Legge di Gauss

Legge di Gauss




Flusso Elettrico
Legge di Gauss: Motivazione & Definizione
Legge di Coulomb come conseguenza della
legge di Gauss
Cariche sui Conduttori
La legge di Gauss mette in relazione i campi su
una superficie gaussiana (superficie chiusa di
forma arbitraria) con le cariche racchiuse
dalla superficie stessa.
Fisica II – CdL Chimica
Flusso di un campo vettoriale
Per una superficie chiusa
Esempio: flusso attraverso la superficie chiusa di fig. (e)
Fisica II – CdL Chimica
Il flusso attraverso una superficie chiusa di un campo
uniforme, in assenza di sorgenti o pozzi, è nullo.
Flusso del campo elettrico
‘
‘
Fisica II – CdL Chimica
Flusso elettrico
Il flusso elettrico Φ
attraverso una
superficie gaussiana è
proporzionale al numero
di linee di campo
elettrico passanti
attraverso la superficie
Fisica II – CdL Chimica
Teorema di Gauss
Relazione generale tra il flusso elettrico totale Φ attraverso
una superficie chiusa e la carica elettrica contenuta all’interno
di questa superficie.
mette in relazione E e q. E’ molto
utile nei casi in cui vi è alta
simmetria (spaziale).
Matematicamente il vero problema è
svolgere l’integrale !!!
Fisica II – CdL Chimica
Flusso attraverso superfici chiuse (esempi)
Fisica II – CdL Chimica
Leggi fondamentali dell’Elettrostatica

Legge di Coulomb
Forza tra cariche puntiformi
OVVERO

Legge di Gauss
Relazione tra Campi Elettrici e cariche
Fisica II – CdL Chimica
Legge di Gauss

Legge di Gauss (è una LEGGE FONDAMENTALE):
Il flusso elettrico netto Φ attraverso una qualunque
superficie chiusa (gaussiana) è proporzionale alla
carica racchiusa da tale superficie.
• Come usare questa equazione ?
• É molto utile nel trovare E quando la situazione
fisica presenta elevati gradi di SIMMETRIA.
Fisica II – CdL Chimica
Legge di Gauss
La legge di Gauss mette in
relazione il flusso netto Φ di
un campo elettrico attraverso
una
superficie
chiusa
(gaussiana) con la carica netta
qint che è racchiusa all’interno
della superficie.
S1:
e0F1=+q
e0F2=-q
S2:
S3,S4: e0F3= e0F4 = 0
Fisica II – CdL Chimica
Derivazione legge di Coulomb da legge di Gauss


Simmetria il campo E di una
carica puntiforme è radiale e
sfericamente simmetrico
Disegnamo una sfera di raggio R
centrata sulla carica.
• Perchè ?
E è normale in ogni punto sulla superficie

E è identico in ogni punto sulla superficie
 possiamo portare E fuori dell’integrale!
!
• Pertanto,
– legge di Gauss
– libertà di scelta della superficie, purchè sia
“Gaussiana”
Fisica II – CdL Chimica
E
+Q
R
Linea infinita di densità
di carica 
y


Er
Simmetria  campo E deve
essere ^ alla linea e
dipendere solo dalla distanza
r dalla linea (E radiale)
Er
+ + +++++++ + +++++++++++++ + + + + + +
SCEGLIAMO come superficie
Gaussiana un cilindro di
raggio r e lunghezza h
allineato con l’asse x.
h
Applichiamo la legge di Gauss e sia  la densità uniforme di carica:
Agli estremi,
sup. laterale,
Fisica II – CdL Chimica
(E radiale)
e
x
Lamina isolante infinita e carica
Simmetria:
direzione di E = asse x
SCEGLIAMO come superficie
Gaussiana un cilindro il cui asse sia
allineato con quello x.
+s
A
x
Applicare Legge Gauss:
E
sup. laterale,
agli estremi,
la carica racchiusa = s A
Eguagliando alla carica racchiusa

Risultato: una lamina infinita carica crea un campo
elettrico COSTANTE .
Fisica II – CdL Chimica
E
Teoremi degli strati sferici
 Il campo elettrico interno ad uno strato sferico uniformemente
carico è nullo.
 Il campo elettrico esterno ad uno strato sferico uniformemente
carico è lo stesso di quello prodotto da un oggetto puntiforme con
la stessa carica concentrata al centro dello strato.
 Per simmetria, il campo
elettrico deve dipendere solo
da r ed essere diretto
radialmente ovunque.
 Applichiamo la legge di
Gauss a S1 e S2
Fisica II – CdL Chimica
Prova dei teoremi degli strati sferici
 Campo esterno: Applichiamo Gauss a S2 , si ha
 Campo interno: Applichiamo Gauss a S1 , si ha
Fisica II – CdL Chimica
Distribuzioni di carica a simmetria sferica
Sfera uniformemente carica
Qual’è l’intensità del campo elettrico
dovuto ad una sfera solida di raggio a con
densità di carica uniforme r (C/m3) ?

r
a
r
all’esterno della sfera: (r>a)
 Si ha simmetria sferica rispetto al centro della sfera di
carica q
 Pertanto, scegliamo una superficie Gaussiana = sfera cava
di raggio r
Legge Gauss
Fisica II – CdL Chimica
Sfera uniformemente carica

Esterno sfera:
(r>a)
a

r
r
Interno sfera: (r<a)
 Rimane la simmetria sferica rispetto al centro.
 Scegliamo ancora superficie Gaussiana = sfera di raggio r
Legge
Gauss
Esterno
Ma,
E
Quindi:
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Interno
a
r
Conduttori & Isolanti


Consideriamo come la carica è trasportata su oggetti macroscopici.
Assumiamo per semplicità che esistano solo due tipi di oggetti:
 Isolanti ... In questi materiali, una volta carichi, le cariche NON
POSSONO MUOVERSI. Plastica, vetro, e altri “cattivi
conduttori di elettricità” sono esempi di isolanti.
 Conduttori ... In questi materiali, le cariche SONO LIBERE DI
MUOVERSI. I metalli sono esempi di conduttori.
Esempio di moto delle cariche in un
conduttore
Sfera conduttiva cava
una volta caricata all’interno,
tutta la carica si muove all’esterno.
Fisica II – CdL Chimica
Cariche su un conduttore


Abbiamo appena visto che le cariche si muovono sempre
alla superficie di un conduttore. Perchè ?
 la legge di Gauss ci da’ la risposta !
 all’equilibrio (elettrostatico) E=0 all’interno di un
conduttore !
 Infatti se fosse E 0, allora le cariche dovrebbero
essere soggette a delle forze e quindi dovrebbero
muoversi ! (situazione di non-equilibrio, contraddizione)
Pertanto secondo la legge di Gauss, la carica su un
conduttore deve necessariamente risiedere solo
sulla superficie !
Fisica II – CdL Chimica
Esercizio
Una carica puntiforme di -5.0mC è posta a una distanza R/2 dal centro di
un guscio metallico di raggio R. Se il guscio è elettricamente neutro, quali
sono le cariche (indotte) sulla superficie interna e esterna ?
Le cariche sono uniformemente distribuite ?
Qual è lo schema dl campo all’interno e all’esterno del guscio ?
Fisica II – CdL Chimica
Esercizio
Consideriamo una superficie gaussiana sferica nel guscio
metallico
E=0 all’interno del metallo  ΦS=0
Legge di Gauss  Qnetta=0
Ci deve essere una carica +5.0 mC su parete interna guscio
Poichè la carica puntiforme è in posizione
asimmetrica, la distribuzione di carica è
asimmetrica.
Guscio neutro  parete esterna con -5.0 mC
Distribuzione negativa è uniforme (guscio
sferico)
linee di forza perpendicolari e asimmetriche
(interno) simmetriche (esterno)
Fisica II – CdL Chimica
Campo elettrico vicino un conduttore carico
Scegliamo una superficie cilindrica Gaussiana con una superficie
circolare interamente all’interno del conduttore.
Il campo elettrico deve essere perpendicolare
alla superficie (nessuna forza, nè corrente !).
Il flusso è nullo attraverso la parete laterale
o la parte terminale interna
Il flusso totale attraverso la superficie
Gaussiana coincide con quello attraverso la
parte terminale esterna.
Assumendo che la densità di carica (carica
per unità di area) sia σ, avremo, secondo la
legge di Gauss
Fisica II – CdL Chimica
Comunque, in generale,il campo elettrico varia
lungo la superficie del conduttore, perchè
cambia la densità di carica superficiale, a
meno che il conduttore non sia sferico.
Due piatti conduttori
Quando i piatti sono isolati (casi (a) e (b), il
campo elettrico vicino un conduttore carico
à dato da:
-
tenuto conto di:
 proprietà dei conduttori
 sovrapposizione
Cosa accade se i due piatti sono
portati uno accanto all’altro ?
Fisica II – CdL Chimica
Due piatti conduttori



La carica in eccesso su un piatto
attrae la carica in eccesso
sull’altro piatto.
La densità di carica superficiale
si annulla sulle facce esterne ma
si raddoppia su quelle interne.
L’intensità del campo elettrico è
il doppio di quella nel caso del
piatto isolato ed è nulla altrove.
Il caso (c) non è una sovrapposizione
dei casi (a) e (b), poichè le cariche
elettriche vengono redistribuite su
entrambi i piatti quando essi vengono
accostati.
Fisica II – CdL Chimica
Legge di Gauss: guida per i problemi
La legge di Gauss è SEMPRE VALIDA !!
Che cosa si può fare con questa relazione ?
Se vi è una simmetria (a) sferica, (b) cilindrica, o (c)
planare e, INOLTRE:
Nota la carica (lato destro), si può calcolare il campo
elettrico (lato sinistro)
Noto il campo (lato sinistro, generalmente perchè E=0
dentro il conduttore), si può calcolare la carica (lato
destro).
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