Facoltà di Ingegneria. Corso di Fisica I Prova Scritta del 2 Luglio

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Facoltà di Ingegneria. Corso di Fisica I
Prova Scritta del 2 Luglio 2012
Prova A
Esercizio 1
Una particella di massa mp si trova sulla superficie liscia orizzontale di un carrello. La particella è
attaccata all’estremità di una molla di costante elastica k la cui altra estremità è fissata al carrello.
Al tempo to=0 la particella e il carrello sono in quiete e la molla è a riposo. A questo punto un
!
motore imprime al carrello un’accelerazione costante a = a o î rispetto al sistema del laboratorio
!
supposto inerziale. Quando il carrello ha raggiunto la velocità finale v f = v f î , a un tempo che
chiamiamo t1 il motore cessa di agire e il carrello procede con velocità costante.
Usando gli assi della figura e i seguenti valori numerici:
m p = 4.0 kg k = 42 N m a o = +5m s 2 v f = 32m s
si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli,
sia, ove richiesto, in valore numerico.
Si scrivano le componenti cartesiane dell’equazione del moto della particella nel
1
sistema solidale al carrello per t o < t < t1 .
Risolvendo le equazioni di cui alla domanda 2, si trovino i valori al tempo t1 della
coordinata cartesiana della particella lungo l’asse x, x p ( t1 ) e della componente
2
cartesiana della sua velocità v px ( t1 ) rispetto al sistema di riferimento del carrello. Si
prenda l’origine delle coordinate nella posizione occupata dalla particella al tempo to .
3
4
Si calcoli la componente x della legge oraria della particella, x p ( t )
per t >t1, nel
sistema del carrello e con la stessa scelta dell’origine delle coordinate di cui alla
domanda 2.
Si calcoli l’energia meccanica della particella, nel sistema del laboratorio, a t = t1.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova A
Esercizio 2
Al tempo to=0 un disco omogeneo di raggio R1, spessore trascurabile e massa M1, viene lasciato
cadere lungo la verticale con il suo centro di massa inizialmente fermo, con il suo asse parallelo alla
!
verticale e con una velocità angolare intorno a questo ! = !o k̂ (vedi figura a sinistra).
Dopo aver percorso un tratto verticale di lunghezza Δz, ad un tempo che chiameremo t1, il disco
colpisce la superficie superiore di un secondo disco appoggiato al suolo orizzontale e vi si attacca
formando con esso un unico corpo rigido. Il secondo disco, anch’esso di spessore trascurabile, di
raggio R2 e massa M2, e il cui asse è posto a distanza d<R-r da quello del primo disco, al momento
dell’impatto è fermo, e può poi scivolare senza attrito sul suolo (vedi figura a destra). Questo
secondo disco rimane sempre contatto con il suolo.
Nel sistema di riferimento solidale al suolo, assunto inerziale, facendo riferimento agli assi della
figura, con l’origine scelta nella posizione iniziale mostrata in, e usando infine i seguenti valori
numerici:
R 1 = 5.0 cm R 2 = 0.2 m M1 = 1.0 kg M 2 = 3.0 kg !z = 1.2 m d = 4.0 cm " o = +35rad s
Si calcoli la legge oraria (coordinate xcm, ycm e zcm in funzione del tempo) del centro di
1
massa del sistema per t ≥ to.
!
Si calcoli , per t>t1 la componente lungo z del momento angolare L del sistema rigido
2
formato dai due dischi, intorno al suo centro di massa.
!
Si calcoli per t ≥ t1 la velocità angolare !1 del sistema rigido di cui alle domande
3
precedenti.
4
Si calcolino le leggi orarie dei centri di massa dei due dischi x1 ( t ) , y1 ( t ) , z1 ( t ) e
x 2 ( t ) , y2 ( t ) , z 2 ( t ) per t ≥ t1.
Cognome e Nome:
Matricola:
Compito Scritto del 7 Settembre 2012
Prova A
Esercizio 1
Una particella di massa mp scorre lungo una guida circolare liscia indeformabile di raggio R fissata
al laboratorio supposto inerziale. Il piano in cui giace la guida fa un angolo ! con l’orizzontale
(vedi figura). Al tempo t < 0 la particella giace in quiete nel punto più basso della guida. Al tempo
!
to=0 la particella riceve una forza impulsiva di impulso I = Ix î + Iy ĵ + Iz k̂ (con riferimento agli assi
della figura).
Usando gli assi della figura, con l’origine nel centro della guida, usando nei calcoli, per gli angoli,
l’approssimazione Sin ( ! ) " Tan ( ! ) " ! Cos [ ! ] " 1# !2 2 ogni volta che ! " 0.1 rad , e utilizzando
i seguenti valori numerici:
m p = 0.3 kg; R = 0.7 m; ! = 68°; Ix = 20 mN s; Iy = 46 mN s; Iz = "12 mN s;
Si risponda alle seguenti domande fornendo per ogni risposta sia una formula sia, ove richiesto, il
risultato numerico:
!
Si calcolino le componenti cartesiane dell’impulso Iv esercitato dalla guida sulla
1
particella durante l’azione della forza impulsiva al tempo to.
Si calcoli il valore massimo ymax raggiunto dalla coordinata y della particella per t > to.
2
Si calcoli, per t > t o , la legge oraria x(t), y(t), e z(t) , dove x, y e z sono le coordinate
3
cartesiane della particella.
!
Si calcolino le componenti cartesiane della la reazione vincolare Fv della guida quando
4
la particella ritorna per la prima volta in O per t > to.
Pag 1
Cognome e Nome:
Matricola:
Compito Scritto del 7 Settembre 2012
Prova A
Esercizio 2
Un cilindro orizzontale, di raggio R e massa M, ruota senza attrito intorno ad un perno passante per
il suo asse di simmetria di rotazione. Sul cilindro, nel suo piano mediano, si avvolge una fune
inestensibile, di massa e spessore trascurabili, alla cui estremità libera è attaccata una sfera di
massa ms. Il cilindro è attaccato, attraverso alcuni supporti, ad una piattaforma orizzontale che si
muove lungo la verticale scorrendo su un sistema di rotaie. Al tempo to= 0, cilindro, sfera e
piattaforma sono istantaneamente fermi, con la fune disposta lungo la verticale e tesa, e con il
centro della sfera ad una quota verticale h al di sotto della quota a cui si trova l’asse del cilindro
!
(vedi figura). Sempre al tempo to la piattaforma ha un accelerazione verticale a o = a o k̂ che
mantiene durante tutta la durata del problema.
Utilizzando gli assi della figura, supponendo il laboratorio inerziale, e utilizzando infine i seguenti
valori numerici
M = 8.0 kg; R = 0.25 m; m s = 3 kg; a o = !3m s 2
Si risponda alle seguenti domande fornendo i risultati sia in formule sia, ove richiesto, in valore
numerico.
1
2
3
4
Pag 2
Si scrivano, nel sistema di! riferimento della piattaforma, le componenti cartesiane della
risultante dei momenti M O , rispetto al centro del cilindro, delle forze esterne che
agiscono sul sistema cilindro-sfera-fune.
Usando la componente x della seconda legge cardinale della meccanica, e la relazione
geometrica fra traslazione della sfera e rotazione del cilindro, si ricavi la velocità angolare
!
! = !x ( t ) î del cilindro in funzione del tempo per t >to e prima che la sfera tocchi il
pavimento della piattaforma
Si calcoli, per lo stesso intervallo di tempo di cui alla domanda 2, la tensione della fune
T(t) in funzione del tempo.
Si calcolino, per lo stesso! intervallo di tempo di cui alla domanda 2, le componenti
cartesiane della risultante Fv ( t ) delle reazioni vincolari che i supporti esercitano sull’asse
del cilindro
Cognome e Nome:
Matricola:
Compito Scritto del 13 Febbraio 2013
Prova A
Esercizio 1
Una particella puntiforme di massa mp è a contatto con la superficie liscia e orizzontale di un
carrello. La particella è attaccata all’estremità di una molla di costante elastica k. Inizialmente la
particella è sull’asse x, in quiete rispetto al carrello e in equilibrio sotto l’azione della molla e di un
sottile filo inestensibile e parallelo all’asse x come illustrato in figura. In questa situazione il filo è
sottoposto a una tensione T mentre può sopportare una tensione massima Tmax superata la quale
esso si rompe istantaneamente senza più esercitare forze sulla particella. Sempre nella situazione
iniziale, il carrello si muove di moto rettilineo uniforme rispetto al laboratorio, supposto inerziale,
!
con velocità vo = vo î . Al tempo to=0 viene azionato un freno e il carrello rallenta con accelerazione
!
costante a = a o î fino a fermarsi a t=t1.
Nel sistema di riferimento del carrello, usando gli assi della figura e ponendo l’origine delle
coordinate nella posizione di riposo della molla (posizione della particella per la quale la molla non
esercita forze), e usando infine i seguenti valori numerici:
m p = 0.25 kg, k = 14.0 N m, T = 0.50 N, Tmax = 1.0 N, v o = !8.2 m s, a o = 7.3 m s2
si risponda alle seguenti domande fornendo per ogni risposta sia una formula sia, ove richiesto, il
risultato numerico. La quarta domanda si riferisce invece al sistema di riferimento del laboratorio.
1
2
3
4
Pag 1
Si calcoli la coordinata xo della posizione iniziale della particella per t ≤ to
Si scriva la componente x dell’equazione del moto della particella per to < t < t1
Si scriva la componente x della legge oraria della particella, x(t), per to < t < t1
Si scriva l’energia totale E(t1) del sistema molla più particella nel sistema del
laboratorio al tempo t = t1.
Cognome e Nome:
Matricola:
Compito Scritto del 13 Febbraio 2013
Prova A
Esercizio 2
Un’automobile è schematizzata come un parallelepipedo omogeneo di massa M e quattro dischi,
rappresentanti le ruote, anch’essi omogenei, di raggio r e massa mr, imperniati a due assi orizzontali
e paralleli rigidamente attaccati al parallelepipedo. L’automobile si muove lungo un piano inclinato
di un angolo α rispetto all’orizzontale. Il piano è così scabro che le ruote possono solo rotolare e
!
non strisciare. Al tempo to=0, il parallelepipedo, che sta traslando rigidamente con velocità vo = vo î
(con riferimento agli assi della figura) sotto l’azione dei freni rallenta con accelerazione costante
!
a = a o î fino a fermarsi al tempo t1. I freni esercitano sulle quattro ruote forze e coppie uguali e gli
attriti fra le ruote e i loro assi sono trascurabili.
Supponendo che il sistema di riferimento del piano inclinato sia inerziale, prendendo il sistema di
assi della figura e usando i seguenti valori numerici:
M = 500 kg, m r = 25 kg, r = 0.45 m, ! = 15°, vo = 5.0 m s, a o = "1.0 m s 2
risultato numerico.
1
2
3
4
Pag 2
!
Si calcolino le componenti cartesiane della risultante Fa delle forze di attrito statico fra
le ruote e il piano fra to ≤ t ≤ t1.
!
Si calcolino le componenti cartesiane della velocità angolare ! , uguale per tutte le ruote,
in funzione del tempo fra to ≤ t ≤ t1.
Si! calcolino, in funzione del tempo fra to ≤ t ≤ t1, le componenti cartesiane del momento
M delle forze esercitate dai freni su ciascuna ruota, rispetto al centro di massa della
ruota stessa.
Si calcoli il lavoro totale W fatto dalle forze di attrito statico fra le ruote e il piano fra to ≤
t ≤ t1
Cognome e Nome:
Matricola:
Compito Scritto del 18 Luglio 2012
Prova A
Esercizio 1
Una particella di massa mp è attaccata ad un’estremità di una molla di costante elastica κ. L’altra
estremità della molla è attaccata ad un punto di aggancio A. Al tempo t < 0 la particella e l’aggancio
sono in quiete, e la particella è in equilibrio sotto l’azione della forza peso e della molla. Al tempo
!
to=0 un motore mette in movimento l’aggancio A con un’accelerazione costante a = a o k̂ con k̂ il
versore dell’asse verticale z (vedi figura). Al tempo t1 = 2! m p " il motore e l’aggancio A si
arrestano in un tempo così breve che l’arresto può considerarsi istantaneo.
Usando gli assi della figura, e utilizzando i seguenti valori numerici
m p = 0.10 kg; k = 12.0 N m; a o = !3.0 ms !2
risultato numerico:
Si scrivano, per t o < t < t1 , le tre componenti cartesiane dell’equazione del moto della
particella nel sistema di riferimento in cui l’aggancio è in quiete. Si prenda l’origine
1
nella posizione occupata dalla particella quando la molla è scarica.
Sempre nel sistema di riferimento di cui alla domanda 1, per gli stessi tempi e con la
stessa scelta dell’origine, si calcolino le componenti cartesiane della legge oraria della
2
particella (coordinate cartesiane x, y, e z in funzione del tempo).
Si calcolino, per t o < t < t1 , le componenti cartesiane in funzione del tempo, della forza
!
3
Fmolla che la molla esercita sulla particella.
4
Pag 1
Si calcoli, nel sistema del laboratorio, il lavoro totale W fatto sulla particella fra to e t1
Cognome e Nome:
Matricola:
Compito Scritto del 18 Luglio 2012
Prova A
Esercizio 2
!
Una sfera omogenea di massa M e raggio R viene spinta a risalire, da una forza motrice F applicata
al suo piano mediano, lungo un piano inclinato di un angolo α rispetto all’orizzontale, che termina
con un tratto orizzontale (vedi figura). La sfera rotola senza strisciare a contatto con il piano, e la
forza motrice è sempre tale che il centro della sfera si muova con velocità di modulo vo costante. Al
tempo t1 il punto di contatto fra la sfera e il piano giunge all’estremità di questo, che è posta ad
un’altezza h dal suolo del laboratorio. Per t> t1, la sfera procede liberamente dall’altro lato sotto
l’effetto della sola gravità.
Utilizzando gli assi della figura, supponendo il laboratorio inerziale, e utilizzando infine i seguenti
valori numerici
M = 5.0 kg; R = 0.25 m; h = 1.5m; ! = 20°; vo = 11m s
numerico.
1
2
3
4
Pag 2
Si calcolino le componenti cartesiane della forza motrice mentre la sfera è sulla parte
inclinata del piano.
!
Si calcolino le componenti cartesiane del momento angolare L della sfera rispetto al suo
centro di massa (momento angolare intrinseco) al tempo t1.
Si calcoli la legge oraria del centro di massa per t > t1 e prima che la sfera urti il suolo del
laboratorio.
!
Si calcolino le componenti cartesiane della velocità angolare ! della sfera per t > t1 e
prima che la sfera urti il suolo del laboratorio.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova Scritta del 13 Febbraio 2012
Prova A
Esercizio 1
Una particella di massa mp e dimensioni trascurabili è attaccata all’estremità di un’asta rigida di
lunghezza L, e di massa e spessori trascurabili. All’altro estremo l’asta è vincolata ad un perno
orizzontale, a essa perpendicolare, intorno al quale può ruotare senza attrito. Il perno orizzontale è a
sua volta fissato ad un carrello che può muoversi nel piano verticale scorrendo senz’attrito lungo
due guide verticali. Al tempo to=0, il carrello è fermo rispetto al sistema del laboratorio, assunto
inerziale e l’asta è ferma in posizione parallela all'asse y come in figura. A t>0 l’asta viene lasciata
libera di muoversi sotto l'azione della gravità. Nel momento, che chiameremo t1>to, in cui l’ asta si
trova per la prima volta parallela all’asse z della figura, il carrello viene lasciato andare e si mette
istantaneamente in moto sotto l'azione della gravità acquistando accelerazione !gk̂ essendo
trascurabili sia gli attriti che la reazione della particella (g è l’accelerazione di gravità e k̂ il versore
dell’asse z della figura).
Assumendo trascurabili tutti gli attriti, usando gli assi della figura e usando infine i seguenti valori
numerici:
m p = 4.0 kg; L = 2.0 m
!
Si calcolino, al tempo t1, le componenti cartesiane della velocità v ( t1 ) della particella.
1
!
Si calcolino le componenti cartesiane della reazione vincolare Fv che l’asta esercita
2
sulla particella un istante prima di t1.
!
Si calcolino le componenti cartesiane della reazione vincolare Fv che l’asta esercita
3
sulla particella un istante dopo t1.
Si calcoli, nel sistema di riferimento del carrello, la legge oraria della particella (cioè le
4
coordinate cartesiane x, y e z in funzione del tempo) per t >t1.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova A
Esercizio 2
Due dischi omogenei di massa M1 e M2 e raggio R1 e R2 rispettivamente, e di uguale spessore h,
scivolano senza attrito sul suolo orizzontale. Al tempo to=0 il disco di massa M1 è fermo ed il suo
asse passa per l’origine delle coordinate posta sul suolo (vedi figura). Il disco di massa M2 ruota
!
con velocità angolare !2 = !o k̂ e il suo centro di massa si muove invece di velocità costante
!
v 2 = v o î lungo una retta posta a distanza d dall’asse z come in figura. Quando i due dischi alla fine
si urtano, al tempo che chiamiamo t1, essi rimangono agganciati, senza deformarsi, formando un
unico corpo rigido.
figura, con l’origine scelta come detto nel testo , e usando infine i seguenti valori numerici:
M1 = 10 kg M 2 = 40 kg R 1 = 1.0 m R 2 = 2.0 m
h = 0.20 m v o = 6.0m s !o = 3.0 rad s d = 1.5 m
Si calcoli, per t ≥ t1, la legge oraria (coordinate xcm, ycm e zcm in funzione del tempo) del
1
centro di massa.
!
Si calcoli , per t=to il momento angolare totale L del sistema intorno al centro di massa
2
del sistema formato dai due dischi.
!
Si
calcoli
per
t
≥
t
1 la velocità angolare finale ! fin del sistema rigido formato dai due
3
dischi.
Si calcoli il lavoro totale W fatto dalle forze di contatto fra i due dischi durante il loro
4
urto.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova Scritta del 18 Gennaio 2012
Prova A
Esercizio 1
Un cannone è posto su di un carrello che si muove lungo una rotaia orizzontale fissata al suolo. Il
cannone spara un proiettile di massa m p cui imprime, nel sistema di riferimento in cui il cannone è
fermo, un’energia cinetica iniziale E k . Al tempo to=0 il cannone spara. Allo stesso tempo il
carrello possiede, rispetto al suolo, velocità parallela all’asse x della figura, di componente v x , e
accelera con accelerazione anch’essa parallela all’asse x e di componente a x . Il carrello mantiene
accelerazione costante durante tutto il tempo del problema.
Assumendo trascurabili le dimensioni del carrello, del cannone e del proiettile, assumendo
trascurabile l’attrito dell’aria, assumendo inerziale il sistema solidale al suolo, usando gli assi della
figura e usando infine i seguenti valori numerici:
m p = 4 kg; E k = 300 kJ; v x = +20m s; a x = !8m s 2
Si calcoli l’alzo ! rispetto all’orizzontale che il cannone deve possedere affinché il
proiettile, dopo essersi sollevato, colpisca il cannone al momento del suo ritorno al
suolo. (Si misuri ! come in figura prendendo come zero la posizione in cui lo sparo
1
avviene parallelamente e concordemente all’asse x e come verso di incremento quello
antiorario.)
Si calcoli, nel sistema di riferimento del carrello, l’energia cinetica E m posseduta dal
2
proiettile quando esso raggiunge la massima distanza dal carrello stesso.
Si calcoli il valore D della massima distanza dal carrello raggiunta dal proiettile di cui
3
alla domanda 2.
Si calcolino, nel sistema di riferimento del carrello, le componenti cartesiane del vettore
!
4
velocità v i del proiettile al momento finale dell’impatto con il carrello.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova Scritta del 18 Gennaio 2012
Prova A
Esercizio 2
Un disco omogeneo di spessore d e raggio R1, ruota senza attrito e senza contatto con il suolo,
intorno ad un perno rigido orizzontale di spessore trascurabile passante per il suo centro di massa.
La componente della velocità angolare del disco lungo la direzione del perno ha modulo !o e verso
di rotazione come indicato dalla freccia in figura. Il perno è imperniato a sua volta ad un asse
verticale rigido e di spessore trascurabile, così che il centro del disco si trova a distanza L dall’asse.
Il perno ruota senz’attrito intorno a detto asse con velocità angolare di modulo ! o e verso di
rotazione come indicato dalla freccia in figura. Si assuma il laboratorio inerziale e si prendano gli
assi come in figura in modo che il centro di massa del disco al tempo to=0 abbia coordinate y=z=0,
x=L.
Nel sistema di riferimento del laboratorio e usando i seguenti valori numerici:
M = 2.0 kg
R = 40 cm
d = 5 mm !o = 12rad s
" o = 0.2rad s
L=2m
!
Si
calcolino,
per
t=t
o, le componenti cartesiane del momento angolare L del disco rispetto
1
al suo centro di massa.
!
F
Si
calcolino,
per
t=t
le
componenti
cartesiane
della
reazione
vincolare
che il perno
o
v
2
orizzontale esercita sul disco.
!
M
Si
calcolino,
per
t=t
le
componenti
cartesiane
del
momento
rispetto al centro di
o
3
massa del disco, delle reazioni vincolari che il perno orizzontale esercita sul disco.
Si calcoli l’energia cinetica totale del disco per t ! t o
4
1
I momenti di inerzia centrali di un disco di raggio r e spessore d rispetto al suo asse di rivoluzione e rispetto ad un asse
ortogonale ad esso sono rispettivamente MR2/2 e M(d2+3R2)/12.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova Scritta del 30 Agosto 2011
Prova A
Esercizio 1
Una catapulta lancia una particella puntiforme di massa mp contro una parete verticale. La catapulta
è costituita da una rampa rettilinea di spessore trascurabile e lunghezza L, inclinata di un angolo !
rispetto all’orizzontale, e con l’estremità più bassa appoggiata al suolo (vedi figura), lungo la quale
la particella può scorrere senz’attrito. Lungo la rampa scorre un cursore costituito da una mensola di
spessore trascurabile, ortogonale alla rampa come in figura. Per il lancio la particella viene
appoggiata nello spigolo fra la rampa e il cursore che, mettendosi in moto, spinge la particella
lungo la rampa. Al tempo t < t o = 0 il cursore è fermo all’estremità inferiore della rampa e dunque
la particella è in quiete. A t = t o il cursore si mette in moto risalendo la rampa con accelerazione
costante di modulo ao. Giunta al termine della rampa, ad un tempo che indicheremo con t1, il
cursore si arresta istantaneamente e la particella prosegue verso la parete. L’urto fra la particella e la
parete è completamente elastico (l’energia della particella si conserva durante l’urto), e dopo aver
rimbalzato, la particella ritorna al suolo senza urtare la catapulta.
$"
#"
!"
Assumendo trascurabile l’attrito dell’aria, assumendo inerziale il sistema solidale al suolo, usando
gli assi della figura e usando infine i seguenti valori numerici:
m p = 8 kg ! = 35° a o = 40 m s 2 L = 40 m
!
Si calcoli il modulo della reazione vincolare Fv del cursore sulla particella per
1
t o < t < t1 .
Si calcoli il valore di t1.
2
Si calcolino i valori della componente x della velocità della particella subito prima, v px ,
3
e subito dopo, v dx , l’urto con la parete.
!
Si calcolino le componenti cartesiane del vettore velocità v i della particella al momento
4
finale dell’impatto con il suolo.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova Scritta del 30 Agosto 2011
Prova A
Esercizio 2
Un disco sottile omogeneo di raggio R, spessore trascurabile e massa M è fissato all’estremità di
un perno orizzontale di massa trascurabile e lunghezza d passante per il suo asse di rivoluzione. Il
disco può ruotare intorno al perno senza attrito. L’altra estremità del perno è fissata a una boccola di
massa trascurabile che può scorrere lungo un asse verticale e ruotare intorno ad esso senza attriti
(vedi figura). Il disco è appoggiato al suolo e il contatto ha un coefficiente di attrito statico così
elevato che il disco può solo rotolare senza strisciare. Al tempo t o = 0 il disco sta rotolando, il suo
!
centro di massa ha istantaneamente vettore posizione ro , e, a causa del rotolamento, il disco ruota
!
intorno al perno orizzontale con velocità angolare !o .
1
figura con l’origine nel punto in cui il perno è fissato all’asse, e assegnando i seguenti valori
numerici alle diverse grandezze:
!
!
M = 2.2 kg R = 8.0 cm d = 10 cm !o = " ( 4rad s ) î ro = d î
Usando la condizione del rotolamento, si calcoli la legge oraria del centro di massa
1
(coordinate cartesiane xcm, ycm e zcm in funzione del tempo) per t ! t o
!
2
Si calcolino, per t ! t o , le componenti cartesiane della forza totale F esercitata sul disco
!
L
Si
calcolino
le
componenti
cartesiane
del
momento
angolare
del disco rispetto al suo
3
centro di massa al tempo to.
!
Si calcolino, per t ! t o , le componenti cartesiane della risultante dei momenti ! rispetto
4
al centro di massa che il perno orizzontale esercita sul disco.
1
I momenti di inerzia centrali di un disco sottile intorno al suo asse di rivoluzione e intorno ad un asse ortogonale a
1
1
questo sono rispettivamente I! = MR 2 e I ! = MR 2
2
4
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova A
Esercizio 1
Al tempo to=0, un ascensore si trova in quiete al livello del suolo. Al suo interno una particella
puntiforme di massa mp si trova in equilibrio all’estremità di una molla di costante elastica κ, che
giace lungo la verticale e il cui altro estremo è fissato al soffitto dell’ascensore. Allo stesso tempo
all’ascensore viene impressa, tramite una forza impulsiva, una velocità iniziale di modulo vo diretta
lungo la verticale e verso l’alto, senza invece imprimergli nessuna velocità angolare. Si assuma che
gli attriti sull’ascensore siano trascurabili e che la sua massa sia molto più grande di quella della
particella, così che l’ascensore si muova, per t ! t o , sotto l’effetto della sola gravità. Si assuma
anche che il sistema di riferimento solidale al suolo sia inerziale e che l’ascensore e la molla siano
di dimensioni tali che la particella possa oscillare liberamente senza urtare l’ascensore o collassare
completamente la molla.
Usando i seguenti valori numerici:
m p = 0.45 kg
!
! = 60 N m v o = (15 m s ) j
Si calcoli il tempo tf al quale l’ascensore ritorna al suolo.
1
Per t o < t ! t f , si scrivano le componenti cartesiane dell’equazione del moto della
2
particella particella in un sistema di riferimento solidale all’ascensore. Si usino gli assi
della figura.
Risolvendo l’equazione del moto, si scrivano le coordinate cartesiane x(t), y(t) e z(t)
della particella (legge oraria) nel sistema di riferimento solidale all’ascensore, per
3
t o < t ! t f . Si usino gli assi della figura con l’origine nella posizione in cui la molla è
scarica.
Si calcoli l’energia meccanica Emech della particella nel sistema di riferimento
4
dell’ascensore per t o < t ! t f
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova A
Esercizio 2
Un disco omogeneo di raggio R e massa M può ruotare senz’attrito intorno a un perno passante per
il suo asse di simmetria. Il perno è orizzontale ed è sospeso al soffitto attraverso un’imbracatura ed
una fune come in figura. Fune e imbracatura sono inestensibili e prive di massa, così che il centro di
massa del cilindro può muoversi come un pendolo ideale di lunghezza L nel piano x-y della figura.
Al tempo! to=0, il cilindro è fermo e in equilibrio nel laboratorio, supposto inerziale, e riceve un
impulso Io applicato al suo bordo e tangente ad esso come in figura.
Assumendo i seguenti valori numerici per le diverse grandezze:
!
M = 2.2 kg R = 8 cm L = 0.8 m Io = ! ( 0.2 Ns ) î
e utilizzando infine gli assi della figura con l’origine nella posizione occupata dal centro del cilindro
al tempo to, si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di
definire i simboli, sia, ove richiesto, in valore numerico.
1
2
3
4
Si scriva, nell’approssimazione dei piccoli angoli, la coordinata x del centro di massa del
cilindro x cm ( t ) per t ! t o .
!
Si scrivano le componenti cartesiane del momento angolare L del sistema rispetto al
centro del cilindro al tempo t > to.
!
Si scrivano le componenti cartesiane della velocità angolare ! del cilindro in funzione
del tempo per t ! t o .
Si calcoli il lavoro totale W fatto dalla forza impulsiva.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova Scritta del 30 giugno 2011
Prova A
Esercizio 1
Una particella puntiforme di massa mp si trova sul pianale orizzontale e liscio di un carrello. Il
!
carrello si muove, rispetto al laboratorio considerato inerziale, con accelerazione costante a o diretta
come l’asse x della figura e ad esso concorde in verso. Al tempo to =0, la particella è ferma ed è
appoggiata ad una piccola parete verticale fissata al
! pianale del carrello (vedi figura). Allo stesso
tempo alla particella viene applicato un impulso Io parallelo al piano del carrello e con verso
“uscente” dalla parete come in figura.
Supponendo che il carrello sia di dimensioni tali che la particella, nel suo moto, non cada mai fuori
da esso, usando i seguenti valori numerici
m
!
m p = 0.25 kg
a o = 7.2 2 î
s
!
Io = 1.5 Ns î + 0.7Ns ˆj
e usando gli assi della figura con l’origine delle coordinate nella posizione occupata dalla particella
1
2
3
4
Si calcoli la distanza massima D dalla parete raggiunta dalla particella per t > to
Avendo raggiunto la distanza massima di cui alla domanda 1, la particella torna verso la
parete e, quando la urta, vi si arresta contro. Si calcoli, nel sistema di riferimento
solidale al carrello, il lavoro totale W fatto, durante l’impatto, dalla forza che la parete
esercita sulla particella.
Si calcoli la coordinata yi del punto in cui la particella si arresta contro la parete.
Si calcoli il tempo ta a cui la particella si arresta.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova Scritta del 30 giugno 2011
Prova A
Esercizio 2
Un sistema è costituito da un cilindro omogeneo di massa M e raggio R, e da quattro particelle
puntiformi uguali ciascuna di massa mp. Il cilindro è appoggiato su una superficie liscia su cui può
scivolare senza attrito. Al tempo to, il cilindro è in quiete e le quattro particelle lo urtano
simultaneamente nel suo piano mediano, in due coppie di punti diametralmente opposti, le coppie
giacendo su assi ortogonali come in figura. Nell’urto le particelle si attaccano alla superficie del
! ! ! !
cilindro. Al momento dell’impatto le particelle hanno velocità v1 , v 2 , v 3 e v 4 .
Assumendo il laboratorio inerziale, assumendo anche i seguenti valori numerici per le diverse
grandezze:
M = 1.2 kg m p = 25 g R = 5 cm
!
!
v1 = (50m s ) î v 2 = ( 73m s ) î
!
!
v 3 = ( 35m s ) ˆj v 4 = ! ( 48m s ) î
e utilizzando infine gli assi della figura con l’origine nella posizione occupata dal centro del cilindro
1
2
3
4
Si scrivano le coordinate del centro di massa x cm ( t ) e ycm ( t ) del sistema in funzione del
tempo (legge oraria) per t ! t o .
!
Si scrivano le componenti cartesiane del momento angolare L del sistema rispetto al
centro del cilindro al tempo t = to.
!
Si scrivano le componenti cartesiane della velocità angolare ! del cilindro in funzione
del tempo per t ! t o .
Si calcoli il lavoro totale W fatto dalle forze interne al sistema durante l’impatto fra le
particelle e il cilindro.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova Scritta del 31 gennaio 2011
Prova A
Esercizio 1
In un laboratorio inerziale, una particella puntiforme di massa M= 0.3 kg scorre su di una guida
liscia, rettilinea e orizzontale posta al suolo. Al tempo to=0, la particella si mette in moto da ferma
sotto la spinta di un motore che eroga sulla particella una potenza costante P=0.5 W. Al tempo t1,
quando la particella ha raggiunto una velocità di modulo |v1|=15 m/s, in un punto che chiameremo
O, il motore cessa la sua azione, e simultaneamente la particella entra in nuovo tratto di guida liscia,
in forma di un arco di circonferenza di raggio R= 10 m, sotteso da un angolo φ= π/3, giacente nel
piano verticale che contiene la guida rettilinea (vedi figura). Il raccordo fra le due guide è liscio. La
guida non ha arresti alle estremità, cosicché la particella, quando raggiunge l’altra estremità della
guida, continua abbandonando la guida stessa.
y
φ
O
x
Si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli,
1
2
3
4
!
Si calcolino le componenti cartesiane della reazione vincolare n della guida sulla
particella, un attimo prima che questa ne raggiunga l’estremità superiore. Si usino gli
assi della figura.
Si calcoli l’altezza massima h dal suolo raggiunta dalla particella dopo aver
abbandonato la guida.
Si calcoli la coordinata xs del punto d’impatto della particella con il suolo. Si usino gli
assi della figura e il punto O come origine.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova Scritta del 31 gennaio 2011
Prova A
Esercizio 2
Un disco di spessore trascurabile, di massa M=4 kg e raggio R= 5 cm, è appoggiato sul piano
orizzontale di un carrello. Il carrello si muove a contatto con il suolo di un laboratorio supposto
inerziale. L’attrito statico al contatto fra il disco e il piano del carrello è tale che il disco può solo
!
rotolare e non scivolare. Inizialmente il carrello si muove con velocità costante v c = v o î , dove vo =
1.2 m/s e î è il versore dell’asse x della figura. Il disco giace con !il suo asse di rivoluzione parallelo
all’asse y della figura e rotola con velocità angolare costante ! = !o ĵ , con Ωo=0.5 rad/s e ĵ il
versore dell’asse y.
!
A un tempo to, viene azionato un freno che imprime al carrello un’accelerazione costante a = a o î ,
con ao= -2 m/s2.
z
x
1
2
3
4
Usando il sistema di assi della figura, si scrivano le componenti cartesiane della forza di
!
attrito Fa che il carrello esercita sul disco per t<to.
!
Sempre per t< to si scrivano le componenti cartesiane del momento angolare totale L del
disco, nel sistema del laboratorio, rispetto al punto di contatto istantaneo fra il disco e il
carrello (vedi freccia nella figura)
Nel sistema di riferimento del carrello e per t > to, si scrivano l’equazione del moto del
centro di massa del disco e l’equazione cui obbedisce il momento angolare del disco
rispetto al proprio centro di massa. Si specifichino le forze e i momenti che intervengono
nelle due equazioni.
!
Nel sistema di riferimento del carrello, si scrivano le componenti del vettore velocità v cm
del centro di massa del disco per t > to fino al tempo al quale il carrello si arresta.
S’immagini il carrello lungo abbastanza da far sì che il disco non cada da esso.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova Scritta del 15 febbraio 2011
Prova A
Esercizio 1
Una particella, di dimensioni trascurabili e massa ! = 0.3!!", si trova sul fondo di una scatola
cilindrica di raggio ! = 1.4!!. La particella si trova a contatto sia della parete cilindrica verticale,
che è liscia, sia con il fondo scabro. Il coefficiente di attrito dinamico fra la particella e il fondo è
µd=0.8. L’asse del cilindro è in quiete rispetto al laboratorio supposto inerziale, e il cilindro ruota,
intorno al suo asse, rispetto al laboratorio, con velocità angolare Ω = 4.2!!"#/! !, dove ! è il
versore verticale orientato verso l’alto (vedi figura).
Al tempo ! = 0, la particella ha, rispetto al laboratorio, velocità ! = 3.3 ! ! ! con ! il versore
orizzontale orientato come in figura.
sia, ove richiesto, in valore numerico. Si usino gli assi della figura che sono fissi nel sistema del
laboratorio.
1
2
3
4
Si calcolino le componenti cartesiane della reazione vincolare totale ! esercitata sulla
particella al tempo ! = 0.
Si calcolino le componenti cartesiane dell’accelerazione !! !della particella al tempo
! = 0, nel sistema di riferimento del laboratorio.
Si calcolino, nel sistema del laboratorio, le componenti cartesiane del momento
angolare ℓ!della particella, rispetto all’origine delle coordinate e in funzione del tempo,
per ! ≥ 0
Si calcoli, nel sistema del laboratorio, il lavoro totale fatto dalla forza di attrito sulla
particella fra ! = 0 e ! = ∞.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova Scritta del 15 febbraio 2011
Prova A
Esercizio 2
Un parallelepipedo di massa ! = 8.5!!" e dimensioni ! = 10!!", ! = 20!!"!!!! = 15!!" (vedi
figura), è appoggiato su di un piano orizzontale liscio in un laboratorio inerziale. Al tempo ! = 0, il
parallelepipedo è fermo e riceve tre impulsi. Avendo scelto gli assi come in figura, con l’origine
delle coordinate nel centro del parallelepipedo, i tre impulsi hanno componenti e punti di
applicazione dati dalla seguente tabella.
Impulso
Componenti
Punto di applicazione
ℐ!
−20. ! − 35. ! !"
5. ! + 3. ! !"
ℐ!
40. ! + 20. ! !"
−3. ! − 10. ! !"
ℐ!
52.5. ! − 15. ! !"
−4. ! + 10. ! !"
Il momento di inerzia del parallelepipedo intorno all’asse z è ! !! + ! !
12
sia, ove richiesto, in valore numerico. Si usino le coordinate mostrate in figura che sono fisse nel
laboratorio.
1
Si calcoli la legge oraria del centro di massa del parallelepipedo per ! > 0.
2
Si calcolino le componenti cartesiane del vettore momento angolare L del parallelepipedo
rispetto all’origine delle coordinate per ! > 0.
Si calcolino le componenti cartesiane del vettore velocità angolare Ω del parallelepipedo
per ! > 0.
Si calcoli il lavoro totale fatto dal sistema di impulsi sul parallelepipedo.
3
4
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova Scritta dell’ 1 Settembre 2010
Prova A
Esercizio 1
Una particella puntiforme di massa mp= 0.12 kg si trova, al tempo to=0, ad un altezza h= 2 m, al di
sopra del pavimento orizzontale di un ascensore. Con riferimento agli assi della figura, la particella,
allo stesso tempo to, possiede una velocità, rispetto al laboratorio supposto inerziale,
r
v o = ( 0.3m s ) î − (0.2 m s ) ˆj. Sempre a t=to l’ascensore, rispetto al laboratorio, è dotato di una
r
r
velocità v as = ( 0.5m s ) ˆj e durante tutto il problema ha accelerazione a as = − 2.2m s2 ˆj. Al tempo
(
)
t1 la particella raggiunge il pavimento dell’ascensore, e, nel sistema di riferimento dell’ascensore,
rimbalza in modo completamente elastico, vale a dire durante l’urto l’energia della particella si
conserva. Essendo un piano liscio, durante l’urto, il pavimento non applica alla particella alcuna
forza parallela al pavimento stesso. Ai fini del problema, si immagini il pavimento dell’ascensore
così esteso da poterlo considerare un piano infinito.
1
2
3
4
Si calcoli il valore del tempo t1.
Si calcolino le componenti cartesiane della velocità della particella immediatamente
dopo t1 lungo gli assi della figura, nel sistema di riferimento solidale all’ascensore.
Si calcoli la differenza di altezza Δh rispetto al pavimento dell’ascensore, fra il punto
più alto raggiunto dalla particella dopo t1 e la posizione iniziale della particella.
Si calcoli il lavoro fatto sulla particella dalla reazione vincolare del pavimento, nel
sistema di riferimento del laboratorio.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova Scritta dell’ 1 Settembre 2010
Prova A
Esercizio 2
Un ciclista su una bicicletta si muove lungo una strada rettilinea orizzontale che prendiamo
parallela all’asse x. L’attrito statico fra la strada e le ruote è così alto che le ruote possono effettuare
solo un moto di puro rotolamento, senza dunque strisciare sulla strada. Ai fini del problema, il
ciclista ed il telaio della bicicletta possono essere approssimati come un unico sistema rigido di
massa Mc= 50 kg, mentre le ruote possono essere approssimate come due anelli sottili1 omogenei
ciascuno di massa mr= 1.5 kg e raggio R=28 cm. Inoltre tutti gli attriti interni alla bicicletta possono
essere trascurati. Al tempo to= 0 la bicicletta sta percorrendo la strada con velocità di modulo vo= 5
m/s nel verso delle x positive, quando il ciclista tocca il il suolo con i piedi terra imprimendo così
alla bicicletta una forza costante, parallela alla strada, opposta al verso del moto e di modulo
costante uguale a Fo= 100 N, finché, al tempo t1, la bicicletta non si arresta.
Si calcolino le componenti cartesiane, rispetto agli assi della figura, del momento
angolare di ciascuna ruota rispetto al suo centro di massa al tempo to.
Si scriva la componente x dell’equazione del moto del centro di massa del sistema per
t>to.
Si calcoli il lavoro totale fatto sul sistema fra to e t1.
1
2
3
4
1
Il momento di inerzia di un anello sottile di raggio R e massa ma, rispetto al suo asse di simmetria di rotazione, è
I = ma R .
2
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova A
Esercizio 1
In un parco di divertimenti una cabina viene fatta muovere, senza ruotare, in modo che il punto O’
della figura, per t t o 0 , segua, rispetto al sistema di coordinate della figura, la legge oraria
1 2
a o t , con x o 0.5m, v ox 1.2 m s , v oz 3 m s e
y O ' t 0 , x O ' t x o v ox t e z O ' t v oz t
2
ao
3m s2 , fino al tempo t1 a cui il punto O’ è tornato al suolo a zO’ 0 . Il sistema di coordinate
della figura è solidale al laboratorio, supposto inerziale, e l’origine O si trova al suolo.
Sul pavimento della cabina, nel punto O’, si trova un piccolo cannoncino, di dimensioni trascurabili,
che spara un proiettile di massa M 0.1 kg. Per misurare l’energia cinetica impressa dal cannone al
proiettile, prima di to, viene effettuato uno sparo di prova con la cabina ferma e con alzo
90°, e
si osserva che il cannone lancia il proiettile ad un’altezza h=3 m dal pavimento. Successivamente, al
tempo t o , cioè un istante dopo che la cabina è stata lanciata in movimento, il cannone spara di
nuovo il proiettile.
1
2
3
4
Si calcoli il modulo vi della velocità iniziale del proiettile, vale a dire la velocità
posseduta dal proiettile al tempo t o , nel sistema di riferimento della cabina.
Si calcoli l’alzo con cui il proiettile deve essere sparato, per colpire un punto posto sul
pavimento della cabina a una distanza L= 3.8 m dal cannone nella direzione dell’asse x
positivo (vedi figura).
Nell’ipotesi invece che lo sparo al tempo t o sia avvenuto con un alzo
45°, si
calcolino, nel sistema della figura, le coordinate cartesiane rispetto al laboratorio xmax
e zmax , del punto più alto raggiunto dal proiettile rispetto al pavimento della cabina.
Quando il proiettile raggiunge il pavimento della cabina, al termine della sua traiettoria,
vi si conficca. Si calcoli, nel sistema di riferimento della cabina, il lavoro totale W fatto
dalle forze che il pavimento esercita sul proiettile.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova A
Esercizio 2
Una girandola è schematizzata da un sottile disco omogeneo di raggio R 3 cm e massa M 0.2 kg
su cui agiscono quattro razzi di massa e dimensioni trascurabili. Ciascun razzo, che è posto nel
piano mediano del disco, quando acceso, esercita sul disco stesso una forza tangente alla sua
superficie esterna, ortogonale al raggio e orientata come in figura. Le forze hanno tutte lo stesso
modulo Fo 0.015 N. Al tempo to 0 i razzi vengono accesi simultaneamente. Prima di to il disco è
in quiete in un piano verticale ed è tenuto con il suo centro di massa a un’altezza h 1 m dal suolo.
Al tempo to, simultaneamente all’accensione dei razzi, il disco viene lasciato andare. Per la
risoluzione dell’esercizio si prenda il sistema di assi rappresentato in figura, con l’origine nella
posizione del centro di massa del disco per t to, e solidale al laboratorio.
2
Si calcoli la legge oraria del centro di massa del disco fra to e il tempo t1 al quale il bordo
del disco tocca il suolo .
Si calcoli il vettore velocità angolare
t del disco in funzione del tempo per to<t < t1 .
3
Si calcoli il lavoro totale W fatto dai razzi fra to e t1 .
4
Si calcoli il vettore momento angolare totale del disco, L , un istante prima di t1, rispetto
ad un polo Q posto al suolo, nel piano x-z della figura e con coordinata xQ +d =
cm.
1
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova Scritta del 24 Giugno 2010
Prova A
Esercizio 1
Una particella puntiforme di massa mp 0.3 kg, può scorrere senza attrito su di una guida liscia
rettilinea montata su di una piattaforma orizzontale come in figura. La particella è attaccata ad un
estremo di una molla di costante elastica 20 N/m, il cui altro estremo è fissato alla piattaforma.
Quando la molla è scarica la particella si trova al centro della guida. La piattaforma ruota in senso
antiorario intorno ad un asse verticale, che prenderemo come asse z, passante per il suo centro, con
una velocità angolare
5rad s kˆ rispetto al laboratorio supposto inerziale. La guida è
ortogonale alla retta che passa per i centri della piattaforma e della guida, posti a distanza L= 2.5 m
uno dall’altro. Molla e guida sono abbastanza lunghe in modo che la particella nei suoi movimenti
non raggiunga mai l’estremità della guida e non comprima mai la molla al massimo. In un sistema
di riferimento solidale alla piattaforma, prendiamo, come in figura, l’asse x parallelo alla guida,
l’asse y ortogonale ad essa e l’origine nel centro della piattaforma. In questo sistema di coordinate,
al tempo to 0, la particella ha coordinata x x o
15cm , e velocità, rispetto al sistema di
riferimento della piattaforma, v
2 m s î .
o
1
2
3
4
Si scriva la componente x dell’equazione del moto della particella nel sistema di
riferimento della piattaforma, (si presti attenzione a calcolare la componente della forza
centrifuga lungo la guida in funzione della posizione della particella).
Si calcoli la legge oraria della particella, nel sistema solidale alla piattaforma, per
t t o , usando il sistema di coordinate indicato.
Si calcoli, nel sistema della piattaforma, l’energia totale della particella per t t o ,
avendo preso lo zero dell’energia potenziale totale nel centro della guida.
Si calcolino, sempre nel riferimento della piattaforma, le componenti cartesiane della
reazione vincolare della guida in funzione del tempo, per t t o .
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova A
Esercizio 2
Un sistema rigido è costituito da due sfere tenute da un’asta orizzontale rigida e di massa
trascurabile. L’asta è parallela alla congiungente i due centri delle sfere e ha lunghezza tale che i
centri distino fra di loro L= 70 cm. L’asta si trova ad un’altezza h= 1.2 m dal suolo. Le sfere hanno
raggio rispettivamente R1 8 cm e R 2 5 cm , e massa rispettivamente M1= 20 kg e M2= 6 kg.
L’asse verticale di un motore, che prenderemo come asse z, è fissato all’asta nel punto di mezzo
della congiungente fra i centri delle sfere. Al tempo to=0, il motore mette in moto il sistema,
inizialmente fermo, imprimendogli un’accelerazione angolare d dt 0.5rad s2 kˆ . Al tempo
t1= 6 s, la tensione dell’asta supera il carico di rottura, l’asta si spezza istantaneamente, e le sfere si
muovono, da allora in poi, sotto l’effetto della sola forza peso. Si usi il sistema di coordinate della
figura, fissato al laboratorio supposto inerziale, con l’origine nell’incrocio fra l’asse del motore e
l’asta, e l’asse x lungo la direzione dell’asta al tempo t1 e diretto dalla sfera 2 alla sfera 1.
1
2
3
4
Si calcolino le componenti cartesiane della risultante delle forze esercitate dall’asse del
motore sul sistema un istante prima di t1.
Si calcoli la legge oraria del centro della sfera 1, fra t1 e l’istante in cui essa tocca il suolo.
Si calcolino i momento angolari delle due sfere, rispetto ai loro centri di massa (momenti
angolari intrinseci) un istante prima che esse tocchino il suolo.
Si calcoli il lavoro totale fatto dal motore fra to e t1
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova A
Cognome e Nome:
Matricola:
In un sistema di riferimento solidale alla nave, facendo riferimento agli assi della figura,
si scrivano le componenti cartesiane dell’equazione del moto del proiettile per
1
t o t t1 .
Nello stesso sistema di riferimento di cui alla domanda 1, e nel sistema di coordinate
2
con origine nella posizione del cannone, come mostrato in figura,si calcolino le
coordinate cartesiane del bersaglio al tempo t1.
Si calcoli il valore del tempo t1.
3
Sempre usando gli assi della figura, si calcolino le componenti del vettore velocità al
4
tempo t1, in un sistema di riferimento solidale alla costa.
.
Esercizio 1
Una piccola nave militare, inizialmente in quiete rispetto alla costa, supposta a sua volta in quiete in
un sistema inerziale, viene fatta oggetto dal fuoco nemico. Per sfuggire, essa si mette in moto da al
tempo to=0, con accelerazione costante di modulo ao= 0.9 m s-2. Simultaneamente essa spara un
colpo di cannone che lancia verso il nemico un proiettile. Nel sistema di riferimento della nave il
proiettile ha velocità iniziale v o di modulo v o 500 m s . v o fa un angolo
41 sull'orizzontale,
ed un angolo
103 con la direzione del moto della nave (asse x della figura). Il colpo raggiunge
il bersaglio al tempo t1. Per t o t t1 l’accelerazione della nave rimane costante. Ai fini del
problema si considerino trascurabili le dimensioni della nave, del cannone e del proiettile.
Domanda 3
Cognome e Nome:
Svolgimento e Commenti
Domanda 2
Domanda 4
Domanda 1
Prova A
Svolgimento Esercizio I
Matricola:
Valore numerico
Formula
Scrivere qui la risposta
Valore numerico
Formula
Valore numerico
Formula
Valore numerico
Formula
Prova A
Cognome e Nome:
Matricola:
Si calcoli il momento angolare dell’intero sistema piattaforma-cilindro, rispetto ad un
1
arbitrario polo, fisso nel sistema del laboratorio supposto inerziale, per t t o .
Si scriva il vettore momento angolare del cilindro rispetto al proprio centro di massa, fra
2
to e t1. Si usino gli assi della figura.
3
Si trovi il vettore velocità angolare della piattaforma al tempo t1.
4
Si calcoli l’energia meccanica totale del sistema al tempo t1.
Esercizio 2
Un sistema è costituito da una piattaforma orizzontale girevole costituita da un disco rigido di
raggio R=1 m e massa M=20 kg, e da un cilindro verticale di raggio r=20 cm, e massa mc= 2 kg. La
piattaforma può girare senz’attrito intorno a un asse verticale passante per il suo centro. Il cilindro
può girare, sempre senz’attrito, intorno ad un altro perno verticale fissato alla piattaforma a distanza
L=1.5 m dal suo centro. Internamente al sistema agisce un motore, di massa trascurabile, il cui asse
coincide con quello verticale di simmetria del cilindro (vedi figura). Al tempo to=0, con piattaforma
e cilindro in quiete, il motore viene acceso. Il motore esercita sul cilindro una sistema di forze
equivalente ad una coppia di momento costante, diretto lungo l’asse del cilindro, di modulo
=10-2N m. Al tempo t1=4 s il motore si spegne.
Domanda 3
Cognome e Nome:
Domanda 2
Domanda 4
Domanda 1
Prova A
Svolgimento Esercizio II
Matricola:
Valore numerico
Formula
Valore numerico
Formula
Valore numerico
Formula
Formula
Prova Scritta dell’ 8 Gennaio 2010
Prova A
Esercizio 1
Una slitta di massa ms=250 kg, è spinta da un motore e scivola su di una superficie innevata con un
coefficiente di attrito dinamico d=0.1. Il motore, che esercita sulla slitta una forza sempre parallela
alla direzione del moto, mantiene la slitta durante tutto il tragitto ad una velocità di modulo costante
uguale a vo=35 km/h. La slitta passa al tempo to=0 per il punto a della figura e procede nel verso
dell’asse x positivo. Dopo il tratto orizzontale a-b, di lunghezza la-b=2 km, la slitta sale sul tratto bc, inclinato di un angolo =20° sull’orizzontale, e poi scende lungo il tratto c-d inclinato di un
angolo =25° sull’orizzontale. Alla fine la slitta entra nel tratto orizzontale d-e, di lunghezza ld-e=1
km, e, al tempo t1 =600 s, raggiunge il punto e.
.
Facendo riferimento agli assi della figura, si calcolino le componenti cartesiane della
1
forza che il motore esercita sulla slitta nel tratto a-b e nel tratto d-e.
Facendo riferimento agli assi della figura, si calcolino le componenti cartesiane della
2
forza che il motore esercita sulla slitta nel tratto b-c e nel tratto c-d .
Si calcoli il lavoro fatto dalla forza di gravità durante l’intero percorso.
3
Si calcoli il lavoro fatto dal motore durante l’intero percorso.
4
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova Scritta dell’ 8 Gennaio 2010
Prova A
Esercizio 2
Un sistema fisico è costituito da un cilindro di raggio R= 0.5 m e massa M= 50 kg. Il cilindro ruota
senz’attrito intorno ad un perno di massa e raggio trascurabili. Il perno è sospeso, attraverso
un’opportuna forcella all’estremità di una molla di costante elastica =5 kN/m, la cui altra estremità
è attaccata al soffitto del laboratorio, supposto questo inerziale. Molla e forcella hanno anch’esse
massa trascurabile. Il sistema è simmetrico, così che, in equilibrio, il perno è orizzontale e la molla
è verticale.
Al tempo to=0, con il cilindro in quiete ed in equilibrio, un impulso
o
, di modulo
o=5
Ns, è
impresso al bordo del cilindro, tangenzialmente al bordo stesso. L’impulso, che ha la stessa
direzione dell’asse z della figura, e verso opposto a questo, è applicato ad un punto posto nel piano
mediano del cilindro.
Si scrivano le tre componenti cartesiane dell’equazione del moto del centro di massa del
1
cilindro. Si usino gli assi della figura.
Si risolvano le equazioni di cui alla domanda 1, trovando la legge oraria del centro di
2
massa per t>to. Si usino le direzioni degli assi della figura, e si prenda l’origine nella
posizione del centro di massa al tempo to.
3
Si calcolino le componenti cartesiane della velocità angolare del cilindro per t>to.
4
Si calcoli il lavoro totale fatto dalla forza impulsiva.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova Scritta del 3 Settembre 2009
Prova A
Esercizio 1
Una particella puntiforme di massa mp= 0.1 kg è attaccata all’estremità di una molla di massa
trascurabile e di costante elastica κ=4 N/m, e si può muovere senza attrito lungo un’asta rettilinea
orizzontale. L’asta è montata nel mezzo del piano orizzontale di un carrello, ortogonalmente alla
sua direzione di marcia. La posizione O occupata dalla particella quando la molla è a riposo è nel
centro del carrello. Il carrello si muove lungo una rotaia avente la forma di un arco di
circonferenza,. Di conseguenza l’asta ha direzione radiale ed il punto O percorre anch’esso un arco
di circonferenza. Questa circonferenza ha raggio R= 100 m. La velocità del punto O ha modulo
costante vo= 20 m/s. Al tempo to=0 il carrello è sulla curva, e nel sistema del carrello la particella
viene trovata in quiete ed in equilibrio. La rotaia curva si raccorda poi ad un tratto rettilineo.
Quando il carrello entra nel tratto rettilineo, ad un tempo t1,> to, il modulo della sua velocità rimane
costante ed uguale vo.
1
2
3
4
Si calcoli l’allungamento ΔL della molla al tempo to.
Si calcoli il modulo della velocità vp della particella, nel sistema di riferimento solidale
al carrello, quando la molla si trova per la prima volta a riposo dopo il tempo t1.
Per t>t1, si calcoli la legge oraria della particella nel sistema del carrello. Si prendano
l’origine delle coordinate nel punto O e le direzioni degli assi come in figura.
r
Sempre per t>t1, s i calcoli il vettore velocità della particella v s nel sistema di
riferimento solidale al suolo. Si usino sempre gli assi della figura.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova Scritta del 3 Settembre 2009
Prova A
Esercizio 2
Una sfera di raggio R= 5 cm e massa M= 10 kg, è attaccata all’estremità di un’asta orizzontale
rigida e di massa trascurabile. L’altra estremità dell’asta è attaccata, ortogonalmente, ad un perno
verticale. La lunghezza dell’asta è tale che il centro della sfera si muove ad una distanza L=15 cm
dall’asse del perno. La sfera è completamente appoggiata ad un piano orizzontale (la reazione
verticale dell’asta è trascurabile) ed il contatto ha un coefficiente di attrito dinamico µd=0.8.
Al tempo to=0 la sfera è ferma sull’asse x come in figura, e una particella puntiforme di massa mp=
0.3 kg, la urta e vi penetra mantenendo la sua traiettoria rettilinea, raggiungendone istantaneamente
il centro dove rimane conficcata. Subito prima dell’urto la particella ha una velocità parallela
all’asse y, di modulo vo= 15 m/s..
Si calcoli il momento angolare totale, rispetto al polo O della figura, del sistema sfera più
1
particella immediatamente dopo to
Si calcoli la lunghezza s della curva percorsa dal centro di massa della sfera fra to ed il
2
tempo t1 in cui esso si arresta
Si calcoli il valore del tempo t1
3
Si calcoli il modulo della reazione vincolare dell’asta per t>to.
4
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova A
Esercizio 1
Una particella puntiforme di massa mp= 0.1 kg è spinta da un razzo, di massa trascurabile, che
r
esercita su di essa una forza Fo di modulo Fo= 2 N. Al tempo to=0, quando il razzo viene acceso, la
particella si trova ferma al suolo in un punto che sceglieremo come origine del sistema di coordinate
(vedi figura). Al tempo t1=12 s, il motore del razzo si spegne. Durante tutto il tempo in cui il razzo è
r
acceso, Fo fa un angolo α=40° con l’orizzontale.
Si trascuri completamente l’attrito dell’aria e si consideri la Terra come un sistema di riferimento
inerziale
r
Si calcoli il vettore velocità v ( t1 ) della particella al tempo t1.
1
2
3
4
Si calcoli il lavoro totale Lmotore fatto dal motore.
Si calcolino le coordinate xi, yi e zi del punto di impatto della particella con il suolo.
Si calcoli il modulo della velocità della particella vi, un attimo prima di toccare il suolo.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova A
Esercizio 2
Un sistema è formato da un cubo omogeneo di massa M= 5 kg, e lato L=10 cm, appoggiato ad un
piano liscio. Il cubo è attaccato, nel centro di una delle sue facce, ad un’asta orizzontale di
lunghezza d=0.3 m. L’altra estremità dell’asta è attaccata ad un perno verticale azionato da un
motore (vedi figura).
Al tempo to=0, con cubo ed asta fermi, il motore viene acceso così che tutto il sistema comincia a
r
ruotare intorno al perno. Il motore fornisce un momento costante Mo = Mo kˆ , Mo=4 N m e con k̂ il
versore dell’asse z, parallelo all’asse del perno come in figura.
Quando il sistema ha effettuato un numero di giri completi Ng=2, a un tempo che chiameremo t1,
l’attacco dell’asta al cubo raggiunge la sua tensione di rottura ed il cubo si sgancia pertanto
dall’asta. Si considerino trascurabili le forze impartite al cubo dalla rottura dell’attacco.
Nota: il momento di inerzia di un cubo intorno ad un asse passante per i centri di due facce opposte è
r
1
Si calcoli il vettore velocità angolare del sistema Ω s ( t1 ) al tempo t1.
r
Si
calcolino
le
componenti
cartesiane
della
forza
che l’asta esercita sul cubo al tempo
F
asta
2
t1.
Si calcoli la legge oraria (coordinate in funzione del tempo), del centro di massa del cubo
3
per t ≥ t1. Si usino le coordinate della figura.
r
4
Si calcoli il vettore velocità angolare del cubo, Ω ( t ) per t ≥ t1.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova A
Esercizio 1
Una particella puntiforme di massa mp 0.3 kg, si trova sul piano orizzontale liscio di un carrello.
Sullo stesso piano si trova una molla di costante elastica 20 N/m. La molla ha un estremo fissato
sul piano del carrello, ha una lunghezza di riposo L=50 cm, massa trascurabile e giace lungo l’asse
x della figura. Anche la particella si trova sullo stesso asse. Inizialmente particella e carrello sono
fermi nel sistema del laboratorio supposto inerziale e la particella si trova ad una distanza d 25 cm
dall’estremità libera della molla (vedi figura per la disposizione). Al tempo to 0, il carrello si mette
in moto, nel verso dell’asse x positivo, con accelerazione costante di componente ax 6 m/s2.
Quando la particella viene in contatto con l’estremità libera della molla, essa vi rimane agganciata.
Si consideri trascurabile la forza impulsiva subita dalla particella all’atto dell’aggancio, ed il lavoro
fatto da detta forza.
1
Si calcoli il tempo t1 a cui la particella si aggancia alla molla
2
Si calcoli la lunghezza minima Lmin raggiunta dalla molla per t>t1
Si calcoli la componente x della legge oraria della particella nel sistema del carrello. Si
prenda il sistema di coordinate della figura con l’origine nella posizione in cui la
3
particella si aggancia alla molla.
Si calcoli la velocità della particella nel sistema di riferimento solidale al laboratorio
4
dopo che essa ha effettuato, rispetto al carrello, un’oscillazione completa a partire da t1.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova A
Esercizio 2
Un rullo, in forma di un cilindro circolare di raggio R=40 cm e massa mc=20 kg, è imperniato a
ruotare, senz’attrito, intorno a un asse orizzontale coincidente con il suo asse di simmetria (asse x
della figura). Sul rullo si avvolge una fune inestensibile e di massa e spessore trascurabili. All’altro
capo della fune si trova un peso, approssimabile a una particella puntiforme, di massa mp 2 kg.
Inizialmente il rullo e il peso sono in quiete, con il capo della fune attaccato al peso che giace
dunque lungo la verticale (vedi figura). Al tempo to=0 viene azionato un motore che esercita sul
rullo un momento costante di modulo Mo=10 N m, diretto come l’asse x della figura e concorde con
esso. Dopo un tempo t1 2 s, rullo e motore vengono arrestati. Ai fini del problema si consideri
l’arresto istantaneo.
1
Si calcoli la distanza z percorsa dal peso lungo z (vedi figura) per to t t1.
2
Si calcoli la velocità angolare del rullo un istante prima di t1.
3
Si calcoli il lavoro fatto dal motore per to t < t1
Supponendo che il tratto di fune ancora libero dal rullo sia, a t1, ancora sufficientemente
lungo così che il peso non possa urtare il rullo, si calcoli l’altezza massima raggiunta dal
4
peso per t>t1 misurata a partire dalla posizione raggiunta a t t1.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova di Esonero del 21 Giugno 2011
Prova A
Esercizio 1
Una particella di dimensioni trascurabili e massa m giace sulla superficie di un piano inclinato di un
angolo ! rispetto all’orizzontale, e il contatto fra la particella e la superficie ha attrito trascurabile.
La particella è attaccata all’estremità di una molla di massa trascurabile e costante elastica k.
Inizialmente la particella
si trova in quiete e in equilibrio. Al tempo to=0 un motore applica alla
!
particella una forza F (t ) , di modulo F(t), tangente il piano e diretta verso l’alto come in figura. La
forza agisce finché essa non ha erogato un lavoro totale W, dopo di che, ad un tempo che
chiameremo t1, la forza cessa di agire.
y
!
F t
()
x
O
α
Considerando il piano inclinato fermo in un laboratorio inerziale, usando il sistema di coordinate
della figura, avente l'origine coincidente con la posizione della particella per la quale la molla è
scarica, e utilizzando i seguenti valori numerici:
m = 4.0 kg ! = 27° k = 150 N m W = 0.1 J
risultato numerico:
Si calcoli il valore xeq della coordinata della posizione di equilibrio iniziale della
1
particella.
Si calcoli l’ampiezza delle oscillazioni !x della particella intorno a xeq per t > t1 .
2
3
4
Pag 1
Si calcoli il periodo delle oscillazioni di cui alla domanda 2.
Sapendo che, per t > t1 , la particella raggiunge per la prima volta la posizione di
equilibrio al tempo t = t1 + !t , con !t = 0.15 s, e che a tale tempo essa sta muovendosi
verso il basso, si calcoli quanto valeva la coordinata xt1 del punto in cui si trovava la
particella al tempo t1.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova A
Esercizio 2
Un piccolo roditore nella sua ruota da esercizio (vedi figura) è approssimato da una particella
puntiforme di massa m appoggiata alla parete interna di un cilindro cavo e aperto alle estremità. Il
cilindro ha raggio R, massa M e spessore trascurabile1. L’asse di rivoluzione del cilindro è
orizzontale e coincide con un perno intorno a cui il cilindro ruota senza attrito. Al tempo to =0, con
il cilindro fermo, il roditore viene appoggiato a questo, nel suo piano mediano, in modo che la
congiungente fra il centro del cilindro e la sua posizione faccia un angolo α con la verticale (vedi
figura). Il roditore, comincia a muover le zampe così velocemente che, mettendo il cilindro in
rotazione, riesce, rispetto al laboratorio, a rimanere fermo nella posizione iniziale fino ad un tempo
tf.
Assumendo che il laboratorio sia inerziale, attribuendo ai parametri i seguenti valori:
m = 0.2 kg M = 0.5 kg R = 0.3 m ! = 10°
e usando come coordinate quelle della figura con l’origine nel punto più basso del piano mediano
del cilindro, si risponda alle seguenti domande fornendo i risultati sia in formule sia, ove richiesto,
in valore numerico.
Si calcolino le coordinate del centro di massa del sistema per to < t < t f .
1
!
Si calcolino le componenti cartesiane della reazione vincolare ! esercitata dal perno per
2
to < t < t f
!
Si calcolino le componenti cartesiane della risultante ! dei momenti, rispetto al centro del
cilindro, delle forze esterne che agiscono sul sistema formato dalla particella e dal
3
cilindro per to < t < t f .
!
Si calcolino le componenti cartesiane della velocità angolare ! (t ) del cilindro per
4
to < t < t f .
1
Il momento di inerzia centrale di un cilindro cavo di spessore trascurabile, intorno al suo asse di rivoluzione è MR2.
Pag 2
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova di Esonero del 7 Maggio 2011
Prova A
Esercizio 1
Una nave, di dimensioni trascurabili ai fini de problema, si muove rispetto alla terraferma alla
!
!
velocità costante v o , parallela all’asse x, di verso ad esso concorde e di modulo v o uguale a 54
km/h. Sulla nave si trova un cannone che, a causa di un guasto meccanico, può solo sparare in
direzione ortogonale alla velocità della nave parallelamente all’asse y della figura e concordemente
!
!
a questo. Lo sparo imprime ai proiettili una velocità iniziale v p il cui modulo è v p = 250 m s .
Sulla terra ferma, immaginata inerziale ai fini del problema, e al livello del mare, si trova un
bersaglio posto a distanza L=2 km dalla retta che rappresenta la rotta della nave (vedi figura).
Usando i sistema di coordinate rappresentato in figura, solidale alla terra ferma e con l’origine nel
bersaglio, si risponda alle seguenti domande fornendo per ogni risposta sia una formula sia, ove
richiesto, il risultato numerico:
Si calcolino i possibili valori di alzo ϕ con cui il cannone deve sparare per colpire il
1
bersaglio, assumendo che la nave abbia la posizione giusta per farlo.
Si calcoli, per ognuno dei valori di ϕ calcolati alla domanda 1, il tempo Δt fra l’istante
2
di sparo, e quello in cui il proiettile raggiunge il bersaglio.
Si calcolino, per ognuno dei valori di ϕ calcolati alla domanda 1, le coordinate
3
cartesiane della nave, xs, ys e zs all’istante dello sparo
Si calcoli, per ognuno dei valori di ϕ calcolati alla domanda 1, l’altezza massima h dal
4
suolo raggiunta dal proiettile.
Pag 1
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova A
Esercizio 2
Una particella puntiforme di massa M= 0.52 kg si trova a contatto di un piano inclinato di un angolo
α=40° sull’orizzontale. Il piano è scabro e l’attrito fra esso e la particella ha coefficiente di attrito
statico µs=0.6 e coefficiente di attrito dinamico µd=0.4. Il carrello si muove lungo un piano
!
orizzontale rispetto al laboratorio supposto inerziale. Al tempo t=0, il carrello ha velocità v o ,
!
ovviamente orizzontale, diretta verso destra come indicato in figura e di modulo v o = 20 m s . Esso
!
ha inoltre accelerazione a o , parallela alla velocità ma di verso opposto (vedi figura), e modulo
!
a o = 4.0 m s 2 . Il carrello mantiene questa accelerazione fino a che, ad un tempo t1, non si sia
fermato. Al tempo t=0 la particella è ferma rispetto al piano inclinato.
Nel sistema di riferimento solidale al carrello, usando il sistema di coordinate della figura, con
l’asse x parallelo al piano inclinato e l’origine nella posizione occupata dalla particella a t=0, Si
risponda alle seguenti domande fornendo i risultati sia in formule sia, ove richiesto, in valore
numerico.
Si scrivano le componenti cartesiane dell’equazione del moto della particella al tempo
1
t=0, avendo cura di specificare, sia in formule che in numeri, tutte le forze che agiscono
su di essa.
Si scriva la legge oraria (coordinate cartesiane in funzione del tempo) della particella per
2
0 < t < t1, verificando in particolare se essa si metta in movimento o resti in quiete.
Si scrivano le componenti cartesiane dell’equazione del moto della particella per t1< t e
3
fino al tempo a cui essa raggiunge il fondo del piano inclinato.
Si scriva la legge oraria della particella per lo stesso intervallo di tempo di cui alla
4
domanda 3.
Pag 2
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova A
Esercizio 1
Un piccolo missile viene lanciato facendolo scivolare senza attrito lungo una rampa di lancio
35 sull’orizzontale. La massa del missile è M 102 kg , la rampa ha lunghezza
inclinata di
totale L 30 m , e le dimensioni del missile, contrariamente a quanto indicato in figura, sono
trascurabili. Il missile è spinto da un motore a razzo che esercita su di esso, quando acceso, una
forza costante di modulo Fo 5000 N . Per motivi costruttivi la forza fa un angolo
10 con la
direzione della rampa come indicato in figura. Al tempo t o 0 , con il missile fermo nell’estremo
inferiore della rampa, che è appoggiato al suolo, il motore viene acceso e il missile comincia a salire
lungo la rampa. Quando il missile ha percorso un tratto di lunghezza d 26 m , il motore ha un
guasto e si spegne. Il missile continua per inerzia, supera l’estremità superiore della rampa e
continua liberamente sotto l’effetto della sola forza peso, essendo trascurabile l’attrito con l’aria.
Quando il missile tocca il suolo, a causa dell’impatto si arresta istantaneamente. Si consideri
inerziale il sistema in cui la rampa è in quiete.
z
x
Fo
risultato numerico:
Si scrivano le componenti cartesiane della velocità v posseduta dal missile un istante
1
dopo aver lasciato l’estremità superiore della rampa. Si usino gli assi della figura
Si calcoli l’altezza massima h, rispetto al suolo, raggiunta dal missile durante tutto il suo
2
moto.
3
4
Pag 1
Si calcolino le componenti cartesiane dell’impulso delle forze esercitate dal suolo sul
missile al momento dell’impatto finale. Si usino sempre gli assi della figura
Si calcoli il lavoro totale W fatto dalle forze di cui alla domanda 3
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova A
Esercizio 2
Un cilindro, di massa M= 100 kg e raggio R=20 cm, è appoggiato su di un piano orizzontale su cui
può scorrere senza attrito. Sul cilindro, all’altezza del piano mediano, è avvolta strettamente una
fune. Al tempo to 0 il cilindro è fermo e, tirando la fune, ad esso viene applicata una forza costante
Fo Fo î , con Fo 400 N, nel punto di contatto fra il cilindro e la fune, che si trova ovviamente nel
piano mediano, sull’asse y, come indicato in figura. Dopo che si sono srotolati L 2 m di fune, ad
un tempo che chiameremo t1, questa si rompe e la forza cessa istantaneamente. Si risolva il
problema prendendo gli assi come in figura, con l’origine nel punto del piano, supposto fermo in un
sistema inerziale, occupato dal centro di massa del cilindro al tempo to.
z
y
x
O
Fo
numerico.
1
2
Si calcolino le coordinate cartesiane del centro di massa x cm t , y cm t e z cm t
funzione del tempo t per t0 t <t1
Si calcolino le componenti cartesiane della velocità angolare
3
funzione del tempo t per t0 t <t1
Si calcoli il valore del tempo t1
4
Si calcoli il lavoro totale W fatto dalla forza Fo .
Pag 2
in
Cognome e Nome:
t
del cilindro in
Matricola:
Prova di Esonero dell’ 8 Maggio 2010
Prova A
Esercizio 1
Una particella di dimensioni trascurabili e massa
0.25 kg , è posta su di una piattaforma
orizzontale scabra. Il coefficiente dell’attrito dinamico fra la particella e la piattaforma è d 0.8.
Rispetto al laboratorio, supposto inerziale, la piattaforma ruota in senso antiorario, intorno ad un
asse verticale passante per il suo centro, con velocità angolare di modulo
7 rad s. Un motore,
attraverso un’asta rigida orizzontale, di massa trascurabile e lunghezza L 1.5 m , costringe la
particella ad effettuare un moto circolare uniforme (vedi figura). Si assuma che l’asta abbia uno
snodo nel piano verticale, in modo che la forza Fa t esercitata da essa sulla particella non abbia
componenti verticali. Visto nel sistema di riferimento solidale alla piattaforma, il moto circolare
2.5rad s .
uniforme avviene in senso orario con velocità angolare di modulo
z
O
L
y
x
risultato numerico:
Si scrivano le tre componenti cartesiane dell’accelerazione della particella, nel sistema
di riferimento solidale alla piattaforma al tempo t=0. Si usi un sistema di assi con
l’origine nell’intersezione fra l’asse di rotazione e la piattaforma, l’asse z verticale e
1
orientato verso l’alto, e l’asse y orizzontale e scelto in modo che al tempo t=0 la
coordinata y della particella sia y = L (vedi figura)
Sempre nel sistema di riferimento solidale alla piattaforma, usando gli assi della figura,
si calcolino le componenti cartesiane della forza centrifuga e della forza di Coriolis
2
agenti sulla particella al tempo t=0.
Usando gli assi della figura, si calcolino le componenti cartesiane della forza di attrito
3
sulla particella al tempo t=0.
4
Pag 1
Usando gli assi della figura, si calcolino le componenti cartesiane della forza Fa t
esercitata sulla particella dall’asta al tempo t=0.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova di Esonero dell’8 Maggio 2010
Prova A
Esercizio 2
Una particella di massa
0.15 kg scorre senz’attrito sul piano orizzontale di un carrello. La
particella è attaccata all’estremità di una molla di costante elastica
40 N m e lunghezza a riposo
L 0.1m , la cui altra estremità è fissata al piano del carrello. Al tempo t o 0 la particella sta
oscillando lungo l’asse x della figura, lungo cui giace la molla, con un’ampiezza delle oscillazioni
x 5 mm . Allo stesso tempo il carrello si sta muovendo di moto rettilineo uniforme nel piano
orizzontale, anch’esso lungo l’asse x della figura, con velocità di componente v x t o
0.1m s
rispetto al laboratorio supposto inerziale. Al tempo t1, mentre la particella sta passando per la
posizione in cui la molla è a riposo nel verso positivo dell’asse x, il carrello urta un respingente e si
arresta in maniera praticamente istantanea. Il tempo di arresto è così breve che la posizione della
particella non ha tempo di cambiare.
L
x
O
vx to
numerico.
Prendendo l’origine delle coordinate in un sistema solidale al carrello nella posizione
1
della particella in cui la molla è a riposo quanto, tempo prima di t1 la particella aveva
coordinata x= x ?
2
Quanto vale la velocità della particella rispetto al carrello al tempo t1 , cioè un istante
prima di t1?
3
Quanto vale la velocità della particella rispetto al laboratorio al tempo t1 .
4
Si scriva la legge oraria della particella per t t1 , di nuovo in un sistema solidale al
carrello e prendendo l’origine delle coordinate nella posizione in cui la molla è a riposo.
Pag 2
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova A
Esercizio 1
Una motoslitta di massa ms 250 kg, risale, sotto la spinta del suo motore, un piano inclinato di un
angolo
20° sull'orizzontale. Il piano esercita sulla motoslitta un attrito dinamico con
coefficiente d. Al tempo to 0, la motoslitta imbocca il piano con una velocità diretta come l’asse
x della figura, di modulo vo 18 km/h. La motoslitta continua a percorrere il piano lungo l’asse x
con la stessa velocità, per un tratto di lunghezza L 250 m. A questo punto, ad un tempo che
chiameremo t1 il motore si spegne rimanendo in folle. Di conseguenza, dopo aver percorso un
ulteriore tratto x 2.5 m, la motoslitta si ferma. Poiché l’attrito statico non è sufficiente a tenere
la motoslitta in equilibrio, essa riparte verso il basso lungo l’asse x e raggiunge di nuovo l’imbocco
del piano al tempo t2.
risultato numerico:
1
Si calcoli il valore di
2
Si calcoli la forza esercitata dal motore sulla slitta per to t < t1.
3
4
Si calcoli la potenza erogata dal motore per to t < t1.
Si calcoli il modulo v1 della velocità della slitta subito prima dell’istante t2.
Pag 1
Cognome e Nome:
d.
Matricola:
Prova A
Esercizio 2
Una piattaforma, costituita da un disco omogeneo di massa mc 10 kg , raggio R 2 m e spessore
trascurabile, è vincolata a ruotare intorno a un asse verticale passante per il suo centro (l’asse z
della figura), nel sistema del laboratorio supposto inerziale.
La piattaforma, se in rotazione, è sottoposta ad una forza di attrito di momento costante, avente
modulo Ma= 0.6 N m, parallelo all’asse z e di verso opposto a quello della velocità angolare.
Sul bordo del disco si trova una particella di massa mp= 0.2 kg e dimensioni trascurabili.
Inizialmente disco e particella sono fermi, con la particella posta sull’asse x della figura. Al tempo
to=0, un meccanismo di sparo, fissato sulla piattaforma, di massa trascurabile e non rappresentato
nella figura, spara la particella con velocità iniziale v o , che ha componenti cartesiane vo,x=61 m/s,
vo,y= 35 m/s e vo,z=0 rispetto agli assi suddetti.
numerico.
1
Si calcoli la velocità angolare
2
Si calcoli la velocità angolare
3
4
Pag 2
o
della piattaforma immediatamente dopo to.
t della piattaforma in funzione del tempo per t>to.
Si calcoli l’angolo totale percorso dalla piattaforma fra to ed il tempo t1 in cui essa si
arresta. Per angolo totale intendiamo
t1
t o , con
l’angolo fra una linea
qualunque di riferimento tracciata sulla piattaforma e l’asse x assunto fisso nel
laboratorio (vedi figura).
Si calcoli l’impulso della risultante delle reazioni vincolari durante il tempo, assunto di
durata infinitesima, dello sparo.
Cognome e Nome:
Matricola:
Prova A
Esercizio 1
Una particella di dimensioni trascurabili è inizialmente in contatto di un piano inclinato liscio che
termina nel pavimento orizzontale del laboratorio. Il piano è inclinato sull’orizzontale di un angolo
25 , e, ai fini dello svolgimento del problema, può essere considerato semi infinito . Il piano è
in quiete nel sistema del laboratorio supposto inerziale. Al tempo t=0 la particella viene messa in
movimento da un punto, che prenderemo come origine delle coordinate, posto ad una quota
verticale h 20 m dal pavimento orizzontale. La particella viene messa in movimento con
componenti della velocità iniziale v x 0
4.0 m s, v y 0 5.2 m s e v z 0
rappresentati in figura (l’asse x è lungo la direzione di massima pendenza).
0 , lungo gli assi
risultato numerico:
Si scrivano le componenti cartesiane dell’equazione del moto della particella per
0 t t1 , dove t1 è il tempo a cui la particella raggiunge il piano orizzontale del
1
pavimento.
2
Si calcoli la legge oraria della particella per 0
3
Si calcolino le componenti cartesiane della velocità immediatamente prima di t1.
Si calcolino le componenti cartesiane della accelerazione tangenziale immediatamente
prima di t1.
4
Pag 1
Cognome e Nome:
t
t1 .
Matricola:
Prova A
Esercizio 2
In un gioco per bambini un particella di dimensioni trascurabili e massa m1 1.9 kg , si muove
lungo una guida verticale scabra montata su di una piattaforma orizzontale girevole che ruota con
velocità angolare k̂ rispetto al suolo, che può essere considerato inerziale. Qui
2.2 rad s e k̂ è
il versore dell’asse z diretto come in figura. La guida è posta a R 2.5 m dall’asse verticale della
piattaforma. La particella, scorre lungo la guida con un coefficiente di attrito dinamico d 1.4 ,
mentre il coefficiente di attrito statico è s 2.0 . La particella, sotto l’effetto della gravità e
dell’attrito statico, è ferma lungo la guida, è leggermente sollevata dalla piattaforma e si trova ad
una distanza h 2.0 m dall’estremità superiore di questa. Al tempo t=0 viene acceso un razzo che
esercita sulla particella una forza F F kˆ .
o
numerico.
Si calcoli il valore minimo Fmin di Fo per il quale la particella si mette in movimento al
1
tempo t=0 verso l’alto.
Supponendo che Fmin = Fo, si scrivano le componenti cartesiane di tutte le forze che
agiscono sulla particella nel sistema di riferimento solidale alla piattaforma per 0< t < t1,
2
dove t1 è il tempo a cui la particella raggiunge l’estremità della guida. Si usino gli assi
della figura.
Sempre supponendo che Fmin = Fo, si scriva la legge oraria della particella nel sistema di
3
riferimento solidale alla piattaforma per 0 < t < t1.
Sempre supponendo che Fmin = Fo, si scrivano le componenti cartesiane della velocità
4
della particella immediatamente prima di t1, nel sistema di riferimento solidale al suolo,
con gli assi in quell’istante sovrapposti a quelli solidali alla piattaforma mostrati in figura.
Pag 2
Cognome e Nome:
Matricola:
Compito Scritto del 21 Gennaio 2013
Prova A
Esercizio 1
Una particella puntiforme di massa mp si trova all’interno di una superficie cilindrica verticale e
liscia, e al tempo to=0 è a contatto con essa a un’altezza ho dal suolo e in modo che la sua proiezione
sul suolo fa un angolo θo con l’asse x delle coordinate come in figura. Sempre a to la velocità della
!
particella vo è un vettore orizzontale e tangente alla superficie nel punto di contatto fra questa e la
particella, ed è orientato come in figura.
Supponendo che il sistema di riferimento della superficie e del suolo sia inerziale, prendendo il
sistema di coordinate della figura, con l’origine al suolo e sull’asse della superficie cilindrica, e
usando infine i seguenti valori numerici:
!
m p = 0.15 kg, R = 1.0 m, h o = 1.5 m, !o = 2.4 rad, vo = 4.0 m s.
risultato numerico.
1
2
3
4
Pag 1
Si calcoli, in funzione del tempo, la componente Lz del momento angolare della
particella rispetto all’origine delle coordinate, fra t=to e l’istante, che chiameremo t1 in
cui essa tocca il suolo la prima volta.
!
Si calcoli il modulo della velocità v1 della particella un istante di tempo infinitesimo
prima di t1.
!
Si calcolino le componenti cartesiane della velocità v1 un istante di tempo infinitesimo
prima di t1.
Si calcolino le coordinate cartesiane del punto di impatto della particella con il suolo.
Cognome e Nome:
Matricola:
Compito Scritto del 21 Gennaio 2013
Prova A
Esercizio 2
Una sfera piena di massa M e raggio R, è posata su un nastro di metallo orizzontale, di spessore e
massa trascurabili, a sua volta appoggiato su un tavolo orizzontale come in figura. La faccia
superiore del nastro è ruvida cosicché l’attrito statico fra il nastro e la sfera è tale che essi non
possano strisciare uno rispetto all’altra. Al contrario la faccia del nastro a contatto con il tavolo e la
superficie di quest’ultimo sono entrambe lisce, cosicché fra nastro e tavolo l’attrito è trascurabile.
La sfera è inizialmente in quiete e il suo punto di contatto con il nastro si trova sull’asse x, che
coincide con l’asse di mezzeria del nastro, a una distanza d da una delle estremità del nastro stesso
(vedi figura). Al tempo to=0 al nastro viene applicata una forza costante che ha solo la componente
Fx. Al tempo incognito t1 >to il nastro si sfila completamente e la sfera procede a contatto diretto
con il tavolo, l’attrito con il quale è completamente trascurabile.
Supponendo che il sistema di riferimento del suolo sia inerziale, prendendo il sistema di coordinate
della figura, con l’origine al suolo nel punto di contatto fra sfera e nastro al tempo to, e usando
infine i seguenti valori numerici:
M = 29 kg, R = 0.10 m, d = 0.15 m, Fx = 250 N
risultato numerico.
1
2
3
4
Pag 2
Si calcolino le coordinate cartesiane xcm, ycm, e zcm del centro di massa della sfera in
funzione del tempo fra to ≤ t ≤ t1.
!
Si calcolino le componenti cartesiane della velocità angolare ! della sfera in funzione
del tempo fra to ≤ t ≤ t1.
!
Si calcolino le componenti cartesiane della velocità angolare ! della sfera in funzione
del tempo per t1 ≤ t.
!
Si calcoli il lavoro totale fatto dalla forza F fra to ≤ t ≤ t1
Cognome e Nome:
Matricola:

Facoltà di Ingegneria. Corso di Fisica I Prova Scritta del 2 Luglio

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