i radicali quadratici

I RADICALI QUADRATICI
1. Radici quadrate
Definizione di radice quadrata: Si dice radice quadrata di un numero reale positivo o nullo a, e si indica con √𝒂, il numero
reale positivo o nullo (se esiste) che, elevato al quadrato, dà come risultato a.
In simboli:
𝒙 = √𝒂 ⇔ 𝒙𝟐 = 𝒂, 𝒙 ≥ 𝟎 𝒆 𝒂 ≥ 𝟎
Per esempio esistono due numeri reali che elevati al quadrato danno come risultato 9, e sono +3 e -3; solo +3 può dirsi radice
quadrata di 9 perché solo +3 è positivo, come richiesto dalla definizione di radice quadrata; quindi:
√9=+3
Non esiste invece la radice quadrata di -9 perché nessun numero reale elevato al quadrato dà come risultato un numero negativo.
Quindi:
√−9= non esiste, è un’operazione impossibile in R
Più in generale, quindi:
Esistenza delle radici quadrate in R:
Ogni numero reale positivo o nullo ha esattamente una radice quadrata in R.
Ogni numero reale negativo non ammette radice quadrata in R.
Si indicano con il termine di radicale quadratico non solo le espressioni del tipo √a, dove a è un numero reale non negativo, ma
anche le espressioni della stessa forma, dove l’argomento della radice (detto radicando) è un’espressione letterale. In questi casi
è necessario determinare le condizioni di esistenza del radicale (dette in questo caso condizioni di realtà: C.R.), cioè per quali
valori delle variabili il radicando è non negativo. L’insieme dei valori della variabili per i quali un radicando è non negativo si
chiama dominio, o insieme di definizione o insieme di esistenza del radicale. Quando un radicale è definito assume sempre valori
positivi o nulli. Quindi:
Esistenza e segno del radicale √𝑷(𝒙) . Il radicale √𝑷(𝒙) è definito in corrispondenza dei valori reali per i quali ii radicando
risulta non negativo, cioè risulta:
𝑷(𝒙) ≥ 𝟎 (condizione di realtà, C.R.)
e assume per tali valori, valore positivo o nullo: √𝑷(𝒙) ≥ 𝟎.
2. Le radici quadrate come potenze ad esponente razionale
Vedremo ora come le radici quadrate possono essere viste come un’estensione del concetto di potenza che già conosciamo.
Potenze ad esponente naturale : 𝒂𝒏 , 𝒄𝒐𝒏 𝒏 ∈ 𝑵
La potenza ad esponente naturale viene dalla definizione stessa di potenza : 𝒂𝒏 = 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ … ∙ 𝒂 (è uguale al prodotto di n fattori
uguali alla base, se l’esponente è diverso da zero).
Se l’esponente è zero e la base è diversa da zero, allora 𝒂𝟎 = 𝟏 (dimostrazione: 𝑎0 = 𝑎𝑛 : 𝑎𝑛 = 1𝑛 = 1)
Se l’esponente è zero e la base è zero, allora 𝟎𝟎 = 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒕𝒂 (dimostrazione: 00 = 0𝑛 : 0𝑛 = 0: 0 = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑎)
Potenze ad esponente intero relativo : 𝒂𝒏 , 𝒄𝒐𝒏 𝒏 ∈ 𝒁
Se l’esponente è un numero relativo ( per es. 3−2 ) la definizione di potenza perde significato. Si ricorre alle proprietà delle
potenze per dare significato a potenze con esponente negativo, ampliando così il concetto di potenza.
Vogliamo dare un significato alla scrittura 3−2 , in modo che continuino ad essere valide le proprietà delle potenze. Allora se
per il numero 3−2 (che per ora, per noi, non ha alcun significato dato che il suo esponente non è naturale) devono ancora
valere le proprietà delle potenze, dovrà essere:
3−2 ∙ 32 = 30 = 1 .
Quindi 3−2 è quel numero che moltiplicato per 32 dà come risultato 1, quindi 3−2 è il reciproco di 32 . Pertanto:
3
−2
1 2
= 1: (3 ) = ( )
3
2
Quindi in generale se l’esponente è un numero intero negativo e la base è un numero diverso da zero la potenza si esegue
utilizzando come base il reciproco della base iniziale e cambiando segno all’esponente, che quindi diventerà positivo:
3 −5
(− 2)
2 5
= (− 3)
1 5
(2)−3 = ( ) ;
2
;
(1)−4 = (1)4 = 1 ;
4 −1
(5)
5 1
5
= (4) = 4
Mentre se la base è zero 0−3 = 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒 perché il reciproco dello zero (cioè 1:0) non esiste.
Abbiamo visto quindi come la potenza con esponente intero negativo non sia una conseguenza della definizione stessa di
potenza, ma come sia invece una conseguenza dell’applicazione delle proprietà delle potenze.
Potenze ad esponente razionale: 𝒂𝒏 , 𝒄𝒐𝒏 𝒏 ∈ 𝑸
Vediamo ora come le radici quadrate possono essere scritte come potenze con esponente razionale.
1
Vogliamo dare un significato alla scrittura 72 , in modo che continuino ad essere valide le proprietà delle potenze. Allora se per
1
il numero 72 (che per ora, per noi, non ha alcun significato dato che il suo esponente non è naturale né intero) devono ancora
valere le proprietà delle potenze, dovrà essere:
1 2
1
(72 ) = 72 ∙2 = 71 = 7
1
1
Quindi 72 è quel numero che elevato al quadrato dà 7, e quindi (per definizione di radice quadrata), 72 è proprio la radice
quadrata di 7, cioè:
1
72 = √7
3. Radicali e funzioni
La funzione 𝑦 = √𝑥 è definita per 𝑥 ≥ 0 ed è sempre positiva o nulla in base alla definizione di radice quadrata. Tracciamone il
grafico per punti:
𝑥
𝑦 = √𝑥
0
0
1
1
2
√2 ≈ 1,4
3
√3 ≈ 1,7
4
2
5
√5 ≈ 2,2
6
√6 ≈ 2,4
4. Semplificazione di un radicale quadratico
I radicali godono della proprietà invariantiva, della quale vedremo per ora una parte che serve a semplificare i radicali quadratici:
PROPRIETA’ INVARIANTIVA APPLICATA ALLA SEMPLIFICAZIONE DEI RADICALI QUADRATICI : La radice quadrata può essere
semplificata dividendo per 2 l’esponente del radicando. Quindi se il radicando ha un esponente pari, l’esponente può essere
semplificato con l’indice (2) del radicale quadratico, cioè:
√𝒂𝟐𝒏 = 𝒂𝒏
Dimostrazione:
𝟏
√𝒂𝟐𝒏 = (𝒂𝟐𝒏 )𝟐 = 𝒂𝟐𝒏
∙
𝟏
𝟐
𝒂𝒏 (per la proprietà: potenza di potenza)
Bisogna però porre attenzione alla concordanza del segno tra il radicale iniziale (positivo per definizione di radice quadrata) e
il risultato dell’operazione della semplificazione.
ESEMPI:
√81 = √34 = 32
√144=√122 = 12
√(−2)4 = (−2)2 = +4 (in questo caso il risultato è positivo, e quindi concorda correttamente nel segno con il radicale iniziale)
√(−2)2 = −2 (questa semplificazione è sbagliata perché il risultato è negativo, e quindi NON concorda nel segno con il radicale
iniziale)
√(−2)2 = |−2| = +2 (questa semplificazione è giusta perché così il risultato è positivo, e quindi concorda correttamente nel
segno con il radicale iniziale)
√(−2)2 = √(+2)2 = +2 (anche questa semplificazione è giusta perché il cambio di segno in potenza con esponente pari ha
risolto il problema della concordanza del segno)
√(−2)6 = |(−2)3 | = |−8| = +8 (questa semplificazione è giusta)
Se l’argomento della radice è variale, bisogna porre particolare attenzione quando si incontrano radicali del tipo √𝑥 2 : questo
radicale per la C.R. è definito per 𝑥 ∈ 𝑅, ma non è giusto scrivere che √𝑥 2 = 𝑥. Infatti √𝑥 2 è per definizione di radicale
quadratico un numero non negativo, mentre x può essere positivo o negativo; i due membri dell’uguaglianza (non corretta)
√𝑥 2 = 𝑥 , cioè non concordano nel segno. Infatti:
√
𝑥2 = ⏟
𝑥
⏟
+
Facciamo degli esempi:
+𝑜–
se x=4 , allora √42 = √16 = 4, quindi in questo caso √𝑥 2 = 𝑥.
se x=-4, allora √(−4)2 = √16 = 4, quindi in questo caso √𝑥 2 = −𝑥.
Pertanto il ragionamento corretto è il seguente: :
se 𝑥 ≥ 0 , allora √𝑥 2 = 𝑥
se 𝑥 < 0 , allora √𝑥 2 = −𝑥
Cioè, ricordando la definizione di valore assoluto:
√𝑥 2 = |𝑥 |, per ogni 𝑥 ∈ 𝑅
5. Prodotto e quoziente di radicali quadratici
PRODOTTO E QUOZIENTE DI RADICALI QUADRATICI: Nell’ipotesi in cui siano verificate le condizioni di esistenza dei radicali
quadratici √𝒂 e √𝒃 (condizioni di realtà C.R.), valgono le seguenti proprietà:
a: √𝒂 ∙ √𝒃 = √𝒂 ∙ 𝒃 (cioè il prodotto di due radicali quadratici è uguale alla radice del prodotto)
b:
√𝒂
√𝒃
𝒂
= √𝒃
(se b ≠ 𝟎) (cioè il quoziente di due radicali quadratici è uguale alla radice del quoziente)
Dimostrazione:
1
PRODOTTO:
1
1
√𝑎 ∙ √𝑏 = 𝑎2 ∙ 𝑏2 = (𝑎 ∙ 𝑏)2 = √𝑎 ∙ 𝑏 (per la proprietà: prodotto di potenze con lo stesso esponente)
1
1
1
QUOZIENTE: √𝑎 ∶ √𝑏 = 𝑎2 ∶ 𝑏 2 = (𝑎 ∶ 𝑏)2 = √𝑎: 𝑏 (per la proprietà: quoziente di potenze con lo stesso esponente)
ESEMPI:
√18 ∙ √2 = √18 ∙ 2 = √36 = 6
√20: √2 = √20: 2 = √10
1
1
1 1
1
1
√8 : √2 = √8 : 2 = √8 ∙ 2 = √16 = 4
6. Potenza di radicali quadratici
POTENZA DI RADICALI QUADRATICI: Nell’ipotesi in cui siano verificate le condizioni di esistenza del radicale quadratico √𝒂
(condizioni di realtà C.R.), vale le seguente proprietà:
𝒏
(√𝒂) = √𝒂𝒏 (cioè la potenza di un radicale quadratico è uguale alla radice della potenza)
Dimostrazione:
1 𝑛
𝑛
(√𝑎) = (𝑎2 )
ESEMPI:
1
= ( 𝑎 𝑛 ) 2 = √𝑎 𝑛
3
3
2
(√+3) = √(+3)2 = +3
(√2) = √(+2)3 = √+8
(√(+5)7 ) = √[(+5)7 ]3 = √(+5)21
7. Trasporto sotto il segno di radice quadrata
Consideriamo un’espressione formata da un numero moltiplicato per una radice: 2√2 . Possiamo scrivere la seguente catena
di uguaglianze:
2√2
=
⏟
√4 ∙ √2
𝑝𝑒𝑟𝑐ℎè
2=√4
=
⏟
√4 ∙ 2 = √8
Si dice che “si è portato il fattore 2 sotto il segno di radice”.
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑜𝑡𝑡𝑜 𝑑𝑖
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑖
Possiamo anche lavorare sull’esponente del fattore da trasportare:
1
3
1 2
1
1
√3 = √(3) ∙ 3 = √9 ∙ 3 = √3
Si deve quindi moltiplicare per due l’esponente di tale fattore.
Bisogna fare attenzione però al segno del fattore da trasportare, affinché sia sempre verificata la concordanza tra il segno
iniziale e il segno finale dell’espressione con cui si opera.
Per esempio sarebbe errato scrivere:
−2√2
⏟
√(−2)2 ∙ √2 = √(−2)2 ∙ 2 =
=
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜
𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
⏟
√8
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜
perché non è rispettata la
concordanza del segno tra il primo e l’ultimo passaggio.
E’ invece corretto lasciare il segno negativo fuori dalla radice quadrata e trasportare solo il numero positivo sotto radice:
−2√2
⏟
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜
𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
= − √(+2)2 ∙ √2 = − √(+2)2 ∙ 2 = ⏟
− √8
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜
𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
Vale quindi la seguente regola:
Trasporto di un fattore sotto il segno di radice quadrata: per trasportare un fattore POSITIVO sotto la radice quadrata bisogna
moltiplicare il suo esponente per 2; se il fattore fuori radice è NEGATIVO si lascia il segno negativo fuori dalla radice e si trasporta
solo il valore assoluto del numero, per rispettare la condizione di concordanza del segno.
Vediamo il trasporto sotto il segno di radice anche tramite la forma esponenziale della radice:
1
1
1
1
2√3 = 2 ∙ 32 = (22 )2 ∙ 32 = (22 ∙ 3)2 = √23 ∙ 3
1
1
1
1
FATTORE NEGATIVO:−2√3 = − 2 ∙ 32 = −(22 )2 ∙ 32 = −(22 ∙ 3)2 = −√23 ∙ 3
8. Trasporto fuori dal segno di radice quadrata
A volte è utile effettuare l’operazione inversa, cioè portare un fattore fuori dal segno di radice.
Per esempio: √18 =
⏟ ∙ 2 = √9 ∙ √2 = 3 √2 .
√9
9 è 𝑢𝑛
𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜
𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑡𝑡𝑜
Si dice che il fattore 3 è stato “trasportato fuori dal segno di radice”.
Anche in questo caso si può lavorare sugli esponenti:
√192 = √26 ∙ 3 = √26 ∙ √3 = 23 √3 = 8 √3
In questo caso è quindi necessario dividere per due l’esponente del fattore da trasportare fuori radice, facendo sempre
attenzione alla concordanza del segno.
Vale quindi la seguente regola:
Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice quadrata: per trasportare un fattore POSITIVO fuori dalla radice quadrata
bisogna dividere il suo esponente per 2 se il fattore da trasportare è NEGATIVO si deve rispettare la concordanza del segno.
Vediamo il trasporto fuori radice anche tramite la forma esponenziale della radice:
1
1
1
1
√32 ∙ 2 = (32 ∙ 2)2 = 32∙2 ∙ 22 = 3 ∙ 22 = 3 √2
9. Addizioni e sottrazioni di radicali
Per le somme e differenze di radice quadrate non valgono la proprietà che valgono per i prodotti e i quozienti; infatti:
√𝑎 + √𝑏 ≠ √𝑎 + 𝑏
e √𝑎 − √𝑏 ≠ √𝑎 − 𝑏
Per esempio vediamo che √9 + √16 ≠ √9 + 16 ; infatti √9 + √16 = 3 + 4 = 7 , mentre √9 + 16 = √25 = 5 .
Vediamo anche che √25 − √9 ≠ √25 − 9 ; infatti √25 − √9 = 5 − 3 = 2 , mentre √25 − 9 = √16 = 4 .
Tuttavia è possibile semplificare espressioni che contengono somme o differenze di radici quadrate (eventualmente moltiplicate
per un coefficiente), a condizione che siano simili, cioè abbiano lo stesso radicando (in modo analogo alle somme tra monomi
nel calcolo letterale). La proprietà che ci permette di sommare i radicali simili è sempre quella distributiva.
ESEMPI:
2√5 + 3 √5 = (2 + 3) √5 = 5√5
(per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione)
Invece √2 + √3 non è semplificabile perché √2 𝑒 √3 non sono simili; √2 + √3 è un binomio irrazionale. Anche 5 + √3
è un binomio irrazionale, somma di un numero razionale e di un numero irrazionale.
A volte per evidenziare in un’espressione la presenza di radicali simili è necessario semplificare le radici che vi compaiono e/o
trasportare tutti i termini possibili fuori dal segno di radice. Per esempio:
√3 + √12 = √3 + √22 ∙ 3 = √3 + 2 √3 = 3√3
Vediamo la somma di due radici anche tramite la forma esponenziale della radice:
1
Se i due radicali sono simili:
1
1
1
3√5 + 4√5 = 3 ∙ 52 + 4 ∙ 52 = (3 + 4) ∙ 52 = 7 ∙ 52
1
Non è invece possibile sommare radicali non simili:
1
1
√9 + √16 = 92 + 162 ≠ (9 + 16)2
10.
Espressioni irrazionali
Le espressioni algebriche in cui sono presenti dei radicali si dicono espressioni irrazionali. Le operazioni tra radicali godono delle
stesse proprietà di cui godono le operazioni tra numeri razionali; inoltre si dovranno utilizzare le regole di calcolo con i radicali
studiate e le ordinarie proprietà di calcolo: proprietà distributiva, prodotti notevoli, ecc.
11. Razionalizzazioni
A volte può capitare di incontrare frazioni che contengano radici quadrate al denominatore, come:
1
,
√2
5
3√2
7
,
2+√3
,
9
√3−√2
,
1
√2−√3+√5
Per effettuare i calcoli è spesso utile trasformare queste frazioni in altre frazioni equivalenti (quindi frazioni che rappresentano la
stessa quantità), ma prive di radici al denominatore. Questo procedimento viene detto razionalizzazione del denominatore di una
frazione.
Dal punto di vista operativo la razionalizzazione del denominatore si effettua applicando la proprietà invariantiva della divisione,
come hai già imparato a fare per riportare più frazioni allo stesso denominatore (per effettuare la somma algebrica tra frazioni
con diverso denominatore).
Ricordiamo quindi la proprietà invariantiva:
Proprietà invariantiva della divisione: moltiplicando o dividendo dividendo e divisore per uno stesso numero diverso da zero il
quoziente non cambia; quindi moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero
diverso da zero si ottiene una frazione equivalente a quella data.
In generale l’operazione di razionalizzare il denominatore di una frazione è piuttosto complessa, poiché il fattore per cui
moltiplicare la frazione dipende dal numero di radici presenti nel denominatore da razionalizzare. Esamineremo quindi i casi più
comuni, che corrispondono ai primi quattro degli esempi fatti all’inizio (monomio irrazionale e binomio irrazionale).
1° CASO: il denominatore contiene una radice quadrata (monomio irrazionale):
Per esempio:
3
√2
; bisogna allora moltiplicare numeratore e denominatore per √2 . Infatti:
3
=
√2
3 ∙ √2
√2 ∙ √2
=
3 √2
=
⏟
√4
3√2
2
4 è 𝑢𝑛 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜
𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑡𝑡𝑜
La frazione iniziale
3
√2
e la frazione finale
3√2
2
sono equivalenti e rappresentano quindi la stessa quantità, anche se sono scritte
in modo diverso. In particolare nella prima frazione il denominatore è un numero irrazionale, mentre nell’ultima è un intero.
Come puoi verificare utilizzando la calcolatrice:
3
√2
≈ 2,121320344
3 √2
≈ 2,121320344
2
Vediamo un altro esempio:
6
√3
=
6 ∙ √3
√3 ∙ √3
=
6 √3
⏟
√9
=
6√3
= 2√3
3
9 è 𝑢𝑛 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜
𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑡𝑡𝑜
In questo caso la razionalizzazione del denominatore ha anche portato alla semplificazione finale.
Si utilizza lo stesso metodo anche quando il denominatore è formato da una radice quadrata con un coefficiente diverso da uno:
5
3√2
=
5 ∙ √2
√2 ∙ √2
=
5√2
√4
=
5 √2
2
2° CASO: il denominatore contiene la somma o la differenza di due radici quadrate, o di una radice quadrata e di un intero
(binomi irrazionali):
In questo caso il procedimento di razionalizzazione si basa, oltre che sulla proprietà invariantiva, sul prodotto notevole “somma
per differenza”:
(𝐴 + 𝐵) ∙ (𝐴 − 𝐵) = 𝐴2 − 𝐵2
ESEMPI:
6
√7 − √3
=
6 (√7 + √3)
6(√7 + √3)
6 (√7 + √3)
6 (√7 + √3)
3 (√7 + √3)
=
==
=
2 =
2
7−3
4
2
(√7 − √3) ∙ (√7 + √3)
(√7) − (√3)
4
√3+1
=
4 (√3− 1)
(√3+1) ∙ (√3−1)
=
4(√3−1)
2
(√3) − (1)2
=
4 (√3−1)
3−1
=
4(√3−1)
2
= 2(√3 -1)