Diagrammi di Bode - LAR

Diagrammi di Bode - 1
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Controlli Automatici L
I diagrammi di Bode
Prof. Carlo Rossi
DEIS-Università di Bologna
Tel. 051 2093020
Email: [email protected]
URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi
Prof. Carlo Rossi
Controlli Automatici L
Diagrammi di Bode - 2
Diagrammi di Bode
Funzione di trasferimento in forma fattorizzata (costanti di tempo)
Funzione di risposta armonica associata
4 fattori elementari:
•
•
Prof. Carlo Rossi
Guadagno statico
Poli/zeri origine
•
•
Poli/zeri reali
Poli/zeri complessi coniugati
Controlli Automatici L
Diagrammi di Bode - 3
Vedremo che il tracciamento dei due diagrammi di Bode (ampiezze
e fasi) potrà essere eseguito sommando i diagrammi dei fattori
elementari. Questo e’ possibile grazie alle proprietà dei numeri
complessi e al fatto di graficare il valore dell’ampiezza in scala
logaritmica.
Proprietà numeri complessi
Dati quindi
Prof. Carlo Rossi
Proprietà logaritmi
complessi e
interi si ha che
Controlli Automatici L
Diagrammi di Bode - 4
fattori elementari
fattori elementari
Prof. Carlo Rossi
Controlli Automatici L
Diagrammi di Bode - 5
Fattori elementari
Ampiezza
Fase
guadagno statico
zero origine
zero reale
zeri c.c.
• I contributi dei poli si ottengono da quelli degli zeri semplicemente
cambiando segno (ribaltamento attorno all’asse delle ascisse)
• I contributi di poli/zeri multipli si ottengono semplicemente da
quelli a molteplicità singola moltiplicando per la molteplicità
Prof. Carlo Rossi
Controlli Automatici L
Diagrammi di Bode - 6
Ampiezza espressa in decibel:
Bode Diagram
Diagramma logaritmico
0
Magnitude (dB)
Ampiezza (db)
20
-20
-40
-60
-80
-180
Phase (deg)
Fase (gradi)
Diagramma semi-logaritmico
-225
Scala logaritmica
-270
-315
-360
-1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
Frequenze (rad/sec)
Prof. Carlo Rossi
2
10
(possibilità di rappresentare
con il dovuto dettaglio
grandezze che variano
in campi molto estesi)
Controlli Automatici L
•
Diagrammi di Bode - 7
Guadagno statico
Fase
Ampiezza
se
se
se
se
se
Bode Diagram
Magnitude (dB)
2
1
0
-1
-2
Phase (deg)
180
90
0
-90
-180
10
Prof. Carlo Rossi
-1
0
10
10
1
Frequency (rad/sec)
10
2
3
10
Controlli Automatici L
•
Diagrammi di Bode - 8
Zero (polo) nell’origine
Ampiezza
Fase
Bode Diagram
pendenza
Magnitude (dB)
40
20
0
-20
-40
200
Phase (deg)
100
0
-100
-200
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Prof. Carlo Rossi
Controlli Automatici L
Diagrammi di Bode - 9
Polo nell’origine : Il relativo contributo (da sommare nel calcolo
dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando
gli andamenti appena calcolati attorno all’asse delle ascisse
Bode Diagram
pendenza
Magnitude (dB)
40
20
0
-20
-40
200
Phase (deg)
100
0
-100
-200
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Prof. Carlo Rossi
Controlli Automatici L
•
Diagrammi di Bode - 10
Zero (polo) reale
Fase
Ampiezza
se
NB: andamento indipendente
dal segno di
se
Bode Diagram
pendenza
40
30
Magnitude (dB)
20
10
(valore assoluto
dello zero)
0
-10
-20
-30
-40 -2
10
Prof. Carlo Rossi
10
-1
0
10
Frequency (rad/sec)
10
1
10
2
Controlli Automatici L
..fase: caso
Diagrammi di Bode - 11
se
se
Tangente al punto di flesso
Semiretta a
Phase Diagram
120
Punto di flesso
100
Phase (degree)
80
60
40
20
0
-20
10
-2
diagr. approx
diagr. reale
Prof. Carlo Rossi
10
-1
0
10
Frequency (rad/sec)
10
1
10
2
Controlli Automatici L
..fase: caso
Diagrammi di Bode - 12
se
NB: il diagramma delle fasi è
speculare rispetto all’asse
se
Phase Diagram
Punto di flesso
20
0
Phase (degree)
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-2
10
diagr. approx
diagr. reale
Prof. Carlo Rossi
10
-1
0
10
Frequency (rad/sec)
10
1
10
2
Controlli Automatici L
Diagrammi di Bode - 13
Polo reale: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei
diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando
gli andamenti appena calcolati attorno all’asse delle ascisse
Phase (deg)
Magnitude (dB)
Bode Diagram
Bode Diagram
20
20
10
10
0
0
-10
-10
-20
-20
-30
-30
-40
-40
0
90
-45
45
-90
0
-2
10
-1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
Prof. Carlo Rossi
1
10
2
-2
10 10
-1
10
10
0
10
1
2
10
Frequency (rad/sec)
Controlli Automatici L
•
Zeri (poli) c.c.
Diagrammi di Bode - 14
Ampiezza
se
se
Magnitude Diagram
80
Pendenza
70
60
50
Magnitude (dB)
Il comportamento 4 0
per frequenze
30
prossime a
20
può discostarsi
10
molto dal
0
diagramma
-10
asintotico
-20
dipendentemente -30
10
dal valore di )
Prof. Carlo Rossi
-2
10
-1
0
10
Frequency (rad/sec)
10
1
10
2
Controlli Automatici L
…ampiezza
Diagrammi di Bode - 15
Calcoliamo la frequenza del minimo della funzione
Il valore del minimo è alla frequenza
e vale
Magnitude Diagram
30
Al calare di
la frequenza di
picco tende verso
e il valore del picco tende a
Magnitude (dB)
20
10
0
Il diagramma non dipende
dal segno di
-10
-20
-30
0
Prof. Carlo Rossi
10
Frequency (rad/sec)
Controlli Automatici L
Diagrammi di Bode - 16
Fase: caso
se
se
Tangente al punto di flesso
Phase Diagram
Phase Diagram
180
200
160
140
150
Phase (degree)
Phase (degree)
120
100
80
100
50
60
40
0
20
0 -1
10
0
10
Frequancy (rad/sec)
1
10
10
-2
10
-1
0
10
Frequency (rad/sec)
10
1
2
10
Diagramma approssimato
Prof. Carlo Rossi
Controlli Automatici L
Diagrammi di Bode - 17
Fase: caso
se
se
Phase Diagram
Phase Diagram
0
0
-20
-40
-50
Phase (degree)
Phase (degree)
-60
-80
-100
-100
-120
-150
-140
-160
-200
-180
-1
10
Prof. Carlo Rossi
0
10
Frequency (rad/sec)
10
1
-2
10
-1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
10
1
2
10
Controlli Automatici L
Diagrammi di Bode - 18
Poli c.c.: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei
diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando
gli andamenti appena calcolati attorno all’asse delle ascisse
Bode Diagram
60
Il valore del massimo è alla
frequenza
Magnitude (dB)
40
20
0
-20
-40
0
e vale
Tracciamento dei diagrammi
asintotici analogo al caso
precedente
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
10
-1
10
0
1
10
Frequency (rad/sec)
Prof. Carlo Rossi
Controlli Automatici L
Caso poli cc instabili: stesso andamento per il diagramma delle
ampiezze e ribaltamento rispetto l’asse delle frequenze per il
diagramma delle fasi
Diagrammi di Bode - 19
Bode Diagram
60
Magnitude (dB)
40
20
0
-20
Phase (deg)
-40
180
135
90
45
0
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Prof. Carlo Rossi
Controlli Automatici L
Il valore di picco
Diagrammi di Bode - 20
alla
Bode Diagram
60
frequenza
Magnitude (dB)
40
viene detto
PICCO DI RISONANZA
20
0
-20
-40
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
50
-180
45
-1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
40
35
Fisicamente rappresenta il fattore
di amplificazione massima della
coppia di poli a fronte di sollecitazioni
alla FREQUENZA DI RISONANZA
30
25
20
15
10
5
0
0
0.1
Prof. Carlo Rossi
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Controlli Automatici L
Diagrammi di Bode - 21
Bode Diagram
alla
frequenza
40
Magnitude (dB)
Il valore di minimo
60
viene detto
20
0
-20
-40
PICCO DI ATTENUAZIONE
-60
180
Phase (deg)
135
0
90
45
0
-1
10
-5
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
-10
-15
Fisicamente rappresenta il fattore
di attenuazione massima della
coppia di zeri a fronte di sollecitazioni
alla FREQUENZA DI RISONANZA
-20
-25
-30
-35
-40
-45
-50
0
0.1
Prof. Carlo Rossi
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Controlli Automatici L
40
20
20
(dB)
40
0
-20
-40
200
-40
200
100
100
0
Diagrammi di Bode - 22
0
-20
(deg)
(deg)
(dB)
Tabella riassuntiva
0
-100
-100
-200
-1
10
0
10
-200
-1
10
1
10
(rad/sec)
0
10
1
10
(rad/sec)
40
40
20
(dB)
(dB)
20
0
0
-20
-20
-40
-40
100
100
50
(deg)
(deg)
50
0
0
-50
-50
-100
-100
-1
-1
10
0
10
1
10
10
0
10
1
10
(rad/sec)
(rad/sec)
Prof. Carlo Rossi
Controlli Automatici L
Diagrammi di Bode - 23
40
20
20
(dB)
40
0
0
-20
-20
-40
-40
100
100
50
50
(deg)
(deg)
(dB)
….Tabella riassuntiva
0
-50
0
-50
-100
-100
-1
10
0
10
1
-1
10
10
(rad/sec)
0
10
1
10
(rad/sec)
40
40
20
(dB)
(dB)
20
0
0
-20
-20
-40
-40
100
100
50
(deg)
(deg)
50
0
0
-50
-50
-100
-100
-1
-1
10
0
10
1
10
10
0
10
1
10
(rad/sec)
(rad/sec)
Prof. Carlo Rossi
Controlli Automatici L
Diagrammi di Bode - 24
40
20
20
(dB)
40
0
-20
-40
200
-40
200
100
100
0
-100
-200
-1
10
0
10
-200
-1
10
1
10
40
20
20
(dB)
40
0
-20
-40
200
-40
200
100
100
0
0
10
(rad/sec)
Prof. Carlo Rossi
1
10
(rad/sec)
0
-100
-100
-200
-1
10
0
10
0
-20
(deg)
(dB)
0
-100
(rad/sec)
(deg)
0
-20
(deg)
(deg)
(dB)
….Tabella riassuntiva
1
10
-200
-1
10
0
10
1
10
(rad/sec)
Controlli Automatici L