Compito del 29-04-2005

Logica matematica — 29-4-2005
1. Si dia una dimostrazione formale della seguente regola:
Premessa: F ` (¬F ⇒ ¬G) ⇒ ¬F .
Conclusione: F ` ¬F .
2. Sia L = {I, B, L, c, u} un linguaggio del prim’ordine, dove I, B sono
simboli relazionali unari, L è simbolo relazionale binario, c è simbolo
funzionale unario, u è simbolo di costante. Si consideri la seguente
interpretazione di L:
– I(x): x è un impiegato;
– B(x): x lavora bene;
– L(x, y): x licenzia y;
– c(x): il capoufficio di x;
– u: Ugo.
Si scrivano le seguenti frasi in formule del linguaggio L:
1. C’è qualche impiegato che, pur lavorando bene, viene licenziato
dal proprio capoufficio.
R. ∃x (I(x) ∧ B(x) ∧ L(c(x), x)).
2. Il capoufficio di Ugo non licenzia alcun impegato che lavori bene.
R. ¬∃x (I(x) ∧ B(x) ∧ L(c(u), x)).
3. Qualunque impiegato che non lavori bene viene licenziato dal proprio capoufficio, a meno che si tratti di Ugo.
R. ∀x (I(x) ∧ x 6= u ∧ ¬B(x) ⇒ L(c(x), x)).
3. Si consideri l’enunciato
∀y ∃x R(y, x) ∧ ¬R(b, a) ⇒ R(a, a).
È soddisfacibile? È valido?
R. Si denoti con ϕ l’enunciato considerato.
Sia M = (M, RM , aM , bM ), dove M = {0}, RM = M 2 = {(0, 0)}, aM =
bM = 0. Allora M |= ϕ. Quindi ϕ è soddisfacibile.
Sia N = (N, RN , aN , bN ), dove RM è l’usuale relazione d’ordine < sui
naturali e aN = 0, bN = 1. Allora N |= ¬ϕ. Quindi ϕ non è valido.
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4. Trovare una skolemizzazione del seguente enunciato:
∀x ∃y P (y, x) ∧ ¬∃x P (x, x) ⇒ ∀x ∃y ¬P (x, y).
5. Si consideri il seguente programma Prolog:
p(giovanni,sci).
p(giovanni,calcio).
p(giovanni,musica_classica).
p(giovanni,cinema).
p(giovanni,teatro).
p(andrea,teatro).
p(andrea,leggere).
p(andrea,reggae).
p(francesca,nuoto).
p(francesca,cinema).
p(francesca,leggere).
p(francesca,reggae).
p(francesca,rock).
p(francesca,ska).
p(maria,cantare).
p(maria,tennis).
p(maria,discoteca).
p(maria,nuoto).
p(maria,cinema).
p(marco,golf).
p(marco,tennis).
u(giovanni).
u(andrea).
u(marco).
d(maria).
d(francesca).
s(sci).
s(calcio).
s(tennis).
s(nuoto).
s(golf).
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m(musica_classica).
m(reggae).
m(ska).
m(discoteca).
tl(discoteca).
tl(leggere).
tl(cinema).
tl(cantare).
tl(teatro).
dove p/2 viene interpretato in “piace” (ovvero p(X,Y) viene interpretato in “a X piace Y”), u/1 in “essere un uomo”, d/1 in “essere una
donna”, s/1 in “essere uno sport”, m/1 in “essere un tipo di musica”,
tl/1 in “essere un’attività per il tempo libero”.
a) Aggiungere al programma opportune regole che esprimano il predicato ic(X,Y,Z) in modo che venga interpretato in “X e Y hanno
come interesse comune Z” (dove due persone hanno l’interesse
comune Z se ad entrambi piace Z).
b) Si supponga di sottopore la clausola obiettivo
?- ic(maria,X,cinema),d(X).
(“c’è qualche donna con cui Maria condivide la passione per il
cinema?”) all’interprete Prolog. Quale sarà la risposta che verrà
fornita come output (specificare tutte le alternative, se ve n’è più
di una)?
c) Descrivere il processo che determina la prima di tali alternative.
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