s - Il saturatore

MARIO VULTAGGIO
C APITOLO 7
L A DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN N AVIGAZIONE
7.1 – Introduzione
La determinazione della posizione di un mobile si basa sulla
intersezioni di un numero definito di luoghi di posizione associati a
misure di angoli, distanze, ed alle loro possibili combinazioni: somme e
differenze di angoli e di distanze.
La posizione in navigazione è espressa in coordinate geografiche
( φ ,λ ,h ) o in coordinate rettangolari cartesiane ( x , y , z ), assumendo come
terna di riferimento una terna di assi ortogonali con l’asse z coincidente
con l’asse terrestre ed orientato verso il polo nord e gli assi x , y nel
piano equatoriale e con l’asse x orientato verso l’origine delle
longitudini.
In navigazione marittima, la posizione è espressa da (φ , λ ) essendo il
mobile appartenente alla superficie della terra; per la sua
determinazione occorre un numero minimo di due luoghi di posizione;
in navigazione aerea il numero minimo è di tre.
Nelle operazioni di carteggio, la posizione del mobile è effettuata per
mezzo di tracciamento dei luoghi di posizione la cui intersezione
fornisce la posizione del mobile; questo metodo non sempre è possibile
applicarlo dato che non sempre si è in grado di tracciare i luoghi di
posizione stante le caratteristiche delle carte utilizzate.
Questa difficoltà è superata quando si passa al metodo analitico che
consiste nella risoluzione di equazioni, normalmente piuttosto
complesse che esprimono i luoghi di posizione sulla terra; questa ultima
difficoltà può essere eliminata linearizzando il luogo di posizione
presupponendo la conoscenza di un punto prossimo alla soluzione del
problema (punto stimato). La linearizzazione nel caso piano si riduce al
calcolo dell’equazione di una retta; nel caso tridimensionale
all’equazione di un piano rispetto alla terna ortogonale di riferimento. In
entrambi i casi la determinazione della posizione si riduce alla
risoluzione di un sistema di equazioni lineari il cui numero di equazione
può essere superiore al numero delle variabili associate alla posizione
del mobile.
177
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
7.2 – Equazione di un luogo di posizione
Sia L la misura di un parametro associato ad una delle possibile misure
priva di errore. Il luogo di posizione può essere espresso dalle seguenti
due equazioni:
L = f (φ ,λ )
,
L = F (x, y,z )
(7.1)
la prima in funzione delle coordinate geografiche, la seconda in
coordinate cartesiane. Le equazioni (7.1) esprimono una famiglie di
curve il cui gradiente è espresso dalle seguenti relazioni:
2
2
dL  ∂f   ∂f  
 
∇L =
=   + 
ds  ∂φ   ∂λ cos φ  


2
2
2
dL  ∂F   ∂F   ∂F  
∇L =
= 
 + 
 + 
 
ds  ∂x   ∂y   ∂z  


(7.2)
Nel primo caso le curve sono rappresentate sul piano tangente ed il
gradiente fornisce la distanza minima fra due luoghi di posizione nel
punto considerato; nel secondo trattasi di gradiente fra piani tangenti
alle superficie associate ai luoghi di posizione. Risulta ovvio il
significato delle derivate parziali: esse rappresentano i coseni direttori
della direzione del gradiente nel punto considerato rispetto agli assi del
sistema di riferimento.
7.3 – Il concetto di linearizzazione
La linearizzazione di una curva o di una superficie si basa sul desiderio
di voler utilizzare solo una piccola porzione del luogo di posizione in
prossimità di un punto di appoggio che normalmente lo si fa coincidere
con il punto stimato di cui il navigante è in grado, per le sue conoscenze
sullo stato della navigazione, di definire le coordinate.
Sia L la curva associata alla misura del generico parametro misurato
privo di errori ed Ls la curva passante per il punto stimato Ps (v. figura
7.1). La curva Ls è ben definita dato che, conoscendo il punto stimato e
l’oggetto osservato, per mezzo della (7.1) può essere calcolata
facilmente. Sviluppando la prima delle (7.1) nel punto stimato in serie
di Taylor ed arrestandosi ai termini del primo ordine:
178
MARIO VULTAGGIO
 ∂f 
 ∂f 
L = f (φ s , λs ) +   δφ + 
 δλ
 ∂λ  s
 ∂φ  s
(7.3)
che può essere esplicitata per il caso del piano tangente alla sfera con
δλ = µ secφ s
 ∂f 
 ∂f 
  δφ +   δµ = 0
 ∂φ  s
 ∂µ  s
(7.4)
φ
L
r
Ls
α
rs
P
Ps
µ
O
Figura 7.1 – Linearizzazione del luogo di posizione
La relazione (7.4) rappresenta l’equazione di una retta rs passante per
l’origine e tangente alla curva Ls nel punto stimato Ps , riferita alla
coppia di assi cartesiani ortogonali con origine in detto punto,
coincidente con le linee coordinate (meridiano e parallelo). L’intorno di
Ps , avendo arrestato lo sviluppo ai termini del primo ordine, può essere
considerato coincidente con il piano tangente alla sfera nel punto
considerato.
Considerando che il mobile si trova sul tratto di curva L , associata
alla misura priva di errori, vicino alla retta rs , si può pensare che il
mobile si trovi sulla retta r tangente alla curva L e parallela alla retta
rs ; il mobile dovrà trovarsi alla minima distanza da Ps e quindi lungo la
direzione del massimo gradiente fra L e Ls . La direzione del gradiente
incontra la curva L nel punto P appartenente anche alla retta r detta
appunto retta di posizione e sulla quale si trova il mobile.
La retta di posizione ha per coefficiente angolare la seguente
espressione:
179
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
 ∂f 
 
∂µ
tanα = −   s
 ∂f 
 
 ∂φ  s
(7.5)
ed il gradiente il seguente coefficiente angolare:
 ∂f 
 
∂φ
tan β = − cot α =   s
 ∂f 
 
 ∂µ  s
(7.6)
essendo perpendicolare alla retta r ; la distanza
direttamente dalla prima relazione delle (7.2):
PPs = ds =
dL
2
 ∂f   ∂f 
  +  
 ∂φ   ∂µ 
2
PPs
si ricava
(7.7)
nella quale dL = L − Ls .
Le relazione (7.6) e (7.7) permettono di ricavare la posizione del
punto P( x , y ) e l’equazione della retta r tangente alla curva L :
δµ = ds cos β
,
δφ = ds sin β
y − y0 = ( x − x0 ) tanα
δφ − δφ0 = (δµ − δµ0 ) tanα
(7.8)
(7.9)
avendo considerato gli assi cartesiani coincidenti con le linee
coordinate. La retta r data dalla (7.9), nell’intorno del punto stimato Ps ,
sostituisce il luogo di posizione L , associato alla misura del parametro
privo di errore.
7.3.1 – L’equazione di misura
L’equazione della retta è suscettibile di semplificazione per mezzo
delle relazioni (7.5) e (7.8); per ottenere ciò, occorre ricavare le
180
MARIO VULTAGGIO
funzioni sin β , cos β in funzione della tan β e date rispettivamente da:
 ∂f 
 
∂φ
tan β
sin β =
= 
δL
1 + tan2 β
δs
,
 ∂f 
 
∂µ
1
cos β =
= 
δL
1 + tan2 β
δs
Considerando piccole e finite le grandezze presenti nell’equazione (7.9),
l’equazione della retta può scriversi nel seguente modo:
 ∂f 
 ∂f  
 ∂f  
 
  
  
∂φ 
∂µ  
∂µ


δφ − δs
=−
δµ −   
δL
δL 
 ∂f  
  
δs
δs 
 ∂φ  
nella quale si è tenuto conto della relazione (7.5); sviluppando
ulteriormente si ha:
2
2
2
 ∂f 
 ∂f 
δs  ∂f   ∂f   δs  δL 
 δφ + 
δµ =
 =
  + 
  = δL
δL  ∂φ   ∂µ   δL  δs 
 ∂φ 
 ∂µ 


δs
δs
nella quale si è tenuto conto dell’espressione del gradiente (5.2); infine
tenendo conto della relazione fra arco di parallelo e di equatore si
ottiene la seguente espressione finale:
 ∂f 
 ∂f 
L − Ls =   δφ +   δλ
 ∂λ  s
 ∂φ  s
(7.10)
che rappresenta l’equazione di misura; risultato importante perché la
linearizzazione del luogo di posizione associato alla misura di un
generico parametro (misura di distanza, differenza di distanza, misura di
angolo e differenza di angoli) è definita dallo sviluppo in serie arrestato
al primo ordine della funzione (7.1) le cui derivate parziali sono
calcolate nel punto iniziale (punto stimato).
L’equazione di misura (7.10) è suscettibile di una ulteriore
semplificazione ponendo:
181
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
l = L − Ls
 ∂f 
h2 =  
 ∂φ  s
,
,
 ∂f 
h1 = 

 ∂λ  s
(7.11)
e quindi
l = h1δλ + h2δφ
(7.12)
equazione di una retta nel piano e nella quale h1 , h2 rappresentano i
coseni direttori rispetto alle linee coordinate.
Lo stesso risultato si ottiene quando si considera la funzione in
termini di coordinate cartesiane L = F ( x , y , z ) :
 ∂F 
 ∂F 
 ∂F 
L − Ls = 
 δy + 
 δx + 
 δz
 ∂x  s
 ∂z  s
 ∂y  s
(7.13)
La (7.13) rappresenta l’equazione di un piano, detto piano di posizione,
tangente alla superficie di equazione L = F ( x , y , z ) nel suo punto più
vicino al punto stimato. Questo piano si confonde con la superficie di
posizione nell’intorno del punto di tangenza.
Analogamente a quanto fatto per la (7.12), ponendo:
l = L − Ls ,
 ∂F 
h1 = 

 ∂x  s
,
 ∂F 
h2 = 

 ∂y  s
 ∂F 
, h3 = 

 ∂z  s
(7.14)
la (7.13) si scrive:
l = h1δx + h2δy + h3δz
(7.15)
Le relazioni (7.12) e (7.15) sono note come equazioni di misura e
possono essere espresse in forma vettoriale nel seguente modo:
l = hT x
(7.16)
con h e x rispettivamente il vettore di misura ed il vettore di stato date
da:
182
MARIO VULTAGGIO
 h1 
h= 
h2 
 h1 
 
h = h2
 
h3 
,
,
δλ
x= 
δφ 
δx 
 
x = δy
 
δz 
Nella (7.16) la quantità scalale l risulta essere il prodotto tra il vettore
riga h ed il vettore colonna x.
La (7.10) può essere anche calcolata considerando che le coordinate
di un generico punto della curva di posizione L differiscono, in
prossimità del punto stimato, di quantità piccole; pertanto possono
considerarsi valide le seguenti condizioni:
φ = φ 0 + δφ
,
λ = λ0 + δλ
,
L = Ls + δL
per cui l’equazione (7.1) può essere espressa nel seguente modo:
 ∂f 
 ∂f 
L = Ls + δL = f (φ ,λ ) = f (φ0 + δφ ,λ0 + δλ) = f (φ0 ,λ0 ) +   δφ +   δλ
 ∂λ  s
 ∂φ  s
dalla quale si ricava facilmente l’equazione di misura (7.10) e nella
quale δL rappresenta la differenza tra la misura effettuata e quella
calcolata rispetto alla posizione del punto stimato; si può osservare,
infine, che le stesse considerazione possono essere effettuate anche per
la (7.13).
7.4 – Misure di distanza
La misura di distanza, da un punto di coordinate note, definisce sulla
sfera una circonferenza detta circonferenza di distanza. Per la proprietà
stessa della circonferenza, tutti gli osservatori che misurano la stessa
distanza si trovano sullo stesso luogo di posizione. La grandezza della
circonferenza dipende dalla grandezza della distanza misurata per cui la
sua rappresentazione sulla carta di Mercatore può rappresentare delle
difficoltà. Per la sua rappresentazione sulla carta la circonferenza di
distanza si classifica di I, II e III specie mettendo in relazione la
distanza misurata d con la distanza polare dell’oggetto osservato A; se
indichiamo con c A la distanza polare di A, è possibile classificare la
183
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
circonferenza di distanza per mezzo delle seguenti condizioni:
I specie d < c A
II specie d > c A
(7.17)
III specie d = c A
Pn
cA
dA> cA
A
dA= cA
dA< c A
Ps
Figura 7.2 – Classificazione delle circonferenze di distanza
Dalla figura si può facilmente notare che a seconda della distanza la
circonferenza di distanza contiene il polo di A (II specie), non contiene
il polo di A (I specie), il polo di A si trova sulla circonferenza (III
specie); questa classificazione è molto importante nelle applicazioni
delle circonferenze di altezza utilizzate in mare nelle osservazioni
astronomiche.
Limitatamente alle applicazioni le misure di distanza, dedotte per
mezzo di radar o da misure orizzontali e verticali, sono limitate alle
applicazioni costiere; per questo motivo spesso si parla di cerchio di
distanza ( I specie).
Per poter studiare una circonferenza di distanza e del cerchio di
distanza occorre trovarne l’espressione analitica per poi passare alla sua
linearizzazione.
7.4.1 – Equazione della circonferenza di distanza.
Sia L(φ,λ ) la circonferenza minore associata alla misura della
distanza d del punto A(φ A ,λ A ) di coordinate note effettuata
dall’osservatore generico O . Dal triangolo sferico OPA si ricava
184
MARIO VULTAGGIO
l’equazione del luogo di posizione rappresentato dalla circonferenza di
distanza:
Pn
λ−λA
cA
A
G
d
O
Ps
Figura 7.3 – Triangolo sferico associato alla circonferenza di dista nza
cos d = sin φ sin φ A + cos φ cos φ A cos (λ − λ A )
(7.18)
che può essere scritta nella forma delle relazioni (7.1):
d = L = f (φ , λ ) = cos −1 [sin φ sin φ A + cos φ cos φ A cos (λ − λ A )]
(7.19)
nella quale (φ A ,λA ) rappresentano le coordinate del centro A, d il raggio
della circonferenza, (φ,λ ) le coordinate del generico punto sulla
circonferenza. Per la risoluzione della (7.18) valgono tutte le regole
usate per la risoluzione dei triangoli sferici in navigazione.
7.4.2 – Linearizzazione della circonferenza di distanza
La conoscenza del punto stimato e del punto osservato permette di
associare alla misura di distanza d , l’equazione della circonferenza di
distanza e di calcolare la distanza d s , per mezzo delle ben note relazioni
trigonometriche sferiche (vedi figura 7.4):
185
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
Pn
cA
A
G
dA
Os
O
Ps
Figura 7.4 – Triangoli sferici associati ai punti O ed Os
cos d s = sin φ A sin φs + cos φ A cos φs cos(λS − λA )
cot Z s = cos φs tan φ A cos ec (λS − λA ) − sin φs cot (λS − λA )
per cui applicando alla (7.19) le equazioni (7.12) e (7.13) si ha:
l = d − ds
cos φ A cos φ s sin (λs − λ A )
cos φ A cos φ s sin (λs − λ A )
 ∂f 
h1 =   = −
=−
sin d s
 ∂λ 
1 − cos 2 d s
 ∂f 
sin φ A cosφ s − cos φ A sin φ s cos(λs − λ A )
h2 =   = −
=
 ∂φ 
1 − cos 2 d s
=−
sin φ A cos φ s − cos φ A sin φ s cos(λs − λ A )
sin d s
che possono essere ulteriormente semplificate applicando il teorema dei
seni e quello delle proiezioni al triangolo sferico:
sin d s cos Z s = sin φ A cos φs − cos φ A sin φs cos(λs − λ A )
sin (λs − λA ) sin Z s
=
sin d s
cos φ A
con le quali i coefficienti h1 e h2 si semplificano nel modo seguente:
186
MARIO VULTAGGIO
 ∂f 
h1 =   = − cos φ s sin Z s
 ∂λ 
 ∂f 
h2 =   = − cos Z s
 ∂φ 
Questi coefficienti sostituiti nella (7.12), permettono di scrivere
l’equazione della retta di distanza sulla sfera:
d − d s = − cos φ s sin Z sδλ − cos Z sδφ
(7.20)
Dalla (7.20) si possono ricavare l’equazione della retta di distanza per il
piano di Mercatore e quella per il piano nautico per mezzo delle
relazioni di corrispondenza con le quali sono costruite le carte;
per il piano nautico si ha:
d − d s = − sin Z s x − cos Z s y
(7.21)
per il piano Mercatore si ha:
d − d s = − cos φ s sin Z s x − cos φ s cos Z s y
(7.22)
In particolare, se la (7.22) la si divide per − cosφ s si ottiene:
(d s − d ) sec φ s = sin Z s x + cos Z s y
(7.23)
il primo membro rappresenta l’importo della differenza tra la distanza
calcolata e quella misurata valutato sulla scala delle latitudini del piano
di Mercatore. Allora, tenendo presente questa ultima proprietà,
l’equazione (7.23) diventa:
sin Z s x + cos Z s y − ∆d = 0
identica alla (7.21).
187
(7.24)
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
φ
r
L
α
D
Zs
OS
µ
Figura 7.5 – Retta di distanza
Il coefficiente angolare della retta di distanza r ed i valori delle
intersezioni con gli assi sono dati da:
tanα = − tan Z s
,
n1 =
∆d
cos Z s
,
n2 =
∆d
sin Z s
(7.25)
Inoltre, l’azimut della perpendicolare alla retta r passante per il punto
stimato Os e la distanza dalla retta risultano (vedi figura 7.5):
β = Zs
,
O s D = p = ∆d
(7.26)
E’ interessante effettuare delle considerazioni fra la retta di distanza
rettificata e la rappresentazione sulla circonferenza di distanza sulla
sfera: la retta di distanza tracciata sul piano di Mercatore rappresenta un
arco di lossodromia rettificata tangente alla circonferenza di distanza
nel punto P , punto di incontro della traccia del piano verticale
contenente il punto stimato e l’oggetto osservato. L’arco di
circonferenza massima dato dalla (7.26) può essere considerato arco
lossodromico e quindi rettificato sul piano di Mercatore; inoltre, si può
osservare che con il punto stimato Os all’esterno della circonferenza il
punto P si trova in direzione dell’oggetto osservato A con ∆d = d s − d ,
con il punto stimato Os all’interno il punto P si trova nella direzione
opposta di A con ∆d = d − d s per cui considerando algebrica
l’espressione ∆d = d s − d nel primo caso risulta positiva e nel secondo
negativa.
188
MARIO VULTAGGIO
7.4.3 – Cerchio di distanza
Quando la circonferenza di distanza è associata ad una piccola distanza,
caso particolare che si verifica in navigazione costiera, l’equazione (7.1)
è suscettibile di semplificazione dato che punto osservato A e punto
stimato Os si trovano all’interno della portata ottica e quindi vicino fra
loro.
In questa situazione le coordinate (φ,λ ) dei punti della circonferenza
associati alla misura di distanza d possono essere espresse in termini
delle coordinate di A(φ A ,λ A ) :
φ = φ A + δφ
,
λ = λA + δλ
Con queste semplificazioni, l’equazione del luogo di posizione risulta:
cos d = sin (φ A + δφ ) sin φ A + cos(φ A + δφ ) cos φ A cos δλ
che può essere sviluppata in serie arrestandosi ai termini del primo
ordine essendo piccoli i termini d , δφ,δλ :
1−


d2
δφ 2
= sin φ A  sin φ A + δφ cos φ A −
sin φ A  +
2
2



  δλ2 
δφ 2
+ cos φ A cos φ A − δφ sin φ A −
cos φ A  1 −
2
2 


che può essere ulteriormente semplificata operando i prodotti:
d 2 = cos 2 φ Aδλ2 + δφ 2
(7.27)
relazione che rappresenta l’equazione di una circonferenza sul piano
tangente alla sfera nel punto osservato A; gli assi cartesiani hanno
origine nel punto A e sono coincidenti con le linee coordinate. Il
troncamento al 2° ordine è giustificato dal fatto che alla latitudine media
per δφ = δλ = 60' l’errore che si commette è del centesimo di primo.
L’equazione della circonferenza (7.27) può essere rappresentata sia
sul piano di Mercatore che sul piano nautico: nel primo caso, come già
visto precedentemente, basta dividere ambo i membri per cos φ A
ottenendo l’equazione sul piano di Mercatore, altrimenti la (7.27)
189
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
rappresenta l’equazione del cerchio di distanza sul piano nautico. Infine,
rimane da ricavare la forma che assuma il cerchio di distanza sul piano
nautico e sul piano di Mercatore. Richiamando le relazioni di
corrispondenza del piano di Mercatore:
x = δλ
,
y = δφ sec φ A
è possibile ricavare la seguente equazione:
d 2 sec 2 φ A = x 2 + y 2
che può essere scritta anche nella forma:
d 2 = x2 + y2
(7.28)
avendo misurato, però d sulla scala delle latitudini. Il cerchio di
distanza (vedi figura 7.6) sulla piano di Mercatore è rappresentato da
una circonferenza di raggio d e centro il punto osservato A.
y
d
A
x
Figura 7.6 – Cerchio di uguale distanza
7.4.4 –La sfera di distanza
Nelle misure di distanza, quando l’osservatore non si trova sulla
superficie della terra oppure l’oggetto osservatore (di coordinate note)
non si trova sulla terra determina una equazione data dalla seconda
relazione (7.1) che come luogo di posizione rappresenta una sfera.
190
MARIO VULTAGGIO
Facendo riferimento ad una terna cartesiana Oxyz con origine nel
centro della terra , con il piano x , y coincidente con il piano equatoriale
e l’asse z coincidente con l’asse terrestre, allora gli osservatori che
misurano la stessa distanza dall’oggetto sono rappresentati dalla
seguente equazione:
d=
( x − x A )2 + ( y − y A )2 + (z − z A )2
(7.29)
che rappresenta una sfera di centro l’oggetto osservato di coordinate
note A( x A , y A , z A ) . Questo tipo di misura è molto usata nella
determinazione della posizione in navigazione satellitare.
La linearizzazione della (7.29) richiede la definizione del punto
stimato ed il calcolo della distanza dell’osservatore dall’oggetto
osservato per mezzo della (7.29) utilizzata per il punto stimato:
ds =
( xs − x A )2 + ( y s − y A )2 + ( z s − z A )2
ed il calcolo dei coefficienti (7.14):
∆d = d − d s
h1 = −
2(xA − xs )
(xA − xs )2 + ( y A − ys )2 + ( z A − zs )2
(y − yA )
= s
2
h2
h3 =
=
(xs − xA )
ds
ds
(z s − z A )
ds
(7.30)
Dalle relazioni (7.30) si ottiene l’equazione che fornisce la
linearizzazione della sfera:
∆d = d − d s =
xs − x A y s − y A zs − z A
+
+
ds
ds
ds
(7.31)
equazione di un piano tangente alla sfera nel punto di intersezione della
191
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
congiungente punto osservato - punto stimato; i coefficienti h1 , h2 ,h3
rappresentano i coseni direttori della del piano ed l la distanza del
punto stimato dalla sfera di misura.
z
Z
y
S ( xs , ys , zs )
A(x, y, z)
x
Figura 7.7 – Sfera di distanza da misura satellitare – Piano tangente
7.5 – Misure di angolo
Il rilevamento ( Ril ) o azimut (a ) del punto A rispetto al punto O (
generalmente l’osservatore) è definito dall’angolo diedro fra i due piani
verticali: il primo contenente la verticale del punto O e l’oggetto
osservato (A) ed il secondo contenente il meridiano dell’osservatore
(O); l’angolo diedro è contato nel senso orario da 0° a 360°. Questi due
piani verticali intersecano la superficie sferica della terra e determinano
due circonferenze massime; in alcune applicazioni l’angolo fra i due
piani è anche definito come rilevamento ortodromico.
Per le misure angolari valgono le formule di correzione e di
192
MARIO VULTAGGIO
conversione già precedentemente studiate:
Ril v = Ril b + δ + d
Ril b = Ril v − d − δ
,
,
Ril v = Pv + ρ
Ril b = Pb + ρ
(7.32)
V
α
Nv
α
A
O
Figura 7.8 – Angolo diedro definito dal piano meridiano e dal piano
verticale passante per l’oggetto osservato
In navigazione costiera i rilevamenti sono effettuati mediante il cerchio
azimutale (o apparecchio azimutale) posizionato sopra il piano della
bussola normale; i rilevamenti semicircolari o polari sono effettuati sui
lati della nave mediante l’apparecchio grafometro simultaneamente alla
lettura della prora; in navigazione radiogoniometrica l’oggetto
osservato è quasi sempre al di la dell’orizzonte e la misura è effettuata
per mezzo di radiogoniometro (ricevitore radio munito di antenna in
grado di misurare la direzione di provenienze di segnali radio rispetto
alla direzione della prora del mobile). Per queste ultime misure l’angolo
è semicircolare se misurato a bordo di mobili e circolare se misurato a
terra da una stazione radiogoniometrica. Infine, misure angolari possono
essere effettuati mediante sestante o altro strumento angolare (es.
circolo Amici-Magnaghi); in questo caso però si effettuano misure
angolari fra due punti notevoli (es. di differenza d’azimut).
Sulle misure di angoli occorre fare una ulteriore distinzione del tipo di
curva da associare alla misura:
• la misura di un angolo da un punto di coordinate incognite
definisce sulla terra sferica una curva detta curva d’azimut (
luogo dei punti che osservano il punto di coordinate note sotto lo
stesso angolo);
• la misura di un angolo da un punto di coordinate note definisce
193
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
sulla terra sferica un luogo di posizione rappresentato da un
circolo massimo: tutti i punti che si trovano sulla circonferenza
massima sono rilevati dall’osservatore sotto lo stesso angolo.
Le proprietà di queste curve sono particolarmente studiate in
navigazione radiogoniometrica perché normalmente associate alle
misure angolari effettuate con radio goniometro di stazioni fuori
dall’orizzonte ottico.
7.5.1 – Equazione della curva d’azimut
Sia O un osservatore di coordinate incognite che effettua una misura
angolare (Z) di un punto di coordinate note. La misura angolare
definisce un triangolo sferico OPA definito dal polo (Pe) del punto A,
dal punto osservato ( A) e dal punto (O). (v figura 7.9)
Figura 7.9 – Curva d’azimut e triangolo sferico
Dal triangolo OPA, applicando la relazione fondamentale della
trigonometria sferica al lato PA si ha:
sin φ A = sin φ cos d + cos φ sin d cos Z
(7.33)
relazione che rappresenta l’equazione del luogo di posizione L ovvero la
curva d’azimut, con φ A e Z parametri costanti e φ e d variabili. Dalla
(7.33) si ricava facilmente che la curva passa per il polo (Pe) e per il
punto rilevato (A). Inoltre, è possibile ricavare una ulteriore equazione
in termini del punto variabile O(φ,λ ) appartenente alla curva in termini
di parametri costanti Z e A(φ A ,λ A ) . Infatti, applicando al triangolo
sferico la relazione di Vieta si ha:
194
MARIO VULTAGGIO
tanφ A cos φ = sin φ cos(λ A − λ ) + sin (λ A − λ ) cot Z
(7.34)
che può essere esplicitata nella forma delle relazioni (7.1):


sin (λA − λ )
L = Z = tan −1 

 tanφ A cos φ − sin φ cos (λ A − λ ) 
(7.35)
con Z (φ A , λ A ) costanti e (φ,λ ) variabili. Ulteriori studi sulla (7.35)
dimostrano la non unicità della curva d’azimut e proprietà più
importante che essa in prossimità del punto osservato si può sostituire
ad una retta (semiretta di rilevamento).
7.5.2 – Linearizzazione della curva d’azimut
Come a quanto effettuato per la circonferenza di distanza, la
linearizzazione della curva d’azimut è associata alla sua
rappresentazione in prossimità di un punto stimato prossimo per il quale
è possibile determinare l’equazione della curva Ls applicando la
relazione (7.35) al punto Os di coordinate (φ s ,λ )s (vedi figura 7.10). È
possibile allora calcolare i coefficienti l , h1 , h2 . Il primo parametro è
dato da:
l = L − Ls = Z − Z s
(7.36)
Pe
Os
τs
Zs
A
Z
O
L (φ , λ )
Ls ( φs , λs )
Figura 7.10 – Linearizzazione curva d’azimut
nella quale Z è l’angolo misurato e Z s è l’angolo calcolato con la (7.35)
195
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
per mezzo delle coordinate (φ s , λs ) ; i rimanenti due parametri h1 , h2
calcolano considerando la relazione (7.35).
Per il coefficiente h1 si ha:
si
 − cos(λ A − λ s )[tan φ A cos φ s − sin φ s cos (λA − λs )]
+

2
[
tan
φ
cos
φ
−
sin
φ
cos
(
λ
−
λ
)
]

A
s
s
A
s
2

sin φ s sin (λA − λs )
+
=
[tan φ A cos φs − sin φs cos (λA − λs )]2 
cos (λ A − λs )sin Z s cos Z s
=−
+ sin φ s sin 2 Z s
sin (λA − λs )
1
 ∂f 
h1 =   =
2
 ∂λ  s 1 + tan Z s
che può essere ulteriormente semplificata riducendo allo stesso
denominatore e mettendo in evidenza sin Z s :
sin Z s [− cos(λA − λs )cos Z s + sin φ s sin (λA − λs ) sin Z s ]
 ∂f 
h1 =   =
sin (λA − λs )
 ∂λ  s
ed infine dal triangolo sferico AOs P si ricavano le seguenti espressioni:
cos τ s = − cos (λA − λS )cos Z s + sin φ s sin (λA − λS ) sin Z s
sin Z s
cos φ s
=
sin (λA − λS ) sin d s
,
sin Z s cos φ A
=
sin τ s
sin φ s
che permettono trovare l’espressione finale di h1 :
 ∂f  cos φ A cosτ s cos φ s sin Z s cot τ s
h1 =   =
=
sin d s
sin d s
 ∂λ  s
Analogamente per il coefficiente h2
(7.37)
si ha:
 ∂f 
1
− sin (λ A − λs )[− tan φ A sin φs − cosφ s sin (λ A − λ s )]
h2 =   =
2
[tanφ A cos φs − sin φs cos(λ A − λ s )]2
 ∂ φ  s 1 + tan Z s
e tenendo presente la (7.36) si ottiene:
196
MARIO VULTAGGIO
 ∂f 
sin 2 Z s [sin φ A sin φ s + cos φ A cos φ s cos (λ A − λs )]
h2 =   =
cos φ A sin(λ A − λs )
 ∂φ  s
ed ancora dal triangolo sferico, essendo l’espressione a numeratore
uguale al cos d s si ha:
 ∂f 
sin 2 Z s cos d s
sin Z s cos d s
h2 =   =
=
tan d s
 ∂φ  s cos φ A sin(λ A − λs )
(7.38)
L’equazione della retta di posizione si ricava combinando le relazioni
(7.36),(7.37) e (7.38):
l = Z −Zs =
cos φ A cos τ s
sin Z s
δλ +
δφ
sin d s
tan d s
(7.39)
La retta d’azimut può essere rappresentata sul piano di Mercatore
considerando le relazioni di corrispondenza del piano:
l = Z − Zs =
cosφ A cosτ s
sinZs
δx +
cosφ s δy
sind s
tan d s
(7.40)
Nelle equazioni (7.39) e (7.40) Z s rappresenta l’angolo azimutale del
punto osservato A calcolato rispetto al punto stimato Os e d s quella
stimata calcolata sempre rispetto ad A.
y
D
Zs
Os
x
Figura 7.11 – Retta d’azimut
197
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
7.5.3 –Equazione del circolo massimo
Come già detto, quando una stazione di coordinate note misura l’angolo
di un mobile in movimento si genera un luogo di posizione
rappresentato da una circonferenza massima; tutti i mobili che si
trovano sulla circonferenza massima sono osservati dal punto di
coordinate note sotto lo stesso angolo.
L’equazione del circolo massimo, in questo caso particolare, si
associa alla misura Z considerando il triangolo sferico definito dal polo
e dai punti considerati (vedi figura 7.12); applicando la relazione di
Vieta al triangolo OPeA si ha:
Pe
(λA- λ s)
O
L ( φ, λ)
Z
Zs
Ls ( φs , λs )
τs
A
Os
Figura 7.12 – Linearizzazione della circonferenza massima
tanφ cos φ A = sin φ A cos (λA − λ ) + sin (λ A − λ )cot Z
tan Z =
sin (λ A − λ )
tanφ cos φ A − sin φ A cos (λ A − λ )
Dalla seconda equazione si esplicita l’equazione del luogo di posizione
dato dalla (7.1):


sin (λA − λ )
L = Z = tan −1 

 tanφ cos φ A − sin φ A cos (λ A − λ )
con Z , (φ A ,λA ) costanti e (φ,λ ) variabili.
198
(7.41)
MARIO VULTAGGIO
7.5.4 – Linearizzazione del circolo massimo
Come a quanto effettuato per la curva d’azimut, la linearizzazione del
circolo massimo è associata alla sua rappresentazione in prossimità di
un punto stimato prossimo per il quale è possibile determinare la curva
Ls applicando la relazione (7.41) al punto Os di coordinate (φ s , λs ) . È
possibile allora calcolare i coefficienti l , h1 , h2 . Il primo parametro è
dato da:
l = L − Ls = Z − Z s
(7.42)
nella quale Z è l’azimut misurato dal punto A e Zs è l’azimut calcolato
con la (7.41) per mezzo delle coordinate (φ s , λs ) ; i rimanenti due
parametri h1 , h2 si calcolano considerando la relazione (7.35).
Per il coefficiente h1 si ha:
 − cos(λ A − λ s )[tan φ s cos φ A − sin φ A cos (λ A − λs )]
1
 ∂f 
h1 =   =
+

2
[tan φs cos φA − sin φ A cos (λ A − λs )]2
 ∂λ  s 1 + tan Z s 

sin φ A sin 2 (λ A − λs )
+
=
2
[tan φs cos φ A − sin φA cos (λ A − λs )] 
cos(λ A − λs )sin Z s cos Z s
=−
+ sin φ A sin 2 Z s
sin (λA − λs )
che può essere ulteriormente semplificata riducendo allo stesso
denominatore e mettendo in evidenza sin Z s :
sin Z s [− cos(λA − λs )cos Z s + sin φ A sin(λ A − λs ) sin Z s ]
 ∂f 
h1 =   =
sin (λA − λ s )
 ∂λ  s
ed infine dal triangolo sferico AOs P si ricavano le seguenti espressioni:
cos τ s = − cos (λA − λS )cos Z s + sin φ A sin (λ A − λS ) sin Z s
sin Z s
cos φ A
=
sin (λA − λS ) sin d s
,
sin Z s cos φ s
=
sin τ s sin φ A
che permettono trovare l’espressione finale di h1 :
199
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
 ∂f  cos φ s cos τ s
h1 =   =
sin d s
 ∂λ  s
(7.43)
Il coefficiente h2 si calcola nel seguente modo:
 ∂f 
1
− cosφ A sin (λ A − λs )
h2 =   =
2
2
2
 ∂ φ  s 1 + tan Z s cos φs [tanφs cosφ A − sin φ A cos(λ A − λs )]
che va semplificata sostituendo la (7.41) e moltiplicando numeratore e
denominatore per sin 2 (λ A − λs ) ed ottenendo:
 ∂f 
sin 2 Z s cos φ A
h2 =   = −
sin (λ A − λ s ) cos 2 φ s
 ∂φ  s
che può essere ulteriormente semplificata applicando il teorema dei seni
sempre al triangolo APOs :
 ∂f 
sin τ s
h2 = 
 = −
sin d s
 ∂φ  s
(7.44)
y
Zs +- 90
Os
x
Figura 7.13 – Retta C.M.
Infine, considerando i coefficienti (7.42), (7.43) e (7.44) si ricava
200
MARIO VULTAGGIO
l’equazione che esprime la linearizzazione del circolo massimo in
prossimità del punto stimato:
l = Z −Zs =
cos φ s cosτ s
sinτ s
δλ −
δφ
sin d s
sin d s
(7.45)
la (7.45) rappresenta l’equazione della retta ortodromica sulla sfera; sul
piano di Mercatore , tenendo presente sempre le relazioni di
corrispondenza, risulta espressa dalla seguente relazione:
l = Z −Zs =
cos φ s cos τ s
sin τ s cos φs
x−
y
sin d s
sin d s
(7.46)
che è suscettibile di una ulteriore semplificazione:
cos φ s cosτ s x − cos φs sin τ s y − ( Z − Z s ) sin d s = 0
(7.47)
Figura 7.14 – Semiretta di rilevamento
con τ s , d s l’azimut e la distanza che l’osservatore nel punto stimato
calcola rispetto all’aggetto osservato. Questa considerazione permette di
ricavare l’equazione della retta ortodromica in prossimità della stazione
A di coordinate note. Infatti, potendo considerare la distanza d s piccola,
si può considerare sin d s = 0 e τ = 180 − Z s ; con queste considerazioni la
(7.46) diventa:
s
201
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
y = − cot Z s x
(7.47)
equazione di una retta passante per il punto A che ha lo stesso
significato della semiretta di rilevamento.
202
MARIO VULTAGGIO
7.6 – Equazione del luogo di differenza di distanza
L’introduzione in navigazione della misura di differenza di tempo fra
due o più orologi di precisione ha permesso di effettuare di misure di
distanze e quindi anche di differenze e somme di distanze fra stazioni
lontane fra loro (inizialmente si sono sviluppati i sistemi di
radionavigazione a copertura regionale e successivamente quello a
copertura globale).
A causa della non perfetta sincronizzazione degli orologi
(specialmente quello utilizzato a bordo dei mobili) il sistema di
radionavigazione che si è più sviluppato ed utilizzato dai naviganti è
stato quello che utilizza le misure di differenze di distanza di punti
(stazioni) di coordinate note, noto come sistema iperbolico di
navigazione (Loran e Decca); successivamente è stato poi introdotto ed
utilizzato il sistema Omega a copertura globale.
Ipe
rbo
le
sfe
ric
a
Pe
∆λ (φ s, λs)
ZB
ZA
s
O
s
Os
dA
90-φΑ
s
∆ d ( φ, λ )
B
A
Figura 7.15 – Linearizzazione dell’iperbole sferica
In tutti questi sistemi, la misura di differenza di distanza definisce
sulla sfera un luogo di posizione rappresentato da iperbole sferica di
equazione:
203
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
L = f (φ ,λ ) = ∆d = cos −1 [sin φ A sin φ + cos φ A cos φ cos (λ A − λ )] +
− cos −1 [sin φ B sin φ + cos φ B cos φ cos(λB − λ )]
(7.48)
con ∆d , A(φ A ,λ A ),B (φ B ,λB ) la differenza di distanza misurata fra le
stazioni A e B di coordinate note. Al variare della distanza ∆d si
determina una famiglia di iperboli sia sulla sfera che sulla carta di
navigazione; il sistema di radionavigazione consiste di tre o più stazioni
che determinano due o più famiglie di iperboli la cui intersezione fra
loro permette di determinare la posizione del ricevitore che ha effettuato
nell’area di copertura del sistema due o più differenze di distante ∆d ij .
7.6.1 – Linearizzazione dell’iperbole sferica
L’equazione della retta iperbolica, è effettuata associando alla misura
∆d la posizione del punto stimato, per poi calcolare i già noti
coefficienti l , h1, h2 con:
l = ∆d − ∆d s
 ∂

h1 = 
f (φ A ,λ A ,φ B ,λB ,φ s ,λ s )
 ∂λ
s
(7.49)
 ∂

h 2 = 
f (φ A ,λ A ,φ B ,λB ,φs ,λs )
 ∂φ
s
nelle quali la funzione f ( ) è data dalla equazione (7.48).
Procedendo con lo stesso metodo usato per la linearizzazione della
circonferenza di distanza riportato nel paragrafo (7.4.2) si ottengono le
tre seguenti espressioni:
l = ∆d − ∆d s
h1 = cos φ s ( sin Z Bs − sin Z As )
h2 = (cos Z Bs − cos Z As )
(7.50)
con ∆d s la differenza di distanza calcolata fra il punto stimato e i punti
A(φ A ,λA ), B(φ B ,λB ) ; Z As , Z Bs gli angoli azimutale dei due punti riferiti al
punto stimato.
L’equazione della retta iperbolica, per la (7.50) è:
204
MARIO VULTAGGIO
δ∆dl = ∆d − ∆d s = cosφ s (sinZ Bs − sinZ As )δλ +
+ (cos Z Bs − cos Z As )δφ
(7.51)
retta contenuta sul piano tangente alla sfera nel punto stimato .
Sul piano nautico la retta iperbolica ha la seguente equazione:
(sinZ Bs − sinZ As )δx + (cos Z Bs − cos Z As )δy − (∆d − ∆d s ) = 0
(7.52)
Sulla piano di Mercatore la retta iperbolica, invece, ha la seguente
espressione:
(sinZ Bs − sinZ As )δx + (cos Z Bs − cos Z As )δy +
− (∆d − ∆d s )secφ s = 0
(7.53)
con le differenze di distanza misurate nella scala delle latitudini.
∆d (φ s, λ s)
∆ d (φ, λ )
B
A
Figura 7.16 – Retta iperbolica
205
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
7.7 – Luogo di posizione di angoli sottesi a due punti notevoli.
Osservando simultaneamente, l’angolo ∆α fra due oggetti di
coordinate note A(φ A ,λA ), B(φ B ,λB ) , oppure operando la differenza fra
due rilevamenti ∆α = Ril B − Ril A di differenti punti notevoli sempre di
coordinate note A(φ A ,λA ), B(φ B ,λB ) , si determina un luogo di posizione
noto con il nome di curva di uguale differenza d’azimut; su detta curva
il mobile osserva i punti notevoli A, B sempre sotto lo stesso angolo α .
Essa contiene l’osservatore e passa per i due punti notevoli. E’
importante sottolineare in questa fase che all’angolo ∆α si associano
due curve di uguale differenza d’azimut: esse sono simmetriche rispetto
alla congiungente i due punti notevoli; nelle applicazioni va considerata
soltanto quella che passa per l’osservatore; inoltre se uno dei punti è il
polo allora la curva degenera nella ben nota curva d’azimut
precedentemente studiata.
Per studiare la curva L = ∆α = f (φ , λ ) consideriamo la figura 7.17
con A e B i punti notevoli osservati e la curva associata alla misura ∆α .
A
90−∆α
B
90−∆α
2∆α
C
∆α
O
Figura 7.17 – Cerchio capace e sua costruzione
Per un generico osservatore appartenente alla curva si ha:
cos ∆ = cos d A cos d B + sin d A sin d B cos ∆α
206
(7.54)
MARIO VULTAGGIO
equazione che rappresenta il luogo di posizione associato alla misura
∆α con ∆ , ∆ α costanti e d A ,d B variabili al variare del punto corrente
O sulla curva. La curva passa per i punti notevoli osservati: infatti se
d A = 0 , cos ∆ = cos d B per cui d B = ∆ ; analogamente si ottiene che per
d B = 0 , si ha d A = ∆ ; queste due considerazioni dimostrano che la curva
passa per i due punti notevoli osservati.
7.7.1 – Equazione della curva di differenza d’azimut e sua
linearizzazione
Ogni punto della curva di differenza d’azimut osserva i due punti
notevoli sotto gli azimut Z A e Z B la cui differenza fornisce l’angolo
∆α che definisce proprio la curva. Questa considerazione ci permette,
sfruttando quanto ricavato per la curva d’azimut, di scrivere l’equazione
della curva di differenza d’azimut nel seguente modo:

sin (λ A − λ )

∆α = Z A − Z B = tan −1 
+
 tan φ A cos φ − sin φ cos (λ A − λ )


sin (λB − λ )
− tan −1 

 tan φ B cos φ − sin φ cos (λ B − λ ) 
(7.55)
nella quale l’espressione a secondo membro è stata ricavata per mezzo
della relazione (7.41); nella curva di differenza d’azimut i parametri
(α ,φA ,λ A ,φB ,λB ) sono costanti mentre (φ,λ ) sono variabili.
Per linearizzare la (7.55) occorre definire un punto osservato
prossimo alla curva e ricavare l’angolo ∆α s con la relazione (7.55):
207
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
A
∆
B
2∆α
dA
dB
∆α
O
∆α S
OS
Figura 7.18 – Cerchio capace associato al punto stimato Os


sin (λ A − λ s )
∆α s = tan −1 
+
 tan φ A cos φ s − sin φ cos(λ A − λs ) 


sin (λB − λ s )
− tan −1 

 tan φ B cos φ s − sin φ cos(λ B − λs ) 
(7.56)
e quindi ricavare i coefficienti h1 , h2 :
 cos φ A cos τ As cos φ B cos τ Bs 
h1 = 
−
sin d Bs 
 sin d As
,
 sin Z As sin Z Bs 
h1 = 
−
(7.57)
tanBs 
 tanAs
Applicando le relazioni (7.56) e (7.57) si ottiene l’equazione della retta
di uguale differenza d’azimut:
δ∆α = ∆α − ∆α s = h1δλ +h 2 δφ
(7.58)
La (7.58) può essere esplicitata sia per il piano nautico che per il piano
208
MARIO VULTAGGIO
di Mercatore.
Per il piano nautico, tenendo presente sempre le relazioni di
corrispondenza si ha:
h1 cosφ s x + h 2 y − δ∆α = 0
(7.59)
Per il piano di Mercatore si ha:
h1 x +h 2 cosφ s y − δ∆α = 0
(7.60)
f (∆α S)
f(∆α)
OS
Figura 7.19 – Cerchio capace linearizzato
Infine la curva di differenza d’azimut può degenerare in una
circonferenza massima; infatti per
Z A = Z B (∆α = 0 ) oppure
Z A = 180° + Z B [Z B = 180° + Z A ] (∆α = 180 ) ,
l’equazione
(7.55)
si
trasforma nella seguente relazione:
tanφ A sin cos (λB − λ ) − tanφ B sin (λ A − λ ) = tanφ cos (λB − λA )
(7.61)
che rappresenta l’equazione della circonferenza massima passante per i
punti notevoli A e B. Il caso di Z A = Z B (α = 0 ) prende il nome di
allineamento esterno mentre il caso di (α = 180°) allineamento interno
(v. figura 7.22).
209
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
7.7.2 – Il cerchio capace
La curva di uguale differenza d’azimut (7.54) trova molta applicazione
in navigazione costiera perché, per le piccole distanze, è suscettibile di
semplificazione. Infatti per le distanze piccole, la (7.54) è sviluppabile
in serie; arrestandosi ai termini del secondo ordine si ha:
 ∆2   d A2  d B2 
1 −  = 1 −
1 −
 + d A d B cos ∆α

 


2
2
2

 


che semplificata da:
∆2 = d 2A + d B2 − 2d A d B cos ∆α
(7.62)
 d 2d 2 
nella quale è stato trascurato il termine di quarto ordine  A B  molto
 2 
-8
piccolo per le applicazioni costiere (4,5 10 radianti) per un raggio di 60
miglia.
La (7.62) rappresenta l’equazione di Carnot per i triangoli piani; la
linea di base e le due distanze costituiscono i lati di un triangolo: in
questo caso si ha un triangolo inscritto ad una circonferenza in cui i tre
lati rappresentano tre corde che congiungono i due punti notevoli A-B
( ∆ ), A-O( d A ) e B-O( d B ); la curva di differenza d’azimut degenera in
una circonferenza nota come cerchio capace.
Per il tracciamento sul piano nautico o sul piano di Mercatore, occorre
considerare il cerchio capace quale luogo di posizione limitato ad un
arco di circonferenza o arco circolare capace i cui punti vedono la
corda AB sotto lo stesso angolo (angolo alla circonferenza) ed occorre
inoltre distinguere i due casi ∆α < 90° ed ∆α > 90° .
Per ∆α < 90° si tracciano dagli estremi A e B due semirette inclinate
rispetto alla base dell’angolo 90° − ∆α ovviamente dalla parte
dell’osservatore; l’intersezione delle due semirette definisce il centro
del cerchio capace; si dimostra facilmente che l’angolo al centro è il
doppio dell’angolo alla circonferenza associato alla misura ∆α ; il
luogo di posizione associato all’arco di circonferenza viene tracciato
con raggio centro della circonferenza e raggio uguale alla distanza
centro della circonferenza con uno dei due punti osservati.
210
MARIO VULTAGGIO
A
90−∆α
B
90−∆α
2∆α
C
∆α
O
Figura 7.20 – Costruzione grafica del cerchio capace ∆α < 90°
Per ∆α > 90° si tracciano due semirette inclinate dell’angolo ∆α − 90°
dalla parte opposta dell’osservatore; l’intersezione delle due semirette
determina il centro della circonferenza; analogamente si dimostra che
l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza. Per il
tracciamento si opera analogamente al caso precedente.
2∆α
A
C
∆α−90
B
∆α−90
∆α
O
Figura 7.21 – Costruzione grafica del cerchio capace ∆α > 90°
211
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
Per α = 0 ed per α = 180 la curva degenera in una semiretta (caso di
allineamento esterno ed interno).
B
A
∆α = 0
A
∆α = 180
B
B
A
∆α = 0
Figura 7.22 – Allineamenti ∆α = 0° e ∆α = 180°
7.8 – Determinazione della posizione
7.8.1 – Punto nave con misure di distanza
Per determinare la posizione del mobile con misure di distanza occorre
definire prima di tutto il numero minimo di misure:
♦ due misure di distanza da due punti notevoli di coordinate note;
♦ tre misure sono sufficienti a determinare la posizione con il mobile
nello spazio.
La ricerca della soluzione può essere fatta applicando il metodo
analitico oppure quello grafico.
212
MARIO VULTAGGIO
7.8.1.1 – Risoluzione analitica
Nel caso piano, le coordinate del mobile si trovano risolvendo il sistema
di equazioni:
sinZsAδx + cos Z sAδy − ∆d sA = 0
sinZsB δx + cos Z sB δy − ∆d sB = 0
δy  cos Z sA
δx = cos Z
  
sB
(7.63)
−1
sinZ sA  ∆d sA 
sinZ sB  ∆d sB 
(7.64)
Per il caso tridimensionale la soluzione va cercata risolvendo il sistema:
(7.65) ovvero il sistema (7.66)
xs − x A ys − y A z s − z A
+
+
d sA
d sA
d sA
x − x B ys − y B z s − z B
= s
+
+
d sB
d sB
d sB
∆d1 = d A − d sA =
∆d 2 = d B − d sB
∆d 3 = dC − d sC =
(7.65)
xs − xC y s − yC z s − zC
+
+
d sC
d sC
d sC
δx  a11
δy  = a
   21
δz   a31
a12
a 22
a32
a13 
a 23 

a33 
−1
 ∆d1 
∆d 
 2
 ∆d 3 
(7.66)
Per entrambi i casi la terna di riferimento è centrata nel punto stimato ed
i coefficienti della matrice di misura rappresentano i coseni direttori
delle direzioni dei punti notevoli osservati di coordinate note.
7.8.1.2 - Soluzione grafica
Per questo metodo, (caso piano), sono possibili due soluzioni:
♦ l’applicazione della retta di distanza rappresentata sul piano nautico o
sul piano di Mercatore;
♦ l’uso del cerchio di distanza per i casi in cui i punti notevoli osservati
sono in vista dell’osservatore( uso della carta nautica o del piano
213
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
nautico) .
Per il primo caso la soluzione è data dell’intersezione delle due rette di
distanza tracciate rispetto al punto stimato coincidente con il sistema di
coordinate di riferimento (v. figura 7.23).
y
r1
L1
r2
P1
L2
Zs1
PS
Zs
N
2
x
P2
Figura 7.23 – Punto nave con rette di distanza
Nel secondo caso, occorre tracciare le due circonferenze di raggio
uguale alle distanza misurate di centro il punto notevole osservato;
quest’ultimo caso è quello che normalmente si utilizza quando si è in
possesso della carta di Mercatore o del piano nautico contenete il
profilo di costa ed i punti cospicui osservati (v. figura 7.24).
B
A
N
Figura 7.24 – Punto nave con cerchi di distanza
214
MARIO VULTAGGIO
7.8.2 – Punto nave con misure di angoli
Il luogo di posizione associato alla misura di angolo è quello che più
diffusamente utilizzato per la determinazione della posizione del
mobile. Due o più luoghi di posizione definiscono la posizione della
nave.
Anche in questo caso si può utilizzare il metodo analitico e quello
grafico; il metodo grafico è il più diffuso ed è applicato in navigazione
costiera per mezzo della semiretta di rilevamento.
7.8.2.1 – Punto nave con due o più rette d’azimut
Questo metodo è applicato quando i punti notevoli osservati non sono in
vista dell’osservatore; si utilizza la retta d’azimut (7.40). La posizione è
data dalla risoluzione analitica del seguente sistema:
δy   a11
δx = a
   12
−1
a12  ∆Z A 
a22  ∆Z B 
(7.67)
i cui coefficienti hanno il seguente significato:
∆Z A = Z A − Z As , a12 =
∆Z B = Z B − Z Bs , a 22
cosφ A cosτ As
sinZ As
, a11 =
cosφ s
sind As
tan d s
cosφ B cosτ Bs
sinZBs
=
, a 21 =
cosφ s
sind Bs
tan d Bs
(7.67)
Nel caso che si osservano più di due punti notevoli, allora il sistema
diventa ridondante (7.68) e permette di ottenere una valutazione
statistica degli errori di misura con gli elementi della matrice di misura
di significato ben noto.
215
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
−1
 a11 a12   ∆Z1 
a
 

21 a22  ∆Z 2 

δy 

−  
δx =  −
 

  
−  
 −

 an1 a n 2  ∆Z n 
7.8.2.1 – Punto nave con due o più semirette di rilevamento
(7.68)
E’ stato precedentemente provato che quando l’osservatore si trova in
prossimità del punto notevole osservato, la curva d’azimut si trasforma
in semiretta; questa proprietà è molto usata in navigazione costiera
perché permette di determinare la posizione della nave tracciando le due
o più semirette dai punti notevoli osservati.
La determinazione può essere fatta osservando un punto notevole con
due semirette intervallate oppure con due o più semirette simultanee.
Nel primo caso è essenziale la conoscenza della rotta della nave e della
sua velocità (v. figura 7.25).
Nv
Rilv
1
A
Rilv
2
m = v (t2 - t 1 )
t2
t1
Figura 7.25 – Punto nave con due semirette intervallate
Nel secondo caso si suppone che le osservazioni sono effettuate in
brevissimo intervallo in modo da poterle considerare simultanee (v.
figura 7.26).
216
MARIO VULTAGGIO
Nv
Rilv
B
B
A
Rilv
A
N
Figura 7.26 – Punto nave con due semirette simultanee
La figura 7.27 riporta la determinazione del punto nave con tre
semirette simultanee.
Per entrambi i metodi le misure angolari effettuati con la bussola
magnetica o con la girobussola dovranno essere corrette con le dovute
correzioni prima di effettuare il loro tracciamento sulla carta di
Mercatore o piano nautico.
Nv
Rilv
B
B
A
RilvA
N
Rilv
C
C
Figura 7.27 – Punto nave con tre semirette di rilevamento simultanee
Inoltre, per la determinazione della posizione, è possibile utilizzare una
combinazione di luoghi di posizione (una semiretta di rilevamento ed un
cerchio di distanza). Questa applicazione è tipica quando si utilizza il
radar perchè è possibile effettuare simultaneamente sia il rilevamento
polare che la distanza di un punto cospicuo sulla costa (v. figura 7.28)
217
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
Nv
Rilv
A
A
Ril v = Pv +(- ρA )
A
dA
ρA
Pv
Figura 7.28 – Punto nave con rilevamento e distanza
7.8.6 – Punto nave con due rette iperboliche
Questo caso è tipico della navigazione iperbolica. Le misure di
differenze di tempo misurate da un ricevitore nell’area di una catena
Loran C sono riportate su apposite carte Loran ; l’intersezione delle due
iperboli fornisce la posizione della nave. Il punto nave può essere
ottenuto anche per mezzo di apposite tavole; in questo caso il punto si
ottiene in maniera grafica perché le tavole forniscono le intersezioni
delle iperboli, associate alle misure, con determinati paralleli o
meridiani. In questo caso occorre avere una carta di Mercatore della
zona in cui si trova la nave oppure costruirsi una piano di Mercatore per
tracciare le iperboli linearizzate limitatamente all’area di mare in cui si
trova la nave. Inoltre, i moderni ricevitori Loran C calcolano
direttamente la posizione della nave per cui è sufficiente riportare le
coordinate geografiche sulla carta per controllare la posizione rispetto
alla rotta programmata.
7.8.6.1 – Risoluzione analitica del punto nave con due rette
iperboliche
L’equazione della retta iperbole può essere utilizzata per determinare la
posizione sia in modalità grafica che analitica (quest’ultimo metodo è
quello utilizzato dai moderni ricevitori Loran per definire la posizione
dalle misure di differenza di tempo).
Questo metodo richiede la risoluzione del seguente sistema lineare:
218
MARIO VULTAGGIO
−1
δy   h11 h12  δ∆d1 
 

δx = h
   21 h22  δ∆d 2 
nel quale i coefficienti sono ricavati dalla relazione (7.51) relativamente
alle due misure di differenza di distanza (di tempo) misurate e calcolate
δ∆d = ∆d − ∆d s
h11 = cosφ s (sinZBs − sinZ As )
h12 = (cos Z Bs − cos Z As )
rispetto al punto stimato. Il vettore posizione fornisce lo spostamento
del punto reale rispetto al punto stimato.
7.8.6.2 – Risoluzione grafica del punto nave con due rette
iperboliche
Questo metodo richiede il tracciamento delle due rette iperboliche sulla
carta che può essere sia un piano nautico o un piano di Mercatore. Le
due rette sono tracciate utilizzando le relazioni (7.52) o (7.53) e sono
riferite rispetto al sistema di riferimento i cui assi sono il meridiano, il
parallelo ed al centro il punto stimato.
Per il tracciamento delle due rette iperboliche si è ipotizzata una catena
Loran con M la stazione master ed X Y le due stazioni asservite. I
coefficienti angolari delle due rette iperboliche sono dati dalle due
seguenti relazioni:
tan a MX =
(sin Z Ms − sin Z Xs ) ± 90°
(cos Z Ms − cos Z Xs )
tan a MY =
(sin Z Ms − sin Z Ys ) ± 90°
(cos Z Ms − cos Z Ys )
219
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
y
α MX
αM Y
Os
N
x
Figura 7.29 – Punto nave con due rette iperboliche
7.8.7 – Punto nave con due rette di differenza d’azimut
7.8.7.1 – Stazioni non in vista dell’osservatore - Metodo analitico
Questo metodo si applica quando le due stazioni trasmittenti (caso che
si presenta quando si rilevano due stazioni radio goniometriche) di
coordinate note. La differenza d’azimut è una curva che contiene
l’osservatore di coordinate incognite e passa per le due stazioni di
coordinate note. La linearizzazione di questa curva è data dalla
equazione (7.58) :
δ∆α = ∆α − ∆α s = h1δλ +h 2 δφ
di coefficienti noti:
 cos φ A cos τ As cos φ B cos τ Bs 
h1 = 
−
sin d Bs 
 sin d As
,
(7.58)
 sin Z As sin Z Bs 
h1 = 
−
(7.57)
tanBs 
 tanAs
nella quale A e B sono le due stazioni rilevate. Le rette linearizzate, di
due misure di differenza d’azimut effettuate su due coppie di stazioni, si
intersecano determinando così la posizione dell’osservatore. La
posizione, rispetto al punto stimato dell’osservatore, è data dalla
risoluzione del seguente sistema:
220
MARIO VULTAGGIO
−1
δy   h11 h12  δ∆α 1 
 

δx = h
   21 22  δ∆α 2 
i cui coefficienti sono forniti dalla (7.57) applicata ai dati di riferimento
delle coppie di stazioni.
7.8.7.2 – Stazioni non in vista dell’osservatore - Metodo grafico
Il metodo consiste nel traccia le due rette di equazione:
h1 x +h 2 cosφ s y − δ∆α = 0
associate alle due differenze d’azimut. Nel tracciare le due rette rispetto
al punto stimato occorre distinguere il tipo di supporto (piano nautico o
piano di Mercatore). La posizione è data dall’intersezione delle due
rette.
I coefficienti angolari delle due rette di differenze di azimut sono dati
dalle due seguenti relazioni:
tan α BA
sin Z As sin Z Bs 
−


tan Bs 
 tan As
=
± 90°
 cosφ A cosτ As cosφ B cosτ Bs 
−


sin d Bs 
 sin d As
tan α BC
 sin ZCs sin Z Bs 
−


tan
tan Bs 

Cs
=
± 90°
 cosφ C cosτ Cs cosφ B cosτ Bs 
−


sin
d
sin d Bs

Cs

221
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
y
α BA
α BC
N
Os
x
Figura 7.30 – Punto nave con due rette di differenza d’azimut
7.8.7.3 – Metodo grafico (due cerchi capaci)
In navigazione costiera le misure angolari orizzontali sono utilizzate per
determinare la posizione del natante. Nell’esecuzione delle misure
angolari si scelgono tre punti cospicui della costa con un punto centrale
comune. Le misure angolari sono effettuati per mezzo del sestante
oppure con il cerchio Amici - Magnaghi con l'accortezza che i punti
cospicui siano tutti prossimi sull'orizzonte. La posizione, per mezzo di
due misure di angoli orizzontali (differenze d’azimut), si ottiene
tracciando i luoghi di posizione; per il tracciamento si utilizzano diversi
metodi: l’intersezione dei due luoghi di posizione fornisce la posizione
della nave.
B
A
90−∆α1
90−∆α1
90−∆α2
2∆α 2
2∆α1
C2
C1
∆α1
∆α 2
N
222
C
90−∆α 2
MARIO VULTAGGIO
Figura 7.31 – Punto nave con due cerchi capaci
con angoli minori di 90°
La figura 7.31 riporta la determinazione della posizione con
intersezione di due cerchi capaci associati alle misure ∆α1 (fra A e B) e
∆α 2 (fra B e C) con entrambi gli angoli misurati minore di 90°. Per il
tracciamento dei due cerchi occorre determinare il loro centro che si
ottiene facilmente tracciando due semirette che formano un angolo di
90 − ∆α con le linee di base e rivolte verso il lato in cui si trova
l’osservatore. Trovati i due centri (C1 e C2 ) si tracciano i due cerchi di
raggio AC1 e CC2.
2∆α 1
C1
B
∆α −90
1
A ∆α1 −90
90−∆α 2
∆α1
∆α 2
N
C
90−∆α2
2∆α2
C2
Figura 7.32 – Punto nave con due cerchi capaci con ∆α 1 > 90
La figura 7.32 illustra il caso con due misure angolari di cui uno
maggiore di 90° ( ∆α1 ). In questo caso, il centro C1 del cerchio
associato alla misura ∆α f 90 è determinato dall’intersezione di due
semirette che formano angolo di ∆α1 − 90 , uscenti dagli estremi della
linea di base AB dalla parte opposta in cui si trova l’osservatore.
In entrambi i casi la posizione del natante è fornita dall’intersezione dei
due cerchi ed indicata nelle figure dalla lettera N.
Un secondo metodo, riportato nelle due figure 7.33 e 7.34, sfrutta
alcune proprietà delle figure geometriche inscritte nei cerchi; per la
determinazione della posizione basta ricordare che i punti C1 e C2
rappresentano due punti dei cerchi capaci che appartengono anche ai
triangoli la cui ipotenusa è rappresentata dai diametri delle
223
CAPITOLO 7 – LA DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE IN NAVIGAZIONE
circonferenze stesse. Ricordando che l’angolo al centro è piatto,
l’angolo opposto al centro del cerchio è 90°.
B
A
C
90−∆α2
90−∆α 1
∆α 2
∆α1
∆ α2
C2
N
∆α1
C1
Figura 7.33 – Punto nave con due cerchi capaci
con angoli minori di 90°
Questa proprietà permette di determinare l’intersezione dei due cerchi
senza procedere al tracciamento delle due circonferenze. Infatti,
tracciando la semiretta dal punto centrale B inclinata di
90 − ∆α1 rispetto alla linea di base AB e la semiretta perpendicolare
sempre ad AB e passante per A, queste due semirette si incontrano nel
punti C1 che appartiene al cerchio capace associato alla misure ∆α1 .
Eseguendo la stessa procedura sulla linea di base BC si ottiene il punto
C2 che appartiene al cerchio capace relativo alla misura ∆α 2 .
Successivamente, è facile dimostrare che il punto nave si trova
sull’intersezione tra la congiungente i punti C1 e C2 e la perpendicolare
ad essa passante per il punto centrale B (v. figura 7.33).
224
MARIO VULTAGGIO
C1
∆α 1−90
A
∆α1
B
C
∆α2
90−∆α2
N
C2
Figura 7.34 – Punto nave con due cerchi capaci con ∆α 1 > 90
La figura 7.34 illustra il caso in cui uno dei due angoli (nella figura
∆α1 ) è maggiore di 90°; in questo caso la semiretta uscente da B forma
un angolo ∆α1 − 90o e si interseca con la perpendicolare alla linea di
base passante per A dalla parte opposta in cui si trova l’osservatore che
ha effettuato le misure ∆α1 e ∆α 2 .
225