LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS

LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
È una delle più importanti distribuzioni di variabili casuali continue
– p. 1/1
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
È una delle più importanti distribuzioni di variabili casuali continue
Fu proposta da Gauss (1809) nell’ambito della teoria degli errori, ed
è stata attribuita anche a Laplace (1812), che ne definì le proprietàă
principali in anticipo rispetto alla trattazione più completa fatta da
Gauss.
– p. 1/1
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
È una delle più importanti distribuzioni di variabili casuali continue
Fu proposta da Gauss (1809) nell’ambito della teoria degli errori, ed
è stata attribuita anche a Laplace (1812), che ne definì le proprietàă
principali in anticipo rispetto alla trattazione più completa fatta da
Gauss.
È detta anche CURVA DEGLI ERRORI ACCIDENTALI in quanto,
soprattutto nelle discipline fisiche, la distribuzione degli errori
commessi nel misurare ripetutamente una stessa grandezza, è molto
bene approssimata da questa curva.
– p. 1/1
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
È una delle più importanti distribuzioni di variabili casuali continue
Fu proposta da Gauss (1809) nell’ambito della teoria degli errori, ed
è stata attribuita anche a Laplace (1812), che ne definì le proprietàă
principali in anticipo rispetto alla trattazione più completa fatta da
Gauss.
È detta anche CURVA DEGLI ERRORI ACCIDENTALI in quanto,
soprattutto nelle discipline fisiche, la distribuzione degli errori
commessi nel misurare ripetutamente una stessa grandezza, è molto
bene approssimata da questa curva.
È definita da 2 parametri µ e σ ( con σ > 0)
1
√
f (x) ≡ N (x; µ, σ) =
σ 2π
1
−
e 2
x−µ
σ
2
– p. 1/1
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
2
1
− 21 ( x−µ
σ )
f (x) = √ e
σ 2π
È simmetrica rispetto a µ
– p. 2/1
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
2
1
− 21 ( x−µ
σ )
f (x) = √ e
σ 2π
È simmetrica rispetto a µ
Il valore x = µ definisce la moda, la media e la mediana
– p. 2/1
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
2
1
− 21 ( x−µ
σ )
f (x) = √ e
σ 2π
È simmetrica rispetto a µ
Il valore x = µ definisce la moda, la media e la mediana
È crescente per x < µ e decrescente per x > µ.
– p. 2/1
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
2
1
− 21 ( x−µ
σ )
f (x) = √ e
σ 2π
È simmetrica rispetto a µ
Il valore x = µ definisce la moda, la media e la mediana
È crescente per x < µ e decrescente per x > µ.
È asintotica all’asse x da entrambi i lati
– p. 2/1
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
2
1
− 21 ( x−µ
σ )
f (x) = √ e
σ 2π
È simmetrica rispetto a µ
Il valore x = µ definisce la moda, la media e la mediana
È crescente per x < µ e decrescente per x > µ.
È asintotica all’asse x da entrambi i lati
Possiede due punti di flesso per x = µ ± σ .
– p. 2/1
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
2
1
− 21 ( x−µ
σ )
f (x) = √ e
σ 2π
È simmetrica rispetto a µ
Il valore x = µ definisce la moda, la media e la mediana
È crescente per x < µ e decrescente per x > µ.
È asintotica all’asse x da entrambi i lati
Possiede due punti di flesso per x = µ ± σ .
Soddisfa alla condizione di normalizzazione.
– p. 2/1
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
I parametri µ e σ definiscono FORMA e POSIZIONE.
– p. 3/1
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
I parametri µ e σ definiscono FORMA e POSIZIONE.
Al variare di µ
la curva trasla
sull’asse delle
x.
– p. 3/1
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
I parametri µ e σ definiscono FORMA e POSIZIONE.
Al variare di µ
la curva trasla
sull’asse delle
x.
Al variare di
σ la curva
modifica
la
sua forma appiattendosi o
innalzandosi.
– p. 3/1
DISTRIBUZIONE NORMALE e FUNZIONE CUMULATIVA
Rb
Gli integrali a f (x)dx
non sono valutabili analiticamente, ma numericamente e si utilizzano
tabelle della funzione
cumulativa:
Rb
a f (x)dx = F (b) − F (a)
– p. 4/1
LA DISTRIBUZIONE NORMALE
Per verificare alcune proprietà della distribuzione di
Gauss si deve far riferimento all’integrale di Gauss di
cui riportiamo il risultato:
Z
Z
=
+∞
+∞
e
−z 2
√
dz = π,
da cui anche
−∞
2
e
− z2
dz
−∞
Z +∞ “ z ”2
− √2
e
−∞
d
z
√
2
√
√ Z
2= 2
+∞
e
−x2
√
dx = 2π
−∞
– p. 5/1
DISTRIBUZIONE NORMALE: NORMALIZZAZIONE
Verifichiamo la normalizzazione
– p. 6/1
DISTRIBUZIONE NORMALE: NORMALIZZAZIONE
Verifichiamo la normalizzazione
Z +∞
Z +∞
2
1
− 21 ( x−µ
)
σ
√ e
f (x)dx =
dx
−∞
−∞ σ 2π
– p. 6/1
DISTRIBUZIONE NORMALE: NORMALIZZAZIONE
Verifichiamo la normalizzazione
Z +∞
Z +∞
2
1
− 21 ( x−µ
)
σ
√ e
f (x)dx =
dx
−∞
−∞ σ 2π
dx
x−µ
da cui dz =
Cambio di variabile: z =
σ
σ
– p. 6/1
DISTRIBUZIONE NORMALE: NORMALIZZAZIONE
Verifichiamo la normalizzazione
Z +∞
Z +∞
2
1
− 21 ( x−µ
)
σ
√ e
f (x)dx =
dx
−∞
−∞ σ 2π
dx
x−µ
da cui dz =
Cambio di variabile: z =
σ
σ
√
Z +∞
Z +∞
1
2π
σ − z2
2
dz = √ = 1
e
f (x)dx = √
2π −∞ σ
2π
−∞
– p. 6/1
DISTRIBUZIONE NORMALE: MODA
Verifichiamo che il massimo assoluto si ha per x = µ
– p. 7/1
DISTRIBUZIONE NORMALE: MODA
Verifichiamo che il massimo assoluto si ha per x = µ
2
1
2(x − µ)
− 21 ( x−µ
′
)
σ
Derivata prima f (x) = √ e
−
2σ 2
σ 2π
– p. 7/1
DISTRIBUZIONE NORMALE: MODA
Verifichiamo che il massimo assoluto si ha per x = µ
2
1
2(x − µ)
− 21 ( x−µ
′
)
σ
Derivata prima f (x) = √ e
−
2σ 2
σ 2π
Annulliamo la deriva prima f ′ (x) = 0. Ciò avviene per
x = µ.
– p. 7/1
DISTRIBUZIONE NORMALE: MODA
Verifichiamo che il massimo assoluto si ha per x = µ
2
1
2(x − µ)
− 21 ( x−µ
′
)
σ
Derivata prima f (x) = √ e
−
2σ 2
σ 2π
Annulliamo la deriva prima f ′ (x) = 0. Ciò avviene per
x = µ.
Derivata seconda:
2
2
2(x − µ)
1
− 12 ( x−µ
′′
)
σ
−
f (x) = √ e
−
2
2σ
σ 2π
2
2
2 1
(x−µ)
1
(x − µ)
1
−
− 21 ( x−µ
)
2
σ
√ e
= √ e 2σ
−1
2
2
3
σ
σ
σ 2π
σ 2π
– p. 7/1
DISTRIBUZIONE NORMALE: MODA
Verifichiamo che il massimo assoluto si ha per x = µ
2
1
2(x − µ)
− 21 ( x−µ
′
)
σ
Derivata prima f (x) = √ e
−
2σ 2
σ 2π
Annulliamo la deriva prima f ′ (x) = 0. Ciò avviene per
x = µ.
Derivata seconda:
2
2
2(x − µ)
1
− 12 ( x−µ
′′
)
σ
−
f (x) = √ e
−
2
2σ
σ 2π
2
2
2 1
(x−µ)
1
(x − µ)
1
−
− 21 ( x−µ
)
2
σ
√ e
= √ e 2σ
−1
2
2
3
σ
σ
σ 2π
σ 2π
f ′′ (x = µ) < 0 pertanto la funzione ha un massimo
assoluto per x = µ, il cui valore è: f (µ) = σ√12π .
L’ordinata al max è inversamente proporzinale a σ .
– p. 7/1
DISTRIBUZIONE NORMALE: FLESSI
Verifichiamo che si hanno due flessi per x = µ ± σ .
– p. 8/1
DISTRIBUZIONE NORMALE: FLESSI
Verifichiamo che si hanno due flessi per x = µ ± σ .
Annulliamo la derivata seconda:
2
2
(x − µ)
1
− (x−µ)
′′
2
−1 =0
f (x) = √ e 2σ
2
σ
σ 3 2π
– p. 8/1
DISTRIBUZIONE NORMALE: FLESSI
Verifichiamo che si hanno due flessi per x = µ ± σ .
Annulliamo la derivata seconda:
2
2
(x − µ)
1
− (x−µ)
′′
2
−1 =0
f (x) = √ e 2σ
2
σ
σ 3 2π
(x − µ)2
2 = σ2,
Ciò si verifica quando
=
1
−→
(x
−
µ)
σ2
ovvero per x1 = µ + σ e x2 = µ − σ .
– p. 8/1
DISTRIBUZIONE NORMALE: FLESSI
Verifichiamo che si hanno due flessi per x = µ ± σ .
Annulliamo la derivata seconda:
2
2
(x − µ)
1
− (x−µ)
′′
2
−1 =0
f (x) = √ e 2σ
2
σ
σ 3 2π
(x − µ)2
2 = σ2,
Ciò si verifica quando
=
1
−→
(x
−
µ)
σ2
ovvero per x1 = µ + σ e x2 = µ − σ .
La funzione ha due flessi per x = µ ± σ
– p. 8/1
DISTRIBUZIONE NORMALE: FLESSI
Verifichiamo che si hanno due flessi per x = µ ± σ .
Annulliamo la derivata seconda:
2
2
(x − µ)
1
− (x−µ)
′′
2
−1 =0
f (x) = √ e 2σ
2
σ
σ 3 2π
(x − µ)2
2 = σ2,
Ciò si verifica quando
=
1
−→
(x
−
µ)
σ2
ovvero per x1 = µ + σ e x2 = µ − σ .
La funzione ha due flessi per x = µ ± σ
La distanza tra i due punti di flesso è 2σ . Il parametro σ
è indicativo della larghezza della funzione.
– p. 8/1
LA DISTR. NORMALE: VALORE DI ASPETTAZIO
Il parametro µ è il valore di aspettazione della variabile
stessa (E(x) = µ).
– p. 9/1
LA DISTR. NORMALE: VALORE DI ASPETTAZIO
Il parametro µ è il valore di aspettazione della variabile
stessa (E(x) = µ).
Z +∞
Z +∞
2
1
− 12 ( x−µ
)
σ
E(x) =
dx
xf (x)dx =
x √ e
σ 2π
−∞
−∞
– p. 9/1
LA DISTR. NORMALE: VALORE DI ASPETTAZIO
Il parametro µ è il valore di aspettazione della variabile
stessa (E(x) = µ).
Z +∞
Z +∞
2
1
− 12 ( x−µ
)
σ
E(x) =
dx
xf (x)dx =
x √ e
σ 2π
−∞
−∞
x−µ
Cambio di variabile: z =
da cui x = µ + σz e
σ
dx
dz =
.
σ
– p. 9/1
LA DISTR. NORMALE: VALORE DI ASPETTAZIO
Il parametro µ è il valore di aspettazione della variabile
stessa (E(x) = µ).
Z +∞
Z +∞
2
1
− 12 ( x−µ
)
σ
E(x) =
dx
xf (x)dx =
x √ e
σ 2π
−∞
−∞
x−µ
Cambio di variabile: z =
da cui x = µ + σz e
σ
dx
dz =
.
σ
Z +∞
2
1
− z2
dz
E(x) =
(σz + µ) √ e
σ 2π
−∞
– p. 9/1
LA DISTR. NORMALE: VALORE DI ASPETTAZIO
Il parametro µ è il valore di aspettazione della variabile
stessa (E(x) = µ).
Z +∞
Z +∞
2
1
− 12 ( x−µ
)
σ
E(x) =
dx
xf (x)dx =
x √ e
σ 2π
−∞
−∞
x−µ
Cambio di variabile: z =
da cui x = µ + σz e
σ
dx
dz =
.
σ
Z +∞
2
1
− z2
dz
E(x) =
(σz + µ) √ e
σ 2π
−∞
Z +∞
Z +∞
2
2
1
µ
− z2
− z2
dz + √
dz
ze
e
= √
σ 2π −∞
2π −∞
|
{z
}
=0
– p. 9/1
LA DISTR. NORMALE: VALORE DI ASPETTAZIO
Il parametro µ è il valore di aspettazione della variabile
stessa (E(x) = µ).
Z +∞
Z +∞
2
1
− 12 ( x−µ
)
σ
E(x) =
dx
xf (x)dx =
x √ e
σ 2π
−∞
−∞
x−µ
Cambio di variabile: z =
da cui x = µ + σz e
σ
dx
dz =
.
σ
Z +∞
2
1
− z2
dz
E(x) =
(σz + µ) √ e
σ 2π
−∞
Z +∞
Z +∞
2
2
1
µ
− z2
− z2
dz + √
dz
ze
e
= √
σ 2π −∞
2π −∞
|
{z
}
=0
µ √
=√
2π = µ
2π
– p. 9/1
LA DISTR. NORMALE: VALORE DI ASPETTAZIO
– p. 10/1
LA DISTRIBUZIONE NORMALE: VARIANZA
Il parametro σ è la deviazione standard.
– p. 11/1
LA DISTRIBUZIONE NORMALE: VARIANZA
Il parametro σ è la deviazione standard.
Z +∞
Z +∞
2
1
− 21 ( x−µ
2
2
)
σ
(x − µ) f (x)dx =
(x − µ) √ e
dx
σ 2π
−∞
−∞
– p. 11/1
LA DISTRIBUZIONE NORMALE: VARIANZA
Il parametro σ è la deviazione standard.
Z +∞
Z +∞
2
1
− 21 ( x−µ
2
2
)
σ
(x − µ) f (x)dx =
(x − µ) √ e
dx
σ 2π
−∞
−∞
x−µ
da cui x = µ + σz e
Cambio di variabile: z =
σ
dx
dz =
.
σ
– p. 11/1
LA DISTRIBUZIONE NORMALE: VARIANZA
Il parametro σ è la deviazione standard.
Z +∞
Z +∞
2
1
− 21 ( x−µ
2
2
)
σ
(x − µ) f (x)dx =
(x − µ) √ e
dx
σ 2π
−∞
−∞
x−µ
da cui x = µ + σz e
Cambio di variabile: z =
σ
dx
dz =
.
σ
Z +∞
2
1
− z2
2
=
(σz) √ e
σdz
σ 2π
−∞
– p. 11/1
LA DISTRIBUZIONE NORMALE: VARIANZA
Il parametro σ è la deviazione standard.
Z +∞
Z +∞
2
1
− 21 ( x−µ
2
2
)
σ
(x − µ) f (x)dx =
(x − µ) √ e
dx
σ 2π
−∞
−∞
x−µ
da cui x = µ + σz e
Cambio di variabile: z =
σ
dx
dz =
.
σ
Z +∞
2
1
− z2
2
=
(σz) √ e
σdz
σ 2π
−∞
Z +∞
2
2
σ
2 − z2
=√
z e
σdz = · · · σ 2
2π −∞
– p. 11/1
TEOREMA
Combinazioni lineari di variabili casuali normali e tutte
statisticamente indipendenti tra loro sono ancora
distribuite secondo la legge normale.
– p. 12/1
TEOREMA
Combinazioni lineari di variabili casuali normali e tutte
statisticamente indipendenti tra loro sono ancora
distribuite secondo la legge normale.
N variabili normali xk , con valore di aspettazione µk e
varianza σk 2 .
– p. 12/1
TEOREMA
Combinazioni lineari di variabili casuali normali e tutte
statisticamente indipendenti tra loro sono ancora
distribuite secondo la legge normale.
N variabili normali xk , con valore di aspettazione µk e
varianza σk 2 .
PN
Sia y = k=1 ak xk
– p. 12/1
TEOREMA
Combinazioni lineari di variabili casuali normali e tutte
statisticamente indipendenti tra loro sono ancora
distribuite secondo la legge normale.
N variabili normali xk , con valore di aspettazione µk e
varianza σk 2 .
PN
Sia y = k=1 ak xk
PN
→ µ = k=1 ak µk
– p. 12/1
TEOREMA
Combinazioni lineari di variabili casuali normali e tutte
statisticamente indipendenti tra loro sono ancora
distribuite secondo la legge normale.
N variabili normali xk , con valore di aspettazione µk e
varianza σk 2 .
PN
Sia y = k=1 ak xk
PN
→ µ = k=1 ak µk
PN
2
→ σ = k=1 ak 2 σk 2
– p. 12/1