Infiniti - Mimmo Corrado

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Matematica
1
Infiniti
Definizioni
Una funzione f ( x ) si dice infinita per x → c quando il limite lim f(x) = +∞ (oppure − ∞ ) .
x→ c
Una funzione f ( x ) si dice infinita per x → 0 quando il limite lim f(x) = +∞ (oppure − ∞ ) .
x→ 0
Una funzione f ( x ) si dice infinita per x → +∞ quando il limite lim f(x) = +∞ (oppure − ∞ ) .
x → +∞
Una funzione f ( x ) si dice infinita per x → −∞ quando il limite lim f(x) = +∞ (oppure − ∞ ) .
x → −∞
Confronto di infiniti
Siano f ( x ) e g ( x ) due funzioni infinite per x → c .
Se lim
x→ c
Se lim
x→ c
Se lim
x→ c
Se lim
x→ c
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
=0
f ( x ) è infinita di ordine inferiore a g ( x )
= +∞
f ( x ) è infinita di ordine superiore a g ( x )
=p≠0
f ( x ) è infinita dello stesso ordine di g ( x )
non esiste
Le due funzioni f ( x ) e g ( x ) non sono confrontabili
Definizione
Siano f ( x ) e g ( x ) due funzioni infinite per x → c .
Si dice che la funzione f ( x ) è infinita di ordine α rispetto alla funzione g ( x ) , (presa come infinito
campione o infinito principale) se il limite
lim
x→ c
f(x)
g(x)
α
=p≠0
( con α ∈ R0+ ) .
Analogamente se x → 0 , x → +∞ , x → −∞ .
Infiniti campione
Anche se per confrontare gli ordini di infinito di più funzioni si può scegliere una qualsiasi funzione come
infinito campione, si preferisce tuttavia fissare la funzione g ( x ) , infinito campione, in modo universale e
procedere poi al suo confronto con quelle date.
1
x −c
Per x → c
si prende come infinito campione la funzione
Per x → 0
si prende come infinito campione la funzione
Per x → ∞
si prende come infinito campione la funzione x
1
x
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2
Esempio 252-309
Determinare l‘ordine di infinito della funzione f ( x ) = 3 x 2 + 1 per x → ∞ .
Soluzione
lim
x→ ∞
f(x)
x
3x2 +1
= lim
α
x→ ∞
2
x ⋅3+
= lim
x→ ∞
x
1
x2
=
α
x
Raccogliendo a fattor comune la x di grado massimo si ha:
= lim x
α
2 −α
x→ ∞
⎧3
⎪
= ⎨∞
⎪0
⎩
1
⋅3+ 2
x
se 2 − α = 0 cioè se α = 2
se 2 − α > 0 cioè se α < 2
se 2 − α < 0 cioè se α > 2
Quindi f ( x ) è infinita di ordine α = 2 per x → ∞ .
Esempio 252-310
Determinare l‘ordine di infinito della funzione f ( x ) = 5 x 4 − 7 x + 1 per x → ∞ .
Soluzione
lim
x→ ∞
f(x)
x
= lim
α
5x4 − 7x +1
x→ ∞
4
x ⋅5−
= lim
x→ ∞
x
α
7
1
+ 4
3
x
x
x
=
Raccogliendo a fattor comune la x di grado massimo si ha:
= lim x
α
4 −α
x→ ∞
7
1
⋅5− 3 + 4
x
x
⎧5
⎪
= ⎨∞
⎪0
⎩
se 4 − α = 0 cioè se α = 4
se 4 − α > 0 cioè se α < 4
se 4 − α < 0 cioè se α > 4
Quindi f ( x ) è infinita di ordine α = 4 per x → ∞ .
Esempio 252-311
2
Determinare l‘ordine di infinito della funzione f ( x ) = x + 3 x per x → ∞ .
Soluzione
lim
x→ ∞
f(x)
x
α
x2 + 3 x
= lim
x→ ∞
x2 ⋅ 1 + 3
= lim
x→ ∞
x
α
x
1
x5
=
α
= lim x
x→ ∞
Raccogliendo a fattor comune la x di grado massimo si ha:
2 −α
⋅1+
3
1
x5
⎧1
⎪
= ⎨∞
⎪0
⎩
Quindi f ( x ) è infinita di ordine α = 2 per x → ∞ .
se 2 − α = 0
se 2 − α > 0
se 2 − α < 0
cioè se α = 2
cioè se α < 2
cioè se α > 2
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3
Esempio 252-312
Determinare l‘ordine di infinito della funzione f ( x ) =
x3 + 7
per x → ∞ .
x2 + 2x + 4
Soluzione
lim
x→ ∞
f(x)
x
x3 + 7
x2 + 2x + 4
= lim
α
x→ ∞
x
α
7 ⎞
⎛
x 3 ⋅ ⎜1 + 3 ⎟
x ⎠
⎝
2
4 ⎞
⎛
x 2 ⋅ ⎜1 + + 2 ⎟
x
x ⎠
⎝
= lim
x→ ∞
x
= lim x
1− α
x→ ∞
1+
Raccogliendo a fattor comune la x di grado massimo si ha:
7 ⎞
⎛
x ⋅ ⎜1 + 3 ⎟
x ⎠
⎝
2
4 ⎞
⎛
⎜1 + + 2 ⎟
x
x ⎠
⎝
= lim
α
1+
=
x→ ∞
7
x3
x
= lim
x→ ∞
se 1 − α = 0
se 1 − α > 0
se 1 − α < 0
⎧1
⎪
= ⎨∞
⎪0
⎩
2
4
+ 2
x x
α
x ⋅1+
7
x3
2
4
x ⋅1+ + 2
x x
=
α
cioè se α = 1
cioè se α < 1
cioè se α > 1
Quindi f ( x ) è infinita di ordine α = 1 per x → ∞ .
Esempio 252-313
3
Determinare l‘ordine di infinito della funzione f ( x ) = x 2 − 1 per x → ∞ .
Soluzione
3
lim
x→ ∞
f(x)
x
= lim
= lim
α
3
x→ ∞
x
1 ⎞
⎛
x 2 ⋅ ⎜1 − 2 ⎟
x ⎠
⎝
x→ ∞
x
2
= lim x 3
x→ ∞
x2 −1
−α
α
⋅ 31−
α
=
Raccogliendo a fattor comune la x di grado massimo si ha:
2
x 3 ⋅ 31−
= lim
x→ ∞
1
x2
⎧
⎪1
⎪
⎪
= ⎨∞
⎪
⎪
⎪0
⎩
Quindi f ( x ) è infinita di ordine α =
x
α
1
x2
=
2
−α =0
3
2
se
−α >0
3
2
se
−α <0
3
se
2
per x → ∞ .
3
2
3
2
cioè se α <
3
2
cioè se α >
3
cioè se α =
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4
Esempio 252-314
Determinare l‘ordine di infinito della funzione f ( x ) =
x4 + 2
per x → ∞ .
x2 +1
4
Soluzione
x4 + 2
x2 +1
4
lim
x→ ∞
f(x)
x
= lim
α
x→ ∞
⎛
x 4 ⋅ ⎜1 +
⎝
⎛
x 2 ⋅ ⎜1 +
⎝
4
= lim
x→ ∞
x
= lim x
x→ ∞
1
−α
2
x
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
2
x4
1
x2
=
α
Raccogliendo a fattor comune la x di grado massimo si ha:
4
2 ⎞
⎛
x 2 ⋅ ⎜1 + 4 ⎟
x ⎠
⎝
1
1+ 2
x
= lim
α
x→ ∞
x
⎧
⎪1
⎪
⎪
= ⎨∞
⎪
⎪
⎪0
⎩
2
x4
⋅4
1
1+ 2
x
1+
x
= lim
α
2
x4
⋅4
1
1+ 2
x
x→ ∞
1
−α =0
2
1
se
−α >0
2
1
se
−α <0
2
se
Quindi f ( x ) è infinita di ordine α =
2
4
1+
x
α
=
1
2
1
cioè se α <
2
1
cioè se α >
2
cioè se α =
1
per x → ∞ .
2
Esempio 252-315
3
Determinare l‘ordine di infinito della funzione f ( x ) = x 3 + 1 + 5 x − 3 per x → ∞ .
Soluzione
3
lim
x→ ∞
f(x)
x
α
3
= lim
x3 +1 + 5 x − 3
= lim
x→ ∞
x
3 ⎞
1 ⎞
⎛
⎛ 1
x 3 ⋅ ⎜1 + 3 ⎟ + 5 x 5 ⋅ ⎜ 4 − 5 ⎟
x ⎠
x ⎠
⎝
⎝x
x→ ∞
x
x ⋅ 31+
= lim
x→ ∞
= lim x
x→ ∞
=
α
1
1
3
+5 4 − 5
3
x
x
x
x
1− α
α
α
1
1
3
⋅ 1+ 3 +5 4 − 5
x
x
x
3
Raccogliendo a fattor comune la x di grado massimo si ha:
x⋅31+
= lim
1
3
1
+ x ⋅5 4 − 5
3
x
x
x
x→ ∞
x
α
=
=
⎧1
⎪
= ⎨∞
⎪0
⎩
Quindi f ( x ) è infinita di ordine α = 1 per x → ∞ .
se 1 − α = 0
cioè se α = 1
se 1 − α > 0
cioè se α < 1
se 1 − α < 0
cioè se α > 1
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5
Esempio 252-316
Determinare l‘ordine di infinito della funzione f ( x ) =
3
x4 +1
per x → ∞ .
x
Soluzione
3
lim
x→ ∞
f(x)
x
= lim
= lim
α
3
x→ ∞
x
1 ⎞
⎛
x 4 ⋅ ⎜1 + 4 ⎟
x ⎠
⎝
x→ ∞
x
1
= lim x 3
x→ ∞
x4 +1
x
−α
1+ α
⋅ 31+
α
=
Raccogliendo a fattor comune la x di grado massimo si ha:
4
x 3 ⋅ 31+
= lim
x→ ∞
1
x4
⎧
⎪1
⎪
⎪
= ⎨∞
⎪
⎪
⎪0
⎩
Quindi f ( x ) è infinita di ordine α =
x
1+ α
1
x4
4
= lim x 3
x→ ∞
1
−α =0
3
1
se
−α >0
3
1
se
−α <0
3
se
1
per x → ∞ .
3
−1− α
⋅ 31+
1
x4
1
3
1
cioè se α <
3
1
cioè se α >
3
cioè se α =
=
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6
Esempio 251-272b
Determinare l‘ordine di infinito della funzione f ( x ) =
1
per x → 0 .
x + x2
4
Soluzione
1
4
f(x)
x + x2
lim
= lim
x→ 0
x→ 0
1
1
x
= lim
x→ 0
α
x
x
2
= lim
= lim x
α −2
x→ 0
α
x4 + x2
x→ 0
α
α
x ⋅ x2 +1
x
=
raccogliendo a fattor comune la x di grado minimo si ha:
se α − 2 = 0 cioè se α = 2
se α − 2 > 0 cioè se α < 2
se α − 2 < 0 cioè se α > 2
⎧1
⎪
= ⎨0
2
x +1
⎪∞
⎩
1
Quindi f ( x ) è infinita di ordine α = 2 per x → 0 .
Esempio 251-273b
Determinare l‘ordine di infinito della funzione f ( x ) =
1
x +3 x
2
per x → 0 .
Soluzione
1
2
f(x)
x +3 x
lim
= lim
x→ 0
x→ 0
1
1
x
α
x
= lim
x→ 0
x
x
1
3
⋅
3
= lim x
x +1
x→ 0
α
α
5
x
= lim
x→ 0
α−
1
3
⋅
Quindi f ( x ) è infinita di ordine α =
3
α
x2 + 3 x
=
raccogliendo a fattor comune la x di grado minimo si ha:
⎧
⎪1
⎪
1
⎪
= ⎨0
5
⎪
x +1
⎪
⎪∞
⎩
1
per x → 0 .
3
1
1
= 0 cioè se α =
3
3
1
1
se α − > 0 cioè se α <
3
3
1
1
se α − < 0 cioè se α >
3
3
se α −
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7
Esempio 251-277b
Determinare l‘ordine di infinito della funzione f ( x ) =
x + cos x
per x → 0 .
x + sen x
Soluzione
x + cos x
f(x)
x + sen x
lim
= lim
x→ 0
x→ 0
1
1
x
α
= lim x
x→ 0
x
α −1
⋅
x + cos x
sen x
1+
x
α
α
= lim
x→ 0
x ⋅ x + cos x
x + sen x
α
⎧1
⎪2
⎪
= ⎨0
⎪∞
⎪
⎩
= lim
x→ 0
x ⋅ x + cos x
sen x
x ⋅1+
x
se α − 1 = 0 cioè se α = 1
se α − 1 > 0 cioè se α < 1
se α − 1 < 0 cioè se α > 1
Quindi f ( x ) è infinita di ordine α = 1 per x → 0 .
=
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8
Esempio 1
Determinare l‘ordine di infinito della funzione f ( x ) =
x
per x → 1 .
x − 2x +1
2
Soluzione
x
x − 2x +1
= lim
x→1
1
f(x)
1
lim
x→1
x −1
α
= lim x − 1
x −1
α −2
x→1
α
α
x −1 ⋅ x
2
= lim
x2 − 2x +1
x→1
α
= lim
x→1
x −1 ⋅ x
x −1
=
2
se α − 2 = 0 cioè se α = 2
⎧1
⎪
⋅ x = ⎨0
⎪∞
⎩
se α − 2 > 0 cioè se α < 2
se α − 2 < 0 cioè se α > 2
Quindi f ( x ) è infinita di ordine α = 2 per x → 1 .
Esempio 2
Determinare l‘ordine di infinito della funzione f ( x ) =
3x − 2
5
per x → 2 .
x − 5x + 6
2
Soluzione
3x − 2
5
f(x)
1
lim
x→ 2
x −2
= lim
x→ 2
α
x − 5x + 6
1
x −2
= lim
x→ 2
α
α
= lim
x→ 2
x − 2 ⋅ 3x − 2
x −2
1
5
⋅
5
x −3
= lim x − 2
x→ 2
Quindi f ( x ) è infinita di ordine α =
α
α
2
α−
1
5
⋅
x − 2 ⋅ 3x − 2
5
x2 − 5x + 6
3x − 2
5
x −3
1
per x → 2 .
5
⎧
⎪− 4
⎪
⎪
= ⎨0
⎪
⎪
⎪∞
⎩
= lim
x→ 2
x − 2 ⋅ 3x − 2
5
(x − 2 ) ⋅ (x − 3 )
=
1
1
= 0 cioè se α =
5
5
1
1
se α − > 0 cioè se α <
5
5
1
1
se α − < 0 cioè se α >
5
5
se α −