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L. Quartapelle e F. Auteri: FLUIDODINAMICA. Front – pagina vii Febbraio 19, 2013 vii Indice Prefazione xv Per lo studente xvii Ringraziamenti xviii Statica dei fluidi 1 Proprietà dei fluidi 1 Il fluido come mezzo continuo Pressione Densità 2 2 3 Equazione di equilibrio di un fluido 3 Fluido in un campo di forze conservative 5 Fluido in equilibrio vicino alla superficie terrestre 7 Equilibrio di un fluido con densità uniforme 8 1.4 Misura della pressione nei fluidi in quiete 9 1.5 Equilibrio dell’atmosfera terrestre 1 1.1 1.2 1.3 Atmosfera con temperatura uniforme Atmosfera con temperatura lineare con la quota 1.6 1.7 2 2.1 2.2 10 11 12 Caratteristiche dell’atmosfera terrestre Forze di galleggiamento: legge di Archimede 14 Equazioni della dinamica dei fluidi 19 15 Rappresentazione del moto di un fluido 19 Correnti di tipo particolare Linee di corrente Traiettorie Curve di emissione (streakline) 19 21 23 23 Equazione di conservazione della massa 24 2.3 Equazione della quantità di moto Conservazione dell’energia e relazioni termodinamiche 2.4 Correnti incomprimibili dei fluidi non viscosi Correnti incomprimibili non viscose irrotazionali 28 30 31 32 2.5 Correnti incomprimibili dei fluidi viscosi 32 2.6 Correnti comprimibili dei fluidi non viscosi 33 2.7 Correnti comprimibili dei fluidi viscosi 34 2.8 Sulle ipotesi di incomprimibilità e di viscosità nulla 34 Fluidi ideali Correnti incomprimibili 2.9 3 3.1 Descrizione euleriana e descrizione lagrangiana Correnti incomprimibili non viscose Rapidità di variazione “seguendo il fluido” Accelerazione del fluido 34 35 36 39 39 42 3.2 Vincolo di incomprimibilità 48 3.3 Equazioni di Eulero incomprimibili 49 3.4 Condizione iniziale e condizione al contorno 51 Condizioni di compatibilità dei e fra i dati 53 3.5 Equazione della quantità di moto con la vorticità 54 3.6 Correnti stazionarie e teorema di Bernoulli 55 Versione irrotazionale del teorema di Bernoulli Pressione in un condotto di sezione variabile lentamente 56 57 L. Quartapelle e F. Auteri: FLUIDODINAMICA. INDICE – pagina viii Febbraio 19, 2013 viii 3.7 Vorticità Interpretazione cinematica della vorticità nelle correnti 2D Circolazione Vortice di Rankine 3.8 Equazione della vorticità Equazione della vorticità in 2D Irrotazionalità delle correnti 2D uniformi all’infinito 3.9 59 59 62 63 65 66 Definizione della funzione di corrente Equazione della funzione di corrente Sistema vorticità–funzione di corrente 66 68 69 4.1 Irrotazionalità della corrente e potenziale della velocità 75 4.2 Corrente incomprimibile ed equazione di Laplace 76 4.3 Teorema di Bernoulli per correnti non stazionarie 77 Ritorno al teorema di Bernoulli per correnti stazionarie Coefficiente di pressione (incomprimibile) 4.4 Corrente stazionaria attorno a una sfera Metodo di separazione delle variabili Risoluzione del problema Forza agente sulla sfera: paradosso di D’Alembert Coefficiente di pressione sulla sfera 4.5 5 78 79 79 81 85 87 88 Correnti stazionarie 2D attorno a un cilindro circolare 88 Metodo di separazione delle variabili Corrente simmetrica Correnti non simmetriche (portanti) Teorema della portanza di Kutta–Joukowski Linee di corrente delle soluzioni portanti Risoluzione mediante la funzione di corrente Risoluzione mediante il “potenziale cinetico” 90 95 97 99 101 104 106 Correnti incomprimibili viscose 5.5 5.6 113 5.1 Viscosità dinamica e viscosità cinematica 114 5.2 Forza di attrito viscoso 115 5.7 117 118 121 124 Equazioni adimensionali: il numero di Reynolds 125 Adimensionalizzazione alternativa Correnti ad alti numeri di Reynolds Correnti con numero di Reynolds tendente a zero 127 128 128 Soluzioni esatte per correnti stazionarie parallele Equazioni del moto fra due lastre parallele Corrente di Couette piana Corrente di Poiseuille piana Corrente ibrida di Couette–Poiseuille Corrente di Poiseuille in un tubo circolare Correzione idrostatica della pressione Corrente lungo un piano inclinato 73 75 Condizione iniziale e condizione al contorno Condizioni di compatibilità dei e fra i dati 69 Correnti incomprimibili non viscose irrotazionali 4 5.4 64 66 Linee di corrente Equazioni di Navier–Stokes incomprimibili Teorema di Bernoulli e correnti viscose Flussi piani incomprimibili e funzione di corrente 3.10 Vortice di Hill 5.3 Corrente di Stokes attorno a una sfera 129 129 130 132 133 135 138 140 142 Legge della resistenza di Stokes Risoluzione mediante le variabili primitive 147 149 5.8 Corrente attorno a un cilindro: paradosso di Stokes 153 5.9 Soluzioni esatte per correnti parallele dipendenti dal tempo 155 Traslazione istantanea di una lastra piana Diffusione della vorticità Traslazione oscillatoria di una lastra piana Corrente non stazionaria fra due lastre parallele 5.10 Soluzioni esatte per correnti in geometria cilindrica Corrente di Couette fra superfici cilindriche in rotazione Corrente dovuta a un disco infinito rotante Decadimento di un vortice rettilineo Decadimento del vortice attorno a un cilindro 5.11 Viscosità nei fluidi reali (comprimibili) Tensore degli sforzi viscosi Tensore di rapidità di deformazione Fluido viscoso newtoniano Vettore sforzo viscoso relativo a una superficie Forza di attrito viscoso 5.12 Forze viscose nelle correnti incomprimibili Forza agente sui corpi rigidi fermi 156 161 163 166 168 170 172 177 179 180 181 182 185 186 186 186 187 L. Quartapelle e F. Auteri: FLUIDODINAMICA. Front – pagina ix Febbraio 19, 2013 ix 5.13 Energia e correnti incomprimibili 190 Energia cinetica del fluido e suo decadimento Rivisitazione viscosa del vortice rettilineo Equazione dell’energia interna del fluido 5.14 Convezione naturale nei liquidi con comprimibilità non nulla Equazione della temperatura in un liquido Equazioni di Navier–Stokes–Boussinesq Numeri di Prandtl e Grashof 5.15 Equazioni di Navier–Stokes nei sistemi di riferimento rotanti Numeri di Ekman e di Rossby Equazioni in forma rotazionale Teorema di Taylor e Proudman 6 6.1 Equazioni dello strato limite incomprimibile Caratteristiche generali dello strato limite Ipotesi della teoria dello strato limite su una lastra 6.2 6.3 Teoria dello strato limite di Prandtl 6.5 197 198 199 202 203 204 204 207 Corrente esterna uniforme: profilo di Blasius 215 217 218 219 219 238 Metodo approssimato di Polhausen 240 Strato limite su corpi immersi e separazione dello strato limite 6.11 Equazioni dello strato limite instazionario 247 6.12 Metodo delle espansioni asintotiche raccordate 248 Problema esterno Problema interno ed espansione interna Condizione di raccordo Soluzione composita di ordine 0 Soluzione composita di ordine 1 6.13 Deduzione rigorosa delle equazioni di Prandtl 224 Equazione di Falkner–Skan 225 6.14 Stabilità dello stato limite bidimensionale 227 6.15 Stabilità dello strato limite tridimensionale 6.6 Strato limite tridimensionale: equazione di Cooke 233 6.7 Spessori integrali dello strato limite 236 7.1 260 261 262 264 265 267 268 271 Correnti aerodinamiche: teoria dei profili sottili 277 Correnti incomprimibili irrotazionali assisimmetriche 278 Equazione di Laplace del potenziale Equazione di Laplace in problemi assisimmetrici Soluzioni elementari 3D assisimmetriche Ogiva semi-infinita di Rankine Solidi di Rankine 228 229 7.2 7.3 236 237 237 256 258 259 260 Equazioni di Orr–Sommerfeld e di Squire 228 232 255 Linearizzazione delle equazioni di Navier–Stokes Equazione della velocità normale alla lastra Equazione della vorticità normale alla lastra Equazioni di Orr–Sommerfeld e di Squire 7 Caso β = 0: lastra piana con gradiente di pressione nullo Caso α = β: corrente nel punto di ristagno anteriore Caso generale Corrente incomprimibile e irrotazionale in un diedro Imposizione delle condizioni al contorno 249 250 251 252 253 Espansione del problema interno Espansione del problema esterno Condizioni di interfaccia Condizioni al contorno dei due problemi 6.16 Correnti di Hele–Shaw Equazione di Prandtl per la funzione di corrente 241 244 208 210 Equazione di von Kármán dello spessore integrale 6.10 Equazioni di Prandtl adimensionali 207 210 213 213 Spessore di spostamento Spessore di quantità di moto Spessore di energia cinetica 6.9 196 Analisi degli ordini di grandezza Corrente non viscosa Equazioni dello strato limite di Prandtl Ricerca della variabile di similarità Equazione di Blasius Soluzione del campo di moto Problema di Blasius ridotto a sistema del primo ordine 6.4 190 192 194 6.8 Paradosso di d’Alembert in tre dimensioni Correnti incomprimibili irrotazionali piane Equazioni di Laplace del potenziale e funzione di corrente Soluzioni elementari piane Ogiva cilindrica semi-infinita di Rankine 278 279 280 287 288 291 294 295 296 304 L. Quartapelle e F. Auteri: FLUIDODINAMICA. INDICE – pagina x Febbraio 19, 2013 x Ovale cilindrico di Rankine Correnti elementari piane in coordinate cartesiane 7.4 Corrente simmetrica intorno al profilo simmetrico Metodo di soluzione Calcolo degli elementi del sistema lineare Coefficiente di pressione sul profilo simmetrico 7.5 306 309 351 311 313 314 Descrizione delle ali di apertura finita 8.2 Vortici dell’ala finita 353 7.6 7.7 Strato sottile di vortici rettilinei 322 7.8 Equazione integrale di Prandtl per i profili sottili 324 Soluzione dell’equazione integrale di Prandtl 329 Soluzione dell’equazione integrale Coefficienti aerodinamici 7.11 Profilo sottile curvo Soluzione dell’equazione integrale Coefficienti aerodinamici 7.12 Profilo con spessore e con curvatura Calcolo degli integrali dei coefficienti Velocità sul dorso e sul ventre del profilo Calcolo del coefficiente di pressione 7.13 Metodo delle singolarità virtuali di Hess–Smith Formulazione del metodo Velocità indotta da una distribuzione uniforme di sorgenti Velocità indotta da una distribuzione uniforme di vortici 351 8.1 315 7.10 Profilo sottile piatto Correnti aerodinamiche: ali di apertura finita 310 Teorema di Kutta–Joukowski per cilindri di forma qualsiasi Condizione di Kutta 7.9 8 319 332 332 335 336 337 338 342 342 343 344 346 346 348 349 Legge di Biot–Savart Il teorema di Kelvin sulla circolazione I teoremi di Helmholtz 354 355 356 8.3 Velocità indotta dai vortici dell’ala finita 358 8.4 Resistenza indotta 360 8.5 Teoria della linea portante 361 8.6 Equazione della linea portante (integro-differenziale) 362 8.7 Caratteristiche aerodinamiche dell’ala 364 8.8 Distribuzione ellittica della portanza 366 8.9 Distribuzione generica della portanza 369 Cambiamento di variabili ed equazione trasformata Rappresentazione della soluzione in serie di Fourier Approssimazione troncata del problema Proprietà aerodinamiche dell’ala Ruolo del rapporto di forma 369 370 370 372 376 Bibliografia 377 Indice analitico 381 Tabelle riassuntive L. Quartapelle e F. Auteri: FLUIDODINAMICA. Front – pagina xi Febbraio 19, 2013 xi Indice delle Appendici – Disponibili sul sito fisica.testtube.it A Coordinate curvilinee ortogonali A-1 D D.1 A.1 Sistemi di coordinate ortogonali 1 A.2 Superfici coordinate e linee coordinate Fattori di scala ed elementi differenziali Gradiente in coordinate curvilinee ortogonali 2 A.5 Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali 8 A.6 Rotore in coordinate curvilinee ortogonali 9 A.7 Laplaciano in coordinate cilindriche e sferiche Operatore laplaciano di un campo vettoriale A.3 A.4 A.8 Coordinate cilindriche Coordinate sferiche A.9 Operatori d’advezione Coordinate cilindriche Coordinate sferiche A.10 Identità differenziali vettoriali B 4 18 B.2 Superfici e curve equipotenziali 20 22 B.3 Domini connessi e semplicemente connessi 23 B.4 Condizioni necessarie per la conservatività 24 Potenziale scalare e potenziale vettoriale 27 C C.1 C.2 C.3 Equazioni di Eulero o equidimensionali A-30 Ricerca del cambiamento di variabili Soluzione generale dell’equazione trasformata 30 Soluzione generale dell’equazione equidimensionale 32 32 Assiomi della termodinamica 34 34 35 36 37 Rappresentazione dell’energia 38 D.4 Concavità e convessità delle relazioni fondamentali 39 Funzioni convesse e concave Concavità della relazione fondamentale entropica Relazioni fondamentali per le grandezze specifiche Concavità della relazione fondamentale specifica Stabilità termodinamica D.5 Variabili intensive ed equazioni di stato Variabili intensive Equazioni di stato D.6 Trasformate di Legendre Trasformata di Legendre Trasformate di Legendre parziali 17 Campi vettoriali conservativi 34 D.3 16 B.1 Nozioni preliminari Postulato di Nernst 11 Campi vettoriali conservativi A-18 Conservatività del campo e topologia del suo dominio D.2 10 16 16 A-33 Sistema, stati di equilibrio e variabili di stato Relazione fondamentale di un sistema semplice Relazione fondamentale di un sistema multicomponente 7 11 13 Principi di termodinamica D.7 Potenziali termodinamici ed entalpia Potenziale di Helmholtz Entalpia Energia libera di Gibbs 39 40 41 42 42 43 44 45 46 47 49 49 49 50 50 D.8 Calori specifici e coefficienti termodinamici 51 D.9 Velocità del suono 52 D.10 Funzioni omogenee 54 D.11 Indipendenza e compatibilità delle equazioni di stato 56 Proprietà termodinamiche dei fluidi A-59 E E.1 Gas ideale politropico Equazioni di stato Calori specifici Entalpia Velocità del suono Relazioni fondamentali ad libitum 59 60 61 62 62 63 L. Quartapelle e F. Auteri: FLUIDODINAMICA. INDICE – pagina xii Febbraio 19, 2013 xii E.2 Gas ideale non politropico 65 Gas atomici Gas molecolari Principio di equipartizione dell’energia Modi di vibrazione della molecola Energia vibrazionale e calore specifico Relazione fondamentale in forma parametrica Velocità del suono E.3 65 65 66 68 68 70 71 Fluido di van der Waals E.5 F 74 75 77 Fluido di Soave–Redlich–Kwong 78 Forma della molecola e fattore acentrico Equazione di stato Relazione fondamentale in forma parametrica 78 79 79 Fluido di Martin–Hou Miscele di gas ideali e di fluidi di van der Waals 80 A-81 F.1 Composizione chimica dell’aria 81 F.2 Composizione di una miscela di gas 81 Frazioni di massa delle specie chimiche Frazioni molari delle specie chimiche Legame fra le frazioni di massa e le frazioni molari F.3 82 82 83 Miscela di gas ideali politropici 83 Gas ideali politropici Ipotesi di Gibbs sulla miscela di gas ideali Relazione fondamentale in forma parametrica Relazione fondamentale per grandezze globali Relazione fondamentale per grandezze specifiche Relazione fondamentale con numero di moli Relazione fondamentale per grandezze molari Equazione di stato della pressione F.4 Miscela di gas ideali non politropici Miscela di soli gas atomici e biatomici F.5 Miscele di fluidi di van der Waals Miscela di gas politropici Relazioni fondamentali dell’entropia della miscela Equazione di stato della pressione Miscela di gas non politropici Costruzione del profilo con curvatura 100 G.3 Convenzioni della notazione NACA 101 G.4 Spessore dei profili alari NACA 101 G.5 Linea media dei profili NACA a quattro cifre 102 G.6 Linea media dei profili NACA a cinque cifre 103 72 Fattore di comprimibilità Caso politropico Caso non politropico E.4 G.2 84 85 86 86 87 87 88 89 H G G.1 Generalità sui profili alari Coefficienti aerodinamici Curve caratteristiche A-104 H.1 Integrale con il coseno 104 H.2 Integrale con il seno 106 H.3 Un utile integrale indefinito 107 I Identita’ differenziali degli A-108 integrali su domini mobili I.1 Derivata di un integrale su un intervallo mobile 108 I.2 Derivata della circolazione lungo una curva mobile 109 I.3 Derivata del flusso attraverso una superficie mobile 111 I.4 Derivata dell’integrale su un volume mobile 113 I.5 Tabella riassuntiva delle identità differenziali 114 89 91 L Equazioni adimensionali per correnti comprimibili A-115 91 92 94 L.1 A-97 97 98 98 Equazioni di Eulero per correnti comprimibili Procedimento di adimensionalizzazione Equazioni di Eulero adimensionali 95 95 L.2 Profili alari NACA Integrali di Glauert per le equazioni integrali Equazioni di Navier–Stokes per correnti comprimibili Procedimento di adimensionalizzazione Equazioni di Navier–Stokes adimensionali Proprietà dissipative costanti e numero di Prandtl 115 116 118 118 119 120 121 L. Quartapelle e F. Auteri: FLUIDODINAMICA. Front – pagina xiii Febbraio 19, 2013 xiii M Equazioni dei fluidi con più componenti A-124 O O.1 M.1 Equazioni di conservazione 124 Equazioni di bilancio delle componenti chimiche Equazione di bilancio della quantità di moto Equazione di bilancio dell’energia totale Equazioni di Navier–Stokes per fluido multicomponente Forze di volume indipendenti dalle specie Equazioni di Eulero per fluido multicomponente O.2 125 126 126 M.3 Forme alternative delle equazioni di bilancio 127 Forma non conservativa delle equazioni Equazione della densità di energia interna 128 M.5 Flussi delle specie chimiche e flusso di calore 129 M.6 Equazioni per fluido in equilibrio chimico 130 Reazione chimica elementare Modello di un insieme di reazioni chimiche M.8 Miscela di gas ideali reagenti in equilibrio Dissociazione omonucleare ed eteronucleare Conservazione dei costituenti atomici Legge di azione di massa e composizione di equilibrio Equazioni di stato N N.1 Correnti rotanti e strato limite di Ekman 130 N.2 Strato limite di Ekman 138 N.3 Corrente instazionaria di spin-down 142 162 Tubo di Pitot 162 163 164 167 A-168 Correnti incomprimibili 169 Presa di pressione anteriore (pressione totale) Presa di pressione laterale (pressione statica) Effetti dovuti alla geometria Errori di allineamento P.3 Correnti comprimibili Corrente subsonica Corrente supersonica T Legame fra tensori degli sforzi e delle deformazioni 169 170 171 173 173 173 174 A-177 T.1 Relazione lineare fra grandezze tensoriali 177 T.2 Teorema del legame lineare fra tensori simmetrici 178 A-136 137 137 Equazione delle onde in dimensione n = 2 P.2 Equazioni per corrente stazionaria 136 in un sistema rotante Equazioni della corrente inviscida Equazioni della corrente viscosa 154 156 161 168 132 135 154 Descrizione dello strumento 131 133 134 134 Equazione delle onde in dimensione n = 3 145 147 150 153 P.1 130 131 131 145 Onde in una membrana elastica Onde sulla superficie di un liquido Risoluzione dell’equazione delle onde in dimensione n = 2 Problema di Cauchy–Dirichlet P Navier–Stokes multicomponente in equilibrio chimico Equazioni di Eulero multicomponente in equilibrio chimico M.7 Reazioni chimiche O.3 127 127 M.4 Termodinamica della miscela ideale Equazione delle onde in dimensione n = 1 Onde sonore in un gas Risoluzione del problema di Cauchy Problema di Cauchy–Dirichlet M.2 Conservazione della massa totale 126 Frazioni di massa delle specie chimiche A-145 Equazione della corda vibrante Risoluzione del problema di Cauchy Risoluzione del problema di Cauchy–Dirichlet Vibrazioni di una corda con estremi fissi 124 124 125 125 Equazione delle onde Dimostrazione del teorema Dettagli della dimostrazione 179 180 T.3 Legame sforzo–rapidità di deformazione nei fluidi newtoniani 181 T.4 Legame sforzo–deformazione nei solidi elastici 182 L. Quartapelle e F. Auteri: FLUIDODINAMICA. INDICE – pagina xiv Febbraio 19, 2013 xiv V Vibra-dissociating diatomic A-183 ideal gas VW van der Waals fluid A-222 with diatomic molecules VW.1 Roto-vibrating diatomic van der Waals fluid 222 V.1 Energy levels of diatomic molecule with Morse potential 183 V.2 Molecular rotation and classical limit 185 Vibra-dissociation contributes to specific heat and entropy 188 VW.2 Specific heat, pressure equation and sound speed 224 190 Isobaric specific heat and thermal expansion 225 V.3 The vibra-dissociation contribute to specific entropy V.4 Condition of equilibrium dissociation Determination of the dissociation 191 194 V.5 Energy and entropy of diatomic– 195 atomic ideal gas mixture V.6 Equations of state of the vibradissociating diatomic gas Data for some diatomic gas V.7 Specific heat and sound speed of the vibra-dissociating gas Fundamental derivative of gasdynamics V.8 V.9 196 198 199 200 Riemann problem 201 V.10 Multiple Morse states RV Roto-vibra-dissociating 223 VW.3 Rarefaction waves 226 VW.4 Shock waves 226 VW.5 Serrin’s modification of van der Waals equation 227 Liquid–gas phase transition and coexistence curve VW.6 Roto-vibra-dissociating diatomic van der Waals fluid U U.1 228 230 Unbalanced dissociation in A-231 heteronuclear diatomic gas Heteronuclear diatomic gas and unbalance parameter Dissociation coefficient U.2 203 203 U.3 A-207 RV.1 Energy levels of the roto-vibradissociating diatomic molecule 207 RV.2 Internal partition function 209 RV.3 Equilibrium dissociation 211 RV.4 Roto-vibration contribution to specific energy, heat, entropy 213 RV.5 Fundamental relation in parametric form 216 RV.6 Specific heat and sound speed of roto-vibra-dissociating gas 216 Equilibrium of unbalanced heteronuclear dissociation Mass fractions Thermodynamics of dissociating heteronuclear diatomic gas Sound speed comparisons diatomic ideal gas Fundamental derivative of gasdynamics 223 197 Rarefaction waves and shock waves Vacuum formation Fundamental equation in dimensionless parametric form Adimensionalization on the critical values Y Y.1 Y.3 Y.4 Reaction model with dissociation and ionization Equilibrium dissociation and ionization Partition functions Equations of state of the hydrogen gas-plasma model Specific heat and sound speed of hydrogen gas-plasma 218 RV.7 Rarefaction waves and shock waves 218 Y.5 RV.8 Riemann problem 220 Y.6 Vacuum formation 221 232 232 233 234 235 Thermodynamics of the A-237 hydrogen ideal gas-plasma Composition of dissociated and ionized hydrogen gas Y.2 231 Rarefaction waves and shock waves Riemann problem Vacuum formation 237 238 238 240 243 245 246 248 249
