Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone

Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di
Wheatstone
Il ponte di Wheatstone è utilizzato per la misura di resistenze con elevata
precisione; è adeguato per misure di R nell’intervallo 10-105 Ω
Strumentazione:
•Generatore di f.e.m. in corrente continua
•Tester digitale
•Cassetta di resistenze variabili tra 0.1 Ω e 9999.9 Ω,regolabile con 5 manopole
•2 resistenze da 200 Ω con tolleranza 1%
•1 resistenza da 100 Ω con tolleranza 1%
•1 resistenza da 20 Ω con tolleranza 1%
•2 resistenze di valore nominale 120 Ω ±5% e 18 ±5% kΩ di cui si deve
determinare il valore effettivo
Si applicheranno 3 metodi che utilizzano il ponte di Weathstone per la misura di
2 resistenze incognite e si confronteranno i risultati:
•metodo classico;
•metodo della doppia pesata;
•metodo del confronto o di sostituzione
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Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di
Wheatstone
Metodo classico:
B
io
iX
Rx
G
RG
A
R2
R1
i1
D
i
ε
iG Ro
i2
Variando opportunamente le
resistenze R1, R2 e R0 ⇒
condizione di “ponte bilanciato”:
quando la corrente nel
galvanometro è nulla iG = 0
ovvero VB = VD
In tali condizioni:
C
io = iX
i1 = i2
VAB = VAD ⇒ RXiX = R1i1
VBC = VCD ⇒ Roio = R2i2
Rε
RX = (R1/R2) R0
2
Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di
Wheatstone
RX = (R1/R2) R0
Conviene fissare il rapporto R1/R2 e variare R0 (cassetta di
resistenze) per ricercare la condizione di bilanciamento del ponte.
La scelta del valore di R1/R2 è determinata dal valore della
resistenza incognita RX, dall’intervallo di variabilità di R0 e dalla
sensibilità che si vuole ottenere nella misura
Errore relativo e precisione del metodo:
ln RX = ln R1 - lnR2 + lnR0 ⇒ ΔR X = ΔR1 + ΔR2 + ΔR0
RX
R1
R2
R0
La miglior stima dell’errore relativo su RX è
ε X = ε12 + ε 22 + ε 02 + ε P2
dove εP è l’errore sul bilanciamento del ponte che dipende dalla
3
sensibilità del tester
Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di
Wheatstone
Per stimare l’errore εP è necessario considerare le equazioni di
Kirchoff del circuito quando il sistema e’ sbilanciato:
B
i0 = iX + iG
Nodo B
io
i = i1 + iX
Nodo A
iX
Rx G iG Ro
ε= R1i1+ Rεi + R2i2 Maglia AHKC
0 = RXiX- R1i1 - RGiG Maglia ABD
C 0 = R i + R i - R i Maglia BCD
RG R
00
GG
22
A
2
R1
i
H
i2
i1
D
ε
Rε
K
iG = ε (RXR2 – R0R1)/A
con A = RGRε (R0+R1+R2+RX)+
+RG(R0+RX)(R1+R2)+
+Rε(R1+RX)(R2+R0)+
+R1R2(RX+R0)+RXR0(R1+R2)
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Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di
Wheatstone
iG è massima ⇒ se A è minimo ⇒ ovvero se RG= 0 e Rε= 0
⇒A=R1R2(RX+R0)+RXR0(R1+R2)
Se il ponte è bilanciato: RX = R1/R2* R0
A = R1R2(R1/R2 +1) R0+ R1/R2* R02 (R1+R2)=
=R1/R2* R0 (R1R2 + R22 + R1R0 + R2R0) = RX (R1+R2)(R0+R2)
Quindi in condizioni prossime all’equilibrio:
A = B RX con B = (R1+R2)(R0+R2) e iG = ε*(RXR2 – R0R1)/BRX =
=ε R2/B – ε R0R1/BRX
Quindi la sensibilità del metodo è:
diG
R0 R1 Cε
=ε
= 2
2
dRX
BRX RX
con C = R0R1/ [(R1+R2)(R0+R2)]
5
Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di
Wheatstone
εR
X
ΔR X R X
=
=
ΔiG
RX
Cε
Minima variazione di Rx che produce
sbilanciamenti del ponte
Si dimostra che la sensibilità è massima quando RX=R1=R2=R0
⇒C=1/4 ⇒ l’errore relativo su RX è ε(RX)=4RX/ε ∗ Δ(iG)
Esempio: RX = 100 Ω, ε = 10 V e ΔiG = 10-7 A e C = 1/4 ⇒
ε(RX) = 4 ·10-6
Nel nostro caso, i 3 metodi sono limitati dalla sensibilità del tester
digitale che è 0.1 μA per f.s. 200 μA. L’errore su RX nel metodo
classico dipende principalmente dalle tolleranze di R1, R2 e R0
Se RX è compreso nell’intervallo di valori che può assumere la
cassetta delle resistenze conviene scegliere R1 = R2 per
massimizzare la sensibilità del circuito
Per misurare resistenze di valore superiore a 9999.9 Ω si scelgono
R1 e R2 in modo che R1/R2 >1
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Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di
Wheatstone
Metodo classico in pratica:
•si realizza il circuito in figura sostituendo al galvanometro un multimetro
digitale adoperato inizialmente in modalità di voltmetro (elevata resistenza di
ingresso = 10 MΩ) cosicché è possibile evitare di utilizzare la resistenza di
protezione RG senza rischiare di danneggiarlo
B
•fissato il valore della tensione di
alimentazione ε, si diminuisce R0 a partire
dal suo valore massimo agendo
sulle manopole della cassetta di resistenze,
fino a raggiungere la condizione di ponte
bilanciato (Vmultimetro = 0)
iX
A
io
Rx G iG
R1
RG
C
R
2
La regolazione della cassetta si effettua
i1
mediante 5 manopole ciascuna
D
i
Rε
corrispondente a una posizione
decimale del valore della resistenza.
Errore di lettura della resistenza della cassetta = 0.1 Ω, ma si utilizzi
0.2Ω (in quanto un po’ usurate)
i2
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Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di
Wheatstone
•Al fine di aumentare la sensibilità dello strumento (senza rischiare di
danneggiarlo in quanto la corrente che percorre lo strumento è piccola una
volta bilanciato col voltmetro) si utilizza successivamente la modalità
amperometro del multimetro (sensibilità di 0.1 μA per fondo scala 200 μA) al
fine di verificare che la corrente nel tester è iG = 0
•Si registri il valore di R0 quando questa condizione è verificata
Utilizzare le resistenze di tolleranza 1% (2 da 200 Ω, 1 da 20 Ω) come R1 e R2,
scegliendo il valore R1/R2 in base al valore presunto di RX rispetto al massimo
valore della cassetta di resistenze e cercando di massimizzare, laddove
possibile, la sensibilità (R1 = R2)
Inoltre si eseguano 3 misure (solo per il metodo classico) con 3 valori delle
tensioni di alimentazione (es. ε~3, 6, 9 V) almeno per la prima delle 2
resistenze da misurare
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Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di
Wheatstone
Tabella di dati ed errori per il metodo classico:
ε
(Volt)
R1
(Ω)
R2
(Ω)
R0
(Ω)
RX
(Ω)
σ0
(Ω)
σ1
(Ω)
σ2
(Ω)
ΔRx
(Ω)
εRX
Eseguendo la misura per diversi valori di ε si osserva che la
sensibilità aumenta con ε
Si faccia la media pesata dei risultati
Metodo della doppia pesata
Il nome deriva dall’analogia con il metodo di misura di masse
mediante la doppia pesata che consente di rendere la misura
indipendente dalla lunghezza dei bracci della bilancia e quindi di
eliminare errori sistematici legati alla loro diversa lunghezza
spostando la massa da un piatto all’altro
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Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di
Wheatstone
Il metodo della doppia pesata in pratica:
•si bilancia il ponte e si annota il valore di R0
•si scambia la posizione di R1 con R2
•si bilancia nuovamente il ponte annotando il valore di R’0
'
Infatti: RX = (R1/R2) R0
RX = R0 R0
RX = (R2/R1) R’0
Quindi l’errore relativo è: 2ln RX = ln R0 + ln R’0
dRX dR0 dR'0
1
=
+
⇒ ε X = (ε 0 + ε 0 ') + 2ε P
⇒ 2
RX
R0
R '0
2
dove 2εP deriva dall’aver bilanciato il ponte per 2 volte. L’errore su
RX è principalmente determinato dalle tolleranze di R0 e R’0
V
(Volt)
R0
(Ω)
R’0
(Ω)
RX
(Ω)
σ0
(Ω)
σ’0
(Ω)
ΔRx
(Ω)
εRX
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Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di
Wheatstone
Metodo del confronto o di sostituzione
•Si esegue la misura di RX col metodo classico
•Si sostituisce RX con la resistenza di confronto RC di valore noto
e scelta dello stesso ordine di grandezza di RX
•Si misura RC bilanciando il ponte
RX = (R1/R2) R0
RX = RC(R0/R’’0)
RC = (R1/R2) R’’0
L’errore su RX è principalmente determinato dalle tolleranze di
R0, R’’0 e RC
I 3 metodi vanno impiegati solo laddove i valori delle resistenze
lo rendono possibile!
V
(Volt)
R0
(Ω)
R’’0
(Ω)
RX
(Ω)
RC
(Ω)
σ0
(Ω)
σ’’0
(Ω)
σC
(Ω)
ΔRx
(Ω)
εRX
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