Energia potenziale gravitazionale - web

L’energia potenziale gravitazionale
L’energia potenziale gravitazionale
Una massa m che si trova all’altezza h dalla superficie terrestre possiede un’energia potenziale U =
mgh. Questa espressione però è valida solamente vicino alla superficie terrestre dove g si può
considerare costante. Allontanandosi dalla superficie, g diminuisce con l’altezza, per cui
l’espressione U = mgh non è più valida. Si può dimostrare che una massa m posta alla distanza r dal
centro della Terra possiede un’energia potenziale gravitazionale rispetto alla Terra data da:
m ⋅ MT
U =−G
.
r
Osservazioni
• A una distanza molto grande dal centro della Terra l’energia potenziale gravitazionale della
massa m è praticamente nulla (infatti è data da una frazione con il denominatore molto grande).
Se la massa m si trova invece inizialmente più vicina alla Terra, il lavoro che la forza
gravitazionale compie per portarla sulla Terra è minore di quello che compirebbe partendo da
una distanza infinita, perché è minore lo spostamento compiuto dalla massa m per raggiungere
la Terra. Ora, noi sappiamo che il lavoro di una forza conservativa è dato dalla differenza tra
l’energia potenziale nel punto iniziale e quella nel punto finale; quindi per ogni valore di r U
deve essere minore di zero, che è l’energia potenziale all’infinito. Ciò giustifica il segno “─”
nella formula dell’energia potenziale.
N ⋅ m 2 kg ⋅ kg
⋅
= N ⋅ m = J , che
• L’unità di misura dell’energia potenziale gravitazionale è: [U ] =
kg 2
m
è l’unità di misura nel SI del lavoro e dell’energia.
Esempio 1 – Calcolo dell’energia potenziale di un satellite alla partenza e a una altezza di 6380 km
dalla superficie terrestre.
Vogliamo calcolare l’energia potenziale di un satellite di 2,50·103 kg alla partenza dalla superficie terrestre e
quando si trova a una altezza di 6,38·103 km.
Scriviamo i dati
Massa del satellite
m = 2,50·103 kg
Distanza dal centro della Terra alla partenza: RT = 6,38·103 km = 6,38·106 m
Altezza dalla superficie terrestre
h = 6,38·103 km = 6,38·106 m = RT
Incognite
Energia potenziale del satellite sulla superficie terrestre e alla quota h
Analisi e soluzione
Calcoliamo l’energia potenziale del satellite alla partenza:
U =−G
m ⋅ MT
N ⋅ m 2 2,50 ⋅ 10 3 kg ⋅ 5,98 ⋅ 10 24 kg
= − 6,67 ⋅ 10 −11
⋅
= −1,56 ⋅ 1011 J .
RT
kg 2
6,38 ⋅ 10 6 m
Determiniamo ora la distanza dal centro della Terra all’altezza di 6,38·103 km:
r ' = 6,38 ⋅106 m + 6,38 ⋅106 m = 12,8 ⋅106 m . L’energia potenziale del satellite è quindi:
2
m ⋅ MT
2,50 ⋅ 10 3 kg ⋅ 5,98 ⋅ 10 24 kg
−11 N ⋅ m
= − 6,67 ⋅ 10
⋅
= − 7,79 ⋅ 1010 J .
U =−G
2
6
RT
kg
12,8 ⋅ 10 m
Osserviamo che, visto che alla quota h la distanza dal centro della Terra è raddoppiata, l’energia potenziale si
è dimezzata.
Il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale per spostare una massa m da un punto a distanza r1 a
un altro punto a distanza r2 dal centro della Terra, è dato da:
m ⋅ MT 
m ⋅ MT 
m ⋅ MT
m ⋅ MT
 = − G
.
−  − G
+G
r1
r2 
r1
r2

In particolare se m cade al suolo da un’altezza h, si ha: r1 = RT + h ; e r2 = RT . Pertanto il lavoro
m ⋅ MT
m ⋅ MT
compiuto dalla forza gravitazionale è dato da: L = − G
+G
.
RT + h
RT
L = U1 ─ U2 ; L = − G

1
1 
− R + RT + h
 = GmM T ⋅ T
+
.
Raccogliamo GmM T : L = G m M T ⋅  −
(RT + h ) ⋅ h
 RT + h RT 
G ⋅ MT
Semplificando e riordinando i fattori: L = m ⋅
⋅h
(RT + h )⋅ RT
Se l’altezza h è molto minore di RT, cioè la massa m è vicina alla superficie terrestre, si ha:
G ⋅ MT
G ⋅ MT
L ≅ m⋅
⋅ h . Il termine
, come sappiamo, è uguale all’accelerazione di gravità g.
2
RT
RT2
Otteniamo quindi L = mg·h che è pari all’energia potenziale gravitazionale U nel caso di g costante.
Energia potenziale di un sistema di corpi
La formula dell’energia potenziale gravitazionale è valida per qualunque sistema costituito da due
m ⋅m
masse puntiformi m1 e m2 poste a una distanza r tra di loro: U = − G 1 2 . Questa formula calcola
r
l’energia potenziale di ciascuna massa rispetto all’altra.
Un sistema formato da tre masse puntiformi, m1, m2, m3, possiede un’energia potenziale totale data
dalla somma delle energie potenziali calcolate per ogni coppia di masse:
m ⋅m 
m ⋅m  
m ⋅m 
U = − G 1 2 +  − G 1 3  +  − G 2 3  , dove r1-2, r1-3 e r2-3 sono le distanze tra le rispettive
r1−2
r1−3  
r2−3 

masse.
Se il sistema è formato da più masse, la sua energia potenziale gravitazionale è data dalla somma
delle energie potenziali gravitazionali calcolate per ogni coppia di masse.
Esempio 2 – Calcolo dell’energia potenziale di tre masse
Tre masse occupano le seguenti posizioni: la massa m1 di 5,0 kg si trova nel punto di coordinate A(─ 4,5 m;
0); la massa m2 di 5,0 kg si trova nel punto di coordinate B(4,5 m; 0) e la massa m3 di 20 kg si trova nel punto
di coordinate C(0; 5,0 m). Vogliamo calcolare l’energia potenziale del sistema costituito dalle tre masse.
Scriviamo i dati
Valori e posizioni delle tre masse:
m1 = 5,0 kg posta in A(─ 4,5 m; 0)
m2 = 5,0 kg posta in B(4,5 m; 0)
m3 = 20 kg posta in C(0; 5,0 m)
Incognite
Energia potenziale del sistema costituito dalle tre masse
Analisi e soluzione
Calcoliamo
la
distanza
tra
le
masse
m1
e
m2:
r1−2 = x2 − x1 = 4,5 m - (-4,5 m) = 9,0 m
Calcoliamo la distanza tra la massa m1 e la massa m3 che, per la simmetria
delle loro posizioni, è uguale alla distanza tra la massa m2 e la massa m3:
r1−3 = r2−3 =
(x A )2 + ( yC )2
=
(− 4,5m )2 + (5,0m )2
= 6,7 m .
Calcoliamo l’energia potenziale del sistema formato dalle masse m1 e m2:
U1−2 = − G
m1 ⋅ m2
N ⋅ m 2 5,0kg ⋅ 5,0kg
= −6,67 ⋅10 −11
⋅
= −1,9 ⋅10 −10 J
r1−2
kg 2
9,0 m
L’energia potenziale del sistema delle masse m1 e m3 vale:
m1 ⋅ m3
N ⋅ m 2 5,0kg ⋅ 20kg
= −6,67 ⋅10 −11
⋅
= −10 ⋅10 −10 J
r1−3
kg 2
6,7 m
Vista la simmetria dei dati, l’energia potenziale del sistema delle masse m2 e m3 è uguale a quella
delle masse m1 e m3: U 2−3 =U1−3 = −10 ⋅10 −10 J .
L’energia potenziale del sistema formato dalle tre masse è data dalla somme delle energie potenziali
parziali: U tot = U1−2 + U1−3 + U 2−3 = − 1,9 ⋅10 −10 J + - 10 ⋅10-10 J + - 10 ⋅10-10 J = −22 ⋅10 −10 J .
U1−3 = − G
(
) (
)
Energia meccanica totale
Consideriamo una massa m che si trovi a una certa distanza r dal centro della Terra, e che si muova
r
r
con velocità v rispetto alla Terra stessa. La velocità v può essere tangente all’orbita nel caso in cui
la massa ruoti intorno alla Terra, oppure può essere diretta verso il centro del pianeta o in senso
opposto, a seconda che la massa stia precipitando o stia sfuggendo all’attrazione terrestre.
L’energia meccanica della massa m è data dalla somma della sua energia cinetica Ec e dell’energia
1
m MT
potenziale U: E = Ec + U. Cioè: E = mv 2 − G
.
2
r
Per il principio di conservazione dell’energia meccanica tale per cui in un sistema isolato l’energia
1 2
m MT
totale si conserva, si ha: Ec + U costante, ossia
mv − G
= costante .
2
r
La velocità della massa m e la sua distanza dal centro della Terra sono quindi regolate da questo
principio: se la massa m a un certo momento si porta a una distanza maggiore dalla Terra, la sua
energia potenziale aumenta; conseguentemente deve diminuire l’energia cinetica e quindi la
velocità, affinché la somma delle due energie rimanga costante. Viceversa, se la massa si porta a
una distanza minore, l’energia potenziale diminuisce e aumentano l’energia cinetica e la velocità.
Ciò è quanto succede sull’orbita ellittica percorsa dalla Terra nel suo moto di rivoluzione intorno al
Sole. Quando la Terra si trova al perielio, la sua distanza dal Sole è minima, come lo è la sua
energia potenziale; di conseguenza risultano massime l’energia cinetica e la velocità. All’afelio,
punto a distanza massima dal Sole, l’energia potenziale è massima, l’energia cinetica minima e, di
conseguenza, è minima la velocità.
Velocità di fuga
Determiniamo ora la formula che permette di calcolare il valore minimo della velocità che deve
avere una massa m per poter sfuggire definitivamente all’attrazione terrestre (velocità di fuga vf).
Una massa è definitivamente sfuggita all’attrazione terrestre a una distanza molto grande dalla
Terra, dove la forza di attrazione gravitazionale tra la massa m e la Terra è trascurabile, come pure
l’energia potenziale gravitazionale: U = 0. Quindi, a una distanza molto grande dalla Terra l’energia
meccanica totale del corpo coincide con la sua energia cinetica. Ora, l’energia cinetica non può
assumere valori minori di zero; pertanto, per il principio di conservazione dell’energia meccanica,
anche all’istante iniziale la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale della massa
mMT
1
2
rispetto alla Terra non può essere negativa: mv f − G
≥ 0 . Questa equazione definisce la
2
r
2GM T
1
m MT
velocità di fuga: mv 2 = G
, da cui v f =
, come la minima velocità che deve avere
2
r
RT
un corpo per allontanarsi indefinitamente dalla Terra.
Questa formula può essere utilizzata per calcolare la velocità di fuga da qualunque altro pianeta:
basta sostituire a MT e a RT i valori della massa e del raggio del pianeta considerato.
Esempio 3 – Calcolo dei valori della velocità di fuga dalla Terra e dalla Luna
Vogliamo calcolare la velocità di fuga dalla superficie terrestre e quella dalla superficie della Luna.
Scriviamo i dati
Massa della Terra
MT = 5,98·1024 kg;
massa della Luna
ML = 7,35·1022 kg
6
Raggio medio della Terra
RT = 6,38·10 m
raggio medio della Luna
RL = 1,74·106 m
Incognite
I valori della velocità di fuga vf rispettivamente dalla Terra e dalla Luna
Analisi e soluzione
La velocità di fuga dalla terra è data da:
N ⋅ m2
⋅ 5,98 ⋅ 10 24 kg
2
2GM T
kg
m
vf =
=
=11,2 ⋅ 10 3 .
6
RT
s
6,38 ⋅ 10 m
Calcoliamo ora la velocità di fuga dalla superficie della Luna:
2 ⋅ 6,67 ⋅ 10 −11
N ⋅ m2
2 ⋅ 6,67 ⋅ 10
⋅ 7,35 ⋅ 10 22 kg
2
kg
m
=
= 2,37 ⋅ 10 3 .
6
s
1,74 ⋅ 10 m
−11
vf =
2GM L
RL
Energia di un satellite in orbita circolare intorno alla Terra
La formula per calcolare la velocità tangenziale di un satellite in orbita circolare a distanza r dal
M
centro della Terra è: v = G ⋅ T . Il valore di questa velocità è detto prima velocità cosmica; nel
r
caso di orbita bassa possiamo sostituire a r il raggio terrestre ottenendo:
N ⋅ m2
⋅ 5,98 ⋅ 10 24 kg
GM T
kg 2
m
vf =
=
= 7,91 ⋅ 10 3 .
6
RT
s
6,38 ⋅ 10 m
Sostituendo l’espressione della prima velocità cosmica nella formula dell’energia otteniamo
6,67 ⋅ 10 −11
1 
M
l’energia totale del satellite in moto circolare: E = m G ⋅ T
2 
r
2

m MT 1
M
m MT
 −G
= mG ⋅ T − G

r
2
r
r

1 m MT
da cui: E = − G
.
2
r
Osservazioni
• L’energia totale è negativa: ciò è coerente con il fatto che il satellite, per poter restare in orbita,
deve possedere un’energia totale minore di quella di fuga, che è nulla.
1 m MT
• L’energia cinetica Ec = G
è uguale all’opposto dell’energia totale.
2
r
• L’energia cinetica è anche uguale alla metà del valore assoluto dell’energia potenziale
gravitazionale.
Tenendo conto del principio di conservazione dell’energia possiamo capire come si opera per
spostare una navicella spaziale da un’orbita circolare ad un’altra più bassa. Per ridurre il raggio
dell’orbita si azionano per un certo tempo i razzi frenanti, la velocità diminuisce e quindi la
navicella si avvicina alla Terra. Durante questo passaggio però l’energia potenziale gravitazionale
diminuisce, aumenta l’energia cinetica e quindi la velocità. Raggiunta l’orbita più bassa, quindi, la
navicella non riesce a rimanervi perché ha una velocità maggiore di quella che compete al raggio di
quell’orbita. Si devono allora azionare di nuovo i razzi frenanti per ridurre la velocità e, di
conseguenza, l’energia cinetica e totale della navicella. Senza questa seconda manovra la navicella
seguirebbe un’orbita ellittica.
Viceversa, per portare la navicella su un’orbita più alta, occorre azionare i razzi propulsori due
volte: la prima volta per raggiungere l’orbita più elevata, e la seconda volta per rimanervi.
In conclusione, per un corpo (satellite) lanciato a una certa quota dalla superficie della Terra con
una velocità iniziale tangenziale v0, si presentano quattro casi:
1. v0 = 0, il satellite cade in verticale verso il centro della Terra
km
2. 0 < v < 7,91
, il satellite cade sulla superficie terrestre
h
km
3. v = 7,91
, il satellite percorre un’orbita circolare intorno alla Terra
h
km
km
4. 7,91
, il satellite percorre un’orbita ellittica intorno alla Terra
< v < 11,2
h
h
km
, il satellite sfugge all’attrazione terrestre; in questo caso viene chiamato sonda
5. v ≥11,2
h
spaziale.
L’energia gravitazionale nel quotidiano
Perché sulla Luna non c’è atmosfera. La velocità di fuga dalla Luna è minore di quella relativa alla Terra,
per cui è più facile lanciare un satellite nello spazio dalla Luna che dalla Terra. La stessa bassa velocità di
fuga è anche causa dell’assenza di atmosfera sulla Luna. Un’eventuale atmosfera su di essa verrebbe presto
dispersa nello spazio perché le molecole dei gas che compongono l’atmosfera, a causa degli urti tra di loro,
raggiungono facilmente velocità maggiori di quella di fuga. Questo fatto non accade sulla Terra dove la
velocità di fuga è sufficientemente alta da non essere superata da quella delle molecole dell’aria.
I buchi neri. La velocità di fuga da un corpo di forma sferica dipende direttamente dalla radice quadrata
della massa e inversamente dalla radice quadrata del suo raggio. Quando una stella collassa (cioè
mantenendo costante la massa riduce il proprio raggio) la velocità di fuga cresce indefinitamente impedendo
a qualunque cosa, persino alla luce, di sfuggire alla sua attrazione gravitazionale. Per questo motivo tali
oggetti non possono essere visti direttamente e sono detti buchi neri.
Verifiche di comprensione
1. Come si calcola l’energia potenziale di una massa m posta ad un’altezza h dalla superficie terrestre, ove
g è costante?
2. Perché la formula U = mgh non è valida a grandi distanze dal centro della Terra?
3. Come si calcola l’energia potenziale gravitazionale di una massa m a grande distanza dal centro della
Terra?
4. Quanto vale l’energia potenziale gravitazionale di una massa rispetto alla Terra posta a una distanza
molto grande da essa?
5. Come si calcola il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale nello spostare una massa m da una distanza
r1 dal centro della Terra a una distanza r2?
6. In quali condizioni è valida l’espressione U = mgh per l’energia potenziale gravitazionale di una massa
m e come si dimostra?
7. Come si calcola l’energia potenziale gravitazionale di un sistema formato da più corpi?
8. Come si calcola l’energia meccanica totale di una massa m che si trova alla distanza r dal centro della
Terra, e che si muove con velocità v rispetto ad essa?
9. Perché al perielio la velocità della Terra nel suo moto di rivoluzione intorno al Sole è maggiore che
all’afelio?
10. Come si procedere per determinare la formula che calcola la velocità di fuga da una massa centrale M?
11. Che cos’è la prima velocità cosmica?
12. Come si calcola l’energia totale meccanica di un satellite in orbita circolare intorno alla Terra?
13. Perché l’energia totale di un satellite in orbita è negativa?
14. Come risulta il valore dell’energia cinetica di un satellite in orbita rispetto alla sua energia totale?
15. Come risulta il valore dell’energia cinetica di un satellite in orbita circolare rispetto alla sua energia
potenziale gravitazionale?
16. Come si muove una massa m lasciata libera a una certa altezza dalla superficie terrestre con velocità
iniziale nulla?
17. Come si muove una massa m lasciata libera a una certa altezza dalla superficie terrestre con velocità
iniziale tangenziale non nulla e minore della prima velocità cosmica (per r = RT)?
18. Come si muove una massa m lasciata libera a una certa altezza dalla superficie terrestre con velocità
iniziale tangenziale non nulla e maggiore della prima velocità cosmica (per r = RT), ma minore della
velocità di fuga?
19. Come si muove una massa m lasciata libera a una certa altezza dalla superficie terrestre con velocità
iniziale tangenziale maggiore o uguale alla velocità di fuga?
20. Quando si forma un buco nero?
21. Perché il buco nero si chiama in questo modo?
Verifiche di conoscenza
1. La velocità di fuga di un razzo di massa 100 kg rispetto a quella di un razzo di massa 100000 kg è:
a. minore
b. la stessa
c. maggiore
2. Se un pianeta venisse compresso fino a ridurre a
a. quadruplicherebbe
b. diverrebbe
1
4
1
il proprio raggio, la sua velocità di fuga:
4
d. si ridurrebbe della metà
e. resterebbe uguale
c. raddoppierebbe
3. Se viene aumentata la distanza tra i centri di due masse, la loro energia potenziale gravitazionale:
a. aumenta
b. diminuisce
c. resta costante
4. L’energia potenziale gravitazionale di un sistema di più corpi è data:
a. dalla media delle energie potenziali di ogni coppia di masse
b. dal prodotto delle energie potenziali di ogni coppia di masse
c. dalla somma delle energie potenziali di ogni coppia di masse
d. dall’energia potenziale tra la massa massima e quella minima
5. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
L'energia cinetica di un satellite in orbita circolare intorno alla Terra è uguale:
a. all’energia meccanica totale del satellite
b. all’opposto dell’energia potenziale gravitazionale
c. alla metà del valore assoluto dell’energia potenziale gravitazionale
Problemi
1. Calcola la velocità che deve avere un satellite della Luna per poter orbitare a una altezza di 100 km dalla
sua superficie.
2. Calcola la velocità di fuga da Mercurio: RM = 2,57·106 m; MM = 3,28·1023 kg.
3. Sapendo che la velocità di fuga da Marte vale 4,98
km
e che il suo diametro è 6,86·106 m, determina la
s
massa di Marte.
4. Un sistema è formato dalla massa m1 = 10,0 kg e dalla massa m2 = 20,0 kg i cui centri distano 1,25 m. a)
Calcola l’energia potenziale del sistema. b) Se le due masse vengono allontanate fino a triplicare la loro
distanza, quanto vale la nuova energia potenziale del sistema? c) Qual è il lavoro compiuto dalla forza
gravitazionale durante la fase di allontanamento delle due masse? d) Qual è il lavoro compiuto dalla
forza esterna al sistema che le ha allontanate?
5. Quattro corpi di massa rispettivamente: m1 = 2,0 kg, m2 = 5,0 kg, m3 = 2,0 kg, m4 = 5,0 kg, occupano
nell’ordine i vertici di un quadrato di lato 0,50 m. Calcola l’energia potenziale del sistema costituito dalle
quattro masse.
6. Un satellite di massa 50,0 kg ruota intorno al pianeta Venere su un’orbita circolare distante 200 km dalla
superficie del pianeta. Calcola la velocità del satellite, la sua energia totale, l’energia cinetica e l’energia
potenziale gravitazionale (MV= 4,83·1024 kg; RV=6,31·106 m).