettura
contemporanea non può più ignorare.
Accanto ai tradizionali processi di creazione di forma, può essere utile adottare alcuni
metodi numerici comunemente utilizzati negli algoritmi genetici. Questi algoritmi sono
particolari modelli numerici che tentano di replicare i processi di aggregazione delle cellule
di organismi naturali, ampiamente utilizzati in settori scientifici apparentemente lontano da
architettura e ingegneria, come le statistiche, economia o robotica. L'uso appropriato di
questi modelli applicati al problema di trovare nuove forme può restituire un valore di 'etica'
per la necessità di volo non-lineare verso orizzonti dell'architetto contemporaneo.
Il calcolo basato su algoritmi morfogenetici può portare l'architettura verso un tipo di
produzione non standard di elementi costruttivi, che, grazie a tecniche di progettazione
matematici contemporanei, permette di ottenere elementi prefabbricati non necessariamente
simili tra loro (come in procedure standard).
Cit: P. Trovalusci