COMPITI PER LE VACANZE

COMPITI PER LE VACANZE
MATEMATICA, CLASSE I S
A.S. 2013/2014
Queste indicazioni sono reperibili sul sito della scuola e nel corso moodle utilizzato
durante l’anno. Viene proposta una raccolta di esercizi che dovrai svolgere seguendo le
indicazioni metodologiche riportate sotto. Risolvi inoltre tutti gli esercizi proposti
nell’attività 1 e 2 che trovi a fine documento e almeno 10 dell’attività 3.
Gli studenti con “giudizio sospeso” o con argomenti da “consolidare” (lavoro estivo,
aiuto), integreranno la lista proposta con altri esercizi indicati nella lettera
consegnata dal coordinatore.
E se per caso hai tanta voglia di leggere, ecco due consigli.
INDICAZIONI METODOLOGICHE:
1. Riportate gli svolgimenti su un quaderno con chiari riferimenti all'esercizio in
esame (numero e pagina). Non saranno accettati quaderni disordinati, fogli singoli
non rilegati, .esercizi svolti senza passaggi,…
2. E’ possibile incollare sul quaderno le fotocopie delle schede compilate.
3. Se non riuscite a risolvere un esercizio o avete forti dubbi sul procedimento
adottato, scrivete comunque numero e pagina e riportate il tentativo di
svolgimento o un commento (sintetico) che descriva il problema incontrato.
Per qualsiasi dubbio: [email protected]
BUONE VACANZE e BUON LAVORO
Prof. CAVAGNA
“Contro l’ora di matematica”. Un manifesto per la liberazione di
professori e studenti. Di Paul Lockhart. Edito da Rizzoli.
SIMPLICIO: Ma uno degli scopi della matematica non è di aiutare gli
studenti a pensare in maniera più precisa e logica, e di sviluppare le
loro capacità di ragionamento quantitativo? Tutte queste formule e
definizioni
non
affinano
le
menti
dei
nostri
studenti?
SALVIATI: No, non è così. Casomai, il sistema attuale ha l’effetto di
ottundere la mente. E’ risolvendo problemi per conto proprio che si
affina
la
mente,
non
facendosi
dire
come
risolverli.
SIMPLICIO: D’accordo. Ma cosa mi dici di quegli studenti che vogliono
seguire una carriera scientifica o ingegneristica? Non hanno bisogno
della preparazione che fornisce il curriculum tradizionale? Non è per
questo
che
insegniamo
la
matematica
a
scuola?
SALVIATI: Quanti studenti che seguono lezioni di letteratura
diventeranno scrittori? Non è questa la ragione per cui insegniamo
letteratura, né quella per cui gli studenti la imparano. Insegniamo per
illuminare le menti di tutti, non per preparare i futuri professionisti. E,
in ogni caso, la capacità più preziosa per uno scienziato o un ingegnere
è quella di essere in grado di pensare in modo creativo e indipendente.
L’ultima cosa di cui abbiamo bisogno è di venir preparato.
Paul
Lockhart
Qui trovate una scheda.
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/info/NOVITA/Lockhart_ControOraMatematica/L
ockhart_ControOraMatematica.htm
Seconda lettura consigliata: “Flatlandia”. Racconto fantastico a più
dimensioni. Di Edwin A.Abbott. Edito da Adelphi.
Il mondo... è una superficie piana come quella di una carta
geografica, sulla quale i flatlandesi scivolano senza sovrapporsi.
La loro è una società rigidamente gerarchica: la casta più vile è
quella delle donne, semplici righette con sulla punta un occhio,
come aghi; viste dall'altro estremo, le donne diventano invisibili,
così che a loro basta rivoltarsi per scomparire. Se un maschio per
caso si imbatte nell'invisibile didietro di una donna, può
rimanerne trafitto, per ciò che la legge impone alle femmine
l'obbligo di dimenarsi sinuosamente, senza sosta, per evitare
incidenti.
Qui trovate una scheda.
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/O
difreddi/FlatLand/FlatLand.htm
Laboratorio di accoglienza classe prima superiore
COMPITI PER LE VACANZE, MATEMATICA, CLASSE I S
A.S. 2013/2014
ATTIVITÀ 1
Provate a risolvere i seguenti problemi con il metodo che ritenete più opportuno.
1) Una tavola a cui è stata segata la sua quarta parte misura 120 cm, quanto misurava tutta intera?
2) 2) Un traghetto può trasportare auto o camion. La sua portata massima è stabilita in 120 auto. Lo
spazio occupato da 5 auto è valutato tanto quanto lo spazio occupato da 2 camion. Quanti sono i
possibili carichi?
3) 3) Nel cortile di una fattoria ci sono polli e conigli: vi sono in tutto 47 teste e 160 zampe. Quanti polli
e conigli vi sono?
4) 4) Per un lavoro ricevo un compenso di 120 euro al netto delle tasse che sono del 25%, devo fare la
dichiarazione dei redditi e mi occorre sapere l'imponibile ( il compenso prima della detrazione).
5) 5) Un bambino vuole disporre gli oggetti di una sua collezione in una piccola bacheca a scaffali. Egli
si accorge che mettendo 4 oggetti per scaffale ne rimane vuoto uno, mentre mettendo 3 oggetti in
ogni scaffale riempie la bacheca, ma avanza un oggetto. Quanti oggetti ha il bambino e di quanti
scaffali è fatta la bacheca?
ATTIVITÀ 2
1. Problema aritmetico. Formalizzazione con espressione
Senza risolverlo, scrivete l'espressione che formalizza il seguente problema:
"Due amici A e B hanno p(26) euro. Con questi soldi devono comprare 6 garofani al prezzo di un euro e
venti centesimi l'uno. Si spartiranno quindi il resto in parti uguali e, dopo tale ripartizione, A compera un
gelato (1,5 euro). Quanti soldi rimarranno in tasca ad A?"
Se A volesse offrire il gelato a cinque amici quanto deve essere il minimo valore che deve assumere p?
Soldi rimasti in tasca ad A =
Valore minimo =
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2. Organizzazione dei dati in tabella
Tre ragazze di diverse nazionalità hanno i capelli di colore diverso, rossi, neri e biondi. Una è inglese, l'altra
è danese e la terza è olandese. Le tre ragazze si trovano nello stesso college, in stanze vicine, ai numeri 49,
51 e 53. La ragazza con i capelli rossi è danese. La ragazza bionda è nella stanza il cui numero è divisibile
per 3. La ragazza inglese è nella stanza il cui numero è un quadrato. Qual è il numero della stanza in cui si
trova la ragazza olandese e qual è il colore dei suoi capelli?
3. Problema aritmetico. Organizzazione dei dati in grafo ad albero
" Un barista osserva i comportamenti dei suoi clienti della mattina e registra le seguenti informazioni:
la metà prende il cappuccino, i 2/5 prendono il caffè e i rimanenti il tè; di quelli che prendono il tè, uno su tre
mette lo zucchero, gli altri lo bevono non zuccherato; metà di coloro che prendono il caffè lo beve non
zuccherato, mentre di coloro che prendono il cappuccino solo uno su tre non mette lo zucchero; i clienti che
prendono il tè non zuccherato sono ogni mattina 10.
Da queste informazioni vogliamo sapere quanti sono in totale i clienti del bar e come sono distribuiti in base
ai tre tipi di bevande e alla possibilità di berle zuccherate o no".
Organizza i dati con un grafo ad albero, segnando sui vari rami le corrispondenti frazioni.
4. Formalizzazione geometrica
Se in un rettangolo si diminuisce la lunghezza di un lato del 20% e si aumenta la lunghezza dell'altro lato del
20%, l'area resta invariata? E il perimetro? Motiva la risposta
Prova a rispondere ai quesiti nel caso che il quadrilatero sia un quadrato.
5. Problema di dipendenza di una grandezza da un'altra. Formalizzazione con una
funzione.
" Il prezzo di un libro è determinato in base al numero di pagine che lo compongono: 12 centesimi per ogni
pagina più 2,5 euro per le spese di copertina e di rilegatura; alla cifra ottenuta va poi aggiunta una tassa del
10%. Si vuole determinare il prezzo di vari libri, di diverso numero di pagine".
La sequenza delle operazioni per determinare il prezzo del libro, sapendo il numero delle pagine, si può
rappresentare con un diagramma di flusso.
Si può scrivere il prezzo del libro in funzione del numero di pagine con una formula: ………
se il libro ha 230 pagine qual è il suo prezzo?
Se il libro ha appena 54 pagine qual è il suo prezzo?
Se conosciamo il prezzo, ma non il numero di pagine perché il libro è chiuso in un involucro, qual è il
diagramma che mi permette di risolvere il problema?
6. Problema di scelta. Quale formalizzazione?
Un ufficio, per far fronte ad una temporanea necessità, decide di noleggiare per un mese una fotocopiatrice.
Vengono prese in esame tre offerte: la prima prevede una spesa di euro 0.10 a fotocopia, comprendente le
spese per la carta e per il toner; la seconda euro 300 per il noleggio della macchina più euro 0.06 per ogni
fotocopia; la terza consiste nel pagamento forfettario di euro 800 con la condizione che il numero totale delle
fotocopie non sia superiore a 10.000.
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Modellizzare la situazione con un grafico cartesiano e stabilire la soluzione più conveniente
per l'ufficio in relazione al numero di fotocopie che si prevede di effettuare.
7. Organizzare i dati: diagrammi di Venn come modello di un problema
In un paese si pubblicano tre quotidiani, denominati x, y, z. Il 15% degli abitanti legge tutti e tre i giornali. Il
20% degli abitanti legge almeno i due giornali x e y. Il 35% degli abitanti legge almeno i due giornali x e z. La
metà degli abitanti legge il giornale x. Nessuno legge soltanto i giornali y e z. Il 40% degli abitanti legge il
giornale z. Il 30% degli abitanti legge il giornale y.
Rappresenta la situazione con un diagramma di Venn e stabilisci:
a) qual è la percentuale di abitanti che non legge alcun giornale;
b) qual è la percentuale di abitanti che legge soltanto i giornali x e z.
8. Problema algebrico: formalizzazione con un’espressione
Inventa una espressione letterale che contenga almeno due variabili letterali, qualche frazione e qualche
quadrato di binomio: fai in modo che il risultato dell'espressione, nonostante ‘nasca' letterale, sia uguale a 1.
ATTIVITÀ 3
1) Scrivi il testo del problema o la sua formalizzazione (algebrica, grafica…).
Linguaggio formale
Testo del problema
2n  12  1
65%
35%
72%
ARCHIMEDE PITAGORICO ha n anni, dove n e’ un multiplo di 6 e fra
3 anni avrà un numero di anni multiplo di 5. Quanti anni ha Archimede
Pitagorico se è:
1°) è il vostro insegnante di matematica e non ha ancora 50 anni.
oppure
2°) è il figlio del vostro insegnante di matematica e frequenta la scuola
media inferiore
oppure
3°) è il figlio del vostro insegnante di matematica e frequenta la scuola
elementare.
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3x+2y=120
Dopo una delle periodiche inondazioni del Nilo, il campo rettangolare di
Mehi, completamente distrutto, doveva essere ricostruito. Mehi pensò
che se lo avesse rifatto, sempre rettangolare, ma aumentando del 50%
una dimensione e diminuendo del 50% l'altra, avrebbe riottenuto la
stessa superficie coltivabile. Aveva ragione?
Per una gita scolastica si hanno a disposizione due pulmini, uno più
grande dell'altro.
I partecipanti alla gita sono 19. Un pulmino trasporta il doppio di
persone dell'altro. Quante persone si sistemano in ogni pulmino in
modo tale da occupare tutti i posti?
Costruite un rettangolo in modo che le dimensioni siano una il doppio
dell'altra.
2) Rispondi
“ Trovate due numeri pari il cui prodotto è 24 “ Quante sono le coppie di valori che
soddisfano il problema?
“ Trovate due numeri pari il cui prodotto è 12 “ Quante sono le coppie di valori che
soddisfano il problema?
“ Trovate due numeri razionali il cui prodotto è 8 “ Quante sono le coppie di valori
che soddisfano il problema?
“ Trovate due numeri pari il cui prodotto è 18 “ Quante sono le coppie di valori che
soddisfano il problema?
3) Un'eredità di 21 000 euro deve essere divisa tra tre cugini; al secondo spetta il triplo che al primo e il
terzo riceve quanto hanno avuto complessivamente i primi due. Quanto spetta ad ognuno?
4) Un pavimento rettangolare è piastrellato con grandi mattonelle quadrate (diciamo 7 x 5 mattonelle,
tanto per fissare le idee). Le mattonelle del bordo (nel nostro caso sono 20) hanno un colore diverso
da quelle interne (nel nostro caso sono 15). Trovare tutti i casi in cui il numero dei due tipi di
mattonelle è uguale.
a
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b
5) Consideriamo un quadrato magico 3x3 (cioè un quadrato come in figura, la cui somma dei valori
sulle righe, colonne e diagonali ha un valore costante) assegnati tre valori, ad esempio 4, 2, 5,
bisogna determinare gli altri, sapendo che la somma costante è 10.
5
4
2
6) In una strada ci sono cinque case dipinte in cinque colori differenti. In ogni casa vive una persona di
differente nazionalità. Ognuno dei padroni di casa beve una differente bevanda, fuma una differente
marca di sigarette e tiene un animale differente. Domanda: a chi appartiene il pesciolino?
Ecco alcuni indizi:
1) L'inglese vive in una casa rossa. 2) Lo svedese ha un cane. 3) Il danese beve tè. 4) La casa
verde è a sinistra della casa bianca. 5) Il padrone della casa verde beve caffé. 6) La persona che
fuma le Pall Mall, ha degli uccellini. 7) Il proprietario della casa gialla fuma le Dunhill's. 8) L'uomo
che vive nella casa centrale, beve latte. 9) Il norvegese vive nella prima casa. 10) L'uomo che
fuma le Blends, vive vicino a quello che ha i gatti. 11) L'uomo che ha i cavalli, vive vicino all'uomo
che fuma le Dunhill's. 12) L'uomo che fuma le Blue Master, beve birra. 13) Il tedesco fuma le
Prince. 14) Il norvegese vive vicino alla casa blu. 15) L'uomo che fuma le Blends, ha un vicino che
beve acqua
7) Cinque ragazzi vanno al bar e tutti e cinque mangiano e bevono cose diverse. Dalle affermazioni
che seguono stabilire che cosa ha mangiato e bevuto ogni ragazzo e che cosa indossava.
1) Uno dei ragazzi beve un'aranciata e mangia un toast.
2) Paolo non beve il suo latte con un biscotto.
3) Marco mangia un panino.
4) Chi beve l'aranciata non indossa la maglia.
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5) Chi beve un caffè indossa il gilè.
6) Indossa la giacca chi mangia il biscotto, ma non beve Coca Cola.
7) Ugo indossa il golf e non mangia né toast né brioche.
8) Sergio non indossa il giubbotto.
Gli elenchi che seguono non hanno alcun ordine particolare.
Ragazzi: Marco, Luca, Ugo, Paolo e Sergio.
Cibo: panino, toast, brioche, biscotto e torta.
Bevande: aranciata, latte, tè, Coca Cola e caffè.
Indumenti: giubbotto, maglia, golf, giacca e gilè.
8) Due stazioni A e B distano tra loro 240 km. Un treno parte da A in direzione B e percorre i binari alla
velocità costante di 50 km/h. Nello stesso istante un treno parte dalla stazione B in direzione A
percorrendo i binari alla velocità di 70 km/h. Dopo quanto tempo si incontreranno? A quale distanza
da A e da B?
3
7
a
a
9) Un trapezio ha la base maggiore uguale a 2 , la base minore uguale a 2 e l'altezza è la metà
5
a
della base maggiore. Calcola l'area del trapezio. Se si aumenta la base maggiore di 2 , qual è la
differenza tra l'area del nuovo trapezio e l'area di quello vecchio?
I
10) Formula un problema aritmetico, scrivilo e quindi sottoponilo a un tuo compagno. Per fare ciò, scegli
un numero, mettilo in relazione con altri numeri ad esso collegati (il suo doppio, la sua metà, il suo
successivo se è un numero intero, ...) e scrivi un risultato (la somma di ... e ... è, il prodotto di ... con
... è). Dopo aver scritto il problema e prima di sottoporlo a qualcun altro, prova tu stesso a risolverlo
per verificare che esso sia ben posto.
11) Formula un problema ‘nel tempo', pensando alla tua età ed a quella di un tuo genitore, alla vostra
differenza d'età e a quale rapporto definito (il doppio, il triplo, la metà) c'è stato o ci sarà tra le due
età qualche anno fa o tra qualche anno. Dopo aver scritto il problema e prima di sottoporlo a qualcun
altro, prova tu stesso a risolverlo per verificare che esso sia ben posto.
12) È qui scritta la soluzione di un problema geometrico, di cui si è perso il testo. Prova a ricostruire il
testo del problema.
Soluzione
Indichiamo con x un cateto e con 34 - x l'altro (trascuriamo di indicare le unità di misura perché sono
coerenti).
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L'area è incognita, ma è esprimibile tramite il prodotto dei due cateti, è cioè
L'equazione che formalizza il problema è allora:
x  34  x 
.
2
x  834  x  4  60  x  34  x 
2
2
Sviluppando i calcoli si ottiene
Si ottiene perciò che il cateto indicato con x misura 10 cm, mentre l'altro cateto misura
34  x , cioè 24 cm.
13) Se in un rettangolo si diminuisce la lunghezza di un lato del 20% e si aumenta la lunghezza dell'altro
lato del 20%, l'area resta invariata? E il perimetro? Motiva la risposta. Prova a rispondere ai quesiti
nel caso il quadrilatero sia un quadrato.
14) Si ha una corda lunga 7 m ed ogni giorno se ne taglia un metro. Dopo quanti giorni la corda sarà
completamente tagliata?
15) Sia x la misura, espressa in cm, del lato di un quadrato, con x>2. Si diminuisce il lato di 2 cm .
Scrivete l’espressione algebrica che esprime la diminuzione del lato del quadrato. Verificate che la
diminuzione considerato può essere espressa dall’espressione 4 x  1 . Calcolate il valore di x nel
2
caso in cui la diminuzione è 16 cm


16) Un lattaio per rifornire di latte un intero condominio, si informa sulle famiglie che lo abitano.
Scopre che :
1. lo stabile è formato da 6 piani, 4 scale, 3 mansarde, 9 seminterrati e 5 soffitte
2. ogni piano è abitato da 3 famiglie che consumano in media 2 litri di latte al giorno ciascuna.
3. ogni famiglia è mediamente composta da 4 persone, di cui 2 bambini
4. ogni famiglia consuma mediamente 3 vasetti di yogurt al giorno
Riporta nella tabella i dati che ritieni siano utili al lattaio
Dati utili
Dati inutili
17) Un giovanotto ha ricevuto 1024 Euro in regalo. Ogni giorno spende metà di quello che possiede.
Dopo quanti giorni rimarrà senza neanche un Euro?
18) Da due paesi, collegati da una strada rettilinea lunga 10 km, partono contemporaneamente, l'uno
verso l'altro, due carri, trainati ciascuno da un bue, che procedono alla stessa velocità di 5 km/ora.
All’istante della partenza una mosca, che si era posata sulla fronte del primo bue, parte volando in
linea retta, con la velocità di 15 km/ora, e va a posarsi sulla fronte del secondo bue; poi subito riparte
e torna, con la stessa velocità di prima, a posarsi sulla fronte del primo bue; e così di seguito fino a
quando i due buoi si incontrano e la mosca resta schiacciata fra le due fronti. Quanti chilometri ha
percorso quella mosca?
19) Il numero del marzo 1936 della rivista « Eu Sei Tudo » di Rio de Janeiro pubblicò la seguente
notizia: « ... Ciò è accaduto a Londra, alla Camera dei Comuni.... I fatti si svolsero così. Il signor
Cove, deputato di Aler-Avons, aveva interpellato il ministro della pubblica istruzione, protestando
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contro i programmi scolastici sproporzionati alla mentalità dei giovani studenti. E, per provare
la sua affermazione, dichiarò che il 95% dei deputati presenti non sarebbe stato capace di
risolvere un problema dato ai ragazzi di 11 anni all'esame di ammissione alle scuole secondarie. La
Camera protestò indignata ed allora il signor Cove propose il problema che era stato dato agli
alunni. Il problema è il seguente: « Un coniglio, stando a 40 metri di distanza dalla sua tana, scorge,
6 metri dietro di sé, un cane che vuole raggiungerlo. Il coniglio fa dei salti di metri 1,65 ed il cane fa
dei salti di metri 2,975. Ma, come il cane fa due salti, il coniglio, a parità di tempo, ne fa tre. A che
distanza dalla tana il coniglio fu raggiunto dal cane? » Il 97% dei deputati non seppe risolvere il
problema. Perciò il ministro dovette prendere formale impegno di modificare i programmi scolastici ».
Volete provare se siete più bravi di quei deputati?