1 Equazioni di Lagrange

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Equazioni di Lagrange
In statica l’equilibrio è caratterizzato dal fatto che il lavoro delle forze attive Fk per
un arbitrario spostamento virtuale δrk è nullo:
N
X
Fk · δrk = 0
(1)
k=1
Considerato che l’equilibrio di ogni particella di un sistema esige che la somma della
forza attiva agente su di essa e della (eventuale) reazione vincolare è nulla, vale a dire
che
Fk + Φk = 0
per k = 1, 2, ...N
(2)
si può anche scrivere la condizione di equilibrio mediante le sole reazioni vincolari:
N
X
Φk · δrk = 0
(3)
k=1
Il principio dei lavori virtuali da luogo alla relazione (3) che prende il nome di relazione simbolica della statica.
Jean le Ronde D’Alembert, matematico, fisico e filosofo del ’700 ha avuto la brillante idea di estendere il principio dei lavori virtuali alla dinamica usando il seguente
metodo. Egli osservò che la dinamica di una particella è retta dall’equazione
Fk + Φk − mk ak = 0
per k = 1, 2, ...N
(4)
dalla quale si ricava
Φk = − (Fk − mk ak )
(5)
Se si postula che la relazione simbolica della statica sia valida anche in dinamica si
ottiene la relazione
N
X
(Fk − mk ak ) · δrk = 0
(6)
k=1
Il termine −mk ak prende il nome di forza d’inerzia. In pratica il principio di
d’Alembert dice che si passa dalla relazione (1) della statica alla corrispondente (6)
della dinamica aggiungendo alle forze attive le forze d’inerzia. La relazione (6) prende
il nome di relazione simbolica della dinamica.
Trattandosi di un principio e non di un teorema non resta che vedere se le conseguenze che ne derivano sono in accordo con i fatti. E’ quello che effettivamente
accade.
Un sistema olonomo ad n gradi di libertà può essere descritto da n coordinate
libere o lagrangiane q1 , q2 , ...qn . Questo significa che la posizione di ogni punto del
sistema può essere espressa con le coordinate libere. Se indichiamo con Ak il punto
1
generico e con rk il suo vettore posizione potremo scrivere rk (q1 , q2 , ...qn ). Ne viene
che
n
X
∂rk
δrk =
δqi
(7)
i=1 ∂qi
L’equazione simbolica della dinamica diviene
N
X
"
(Fk − mk ak ) ·
i=1
k=1
ovvero
n
X
∂rk
∂qi
"N
n
X
X
i=1
#
δqi = 0
(8)
#
∂rk
(Fk − mk ak ) ·
δqi = 0
∂qi
k=1
(9)
Questa uguaglianza deve essere vera per qualunque δqi in quanto le coordinate sono
libere e perciò possono variare liberamente. Ad esempio se la coordinata q1 è variata
arbitrariamente mentre tutte le rimanenti sono mantenute fisse l’unguaglianza (9)
comporta che sia nullo il coefficiente corrispondente, vale a dire l’espressione entro
parentesi quadre relativa all’indice 1.
Si ottengono cosı̀ n equazioni indipendenti
N
X
Fk ·
k=1
N
X
∂rk
∂rk
=
mk ak ·
∂qi
∂qi
k=1
(10)
Facciamo le posizioni
def
Qi =
N
X
Fk ·
k=1
∂rk
∂qi
def
e
τi =
N
X
k=1
mk ak ·
∂rk
.
∂qi
(11)
Le grandezze Qi sono chiamate forze generalizzate: esse sono i coefficienti delle δqi
nella espressione che dà il lavoro virtuale. Le equazioni (10) divengono
Qi = τi
(i = 1, 2, ...n)
(12)
Queste sono, in embrione, le equazioni di Lagrange. Per usarle facilmente nella
risoluzione dei problemi dinamici, ovvero per la determinazione delle coordinate q1 (t), q2 (t), ...qn (t)
è bene effettuarne una trasformazione. Osserviamo che le τi si possono scrivere
τi =
"
N
X
dpk
k=1
#
N
N
X
d X
∂rk
d ∂rk
∂rk
=
pk ·
−
pk ·
·
dt ∂qi
dt k=1
∂qi
dt ∂qi
k=1
(13)
Facciamo la posizione analoga a quella delle forze generalizzate
def
pi =
N
X
k=1
2
pk ·
∂rk
∂qi
(14)
Le quantità pi si chiamano quantità di moto generalizzate. Dimostriamo ora la
seguente identità:
d ∂rk
∂vk
≡
(15)
dt ∂qi
∂qi
Basta osservare che
n
d ∂rk X
∂
=
dt ∂qi
j=1 ∂qj
Ã
!
n
∂
∂vk
∂ drk X
=
=
∂qi
∂qi dt
j=1 ∂qi
∂rk
q̇j
∂qi
Ã
!
∂rk
mentre
q̇j
∂qj
(16)
Poiché le derivate parziali miste sono uguali ne viene l’uguaglianza (15). L’espressione
(13) delle τi diviene
N
X
d
∂vk
mk vk ·
(17)
τi =
pi −
dt
∂qi
k=1
Introducendo l’energia cinetica
def
T =
N
N
n
n
X
∂rk
1X
1X
∂rk
1 X
mk vk · vk =
mk
q̇i ·
q̇j =
aij q̇i q̇j
2 k=1
2 k=1
∂qj
2 i,j=1
i,j=1 ∂qi
(18)
avendo fatto la posizione
N
X
def
aij =
mk
k=1
∂rk ∂rk
·
∂qi ∂qj
(19)
dalla (14) si ottiene





p

 i






=
=
X


N
n
X
X
∂rk
∂rk  ∂rk

mk vk ·
=
mk
q̇j ·
k
"N
n
X
X
j=1
∂qi
k=1
#
j=1
∂qj
∂qi
n
X
∂rk ∂rk
∂T
mk
·
q̇j =
aij q̇j =
∂qj ∂qi
∂ q̇i
j=1
k=1
(20)
Infine osserviamo che il secondo termine della (17) diviene
"
N
X
#
N
∂vk
∂ 1X
∂T
mk vk ·
=
mk vk · vk =
∂qi
∂qi 2 k=1
∂qi
k=1
(21)
Ne viene che la (17) fornisce
τi =
d ∂T
∂T
−
dt ∂ q̇i ∂qi
(22)
In conclusione le equazioni di Lagrange si possono scrivere
Qi =
d ∂T
∂T
−
.
dt ∂ q̇i ∂qi
3
(23)
Nel caso in cui le forze attive sono conservative le forze generalizzate Qi sono opı̀poste
alle le derivate parziali dell’energia potenziale V . Quindi
Qi = −
∂V
∂qi
(24)
donde le equazioni di Lagrange per il caso conservativo sono:
−
∂V
d ∂T
∂T
=
−
.
∂qi
dt ∂ q̇i ∂qi
(25)
Dal momento che l’energia potenziale non dipende dalle q̇i possiamo portarla sotto
segno di derivazione rispetto alle q̇i ottenendo
d ∂(T − V ) ∂(T − V )
−
= 0.
dt
∂ q̇i
∂qi
(26)
Introducendo la funzione di Lagrange
def
L = T −V
(27)
d ∂L ∂L
−
= 0.
dt ∂ q̇i ∂qi
(28)
possiamo scrivere
Sono queste le equazioni di Lagrange per il caso conservativo.
FINE
4