Trasformazioni elementari sulle matrici Data una

Trasformazioni elementari sulle matrici
Data una matrice A∈Km,n definiamo su A le seguenti
tre trasformazioni elementari:
T1: scambiare tra loro due righe (o due colonne) di A;
T2: sommare ad una riga (o colonna) di A il prodotto
di un’altra riga ( o colonna) di A per uno scalare;
T3: moltiplicare una riga (o colonna) di A per uno
scalare λ∈ K.
Proprietà del determinante di una matrice
Data una matrice A∈Mn(K), sia B∈Mn(K)
una
matrice ottenuta da A mediante trasformazioni
elementari:
1) Se B è stata ottenuta da A mediante una
trasformazione T1 allora det B= - det A;
2) Se B è stata ottenuta da A mediante una
trasformazione T2 allora det B= det A;
Lezione 4
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
1
3) Se B è stata ottenuta da A mediante una
trasformazione T3 allora det B= λ det A;
I teoremi precedenti sono utili per semplificare i conti
nello sviluppo del determinante i quanto permettono
di creare un numero maggiore di zeri nelle
righe/colonne delle matrici.
Esercizio 1
Calcolare il determinante di
1 0 − 4 6 


4
4
1
2


A=
∈ M 4 ( R)
0 −2 −2 0 


0 0
0 − 3 

Sfrutto le trasformazioni elementari per ridurre la
matrice, se possibile, in una matrice triangolare
superiore (o inferiore):
Lezione 4
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
2
6 
6 
1 0 − 4
1 4 − 4




0
4
17
22
0
13
17
22
−
−
−




det A = det 
det
=
=



T2
T2
0 −2 −2
0
0 0 −2
0




0 0


0
0
−3 
− 3 

0 0
= 1·(-13)·(-2)·(-3) = - 78
Esercizio 2
Calcolare il determinante di
 0

 0
B = − 4

 2
 4

Lezione 4
-
4 1
1 4
0 0
0 0
2 1
2

5
2
1
1  ∈ M 5 ( R)

−2 0 
0 − 1
2
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
3
 0

 0
det B = 2 det  − 2
T3

 1
 2

4 1
1 4
0 0
0 0
2 1
4

1
4 +1
= 2 ⋅ (1) ⋅ (−1) det
0

2

2
 0


5
2
 0
1
1  = 2 det − 2

 T2
−2 0 
 1
 2
0 − 1

1
4
0
1
4 1

3+ 4
= −2 ⋅ (1) ⋅ (−1) det 1 4
2 1

2
2
4


5
2
1
= − 2 det
0
− 3 1  T2


2
4 − 1

8
 2 1


11 = 2 det − 7 4
T2
 0 1

1

2
4 1
1 4
0 0
0 0
2 1
2

5
2
−3 1  =

0
0
4 − 1
2
2

4 11 2 
=
0 0 1

1 1 − 1
7

7 =
T3

0
1
8
 2 1 1


 2 1
 =
= 2 ⋅ 7 ⋅ det − 7 4 1  = 14 ⋅1 ⋅ (−1)3+ 2 det 
 − 7 1
 0 1 0


= - 14·(2 +7) = - 126
Lezione 4
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
4
Esercizi da svolgere
Determinare il determinante delle seguenti matrici
possibilmente
con
l’uso
delle
trasformazioni
elementari:
0 
 5 10 0


0
1 
1 3
A=
0 − 3 − 5 − 10 


0 4
0
5 

1 
− 2 −1 9


4
4
12
10


C =
1
3 
−1 0


 0
0 − 21 − 3 

 10

 0
E = 6/5

 21
 21

3

7
B =  10

8
2


0 

4
12
8 
9
−2
− 4

0 − 21 0 
0
−3
0
 −1 1

3
1
0
D=
4
1
6

 0 −3 −2

2

1
4

0 
9 1 − 1 2 / 5

1 0 0
4 
6 21 0 2 / 3 

3 0 −1 2 
4 0 − 1 6 
[risultati: detA=-25, detB=0, detC=-90, detD=-44, detE=0]
Lezione 4
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
5
L’uso delle trasformazioni elementari si rende
praticamente indispensabile per il calcolo dei
determinanti parametrici.
Esercizio 3
Determinare per quali valori del parametro reale k∈R
il determinante della seguente matrice è non nullo.
 0 − 2 k + 3


B = k − k
0  ∈ M 3 (R )
 k −1 k + 2


 0 − 2 k + 3
 0 − 2 k + 3




det B = k det  1 − 1
0  = k det  1
0
0 
 k k −1 k + 2
 k −1 k + 2




det B= k·1·(-1)2+1[-2(k+2)-(k+3)(k-1)]= …
= k(k2+4k + 1)
dunque
⇔
det B ≠ 0
Lezione 4
-
[k≠0 ∧ k ≠ -2+
Esercitazioni di Algebra e Geometria
3
∧ k ≠ -2-
- Anno accademico 2009-2010
3
]
6
Esercizio 4
Determinare per quali valori del parametro reale k∈R
il determinante delle seguenti matrici è nullo.
3
1
9 − k


k
k
−
0
3
0


C =
∈ M 4 (R )
k2 
1 0
0
.


0 −1 k + 5 0 


1 0
1 0
0
0
k2 
k2 




0
−3 0 
−3
0 1
0 1

det C = − k det
det
=
−
=
k



2
3
1
3
− 9 k + 1
9 − k
0 − k
0 −1 k + 5 0 
0 −1 k + 5

0




1

0
= − k det
0
0

0
0
1
−3
0 3 − 3k
0 k+2

1


0

0
k
det
=
0
− 9k 2 + 1


0
0


k2


1
0
−3 
=

2
0 − 9k + 1 3 − 3k 
k + 2 
0
0
0
k2
0
=k(-9k2+1)(k+2)=k(-3k+1)(-3k-1)(k+2)
⇔ [k=0 ∨ k =1/3 ∨ k =-1/3 ∨ k =-2 ]
det C = 0
Lezione 4
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
7
Esercizi da svolgere
Determinare per quali valori del parametro reale k∈R
il determinante della seguente matrice è nullo.
1 k −1 − 4

k
0
k
D=
0
0
2 + 3k

0
−2
2

6 

6k 
− 6k 

2 
k 
0
− 2 0


−1 
3
 9 −k
E =
− 3 k + 2
0
1


 0 −1 k + 5
0 

Lezione 4
-
k=0
o k = 2/17
k=2 o k=
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- 19 ± 5 17
4
- Anno accademico 2009-2010
8
Ulteriori teoremi riguardanti il determinante
Sia A∈Mn (K) , allora valgono le seguenti proprietà
del determinante:
Teorema della trasposta
det A= det tA
Teorema di Binet:
Se B∈Mn (K), allora det (AB)= det A det B
Secondo teorema di Laplace
La somma dei prodotti di una riga/colonna per i
complementi algebrici degli elementi nella stessa
posizione ma di un’altra riga/colonna è nulla.
n
∑a
Γi , j = 0
se
i≠k
Γi , k = 0
se
j≠k.
k, j
j =1
n
∑a
i, j
i =1
Tali proprietà non sono qui dimostrate.
Lezione 4
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
9
Verifichiamo il II teorema di Laplace con un
esempio.
Esempio
A∈M3(R), verifichiamo la formula fissando la
seconda colonna e i complementi algebrici degli
elementi della terza colonna.
 0 1 − 5


A = 2 0
2 
0 −1 3 


a1,2Γ1,3+ a2,2Γ2,3 +a3,2Γ3,3 = ?
calcoliamo i complementi algebrici:
2 0
= −2
0 −1
Γ1,3 = (−1)3+1
Γ2,3 = (−1)
Γ3,3 = (−1)
3+ 2
3+ 3
0 1
=0
0 −1
0 1
= −2
2 0
a1,2Γ1,3+ a2,2Γ2,3 +a3,2Γ3,3 = 1(-2)+0+(-1)(-2)=0
Lezione 4
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
10
Inversa di una matrice quadrata
Data A∈Mn(K), si dice che A è invertibile se esiste
B∈Mn(K) (in seguito indicheremo B=A-1) tale che:
AB=BA= In
dove In è l’elemento neutro del prodotto tra matrici
quadrate di ordine n.
Teorema
Una matrice quadrata A∈Mn(K) è invertibile se e
solo se det A ≠ 0.
Dimostrazione
Se AB= In allora, poiché il det In=1, per il teorema
di Binet det(AB)= detA⋅det B=1 ⇒ det A≠0.
Ipotizzando che det A≠0, costruiamo la matrice B
nel seguente modo:
Lezione 4
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
11
 Γ1,1

 det A
 Γ1, 2
B =  det A
 M
 Γ
 1,n
 det A
Γ2,1
det A
Γ2, 2
L
L
det A
M
O
Γ2,n
L
det A
Γn ,1 

det A 
Γn , 2 
det A 
M 
Γn ,n 

det A 
ove Γi,j è il complemento algebrico dell’entrata (i,j)
nella matrice A. Verifichiamo che il prodotto tra A
e B fornisce la matrice In. Moltiplichiamo la iesima riga di A con la j-esima colonna di B:
ai,1b1,j+ ai,2b2,j +…+ai,nbn,j=
=(ai,1Γj,1+ ai,2Γj,2 +…+ai,nΓ j,n)/detA=
Abbiamo due casi:
=1
se i=j infatti ai,1Γj,1+ ai,2Γj,2 +…+ai,nΓ j,n=
=ai,1Γi,1+ ai,2Γi,2 +…+ai,nΓi,n = detA
per
il I teorema di Laplace;
=0
se i≠j allora per il II teorema di Laplace
ai,1Γj,1+ ai,2Γj,2 +…+ai,nΓ j,n =0.
Lezione 4
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
12
Dunque l’elemento in posizione (i,j) verifica la
definizione data di In (lezione 1). Analogamente si
dimostra BA= In.
È facile dimostrare che se esiste un’inversa B di
A∈Mn(K), essa è unica.
Per assurdo: supponiamo esista un’altra matrice
inversa C tale che AC=CA= In.
Dimostriamo che B=C infatti:
C=C In=C(AB)=(CA)B= InB=B.
c.v.d.
(motivare le uguaglianze)
Dunque le due proposizioni stabiliscono la
condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza e
unicità della matrice inversa di A∈Mn(K).
Lezione 4
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
13
Il teorema della matrice inversa è costruttivo.
Esso fornisce il metodo per costruire la matrice
inversa A-1.
Calcolare il determinante di A:
1) se det A=0, allora non esiste l’inversa.
2) Se det A≠0, allora esiste la matrice inversa.
In tal caso:
• scrivere la trasposta di A e calcolare
ordinatamente i complementi algebrici;
• costruire la matrice inversa dividendo tutti i
complementi algebrici per il determinante di
A.
Lezione 4
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
14
Esercizio 1
Calcolare, se esiste, la matrice inversa di
1 2 
 ∈ M 2 (R )
A = 
 4 − 3
Calcolo il determinante: det A= -11. Esiste la matrice
inversa.
Scrivo la matrice trasposta:
t
1 4 

A = 
 2 − 3
I complementi algebrici sono scritti nell’ordine con
il quale si ricavano da tA, ma hanno la notazione
ricavata da A:
Γ1,1=-3
Γ2,1=-2
Γ1,2= - 4
Γ2,2=1
Dividendo tali scalari per -11=det A si ottiene la
matrice inversa:
Lezione 4
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
15
 3 / 11 2 / 11 

A = 
 4 / 11 − 1 / 11
−1
Prova:….
Esercizio 2
Calcolare, se esiste, la matrice inversa di
 3 −1 0 


B =  0 2 3  ∈ M 3 (R )
 0 0 − 1


Calcolo il determinante: det B= - 6.
Esiste la matrice inversa.
Scrivo la matrice trasposta:
3 0 0


t
B =  −1 2 0 
 0 3 − 1


I complementi algebrici sono scritti nell’ordine con
il quale si ricavano da tB, ma hanno la notazione
ricavata da B:
Lezione 4
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
16
Γ1,1=-2
Γ2,1=-1
Γ3,1=-3
Γ1,2= 0
Γ2,2=-3
Γ3,2 =-9
Γ1,3= 0
Γ2,3=0
Γ3,3 = 6
Dividendo tali scalari per -6=det B si ottiene la
matrice inversa:
 ... ... ... 


−1
B =  ... ... ... 
 ... ... ... 


Prova:….
Esercizio 3
Calcolare, se esiste, la matrice inversa di
1

3
C =
0

0

0 2
0 −1
1 0
6 0
0

0
∈ Λ 4 , 4 (R )

0

1 
Calcolo il determinante: det C=7.
Lezione 4
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
17
Esiste la matrice inversa.
Scrivo la matrice trasposta:
1 3

0 0
t
C =
2 −1

0 0

0
1
0
0
0

6
0

1 
I complementi algebrici:
Γ1,1=1
Γ2,1=2
Γ3,1=0
Γ4,1=0
Γ1,2= 0
Γ2,2=0
Γ3,2 =7
Γ4,2=0
Γ1,3= …
Γ2,3=…
Γ3,3 = …
Γ4,3=…
Γ1,4= …
Γ2,4=…
Γ3,4 = …
Γ4,4=…
Dividendo tali scalari per 7=detC si ottiene la
matrice inversa:
...
...
 ...

...
...
 ...
C −1 = 
3 / 7 −1/ 7 0

 0
0
−6

Lezione 4
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
...

...
0

1 
- Anno accademico 2009-2010
18
Prova:….
Esercizio 4
Stabilire per quali valori di k, numero reale, la
seguente matrice è invertibile.
1
0

 4 −1
D=
0
1

7 3− k

k −3 −k

2
2k 
0
0 

−1
2 
La matrice è invertibile se e solo se il determinante
è non nullo.
… Si ottiene che det D≠0 se e solo se 7k2…k+…≠0. Tale relazione è sempre verificata in
quanto ∆<0.
D è sempre invertibile.
Lezione 4
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
19
Esercizi da svolgere
Calcolare, se esistono, le matrici inverse di:
 −1 2

A = 
 0 3
2
0 
2


C =  −1 1
0 
 0 − 3 − 5


 4 0 1 0


 3 0 −1 0
E =
0 7 0 1


0 6 0 1


Lezione 4
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
3
B = 
2
3

D =  −1
3

4

3
0
0 

1
0 
− 3 − 5 
- Anno accademico 2009-2010
20