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Relazione Tensione
Relazioni costitutive in campo elastico Relazione tensione-deformazione A F = K ∆l dove K = F causa x l y effetto quindi ∆l F z l σx σx l Fl ∆l = A E = E ∆l σx l = E contrazione laterale (effetto Poisson) x AE ε y= ε x = σx E σy E εz= σz E nel caso più generale di stato di tensione ε y = -ν σx E σ ε z = -ν x E triassiale la deformazione ε x è data da: ε x = 1/E [σx-ν (σy +σz )] 4-8 1 Relazioni costitutive in campo elastico Relazione tensione-deformazione A F = K ∆l dove K = F causa x l y effetto quindi ∆l F x z l σx σx l Fl ∆l = A E = E ∆l σx l = E contrazione laterale (effetto Poisson) AE ε y= ε x = σx E σy E εz= σz E In modo analogo si possono ottenere le εy ed εz : ε y = -ν σx E σ ε z = -ν x E Relazione tensione-deformazione ε y = 1/E [σy-ν (σx +σz )] ε z = 1/E [σz-ν (σx +σy )] Relazioni costitutive in campo elastico stato di tensione triassiale relazione costitutiva in campo elastico tra deformazione ε e la tensione σ : nel sistema di riferimento xyz y x ε x= ε y= 1 [σ -ν (σy +σz ) ] E x 1 [σ -ν (σx +σz ) ] E y εz= 1 [σ -ν (σx +σy ) ] E z z nel sistema di riferimento principale ε 1= 2 1 3 ε 2= 1 [σ -ν (σ2 +σ3 ) ] E 1 1 [σ -ν (σ1 +σ3 ) ] E 2 ε 3= 1 [σ -ν (σ1 +σy ) ] E 3 2 Relazioni costitutive in campo elastico Relazione tensione-deformazione z Nel caso di torsione pura, con la disposizione degli assi scelta, si ha: Torsione y A M x τ = (16 M) / (π d3) M σ1 L’equazione cubica dello stato di tensione assume quindi la seguente forma: σ3 (si veda anche il cerchio di Mohr nel caso di torsione pura) τ yx τ xy σx = σy = σz =τ xz =τ yz = 0 τ xy ≠ 0 σ 3 - σ τ x y2 = 0 τ xy da cui si ottiene: σ 3 = -σ 1 σ 1= τ xy σ 2= 0 σ 3 = -τ x y τ yx σ1 σ3 Relazione tensione-deformazione Relazioni costitutive in campo elastico b≡b’ 1 σ1 ϕ =π /4 - γx y /2 o τ xy σ3 σ3 τ xy 3 σ1 tg(α - β) = tgα - tgβ (1+ tgα tgβ) γx y / 2 ϕ a’ o’ tg(π /4 - γx y /2) = oa (1+ ε ) o’a’ = oa (1+ ε 3 ) o’b’ 1 tg(π /4 - γx y /2) = tg(π /4 - γx y /2) = a o’a’ o’b’ oa ob =1 (1+ ε 3 ) (1+ ε 1 ) tg π /4 - tg γx y /2 (1+ tg π /4 tg γx y /2) 3 Relazione tensione-deformazione Relazioni costitutive in campo elastico ≅ γx y /2 =1 tg π /4 - tg γx y /2 1 - γx y /2 (1+ ε ) tg(π /4 - γx y /2) = = = (1+ ε 3 ) (1+ tg π /4 tg γx y /2) 1+ γx y /2 1 σ 3 = -σ 1 1 - γx y /2 (1- ε ) = (1+ ε 1 ) 1+ γx y /2 1 ε 3= - ε 1 essendo: ε 1 = 1/E [σ1 -ν (σ2 +σ3 ) ] γx y = 2ε 1 si ottiene: γx y = 2/E [σ1 -ν (σ2 +σ3 ) ] nel caso della torsione pura σ 1 = τ x y e σ 3 = -τ x y γx y = 2(1 +ν)/E σ1 = 2(1 +ν)/E τ x y = 1/G τ x y Relazione tensione-deformazione e quindi: G = E/[2(1+ ν )] Relazioni costitutive in campo elastico Sollecitazione di taglio: γx y = γxz = γyz = τ xy G γ1 = G γ2 = G γ3 = τ xz τ yz τ1 G γ1 = G γ2 = τ2 τ3 G γ3 = σ 2 -σ 3 2G γ1 = ε 2 - ε 3 2G γ2 = ε 1 - ε 3 σ 1 -σ 3 σ 1 -σ 2 2G γ3 = ε 1 - ε 2 4 Relazioni costitutive in campo elastico Relazione tensione-deformazione valida in campo elastico (per i materiali isotropi) εx εy εz γx y = γx z γyz -ν /E -ν /E 1/E -ν /E -ν /E -ν /E 1/E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/G 0 0 1/E -ν /E 0 0 0 0 0 0 1/G 0 0 0 0 0 0 1/G σx σy σz τ xy τ xz τ yz Le sottomatrici nulle indicano che non c’è accoppiamento tra componenti normali della tensione e distorsione Relazione tensione-deformazione Come si comporta il materiale oltre il limite elastico? comportamento elasto-plastico σ α3 α2 α1 εp ∆lp = l εp ∆lp scarico l Limite elastico ε Rimuovendo la forza applicata rimane un allungamento residuo permanente 5 Come si comporta il materiale oltre il limite elastico? Relazione tensione-deformazione comportamento elastico non lineare σ α3 α2 scarico α1 ε Al termine del ciclo di carico non rimane alcuna deformazione permanente Relazione tensione-deformazione La curva σ -ε comportamento elastico non lineare σ del materiale σ comportamento elasto-plastico ε r =0.002 = 0.2% ε σ limite elastico convenzionale ε σmax σs ∆l ∆l εp εT εe ε 6 La curva σ Relazione tensione-deformazione -ε Modelli semplificati σ ε La curva σ Relazione tensione-deformazione Modello bilineare: rigido-plastico -ε σ σs ε σs 7 La curva σ Relazione tensione-deformazione Modello bilineare: elasto-plastico perfetto -ε σ ε dominio elastico La curva σ Relazione tensione-deformazione -ε Modello bilineare: elasto-plastico con incrudimento σ ET E ε dominio elastico 8 La curva σ Relazione tensione-deformazione -ε Modello multilineare: elasto-plastico con incrudimento σ E2 E1 E ε dominio elastico 9
