Tema d`anno Antonio Tricarico [20009708]
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Tema d`anno Antonio Tricarico [20009708]
CORSO DI “MECCANICA DEL VEICOLO” A.A. 2013/2014 Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica TEMA D’ANNO “Sviluppo di una GUI in ambiente Matlab per la simulazione del comportamento direzionale di un veicolo e per l’elaborazione di dati da files *.txt” Docente: Prof. Ing. Giulio Reina Studente: Antonio Tricarico n° matricola: 20009708 INDICE 1.1 Sistemi di coordinate e di forze dello pneumatico. 3 1.2 Sistemi di coordinate e di forze del veicolo. 4 1.3 Modello dinamico. 1.3.1 Risposta del veicolo ad un colpo di sterzo. 1.3.2 Risposta del veicolo ad un input di sterzo di tipo sine-sweep. 6 12 20 2.1 Stima dei parametri caratteristici di uno pneumatico da dati sperimentali. 2.1.1 Elaborazione di dati sperimentali. 29 32 3.1 Comparazione tra dati sperimentali e dati calcolati. 39 3.2 Calcolo dell’angolo di sterzo desiderato per differenti configurazioni. Poli e zeri della funzione di trasferimento del sistema. 45 Modelli non lineari. 52 3.3 BIBLIOGRAFIA 66 2 1.1 Sistemi di coordinate e di forze dello pneumatico. L’orientazione dello pneumatico1 è definita mediante gli angoli di camber ϒ e di deriva α (Figura 1.1): l’angolo di camber (Figura 1.2) è l’angolo, misurato intorno all’asse x, compreso tra il piano dello pneumatico ed il piano perpendicolare al terreno, mentre l’angolo che l’asse x forma con il vettore velocità è detto angolo di deriva (Figura 1.3) ed è misurato intorno all’asse z. Figura 1.1: Sistemi di coordinate e di forze dello pneumatico. Figura 1.2: Angolo di camber. 1 Figura 1.3: Angolo di deriva. “Vehicle Dynamics – Theory and Application”, R.N.JAZAR, Spring, (2008). 3 Il sistema di forze di uno pneumatico (Figura 1.4) è posizionato nel suo centro ed è scomposto lungo i tre assi secondo la seguente modalità: • • • • • • Forza longitudinale Fx, che agisce lungo l’asse x ed è positiva se il veicolo accelera e negativa se il veicolo frena; Forza normale Fz, normale alla superficie stradale; Forza laterale Fy, tangente alla superficie stradale e perpendicolare sia a Fx che ad Fz; Momento di rollio Mx, che rappresenta un momento longitudinale intorno all’asse x; Momento di beccheggio My, che rappresenta un momento laterale intorno all’asse y; Momento di imbardata Mz, il quale agisce intorno all’asse z. Figura 1.4: Forze e momenti agenti su uno pneumatico. 1.2 Sistemi di coordinate e di forze del veicolo. Il sistema di riferimento2 da cui prenderà le mosse la presente trattazione è quello mostrato in Figura 1.5, nel quale l’asse longitudinale del veicolo è l’asse x, l’asse laterale è indicato con y e l’asse verticale, indicato con z, è diretto ortogonalmente al terreno. Tale sistema di coordinate definisce altresì la direzione delle velocità di rollio (p), di beccheggio (q) e di imbardata (r), cui corrispondono i seguenti angoli: • • • 2 angolo di rollio ϕ, intorno all’asse x; angolo di beccheggio θ, intorno all’asse y; angolo di imbardata ψ, intorno all’asse z. “GNSS for Vehicle Control”, D.BEVLY, S.COBB, Artech House, (2010). 4 Il sistema di coordinate del veicolo definito in precedenza rappresenta un sistema di riferimento locale, in cui la posizione e l’orientamento sono misurati a partire da un sistema di riferimento fisso XYZ, così come mostrato in Figura 1.6. Figura 1.5: Sistema di riferimento per il veicolo in esame Figura 1.6: Sistema di riferimento globale. L’angolo di imbardata (ψ) è l’angolo compreso tra una retta parallela all’asse Y e la componente longitudinale della velocità Vx, mentre l’angolo compreso tra la velocità V e la relativa componente longitudinale Vx è denominato angolo di assetto (angolo di sideslip) ed è indicato con β. Inoltre, si definiscono le componenti del sistema di forze che caratterizza il veicolo (Figura 1.7): • • forza di trazione Fx , diretta lungo l’asse x e positiva se il veicolo accelera e negativa nel caso opposto; forza laterale Fy , diretta ortogonalmente a Fx e a Fz : tale forza è molto spesso una • conseguenza diretta di una manovra di sterzata ed è la causa principale dell’originarsi del momento di imbardata e della traiettoria curvilinea subita dal veicolo; forza verticale Fz , perpendicolare al piano stradale. • momento di rollio M x , intorno all’asse x; • momento di beccheggio M y , intorno all’asse y; 5 • momento di imbardata M z , intorno all’asse z. Figura 1.7: Forze agenti su un veicolo. 1.3 Modello dinamico. In questa trattazione si farà riferimento ad un modello dinamico che utilizza soltanto due gomme in luogo di quattro, denominato modello a bicicletta o monotraccia (Figura 1.8), il quale si basa su alcune ipotesi semplificative: • • • il veicolo ha struttura e sospensioni rigide, motivo per il quale si trascurano i moti verticali, di beccheggio e di rollio, nonché i trasferimenti di carico associati; il moto del veicolo avviene su un piano stradale orizzontale, caratterizzato da una superficie liscia e con coefficiente d’attrito uniforme; la distribuzione delle masse che costituiscono il veicolo è perfettamente simmetrica, di conseguenza il baricentro giace sul suo asse longitudinale. 6 Figura 1.8: Modello a bicicletta o monotraccia. Si indicano con: • • • • • • • • • • m massa del veicolo; V velocità del baricentro; β angolo di assetto, compreso tra l’asse longitudinale della vettura e la tangente alla traiettoria del baricentro; l passo del veicolo; a1, a2 semipasso anteriore e posteriore; r velocità di imbardata; Iz momento di inerzia; αf, αr angoli di deriva pneumatici anteriore e posteriore; Fyf, Fyr forze laterali pneumatici anteriore e posteriore; δ angolo di sterzo. L’angoli di assetto è dato da (1.1): vy vx β = tan −1 (1.1) mentre i termini αf e αr si calcolano attraverso le espressioni (1.2), (1.3): (1.2) (1.3) 7 nell’ipotesi in base alla quale l’angolo di sterzo sia applicato esclusivamente sull’avantreno. Nel caso in cui β sia molto piccolo è possibile scrivere (1.4), (1.5): (1.4) (1.5) Per bassi valori degli angoli di deriva si assume che le forze laterali Fyf, Fyr che interessano gli pneumatici anteriore e posteriore varino linearmente con i rispettivi angoli di deriva. In particolare, la costante di proporzionalità è detta rigidezza di deriva Cα, definita per entrambi gli pneumatici da Cαf e Cαr, che valgono (1.6), (1.7): (1.6) (1.7) dove i pedici L e R indicano le ruote sinistra e destra. Per quanto affermato in precedenza, risulta che (1.9), (1.10): Fyf = −Cαf ⋅ α f (1.9) Fyr = −Cαr ⋅ α r (1.10) Le forze applicate al modello in oggetto, considerando un angolo di sterzo δ di piccola entità, sono espresse da (1.11), (1.12), (1.13): (1.11) (1.12) (1.13) Fy e Mz possono essere approssimate dalle seguenti espressioni (1.14), (1.15): 8 (1.14) (1.15) La dipendenza di queste due grandezze dai parametri r, β e δ consente di scrivere: I coefficienti C e D sono calcolati dalle relazioni (1.16), (1.17), (1.18), (1.19), (1.20), (1.21): (1.16) (1.17) (1.18) (1.19) (1.20) (1.21) Per il modello in esame è possibile scrivere le equazioni (1.22), (1.23): 9 (1.22) (1.23) Il set di equazioni descritto in precedenza consente di descrivere adeguatamente il comportamento di un veicolo caratterizzato da una velocità longitudinale vx costante, da cui il che permette di concludere che la velocità laterale vy e la velocità di imbardata r varieranno in base all’equazione matriciale suddetta. Considerando l’angolo di sterzo δ come la grandezza in ingresso e vy e r come le grandezze in uscita, è possibile fare riferimento ad una rappresentazione nello spazio di stato (1.24): (1.24) in cui (1.25), (1.26), (1.27): 10 (1.25) (1.26) (1.27) Se si tiene conto che (1.28): (1.28) tale modello equivale a quello di seguito riportato (1.29): (1.29) Gli autovalori della matrice di stato (A) consentono di verificare se il sistema è stabile, ossia: • • • se tutti gli autovalori hanno parte reale negativa, il sistema è asintoticamente stabile; se almeno un autovalore ha parte reale positiva, il sistema è instabile; in presenza di autovalori aventi parte reale nulla, il sistema può essere instabile. 11 1.3.1 Risposta del veicolo ad un colpo di sterzo. Si passa ora a studiare la stabilità direzionale di un’autovettura sportiva caratterizzata dai parametri indicati in Tabella 1, per la quale si considera che il guidatore operi una manovra di colpo di sterzo (δ’), mantenendo costante la velocità, ossia (1.30): δ ' ⋅τ t > 0 δ (t ) = 0 t≤0 (1.30) in cui τ è il rapporto di trasmissione dello sterzo. PARAMETRO SIMBOLO VALORE UNITÀ DI MISURA Massa m 9.919 kN Momento d’inerzia (asse z) Iz 570 kgm2 Interasse l 2.26 m Semipasso anteriore a 1.22 m Rigidezza di deriva anteriore Cαf 117.24 kN/rad Rigidezza di deriva posteriore Cαr 142.72 kN/rad Rapporto di trasmissione dello sterzo τ 0.05 Velocità longitudinale vx 80.5 km/h Angolo di sterzo guidatore θ 30 ° Tabella 1: Parametri della vettura. A tale scopo è stata costruita un’interfaccia grafica in ambiente Matlab che, noti i parametri caratteristici della vettura, provvede a tracciare gli andamenti dell’angolo di assetto e della velocità di imbardata, nonché consente di valutare la traiettoria seguita dal veicolo ed il relativo gradiente di sottosterzo. L’interfaccia progettata permette inoltre di valutare gli andamenti di altri parametri, tra cui αf, αr, Fyf, Fyr, ψ e vy e permette altresì di elaborare i dati contenuti in files di estensione *.txt. L’architettura della GUI è mostrata in Figura 1.9. Il parametro che definisce il comportamento del veicolo in curva è denominato gradiente di sottosterzo K*, definito da (1.31) K* = mg Cαr a2 − Cαf a1 ⋅ l Cαr Cαf (1.31) il quale determina il comportamento sottosterzante (K*>0), sovrasterzante (K*<0) o neutro (K*=0) di una vettura, ossia: 12 Maschera con menu a tendina per la selezione del veicolo o l’inserimento manuale dei parametri caratteristici del veicolo e per il calcolo del gradiente di sottosterzo Maschera per il calcolo della risposta del veicolo a manovre di colpo di sterzo e di sine-sweep e per il calcolo dell’angolo di sterzo desiderato Maschera per l’applicazione di modelli non lineari (Dugoff, Pacejka) Push-buttons per l’elaborazione di file *.txt Figura 1.9: Architettura della GUI. 13 • • • il veicolo è sottosterzante quando tende a percorrere una traiettoria con un raggio di curvatura maggiore di quello che caratterizza la traiettoria desiderata dal conducente; il veicolo è sovrasterzante quando tende a percorrere una traiettoria con un raggio di curvatura minore di quello che caratterizza la traiettoria desiderata dal conducente; il veicolo è neutro quando tende a percorrere una traiettoria con un raggio di curvatura che corrisponde all’incirca a quello impostato dal conducente. Nel caso in esame, risulta K * ≈ 0.08 deg g Di conseguenza, il veicolo è sottosterzante, tendendo ad aumentare il raggio di curvatura. Gli autovalori della matrice di stato hanno parte reale negativa e valgono: λ1 ≈ −12.2 λ2 ≈ −25.1 per cui il sistema è asintoticamente stabile. Gli andamenti dell’angolo di assetto e della velocità di imbardata sono mostrati in Figura 1.10 e in Figura 1.11. Figura 1.10: Andamento dell’angolo di assetto. 14 Figura 1.11: Andamento della velocità di imbardata. Dalla Figura 1.12 si possono valutare i dati relativi al valore a regime della velocità di imbardata e al suo tempo di salita. Risulta: rreg = 0.251 rad deg ≈ 14.4 s s t s = 0.256 s 15 Figura 1.12: Velocità di imbardata a regime e tempo di salita. La traiettoria seguita dal veicolo è riportata di seguito (Figura 1.13) Figura 1.13: Traiettoria della vettura. Nel seguito vengono altresì mostrati gli andamenti relativi a αf, αr, Fyf, Fyr, vy (Figure 1.14, 1.15, 1.16). 16 Figura 1.14: Andamento degli angoli di deriva degli pneumatici anteriore e posteriore. Figura 1.15: Andamento delle forze laterali per gli pneumatici anteriore e posteriore. 17 Figura 1.16: Andamento della velocità laterale della vettura. L’interfaccia consente inoltre di valutare gli andamenti suddetti per valori del semipasso anteriore variabile: il relativo parametro a, in questa analisi, assume valori che vanno da 0.1·l a 0.8·l. In particolare, le Figure 1.17, 1.18 e 1.19 mostrano come varino l’angolo di assetto, la velocità di imbardata e la traiettoria seguita dal veicolo per differenti valori del semipasso anteriore. Figura 1.17: Andamento dell’angolo di assetto al variare del baricentro. 18 Figura 1.18: Andamento della velocità di imbardata al variare del baricentro. Figura 1.19: Traiettoria della vettura al variare del baricentro. Dalla curve sopra riportate si evince come all’aumento del semipasso anteriore (i.e. allo spostamento del baricentro del veicolo verso il retrotreno) corrisponda un aumento del comportamento sovrasterzante del veicolo, come si può concludere osservando l’andamento del gradiente di sottosterzo mostrato in Figura 1.20: il valore di K* diminuisce all’aumentare di a, sino a diventare negativo (condizione di sovrasterzo). Se K*>0, l’angolo di sterzo che deve essere impostato per percorrere una curva con un dato raggio cresce all’aumentare della velocità, determinando un comportamento sottosterzante del veicolo, mentre se K* assume valori negativi l’angolo di sterzo, a parità di raggio, diminuisce all’aumentare della velocità ed il veicolo mostra un comportamento sovrasterzante (Figura 1.21). 19 Figura 1.20: Andamento del gradiente di sottosterzo al variare del baricentro. Figura 1.21: Angolo di sterzo in funzione della velocità. 1.3.2 Risposta del veicolo ad un input di sterzo di tipo sine-sweep. L’analisi della stabilità direzionale del veicolo in esame ha previsto lo studio della risposta ad un input di sterzo di tipo sine-sweep, ossia di una sinusoide in grado di modificare linearmente nel tempo la propria frequenza di oscillazione: la legge di movimentazione dello sterzo è uno sweep sinusoidale variabile da +1.5° a -1.5° e intervallo di frequenza da 0.5 Hz a 5 Hz (Figura 1.22). Dati i seguenti parametri 20 t start = 0 t end = 3s f start = 0.5Hz f end = 5Hz si ha che l’espressione di f(t) sarà data dall’equazione (1.32): f f (t ) = f start end f start 1 tend t (1.32) da cui si ottiene il segnale di input applicato allo sterzo (1.33): δ = δ ' ⋅ τ ⋅ sin (2πf (t ) ⋅ t ) (1.33) Figura 1.22: Segnale di input dello sterzo in una manovra di sine-sweep. Sono stati presi in considerazione i veicoli con le caratteristiche presentate in Tabella 2. 21 PARAMETRO SIMBOLO VEICOLO A VEICOLO B UNITÀ DI MISURA Massa m 1500 1365 kg Momento d’inerzia (asse z) Iz 2420 2400 kgm2 Interasse l 2.54 2.58 m Semipasso anteriore a 1.14 0.912 m Rigidezza di deriva anteriore Cαf 88 73 kN/rad Rigidezza di deriva posteriore Cαr 94 90 kN/rad Rapporto di trasmissione dello sterzo τ 0.05 0.05 Velocità longitudinale vx 90 119.9 km/h Angolo di sterzo guidatore θ 30 30 ° Tabella 2: Caratteristiche dei due veicoli soggetti ad una manovra di sine sweep. La risposta in frequenza della velocità di imbardata è stata ottenuta, per entrambi i veicoli, mediante il comando bode e i relativi diagrammi di ampiezza e fase sono mostrati in Figura 1.23. Tale risposta è caratterizzata, come era lecito attendersi, dalla medesima frequenza dell’input di sterzo sinusoidale considerato. L’istruzione margin fornisce informazioni sul margine di guadagno e sul margine di fase: per il veicolo A si ha che il margine di guadagno è pari ad infinito (la fase non raggiunge mai il valore di -180°), mentre il margine di fase risulta essere uguale a circa 96°; per il veicolo B si ottiene un margine di guadagno pari ad infinito ed un margine di fase pari a circa 94.4°. In conclusione, il criterio di stabilità di Bode3 garantisce che, per i due veicoli in esame, la risposta del sistema allo sweep sinusoidale imposto sia asintoticamente stabile. 3 Il criterio di stabilità di Bode afferma che un sistema è asintoticamente stabile se il margine di guadagno e il margine di fase sono entrambi positivi. In particolare, un sistema è sufficientemente stabile se il margine di fase è superiore a 30° e il margine di guadagno è maggiore di 20 dB. 22 Figura 1.23 (a): Risposta in frequenza della velocità di imbardata (Veicolo A). Figura 1.23 (b): Risposta in frequenza della velocità di imbardata (Veicolo B). Mediante l’interfaccia grafica costruita è stato possibile tracciare gli andamenti per i parametri β, r, αf, αr, Fyf, Fyr, vy così come mostrato nel seguito (Figure 1.24, 1.25, 1.26, 1.27, 1.28). 23 Figura 1.24 (a) Andamento dell’angolo di assetto (Veicolo A). Figura 1.24 (b) Andamento dell’angolo di assetto (Veicolo B). 24 Figura 1.25 (a) Andamento della velocità di imbardata (Veicolo A). Figura 1.25 (b) Andamento della velocità di imbardata (Veicolo B). 25 Figura 1.26 (a): Andamento degli angoli di deriva (Veicolo A). Figura 1.26 (b): Andamento degli angoli di deriva (Veicolo B). 26 Figura 1.27 (a): Andamento delle forze laterali degli pneumatici anteriore e posteriore (Veicolo A). Figura 1.27 (b): Andamento delle forze laterali degli pneumatici anteriore e posteriore (Veicolo B). 27 Figura 1.28 (a) Andamento della velocità laterale (Veicolo A). Figura 1.28 (b) Andamento della velocità laterale (Veicolo B). 28 2.1 Stima dei parametri caratteristici di uno pneumatico da dati sperimentali. Le forze longitudinali che si sviluppano durante il moto di un veicolo derivano dai fenomeni di deformazione e scorrimento che si sviluppano nella zona di contatto tra pneumatico e manto stradale. La generazione di tali forze può essere descritta in maniera molto accurata mediante lo scorrimento dello pneumatico S, definito come (2.1): S =− (V − ωReff ) V (2.1) in cui: • • V è la velocità di traslazione del centro dello pneumatico; ω e Reff rappresentano, rispettivamente, la velocità angolare e il raggio effettivo dello pneumatico, quest’ultimo definito come il rapporto tra V e ω. Differenti modelli, sviluppati da dati empirici, sono stati utilizzati al fine di descrivere la relazione che intercorre tra la forza longitudinale e lo scorrimento dello pneumatico, noti alcuni parametri quali le caratteristiche degli pneumatici, le condizioni del manto stradale, l’entità della forza normale ed altri fattori, tra i quali l’angolo di camber4. La relazione suddetta è del tipo mostrato in Figura 2.1: per bassi valori di scorrimento, la forza cresce linearmente secondo la relazione (2.2): Fx = C x ⋅ S (2.2) in cui la grandezza Cx rappresenta la rigidezza longitudinale dello pneumatico. All’aumentare dello scorrimento avviene che la forza aumenta meno rapidamente rispetto allo scorrimento stesso sino al raggiungimento di un valore di picco, dopo il quale la forza decresce: il valore di picco è tanto più elevato e spostato verso valori di scorrimento maggiori quanto più elevato è il coefficiente di attrito massimo μ. 4 “ Tyre modelling for use in vehicle dynamics studies”, E.BAKKER, L.NYBORG, H.B.PACEJKA, Society of Automotive Engineers, Warrendale, PA (1987). 29 Figura 2.1: Relazione tra forza longitudinale e scorrimento. In questo contesto, la misura dello scorrimento dello pneumatico si configura come un processo di fondamentale importanza per quanto concerne molti sistemi di controllo5, tra cui i sistemi antilock brake system (ABS) e electronic stability control (ESP) e, come sarà evidenziato nel prosieguo, le informazioni sulla velocità ottenute mediante il ricorso ad un sistema GPS e ad appositi sensori possono essere atte a questo scopo. Indicate con Fxf e Fxr le forze longitudinali degli assi anteriore e posteriore e trascurando la resistenza al rollio, la resistenza aerodinamica e l’angolo di inclinazione, è possibile scrivere (2.3): Fxf + Fxr = m ⋅ a x (2.3) in cui m è la massa del veicolo e ax indica l’accelerazione longitudinale. Se la relazione tra Fx e S è considerata lineare, si può affermare che (2.4): Fxf + Fxr = Fx = C ⋅ x ⋅ S = −C x (V − ωReff ) V = m ⋅ ax (2.4) Denominata con i la i-esima rilevazione del sistema GPS e con t l’intervallo da due rilevazioni successive, l’accelerazione longitudinale è calcolata mediante l’espressione (2.5): 5 “ Calculating Longitudinal Wheel Slip and Tire Parameters Using GPS Velocity”, S.L.MILLER, B.YOUNGBERG, A.MILLIE, P.SCHWEIZER, J.C.GERDES, Proceedings of the American Control Conference, (2011). 30 a (i ) = V (i + 1) − V (i ) t (2.5) da cui risulta che (2.6): a (i ) = 1 Reff ω (i ) − V (i ) Cx m V (i ) (2.6) Definendo P come (2.7): P= ω (i ) (2.7) V (i ) si può scrivere che (2.8): a(i) = 1 C x (Reff P(i ) − 1) m (2.8) Tale espressione rappresenta una retta di equazione y=px+q, come si può evincere osservando l’equazione (2.9): a (i ) = C x Reff m P (i ) − Cx m (2.9) I coefficienti p e q sono espressi di conseguenza da (2.10), (2.11): p= C x Reff q=− m Cx m (2.10) (2.11) 31 Mediante tali coefficienti è dunque possibile ricavare la rigidezza longitudinale Cx e il raggio effettivo di rotolamento Reff (2.12), (2.13): C x = −q ⋅ m (2.12) p⋅m Cx (2.13) Reff = Il sistema GPS e appositi sensori provvedono a fornire i dati relativi ad a(i) e a P(i), il che consente di ricavare i parametri della retta (i.e. il coefficiente angolare p e l’intercetta q) tramite un algoritmo ai minimi quadrati, ottenendo in tal modo le grandezze di interesse. 2.1.1 Elaborazione di dati sperimentali. Le considerazioni espresse nel paragrafo precedente sono state applicate ad un set di dati, nel quale sono riportate le misurazioni di velocità, effettuate da un sistema GPS, e di velocità angolare degli pneumatici, ottenute mediante appositi sensori. Si hanno a disposizione tre files *.txt, per ciascuno dei quali sono riportati dati relativi a: • • • data_hw1: tempo (s), velocità (m/s), velocità di imbardata (deg/s), accelerazione longitudinale (m/s2); data_hw2a: tempo (s), velocità rilevata (m/s), velocità angolare pneumatico (rad/s); data_hw2b: tempo (s), velocità rilevata (m/s), velocità angolare pneumatico (rad/s). In allegato alla presente relazione è riportato il codice elaborato in ambiente Matlab che ha permesso di tracciare l’andamento delle grandezze caratteristiche sopra menzionate. In particolare, per il primo set di dati, relativo ad una vettura che ha eseguito una manovra di slalom, sono stati ricavati i grafici mostrati nelle Figure 2.2 (velocità del veicolo), 2.3 (velocità di imbardata), 2.4 (accelerazione del veicolo), 2.5 (angolo di imbardata), 2.6 (accelerazione longitudinale). 32 Figura 2.2: Andamento della velocità del veicolo per il primo set di dati. Figura 2.3: Andamento della velocità di imbardata per il primo set di dati. 33 Figura 2.4: Andamento dell’accelerazione del veicolo per il primo set di dati. Figura 2.5: Andamento dell’angolo di imbardata per il primo set di dati. 34 Figura 2.6: Andamento dell’accelerazione longitudinale per il primo set di dati. Per il secondo set di dati, si hanno a disposizione le rilevazioni di velocità e di velocità angolare, nonché il raggio effettivo di rotolamento (Reff = 0.35 m). In Figura 2.7 sono riportati gli andamenti della velocità rilevata (VGPS) in funzione del tempo e di quella calcolata (V) a partire dalla velocità angolare dello pneumatico e da Reff . Lo scorrimento longitudinale S è stato calcolato mediante la relazione (2.14) ed il suo andamento nel tempo è rappresentato nelle Figure 2.8 e 2.9 per il secondo ed il terzo dataset. S =− VGPS − V VGPS (2.14) Una maggiore accuratezza nella stima dello scorrimento longitudinale dello pneumatico rende tuttavia propedeutica la compensazione degli effetti dovuti al beccheggio ed al rollio. In questo contesto, si può assumere che il beccheggio sia principalmente causato dalla pendenza della superficie stradale e le componenti di accelerazione derivanti dal beccheggio e dal rollio possano essere compensate mediante il ricorso ad un sistema di rilevamento basato su un ricevitore GPS appropriato6. In particolare, tale compensazione si riflette sullo scorrimento longitudinale dello pneumatico e, di conseguenza, sul differente andamento della velocità rilevata dello pneumatico in relazione alla velocità calcolata, dovuto allo scorrimento longitudinale dello pneumatico stesso. 6 “Using GPS for Model Based Estimation of Critical Vehicle States and Parameters”, R.A.ANDERSON, (2004). 35 Figura 2.7: Confronto tra la velocità rilevata da GPS e velocità calcolata a partire da ω e Reff. Figura 2.8: Andamento dello scorrimento per il secondo set di dati. 36 Figura 2.9: Andamento dello scorrimento per il terzo set di dati. Per il terzo set di dati è stato applicato il modello descritto nel paragrafo precedente, che ha permesso di calcolare i valori di accelerazione longitudinale, forza longitudinale Fx, rigidezza longitudinale Cx e rapporto di velocità P, nonché di verificare il valore assegnato di Reff. La massa m del veicolo in esame è pari a 1500 kg. Le immagini mostrate in Figura 2.10 e 2.11 dimostrano quanto enunciato in precedenza. In particolare, il grafico in Figura 2.11 mostra la retta che meglio approssima i dati relativi all’accelerazione longitudinale ax, calcolata in funzione del rapporto di velocità P. Mediante il codice Matlab elaborato, la GUI permette di ottenere p = 24.2186 q = −69.198 da cui a = 24.2186 ⋅ P − 69.198 Calcolati questi valori, è possibile calcolare Cx e Reff (per quest’ultimo parametro si verifica il valore assegnato), che risultano essere pari a C x = 103800 N rad R eff = 0 .35 m 37 Figura 2.10: Andamento della forza longitudinale in relazione all’angolo di deriva. Figura 2.11: Retta che meglio approssima i dati relativi a ax e P. 38 3.1 Comparazione tra dati sperimentali e dati calcolati. Si passa ora ad analizzare i dati relativi a velocità, angolo di sterzo, velocità di imbardata e angolo di assetto, ottenuti mediante rilevazioni che hanno interessato il modello di vettura “Infiniti G35 sedan” (Figura 3.1). Figura 3.1: Infiniti G35 sedan. I set di dati a disposizione sono contenuti in due file *.txt, mediante i quali ci si propone di valutare se vi siano differenze sostanziali tra la velocità di imbardata, l’angolo di assetto e gli angoli di deriva rilevati sperimentalmente e quelli ottenuti utilizzando il modello monotraccia in condizioni stazionarie. La vettura in esame ha le caratteristiche elencate in Tabella 3. PARAMETRO VALORE m 1573 kg Iz 3200 kgm2 a1 1.311 m a2 1.539 m Cαf 90000 N/rad Cαr 140000 N/rad Tabella 3: Caratteristiche della vettura in esame. Il gradiente di sottosterzo K* è stato calcolato mediante l’equazione (1.31), da cui K * ≈ 2.4 deg g 39 Il gradiente di sottosterzo determina il comportamento sottosterzante o sovrasterzante del veicolo: se K* è positivo, l’angolo di sterzo che deve essere impostato dal guidatore per percorrere una curva di raggio R cresce all’aumentare della velocità, causando un comportamento di tipo sottosterzante del veicolo, mentre se si ha che K* è negativo l’angolo di sterzo diminuisce (a parità di R) all’aumentare della velocità e il veicolo presenta un comportamento sovrasterzante. I prodotti Cαf ·a1 e Cαr ·a2 sono chiamati capacità direttive anteriore e posteriore ed esprimono la capacità di un asse di generare un momento imbardante rispetto al baricentro: tali prodotti consentono di concludere che: • • se Cαr ·a2 > Cαf ·a1 il comportamento del veicolo è sottosterzante (K*>0); se Cαr ·a2 < Cαf ·a1 il comportamento del veicolo è sovrasterzante (K*<0). Nel caso in esame, il veicolo è caratterizzato da un comportamento sottosterzante, difatti kN m rad kN Cαf ⋅ a1 = 117.99 m rad Cαr ⋅ a 2 > Cαf ⋅ a1 ⇒ K * > 0 Cαr ⋅ a 2 = 215.46 Poiché, per le ipotesi adottate, si ha è possibile scrivere la seguente equazione matriciale (3.1): (3.1) In Figura 3.2 sono riportati gli andamenti delle grandezze rilevate in funzione del tempo per i due set di dati. 40 Figura 3.2 (a): Grandezze rilevate per il veicolo in oggetto (Dataset 1). Figura 3.2 (b): Grandezze rilevate per il veicolo in oggetto (Dataset 2). Inoltre, vengono riportati gli andamenti degli angoli di deriva degli pneumatici per entrambi i datasets a disposizione (Figura 3.3). 41 Figura 3.3 (a): Angoli di deriva per il veicolo in oggetto (Dataset 1). Figura 3.3 (b): Angoli di deriva per il veicolo in oggetto (Dataset 2). Nelle immagini qui di seguito (Figure 3.4) riportate viene effettuato un confronto tra la velocità di imbardata, l’angolo di assetto e gli angoli di deriva calcolati a partire dai dati sperimentali e i rispettivi valori calcolati. 42 Figura 3.4 (a): Velocità di imbardata e angoli di assetto sperimentali e simulati per il veicolo in oggetto (Dataset 1). Figura 3.4 (b): Velocità di imbardata e angoli di assetto sperimentali e simulati per il veicolo in oggetto (Dataset 2). 43 Figura 3.4 (c): Angoli di deriva sperimentali e simulati per gli pneumatici anteriore e posteriore (Dataset 1). Figura 3.4 (d): Angoli di deriva sperimentali e simulati per gli pneumatici anteriore e posteriore (Dataset 2). 44 3.2 Calcolo dell’angolo di sterzo desiderato per differenti configurazioni. Poli e zeri della funzione di trasferimento del sistema. Per quanto concerne la velocità di imbardata, la risposta del veicolo nello stato stazionario è data dall’equazione (3.2): (3.2) che è esprimibile anche come (3.3): (3.3) dove K è il fattore di stabilità definito da (3.4): (3.4) Detto ciò, per una data velocità ci si propone di calcolare l’angolo di sterzo desiderato tale da garantire un valore finale di r pari a 50 deg/s. L’interfaccia grafica costruita provvede a calcolare l’angolo di sterzo desiderato (Figura 3.5) A titolo di esempio, utilizzando i dati a disposizione e per una velocità di 20 m/s, risulta δ des ≈ 11.4° 45 Figura 3.5: Calcolo dell’angolo di sterzo desiderato. Il grafico in Figura 3.6 mostra l’andamento della velocità di imbardata per il caso in oggetto. Figura 3.6: Andamento della velocità di imbardata per il caso in oggetto. Prove analoghe sono state svolte per il medesimo veicolo per differenti configurazioni, riassunte nella Tabella 4, per le quali sono mostrati gli andamenti dell’angolo di assetto e della velocità di imbardata (Figure 3.7, 3.9, 3.11, 3.13), nonché la posizione dei poli e degli zeri della funzione di trasferimento del sistema relativo alla velocità di imbardata (Figure 3.8, 3.10, 3.12, 3.14). Indicato con sys il modello in spazio di stato del sistema dinamico, la sua funzione di trasferimento è ottenuta attraverso l’istruzione tf(sys), mentre il comando ss2zp permette di calcolarne il valore dei poli e degli zeri. 46 PARAMETRO CONFIGURAZIONE 1 m 1573 kg Iz 3200 kgm2 a1 1.311 m a2 1.539 m Cαf 90000 N/rad Cαr 140000 N/rad vx 15 m/s CONFIGURAZIONE 2 1573 kg 3200 kgm2 1.311 m 1.539 m 90000 N/rad 140000 N/rad 30 m/s CONFIGURAZIONE 3 1573 kg 3200 kgm2 1.331 m 1.519 m 140000 N/rad 90000 N/rad 15 m/s CONFIGURAZIONE 4 1573 kg 3200 kgm2 1.331 m 1.519 m 140000 N/rad 90000 N/rad 30 m/s Tabella 4: Configurazioni analizzate per la vettura G35 Infiniti Sedan. I valori di δdes trovati sono riassunti in Tabella 5: PARAMETRO CONFIGURAZIONE 1 δdes 12.7° CONFIGURAZIONE 2 11.2° CONFIGURAZIONE 3 7.9° CONFIGURAZIONE 4 1.5° Tabella 5: Angoli di sterzo desiderati per le quattro configurazioni. Il valore aggiornato del gradiente di sottosterzo per le configurazioni 3 e 4 è K * = −1.22 deg g Difatti, si ha che kN m rad kN Cα f ⋅ a1 = 186 .34 m rad Cα r ⋅ a 2 < Cαf ⋅ a1 ⇒ K * < 0 Cα r ⋅ a 2 = 138 .51 47 Figura 3.7: Andamenti dell’angolo di assetto e della velocità di imbardata (Configurazione 1). ωn θ - δ ωn ωn=10.99 rad/s δ=cosθ=0.904 θ=25.8° Figura 3.8: Risposta della velocità di imbardata: localizzazione di poli e zeri (Configurazione 1). 48 Figura 3.9: Andamenti dell’angolo di assetto e della velocità di imbardata (Configurazione 2). ωn θ - δ ωn ωn=7.28 rad/s δ=cosθ=0.683 θ=46.9° Figura 3.10: Risposta della velocità di imbardata: localizzazione di poli e zeri (Configurazione 2). 49 Figura 3.11: Andamenti dell’angolo di assetto e della velocità di imbardata (Configurazione 3). ωn=8.65 rad/s δ=1.12 Figura 3.12: Risposta della velocità di imbardata: localizzazione di poli e zeri (Configurazione 3). 50 Figura 3.13: Andamenti dell’angolo di assetto e della velocità di imbardata (Configurazione 4). ωn=2.66 rad/s δ=1.808 Figura 3.14: Risposta della velocità di imbardata: localizzazione di poli e zeri (Configurazione 4). Il veicolo si trova di conseguenza in condizioni di sovrasterzo, per l’effetto combinato dell’aumento del semipasso anteriore e dell’aumento della rigidezza longitudinale dello pneumatico anteriore a discapito dello pneumatico posteriore: il retrotreno è soggetto ad uno scorrimento maggiore dell’avantreno ed è richiesto un angolo di sterzo minore per percorrere la curva. La presenza di poli complessi coniugati dimostra come la risposta della velocità di imbardata presenti, per il veicolo in esame nella configurazione originaria (configurazioni 1 e 2), uno smorzamento minore di 1 e, come è lecito attendersi, un andamento caratterizzato dal raggiungimento di un valore di picco che decresce sino al valore di regime, differentemente da quanto visto nel veicolo analizzato nella nuova configurazione, in cui lo smorzamento è maggiore di 1 (i.e. è presente una coppia di poli reali negativi e distinti) e il valore massimo della risposta coincide con il valore a regime. Analoghe considerazioni possono essere effettuate per il veicolo analizzato nel Paragrafo 1.4 (Figura 3.15). 51 ωn=17.46 rad/s δ=1.068 Figura 3.15: Risposta della velocità di imbardata: localizzazione di poli e zeri per il veicolo analizzato nel Paragrafo 1.4. 3.3 Modelli non lineari. Nel Paragrafo 2.1 è stato affrontato lo studio inerente la stima delle forze longitudinali agenti sugli pneumatici. In questa sezione verranno analizzate le forze laterali: in particolare si è visto che tali forze crescono linearmente in funzione degli angoli di deriva degli pneumatici, purché tali angoli possano essere considerati di bassa entità. Inoltre, è stato evidenziato che il coefficiente di proporzionalità che lega le forze laterali con gli angoli di deriva è la rigidezza di deriva Cα. Lo studio delle forze laterali può avvenire, oltre che con un modello di tipo lineare, anche con modelli che si configurano come non lineari, quali i modelli di Pacejka (“magic formula”) e di Dugoff. Il modello elaborato da Dugoff richiede un minor numero di parametri per stimare le forze laterali e l’espressione di Fy è la seguente (3.5): (3.5) f(λ) è espressa da (3.6): (3.6) dove λ è calcolata mediante l’espressione (3.7): 52 (3.7) Nelle formule suddette sono indicati i seguenti parametri: • • • • μ coefficiente di attrito massimo; Cα rigidezza di deriva dello pneumatico; Fz carico normale agente sullo pneumatico; α angolo di deriva dello pneumatico, calcolato utilizzando le (1.2), (1.3). Il carico normale agente sugli pneumatici anteriore e posteriore è calcolato mediante le equazioni (3.8), (3.9): a2 mg l a Fzr = 1 mg l Fzf = (3.8) (3.9) Nel modello di Dugoff si registra l’andamento riportato in Figura 3.16, per differenti valori di carico normale. Il modello elaborato da Pacejka richiede numerosi parametri e, per la stima della forza laterale, ha la seguente forma (3.10): (3.10) in cui • • • • B è il fattore di rigidezza; C è il fattore di forma; D è il fattore di picco; E è il fattore di curvatura. I coefficienti B, C, D ed E vengono calcolati secondo quanto riportato nelle seguenti espressioni (3.11), (3.12), (3.13), (3.14), a partire da un set di dati a (3.15): 53 Figura 3.16: Modello di Dugoff. (3.11) (3.12) (3.13) (3.14) (3.15) Mentre l’andamento di Fy nel modello di Dugoff è di tipo monotono, nel modello di Pacejka si registra il raggiungimento di un valore di picco, al di là del quale la forza laterale diminuisce (Figura 3.17). 54 Figura 3.17: Modello di Pacejka. Entrambi i modelli sono stati applicati al veicolo in oggetto mediante il sistema di equazioni di riferimento7 (3.16): m ⋅ a y = 2 Fyf ⋅ cos δ + 2 Fyr (3.16) . I z ⋅ r = 2 Fyf ⋅ a1 cos δ − 2 Fyr ⋅ a2 Tale sistema si basa sull’ipotesi di considerare trascurabili i contributi dovuti alle forze longitudinali. I dati relativi al veicolo in oggetto consentono di ricavare l’accelerazione laterale (3.17): . . a y⋅ = v x β + v x r = β ⋅ v cos( β ) + r ⋅ v cos( β ) (3.17) Inoltre, noti i valori della velocità di imbardata, è possibile valutare l’entità delle forze laterali Fyf e Fyr per gli pneumatici anteriore e posteriore relativi ai due datasets (Figure 3.18, 3.19, 3.20, 3.21). 7 “Nonlinear Tire Lateral Force versus Slip Angle Curve Identification”, (S.LUNG KOO, H.TAN, M.TOMIZUKA), Proceedings of the 2004 American Control Conference, (2004). 55 In particolare, l’applicazione del modello di Dugoff ai due set di dati a disposizione ha permesso di stabilire che, per il primo set, il coefficiente di attrito è verosimilmente alto (strada asciutta e fondo ruvido), mentre per il secondo set esso si attesta su valori bassi (strada bagnata). Figura 3.18: Forza laterale per lo pneumatico anteriore (Dataset 1). Figura 3.19: Forza laterale per lo pneumatico posteriore (Dataset 1). 56 Figura 3.20: Forza laterale per lo pneumatico anteriore (Dataset 2). Figura 3.21: Forza laterale per lo pneumatico posteriore (Dataset 2). In questo contesto, è stata elaborata una function per l’applicazione del modello di Dugoff alle configurazioni presentate nel Paragrafo 3.2, sfruttando il risolutore ode45. 57 L’applicazione di tale modello ha permesso ottenere i seguenti andamenti relativi all’angolo di assetto (Figura 3.22) e alla velocità di imbardata (Figura 3.23). Figura 3.22: Andamento dell’angolo di assetto nel modello di Dugoff (Configurazione 1). Figura 3.23: Andamento della velocità di imbardata nel modello di Dugoff (Configurazione 1). Gli andamenti delle forze laterali e degli angoli di deriva sono mostrati, rispettivamente, nelle Figure 3.24 e 3.25. 58 Figura 3.24: Andamento delle forze laterali nel modello di Dugoff (Configurazione 1). Figura 3.25: Andamento degli angoli di deriva nel modello di Dugoff (Configurazione 1). Nelle immagini successive si mostrano gli andamenti suddetti per le configurazioni 2 (Figure 3.26-3.29), 3 (Figure 3.30-3.33) e 4 (Figure 3.34-3.37). 59 Figura 3.26: Andamento dell’angolo di assetto nel modello di Dugoff (Configurazione 2). Figura 3.27: Andamento della velocità di imbardata nel modello di Dugoff (Configurazione 2). 60 Figura 3.28: Andamento della forze laterali nel modello di Dugoff (Configurazione 2). Figura 3.29: Andamento degli angoli di deriva nel modello di Dugoff (Configurazione 2). 61 Figura 3.30: Andamento dell’angolo di assetto nel modello di Dugoff (Configurazione 3). Figura 3.31: Andamento della velocità di imbardata nel modello di Dugoff (Configurazione 3). 62 Figura 3.32: Andamento della forze laterali nel modello di Dugoff (Configurazione 3). Figura 3.33: Andamento degli angoli di deriva nel modello di Dugoff (Configurazione 3). 63 Figura 3.34: Andamento dell’angolo di assetto nel modello di Dugoff (Configurazione 4). Figura 3.35: Andamento della velocità di imbardata nel modello di Dugoff (Configurazione 4). 64 Figura 3.36: Andamento della forze laterali nel modello di Dugoff (Configurazione 4). Figura 3.37: Andamento degli angoli di deriva nel modello di Dugoff (Configurazione 4). Si noti come, pur assestandosi intorno a valori di regime diversi da quelli ricavati dall’applicazione del modello lineare, il ricorso ad un modello non lineare, quale quello elaborato da Dugoff, consente tuttavia di ottenere andamenti che non differiscono qualitativamente da quelli che caratterizzano il modello monotraccia. Un analogo modo di procedere è stato utilizzato per l’applicazione del modello di Pacejka, del quale, per brevità, non si riportano i risultati ottenuti ed a cui si rimanda nella documentazione in allegato alla presente relazione. 65 BIBLIOGRAFIA [1] “Vehicle Dynamics – Theory and Application”, R.N.JAZAR, Spring, (2008). [2] “GNSS for Vehicle Control”, D.BEVLY, S.COBB, Artech House, (2010). [4] “Tyre modelling for use in vehicle dynamics studies”, E.BAKKER, L.NYBORG, H.B.PACEJKA, Society of Automotive Engineers, Warrendale, PA (1987). [5] “Calculating Longitudinal Wheel Slip and Tire Parameters Using GPS Velocity”, S.L.MILLER, B.YOUNGBERG, A.MILLIE, P.SCHWEIZER, J.C.GERDES, Proceedings of the American Control Conference, (2011). [6] “Using GPS for Model Based Estimation of Critical Vehicle States and Parameters”, R.A.ANDERSON, (2004). [7] “Nonlinear Tire Lateral Force versus Slip Angle Curve Identification”, (S.LUNG KOO, H.TAN, M.TOMIZUKA), Proceedings of the 2004 American Control Conference, (2004). 66