Prova parziale di meccanica del 10/02/2015 Lo studente

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI GENOVA - Polo di La Spezia
FISICA GENERALE 1 - Prova parziale di meccanica del 10/02/2015
Lo studente descriva brevemente il procedimento usato e inserisca i valori
numerici solo dopo aver risolto il problema con calcoli simbolici, cioè dopo aver
eseguito i passaggi letterali utili alla soluzione del problema.
Per l’accelerazione di gravità si utilizzi il valore di 9.81 m/s2
• Se il procedimento non viene indicato la soluzione non sara’ valutata.
• I risultati finali devono essere espressi nelle unità del sistema
internazionale (SI) e con due cifre significative.
Me_A) Un punto materiale di
massa m=25 kg si trova su un
trampolino di lancio formato da un
piano liscio inclinato di 45° con
l’orizzontale, un tratto orizzontale
scambro con coefficiente di attrito
dinamico µ=0.75 lungo ℓ=10.5 m e
una guida circolare di ampiezza 45° e raggio R=10 m (vedi figura). Se il punto
parte con velocità vi=5.0 m/s da un’altezza hi=10m rispetto al suolo, calcolare:
1) la velocità che possiede il punto quando raggiunge l’altezza massima
2) nella stessa posizione, l’accelerazione radiale e tangenziale
3) nella stessa posizione, la quantità di moto.
Me_B) Due aste uguali di lunghezza ℓ=50 cm e massa m= 3.0 kg
ciascuna, sono saldate perpendicolarmente e formano la lettera “ T ”.
Il sistema delle due aste può ruotare senza attrito attorno ad un asse
orizzontale passante per il centro O dell’asta orizzontale (vedi figura).
Il sistema parte da fermo dalla posizione della figura. Quando passa
per la posizione di equilibrio calcolare:
1) la velocità angolare e lineare del centro di massa
2) l’accelerazione radiale e tangenziale del centro di massa
3) la forza che il perno in O applica al sistema.
UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI GENOVA - Polo di La Spezia
FISICA GENERALE 1 – Prova parziale di meccanica 10/02/2015
Lo studente descriva brevemente il procedimento usato e inserisca i valori
numerici solo dopo aver risolto il problema con calcoli simbolici, cioè dopo aver
eseguito i passaggi letterali utili alla soluzione del problema.
Per l’accelerazione di gravità si utilizzi il valore di 9.81 m/s2
• Se il procedimento non viene indicato la soluzione non sara’ valutata.
• I risultati finali devono essere espressi nelle unità del sistema
internazionale (SI) e con due cifre significative.
Me_A) Un punto materiale di
massa m=25 kg si trova su un
trampolino di lancio formato da un
piano liscio inclinato di 45° con
l’orizzontale, un tratto orizzontale
scambro con coefficiente di attrito
dinamico µ=0.75 lungo ℓ=11.5 m e
una guida circolare di ampiezza 45° e raggio R=10 m (vedi figura). Se il punto
parte con velocità vi=5.0 m/s da un’altezza hi=10m rispetto al suolo, calcolare:
1) l’altezza massima a cui arriva il punto rispetto al suolo
2) nella stessa posizione, l’accelerazione radiale e tangenziale
3) nella stessa posizione, la quantità di moto.
Me_B) Due aste uguali di lunghezza ℓ=50 cm e massa m= 3.0 kg
ciascuna, sono saldate perpendicolarmente e formano la lettera “ T ”. Il
sistema delle due aste può ruotare senza attrito attorno ad un asse
orizzontale passante per l’estremo O dell’asta orizzontale (vedi figura).
Il sistema parte da fermo dalla posizione della figura. Quando passa per
la posizione di equilibrio calcolare:
1)la velocità angolare e lineare del centro di massa
2) l’accelerazione radiale e tangenziale del centro di massa
3) la forza che il perno in O applica al sistema.
UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI GENOVA - Polo di La Spezia
FISICA GENERALE 1 – Soluzioni parziale di meccanica del 10/02/2015
Me_A) L’energia iniziale del punto materiale ௜ = ℎ௜ + ௜ ଶ (prendendo
ଶ
come zero dell’energia potenziale la quota del suolo) al termine del tratto
orizzontale è variata a causa del lavoro della forza di attrito ௔ = ௔ ∙ =
−
ℓ e prima di entrare nella guida circolare l’energia rimasta è ௥ =
ଵ
௜ +௔ = ℎ௜ + ௜ ଶ − ℓ. Il punto proseguirà il moto oltre la guida
ଶ
circolare se arrivato in cima ad altezza ℎ௖ = 1 − cos45° avrà ancora
energia cinetica ovvero ௥ > gℎ௖ altrimenti si ferma prima.
ଵ
Da notare che mentre per il piano inclinato e il tratto orizzontale il moto è
rettilineo ad accelerazione costante e quindi si possono utilizzare anche le
formule per il moto uniformemente accelerato una volta trovata della legge di
Newton l’accelerazione, per la guida circolare solo il calcolo dell’energia ci
permette un calcolo semplice.
Per i dati del problema con ℓ=10.5 m il punto abbandona il trampolino di
lancio (caso a) proseguendo lungo la direzione tangente alla fine della guida
(cioè inclinata di 45°) e il moto diventa quello di un proiettile, mentre per il
problema con ℓ=11.5 m non raggiunge la cima (caso b) e si ferma sulla guida
prima di tornare indietro.
Caso a:
1) l’energia in cima vale ௖ = ௥ − ℎ௖ da cui la velocità in cima è ௖ =
ଶሺாೝ ି௠௚௛೎ ሻ
௠
e scomponendo in componente x orizzontale e y verticale ௖௫ =
௖ cos45° e ௖௬ = ௖ sen45°. Come visto a lezione, la velocità in x si
conserva e nel massimo si annulla in y da cui ௠௔௫ = ௖௫ =2.1479 m/s≈2.1 m/s
2) il punto è sempre sottoposto all’accelerazione di gravità (accelerazione totale
del proiettile): alla massima altezza la velocità è solo orizzontale e
perpendicolare a g, quindi ௧ = 0, ௥ = =9.8 m/s2 (diretta verso il basso)
3) la quantità di moto è solo orizzontale ௫ = ௖௫ = 53.6972 kg m/s≈54 kg
௠
m/s, ௬ = 0 .
௦
Caso b:
1) Tutta l’energia rimasta viene convertita in energia potenziale e nel punti
di massima altezza la velocità si annulla ovvero ௥ = ℎ௠௔௫ da cui
ா
ℎ௠௔௫ = ೝ = 2.6492≈2.6.
௠௚
2) Come osservato sopra, alla quota massima la velocità è nulla e quindi
l’accelerazione radiale ௥ = = 0,invece l’accelerazione tangenziale,
௥
poiché ℎ௠௔௫ = 1 − cos con = 42.6861° angolo rispetto alla
verticale tratteggiata e, come in un pendolo, ௧ = = 6.6510
m/s2≈6.7 m/s2.
3) Essendo la velocità nulla, la quantità di moto è nulla.
௩మ
Me_B) La “ T “ è sospesa in O e bisogna trovare la posizione del CM rispetto ad
O. Essendo il CM di ciasuna asta nel punto medio, preso un asse x orizzontale e y
verticale, nella posizione di partenza il CM del sistema
Caso a:
௠଴ା௠ℓ/ଶ
஼ெ = 0 e ஼ெ =
= ℓ/4, il momento di inerzia ை =
ଶ௠
ℓ ଶ
ℓଶ + ℓଶ + = ℓଶ
ଵଶ
ଵଶ
ଶ
ଵଶ
ଵ
ଵ
ହ
Caso b:
஼ெ = 0 e ஼ெ =
ை =
ℓ
మ
௠଴ା௠(ି )
ଶ௠
= −ℓ/4, il momento di inerzia
ℓଶ + [ ℓଶ + ] = ℓଶ
ଵଶ
ଵଶ
ଶ
ଵଶ
ଵ
ℓ ଶ
ଵ
ହ
1) Nella posizione di equilibrio il CM sta sotto il punto O
in verticale di −ℓ/4 e quindi, preso lo zero dell’energia potenziale alla quota
ଶ௠௚ℓ
del CM in equilibrio, la conservazione dell’energia fornisce
=
ସ
ଶ ை
ଵ
ଶ
→ = ௠௚ℓ
ூೀ
=6.8621
rad/s≈6.9
rad/s
e
஼ெ = ℓ/4=0.8578
m/s≈0.86 m/s.
2) Nella posizione di equilibrio i momenti delle forze rispetto ad O sono nulli
(in particolare quello della forza peso perché lungo il braccio e quello della
reazione vincolare perché ha braccio nullo essendo applicata in O) e quindi
non c’è accelerazione angolare perciò anche quella tangenziale è nulla,
quella radiale ௥஼ெ =
௩಴ಾ మ
ℓ
ర
=5.8860 m/s2≈5.9 m/s2
3) Dalla prima equazione cardinale in direzione radiale 2 − = −2௥஼ெ
da cui la reazione vincolare del perno = 2(௥஼ெ + ) = 94.1760 N≈ 94
N.