20 dicembre 2005

Piramidi di numeri
2009/10
I
Motta S. Giovanni (RC)
1
2
3
4
5 1 2 3
1
Serafina Spinella (Serena)
Commenti dell’insegnante di classe
Commenti dell’E-tutor Giancarlo Navarra
12 novembre 2009
1 (uso del registratore)
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Premessa, obiettivi, contesto in cui si colloca il diario
La classe, composta da 18 alunni, ha lavorato con le minipiramidi e le piramidi a tre piani lo scorso anno scolastico.
Quest’anno sono già state proposte attività che hanno permesso agli alunni di ripetere la regola della minipiramide e
di completare sia in forma canonica che in forma non canonica minipiramidi e piramidi a tre piani.
In questo diario si propone alla classe la costruzione di piramidi a quattro piani e si prosegue con l’individuazione
della regola.
Vengono fatte completare alcune piramidi a quattro piani nel seguente modo:
39
23
13
7
7+6×3+4×3+2
16
10
6
7+6×2+4
6
4
7+6
2
7
6+4×2+2
6+4
6
4+2
4
2
.1
7+6=13
6+4=10
4+2=6
13+10=23
10+6=16
23+16=39
39=7+6×3+4×3+2
I: Osservate bene le piramidi che avete completato e ditemi cosa notate.
Martina: Dobbiamo osservare quelle completate in forma canonica o quelle in forma non canonica?
I: Secondo te?
Martina: Quelle in forma non canonica perché sono più chiare.
I: Bene.
Stefania: Nel mattoncino in alto ci sono tutti i numeri della base2.
Nancy: Per trovare il numero del mattoncino in alto facciamo la somma di quelli in basso.
Margherita: Il mattoncino in alto contiene la somma dei mattoncini in basso 3
Mariachiara L.: Non c’è solo la somma!
I: Spiegati meglio.
Mariachiara L: Il mattoncino in alto contiene i numeri della base, però moltiplicati per 3.
1
Le rappresentazioni nella terza e nella quarta fila sono molto evolute e lasciano capire un intenso lavoro a monte
proprio sulle rappresentazioni canonica e non canoniche di un numero.
2
Qui sarebbe stato il caso di chiedere chiarimenti all’alunna. È vero che i numeri della base ci sono all’interno
della rappresentazione finale, ma la loro ‘qualità’ non sta tanto nel fatto che ci siano, quanto nelle relazioni che li
collegano. Non viene spontaneo esplicitarle, anzi, richiede uno sforzo notevole sul piano linguistico, e una
competenza che si ottiene solo attraverso l’abitudine alla verbalizzazione e all’argomentazione.
3
In un primo momento i bambini notano solo la somma, forse perché ancorati alla regola della minipiramide,
finché la situazione sembra sbloccarsi con l’intervento successivo.
Piramidi di numeri
2009/10
Motta S. Giovanni (RC)
I
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3
4
5 1 2 3
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Serafina Spinella (Serena)
I: Tutti i numeri sono moltiplicati per 3?4
Mariachiara L: Solo alcuni (non sa spiegarsi meglio5).
Elisa: Il primo numero non è moltiplicato per 3.
Stefania: Neanche l’ultimo numero è ripetuto 3 volte.
I: Riassumete ciò che è stato detto spiegandolo meglio.6
Max: Il numero del mattoncino in alto è uguale alla somma dei numeri contenuti nei mattoncini in basso 7
I: Se dovessimo tradurre per Brioshi ciò che ha detto Max come scriveremmo?
Margherita riferendosi all’ultima piramide completata scrive alla lavagna:
n=7+6+4+2
Margherita: Non va bene quello che ha detto Max.
I: Perché?
Margherita: Non c’è la moltiplicazione.
Elisa: Per trovare il numero del mattoncino in alto dobbiamo sommare il primo numero della base, il secondo
moltiplicato per 3, il terzo moltiplicato per 3, e l’ultimo numero.
I: Devi spiegarti meglio8.
Max: Si deve cominciare dicendo: il numero del mattoncino in alto è uguale alla somma… e poi quello che ha detto
Elisa9.
Tutti intervengono
I: Scrivo alla lavagna quello che mi dettate.
Bambini: Il numero contenuto nel mattoncino in alto è uguale alla somma del numero contenuto nel primo mattone
alla base, più il numero del secondo moltiplicato per 3…
I: A questo punto mi fermo e chiedo: Come possiamo sostituire la frase ‘moltiplicato per 3’?
Max: Il triplo.
I: Cancello e continuo a scrivere … più il triplo del secondo numero, più il triplo del terzo, più l’ultimo numero
contenuto nel mattoncino in basso a destra10.
4
Mi rendo perfettamente conto che gli aspetti linguistici sono molto delicati e che ogni alunno ha le sue competenze
(che io da esterno non conosco). Faccio quindi un discorso generale, di carattere teorico. Nel porre le domande –
soprattutto, come in questo caso, interlocutorie – che invitano l’alunno ad una riflessione su ciò che ha appena
detto (attività quindi molto complessa, a livello metalinguistico) - ritengo produttiva formulazioni più aperte, meno
‘suggeritrici’. Mi spiego: ‘Tutti i numeri sono moltiplicati per 3?’ è una domanda che contiene in sé il suggerimento
sul dove l’alunno si deve concentrare, e siccome è posta dall’insegnante, comporta la certezza che è lì che bisogna
andare. Invece ‘Per favore spiega con altre parole quello che vuoi dire’ è un invito che lascia all’alunno la
responsabilità di rivedere il suo concetto senza interferenze esterne che possono anche entrare in conflitto con ciò a
cui l’alunno sta pensando.
5
Forse (ripeto: forse) il non sapersi spiegare potrebbe essere una conseguenza delle cose su cui mi sono soffermato
nel Commento precedente.
6
Buona domanda. Mi conduce ad un altro commento di carattere generale. Spesso l’insegnante accetta che una
risposta venga ottenuta dalla sommatoria di molti interventi. Viene spontaneo farlo, ma la strategia non è molto
produttiva perché alla fine gli alunni portano ognuno il suo contributo locale – anche in modo attivo e dinamico ma non possiedono il controllo globale sul significato della risposta. La loro convinzione sottostante è che è
comunque l’insegnante colui che sa e che tiene le fila del discorso. In questo modo gli alunni rischiano sempre di
trovarsi in una situazione di deresponsabilizzazione. In altre parole: è necessario costruire le condizioni affinché gli
alunni si sentano come protagonisti attivi nella costruzione delle conoscenze.
7
Ecco ricomparire la regola della minipiramide. Max la ripete senza rendersene conto.
8
La definizione di Elisa, di tipo procedurale, è molto chiara. In che senso doveva spiegarsi meglio? L’insegnante
pensava ad una spiegazione di tipo relazionale? Ma allora in questo caso sarebbe stato meglio approvare
comunque la definizione di Elisa, richiamare poi i due diversi modi di esprimere il concetto (se sono stati esplorati
in precedenza), e verificare se qualcuno fosse in grado di farlo.
9
La frase di Max mi fa supporre che l’obiettivo dell’insegnante fosse proprio quello di ricevere una definizione di
tipo relazionale. Proporrei allora di far capire agli alunni che le loro argomentazioni devono essere il più possibile
complete, e che non devono limitarsi, come fa Max, ad iniziare una frase e subito dopo interrompersi, anche perché
ci sono modi diversi di dire le cose e sarebbe stato interessante vedere come lui avrebbe davvero continuato. Il
punto centrale è quindi che gli alunni devono vedere in primo luogo se stessi come ‘osservatori’ delle correttezza,
della coerenza, della chiarezza, eccetera di quello che dicono. L’insegnante stimola, coordina, osserva, aiuta a
tirare le fila.
Piramidi di numeri
2009/10
Motta S. Giovanni (RC)
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Serafina Spinella (Serena)
Michela: Abbiamo trovato la regola della piramide a quattro piani!11
Giuseppe: Perché quello che abbiamo detto vale per tutte le piramidi che abbiamo completato.
I: Certamente! Se applichiamo la regola cosa possiamo trovare?
Margherita: Possiamo trovare il numero del mattone in alto.
Elisa: Senza fare i calcoli!12
I: Fatemi un esempio alla lavagna.
Giuseppe: Se ci sono questi numeri alla base della piramide… (scrive)
10-5-4-6
… posso trovare il numero in alto così:
10-5-4-6
n=10+5×3+4×3+6
n=10+15+12+6=43
La lezione termina13.
10
La conduzione della discussione è buona, ma anche in questo caso non dovrebbe essere l’insegnante a
completare da sola la frase, ma lasciare che la dettino gli alunni e poi affinarla cancellando e aggiungendo
mediante un’attività collettiva.
11
Un bel riconoscimento!
12
Un’altra osservazione importante.
13
Finale davvero ottimo. Non so come abbiate continuato. Accenno solo alla conclusione ‘naturale’ dell’attività:
gli alunni hanno colto la valenza generale della loro conquista e l’hanno verificata attraverso il contributo di
Giuseppe. Però la conquista è rimasta, all’atto pratico, a livello di una piramide particolare. A questo punto la
richiesta dell’insegnante potrebbe essere: ‘Quello che avete scoperto vale per la prima piramide e per quella di
Giuseppe. Siamo in effetti certi che sia vero sempre. Ma allora: come potremmo spiegare la regola a parole in
modo che un’altra classe capisca che essa va bene per qualsiasi piramide, indipendentemente dai numeri nei
mattoni della base?’ La frase finale conseguente, costruita attraverso momenti sia individuali che collettivi
potrebbe essere qualcosa del genere: ‘Il numero nel mattone in cima è la somma fra il numero di sinistra, il
secondo moltiplicato per 3, il terzo moltiplicato per 3 e il numero a destra’. Oppure, più evoluta: ‘Il numero nel
mattone in cima è la somma fra il numero di sinistra, il triplo del secondo, il triplo del terzo e il numero a destra’.
Oppure: ‘Il numero nel mattone in cima è la somma fra numeri nei mattoni esterni e il triplo dei numeri nei mattoni
centrali’. E così via.
Ti posso tranquillamente informare sulla continuazione dell’attività. La regola che hanno dettato i bambini è stata
scritta sul quaderno e verificata su altre piramidi, proprio per arrivare alla conclusione che essa va bene per
qualsiasi piramide.
Sono stati svolti degli esercizi del tipo:
‘Sapendo che nei mattoni alla base di una piramide a quattro piani ci sono, letti nell’ordine da sinistra a destra, i
numeri 5-3-7-12, trova il numero nel mattone in alto senza ricostruire tutto il percorso’.
Inoltre, senza nessuna forzatura, ma partendo proprio dalle domande dei bambini (‘Maestra, applicando la regola,
possiamo trovare un numero alla base conoscendo il numero in alto e tre numeri alla base?’ Domanda di
Giuseppe), sono state svolte attività del tipo:
Trova il numero nel mattone in basso a destra della seguente piramide, senza ricostruire tutto il percorso:
57
10
57=10+6×3+5×3+n
57=10+6×3+5×3+n
57=10+18+15+n
57=43+n
n=57-43
n=14
6
5
n