CALCOLO FINANZIARIO

CALCOLO FINANZIARIO
1. Definizioni
2. Interesse semplice
3. Interesse composto continuo
4. Interesse composto discontinuo annuo
ƒ
Spostamento dei valori nel tempo
ƒ
Annualità
ƒ
Periodicità
5. Interesse composto discontinuo convertibile
6. Applicazioni
•
Il piano di ammortamento di un mutuo
•
Il calcolo del TAEG
7. Il saggio di interesse reale
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1
DEFINIZIONE DI INTERESSE
Prezzo d’uso del risparmio sotto forma di capitale
indifferenziato (la moneta).
DEFINIZIONE DI SAGGIO DI INTERESSE
Interesse dell’unità di capitale (1 euro) nell’unità di
tempo (1 anno)
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2
1
MODALITA DI DETERMINAZIONE DELL’INTERESSE
SEMPLICE
ANNUO
INTERESSE
DISCONTINUO
CONVERTIBILE
COMPOSTO
CONTINUO
Calcolo finanziario
3
INTERESSE SEMPLICE
Gli interessi maturati dal capitale in un dato tempo NON si sommano con
il capitale, nel calcolo degli interessi del periodo successivo.
In altre parole, sono infruttiferi.
I = Co ⋅ r ⋅ n
I = Interesse maturato
Co = Capitale iniziale
r = Saggio di interesse
n = Periodo in anni (gg/365 o m/12)
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4
2
INTERESSE SEMPLICE
Formule derivate:
I
r ⋅n
I
r=
Co ⋅ n
Co =
n=
I
Co ⋅ r
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5
DEFINIZIONE DI MONTANTE
Il montante di un capitale è la somma del capitale e dei relativi interessi maturati
in un determinato periodo di tempo
M=C+I
Il montante unitario è la somma di un capitale di 1 euro e dei relativi interessi
maturati in un anno
q=1+r
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6
3
INTERESSE SEMPLICE
Calcolo del montante:
M = Co + I = Co + Co ⋅ r ⋅ n = Co (1+ rn)
M = Co (1 + r ⋅ n)
Formule derivate:
Co =
M
−1
Co
n=
r
M
1 + rn
M
−1
Co
r=
n
Calcolo finanziario
7
SCONTO
E’ la somma che si sottrae ad un capitale futuro per renderlo attuale
Sconto finanziario semplice
Sc = M − Co = M −
M
M ⋅r ⋅n
=
1 + rn 1 + rn
Sconto commerciale
Sc = M ⋅ r ⋅ n
Calcolo finanziario
8
4
DIFFERENZA TRA SCONTO FINANZIARIO
SEMPLICE E SCONTO COMMERCIALE
Lo sconto finanziario è calcolato sul capitale:
Sc =
M
⋅r ⋅n
1 + rn
Lo sconto commerciale è calcolato sul montante, quindi è più elevato:
Sc = M ⋅ r ⋅ n
Lo sconto commerciale può essere adottato solo per brevi periodi di tempo.
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9
INTERESSE COMPOSTO
Gli interessi maturati dal capitale in un dato periodo si sommano
al capitale stesso e divengono fruttiferi.
L’interesse composto può essere:
-Continuo
-Discontinuo annuo
-Discontinuo convertibile
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10
5
INTERESSE COMPOSTO CONTINUO
Gli interessi si convertono in capitale ad ogni istante.
Seppur teoricamente concepibile, non trova alcuna
applicazione nella pratica estimativa.
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11
INTERESSE COMPOSTO DISCONTINUO ANNUO
Gli interessi vengono aggiunti al capitale che li ha prodotti
una volta l’anno
I = C (q − 1)
n
0
I = interesse maturato r = saggio d’interesse n = periodo di anni
C0 = capitale iniziale q = 1+ r
Calcolo finanziario
12
6
INTERESSE COMPOSTO DISCONTINUO ANNUO
Calcolo del montante
Alla fine del primo anno:
M 1 = C0 + I1 = C0 + C0 ⋅ r = C0 ⋅ (1 + r )
Alla fine del secondo anno:
M = M + I = M + M ⋅ r = M ( 1 + r ) = C ( 1 + r )( 1 + r ) = C ( 1 + r )
2
1
2
1
1
1
0
2
0
In generale per l’anno ennesimo “n”
M = C (1 + r ) = C ⋅ q
n
0
n
n
0
Formule derivate
C0 =
M
qn
I = M − C0 = C0 q n − C0 = C0 (q n − 1)
I = interesse maturato r = saggio d’interesse n = periodo di anni
C0 = capitale iniziale q = 1+ r
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13
SCONTO FINANZIARIO COMPOSTO
M
Sc = M − C0 = M − n =
q
Mq n − M
qn −1
=
=M⋅ n
n
q
q
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14
7
INTERESSE COMPOSTO DISCONTINUO
CONVERTIBILE
Gli interessi maturano più volte all’anno (t) ma sempre in periodi definiti. L’interesse
composto convertibile viene indicato mediante la fissazione di un saggio annuo
nominale a cui corrisponde un saggio convertibile pari al saggio annuo nominale
diviso il numero di volte che l’interesse matura nell’anno.
Si applicano le formule dell’interesse composto discontinuo annuo con le seguenti
modifiche:
rc =
rn
t
nc = n ⋅ t
Dove:
rc = saggio convertibile
t = numero di volte in cui l’interesse si converte in un anno
nc = numero di volte in cui l’interesse convertibile matura nell’intero periodo
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INTERESSE COMPOSTO DISCONTINUO
CONVERTIBILE
Calcolo del montante:
Formule derivate:
C0 =
r
M = C0 (1 + ) nt
t
M
r
(1 + ) nt
t
 r  nt 
r nt
I = M − C0 = C0 (1 + ) − C0 = C0 ⋅ 1 +  − 1
t
 t 

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8
INTERESSE COMPOSTO DISCONTINUO
CONVERTIBILE
Calcolo del saggio di interesse annuo effettivo a partire dal saggio di interesse annuo
nominale. Il saggio effettivo è sempre maggiore rispetto a quello nominale.
Per
C0 = 1 euro
 r  nt 
I = C0 1 +  − 1

 t 
I=r
n = 1anno
reffettivo = (1 +
rn om inale t
) −1
t
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SPOSTAMENTO DEI CAPITALI NEL TEMPO:
POSTICIPAZIONE E ANTICIPAZIONE
VALORE
SCONTATO
ANTICIPAZIONE
$
POSTICIPAZIONE
MONTANTE
NON SI POSSONO ADDIZIONARE, SOTTRARRE O CONFRONTARE VALORI
DIFFERITI NEL TEMPO
COEFFICIENTI DI POSTICIPAZIONE
Regime a interesse semplice: (1+rn)
Regime a interesse composto: qn
COEFFICIENTI DI ANTICIPAZIONE
Regime a interesse semplice:
1
(1 + rn)
Regime a interesse composto:
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1
qn
18
9
SUGGERIMENTI PRATICI DI VERIFICA
1) Attraverso la posticipazione si ottiene sempre un valore superiore al
valore dato (poiché il saggio è positivo):
C0 ⋅ q n > C0
qn > 1
2) Attraverso l’anticipazione si ottiene sempre un valore inferiore al
valore dato:
C0 ⋅
1
< C0
qn
1
<1
qn
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INTERESSE COMPOSTO DISCONTINUO ANNUO
TEMPO IMPIEGATO DA UN CAPITALE PER
RADDOPPIARE
SAGGIO
(q n = 2)
ANNI
2%
35 – 36
3%
23 – 24
4%
17 – 18
5%
14 – 15
6%
11 – 12
7%
10 – 11
8%
9 – 10
9%
8–9
10%
7–8
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20
10
VALORI PERIODICI
Si definiscono valori periodici quei valori costanti (ricavi o costi) che si
verificano ad intervalli di tempo regolari.
Normalmente essi sono distinti in:
annualità e periodicità
Le annualità sono valori che si ripetono ad intervalli regolari di un anno.
Le periodicità sono valori che si ripetono ogni determinato numero di anni.
I valori periodici possono essere:
-Rispetto alla scadenza, posticipati o anticipati, a seconda che si verifichino
alla fine o all’inizio di ogni periodo.
-Rispetto alla durata, limitati o illimitati a seconda che si verifichino per un
momento finito o indefinito di anni.
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21
PROBLEMI
ACCUMULAZIONE
INIZIALE
LIMITATE
X
ILLIMITATE
X
LIMITATE
X
ILLIMITATE
X
ACCUMULAZIONE
FINALE
ACCUMULAZIONE
INTERMEDIA
X
X
X
X
POSTICIPATE
COSTANTI
ANNUALITA’ E
PERIODICITA’
ANTICIPATE
VARIABILI
ACCUMULAZIONE DEI VALORI CON IL METODO DELLO
SPOSTAMENTO DEI VALORI NEL TEMPO
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11
ANNUALITA’ COSTANTI POSTICIPATE LIMITATE
Sono rendite (o costi) di uguale valore, che si realizzano alla fine di ogni anno per un
determinato numero di anni.
Tre sono i problemi relativi alle annualità costanti posticipate limitate:
-Accumulazione Finale
Si ottiene posticipando alla fine del del periodo le varie annualità e sommandole assieme
q −1
A =a
r
n
a= annualità
n= numero anni
n
-Accumulazione iniziale
Si ottiene riferendo le annualità all’anno zero del periodo e sommandole assieme
q n −1
A0 = a
rq n
1
Si può ricavare dall' A scontandola all' attualità con il coefficiente
n
qn
-Accumulazione intermedia
Si ottiene riferendo le annualità ad un anno intermedio m del periodo
Am = A0 ⋅ q m oppure Am = An
1
q
n−m
Calcolo finanziario
23
ANNUALITA’ COSTANTI POSTICIPATE LIMITATE
Determinazione dell’accumulazione finale
0
1
2
3
a
a
a
n-2 n-1
a
n
a a
An = a + aq + aq 2 + ... + aq n −2 + aq n −1
An = a (1 + q + q 2 + ... + q n − 2 + q n −1 )
[si tratta di una progressione geometrica con ragione* q, si risolve moltiplicando l’ultimo
termine per la ragione meno il primo termine e dividendo tutto per la ragione meno uno]
An = a
qn −1
q n −1 ⋅ q − 1
qn −1
=a
=a
q −1
r
1+ r −1
An = a
qn −1
r
* La ragione in una progressione geometrica è data dal rapporto tra un termine e quello
successivo
Calcolo finanziario
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12
ANNUALITA’ COSTANTI ANTICIPATE LIMITATE
Sono rendite (o costi) di uguale valore, che si realizzano all’inizio di ogni anno
per un determinato numero di anni.
Anche per le annualità costanti anticipate limitate tre sono i problemi:
-Accumulazione finale
Si ottiene posticipando alla fine del periodo le varie annualità e sommandole
assieme
An = aq
qn −1
r
-Accumulazione iniziale
Si ottiene riferendo le annualità all’anno zero del periodo e sommandole assieme
q −1
rq
n
A = aq
0
n
-Accumulazione intermedia
Si ottiene riferendo le annualità ad un anno intermedio del periodo
Am = A0 ⋅ q m oppure Am = An
1
q
n−m
Calcolo finanziario
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ANNUALITA’ COSTANTI ANTICIPATE LIMITATE
Determinazione dell’accumulazione finale: Si ricava con un procedimento
matematico analogo a quello utilizzato per le annualità posticipate.
Più facilmente si può osservare che le annualità anticipate si verificano un
anno prima di quelle posticipate.
Basterà, quindi, posticipare di un anno l’annualità mediante il coefficiente q e
applicare il coefficiente di accumulazione già utilizzato per le annualità
posticipate.
0
1
2
a
a
a
n-1 n
qn −1
An = a
q
r
a
q
Calcolo finanziario
26
13
ANNUALITA’ COSTANTI POSTICIPATE ILLIMITATE
Sono rendite (o costi) di uguale valore, che si realizzano alla fine di ogni anno per
un tempo infinitamente lungo.
Per le annualità costanti posticipate illimitate sussiste solo un problema:
- Accumulazione iniziale
A0 =
C0 =
La formula è analoga alla
a
r
I
r
Tali formule sono chiamate formule di capitalizzazione dei redditi annui, costanti,
posticipati, illimitati (ogni volta che si divide il reddito medio annuo costante
posticipato di un capitale per il suo saggio di interesse, si ottiene il valore del
capitale capace di generare tale reddito).
Calcolo finanziario
27
ANNUALITA’ COSTANTI POSTICIPATE ILLIMITATE
Determinazione dell’accumulazione iniziale
q −1 a
q −1
A = lim a
= lim
=
r ⋅q
r
q
a
q
a
1
= lim( − ) =
r
q q
r
n
0
n
n
n →∞
n →∞
n
n
n→∞
n
n
Calcolo finanziario
28
14
ANNUALITA’ COSTANTI ANTICIPATE ILLIMITATE
Sono rendite (o costi) di uguale valore, che si realizzano all’inizio di ogni anno per
un tempo infinitamente lungo.
Anche per le annualità costanti anticipate illimitate si può parlare solo di:
- Accumulazione iniziale
A0 =
aq
r
Si ottiene facilmente dall’ analoga formula relativa alle annualità posticipate
illimitate, tenendo conto che le annualità anticipate si verificano un anno prima
di quelle posticipate. E’ sufficiente, quindi, posticipare di un anno l’annualità
anticipata.
Calcolo finanziario
29
PERIODICITA’ (O POLIANNUALITA’) 1
Simbologia:
n=numero anni del periodo (intervallo di tempo che intercorre tra il verificarsi di
due successivi valori periodici)
t = numero dei periodi
Periodicità costanti posticipate limitate: accumulazione finale
q tn − 1
Atn = p n
q −1
Periodicità costanti posticipate limitate: accumulazione iniziale
q tn − 1 1
A0 = p n
q − 1 q tn
Periodicità costanti anticipate limitate: accumulazione finale
Atn = p
q tn − 1 n
q
qn −1
Calcolo finanziario
30
15
PERIODICITA’ (O POLIANNUALITA’) 2
Periodicità costanti anticipate limitate: accumulazione iniziale
q tn − 1 1 n
A0 = p n
q
q − 1 q tn
Periodicità costanti posticipate illimitate: accumulazione iniziale
A0 = p
1
q −1
n
Periodicità costanti anticipate illimitate: accumulazione iniziale
A0 = p
1
qn
q −1
n
Calcolo finanziario
31
QUOTA DI REINTEGRAZIONE DEI CAPITALI
Per quota di reintegrazione si intende la somma di denaro che deve essere annualmente
accantonata per rinnovare o formare un capitale in un determinato numero di anni
Qre = An
r
qn −1
QUOTA DI AMMORTAMENTO FINANZIARIO DEI CAPITALI
Per quota di ammortamento di un capitale si intende la rata annua o semestrale che si
versa per estinguere un debito in un determinato numero di anni
Qam
rq n
= A0 n
q −1
La quota di un ammortamento è comprensiva di capitale ed interessi. Essa è costante.
Calcolo finanziario
32
16
Mutui
Sono prestiti, operati normalmente dalle banche o da istituti autorizzati,
caratterizzati da:
- lunga durata;
- garanzie reali;
- restituzione rateale.
Il calcolo più comune delle rate avviene con il metodo francese a rate costanti:
Qam
rq n
= A0 n
q −1
L’andamento della rata di ammortamento si può mettere in evidenza con un
semplice prospetto che va sotto il nome di piano di ammortamento.
N.B. : Essendo la quota di ammortamento costante, la quota di capitale e di
interesse variano di anno in anno (la quota capitale aumenta, quella interessi
diminuisce)
Calcolo finanziario
33
Calcolare il piano di ammortamento di un debito di €100.000 per 4
anni al tasso del 10% (1)
a = A0
rq n
= 100.000,00 x0,31547 = 31.547,00 (rata annua costante)
qn −1
1° anno
r
= 10.000 x0,21547 = 21.547,00
qn −1
- quota interessi 100.000,00 x0,10 = 10.000,00
- quota capitale 100.000,00
2° anno
r
= 78.543x0,30211 = 23.701,70
qn −1
- quota interessi 78.453,00 x0,10 = 7.845,30
- quota capitale 78.453,00
Calcolo finanziario
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17
Calcolare il piano di ammortamento di un debito di €100.000 per 4
anni al tasso del 10% (2)
3° anno
- quota capitale 54 .751 ,30
r
= 54 .751 ,30 ⋅ 0 ,47619 = 26 .072 ,00
q −1
n
- quota interessi 54 .751 ,30 ⋅ 0 ,10 = 5 .475 ,00
4° anno
r
= 28.679,30 ⋅1 = 28.679,30
q −1
- quota interessi 28 .679 ,30 ⋅ 0 ,10 = 2 .867 ,70
- quota capitale 28.679,30
n
Calcolo finanziario
35
Il piano di ammortamento
Anno
Rata annua
costante
Quota
capitale
Quota
interessi
Debito
estinto
0
-
-
-
-
Debito
residuo
100.000.000
1
31.547,00
21.547,00
10.000,00
21.547,00
78.453,00
2
31.547,00
23.701,70
7.845,30
45.248,70
54.751,30
3
31.547,00
26.072,00
5.475,00
71.320,70
28.679,30
4
31.547,00
28.679,30
2.867,70
100.000,00
Totali
126.188,00
100.000,00
26.188,00
Calcolo finanziario
-
-
36
18
TASSO EFFETTIVO GLOBALE (TAEG)
E’ IL TASSO EFFETTIVAMENTE PAGATO PER UN MUTUO O UN’ALTRA
FORMA DI FINANZIAMENTO, TENENDO CONTO DELLE SPESE E DELLA
PERIODICITA’ DELLE RATE.
VIENE UTILIZZATO COME PARAMETRO DI CONFRONTO TRA FORME
DIVERSE DI FINANZIAMENTO, IN QUANTO CONTIENE TUTTE LE VARIABILI
CHE CONCORRONO A DETERMINARNE LA CONVENIENZA.
Calcolo finanziario
37
CALCOLO DEL TAEG – UN ESEMPIO (1)
CARATTERISTICHE DEL FINANZIAMENTO
a) Capitale erogato
1.000.000 €
b) Durata
18 mesi
c) Tasso nominale
18,5%
d) Periodicità rata
2 (6 mesi)
SPESE DA DECURTARE DAL CAPITALE
e) Istruttoria
50.000
f) Imposta sostitutiva
2.500 (2,5% del capitale)
g) Bollo
1.000 (€100/milione)
h) Capitale netto erogato (a-e-f-g)
946.500
i) Importo rata (formula mutui)
396.816
Calcolo finanziario
38
19
CALCOLO DEL TAEG – UN ESEMPIO (2)
SPESE DA AGGIUNGERE ALLE RATE
l) Assicurazione
15.000
m) Comunicazione
4.000
n) Incasso
7.500
o) SPESE TOTALI (l+m+n)
26.500
p) SPESE PER RATA (o/3)
8.833
q) Importo rata di rimborso (i+p)
405.649
r) Tasso nominale annuo (iterativo)
27,4059%
Tasso effettivo globale (TAEG)
29,2837%
(accumulazione a fine anno di r pagato
semestralmente)
Calcolo finanziario
39
CALCOLO DEL TAEG – UN ESEMPIO (3)
Il TAEG PUO’ ESSERE RICAVATO CON UNA PROCEDURA IN DUE FASI:
1° FASE
RICERCA DEL TASSO EFFETTIVO ANNUO
CAPITALE NETTO EROGATO = € 946.500
IMPORTO RATA RIMBORSO = € 405.649
IL TASSO EFFETTIVO ANNUO E’ QUELLO CHE SODDISFA LA SEGUENTE
RELAZIONE:
nt
r r
1 + 
t t
= 405.649
946.500
nt
 r
1 +  − 1
 t
SI TROVA PER TENTATIVI CON PROCEDURA ITERATIVA = 27,40591%
Calcolo finanziario
40
20
CALCOLO DEL TAEG – UN ESEMPIO (4)
2° FASE
CALCOLO DEL TAEG A PARTIRE DAL TASSO EFFETTIVO ANNUO
TASSO EFFETTIVO ANNUO: 27,40591%
CON RATE SEMESTRALI (2 RATE ALL’ANNO)
t
 r 
TAEG = 1 + n  − 1 = 29,2837%
t 

rn = Tasso nominale effettivo annuo
t = numero delle rate per anno
Calcolo finanziario
41
CALCOLO DELL’INTERESSE REALE
IN PRESENZA DI INFLAZIONE
Il rendimento reale degli investimenti finanziari si ottiene nel seguente modo:
r −r
r =
1+ r
n
Dove:
i
r
i
rr= tasso di rendimento reale
rn= tasso di rendimento nominale
ri = tasso di inflazione
Correntemente si usa anche la formula:
rr = rn − ri
Tale formula è scorretta ma fornisce risultati approssimativamente simili alla
precedente se usata per tassi d’inflazione bassi e periodi brevi
Calcolo finanziario
42
21
CALCOLO DELL’INTERESSE REALE
DIMOSTRAZIONE
La formula per il calcolo di rendimento reale può essere ricavata da quella per il
calcolo del montante reale:
Mr =
Mn
(1 + ri )n
Poiché:
M r = C0 (1 + rr ) n ; M n = C0 (1 + rn )
Possiamo scrivere:
C0 (1 + rr )
n
n
C (1 + rn )
= 0
(1 + ri )n
n
Dividendo entrambi i membri per C0 e facendo la radice n-esima
1 + rr =
r −r
1 + rn
1 + rn
1 + rn − 1 − ri
⇒ rr =
− 1 ⇒ rr =
⇒ rr = n i
1 + ri
1 + ri
1 + ri
1 + ri
Con: rr = tasso reale; rn= tasso nominale; ri= tasso d’inflazione; Mn=
montante nominale; Mr= montante reale
Calcolo finanziario
43
STRUMENTI PRATICI DI CALCOLO
Il tradizionale supporto per il calcolo finanziario sono le tavole finanziarie.
Le tavole finanziarie contengono i valori calcolati, per diversi valori di n ed r, dei
principali coefficienti usati nel calcolo finanziario (vedi tavole).
Uno strumento più avanzato sono le calcolatrici finanziarie.
Le calcolatrici finanziarie contengono le principali funzioni finanziarie. Permettono
la ricerca rapida del valore di parametri che richiederebbero lunghi calcoli
manuali. Ad esempio il valore di r dati a, n ed A0 nelle formule delle annualità, che
può essere trovato solo per tentativi.
I fogli elettronici (Excel) permettono l’esecuzione delle più comuni operazioni
finanziarie, mediante la scrittura delle relative formule o l’uso delle funzioni
finanziarie (vedi elenco funzioni finanziarie di Excel)
Calcolo finanziario
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