Progetto logica elementare

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Dopo aver affrontato il grande capitolo della Geometria (per altro non ancora portato a termine) è stato
concordato, con le insegnanti, di affrontare il tema della Logica.
La Logica è una scienza che si prefigge di ricercare le forme corrette del ragionamento, di stabilire in che
modo da una o più proposizioni sia possibile dedurre logicamente altre proposizioni.
È importante comunque considerare la Logica non tanto come elenco sterile di contenuti di apprendimento
sui quali verificare raggiunte abilità, ma soprattutto un metodo, un atteggiamento mentale per esplorare il
mondo concreto che ci circonda (e, in prima istanza, il linguaggio comune dal quale non si può prescindere
per comunicare).
Nel corso di questa sperimentazione prenderemo in considerazione alcuni dei concetti fondamentali e più
semplici della logica.
Alla programmazione verrà allegata una bibliografia minima utile alle insegnanti che vorranno approfondire
l’argomento anche dal punto di vista teorico.
Non verrà fatta inizialmente una divisione per classi in quanto è possibile iniziare in qualunque momento
(dalla scuola dell’infanzia alla quinta primaria) ma una divisione per argomenti con l’indicazione di quando è
possibile utilizzarli.
Innanzitutto è necessario sviluppare, nei bambini, la capacità di analizzare gli oggetti e descriverli ai
compagni attraverso giochi e attività mirate.
ENUNCIATO: enunciati (o proposizioni) sono frasi sintatticamente corrette della lingua alle quali possa dirsi
obiettivamente ed inequivocabilmente se sono vere o false.
Ogni volta che esprimiamo il nostro pensiero, pronunciamo un discorso,ecc. combiniamo tra loro delle
semplici parole formando le cosiddette frasi sintatticamente corrette per cui abbia senso dire, in modo
obiettivi senza equivoci e contraddizioni, che sono “vere” o che sono “false” . Gli enunciati, quindi, sono gli
elementi fondamentali della logica come lo sono i numeri nell’aritmetica.
VALORE DI VERITÁ
Ogni enunciato può avere <<due valori di verità>> o è “vero” o è “falso”. Se non si può attribuire un valore di
verità ci troviamo di fronte a un <<non enunciato>>.
<<Il minestrone è buono>> è un non enunciato perché questo valore di verità non è universalmente
riconosciuto; per lo stesso motivo sono non enunciati tutte le domande, le esclamazioni, le idee soggettive.
<<8 è un numero pari>> è un enunciato vero in quanto non confutabile mentre <<8 è un numero dispari>>
è un enunciato falso ma, potendo attribuire un valore di verità, è comunque un enunciato.
OPERAZIONI SUGLI ENUNCIATI
Gli enunciati possono essere enunciati elementari ( atomici cioè costituiti da una sola proposizione).
In un enunciato elementare c’è sempre un verbo visto che l’enunciato deve esprimere qualcosa su qualche
soggetto.
Gli enunciati però possono essere combinati fra loro per ottenere enunciati composti. In questo caso i verbi
sono sempre più di uno anche se a volte sono sottointesi per una questione di stile linguistico.
Ad esempio <<Il 2 è un numero primo pari>>. Questo enunciato composto è formato da due enunciati
elementari <<Il 2 è un numero primo>> e <<Il 2 è un numero pari>>.
Vi sono però altri modi per combinare tra loro questi enunciati:
<<Il numero 2 è primo e è pari>>
<<Il numero 2 è primo o è pari>>
<<Il numero 2 è primo e non è pari>>
<<Se il numero 2 è primo allora è pari>> …. e altri ancora.
Le parole che vengono usate per unire due o più enunciati si chiamano connettivi (da connettere: unire,
collegare). Noi ci occuperemo solo di <<e>>, <<o>>, <<non>> (anche se non in realtà non è un connettivo
ma, in questo caso, lo consideriamo come tale).
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IL CONNETTIVO <<NON>>
Questo connettivo, a differenza di altri, non lega tra loro due enunciati, ma opera su uno solo.
<<La farfalla vola>> è un enunciato vero, mentre inserendo non <<La farfalla non vola>> l’enunciato è falso.
Quindi il non modifica il valore di verità di un enunciato. È opportuno invece tralasciare con i bambini la
doppia negazione: << Non è vero che la farfalla non vola>> in quanto può creare confusione (Ricordiamo
che due negazioni affermano):
IL CONNETTIVO <<E>>
Nel caso della congiunzione <<e>> la proposizione è vera solo se entrambe le proposizioni componenti
sono vere ed è falsa in ogni altro caso.
A) <<Gioco a carte>>
B) << Bevo l’aranciata>>
Possiamo avere quattro possibilità:
1) A B sono entrambe false
2) A falsa B vera
3) A vera B falsa
4) A B entrambe vere.
La proposizione <<Gioco a carte e bevo l’aranciata>> è vera solo nel caso che tutti e due gli enunciati di
partenza siano veri.
IL CONNETTIVO <<O>>
Nel caso della congiunzione <<o>> la proposizione è falsa solo se entrambe le proposizioni componenti
sono false ed è vera in ogni altro caso.
A) <<Gioco a carte>>
B) << Bevo l’aranciata>>
Possiamo avere quattro possibilità:
5) A B sono entrambe false
6) A falsa B vera
7) A vera B falsa
8) A B entrambe vere.
La proposizione <<Gioco a carte o bevo l’aranciata>> è falsa solo nel caso che tutti e due gli enunciati di
partenza siano falsi.
TAVOLE DI VERITÁ
Costruzione delle tavole di verità.
LA LOGICA DEI PREDICATI: LA TEORIA INGENUA DEGLI INSIEMI.
Le forme preposizionali permettono di evidenziare il legame tra Logica e Insiemi.
ENUNCIATI APERTI
L’enunciato minimo è formato da un gruppo nominale e da un gruppo verbale. Se all’enunciato atomico
togliamo il gruppo nominale non è più possibile stabilire un valore di verità. <<…..è maggiore di 5>> per
rendere vera o falsa questa proposizione basta inserire il gruppo nominale. Bisogna ricordare che abbiamo
un enunciato aperto solo se, chiudendolo, otteniamo un enunciato.
Bisogna prestare molta attenzione, ad esempio, alle frasi del tipo <<Il giocattolo è di legno>>. Questo ha
l’apparenza di un enunciato. In realtà è un enunciato aperto in quanto il gruppo nominale indica solo
l’universo linguistico di appartenenza è un insieme di giocattoli. Per chiudere questo enunciato è necessario
indicare l’oggetto di cui si parla <<Questo giocattolo è di legno>>.
QUANTIFICATORI
L’enunciato precedente: <<….è maggiore di 5>> può essere chiuso in questo modo: <<Ogni numero è
maggiore di 5>> (falso) oppure <<Esiste almeno un numero maggiore di 5>> (vero).
Ogni, almeno uno, alcuni, ecc. sono quantificatori e servono a chiudere gli enunciati per poter stabilire il
valore di verità.
INSIEME - SOLUZIONE (E VICEVERSA).
Attraverso gli enunciati aperti vengono introdotti gli insiemi. La formazione dell’insieme avviene scegliendo
un universo entro cui operare e chiudendo gli enunciati aperti rendendoli veri. Ad esempio nell’insieme
universo dei primi dieci numeri naturali consideriamo l’enunciato aperto <<…è maggiore di 5>>. Al posto dei
puntini possiamo mettere 0,1,2,3,4 ottenendo così l’insieme soluzione. Se invece inseriamo 5,6,7,8,9
otteniamo enunciati falsi. Giungiamo così al concetto di appartenenza.
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INSIEME UNIVERSO – INSIEME VUOTO
Per costruire l’insieme vuoto basta cercare una proprietà impossibile << …. Avere la patente di guida>> se
al posto dei puntini scegliamo come universo i bambini della classe terza si otterrà l’insieme vuoto. Lo stesso
discorso vale per l’insieme con un solo elemento.
INCLUSIONE O SOTTOINSIEME
Fissato un insieme universo U ed un insieme A possiamo affermare che l’insieme B è incluso in A se e solo
se tutti gli elementi che appartengono a B appartengono anche ad A.
Consideriamo l’insieme – universo dei primi venti numeri naturali.
A) insieme dei numeri naturali pari
B) insieme dei numeri naturali scritti con due cifre
INTERSEZIONE TRA INSIEMI
La congiunzione fra due enunciati aperti si ottiene congiungendo i due gruppi verbali che compaiono negli
enunciati verbali stessi.
A) <<….è gialla>>
B) <<…è di cotone>>
la loro congiunzione sarà <<…. è gialla e di cotone>>
Passando agli insieme avremo perciò che gli elementi dell’insieme individuato dalla congiunzione saranno gli
elementi che appartengono sia ad A che a B. il nuovo insieme ottenuto è l’intersezione dei primi due.
COPPIE ORDINATE E INSIEME CARTESIANO
Dati due insiemi A, B chiamiamo coppia ordinata la scrittura (a;b) dove a appartiene ad A e b appartiene a B.
l’ordine in cui si considerano gli insiemi è importante infatti (a;b) è diversa da (b;a); l’ordine della coppia
indica che l’elemento al primo posto appartiene al primo insieme mentre l’elemento al secondo posto
appartiene al secondo insieme.
VARI TIPI DI RAPPRESENTAZIONE DEGLI INSIEMI.
Diagrammi di Eulero-Venn, di Carroll, ad albero, tabelle semplici, tabelle a doppia entrata. Esistono altri tipi
di rappresentazione ma noi utilizzeremo prevalentemente queste.
LE RELAZIONI
Esistono enunciati aperti dove non solo varia il gruppo nominale ma varia anche una componente del gruppo
verbale ottenendo così un enunciato aperto ai due estremi. Chiudere questi enunciati significa chiuderli nei
due estremi per ottenere enunciati a cui è possibile attribuire un valore di verità. Ad esempio nell’insieme
universo dei primi 20 numeri naturali t<<… è un divisore di….>> se mettiamo al posto dei puntini << 5 è
divisore di 2>> otterremo un enunciato falso mentre se mettiamo <<3 è divisore di 9>> otteniamo un
enunciato vero.
Trovare l’insieme soluzione di un enunciato del tipo considerato significa trovare tutte le coppie ordinate che
rendono vero l’enunciato stesso.
Ogni relazione può essere rappresentata in tre modi diversi: con le frecce, con il grafico cartesiano o con
l’elenco delle coppie.
Obiettivi Generali
- Saper analizzare gli oggetti attraverso i sensi.
- Riconoscimento degli enunciati
- Attribuzione del valore di verità
- Conoscere il significato dei connettivi e, o, non, e di alcune loro combinazioni nel calcolo delle
proposizioni
- Costruzione e comprensione delle tavole di verità.
- Saper chiudere enunciati aperti.
- Analizzare l’appartenenza o la non appartenenza di un <<oggetto>> ad un determinato insieme.
- Distinguere la relazione di appartenenza dalla relazione di inclusione (sottoinsiemi).
- Riconoscere il legame dei connettivi con gli insiemi ed eseguire alcune operazioni con essi: l’insieme
complementare e l’intersezione.
- Comprendere ed utilizzare correttamente proposizioni contenenti i quantificatori.
- Conoscere diversi strumenti di rappresentazione degli insiemi: diagramma di Eulero-Venn, di Carroll,
ad albero a frecce, tabelle semplici e tabelle a doppia entrata.
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Saper utilizzare le rappresentazioni per organizzare razionalmente oggetti e per rappresentare
relazioni o procedimenti nella soluzione dei problemi.
Sviluppare la capacità di individuare e usare relazioni esistenti tra insiemi dati.
Tutte le attività proposte di seguito devono essere prese come spunto per sviluppare nuove attività che via
via si vengono a creare durante il loro svolgimento e devono essere adattate alla classe o ai bambini. È
indispensabile, a tutti i livelli scolastici, utilizzare il gioco per sviluppare gli argomenti proposti ed evitare che
una eccessiva formalizzazione allontani gli allievi da questo percorso.
Il nostro obiettivo principale è quello di accompagnare gli allievi a sviluppare lo spirito di osservazione e una
buona capacità di riflessione che sono alla base non solo della matematica ma di qualunque disciplina
compresa quella linguistica.
Saper analizzare gli oggetti attraverso i sensi (queste prime attività sono indicate anche per la scuola
dell’infanzia)
SOMIGLIANZE e DIFFERENZE
COMPETENZA: Utilizzare semplici linguaggi logici
Obiettivo Specifico: Osservare e confrontare oggetti per rilevare uguaglianze e differenze: compiere
classificazioni.
Commento all’Obiettivo Specifico: La classificazione è alla base del pensiero logico-matematico e della
conoscenza stessa. Classificare, infatti, significa identificare le caratteristiche specifiche degli elementi che
sono intorno a noi, riunirli in gruppi facendo riferimento a una o più proprietà per una successiva distinzione
degli elementi e riunire più gruppi di elementi secondo una nuova proprietà caratteristica.
Il procedimento più immediato per rilevare le caratteristiche degli oggetti consiste nello stabilire un confronto
tra coppie di elementi per coglierne ANALOGIE e DIFFERENZE. Questo metodo è molto più semplice per il
bambino che osservare un singolo oggetto.
Attraverso i giochi sottostanti si vuole portare il bambino a riconoscere differenze NON EVIDENTI. È
indispensabile che l’insegnante stimoli il gruppo classe a trovare analogie o differenze sempre più
appropriate.
Attività 1 – Uguali o diversi?
Inizialmente scegliamo due animali molto differenti tra di loro. Appendiamo alla lavagna, ad esempio, il
disegno di un gatto e di una gallina poi chiediamo ai bambini:
<<In che cosa si assomigliano?>> (verificare oralmente che tutti i bambini conoscano il significato linguistico
del termine assomigliare per evitare che una povertà linguistica vanifichi il risultato).
Registriamo le risposte alla lavagna facendo in modo che tutti i bambini rispondano. La seconda fase
consiste nel porre la domanda: <<Che cosa hanno di diverso?>> annotando i risultati come prima.
In tal modo saranno state evidenziate le caratteristiche più eclatanti. “Ora inizia il gioco. Ogni bambino che
troverà ancora somiglianze o differenze vincerà un punto”. Alla fine, quando non si troverà più nulla, il
bambino che ha più punti potrà sostituire l’insegnante come capogioco (l’insegnante continuerà a registrare
alla lavagna le risposte dividendole in DIFFERENZE e SOMIGLIANZE).
Si potrà eseguire lo stesso gioco confrontando due alunni, due frutti ecc.
E’ molto importante che il bambino impari a riconoscere differenze NON FACILMENTE evidenti. Giocando
insieme trovare le differenze tra una mucca e una gallina giungendo fino al sapore delle loro carni, gli zoccoli
ecc... .Lo stesso vale per le analogie.
Attività 2 – Indovina le differenze.
Diamo ai bambini un foglio bianco piegato a metà con un foglio di carta carbone già posizionato nel mezzo.
Chiediamo ai bambini di eseguire il disegno di una casetta esercitando una certa pressione con la matita.
Ogni bambino separerà i due fogli tagliandoli a metà lungo la mediana e confronterà i due disegni.
L’insegnante chiederà come sono i due disegni e i bambini risponderanno: ”UGUALI”.
A questo punto ogni bambino aggiungerà al disegno originale alcuni particolari (un filo d’erba, il camino, una
finestra, ecc.), poi scambierà i propri fogli con quelli di un compagno: i bambini dovranno segnare le
differenze con un crocetta. (Questa attività permette ai bambini di sviluppare la loro creatività attraverso
l’invenzione di nuovi disegni.)
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COME SONO GLI OGGETTI?
•
•
Analizzare oggetti mediante i sensi
Sviluppo del concetto di quantità non definite
Questa lezione è strettamente connessa alla lingua italiana, di cui è parte integrante, e a tutte le discipline
che si avvalgono della capacità di osservare la realtà attraverso i sensi. Ricordiamo che i bambini, per
esprimersi in maniera ricca, precisa, articolata devono aver sufficientemente percepito e differenziato le loro
sensazioni (tattili, visive, ecc.). Anche se i bambini, quando giungono alla scuola elementare, sono già in
grado di identificare gli oggetti attraverso gli organi di senso, il nostro compito consiste nel far prendere loro
coscienza di queste capacità e comunicarle ad altri attraverso un codice linguistico che si arricchirà di termini
con il progredire delle attività stesse.
I bambini, impegnati in queste prestazioni, ricercheranno
spontaneamente paragoni con oggetti conosciuti e li esporranno utilizzando una terminologia che
lentamente verrà condivisa.
In pratica l’obiettivo è quello di attivare abilità di pensiero che verranno poi applicate all’osservazione
dell’ambiente, all’educazione linguistica e a quella matematica in modo tale da favorire il passaggio da una
percezione superficiale e distratta ad un’osservazione curiosa e attenta. Lavorando con i sassi è possibile,
senza forzature, inserire anche l’utilizzo dei “quantificatori” più semplici: “Tanti, pochi, uno, nessuno” per
stimolare la capacità di differenziare caratteristiche qualitative da caratteristiche quantitative.
Attraverso la prima attività si confrontano oggetti simili per ricavarne il maggior numero di informazioni,
mentre nella seconda si sposta l’attenzione sulle quantità non definite.
Attività 1: Ma come sono i sassi?
All’inizio dell’anno avremo fatto portare a scuola dai bambini alcuni sassi che a loro sono piaciuti in modo
particolare, adesso è giunto il momento di utilizzarli.
Stendiamo a terra una coperta, ci sediamo in cerchio, depositiamo al centro i nostri sassi e cominciamo ad
osservarli.
Qual è il loro colore? Dopo una prima classificazione in base a colori definiti (bianco, rosso, marrone, grigio,
nero, ecc.) chiediamo ai bambini di osservare con attenzione e di valutare se “tutti” i sassi bianchi hanno lo
stesso tipo di “bianco”. Sono i bambini stessi a definire bianco-sporco, giallino, bianco come il latte, ecc.
Ormai i bambini avranno capito che possono trovare un legame con la realtà che li aiuti a rappresentare
l’idea che hanno in testa, quindi alle forme comuni (tondo, ovale, rettangolare, ecc.), abbineranno anche
oggetti conosciuti (rotondo come un bottone, a punta come il campanile, ecc.) oppure somiglianze con
animali (questo sembra un coniglio ecc.). Prendiamo in mano i nostri sassi, come si presentano al tatto?
(lisci, ruvidi, taglienti, ecc.) i bambini di sei anni non hanno ancora un vocabolario ricco di termini quindi
accettiamo paragoni e descrizioni approssimative (liscio come un uovo, ruvido come il muro della scuola,
ecc.); abituiamo i bambini a confrontare fra di loro due sassi con la stessa caratteristica (due sassi ruvidi non
danno la stessa sensazione di ruvidità).
Può capitare che un bambino affermi che un sasso è “leggero” o “pesante”: lo dirà in base a una sua
valutazione personale.
È indispensabile, a questo punto, dare al bambino un altro sasso da confrontare con quello in suo possesso.
Soppesandoli entrambi con le due mani e solo in questo modo, dopo molte prove, il bambino si renderà
conto che un oggetto può essere detto “pesante” o “leggero” solo in rapporto ad altri oggetti con cui venga
confrontato.
Nello stesso modo si procederà per “piccolo” e “grande”: i bambini definiranno un sasso “piccolo” solo
confrontandolo con un altro più grande.
Commento all’attività:
dalle attività di confronto deve emergere la soggettività a cui sono sottoposti molti termini della lingua
italiana: pesante/leggero, grande/piccolo, bello/brutto ecc.
Come valutazione utilizziamo il vecchio gioco “mosca cieca” prima usando oggetti da indovinare poi gli
alunni stessi. Durante il gioco verifichiamo che i bambini usino tutti i sensi per definire le proprietà
dell’oggetto. Disponiamo sulla cattedra alcuni frutti e bendiamo un bambino (mettiamo tra i frutti anche una
pallina, ma senza farci vedere).
Il bambino bendato prenderà un frutto e dichiarerà di che frutto si tratta ma solo dopo aver elencato tutte le
caratteristiche che ha percepito attraverso i sensi. Come ultimo gioco proporremo di indovinare un
compagno utilizzando lo stesso sistema.
ATTIVITÀ 2. Quanti sono i nostri sassi?
Riponendoli nella scatola ne dimenticheremo UNO sul tappeto. I bambini sicuramente ci faranno notare che
è rimasto un sasso sulla coperta. Potremo quindi formulare la seguente domanda <<se adesso è rimasto
un sasso sulla coperta, prima quanti ce n’erano?>>. I bambini, che non avranno fatto in tempo a contarli,
affermeranno <<TANTI >>. Ritireremo anche l’ultimo sasso e chiederemo <<e adesso quanti sassi ci sono
sul tappeto?>> i bambini ci guarderanno un po’ stupiti ma risponderanno <<NESSUNO>>.
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Proponiamo solo oralmente altri giochi simili.
ATTIVITÁ INVERSE
Obiettivo
• Elencare le proprietà degli oggetti per permettere ad altri l’individuazione
Attraverso esercizi “inversi” a quelli dell’obiettivo precedente, stimolare il bambino a definire le caratteristiche
di un oggetto in modo tale che sia riconoscibile dagli altri.
Ricordiamo che gli “esercizi inversi” stimolano i bambini alla “reversibilità del pensiero” cioè alla capacità di
partire dall’azione finale analizzando tutti gli elementi che lo hanno determinato.
Le attività successive hanno lo scopo di accompagnare gli alunni a ricercare caratteristiche e qualità sempre
più “sottili” per far comprendere agli altri l’oggetto che devono descrivere.
Attività 1: Il gioco dell’indovino.
Un bambino, nascosto dietro una tenda, estrae, dall’insieme dei frutti già utilizzati nei giochi precedenti, un
elemento e poi nomina un compagno che rappresenterà l’indovino. Descriverà all’indovino tutte le
caratteristiche che possano permettere l’individuazione dell’oggetto stesso; quando l’indovino dirà il nome
esatto del frutto prenderà il posto del compagno dietro la tenda e sceglierà, da un altro insieme, un oggetto,
nominando un nuovo indovino.
Si procederà in questo modo fino a quando tutti i bambini avranno giocato. Per limitare il gioco nel tempo,
potremo stabilire che l’indovino ha solo tre possibilità per rispondere.
Attività 2: Il compagno misterioso
Chiediamo ad un bambino di pensare ad un compagno di classe, gli altri, con opportune domande, dovranno
individuare chi è (noi ci faremo dire prima il nome per evitare sorprese). In questo gioco è sottointeso che si
tratti di ENUNCIATI e non di “NON ENUNCIATI” del tipo “è simpatico” “è bello” ecc…
LINGUA ITALIANA: le attività di descrizione sono strettamente collegate alla chiarezza nell’esposizione.
Sfruttando le attività proposte, i bambini acquisiscono la capacità linguistica di essere chiari, espliciti e
sintetici nelle loro esposizioni per essere compresi dagli altri e quindi amplieranno progressivamente il loro
vocabolario.
Commento all’attività: Queste attività generalmente occupano un tempo limitato quando vengono eseguite
a livello concreto. Normalmente le difficoltà si incontrano quando passiamo all’immagine mentale
dell’oggetto in quanto i bambini devono avere chiare tutte le caratteristiche per permettere l’identificazione
dell’oggetto.
ENUNCIATI e VALORE DI VERITÁ
Obiettivi
•
•
Saper distinguere un enunciato da un non enunciato
Attribuire il valore di verità
Saper enunciare, su richiesta, una proposizione e saper distinguere, anche all’interno di un discorso, un
enunciato chiaramente VERO o FALSO sono preliminari ad ogni attività linguistica e matematica. Lo scopo
fondamentale è quello di operare riflessioni su qualunque argomento o materia vogliamo trattare. Lavorare
sull’analisi degli enunciati significa abituare i bambini a all’ascolto, alla riflessione e alla contestualizzazione,
invitandoli alla discussione. Questa capacità di discutere, che si sviluppa nei bambini attraverso le attività
proposte, è molto importante, in quanto li accompagna a superare il loro naturale egocentrismo e ad
accettare anche il punto di vista degli altri creando in loro un atteggiamento “critico”. Per i bambini, attribuire
il valore di verità o verificare se si tratta di un enunciato oppure no non è un è un esercizio banale in quanto
devono distaccarsi dalle interpretazioni personali, dalle loro aspettative ed anche dal loro giudizio. Inoltre i
bambini che sono “disabituati” al lavoro collettivo, attraverso queste attività, proposte come giochi, si sentono
coinvolti e partecipano con grande entusiasmo.
Proponendo ai bambini di inventare una frase che abbia un determinato valore di verità (relativa ad attività
che stiamo svolgendo in classe in quel momento) si possono strutturare giochi linguistici spezzando le frasi e
ricostruendone altre con valori di verità diversi.
Per sviluppare la “condivisione sociale” Ogni tanto inseriremo enunciati che creeranno discussioni del tipo
“La minestra di verdura è buona” in questo caso solo per alcuni bambini sarà vero mentre per altri no.
Questo ci permetterà di discutere sull’argomento giungendo a stabilire che tale frase è un NON enunciato
in quanto, per esserlo, deve essere condiviso da tutti. (mentre, in questo caso, è soggetta ad una
valutazione personale).
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ATTIVITÀ DIDATTICHE
L’attività proposta è solo uno spunto per abituare i bambini a riconoscere frasi della lingua alle quali si
possono attribuire valori di verità.
Utilizzare solo il gioco per eseguire questa prima parte
Attività 1:Gioco della verità:
I bambini sono seduti al loro posto, l’insegnante diventerà arbitro e proporrà degli enunciati (o proposizioni
sono la stessa cosa) tipo “Marco ha gli occhiali” “Il treno vola” ecc... facendo attenzione almeno all’inizio che
gli enunciati siano veri o falsi. Ogni tanto inserirà enunciati che creeranno discussioni del tipo “La minestra di
verdura è buona” in questo caso solo per alcuni bambini sarà vero mentre per altri no e questo permetterà
molte discussioni e si arriverà a stabilire che tale frase non è un enunciato in quanto, per esserlo, deve
essere condiviso da tutti.
Quando l’enunciato è vero i bambini si alzeranno in piedi, quando è finto resteranno seduti.
Se si vorrà rendere più complesso il gioco l’arbitro enuncerà solo il valore di verità “vero o falso” e il bambino
chiamato dovrà fornire l’enunciato tipo “Il gatto ha i baffi” o “Il cane miagola”
Attività 2: L’ASINO VOLA
I bambini sono seduti al loro posto, noi ricopriremo il ruolo di arbitro e proporremo degli enunciati tipo “Marco
ha gli occhiali”, “Il treno vola” ecc. facendo attenzione, almeno all’inizio, che gli enunciati siano palesemente
veri o falsi.
Quando la frase è vera i bambini si alzeranno in piedi, quando è falsa resteranno seduti. (Quando è un NON
ENUNCIATO si vedrà chiaramente perché alcuni bambini si alzeranno, altri no)
Di fronte alla frase “l’asino vola” si potrebbe verificare il caso che un bambino affermi “VERO” perché lo ha
visto in un cartone animato. Accettiamo la risposta ma concordiamo con i bambini che è sempre necessario
dichiarare l’ambito in cui lavoriamo. Quindi “l’asino” vola è “FALSA” se parliamo del mondo reale, mentre
diventa “VERA” se diciamo “l’asino delle favole vola”.
Attività 3: Schede di attribuzione del valore di verità
Verranno consegnate ai bambini, (solo quando saranno in grado di leggere) alcune schede per la definizione
di VERO/FALSO senza riprendere l’argomento. Risulterà evidente che, per molti bambini, gli enunciati falsi
sono non enunciati. Non stupiamoci, di norma occorre molto tempo prima che tutti i bambini intuiscano la
sottile differenza fra enunciato falso e non enunciato. Questa è la ragione per cui è necessario proporre
spesso il gioco dell’asino vola ma anche il suo contrario come spiegato di seguito.
L’insegnante affermerà “enunciato vero” o “enunciato falso” o “non enunciato” e un bambino a turno dovrà
inventare un enunciato che risponda alla richiesta dell’insegnante. Vince un punto il bambino che indovinerà
se si tratta di un enunciato vero, falso o non enunciato.
CONNETTIVI E TAVOLE DI VERITÁ
1. Distinguere un enunciato da un non enunciato
2. Collegare enunciati attraverso connettivi.
Molte volte nella pratica didattica è stata attribuita alla Logica la “grande” capacità di “insegnare” ai bambini
a risolvere i problemi. I programmi invece inseriscono questo argomento nell’Introduzione al pensiero
razionale dando a questa materia la sua giusta collocazione: costringere gli alunni a riflettere sul senso di
una componente della lingua naturale.
I bambini hanno avuto modo, fin dalla classe prima, di attribuire un valore di verità alle proposizioni e di
utilizzare i connettivi per costruire nuovi enunciati.
Il percorso didattico proposto, accompagna gli alunni a stabilire il valore di verità utilizzando i connettivi più
comuni (“e” – “o” inclusivo) e a costruire le relative tavole.
Attività 1. A caccia di “enunciati”
Proponiamo ai nostri alunni un gioco a squadre per verificare se il concetto di enunciato, (ma, soprattutto, di
universo linguistico) è interiorizzato.
Mettiamo a disposizione degli alunni riviste, quotidiani, giochi e altro materiale Dividiamo la classe in quattro
squadre. Ogni squadra dovrà trovare degli enunciati a cui far attribuire un valore di verità dalla squadra
avversaria. La prima fase del gioco consiste nel cercare gli enunciati da presentare.
Nella seconda fase, ogni gruppo (secondo le modalità stabilite prima di iniziare) proporrà un enunciato ad
un’altra squadra. La risposta dovrà essere data da un solo componente senza l’aiuto dei compagni. Se la
risposta sarà corretta tutta la squadra vincerà un punto in caso contrario nulla. Logicamente vince la squadra
che avrà totalizzato più punti.
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Lo scopo del gioco è quello di far cadere in trappola l’avversario proponendo enunciati “ambigui” (ad
esempio: <<La signora lava i vestiti>> è un enunciato falso se non è presente una fotografia in cui si veda
una donna che lava; oppure <<oggi la temperatura è salita di 3°>> anche in questo caso sarà indispensa bile
avere un quotidiano a disposizione per stabilire il valore di verità). Con questo gioco si vuole passare da un
concetto intuitivo di universo linguistico ad un’attività di riflessione e di analisi.
TAVOLA DI VERITÀ – USO DI “E” – “O”
Giochiamo prima a voce poi con gli esercizi
In un primo momento si può mettere in evidenza la funzione logica di E raccontando la storiella seguente:
“Barbara promette alla mamma di mangiare a merenda pane E cioccolata, ma poi mangia solo cioccolata.
Ha mantenuto la promessa Barbara?”
Per quanto riguarda O si può raccontare questa storiella “Andrea promette alla maestra di leggere il racconto
sul libro o di imparare a memoria la poesia. Andrea legge solo il racconto sul libro. Ha mantenuto la
promessa fatta alla maestra?”
Invitiamo i bambini alla discussione e ad inventare O raccontare situazioni simili.
Successivamente si introdurranno E ed O nel gioco della verità.
TAVOLE DI VERITÀ
Si può fare, e sarebbe opportuno, utilizzare la lavagna magnetica.
Racconteremo una storiella: “Luca ha un nonno molto simpatico. Il nonno ha promesso a Luca che per il
compleanno gli regalerà un trenino E una macchina. Gli regala solo un trenino. Ha mantenuto la promessa il
nonno?
Introduciamo simboli per il vero un tondino verde per il falso un tondino rosso e realizziamo la tavola di
verità.
La domanda nel secondo caso è : “Il nonno ha promesso a Luca che per il compleanno gli regalerà un
trenino O una macchina. Gli regala solo un trenino. Ha mantenuto la promessa il nonno?
E
= VERO
= FALSO
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TAVOLA DI “O”
O
= VERO
= FALSO
2. Tutti in tabella!
Con l’attività precedente abbiamo definito l’universo linguistico e l’enunciato atomico. Si tratta ora di
utilizzare enunciati atomici e, attraverso l’uso dei “connettivi” ottenere nuovi enunciati più complessi.
Utilizziamo un racconto di qualche alunno per definire il valore di verità del suo resoconto. Poniamo ad
esempio che Luca abbia raccontato alla classe di essere recato domenica al mare e la mamma lo ha
obbligato a mangiare il pesce.
Scriviamo su una striscia di cartoncino la frase di Luca:
MI SONO RECATO AL MARE E HO MANGIATO IL PESCE. Diamo ad ogni bambino la striscia e chiediamo
da quanti enunciati è formata. Facciamo ritagliare gli enunciati minimi: “Mi sono recato al mare”–“Ho
mangiato il pesce”
Attribuiamo il valore di verità:
Mi sono recato al mare
--> VERO
Ho mangiato il pesce
--> VERO
Essendo tutti e due gli enunciati veri anche il nuovo enunciato risulterà vero.
Proponiamo ai bambini di utilizzare una tabella per verificare cosa sarebbe capitato se Luca ci avesse detto
una “mezza verità”.
Disegniamo alla lavagna la tavola di verità e completiamola, discutendo le varie affermazioni con i bambini.
Mi sono recato al
mare
Mi sono recato al
mare e ho mangiato il
pesce
Vero
Vero
Vero
Vero
Falso
Falso
Falso
Vero
Falso
Falso
Falso
Falso
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Dopo aver completato la tavola di verità risulterà evidente che da due enunciati, utilizzando la e, se ne
ottiene un terzo che risulterà vero solo nel caso in cui siano veri i due enunciati atomici che lo compongono.
Chiediamo ai bambini di proporre altre composizioni di enunciati utilizzando però questa volta materiale
presente in aula.
3. …e se usiamo “o”?
A distanza di qualche giorno scriviamo nuovamente alla lavagna la frase di Luca ma questa volta
utilizzeremo la “o” solo in senso inclusivo.
MI SONO RECATO AL MARE O HO MANGIATO IL PESCE
Anche in questo caso discutiamo con i bambini sul valore di verità. In questo caso non è così intuitivo per i
bambini stabilire il valore di verità in quanto tendono a procedere come per la “e”.
Proponiamo quindi di costruire la tavola di verità:
Mi sono recato al
mare
Mi sono recato al
mare o ho mangiato il
pesce
Vero
Vero
Vero
Vero
Falso
Vero
Falso
Vero
Vero
Falso
Falso
Falso
In questo caso occorre proporre numerosi esempi da eseguire collettivamente anche a distanza di diverso
tempo. Facciamo osservare ai bambini che la disgiunzione di due enunciati è vera se almeno uno degli
enunciati componenti è vero mentre è falsa nel caso in cui gli enunciati componenti siano entrambi falsi.
Proviamo con “non”.
A differenza di “e” e di “o” che legano sempre due enunciati “non” opera su un solo enunciato.
La sua funzione linguistica è quella di cambiare il valore di verità di un enunciato. Ad esempio: <<Il cane è
un quadrupede>> è una proposizione vera se dico: <<Il cane non è un quadrupede>> ottengo una
proposizione falsa.
Anche in questo caso proponiamo ai bambini di inventare frasi vere che, con l’uso del non, diventano false e
viceversa poi completiamo la tavola di verità:
A
Non A
Vera
Falsa
Falsa
Vera
Occorre prestare molta attenzione nell’utilizzo della congiunzione “non” in quanto negare un enunciato non
vuol dire mutare il suo predicato ma cambiare solo il suo valore di verità. Se, ad esempio, affermiamo che
<<questo fiore non è una margherita>> non equivale a dire che <<questo fiore è un crisantemo>> ma può
essere qualunque altro fiore esclusa una margherita.
Quando utilizziamo con gli alunni la negazione “non” sarebbe opportuno sostituirla con <<non è vero
che>> specialmente negli enunciati negati in forma positiva come spesso capita in aritmetica: <<9 non è un
numero primo>> sarebbe più semplice per i bambini attribuire il valore di verità alla frase <<non è vero che 9
non è un numero primo>>.
Commento all’attività. PER LE INSEGNANTI
Per ENUNCIATO o PROPOSIZIONE intendiamo quelle frasi sintatticamente e grammaticalmente corrette
che sono obiettivamente suscettibili dell’attribuzione di un preciso e unico valore di verità vero o falso,
nell’universo linguistico fissato.
ENUNCIATO ATOMICO è un enunciato non scomponibile in enunciati più semplici.
“e” è una “operazione tra enunciati” e viene chiamata congiunzione.
“o” (in senso inclusivo) è una “operazione tra enunciati” e viene chiamata disgiunzione.
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CHIUDERE ENUNCIATI APERTI
Obiettivo
• Saper chiudere enunciati aperti
Questo lavoro completa quello iniziale sul valore di verità e definisce il collegamento fra valore di verità ed
insiemi.
L’enunciato atomico è l’elemento minimo della scomposizione. È formato da un GRUPPO NOMINALE e da
un GRUPPO VERBALE; intuitivamente un enunciato elementare è formato da un SOGGETTO e da una
PROPRIETÀ: il soggetto costituisce il gruppo nominale, la proprietà il gruppo verbale.
Un enunciato dove non è precisato il gruppo nominale <<…..è maggiore di 4>> cioè dove il gruppo nominale
è VARIABILE si chiama ENUNCIATO APERTO. Esso non è ne’ vero ne’ falso:diventa vero o falso se al
posto dei puntini mettiamo un ben preciso gruppo nominale appartenente all’universo prefissato. In tal modo
chiudiamo l’enunciato aperto ottenendo un ENUNCIATO.
Osserviamo la scrittura “il giocattolo è di legno”, questo non è un enunciato ma un ENUNCIATO APERTO
perché il gruppo nominale non è definito ma solo apparente. Infatti solo definendo quale giocattolo (ad
esempio “il giocattolo che ha in mano Maria”) si ottiene un vero gruppo nominale.
L’attività sottostante esercita i bambini a chiudere enunciati aperti utilizzando il valore di verità per verificarne
la correttezza.
Attività 1. Chiudiamo gli enunciati
Il lavoro sarà svolto collettivamente fino a quando i bambini non saranno in grado di leggere.
Prepariamo sul pavimento una corda chiusa e chiediamo ai bambini cosa rappresenta: è un confine con una
regione interna e una regione esterna. (I bambini dovrebbero aver già svolto queste attività in geometria. In
caso contrario è opportuno trattare l’argomento dal punto di vista geometrico prima di iniziare gli insiemi).
Seduti in cerchio per terra poniamo al centro una serie di oggetti (bottoni, figurine, animali di plastica,
contenitori, le fotografie degli alunni, ecc.). Si sceglie la proprietà dell’insieme che si vuole formare: ad
esempio “essere quadrato” (si prepara il diagramma vuoto). Alla lavagna si incolla un cartellino con scritto “è
un quadrato” , poi si preparano due cartellini V per indicare vero, F per indicare falso.
Un bambino sceglierà un blocco qualunque e lo metterà a sinistra del cartellino, un suo compagno
verificherà se l’enunciato è vero o falso.
Esempio:
È un quadrato
F
Quando l’enunciato è falso il blocco non entrerà nel confine, quando è vero si disegna il blocco su un
foglietto e lo si mette dentro al confine.
Al termine del gioco chiediamo ai bambini cosa c’è dentro al confine. Risponderanno che hanno messo
insieme tutti i blocchi quadrati, quindi quelli che hanno la stessa proprietà.
Si può procedere ulteriormente chiedendo se il colore dei blocchi dentro al confine ha qualche importanza o
lo spessore, ecc. in modo da fissare definitivamente che nel confine era possibile mettere solo blocchi
quadrati comunque essi fossero.
Per il momento non parliamo ancora di insiemi lo faremo nel passaggio successivo.
Con le stesse modalità si propongono altri enunciati aperti, sempre utilizzando i cartellini V e F e si formano
altri insiemi, facendoli poi disegnare sul quaderno.
APPARTIENE - NON APPARTIENE
Obiettivo
• Classificare oggetti persone ecc. secondo un dato attributo
È indispensabile che i bambini capiscano che le attività di classificare, di stabilire relazioni, di generalizzare e
di astrarre sono utili per ogni compito della vita quotidiana. Se non impareranno, ad esempio, a stabilire
relazioni di causa-effetto agiranno imprudentemente senza valutare le conseguenze in ogni situazione.
Il linguaggio della LOGICA, compreso quello degli insiemi,viene utilizzato in ambiti non solo matematici;
basti pensare ai diagrammi di Eulero-Venn, alle rappresentazioni mediante grafi ecc., che si possono usare
in lingua, in geografia, in scienze naturali.
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Quindi, essendo un termine che fa parte del linguaggio comune e che potrebbe essere sostituito con i
termini “raccolta” , “collezione”, “gruppo”, ecc. nulla ci impedisce di utilizzarlo in tal senso, evitando inutili
formalismi. L’importante è che i bambini capiscano che è necessario definire sempre l’insieme: elencare gli
oggetti che appartengono ad esso, o dichiarare la caratteristica in base a cui l’insieme è stato formato;
mentre, si accorgeranno, giocando, che è a libera scelta: il colore del cordoncino e la sua forma purché sia
una forma chiusa e che gli oggetti possano essere disposti, al suo interno, in qualunque posizione purché
siano dentro di essa.
Quindi non un “INSIEME” inteso come termine matematico astratto appartenente alla teoria degli insiemi ma
“insieme” come sinonimo di “raggruppamento secondo una determinata caratteristica”.
Partiremo dal materiale non strutturato perché è più naturale e spontaneo.
Nelle attività seguenti emergerà una prima idea di prelevare oggetti da un “universo”, in base ad una precisa
proprietà, e formare con essi una raccolta. Ogni tanto sarà necessario effettuare il processo inverso: “dato
un insieme definirne la proprietà” in quanto obbliga i bambini ad elaborare una descrizione precisa e non
generica.
Attività 1. Mettiamo in ordine
Dopo un po’ che lavoriamo nella nostra aula è necessario mettere un po’ di ordine. Scegliamo una giornata
particolare e iniziamo il lavoro. I sassi avevano già un loro posto (la scatola) adesso controlliamo anche il
resto: i libri andranno tutti insieme su uno scaffale, i giochi in un grosso bidone, i blocchi logici in una scatola
e così via.
Quindi con tutto possiamo fare delle raccolte.
Attività 2. Raccogliamo le foglie
Facciamo portare a scuola dai bambini delle foglie. Le appoggiamo sul pavimento. A questo punto le
abbiamo messe tutte INSIEME. Chiediamo ai bambini cosa abbiamo fatto, loro ci risponderanno che
<<abbiamo messo insieme tutte le foglie>> - << Tutte le foglie del mondo?>> generalmente i bambini
rispondono <<No! Solo le foglie raccolte da noi!>>
A questo punto è importante dichiarare che per poter distinguere le nostre foglie da tutte le altre è
opportuno circondarle con un cordoncino e mettere un cartellino su cui scriveremo FOGLIE
RACCOLTE DAI BAMBINI DI CLASSE……..
Facciamo disegnare tutto sul quadernone e spieghiamo ai bambini che la cordicella si chiama in
matematica DIAGRAMMA.
Ritorniamo al nostro diagramma reale (Faremo inavvertitamente cadere all’interno del diagramma un
foglio di carta, una matita, o qualunque altro oggetto) questo è l’INSIEME DELLE FOGLIE RACCOLTE
DAI BAMBINI DI PRIMA.
<<Maestra, dentro all’insieme c’è ……>> a questo punto potremo parlare dell’ INTRUSO cioè di un oggetto
che NON APPARTIENE all’insieme.
Facciamo disegnare le due situazioni crociando l’intruso.
Attività 3 – L’insieme siamo noi.
È importante far giocare tutti i bambini per verificare che tutti abbiano assimilato il concetto. Nell’insieme
degli alunni di classe prima si forma un sottoinsieme.
Facciamo uscire dall’aula un bambino e, al suo posto mettiamo una fotografia (o il cartellino con il suo
nome).
Formiamo un sottoinsieme (ad esempio quello delle femmine); al suo rientro il bambino dovrà dire qual è la
caratteristica del sottoinsieme e scrivere il cartellino. Lasciamo libera la fantasia dei bambini e creiamo altri
sottoinsiemi: dei maschi, dei bambini con gli occhiali, ecc. e, ancora più difficile, bambini che hanno animali,
che hanno fratelli ecc.. (Ogni tanto dovrà comparire un insieme unitario e l’insieme vuoto).
Sul quaderno riporteremo solo la prima esperienza.
[Si raccomanda di non saltare questa parte di esercitazione apparentemente poco utile, in quanto è la
conferma che tutta la realtà può essere rappresentata ma è necessario utilizzare dei simboli che tutti
possano comprendere: CONDIVISIONE!]
Sorge spontaneo il problema di come poter rappresentare tutto ciò sul quaderno?
Se abbiamo le fotografie dei bambini potremo fotocopiarle.
Disponiamo nuovamente sul pavimento il diagramma con il cartellino,mettiamo al suo interno le fotografie,
tracciamo il sottoinsieme con relativo cartellino ……ma, in questo modo, lo spazio sul quaderno è
insufficiente. Generalmente sono gli stessi bambini che, a questo punto, propongono di disegnare ogni
bambino sul quaderno scrivendo sotto il nome. Normalmente, ad qualche altro allievo viene in mente che:
<<allora basta scrivere il nome>>.
Ed ecco che, senza nessuna fatica, siamo passati ad un sistema simbolico di rappresentazione della
realtà.
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Attività 4. Cosa metto nel cartellino.
Prepariamo un insieme di macchinine rosse prelevate dalla scatola delle macchinine e chiediamo ai bambini
di definire la proprietà dell’insieme.
Se lo riteniamo opportuno questo è il momento di raccontare un po’ di STORIA DELLA MATEMATICA.
“Questo DIAGRAMMA si chiama più esattamente DIAGRAMMA DI EULERO e VENN dal nome dei due
matematici che lo hanno inventato.
Sapete chi era Eulero? Un grandissimo matematico di cui sentirete parlare molto spesso nei prossimi anni,
ma vi voglio raccontare come ha fatto ad inventare i diagrammi. Dovete sapere che, durante la sua lunga
vita, si trovò a spiegare la matematica ad una Principessa tedesca che non aveva grande voglia di studiare.
Allora Eulero inventò le ……PATATE! cioè i DIAGRAMMI, e sembra proprio che la Principessa abbia
imparato la matematica… proprio come farete voi.” (Tratto con un po’ di fantasia da “Lettere ad una
Principessa tedesca”).
EULERO ebbe per primo l’ idea di utilizzare porzioni di superfici piane per rappresentare insiemi, ma fu
VENN che, studiando la logica degli insiemi,diede il suo nome al diagramma rappresentatoi proprio secondo
il sistema di Eulero.
I SOTTOINSIEMI
Obiettivo
• Saper costruire sottoinsiemi
Quando i bambini sapranno formare insiemi con sufficiente sicurezza, potremo proporre di effettuare
classificazioni all’interno di un insieme: formando sottoinsiemi. L’ applicazione di questo concetto riveste
particolare importanza per lo sviluppo delle capacità logiche del bambino in quanto si chiede di riconoscere,
all’interno di un insieme già formato, un gruppo di elementi che possano essere raggruppati attraverso una
nuova caratteristica che non contrasti con quella dell’insieme stesso.
Nella costruzione dei sottoinsiemi, come in quella degli insiemi, è molto importante verificare che tutti i
bambini riescano a passare dalla fase concreta alla fase rappresentativa senza incontrare difficoltà. Anche
questo argomento verrà trattato per un lungo periodo quindi, per il momento, limitiamoci a casi evidenti che
non creino incertezze nei bambini.
Con le seguenti attività accompagneremo gli alunni nella formazione di sottoinsiemi partendo da un insieme
dato, ma, soprattutto, fisseremo l’attenzione sul processo inverso che risulta sempre più complicato.
Attività 1. Giochiamo con le foglie
“Osserviamo bene le nostre foglie come possiamo ancora raggrupparle?” PER COLORE – PER FORMA –
ecc.
Scegliamo una caratteristica e formiamo un nuovo insieme ma…dove lo mettiamo? Fuori no, perché sono
tutte foglie raccolte da noi! A qualche bambino verrà in mente di mettere un cordino dentro a quello che
contiene tutte le foglie. Nasce così naturalmente un sottoinsieme. Ridisegniamo l’insieme universo di tutte le
foglie e all’interno, spiegando bene i termini ai bambini, costruiamo un sottoinsieme con una caratteristica
ben precisa, ad esempio le foglie marroni, e posizioniamo i cartellini.
Foglie raccolte dai bambini
di prima
Foglie marroni
Attività 2: Indovina il sottoinsieme
Proponiamo ai bambini l’esercizio inverso: dividiamoli in due gruppi di cui uno uscirà dalla classe, mentre
l’altro preparerà un sottoinsieme all’insieme delle foglie. Rientrando il primo gruppo dovrà stabilire le
caratteristiche del cartellino che individua il sottoinsieme.
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INSIEME UNITARIO INSIEME VUOTO
Obiettivo
• Riconoscere l’insieme unitario e l’insieme vuoto.
L’argomento dell’ insieme vuoto e degli insiemi unitari va trattato con una certa attenzione, perché i bambini,
alla parola “insieme” accreditano l’idea di “molteplicità” di oggetti. Inoltre si verifica spesso che i bambini
identifichino l’insieme unitario con l’insieme stesso. Per quanto riguarda l’insieme vuoto è importante che
venga collegato all’idea di un insieme privo di elementi.
Nell’introdurre i concetti di INSIEME VUOTO e INSIEME UNITARIO, cercheremo di non far apparire questi
due insiemi come insiemi “speciali” ma solo come casi che si possono verificare.
Lo scopo dei giochi è quello di far percepire al bambino che l’insieme vuoto deriva dall’aver tolto dall’insieme
tutti gli oggetti. Sono attività che precedono l’introduzione dello zero. Particolare attenzione viene prestata
agli esercizi inversi che favoriscono il pensiero divergente.
Attività 1. Solo una.
Formiamo sul pavimento l’insieme delle automobiline dei bambini di classe prima. In questo insieme
vogliamo formare il sottoinsieme delle automobiline bianche (l’insegnante avrà controllato che ce ne sia una
sola). Preciseremo che, in questo caso, abbiamo formato un INSIEME UNITARIO (formato da un solo
elemento).
Normalmente i bambini si impadroniscono facilmente di questo concetto che, per adesso, è sufficiente.
Dopo vari esercizi di questo genere si farà il gioco inverso: dato un insieme contenente denaro e formato il
sottoinsieme contenente una banconota i bambini dovranno preparare i cartellini.
Attività 2. Neppure una
Usiamo nuovamente le macchinine e formiamo il sottoinsieme delle macchinine verdi (assicurandoci prima
che non ce ne siano). Procediamo con altri esercizi simili.
Anche per il procedimento inverso usiamo il denaro (monete e banconote) perché, nel caso dell’insieme
vuoto, è più difficile mettere i cartellini agli insiemi. Lasciamo che siano i bambini a stabilire quale cartellino
mettere sull’insieme vuoto (ad esempio: monete di gomma).
RAPPRESENTARE GLI INSIEMI
Obiettivo
• Saper rappresentare graficamente gli insiemi
A livello teorico questa attività e il completamento della lezione sulla formazione degli insiemi. Si tratta
adesso di preparare i bambini a rappresentare graficamente gli insiemi senza l’ausilio di materiale. I bambini,
che ormai sanno costruire insiemi e sottoinsiemi, a livello concreto, con una certa sicurezza, dovranno
ricercare un simbolismo utile a rappresentare gli insiemi e, in un secondo momento, saper operare
utilizzando solo simboli che rappresentano la realtà. Questo è un passaggio estremamente delicato che
deve essere eseguito con molta calma. Dobbiamo quindi assicurarci che tutti i bambini abbiano compreso
l’intero procedimento.
La prima attività consiste nel far comprendere ai bambini che la realtà può essere rappresentata ma che è
necessario utilizzare dei simboli che tutti possano comprendere: quindi CONDIVISIONE!
Le successive attività mirano a formalizzare la rappresentazione degli insiemi in modi diversi.
Attività 1. L’insieme siamo noi
Nell’insieme degli alunni di classe si forma un sottoinsieme.
Facciamo uscire dall’aula un bambino e, al suo posto, mettiamo una fotografia (o il cartellino con il suo
nome).
Formiamo un sottoinsieme (ad esempio quello delle femmine); al suo rientro il bambino dovrà dire qual è la
caratteristica del sottoinsieme e scrivere il cartellino. Lasciamo libera la fantasia dei bambini e creiamo altri
sottoinsiemi: dei maschi, dei bambini con gli occhiali, ecc. e, ancora più difficile, bambini che hanno animali,
che hanno fratelli ecc.. (Ogni tanto dovrà comparire un insieme unitario e l’insieme vuoto).
Sul quaderno riporteremo solo la prima esperienza. A questo punto sorge spontaneo il problema di come
poter rappresentare tutto ciò sul quaderno?
Se abbiamo le fotografie dei bambini potremo fotocopiarle.
Disponiamo nuovamente sul pavimento il diagramma con il cartellino,mettiamo al suo interno le fotografie,
tracciamo il sottoinsieme con relativo cartellino ……ma, in questo modo, lo spazio sul quaderno è
insufficiente. Generalmente sono gli stessi bambini che propongono di disegnare ogni bambino sul quaderno
scrivendo sotto il nome. Normalmente, ad qualche altro allievo, viene in mente che: <<Allora basta scrivere il
nome o le iniziali!>>.
Ed ecco che, senza nessuna fatica, siamo passati ad un sistema simbolico di rappresentazione della
realtà.
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ATTIVITÀ 1. Rappresentare in modi diversi
È il momento di conoscere come si rappresenta esattamente un diagramma di Eulero-Venn. (se preferiamo
possiamo eseguire lo stesso esercizio con foglie, sassi o altri oggetti).
Riprendiamo la nostra corda e chiediamo ai bambini di formare l’insieme dei ROTONDI.
Insieme blocchi rotondi
Questo è il DIAGRAMMA DI EULERO VENN.
Si registra in questo modo:
<<insieme dei blocchi logici rotondi>> questa definizione si può mettere anche solo sul cartellino.
{
}
}
ELENCO ORDINATO DEGLI ELEMENTI (si usa la parentesi graffa)
I bambini non hanno problemi nell’utilizzo di questo formalismo – parentesi graffa – anzi si sentono gratificati
nell’usare un termine ed un simbolo che appartiene “al mondo dei grandi”.
Quindi un insieme si deve rappresentare in tre modi:
- con il diagramma di Eulero-Venn
- con il cartellino
- con l’elenco ordinato degli elementi.
Proponiamo anche l’esercizio inverso: dato un elenco ordinato di elementi i bambini devono rappresentare
l’insieme.
Attività 2. Lavoriamo da soli
Come ultimo gioco da fare solo a livello simbolico possiamo dare ai bambini diversi disegni da ritagliare e
chiediamo che costruiscano due o tre insiemi registrandoli nei tre modi precedenti, avendo, però, cura di
inserire un’immagine che non appartiene a nessuno dei tre insiemi. Il bambino dovrà lasciare l’elemento
estraneo all’esterno e dichiarare che:<< il……….NON APPARTIENE all’insieme dei…..; all’insieme dei……;
all’insieme dei…….>>.
APPARTIENE NON APPARTIENE
Obiettivo
• Comprendere relazioni di appartenenza e non appartenenza
Nella formazione degli insiemi uno dei concetti fondamentali è l’appartenenza o meno a quel insieme. A
livello intuitivo i bambini hanno già utilizzato tale concetto che, adesso, andrà formalizzato.
È indispensabile ricordare che, in prima elementare, l’utilizzo di “NON” è inteso nel linguaggio naturale ed è
normalmente usato dai bambini sia a casa che a scuola. È comunque bene verificare che tutti lo utilizzino in
maniera appropriata. Attraverso le attività sull’utilizzo del “NON” si giungerà al concetto di appartenenza. Al
termine del lavoro è indispensabile che i bambini sappiano rispondere alla domanda di appartenenza e non
appartenenza fatta con oggetti concreti o con disegni ben riconoscibili. Se ci accorgiamo che qualche
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bambino presenta ancora incertezze, dovremo eseguire nuovi giochi coinvolgendo i compagni che
prepareranno altri giochi simili a quelli già eseguiti, prima con materiale poi solo con schede.
Attraverso attività di gioco verificheremo che tutti i bambini utilizzino “NON” in maniera appropriata, poi ci
preoccuperemo di verificare l’appartenenza o meno degli oggetti ad insiemi definiti.
Attività 1. Il signor <<NON>>
Affermiamo di essere la signorina <<NON>> e chiediamo a ciascun bambino: <<portami una matita NON
blu>>, <<portami un oggetto NON di vetro>>, <<disegnate un animale NON bipede>>, <<disegnate un
blocco NON spesso>>, <<si alzino i bambini che hanno il grembiulino NON nero>>, ecc… .
Chiediamo poi ad un bambino per volta di fare il signor NON.
Ritorniamo all’insieme formato dai bambini della classe prima. Mettiamo la corda per il sottoinsieme e
posizioniamo il cartellino <<NON maschi>>. Dopo un attimo di incertezza entreranno nel sottoinsieme i
NON maschi (quindi le femmine).
ATTIVITÀ 2. Appartiene o NON appartiene?
Raccogliamo sulla cattedra la serie di oggetti rappresentati di seguito:
Insieme dei
recipienti sulla
cattedra
Spieghiamo ai bambini che abbiamo formato un insieme di recipienti. Dopo aver dato questa definizione
dell’insieme, i bambini si renderanno conto che un elemento non ha la caratteristica di essere un recipiente e
quindi non può far parte dell’insieme. Riassumiamo le loro risposte e preciseremo: “Il fischietto NON
appartiene all’insieme dei recipienti.”
I bambini considereranno un oggetto per volta: la caraffa è un recipiente, quindi appartiene all’insieme; la
bottiglia è un recipiente, quindi appartiene all’insieme; il fischietto è un recipiente, “FALSO” quindi NON
APPARTIENE all’insieme.
Costruire un altro insieme: animali a quattro zampe. Fuori dall’insieme mettiamo animali a due zampe e un
animale a quattro zampe. Poi chiediamo ai bambini: <<Tra gli elementi fuori dall’insieme ce n’è qualcuno che
appartiene all’insieme?>>. I bambini riconosceranno facilmente che un animale a quattro zampe è rimasto
fuori dall’insieme.
E’ molto importante chiedere agli alunni, per ogni oggetto, l’esatta terminologia (appartiene-non appartiene).
LA TABELLA DELL’APPARTENENZA
Obiettivo
• Rappresentare relazioni di appartenenza e non appartenenza con le tabelle.
Il concetto di appartenenza o non-appartenenza è stato verificato attraverso il lavoro collettivo con VERO o
FALSO. Si tratta adesso di rappresentarlo anche con una tabella semplice.
In genere i bambini amano costruire ciò che fino a poco tempo fa veniva dato dalla scuola come preconfezionato. Anche questo è un modo per renderli consapevoli che le attività svolte a scuola sono
strettamente collegate al loro mondo: provate a chiedere dove hanno già visto delle tabelle. Se nessuno è in
grado di rispondere, fate vedere un orario dei treni, oppure l’orario scolastico o la tabella per segnare i punti,
quando in un gioco ci sono più giocatori, ecc..
La capacità di rappresentare graficamente tabelle non è legata solo all’unità didattica in sé ma implica
capacità di orientamento nello spazio grafico, una buona manualità e la capacità di utilizzare strumenti come
ad esempio, il righello. Se incontrassimo difficoltà, per alcuni alunni, nel disegno della tabelle forniremo
tabelle prestampate e, solo in seguito, faremo esercitare gli stessi alunni a livello grafico, ricordando però
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che questo non è il nostro obiettivo principale. Teniamo presente che, come nella soluzione dei problemi,
molte volte l’aspetto pratico distoglie l’attenzione dai contenuti.
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Attività 1 – Costruiamo una tabella.
Prendiamo dall’insieme delle foglie 5 elementi simili e li appoggiamo sul tavolo (3 marroni e 2 verdi).
Identifichiamo l’insieme come:”Foglie scelte dalla maestra”.
Chiediamo ai bambini di mettere all’interno un sottoinsieme che chiameremo “foglie marroni”.
Prendiamo due scatole, mettiamole all’interno del diagramma (una nell’insieme, l’altra nel sottoinsieme) e,
nella parte superiore delle scatole, posizioniamo due cartelli: APPARTIENE – NON APPARTIENE.
Prendiamo la prima foglia: <<è marrone?>> VERO, allora la depositiamo nella scatola APPARTIENE;
prendiamo la seconda foglia: <<è marrone?>> FALSO, allora NON APPARTIENE. Procediamo nello stesso
modo con tutte le foglie e ci troveremo alla fine con i due insiemi suddivisi.
Dobbiamo ora rappresentare sul quaderno il lavoro che fatto.
APPARTIENE
NON APPARTIENE
Questa è la rappresentazione della prima foglia. Noi abbiamo ripetuto questo lavoro per cinque volte quindi
dobbiamo disegnare cinque scatole; per comodità, non ripetiamo i cartelli (questo lavoro precede e
giustifica il DIAGRAMMA DI CARROLL che faremo più avanti).
Abbiamo ottenuto la nostra prima tabella.
A = insieme delle foglie marroni
APPARTIENE
A=
{
NON
APPARTIENE
}
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Proponiamo altri tipi di registrazione: invece di ridisegnare le foglie, utilizziamo le crocette come nell’esempio
sottoesposto.
APPARTIENE
NON
APPARTIENE
X
X
X
X
X
Prepariamo insiemi e tabelle con altri elementi (sempre adoperando materiale concreto e utilizzando le
scatole).
Attività 2 – Proviamoci ancora.
A questo punto i bambini (se abbiamo lavorato con molta calma soprattutto nei sottoinsiemi) sono pronti a
fare il passo successivo.
Prepariamo una raccolta di figurine di animali, fotocopiamole e diamo una scheda da ritagliare a ciascun
bambino.
Enunciamo: <<Questi sono degli animali; forma un insieme e scrivi il cartellino>>. I bambini sicuramente
diranno: <<un insieme di animali>>. Faremo notare che non è sufficientemente chiaro in quanto non sono
tutti gli animali del mondo, per cui è più opportuno definire l’insieme come:
<<Insieme degli animali che abbiamo ritagliato>>.
Animali che abbiamo
ritagliato
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<<Formate ora il sottoinsieme di quegli animali che NON HANNO LE ZAMPE>>
(Accetteremo tutte le proposte per definire insieme e sottoinsieme, purché corrispondano a CRITERI DI
VERITÀ!)
Insieme animali ritagliati
Animali che NON hanno
le zampe
Facciamo completare agli alunni la tabella APPARTIENE A….
APPARTIENE A
Insieme animali ritagliati
X
Animali che non hanno le
zampe
X
X
X
X
X
X
La tabella deve contenere tutti gli animali e, per ogni animale, devono essere poste le domande:
<< appartiene all’insieme….,appartiene al sottoinsieme…., ecc…>>
In questo modo gli alunni potranno facilmente rendersi conto che un qualunque oggetto può possedere due
qualità.
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IL DIAGRAMMA DI CARROLL
Obiettivi
• Comprendere la relazione tra oggetti con due attributi (intersezione) e il diagramma di Carroll.
• Stimolare la capacità di “vedere” situazioni sempre più complesse e di saperle rappresentare.
L’unità presenta notevoli difficoltà, per cui è necessario lavorare con molta calma, utilizzando per un lungo
periodo, materiale concreto. L’idea di intersezione si fa strada con lentezza e quindi è indispensabile
prestare molta attenzione alle proposte dei bambini perché, solo attraverso la discussione collettiva,
emergerà un’idea corretta e socialmente condivisa.
Fino ad ora abbiamo “classificato” in base ad una caratteristica; se i bambini hanno dimostrato
apprezzamento per le attività precedenti e hanno seguito con interesse il lavoro possiamo fare il passo
successivo: classificare in base a due caratteristiche.
Lavorando concretamente otterremo una situazione che sarà, in primo luogo, “agìta” dai bambini, poi
rappresentata graficamente ed infine espressa linguisticamente.
Nella terza fase i bambini comprenderanno l’utilizzo del connettivo logico “E” come congiunzione e lo
metteranno in relazione con l’intersezione.
Il passaggio al diagramma di Carroll sarà la naturale rappresentazione in tabella del lavoro sugli insiemi.
Le seguenti attività didattiche sono finalizzate alla costruzione dell’intersezione e alla sua rappresentazione
in tabella. La prima attività riguarda la costruzione dell’insieme intersezione e l’utilizzo del connettivo “E”,
mentre la seconda alla rappresentazione dell’intersezione con il diagramma di Carroll.
Attività 1 – Dove mi metto?
Iniziamo a giocare nuovamente con i nostri insieme. Rimettiamo a terra la corda lunga e ricostruiamo
l’insieme degli alunni di classe prima. (Prima di fare questo esercizio verificare che in classe ci siano alunni
che abbiano sia fratelli che sorelle; in caso contrario scegliere un altro attributo comune, ad esempio, avere
cane e gatto o altro.)
Chiediamo ai bambini di formare DUE sottoinsiemi: uno degli alunni che hanno fratelli, l’altro degli alunni
che hanno sorelle racchiudendoli con corde di colore diverso. Con grande meraviglia ci sarà qualche alunno
che potrebbe essere ricompreso in tutti e due gli insiemi. Come fare?
Lasciamo che i bambini discutano liberamente. Quasi sicuramente il bambino/a verrà fatto mettere con le
gambe una in un insieme e l’altra nell’altro.
A questo punto è indispensabile intervenire: <<…ma se volessimo rappresentarlo sul quaderno non sarebbe
un po’ complicato? Inoltre se i due sottoinsiemi fossero troppo lontani come sarebbe possibile? E se
provassimo a lavorare con i diagrammi? …>>. In questo modo dovrebbe emergere la possibilità di
sovrapporre i diagrammi creandone uno nuovo dalla loro intersezione.
Potrebbe anche capitare che i bambini tentino di creare un nuovo sottoinsieme.
Lasciamoli fare, poi chiediamo loro di mettersi nei relativi insiemi. Si accorgeranno immediatamente di non
aver risolto il problema perché il bambino/a che ha sia fratelli che sorelle dovrebbe comunque entrare nel
sottoinsieme “avere fratelli” in quanto alla domanda <<hai fratelli?>> deve rispondere VERO e così pure alla
domanda <<hai sorelle!>>.
È facile che qualcuno proponga di mettere una fotografia. Anche in questo caso lasciamoli lavorare
autonomamente. Poi, però, contiamo gli alunni di classe prima; si accorgeranno subito che l’insieme
diventerebbe falso, per cui anche questa soluzione non è corretta: IN UN INSIEME UN ELEMENTO PUÓ
COMPARIRE UNA SOLA VOLTA.
Quindi l’unico sistema valido è quello dell’intersezione.
Insieme alunni classe
prima
Alunni che hanno
solo fratelli
Alunni che hanno
sia fratelli che
sorelle
Alunni che hanno
solo sorelle
Facciamo rappresentare la situazione sul quaderno.
21
Attività 2 – Ancora con le scatole.
Ripetiamo lo stesso esercizio con altri oggetti e per finire riprendiamo come soggetto le nostre foglie avendo
l’accortezza di sceglierle foglie verdi e marroni, alcune a forma di cuore, altre allungate.
Facciamo disegnare su quaderno il lavoro svolto.
Insieme foglie scelte dalla
maestra
Foglie lunghe
Foglie verdi
Foglie lunghe e
verdi
Riprendiamo le scatole da scarpe che avevamo già usato precedentemente. Questa volta ne occorreranno
quattro.
Chiediamo ai bambini come erano le nostre foglie elencando una qualità per volta e mettendo il cartellino su
ogni scatola: foglie verdi (una scatola)
- foglie non verdi (un’ altra scatola)
- foglie lunghe (una terza scatola)
- foglie non lunghe (una quarta scatola).
Adesso ordiniamo le nostre foglie. Per quanto i bambini tenteranno, non riusciranno perché se metteranno la
foglia in una scatola non potranno inserirla in un’altra e così via.
L’insegnante affermerà che è in grado di fare una magia. I bambini normalmente sono affascinati dalle
magie (se volete rendere più piacevole il gioco procuratevi una bacchetta magica, quei bastoni che, se
mossi, fanno rumori strani. La matematica non è solo calcolo, è anche fantasia, è poesia, è il fascino di
vedere occhi di bambini che guardano meravigliati una matematica fantastica). Prenderà le quattro
scatole, le posizionerà a due a due attaccate e metterà in alto e a sinistra i cartellini in questo modo:
FOGLIE VERDI
FOGLIE NON VERDI
FOGLIE
LUNGHE
FOGLIE
NON
LUNGHE
Molte volte i bambini protestano che non è corretto, ma restano affascinati quando si accorgono che
riescono a mettere a posto tutte le foglie.
Chiamiamo ora alla lavagna un bambino per rappresentare il lavoro, poi lo faremo registrare a tutti sul
quaderno.
22
Confessiamo ai bambini la verità: non siamo state noi ad inventare questa rappresentazione che in
matematica si chiama sempre DIAGRAMMA non di Eulero-Venn ma DI CARROLL.
Questo modo di rappresentare la classificazione in base a due caratteristiche è molto importante perché
costituisce la prima attivazione del “diagramma cartesiano” o “tabella a due entrate”.
Raccontiamo la storia di Lewis Carroll, matematico e scrittore, con notevoli difficoltà di linguaggio ma che
possedeva un animo molto vivace e sensibile. Infatti, a contatto con i bambini, egli diventava spigliato ed
estroverso tanto da iniziare a scrivere proprio per loro. Fra i suoi saggi più famosi ricordiamo “Alice nel
paese delle meraviglie” (se lo si ritiene opportuno si può proiettare la videocassetta o leggere alcuni
brani del libro) e “Alice nel mondo dello specchio” (da cui trarremo successivamente alcuni brani utili al
lavoro sulla simmetria).
Procedere con insiemi di questo tipo utilizzando altre raccolte.
LE RELAZIONI
Obiettivo
• Stabilire relazioni di ordine e di equivalenza
In prima elementare le relazioni di ordine e di equivalenza che si possono stabilire in un insieme sono
abbastanza complicate, quindi si presenteranno semplici relazioni d’ordine per dare una prima idea dei
legami che esistono tra gli elementi.
Nelle lezioni “I sassi parlanti” vengono utilizzate le frasi con i pronomi IO-TE per sottolineare l’importanza
dell’uso dei pronomi stessi. I pronomi sono parole che possono essere “riempite” da diversi individui o
oggetti (l’IO può essere Paolo, Giovanna, il sasso ecc.) quindi anticipano al bambino, in modo naturale, le
VARIABILI (o INCOGNITE) del discorso matematico e permettono di determinare, con certezza, se le frasi
sono VERE o FALSE.
Infatti il bambino, senza saperlo, riempie di volta in volta questo io e questo te di un preciso contenuto (per
l’adulto corrispondono a X e Y) e questo è fondamentale nell’itinerario che porta il bambino dallo stadio delle
operazioni logiche-concrete a quello delle operazioni logiche-formali.
Inoltre gli esercizi inversi sviluppano la reversibilità del pensiero, cioè la capacità di compiere un’
“operazione” inversa a quella compiuta in precedenza (sottrarre è l’inverso di addizionare) e il pensiero
divergente perché il risultato va individuato all’interno di un insieme di possibilità.
Attraverso i “sassi parlanti”, in modo ingenuo, i bambini si appropriano di uno strumento che diamo
normalmente per “scontato” già alla scuola materna: le frecce ed il loro utilizzo. In realtà questo strumento di
rappresentazione non è sempre chiaro ai bambini. Nelle prime attività si usano le frecce per far parlare i
sassi e quindi utilizzare le frecce in modo corretto. Mentre nell’ultima attività si passa al simbolismo nelle
relazioni.
Attività 1 - I sassi parlanti:
Ritorniamo ai nostri sassi. Prendiamone due di dimensioni notevolmente diverse. Mettiamoli su un grosso
foglio bianco, uno a sinistra e l’altro a destra e, indicandoli con la mano, facciamoli parlare: <<Secondo voi
cosa dirà questo sasso (quello a sinistra) a quest’altro?>> I nostri alunni, durante la discussione collettiva
dovrebbero scegliere <<Io sono più grande di te>>. La qualità è talmente macroscopica che sarà
facilmente accetta. Disegniamo il contorno dei sassi e poi inseriamo una grossa freccia rossa su cui, almeno
per le prime volte, scriveremo <<…sono più grande di te…>>
IO
sono più grande di
TE
Un sasso parla all’altro con una freccia rossa e dice: <<IO SONO PIÚ GRANDE DI TE>>. <<Dice la
verità?>>
Far disegnare sul quaderno. Ricordarsi di disegnare sempre in alto la freccia con sopra scritto quello che
dice (questo per convenzione)
23
…sono più grande di….
È indispensabile specificare sempre COSA VUOL DIRE la freccia.
Adesso poniamo a sinistra tre sassi, uno sotto l’altro, più grossi dei tre sassi che metteremo in
corrispondenza a destra.
<<Cosa diranno i sassi?>> È accettato da tutti che ogni sasso dirà all’altro <<IO SONO PIÙ GRANDE DI
TE>>. Chiediamo ai bambini se ogni freccia rossa corrisponde alla verità. Alla risposta positiva far
disegnare sul quaderno la rappresentazione.
Per verificare che i bambini abbiano veramente capito, poniamo i tre sassi in ordine sparso, mettiamo le
frecce e, in alto, una freccia che indica cosa dicono le frecce rosse poste in quella direzione.
Poi chiediamo: <<I sassi grigi dicono la verità?>> <<Sì!>> Allora queste relazioni sono vere.
Dopo aver disegnato i sassi sul foglio facciamoli disegnare sul quaderno.
Attività 2 – Il sasso bugiardo.
Adesso faremo uno scherzo ai bambini: prenderemo i soliti tre sassi, li disporremo sul foglio bianco e
metteremo le frecce rosse ma in questo modo:
Se i bambini hanno compreso bene il gioco, si dovrebbero accorgere che c’è un sasso “bugiardo". Infatti c’è
un sasso bianco (piccolo) che dice a quello grigio (grande) <<Io sono più grande di te>> anche se è falso.
Chiediamo ai bambini di disegnare la situazione sul quaderno ma sulla freccia sbagliata, in rosso, facciamo
scrivere “BUGIARDO” seguito da una grossa croce sulla freccia.
Si raccomanda di procedere con molta calma, lavorando per un po’ con il materiale reale lasciando che
siano i bambini a disporre i sassi e a disegnare le frecce (dando, come al solito, la precedenza a quei
bambini che presentano incertezze, magari facendo proporre l’esercizio da un compagno che ha capito
meglio e facendo dichiarare VERO o FALSO all’alunno più debole).
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Attività 3 – Adesso parlo anch’io.
Quando ci accorgiamo che tutti i bambini lavorano con sicurezza riprendiamo i primi due sassi con la freccia
e raccontiamo che il sasso piccolo si è stancato di stare sempre zitto e vuole parlare anche lui: “Secondo voi
come potrà fare?”
IO
sono più grande di
TE
sono più piccolo di
TE
IO
Sicuramente non può parlare con una freccia rossa perché, la freccia rossa, vuole dire: <<Io sono più
grande di te>>. L’unica cosa da fare, probabilmente, è fargli dire qualcosa di diverso con una freccia NON
ROSSA che parta da esso. (far giungere i bambini a questa conclusione dopo una conversazione
collettiva).
Scegliamo una freccia di colore diverso: BLU, la facciamo partire dal sasso piccolo, << ma cosa dirà quella
freccia blu?>>
Normalmente non occorre nessun aiuto da parte nostra, i bambini giungono spontaneamente a pensare alla
relazione inversa perché sono guidati da quella diretta che si trova sopra. Nel caso ciò non avvenisse, non
ha importanza. Se i bambini durante la discussione trovano risposte come: <<IO SONO PIÙ RUVIDO DI
TE>> oppure <<IO SONO PIÙ SCURO DI TE>> si deve solo verificare che queste proposizioni rispondano
al criterio di verità: se sono VERE vanno accettate, se sono FALSE o sono “NON ENUNCIATI” vanno
rifiutate.
Ad ogni proposizione enunciata dai bambini, quindi, chiedere <<VERO o FALSO?>> e, fra tutti gli enunciati,
scegliere quello preferito dalla maggioranza.
A questo punto è indispensabile fissare l’attenzione dei bambini sul fatto che la freccia parte sempre
da chi parla, quindi, prima di far parlare il sasso, bisogna mettergli il ditino sopra e, disegnando la
freccia, ricordarsi che la punta arriva a chi ascolta. È questo un modo per esercitare il bambino a
fissare l’attenzione non solo al gioco in sé stesso ma anche al simbolismo (che a noi è quello che
interessa).
Ripetiamo lo stesso gioco con gli altri gruppi di sassi.
Attività 4 – Nuovi amici.
Finora abbiamo fatto parlare fra loro coppie di sassi ma come si può risolvere la situazione disegnata perché
ogni sasso dica la verità?
……………………………………...
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Questo sasso potrà dire: <<IO SONO PIÙ GRANDE DI TE>> oppure <<IO SONO PIÙ SCURO DI TE>> o
cos’altro vogliano i bambini purché sia un ENUNCIATO VERO. Ricordarsi sempre di disegnare in alto la
freccia.
Far cercare ai bambini anche la relazione inversa poi disegnare tutto sul quaderno.
Attività 5 – Dicono la stessa cosa!
Continuiamo a lavorare con due sassi cercando di trarre in inganno i bambini:
<<Come è possibile che tutti e due i sassi dicano la stessa cosa? C’è qualche bugiardo?>>
I bambini ci penseranno, discuteranno, poi arriveranno alla conclusione che, magari, tutti e due dicono la
stessa cosa <<IO SONO GRIGIO COME TE!>> o altre qualità simili. In questo modo si continua a sviluppare
l’attenzione, la capacità di concentrazione e la ricerca di soluzioni.
Attività 6 – Tutti in fila.
Molto utile per le future catene di numeri sono più sassi in fila che si parlano come nell’esempio
io sono più piccolo di te
…………………
….
Attività 7. Di chi sono più alto?
Se abbiamo lavorato tranquillamente, rispettando i tempi di apprendimento degli alunni non dovremmo
incontrare particolari difficoltà nei lavori successivi.
Prepariamo tre grosse frecce con scritto sopra <<È più alto di….>> poi chiediamo a tre bambini (con altezze
diverse) di disporsi in cerchio; chiediamo adesso ai compagni di disporre le frecce in modo che le relazioni
risultino VERE.
Successivamente mettiamo sulla cattedra le fotografie dei tre bambini e facciamo ripetere l’esercizio.
Dovendo riprodurre l’attività sul quaderno possiamo sostituire alle fotografie il nome dei bambini.
Attraverso questi giochi i bambini passano naturalmente da esperienze concrete, a rappresentazioni grafiche
sempre più schematiche, fino all’uso di soli simboli.
….è più alto di….
Marco
Anna
Luca
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Rimettiamoli in ordine di altezza:
ANNA – LUCA – MARCO.
Proponiamo lo stesso esercizio con tre regoli avendo cura di concludere sempre con il lavoro sulla riga.
Infatti mettere in ordine di altezza tre regoli (o bambini) non è complicato ma, finito il gioco è complicato
decodificare lo schema.
Adesso ordinateli dal più basso al più alto
REGOLO GIALLO – REGOLO VERDE CHIARO – REGOLO ROSSO.
Proponete altre relazioni (stretto/largo – spesso/sottile – corto/lungo).
RAPPRESENTARE RELAZIONI
Obiettivo
• Rappresentare relazioni fra insiemi con frecce e con l’elenco di coppie ordinate.
Le successive lezione fanno tutte parte del capitolo “relazioni” in quanto educano gli alunni alla capacità
sintetica di esprimere, mediante grafismi opportuni, molto celeri, situazioni di fatto piuttosto complesse che,
espresse a parole, comportano una certa difficoltà.
Inoltre favoriscono l’apprendimento di un metodo opportuno a visualizzare concetti astratti attraverso
rappresentazioni concrete.
L’aspetto più importante è che queste attività favorisce la capacità di sintesi.
Le relazioni possono essere rappresentate in vari modi:
- con frecce
- con elenco ordinato di coppie
- con tabelle semplici
- con tabelle a doppia entrata
si tratta di abituare i nostri piccoli alunni ad utilizzare modi diversi per rappresentare relazioni.
Nella successiva attività utilizzeremo il linguaggio delle frecce per mettere in relazione due insiemi,
registreremo le relazioni e scriveremo le coppie ordinate.
Attività 1. Gli insiemi in relazione
Finora abbiamo lavorato con coppie di oggetti, adesso dobbiamo mettere in relazione fra di loro gli insiemi
usando le frecce.
Formiamo sul pavimento l’insieme degli alunni e l’insieme delle loro merendine. (Se si preferisce scegliere,
solo tre alunni e tre merendine per creare meno confusione nella rappresentazione).
Mettiamo il cartellino su ogni insieme e poi colleghiamo ogni alunno alla sua merenda con dei fili di lana (a
cui avremo fatto un nodo ad un capo per rappresentare la punta della freccia). <<Cosa ci dirà la
freccia?>>. Dopo il lavoro eseguito con i sassi, per i bambini sarà facile rispondere <<…..MANGIA…..>>.
Rappresentiamo la relazione sul quaderno e facciamo registrare:
MARCO mangia IL PANINO
LUCA mangia LE PATATINE
CARLA mangia LA MELA
Invece di scrivere per esteso le relazioni dichiarate VERE possiamo elencare le coppie che si vengono a
formare, dicendo esplicitamente ai bambini che, in matematica, le coppie ordinate vengono indicate
utilizzando la parentesi tonda:
{(MARCO,PANINO);(LUCA,PATATINE);(CARLA,MELA)}
}
Proponiamo ai bambini insiemi completi di elementi e chiediamo di dichiarare qual è la relazione che
intercorre fra i singoli elementi. I bambini dovranno scrivere sulla freccia la relazione corretta.
…. Mangia….
Alunni di
classe…..
Merendine degli
alunni
Marco
Marco
Patatine
Patatine
Lucia
Lucia
Mela
Mela
Carla
Carla
Panino
Panino
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LA TABELLA SEMPLICE
Obiettivo
• Acquisire la capacità di rappresentare relazioni attraverso l’utilizzo di tabelle semplici.
Questa lezione è strettamente legata a quella precedente: una volta che i bambini hanno imparato a
rappresentare relazioni tra due insieme utilizzando frecce e coppie ordinate, passiamo alla stessa
rappresentazione ma attraverso tabelle semplici.
Quindi gli alunni dovranno rappresentare l’insieme con una TABELLA SEMPLICE usufruendo della strategia
acquisita per costruire le tabelle di “ appartiene, non-appartiene”
Le successive attività portano i bambini a comprendere l’utilità di utilizzare tabelle semplici per rappresentare
una situazione o un evento. Le attività sono poste in successione in modo tale che il passaggio dagli insiemi
alla tabella si verifichi nel modo più naturale possibile, senza forzature. Si consiglia di non saltare nessuna
tappa perché ogni passaggio è strettamente collegato al precedente ed è la base per il successivo.
Attività 1 - Giochiamo ai travestimenti.
Portiamo a scuola quattro indumenti: una camicia da notte, una gonna lunga, un grembiule da cucina e dei
guanti da forno. Si tirano a sorte quattro bambini a cui si fanno indossare questi indumenti. I bambini sono
LUCA, TEO, MARCO e SARA.
Fra l’ilarità generale incolleremo alla lavagna sulla destra una striscia con la lista dei quattro nomi, uno sotto
l’altro, mentre a sinistra un’altra striscia su cui, sempre uno sotto l’altro avremo disegnato gli indumenti.
Chiederemo ai bambini qual è la relazione tra i due insiemi. Sicuramente diranno <<INDOSSA>>, quindi
faremo una freccia grossa o un cartello con scritto “indossa”.
LUCA
GONNA
TEO
CAMICIA
INDOSSA
MARCO
SARA
GREMBIULE
GUANTI
Posizioniamo il cartello INDOSSA in corrispondenza del nome di LUCA e poi facciamo scorrere la striscia di
destra ottenendo:
LUCA indossa LA GONNA
FALSO
LUCA indossa LA CAMICIA
FALSO
LUCA indossa IL GREMBIULE VERO
LUCA indossa I GUANTI
FALSO
Posizioniamo poi il cartello INDOSSA vicino al nome di Teo ottenendo:
TEO indossa la GONNA
VERO
TEO indossa LA CAMICIA
FALSO
TEO indossa IL GREMBIULE FALSO
TEO indossa I GUANTI
FALSO
Procediamo allo stesso modo per gli altri due bambini.
Mano a mano che troviamo un enunciato VERO, si disegna alla lavagna la coppia della relazione
{(LUCA , GREMBIULE);(TEO , GONNA);(MARCO , CAMICIA);(SARA , GUANTI)}
Facciamo nuovamente notare ai bambini che come per l’insieme mettevamo tra parentesi graffe gli oggetti
che appartenevano, così, quando mettiamo in relazione due insiemi, dobbiamo scrivere tutte le coppie che si
formano; rappresentiamo in questo modo l’insieme con l’ELENCO ORDINATO DI COPPIE (per noi
adulti non è altro che il prodotto cartesiano).
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Adesso disegniamo gli insiemi e le loro relazioni:
…. INDOSSA
GONNA
LUCA
CAMICIA
TEO
GREMBIULE
MARCO
GUANTI
SARA
Attività 2 - Un piccolo scherzo.
Invertendo le due strisce otterremo:
- IL GREMBIULE indossa LUCA
- IL GREMBIULE indossa TEO
C’è qualcosa che non funziona. Come si può risolvere il problema?
Scarteremo con decisione la proposta più ovvia di rimettere le strisce nella posizione originale, per far
scaturire la soluzione giusta. Durante la discussione collettiva emergerà l’idea di cambiare l’enunciato della
relazione e trasformarlo in: <<….E’ INDOSSATO DA…>>.
Ripetiamo il gioco dello scorrimento e scriviamo le coppie ordinate
{(GREMBIULE , LUCA);(GONNA , TEO);(CAMICIA , MARCO);(GUANTI , SARA)}
E’
INDOSSATA
TEO
GREMBIULE
MARCO
GONNA
LUCA
CAMICIA
SARA
GUANTI
29
Attività 3 – Ma gli insiemi parlano tra loro?
Chiediamo ai bambini se ricordano il gioco dei sassi (per riportare l’attenzione su quel concetto riprendiamo
il cartellone): quando due sassi parlavano fra di loro, il primo dichiarava una relazione e il secondo poteva
risponde il contrario. Anche fra coppie è possibile procedere nello stesso modo.
Proviamo con due soli insiemi:
INDOSSA
GONNA
LUCA
CAMICIA
TEO
GREMBIULE
MARCO
GUANTI
SARA
E’ INDOSSATA
Se parla l’insieme di sinistra useremo <<….INDOSSA…>>, se parla l’insieme di destra useremo il contrario,
cioè: <<…..È INDOSSATA…>>.
Preparare una tabella semplice:
Indossa
A
B
LUCA
TEO
MARCO
SARA
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Attività 4. Costruiamo una tabella
Presentiamo due nuovi insiemi: (per i bambini utilizzare i disegni, qui io utilizzo i nomi)
A = INSIEME CASE DEGLI ANIMALI
B = INSIEME DI ANIMALI
Facciamo disegnare gli insiemi e le frecce di relazione diretta e inversa:
Prepariamo nuovamente due strisce, come abbiamo fatto precedentemente con gli indumenti, e ripetiamo
l’esercizio facendo scivolare la striscia di destra (ma questa volta in alto sulla lavagna avremo messo A e B
con la freccia di relazione) attribuendo il valore di verità:
LA CUCCIA è la casa di UCCELLINO
FALSO
LA CUCCIA è la casa di CANE
VERO
LA CUCCIA è la casa di ORSO
FALSO
LA CUCCIA è la casa di LUPO
FALSO
IL NIDO è la casa di UCCELLINO
VERO
IL NIDO è la casa di CANE
FALSO
I bambini si accorgeranno subito che l’ acquario non ha animali, mentre la tana è la casa di due animali,
questo è perché non si convincano che ogni elemento del primo insieme deve avere per forza un
corrispondente e che, nel secondo insieme, esiste anche il caso in cui, ad un elemento del primo,
corrispondano due elementi del secondo e viceversa.
Procediamo fino a quando non abbiamo trovato tutte le coppie possibili. Questa volta però, invece di
metterle solo tra parentesi graffe, le disegniamo in una TABELLA SEMPLICE
LA TABELLA A DOPPIA ENTRATA
Obiettivi
• Rappresentare relazioni anche con la tabella a doppia entrata
Concludiamo, con questa lezione, le attività sulla rappresentazione delle relazioni.
La rappresentazione con tabelle a doppia entrata permette, in aritmetica, lo sviluppo di attività
“contemplative” sui numeri. È attraverso questa tabelle che si sviluppa la capacità di trovare tutti i casi
particolari (numeri amici, numeri primi, pari e dispari ecc.). Saper costruire le tabelle vuol dire capire il
meccanismo che le sorregge e, quindi, più facilmente, percepire dalla loro lettura, le situazioni particolari.
Le attività successive partono dalla rappresentazione di una relazione attraverso le coppie ordinate, gli
insiemi e la tabella semplice per arrivare, nell’attività 2 a rappresentare la stessa situazione in un modo
diverso costruendo una tabella a doppia entrata, utilizzando sempre le “strisce”. Questa tabella può essere
rappresentata anche nella realtà creandola sul pavimento, con corde o nastri e facendo muovere i bambini,
che terranno in mano i disegni degli elementi utilizzati negli insiemi.
Attività 1 - Ancora travestimenti.
Riprendiamo i nostri travestimenti e tiriamo a sorte altri tre bambini formando i due insiemi:
A = insieme di alcuni bambini di prima
B = insieme di alcuni indumenti portati dalla maestra
Utilizziamo il termine alcuni in quanto non sono tutti i bambini né tutti gli indumenti.
…INDOSSA…
B
A
ANDREA
LAURA
NILDE
GUANTI
GREMBIULE
CAMICIA
Su ogni cartellino mettiamo solo l’indicazione A e B in quanto cosa appartiene all’insieme è già stato
indicato sopra.
Creiamo le relazioni e, aiutandoci con le strisce, creiamo la tabella semplice utilizzando il valore di verità.
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…indossa…
A
B
ANDREA
GREMBIULE
LAURA
GUANTI
NILDE
CAMICIA
Attività 2 – Usiamo le strisce.
Adesso, con l’aiuto delle nostre due strisce, prepariamo un nuovo tipo di tabella attaccandole alla lavagna,
perpendicolari fra di loro: la striscia che rappresenta l’insieme A a sinistra, quella che rappresenta l’insieme
B in alto.
A
CAMICIA
GUANTI
indossa
GREMBIULE
B
ANDREA
Andrea,guanti
FALSO
Andrea,grembiule
VERO
Andrea,camicia
FALSO
LAURA
Laura,guanti
VERO
Laura,grembiule
FALSO
Laura,camicia
FALSO
NILDE
Nilde,guanti
FALSO
Nilde,camicia
FALSO
Nilde,camicia
VERO
Gli alunni sono ormai abituati a confrontare ogni elemento del primo insieme (A) con ciascun elemento del
secondo insieme (B).
Chiamiamo un bambino alla lavagna e facciamogli mettere il ditino su ANDREA, spostandolo verso
destra,fino a quando non incontra la casella nella colonna dei guanti. L’insegnante chiederà: <<ANDREA
indossa i guanti?>> (facendo notare la direzione della freccia).
La prima volta tutto andrà registrato nella tabella perché sia evidente quello che i bambini stanno facendo.
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Successivamente indicheremo solo le relazioni vere con crocette:
ANDREA INDOSSA I GUANTI?
FALSO allora nulla
ANDREA INDOSSA IL GREMBIULE?
VERO mettiamo la crocetta
ANDREA INDOSSA LA CAMICIA?
FALSO quindi niente
Abbiamo terminato la strada di Andrea. Chiamiamo un altro bimbo e rifacciamo lo stesso percorso per
LAURA
LAURA INDOSSA I GUANTI?
LAURA INDOSSA IL GREMBIULE?
FALSO allora nulla
LAURA INDOSSA LA CAMICIA?
FALSO allora niente
Terminata anche la strada di Laura chiamiamo un altro bambino e ripetiamo il percorso:
NILDE INDOSSA I GUANTI?
FALSO allora nulla
NILDE INDOSSA IL GREMBIULE?
FALSO allora nulla
NILDE INDOSSA LA CAMICIA?
e disegneremo la seguente tabella :
CAMICIA
GREMBIU
LE
indossa
GUANTI
B
X
A
ANDREA
X
LAURA
X
NILDE
Realizziamo l’elenco delle coppie ordinate preceduto dalla lettera R che indica le relazioni: (con i bambini,
utilizziamo i disegni invece delle parole)
R ={
{(ANDREA,GREMBIULE);(LAURA,GUANTI);(NILDE,CAMICIA)}
}
Copiamo il lavoro sul quaderno facendo notare ai bambini che, per convenzione, gli elementi del primo
insieme si scrivono a sinistra, che è anche il punto da cui si parte per leggere la tabella, mentre gli
elementi del secondo insieme, si posizionano in alto. Le righe che utilizziamo ci servono per non confondere
le strade.
OGNI RELAZIONE PUÒ ESSERE RAPPRESENTATA:
- con gli insiemi
- con le coppie ordinate
- con la tabella semplice
- con la tabella a doppia entrata.
Attività 3 – Battaglia navale
Prepariamo una tabella, in più copie, come quella raffigurata al di sotto (a sinistra tre lettere, in alto tre
numeri; porre l’attenzione sulla freccia che parte sempre da sinistra e va verso l’alto, cioè verso le caselle di
destra). Dare una tabella per ogni bambino e invitarli a giocare a coppie.
Ogni bambino dovrà disegnare all’interno della sua tabella quattro barchette (grandi una casella) senza farsi
vedere dal proprio compagno.
Inizia il gioco: il primo giocatore pronuncia una coppia ordinata (ad esempio A,2), che indica una casella,
dove secondo lui si trova una delle barchette del compagno e la individua sul suo foglio con un puntino. Se
ha indovinato dove è posizionata la barca, l’altro compagno dichiarerà: <<Affondata!>> e farà una croce
33
sulla sua barchetta. In caso contrario affermerà: <<Acqua>>. A turno giocano entrambi, procedendo in
questo modo fino a quando uno dei due bambini ha esaurito le barchette. Logicamente vince chi riesce ad
affondare tutte le barchette del compagno.
1
2
3
A,1
A,2
A,3
B
B,1
B,2
B,3
C
C,1
C,2
C,3
A
Per le classi quarte e quinte inserisco alcune attività condensate.
Enunciati e connettivi per classificare.
Obiettivi:
Saper rappresentare, attraverso i diagrammi di Venn, il connettivo “e” partendo da situazioni che fanno
parte del suo vissuto.
Saper attribuire il valore di verità a due proposizioni date utilizzando il connettivo “e”.
I bambini hanno imparato a usare e a distinguere le proposizioni logiche dalle non proposizioni attraverso
attività di classificazione, stabilendo il VALORE DI VERITA’ degli enunciati.
Si tratta ora di accompagnarli a stabilire relazioni fra classi diverse utilizzando i connettivi logici “e” “o”
“non” e, dove possibile, a raffigurarle con rappresentazioni diverse.
ATTIVITÀ. I bambini avevano già lavorato con l’insieme intersezione. Si tratta ora di formalizzarlo applicando
a questo insieme la tavola di verità relativa al connettivo
RICORDIAMO:
“e”.
L’insieme formato dagli elementi comuni a due o più
Prepariamo sul pavimento (utilizzando una corda molto
insiemi è l’insieme intersezione.
lunga) “l’insieme universo degli alunni di classe quarta”.
All’operazione insiemistica di intersezione corrisponde
l’operazione logica della congiunzione.
Formiamo, al suo interno, il sottoinsieme degli alunni con
La disgiunzione “o” può essere usata con due
i capelli biondi e quello dei bambini con i capelli lunghi.
significati diversi:
Nel momento in cui i bambini si posizioneranno risulterà
significato inclusivo (vel) quando ad ogni
evidente che sarà necessario utilizzare l’intersezione
coppia di proposizioni associa una nuova
perché ce ne saranno alcuni che avranno entrambe le
proposizione che è falsa solo quando sono
caratteristiche.
false entrambe. In tutti gli altri casi è vera.
significato esclusivo (aut) quando ad ogni
Dopo aver svolto l’attività rispondiamo alle domande del
coppia di proposizioni associa una nuova
libro operando concretamente.
proposizione la quale è falsa se entrambe
Lavoriamo ancora sulle proposizioni. Utilizziamo i blocchi
sono false o entrambe vere. Negli altri due
logici per semplicità di esposizione, ma qualunque
casi è vera
oggetto va bene purché presente nell’aula. Mostriamo ai
bambini i blocchi che si vedono nella tabella e valutiamone il VALORE DI VERITÀ. Ogni volta che
presentiamo un blocco completiamo la tabella sottostante.
Oggetto
Prima
proposizione
Blocco rosso
Seconda
proposizione
Blocco tondo
VALORE DI
VERITÀ
Blocco rosso e
tondo
VERO
VERO
VERO
FALSO
VERO
FALSO
VERO
FALSO
FALSO
FALSO
FALSO
FALSO
34
Con lo stesso metodo e utilizzando oltre al materiale anche frasi del tipo <<La maestra dà a Marco una
matita e un foglio da disegno>> si possono completare altre tavole di verità.
Obiettivi:
Saper rappresentare attraverso i diagrammi di Venn, di Carroll e ad albero, il connettivo “e”.
Saper attribuire il valore di verità a due proposizioni date utilizzando il connettivo “o” sia come disgiunzione
inclusiva che esclusiva.
RICORDIAMO:
Quando i bambini opereranno con sicurezza stabilendo il
Il diagramma di Carroll è una tabella a doppia entrata
VALORE DI VERITÀ fra due proposizioni possiamo
che si può raffigurare come una partizione di un
rappresentare le situazioni che via via abbiamo
insieme in due sottoinsiemi disgiunti ciascuno dei
quali è suddiviso in altri due sottoinsiemi.
analizzato utilizzando i diagrammi.
Lo stesso discorso vale per il diagramma ad albero.
ATTIVITÀ. Riprendiamo i blocchi logici e scegliamo il
“blocco rosso e tondo”. Utilizzando dei cordoncini colorati
costruiamo l’insieme dei blocchi rossi e l’insieme dei blocchi tondi. Risulterà evidente che bisogna costruire
anche l’insieme intersezione dei blocchi tondi e rossi.
Il diagramma di Carroll si può preparare utilizzando quattro scatole su cui scriveremo la caratteristica scelta
e in cui i bambini inseriranno realmente i blocchi logici. Facilmente verranno inseriti i blocchi tondi e rossi
mentre si noteranno incertezze per quelli rimasti. Facciamo riflettere i bambini sul fatto che i blocchi restanti
sono “non rossi” o “non tondi”. Lo stesso si può fare con il diagramma ad albero utilizzando delle strade,
costruite con la carta per macchina calcolatrice, su cu vanno scritte le caratteristiche. Disegniamo il
diagramma di Carroll e quello ad albero sul quaderno.
Non rossi
Tondi
rossi
Non tondi
Non
tondi
tondi
Non tondi
Rossi
tondi
Non rossi
Riprendiamo il blocco rosso e tondo. Chiediamo ai bambini di completare la TAVOLA DI VERITÀ ma questa
volta la frase sarà: <<Questo è un blocco rosso o tondo>>. In questo caso utilizziamo il connettivo “o” con il
significato di vel. Mostriamo i blocchi come nella tabella e completiamola.
Oggetto
Prima
proposizione
Blocco rosso
Seconda
proposizione
Blocco tondo
VALORE DI
VERITÀ
Blocco rosso o
tondo
VERO
VERO
VERO
FALSO
VERO
VERO
VERO
FALSO
VERO
FALSO
FALSO
FALSO
Obiettivo: saper utilizzare i quantificatori.
I quantificatori presentano difficoltà per i bambini i in quanto assumono un diverso significato nel linguaggio
comune e nel linguaggio matematico. Ad esempio <<alcuni bambini sono intelligenti>> viene interpretata
nel senso che diversi bambini sono intelligenti. In matematica invece significa che almeno un bambino è
intelligente.
35
COLLEGARE ENUNCIATI ATTRAVERSO CONNETTIVI
•
•
Distinguere un enunciato da un non enunciato
Collegare enunciati attraverso connettivi.
Molte volte nella pratica didattica è stata attribuita alla Logica la “grande” capacità di “insegnare” ai bambini
a risolvere i problemi. I programmi invece inseriscono questo argomento nell’Introduzione al pensiero
razionale dando a questa materia la sua giusta collocazione: costringere gli alunni a riflettere sul senso di
una componente della lingua naturale.
I bambini hanno avuto modo, fin dalla classe prima, di attribuire un valore di verità alle proposizioni e di
utilizzare i connettivi per costruire nuovi enunciati.
Il percorso didattico proposto per la classe quarta, accompagna gli alunni a stabilire il valore di verità
utilizzando i connettivi più comuni (“e” – “o” inclusivo) e a costruire le relative tavole.
1. A caccia di “enunciati”
Proponiamo ai nostri alunni un gioco a squadre per verificare se il concetto di enunciato, (ma, soprattutto, di
universo linguistico) è interiorizzato.
Mettiamo a disposizione degli alunni riviste, quotidiani, giochi e altro materiale Dividiamo la classe in quattro
squadre. Ogni squadra dovrà trovare degli enunciati a cui far attribuire un valore di verità dalla squadra
avversaria. La prima fase del gioco consiste nel cercare gli enunciati da presentare.
Nella seconda fase, ogni gruppo (secondo le modalità stabilite prima di iniziare) proporrà un enunciato ad
un’altra squadra. La risposta dovrà essere data da un solo componente senza l’aiuto dei compagni. Se la
risposta sarà corretta tutta la squadra vincerà un punto in caso contrario nulla. Logicamente vince la squadra
che avrà totalizzato più punti.
Lo scopo del gioco è quello di far cadere in trappola l’avversario proponendo enunciati “ambigui” (ad
esempio: <<La signora lava i vestiti>> è un enunciato falso se non è presente una fotografia in cui si veda
una donna che lava; oppure <<oggi la temperatura è salita di 3°>> anche in questo caso sarà indispensa bile
avere un quotidiano a disposizione per stabilire il valore di verità). Con questo gioco si vuole passare da un
concetto intuitivo di universo linguistico ad un’attività di riflessione e di analisi.
2. Tutti in tabella!
Con l’attività precedente abbiamo definito l’universo linguistico e l’enunciato atomico. Si tratta ora di
utilizzare enunciati atomici e, attraverso l’uso dei “connettivi” ottenere nuovi enunciati più complessi.
Utilizziamo un racconto di qualche alunno per definire il valore di verità del suo resoconto. Poniamo ad
esempio che Luca abbia raccontato alla classe di essere recato domenica al mare e la mamma lo ha
obbligato a mangiare il pesce.
Scriviamo su una striscia di cartoncino la frase di Luca:
MI SONO RECATO AL MARE E HO MANGIATO IL PESCE.
Diamo ad ogni bambino la striscia e chiediamo da quanti enunciati è formata. Facciamo ritagliare gli
enunciati minimi: “Mi sono recato al mare”–“Ho mangiato il pesce”
Attribuiamo il valore di verità:
Mi sono recato al mare
--> VERO
--> VERO
Essendo tutti e due gli enunciati veri anche il nuovo enunciato risulterà vero.
Proponiamo ai bambini di utilizzare una tabella per verificare cosa sarebbe capitato se Luca ci avesse detto
una “mezza verità”.
Disegniamo alla lavagna la tavola di verità e completiamola, discutendo le varie affermazioni con i bambini.
Mi sono recato al
mare
Vero
Vero
Falso
Falso
Vero
Falso
Vero
Falso
Mi sono recato al
mare e ho mangiato il
pesce
Vero
Falso
Falso
Falso
Dopo aver completato la tavola di verità risulterà evidente che da due enunciati, utilizzando la e, se ne
ottiene un terzo che risulterà vero solo nel caso in cui siano veri i due enunciati atomici che lo compongono.
Chiediamo ai bambini di proporre altre composizioni di enunciati utilizzando però questa volta materiale
presente in aula.
36
3. …e se usiamo “o”?
A distanza di qualche giorno scriviamo nuovamente alla lavagna la frase di Luca ma questa volta
utilizzeremo la “o” solo in senso inclusivo.
MI SONO RECATO AL MARE O HO MANGIATO IL PESCE
Anche in questo caso discutiamo con i bambini sul valore di verità. In questo caso non è così intuitivo per i
bambini stabilire il valore di verità in quanto tendono a procedere come per la “e”.
Proponiamo quindi di costruire la tavola di verità:
Mi sono recato al
mare
Vero
Vero
Falso
Falso
Vero
Falso
Vero
Falso
Mi sono recato al
mare o ho mangiato il
pesce
Vero
Vero
Vero
Falso
In questo caso occorre proporre numerosi esempi da eseguire collettivamente anche a distanza di diverso
tempo. Facciamo osservare ai bambini che la disgiunzione di due enunciati è vera se almeno uno degli
enunciati componenti è vero mentre è falsa nel caso in cui gli enunciati componenti siano entrambi falsi.
Proviamo con “non”.
A differenza di “e” e di “o” che legano sempre due enunciati “non” opera su un solo enunciato.
La sua funzione linguistica è quella di cambiare il valore di verità di un enunciato. Ad esempio: <<Il cane è
un quadrupede>> è una proposizione vera se dico: <<Il cane non è un quadrupede>> ottengo una
proposizione falsa.
Anche in questo caso proponiamo ai bambini di inventare frasi vere che, con l’uso del non, diventano false e
viceversa poi completiamo la tavola di verità:
A
Vera
Falsa
Non A
Falsa
Vera
Occorre prestare molta attenzione nell’utilizzo della congiunzione “non” in quanto negare un enunciato non
vuol dire mutare il suo predicato ma cambiare solo il suo valore di verità. Se, ad esempio, affermiamo che
<<questo fiore non è una margherita>> non equivale a dire che <<questo fiore è un crisantemo>> ma può
essere qualunque altro fiore esclusa una margherita.
Quando utilizziamo con gli alunni la negazione “non” sarebbe opportuno sostituirla con <<non è vero
che>> specialmente negli enunciati negati in forma positiva come spesso capita in aritmetica: <<9 non è un
numero primo>> sarebbe più semplice per i bambini attribuire il valore di verità alla frase <<non è vero che 9
non è un numero primo>>.
PARTICOLARI BISOGNI FORMATIVI
Se in classe sono presenti alunni in difficoltà presentiamo una semplice scheda che ci permetta di valutare
se l’alunno/i hanno compreso la differenza fra enunciato e non enunciato e sanno attribuire il giusto valore di
verità.
Marco ha i capelli biondi
Marco è un bel bambino
Marco indossa pantaloni non gialli
Marco gioca con la palla
Marco è molto intelligente
Marco non ha i pantaloni lunghi
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
37
PER IL PORTFOLIO
La stessa scheda può essere presentata a tutta la classe ma modificata nelle domande:
Marco ha i capelli biondi
V F
Marco è un bel bambino
V F
Marco ha i pantaloni non gialli
V F
Marco non gioca con la palla
V F
Marco indossa il cappellino o la camicetta V F
Marco gioca con la palla e con il
monopattino
V F
Marco è un bambino intelligente
V F
Marco è biondo e non porta le scarpe V F
Marco non ha il ginocchio sul monopattino o ha
la mano sul monopattino.
V F
La mamma di Marco è bionda
V F
Chiediamo ai bambini di verificare le loro risposte utilizzando le tavole di verità. Riteniamo superata la prova
quando, anche se nelle domande vi sono degli errori, i bambini sanno argomentare correttamente le loro
risposte.
Proponiamoli seguente esercizio per verificare se i bambini hanno compreso effettivamente l’utilizzo dei
connettivi logici. L’esercizio presentato non è semplice in quanto i bambini dovranno procedere per
esclusione. Di norma si rileva una difficoltà nella lettura della “o” della seconda affermazione che viene letta
come “e”.
A chi appartengono questi blocchi?
Maria afferma <<Il mio non è rosso e ha l’adesivo>>
Marco dice <<Il mio non è giallo o non ha l’adesivo>>
Luisa dichiara <<Il mio non è giallo e ha l’adesivo>>
CLASSIFICAZIONI
•
•
Rendere aperti gli enunciati per classificare
Classificare in base a due attributi
In questa sezione vengono prese in considerazione le attività che collegano direttamente i connettivi con gli
insiemi che li rappresentano. Per poter svolgere queste attività è necessario che i bambini abbiano chiari i
concetti di enunciato e di appartenenza. Verranno quindi ribaditi i concetti di enunciato aperto, appartenenza
ad un insieme e congiunzione di enunciati aperti in modo tale che la teoria degli insiemi non risulti un mero
esercizio di logica ma la sua naturale evoluzione.
Prima di giungere alla costruzione degli insiemi è necessario che i bambini apprendano come chiudere un
enunciato aperto e da questo come rappresentare un insieme. Inoltre, considerando che la congiunzione tra
enunciati ha come sviluppo naturale l’intersezione si procederà partendo dai primi per poter compiere delle
classificazioni e tradurle in classificazioni in base a due elementi dove è necessario aver ben chiaro il ruolo
della congiunzione “e”. Le seguenti attività sono da realizzare dopo aver svolto la lezione precedente ed aver
verificato che tutti i bambini abbiano chiaro il concetto di enunciato.
Attività 1. Apriamo gli enunciati
Prepariamo una serie di strisce di cartoncino su cui avremo scritto alcuni enunciati veri. Ad esempio << Il
gatto ha 4 zampe>>. Quando i bambini vedranno i cartoncini e li leggeranno ribadiranno che si tratta di
enunciati. (Se vogliamo è possibile anche inserire strisce contenenti enunciati falsi e non enunciati come
verifica dei prerequisiti poi però, per svolgere l’attività, eliminiamoli). Chiediamo ai bambini di stabilire il
valore di verità degli enunciati (gli enunciati considerati sono veri) poi analizziamoli dal punto di vista
linguistico. Ogni enunciato atomico è formato da un gruppo nominale (il gatto) e da un gruppo verbale (ha
quattro zampe). Tagliamo il gruppo nominale e incolliamo alla lavagna solo il gruppo verbale mettendo al
38
posto del gruppo nominale dei puntini. A questo punto appoggiamo sui puntini l’immagine di una gallina e
leggiamo l’enunciato ottenuto: <<la gallina ha quattro zampe>> fra le risate dei bambini si stabilirà che
questo enunciato è falso. Continuiamo con altre immagini fino a quando tutti i bambini non avranno giocato
(Possiamo lasciare che siano loro a turno a scegliere l’immagine) poi domandiamo se sanno spiegare lo
scopo di questo gioco. Evidentemente i bambini affermeranno che se manca il gruppo nominale non è
possibile stabilire il valore di verità e che questo varia con il variare del gruppo nominale. Spieghiamo che
l’enunciato a cui manca il gruppo nominale si chiama enunciato aperto e che per stabilire il valore di verità
è necessario chiuderlo
2. Chiudiamo gli enunciati.
Prepariamo una striscia di cartoncino con scritto:<<……è un mese di 31 giorni>> Chiediamo ai bambini di
rendere vero questo enunciato aperto. Logicamente i bambini affermeranno che potranno chiuderlo usando
Gennaio, Marzo, Maggio, Luglio, Agosto, Ottobre e Dicembre. Domandiamo a quale insieme appartengono i
nomi che hanno appena detto. Risulterà evidente che sono tutti mesi. Disegniamo alla lavagna l’insieme dei
mesi dell’anno
aprile
ottobre dicembre
giugno
febbraio
agosto
settembre
luglio marzo
novembre
maggio
gennaio
È un mese di 31 giorni
mesi
Chiediamo ai bambini di cerchiare l’insieme verità.
Abbiamo ottenuto l’insieme verità che è un sottoinsieme dell’universo i mesi dell’anno.
Questo lavoro è molto utile per risolvere quesiti aritmetici. Ad esempio consideriamo come universo i primi
dieci numeri naturali e l’enunciato aperto <<…. è minore di 7>> i bambini dovranno chiudere l’enunciato
aperto e disegnare l’insieme verità cioè il sottoinsieme.
In questo modo introducendo l’insieme come insieme soluzione di un enunciato aperto risulta privo di
ambiguità anche il concetto di appartenenza ad un insieme. Ogni tanto proponiamo anche esercizi dove
come l’insieme – soluzione di un enunciato aperto è l’universo stesso cioè l’insieme vuoto. Nell’insieme dei
bambini della nostra classe formare il sottoinsieme dei bambini che: <<…hanno la patente>>. In questo caso
nessun elemento dell’universo rende vero questo enunciato perciò nessun elemento apparterrà a questo
insieme che verrà definito come insieme vuoto.
3. Classifichiamo
Fino ad ora abbiamo classificato in base ad un unico attributo. Si tratta ora di classificare in base a due
attributi.
Come per gli enunciati, anche per gli enunciati aperti è possibile eseguire la congiunzione.
Prepariamo delle carte utilizzando fogli di plastica di vari colori tra cui almeno 3 rosse (vanno bene anche
vecchie copertine di plastica per i quaderni) e altre carte con fogli di cartoncino colorati, di cui almeno 5
rossi. Mettiamoli sulla cattedra e chiediamo agli alunni di formare l’insieme delle “carte portate dalla
maestra”. Scriviamo alla lavagna i due enunciati aperti: <<….essere rossi>> e <<…essere di plastica>>. I
bambini chiuderanno gli enunciati mettendo al posto dei punti una delle carte ma, quando si tratterà di
disporle negli insiemi si accorgeranno che alcune carte appartengono ad entrambi quindi ci saranno carte
che << sono rosse e di plastica>> si dovrà quindi unire i due insiemi in modo tale che si formi un’intersezione
dove poter inserire le carte rosse e di plastica.
39
…essere rossi
…essere di plastica
Essere rossi e di plastica
Chiediamo ai bambini di rappresentare la situazione on altri tipi di diagramma che già conoscono.
Chiediamo di utilizzare il diagramma di Carroll.
Rossi
Di plastica
Non di plastica
Non rossi
Oppure con il diagramma ad albero
Di plastica
Non rossi
rossi
non di plastica
rossi
non rossi
Proponiamo ai bambini in difficoltà semplici situazioni di classificazione. Lasciamoli comunque liberi di
utilizzare il materiale concreto e formiamo gli insiemi con cordicelle colorate dove sia evidente il contorno di
un insieme e quello dell’altro. Anche se non sono in grado di lavorare su schede è importante valutare se
hanno compreso i meccanismi della classificazione e dell’intersezione.
Proponiamo ai bambini il seguente esercizio come verifica del lavoro fin qui svolto.
Osserva attentamente gli insiemi disegnati.
L’insieme universo è “giocattoli di Marco”
Giocattoli di Marco
Automobilina
Carretto
Trenino
Bicicletta
papera con ruote
cavallino con ruote
coniglietto
orso
cagnolino
Scrivi nei cartellini di che insieme si tratta poi completa la tabella:
40
giochi di Marco
…avere
le ruote
VoF
….essere
un animale
VoF
Avere le ruote
e
essere un animale
Automobilina
Papera con ruote
trenino
coniglietto
bicicletta
Cavallino con ruote
orso
Carretto
bicicletta
Dopo aver eseguito la tabella rappresenta l’insieme intersezione con il diagramma di Carroll e il
diagramma ad albero.
LE RELAZIONI
Obiettivi
Rappresentare relazioni utilizzando tabelle, frecce o il piano cartesiano
Il concetto di relazione è alla base di ogni collegamento logico ed è fondamentale in ogni tipo di
organizzazione. I bambini, fin dalla più tenera età, hanno dimestichezza con le relazioni basti pensare alle
relazioni fra i componenti della sua famiglia o tra persone ed oggetti.
Tale concetto viene presentato partendo dall’analisi degli enunciati ampliando così la logica degli insiemi
nella cosiddetta logica dei predicati.
I bambini sanno già stabilire relazioni ed utilizzare frecce. Si tratta ora di riconoscere e chiarire che cosa
s’intenda per relazione e di saperle rappresentare utilizzando diversi tipi di diagrammi. I bambini verranno
condotti, attraverso attività ludiche, a chiudere enunciati aperti nei due estremi e a rappresentarli per scoprire
l’insieme soluzione trovando tutte le coppie ordinate che rendono vero l’enunciato stesso.
1. Un enunciato…due variabili.
Partiamo sempre dall’enunciato. Finora i bambini hanno scoperto come chiudere un enunciato in cui
mancava il gruppo nominale. Si tratta ora di scomporre ulteriormente un enunciato aperto dividendo il
gruppo verbale in due parti.
Prepariamo nuovamente dei cartoncini su cui avremo scritto ad esempio <<La gatta è la mamma del
micino>> da dare ai bambini e dei cartoncini con gli elementi dei due insiemi che terremo per giocare alla
lavagna.
Definiamo i due insiemi in cui vogliamo operare.
A = Cavalla, gatta, gallina, pecora, coniglia.
B = Micino, puledro, pulcino.
Chiediamo ai bambini di tagliare il gruppo nominale: la gatta, resterà un enunciato aperto <<……è la
mamma del micino>>. Facciamo tagliare il gruppo verbale in due parti togliendo anche la parola micino. A
questo punto ai bambini resterà in mano un cartoncino con scritto <<….è la mamma di….>>ottenendo
così un enunciato aperto ai due estremi. Alla lavagna incolleremo l’enunciato rimasto poi chiameremo un
bambino per volta a chiudere l’enunciato. In questo caso il bambino dovrà verificare tutte le coppie
possibili che rendano vero l’enunciato. Iniziamo utilizzando come gruppo nominale “la gatta”, i bambini lo
chiuderanno con gli elementi dell’altro insieme e trascriveranno solo gli enunciati veri.
41
Ad esempio:
la gatta ….è la mamma del… micino vero
la gatta ….è la mamma del…puledro falso
la gatta ….è la mamma del…pulcino falso
proseguendo si otterranno solo tre copie che rendono veri gli enunciati:
(gatta,micino) – (cavalla, puledro) – (gallina,pulcino).
Rappresentiamo questa situazione con un grafo
cavalla
gatta
gallina
pecora
coniglia
pulcino
puledro
micio
Con una tabella
pulcino
puledro
micino
Cavalla
Gatta
Gallina
Pecora
Coniglia
Con il grafico cartesiano:
cavalla
gatta
gallina
pecora
coniglia
Pulcino
puledro
micino
Proponiamo altre attività simili cambiando gli enunciati poi procediamo stabilendo relazioni attraverso
l’uso di frecce.
Prendiamo spunto dai fumetti per rappresentare la relazione <<….è fratello di….>> nell’insieme formato
da Qui, Quo, Qua.
Qui
Qua
Quo
42
Osserviamo il grafo ottenuto: le frecce sono orientate in modo diverso questo perché ogni personaggio è
collegato ad un altro da una relazione diretta Qui è fratello di Quo e dalla relazione inversa: Quo è fratello
di Qui. Possiamo dire ai bambini che, quando all’interno degli enunciati si possono scambiare le due
variabili senza cambiare il predicato e il valore di verità dell’enunciato non cambia ci troviamo di fronte
alla proprietà simmetrica delle relazioni.
Facciamo inventare dai bambini altre situazioni in cui è possibile utilizzare la proprietà simmetrica.
Terminato questo lavoro proponiamo l’attività inversa.
Disegniamo alla lavagna due insiemi e chiediamo ai bambini di riconoscere la relazione.
Rondine
semi
Pesce
vermi
Cane
carne
Queste attività sono complicate per i bambini che presentano difficoltà. È opportuno, con loro limitarsi a
relazioni semplici del tipo: <<….abita>> <<mangia..>>ecc. e provare a trovare la relazione inversa
utilizzando sempre materiale concreto come disegni o oggetti
PER IL PORTFOLIO
Presentiamo ai bambini una scheda che ci permetta di valutare la comprensione delle relazioni e la capacità
di rappresentarle.
Metti in relazione i due insiemi utilizzando le frecce.
M
T
G
S
L
Simone Gianni
Luca
Gabriele
Tiziana Marco
Matteo
La freccia dice: è l’iniziale di…..
Rappresenta sul quaderno gli enunciati con la tabella, con le coppie e con il grafico cartesiano.
Ricopia sul tuo quaderno l’esercizio precedente ma inverti l’ordine delle frecce.
Le frecce hanno lo stesso significato? …..
Scrivi cosa dice la freccia ……………………..
PER LE CLASSI QUINTE - CLASSIFICARE
Obiettivo
• Classificare oggetti figure numeri in base a due o più proprietà date e viceversa.
• Saper rappresentare le classificazioni attraverso il diagramma di Carroll, di Eulero-Venn e ad albero.
Il termine “classificazione” viene utilizzato tenendo conto non tanto di criteri matematici quanto di criteri
“psicologico-didattici”. Infatti non interessa che i bambini conoscano ad esempio le “operazioni tra insiemi” o
che comprendano e sappiano usare “espressioni logiche” formalizzate. Ci interessa invece che
acquisiscano, con il tempo, una certa attitudine a stabilire criteri di classificazione, a rappresentarle e ad
individuare una classe mediante un suo elemento. Inoltre è importante che imparino a distinguere, per
mezzo di una classificazione, il “generale” dal “particolare
Le seguenti attività propongono situazioni in cui gli allievi dovranno classificare in base a tre caratteristiche e
rappresentarle con il diagramma di Eulero Venn, di Carroll e ad albero. Inoltre verrà proposto l’esercizio
inverso: partendo da un diagramma dato i bambini dovranno costruire il diagramma ad albero e quello di
Carroll.
43
1. Classifichiamo i quadrilateri
Prepariamo una serie di quadrilateri, come quella sottostante, e consegniamoli ai bambini che dovranno
ritagliarli.
Chiediamo ai bambini di classificare con un diagramma di Eulero-Venn l’insieme universo delle figure
ritagliate secondo le seguenti proprietà:
-
essere quadrilateri
essere rossi
essere equilateri.
Si otterrà una
rappresentazione
di questo tipo:
U
Essere rossi
Essere equilateri
Essere quadrilateri
Gli alunni dovranno posizionare le figure ritagliate al posto giusto.
Dopo aver discusso collettivamente sui lavori svolti e aver stabilito qual è la rappresentazione corretta i
bambini disegneranno i quadrilateri al posto giusto.
Chiediamo di costruire il grafo ad albero. Svolgiamo il lavoro collettivamente usando dei nastri di carta
igienica per rappresentare i “rami” e poniamo l’insieme universo in alto:
Insieme figure ritagliate
rossi
……….
non rossi
..… …..
…..
……..
……….
………….
……
……
……….. …… ……
……….
…….
……. …….
…
……..
44
Eseguiamo la prima classificazione: rossi/non rossi i bambini prenderanno le figure ritagliate e le
inseriranno alla fine dei primi due rami. Passiamo alla seconda classificazione: equilateri/non equilateri.
A questo punto troveranno due figure alla fine di ognuno dei quattro rami. Effettuiamo la terza
classificazione: quadrilateri/non quadrilateri, alla fine di ognuno degli otto rami troveremo una figura.
Terminata l’attività pratica facciamo ricopiare il lavoro sul quaderno.
Procediamo con il diagramma di Carroll. I bambini sono abituati a dividere in quattro quadranti il
diagramma.
Prepariamo un grosso cartellone con il diagramma disegnato e procediamo praticamente.
non equilateri
non rossi
rossi
equilateri
Gli alunni tenteranno di inserire le figure ma presto si accorgeranno che manca una proprietà essere
quadrilateri/non essere quadrilateri. Lasciamoli liberi di operare insieme e, se non emergesse la
situazione procediamo noi con la spiegazione.
non equilateri
quadrilateri
non rossi
rossi
equilateri
Adesso sarà possibile inserire tutte le figure ritagliate. Facciamo disegnare il lavoro sul quaderno e
proponiamo altre classificazioni simili anche scelte dai bambini.
2. Dal diagramma alla classificazione.
Ogni tanto è opportuno consegnare ai bambini un diagramma di Eulero/Venn e chiedere che scoprano le
proprietà con cui è stata svolta la classificazione:
l’insieme universo è il seguente:
U = 0 - 18 – 30 – 42 – 24 – 12 – 16 – 35 – 56 – 61 - 11
45
RAPPRESENTARE RELAZIONI
Obiettivo
• Rappresentare relazioni utilizzando tabelle, frecce o il piano cartesiano.
Le attività sulle relazioni si fondano sulla naturale tendenza del bambino a stabilire dei confronti. Di rado
però le relazioni che egli stabilisce nella realtà vengono precisate ed analizzate; di norma esse restano
implicite nel linguaggio naturale e nelle azioni stesse. Le attività scolastiche dovranno perciò far emergere le
informazioni,. Le incognite ed i modo di rappresentazione utilizzabili per sviluppare le sue capacità logiche.
Nelle successive attività gli elementi delle relazioni verranno utilizzati in relazione binaria in modo da poter
formare coppie ordinate che costituiranno il grafo della relazione. La rappresentazione delle relazioni avverrà
mediante la tabella a doppia entrata e il diagramma sagittale (cioè con le frecce).
1. Relazioni dirette e inverse.
Completiamo il discorso affrontato nelle classe precedenti.
Consideriamo la seguente relazione: <<…. È divisore di…>> nell’insieme dei numeri naturali 2,3,4,6,12.
Prepariamo con i bambini una tabella a doppia entrata:
2
2
3
X
3
4
6
X
X
X
X
X
X
4
X
12
X
6
X
12
X
X
Osservando la tabella gli alunni si accorgeranno che sulla diagonale sono crociate tutte le caselle poiché vi
si trovano tutte le coppie aventi elementi uguali. Potremo quindi definire che ogni numero considerato è
divisore di se stesso.
Proponiamo di rappresentare la situazione con le frecce.
2
3
12
4
6
In questo modo risulterà evidente la proprietà riflessiva.
Procediamo mettendo in evidenza la proprietà transitiva.
2
3
12
4
6
46
Consideriamo i numeri 2 – 4 – 12 e chiediamo ai bambini di spiegare quale relazione esiste fra questi tre
numeri. Dopo un’ampia discussione dovrebbe emergere che:
se 2 è divisore di 4 e 4 è divisore di 12
allora 2 è divisore di 12
Continuiamo ad analizzare il nostro diagramma sagittale aiutandoci anche con la tabella. Chiediamo ai
bambini quale relazione rappresentano le caselle vuote che nel diagramma sagittale non hanno frecce.
Dovrebbe emergere che ad esempio dal 3 verso il 2 non partono frecce in quanto il 3 non è divisore del 2 lo
stesso vale per tutti gli altri numeri da cui non partono le frecce quindi la relazione complementare a quella
data sarà <<…. non è divisore di…>>.
Resta ancora da valutare la relazione inversa. Questo argomento non presenta difficoltà per i bambini in
quanto lo utilizzano già dalla classe prima. La relazione inversa è: <<….è multiplo di…>>. Facciamo
nuovamente disegnare il diagramma sagittale e inseriamo le frecce relative alla relazione inversa
evidenziandole con colori diversi.
47

Progetto logica elementare

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