1 Equazioni di Maxwell in forma differenziale

Investigheremo ora le proprietà dinamiche del
campo elettromagnetico elaborando le equazioni
di Maxwell nel vuoto. Le equazioni risultanti
sono equazioni d’onda, indicando quindi che le
onde elettromagnetiche sono una manifestazione
dell’elettromagnetismo.
1
Equazioni di Maxwell
forma differenziale
Ricordiamo le
integrale:
I
~
E~ · dS
S
I
E~ · d~l
C(S)
I
~ · dS
~
B
S
I
~ · d~l
B
Le equazioni
I
Z
d
~
~
~ · dS
~
E · dl = −
B
dt S
C(S)
Z
I
d
~
~.
~
E~ · dS
B · dl = µ0 I + 0 µ0
dt S
C(S)
divengono rispettivamente, utilizzando il teorema
del rotore
in
equazioni di Maxwell in forma
=
=
d
dt
=
I=
~ · dS
~
B
~
∂B
∂t
∂ E~
0 µ0
+ µ0~ ,
∂t
−
~.
~ · dS
S
S
(Nota: si osservi che la corrente di spostamento nell’equazione di Ampère-Maxwell è resa necessaria dalla conservazione della carica elettrica.
Se si prende la divergenza dei due membri dell’equazione appena scritta e si utilizza il fatto che
~ · E)
~ = ρ/0 si ottiene l’equazione di continuità,
(∇
come dimostrato a lezione).
In definitiva le equazioni di Maxwell si possono
scrivere in forma differenziale come:
0
d
dt
Z
~.
E~ · dS
S
Per il teorema della divergenza la prima di esse
si può scrivere:
Z
~ · E)
~ dV = q .
(∇
0
V (S)
~ · E~ = ρ
∇
0
Ma la carica elettrica si può esprimere come
integrale di volume della densità di carica:
Z
ρ(x, y, z, t)
q
=
dV
0
0
V (S)
~
~ × E~ = − ∂ B
∇
∂t
~
~
∇·B =0
~
~ ×B
~ = 0 µ0 ∂ E + µ0~
∇
∂t
e quindi ovunque e per qualunque scelta dei campi
e dei domini
Z
Z
ρ(x, y, z, t)
~
~
(∇ · E) dV =
dV .
0
V (S)
V (S)
(1a)
(1b)
(1c)
(1d)
Queste equazioni consentono di calcolare i campi
elettrico e magnetico a partire da distribuzioni di
carica ρ(t, ~r) e corrente ~(t, ~r). Questo insieme di
quattro equazioni alla derivate parziali accoppiate
del primo ordine può essere riscritto come un sistema di due equazioni disaccoppiate , una per E~ e una
~ Deriveremo ora queste equazioni, che come
per B.
vedremo, sono equazioni d’onda e discuteremo le
loro implicazioni.
Affinché questa relazione sia vera si deve avere
~ · E)
~ =
(∇
~ ×B
~
∇
Z
Z
= µ0 I + 0 µ0
C(S)
=
dove
q
0
= −
~ × E~
∇
ρ
.
0
In modo analogo abbiamo per la terza equazione,
dal teorema della divergenza,
I
~ · dS
~ = 0 =⇒ ∇
~ ·B
~=0
B
1
2
L’equazione d’onda nel vuo- 2.2 Equazione d’onda per B~
to
~ · E~ = 0
∇
Ci restringiamo ora a derivare le equazioni d’onda
per il campo elettrico e magnetico in un volume
privo di carica elettrica e densità di corrente (ρ = ~
= 0). Le equazioni di Maxwell nel vuoto si possono
dunque scrivere come:
~ · E~ = 0
∇
~
~ ×B
~ = 0 µ0 ∂ E
∇
∂t
(2a)
~
~ × E~ = − ∂ B
∇
∂t
~ ·B
~=0
∇
~
~ ×B
~ = 0 µ0 ∂ E
∇
∂t
2.1
~
~ × E~ = − ∂ B
∇
∂t
~ ·B
~=0
∇
~ nella stesDeriviamo l’equazione d’onda per B
~
(2b) sa maniera in cui abbiamo ricavato quella per E.
Prendiamo il rotore della quarta equazione:
(2c)
~ × (∇
~ × B)
~ = 0 µ0 ∂ (∇
~ × E)
~
∇
∂t
(2d)
che può essere riscritta come:
2~
~ ∇
~ · B)
~ − ∇2 B
~ = −0 µ0 ∂ B
∇(
∂t2
Equazione d’onda per E~
~ ·B
~ = 0:
inoltre dato che ∇
~ · E~ = 0
∇
~ − 0 µ0
∇2 B
~
~ × E~ = − ∂ B
∇
∂t
~ ·B
~=0
∇
~
∂2B
=0
2
∂t
(6)
Questa è l’equazione d’onda per il campo magnetico
nel vuoto; notiamo che ha esattamente la stessa
forma di quella del campo elettrico.
~
~ ×B
~ = 0 µ0 ∂ E
∇
∂t
2.3
Velocità delle onde elettroma-
Per derivare l’equazione d’onda per E~ prendiamo il
gnetiche
rotore della seconda equazione e usando la quarta
~ nel vuootteniamo:
Notiamo che le equazioni dei campi E~ e B
to corrispondono alla propagazione di un’onda con
2~
velocità
~ × (∇
~ × E)
~ = − ∂ (∇
~ × B)
~ = −0 µ0 ∂ E
∇
2
r
∂t
∂t
1
v=
0 µ0
Applicando la regola del prodotto triplo di vettori
che si osserva sperimentalmente essere la velocità
della luce c:
~ × (∇
~ × E)
~ = ∇(
~ ∇
~ · E)
~ − ∇2 E~ = −∇2 E~ .
∇
c2 =
si ha, tenuto conto che la divergenza di E~ è nulla,
∇2 E~ − 0 µ0
∂ 2 E~
=0
∂t2
1
.
0 µ0
Diviene dunque naturale identificare la luce con un’onda elettromagnetica, come Maxwell fece nel 1873 e Hertz confermò successivamente con esperimenti di generazione di onde
elettromagnetiche.
(4)
che rappresenta l’equazione d’onda omogenea per
~
E.
2
3
Proprietà delle onde elettromagnetiche
z, sono del tipo
Consideriamo per semplicità il caso in cui i campi dipendono solo dalla distanza ζ da un piano;
chiamiamo questo piano piano xy, e quindi ζ = z.
Le equazioni di Maxwell nel vuoto diventano:
∂Ez
=0
∂z
3.1
∂Bz
=0
∂z
(7b)
(7c)
~uz ×
~
∂ E~
∂B
= 0 µ0
∂z
∂t
(7d)
moltiplicando scalarmente l’ultima delle equazioni
sopra per ~uz otteniamo:
~
∂B
∂ E~
) = ~uz · 0 µ0
.
0 = ~uz · (~uz ×
∂z
∂t
(8)
=
0
~ t) = Bx (z − ct)u~x + By (z − ct)u~y .
B(z,
(13)
Condizioni su E~ e B~
Ez
=
0
(14)
Bz
∂Ex
∂z
∂Ey
∂z
∂Ex
∂t
∂Ey
∂t
=
0
(15)
∂By
∂t
∂Bx
=
∂t
2 ∂By
= c
∂z
∂Bx
= −c2
.
∂z
= −
(16)
(17)
(18)
(19)
Ponendo u = (z − ct), si ha ∂u/∂z = 1 e ∂u/∂t =
−c. Quindi la (16) diviene
Semplificando otteniamo equazioni differenziali ordinarie per la componente longitudinale del campo
elettromagnetico:
∂Ez
∂t
∂Ez
∂z
(12)
Le equazioni del campo elettromagnetico si
semplificano quindi nelle
(7a)
~
∂ E~
∂B
~uz ×
=−
∂z
∂t
~ t) = Ex (z − ct)u~x + Ey (z − ct)u~y
E(z,
∂Ex
∂Ex ∂u
∂Ex
∂By
=−
=−
=−
∂t
∂z
∂u ∂z
∂u
Z
Z
Z
1
∂By
∂Ex
∂Ex
⇒ By =
dt = −
dt =
du
∂t
∂u
c
∂u
(9)
Ex
+ costante .
c
Queste equazioni ci mostrano che la componente
La costante deve essere uguale a 0 per non avere
~ cioè la componente perpendicolongitudinale di E,
energie infinite; in definitiva quindi
lare alla superficie del piano, è indipendente da z e
da t: quindi deve essere costante. Questa costanEx
By =
.
(20)
te deve essere uguale a zero, altrimenti l’energia
c
immagazzinata nel campo sarebbe infinita.
Moltiplicando scalarmente la seconda delle Analogamente dalla (17) si ricava
=
0.
(10)
⇒ By =
equazioni di Maxwell per ~uz otteniamo similmente:
~
∂B
∂Bz
~uz ·
=
=0
∂t
∂t
Bx = −
(11)
Ey
.
c
(21)
Dalle due equazioni precedenti si ricavano immediatamente due ulteriori proprietà delle onde
elettromagnetiche:
Possiamo quindi concludere che le componenti lon~ e E~ devono essere costanti nel temgitudinali di B
po e nello spazio: in altre parole l’unica soluzione non statica deve consistere di componenti trasverse (una componente costante non nulla
comporterebbe energia infinita).
~ per
A seguito di quanto detto i campi E~ e B,
un’onda che si propaga nel verso positivo dell’asse
• I campi elettrico e magnetico (che come abbiamo visto in precedenza sono perpendicolari
alla direzione di propagazione dell’onda) sono
anche mutuamente perpendicolari:
~ = 0.
E~ · B
3
• I loro moduli sono proporzionali ad ogni
Da notare che l’origine del flusso di energia è
istante:
nella sorgente delle onde e che abbiamo trascurato possibili effetti dissipativi dati, ad esempio,
E
dall’assorbimento del mezzo di propagazione.
B= .
c
L’energia trasportata dall’onda elettromagnetica
nel vuoto per unità di tempo e superficie vale
Si osserva dalle (20) e (21) che
1
~ = EB u~z :
EB.
S = uc = 0 E 2 c = 0 EBc2 =
E~ × B
(22)
µ0
~ dà direzione e verso di
il prodotto vettoriale E~ × B
propagazione dell’onda.
3.2
Energia trasportata
elettromagnetica
~ nell’onda elettromagnePer le proprietà di E~ e B
tica, il vettore
1 ~ ~
E ×B
S~ =
µ0
dall’onda
Le densità di energia associate alla presen- ha quindi direzione e verso della propagazione delza di campo elettrico e magnetico valgono l’onda, e modulo uguale alla potenza trasmessa per
unità di superficie. Tale vettore è detto vettore di
rispettivamente
Poynting.
Per un’onda elettromagnetica sinusoidale con
B2
0 E 2
uB =
uE =
E
=
E0 cos(kz −ωt), B = B0 cos(kz −ωt), la potenza
2
2µ0
media è uguale a EB/2µ0 .
e quindi la densità di energia elettromagnetica vale
L’onda elettromagnetica trasporta ovviamente
anche
quantità di moto.
B2
0 E 2
+
.
u=
2
2µ0
Si noti che, tenuto conto della relazione B = E/c
dimostrata nella sezione precedente e del fatto che
0 µ0 = 1/c2 , si ha che nell’onda elettromagnetica le densità di energia associate alla componente
elettrica e a quella magnetica sono uguali:
uB =
B2
E2
=
= uE .
2µ0
2µ0 c2
Quindi la densità totale di energia si può anche
scrivere come
u = 2uE = 0 E 2 .
3.3
Vettore di Poynting
Se u è la densità di energia per unità di volume,
l’energia trasmessa da un’onda per unità di superficie e di tempo perpendicolarmente alla direzione
di propagazione è
I=
dU
dU dx
=
= uv
dSdt
dSdx dt
(23)
I è chiamata intensità e risulta espressa in W/m2 .
4