La Sezione Aurea - Blog Scuola Secondaria I^grado Monza

La Sezione Aurea
Tesina di Chiara Maggioni
Anno scolastico 2004-2005
01/06/2015
Il fascino di 
1
Indice
Prima parte

Cenni alle ipotesi che la sezione aurea fosse nota e
applicata nelle società babilonese e egizia

Scoperta, teorizzazione e applicazione della
aurea nella società greca, “Elementi” di Euclide:
• Definizione
• Proprietà

Studi di Leonardo Fibonacci: successione di Fibonacci
• Scoperta del rapporto tra successione di Fibonacci e
sezione aurea (Keplero)

Studi di Bernoulli: la spirale logaritmica

Studi di Luca
proporzione”
01/06/2015
Pacioli:
il
perché
Il fascino di 
del
nome
sezione
“divina
2
Indice
Seconda parte
Applicazioni del rapporto aureo :
 Applicazione diretta della sezione aurea
ARTE
Modulor di Le Corbusier

Applicazione della successione di Fibonacci
BOTANICA
Quoziente di fillotassi
Spirali di divergenza

Applicazione della spirale logaritmica
ZOOLOGIA
Nautilo
Falcone
Montone
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Il fascino di 
3
In Mesopotamia si conosceva Φ ?
L’interesse per Φ nasce dallo studio del pentagramma (la stella
a cinque punte inscritta in un pentagono regolare).
Le più vecchie tracce di queste figure sono state rinvenute in
Mesopotamia e risalgono al IV millennio a.C.
Per quanto siano stati compiuti molti studi e formulate varie
ipotesi, e anche se da tavolette del II millennio risulta che i
Babilonesi
conoscessero
un
modo
per
calcolare
approssimativamente l‘area del pentagono, si è giunti alla
conclusione che Φ e le sue proprietà non fossero ancora note.
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Il fascino di 
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E in Egitto ?
Riguardo alla piramide di Cheope,
costruita nel 2480 a.C. Erodoto
scrive che fu costruita in modo che
l’area di ciascuna faccia fosse
uguale all’area di un quadrato il cui
lato fosse pari all’altezza della
piramide. Questa testimonianza
potrebbe
essere
una
prova
dell’esistenza di Φ nel progetto, ma
molto più probabilmente è frutto di
un’interpretazione arbitraria.
Forse è possibile che Φ sia presente nell’ Osereion, ritenuto
cenotafio di Seti I (1312-1298 a.C.), ma in realtà risalente al 300
a.C., periodo in cui il rapporto aureo era già noto.
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Il fascino di 
5
La storia di Φ in Grecia
In Grecia, in quattro secoli, a partire da Talete, le scoperte
matematiche sono state grandissime.
Lo studio di Φ è cominciato, probabilmente in ambienti pitagorici, per
i tentativi di costruire figure piane e solide.
Si sono cercate applicazioni del
rapporto aureo tra le varie
dimensioni del Partenone (V a.C.).
Alcuni sostengono che la sua
larghezza e la sua altezza siano in
rapporto aureo tra loro, ma è più
facile pensare che gli architetti
abbiano basato il progetto su
principi estetici diffusi ai tempi.
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Il fascino di 
6
Platone conosceva ?
TETRAEDRO
OTTAEDRO
ESAEDRO
I cinque solidi platonici sono gli
unici le cui facce sono tutte
equilatere e uguali tra loro, e
inscritti in una sfera.
DODECAEDRO
Il rapporto aureo occupa una
posizione
importante
nelle
dimensioni e nelle simmetrie di
questi poliedri. Per esempio:
- nel dodecaedro con lato unitario
S = 15Φ3-Φ
V= Φ3/(6-2Φ)
- nell’icosaedro di lato unitario
V= 5Φ5/6
ICOSAEDRO
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Il fascino di 
7
Euclide -“ Elementi “
Alessandria d’Egitto , inizio III a.C.
Si può dire che un segmento sia stato diviso secondo la
proporzione estrema media quando l’intero segmento
sta alla parte maggiore così come la maggiore sta alla
minore
C
A
B
AB : AC = AC : BC
Costruzione geometrica
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Il fascino di 
8
Q
R
A
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C
Il fascino di 
B
9
Euclide -“ Elementi “
Alessandria d’Egitto , inizio III a.C.
x
1
C
A
B
(1 + x) : x = x : 1
(1+ x) / x = x
x2 = x +1
x2 –x –1= 0
1+5
 = x1 =
2
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1-5
x2=
2
Il fascino di 
10
=
1.6180339887
2862135448
8475408807
7263544333
0675208766
1361443814
8644492410
2544877066
3416625624
1531714101
1317952368
7845878228
8610283831
8818638513
7159934323
1164562990
3427775927
9471234145
7878017889
9741106926
1076738937
01/06/2015
4989484820
6227052604
5386891752
8908659593
8925017116
9758701220
4432077134
4780915884
9407589069
1704666599
9427521948
9110976250
2683303724
3162038400
5973494985
9816290555
7862561943
1702237358
9219902707
0886742962
6455606060
4586834365
6281890244
1266338622
9582905638
9620703222
3408058879
4947049565
6074998871
7040002812
1466979873
4353056783
0302696156
2926752631
5222165791
0904094762
2085247903
2082750513
0577278616
7690389532
2675756052
5921...
Il fascino di 
6381177203
9707207204
2353693179
3226613199
1043216269
5445474924
8467885098
2400765217
1042762177
1761356006
0022878569
1700250464
1653392473
2866752946
1322298101
5240602017
1218156285
0086883829
1968198615
3172777520
0917980576
1893911374
3180060766
2829026788
5486262963
6185695364
7433944221
0575179788
1117778053
7087480710
9782977834
3382437764
1671112115
5490681131
7261070596
2799747175
5122248093
5230459264
1437803149
3536139362
11
Proprietà del Rapporto Aureo -1
Il rapporto aureo, ed esso solo, ha la caratteristica di avere
un quadrato uguale a sé stesso più uno e un reciproco uguale a
sé stesso meno uno.
Φ = 1.6180339887…
Φ2 = 2.6180339887…
1/ Φ= 0.6180339887…
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Il fascino di 
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Proprietà del Rapporto Aureo -2
=
1
1
x =
1
1
x2 = 1
1
x2 = 1 + x
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1
1
1
1
1
1
1
1
1
1...............
...
...
Φ
Il fascino di 
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Proprietà del Rapporto Aureo -3
=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x =1
x=1
1
1
1
x
1
1
1
1
1
...
x2 = x + 1
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...
Il fascino di 
Φ
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Proprietà del Rapporto Aureo -4
Il rapporto tra il lato maggiore e il lato minore di questo rettangolo è pari
a Φ.
Sottraendo a questo rettangolo un quadrato di lato uguale al lato minore,
si otterrà un rettangolo uguale al precedente, e così via. Le dimensioni del
rettangolo figlio sono minori di quelle del rettangolo genitore di un fattore
pari a Φ.
Ottenere un rettangolo simile al primo, sottraendo dalla sua area un
quadrato, è possibile solo con un rettangolo aureo.
Tracciando due diagonali che si
intersecano in ciascuna coppia
di rettangoli, si trova che
tutte passano per un punto,
chiamato “occhio di Dio”.
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Il fascino di 
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Qual è il nesso tra  ed il Pentagramma?
PENTAGONO
d/l=Φ
TRIANGOLO AUREO
AB/BC=Φ
AD/DC=Φ
GNOMONE AUREO
BD/BE=1/Φ
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Il fascino di 
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Leonardo Fibonacci
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Il fascino di 
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Osservazioni di Fibonacci
Ogni mese una coppia di conigli produce una nuova coppia di conigli
in grado di riprodursi a sua volta nel mese successivo.
Fibonacci osservò che in ogni mese a partire dal terzo il numero
di coppie adulte è uguale alla somma del numero di coppie adulte
nei due mesi precedenti. Le coppie giovani hanno invece la stessa
successione con un mese di ritardo.
La successione 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89…in cui ciascun
termine (a partire dal terzo) è uguale alla somma dei due
termini precedenti è chiamata Successione di Fibonacci
Fn+2 = Fn + Fn+1
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Il fascino di 
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Proprietà dei numeri di Fibonacci - 1
Procedendo lungo la successione di Fibonacci, il rapporto tra un
termine e il suo precedente oscilla attorno a un numero al quale si
avvicina sempre più: il rapporto aureo.
Con l’aumentare di n
Fn+1/Fn = Φ
Questa proprietà è stata scoperta nel 1611 da Keplero.
Questo rapporto si spiega tornando alla frazione continua. Le
successive approssimazioni del rapporto aureo con la suddetta
frazione continua sono identiche a numeri di Fibonacci sempre
più grandi, divisi per il predecessore.
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Il fascino di 
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Proprietà dei numeri di Fibonacci - 2
Sommando un numero dispari di prodotti di successivi numeri di
Fibonacci, si ottiene il quadrato dell’ultimo numero dei prodotti in
questione.
32 = 9
es. (1x1)+(1x2)+(2x3)= 9
Questa proprietà può essere rappresentata in modo geometrico
(quadratura dei rettangoli)
2x3
3x5
1x2 1x1
5x8
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Il fascino di 
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Altre proprietà dei numeri di Fibonacci
La somma di dieci numeri di Fibonacci consecutivi è sempre pari a
undici volte il settimo numero del gruppo
La cifra dell’unità di ripete con periodicità sessagesimale.
Le ultime due cifre si ripetono con una periodicità pari a 300.
Le ultime tre con una periodicità di 1500.
Per qualunque numero di cifre da tre in poi la periodicità è uguale a
15 moltiplicato per 10 elevato a una potenza pari al numero di cifre
meno1.
I matematici hanno trovato una formula per calcolare l’ennesimo
numero di Fibonacci.
Fn =
1
(Φn + (1/Φ)n )
5
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Il fascino di 
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Studi di Bernoulli
Bernoulli (1654-1705) dedicò un trattato, intitolato “Spira Mirabilis”
alla spirale logaritmica, che è la sola ad avere un’importante
proprietà: crescendo non cambia forma.
Crescendo per “accumulazione interna”, la spirale logaritmica diviene
sempre più ampia e la distanza tra un giro e i successivi aumenta
sempre più allontanandosi dal polo. In particolare, avanzando secondo
angoli della medesima ampiezza, la distanza dal polo aumenta con una
proporzione costante.
Il collegamento tra spirale logaritmica e
rapporto aureo è assai stretto.
La spirale si sviluppa all’interno di un
rettangolo aureo (o anche di un
triangolo), attorno al polo che coincide
con il cosiddetto Occhio di Dio.
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Il fascino di 
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Studi di Pacioli
Luca Pacioli pubblicò nel 1509 il trattato in tre volumi “De Divina
Proportione”, in cui esponeva in modo dettagliato le
caratteristiche e le proprietà del rapporto aureo e una
disquisizione sui solidi platonici e altri poliedri; e manifestava il
desiderio di rivelare il rapporto aureo come segreto dell’armonia
delle forme visibili.
Nel quinto capitolo del primo volume l’autore elenca alcune
ragioni per cui “Divina Proportione” è il nome più adatto a
definire il rapporto aureo:
•
“Che tale proporzione sia una sola e non più.” L’unicità è
l’epiteto supremo di Dio.
•
Il rapporto aureo chiama in causa tre lunghezze, così come
Dio è uno e trino.
•
L’irrazionalità di Φ e l’impossibilità per l’intelletto umano di
comprendere la divinità sono equivalenti.
•
L’autosimilitudine
del
rapporto
aureo
rinvia
all’onnipresenza e invariabilità di Dio.
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Il fascino di 
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Applicazioni del Rapporto Aureo
Applicazioni
attraverso
Sezione
Aurea
Successione
di Fibonacci
Spirale
logaritmica
Modulor
LeCorbusier
Quoziente di
fillotassi
Zoologia
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Il fascino di 
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LE CORBUSIER, MODULOR
La ricerca di Le Corbusier di una proporzione standardizzata culminò
nell’ introduzione del Modulor, che si presumeva fornisse alla scala
umana
una
misura
di
armonia,
universalmente
applicabile
all’architettura e alla meccanica.
Il Modulor è una scala dimensionale in cui confluiscono aspetti
antropometrici e principi matematici.
Un uomo con il braccio alzato fornisce
quelli che Le Corbusier considera punti
decisivi di riferimento: la pianta del
piede, il plesso solare, la sommità del
capo, l’estremità delle dita della mano
protesa verso l’alto. Questi punti danno
luogo a tre intervalli decrescenti che sono
in rapporto aureo tra loro.
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Il fascino di 
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Il MODULOR
Mediante
ulteriori
suddivisioni
armoniche delle tre misure base, Le
Corbusier è giunto poi a definire due
serie di gamme dimensionali interagenti
tra loro: la serie rossa e la serie blu.
La dimensione chiave della serie rossa
è data dall’altezza ideale dell’uomo
(stimata da Le Corbusier in 1,829 m).
La dimensione chiave della serie blu
corrisponde invece all’altezza dell’uomo
con il braccio alzato, 2,260 m.
In tutte e due le serie, ogni numero è uguale alla somma dei due precedenti.
Ciò significa che entrambe sono riconducibili alla serie di Fibonacci
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Il fascino di 
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Il MODULOR e gli spazi vitali
Con il Modulor viene ufficialmente codificato il principio unificatore
universale che regola la vita ideale dell'uomo ideale, dall'architettura
alla meccanica, dalla forchetta alla città.
Le misure in altezza ricavate dal Modulor sono finalizzate alla
progettazione degli spazi residenziali e degli oggetti di uso comune, ad
esempio:
• cm 27 e 43 per due tipi di
sedile
• cm 70 per il bracciolo
• cm 86, 113 e 140 per tre
tipi di appoggio
• cm 183 per l'uomo in piedi
• cm 226 per l'uomo a
braccio alzato
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Il fascino di 
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Il Quoziente di Fillotassi
Nel regno vegetale le foglie sui
rami e i rami lungo il tronco
tendono ad occupare posizioni
che
rendono
massima
l’esposizione al sole, alla pioggia e
all’aria. Perciò un fusto verticale
produce foglie e rami secondo
schemi regolari, nella maggior
parte
dei
casi
con
una
componente rotatoria.
Il fenomeno ha nome scientifico
di FILLOTASSI: il quoziente di
fillotassi indica la porzione di
angolo giro tra una foglia e la
successiva, e assume valori come:
1/2, 1/3, 2/5, 3/8…
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Il fascino di 
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Il Quoziente di Fillotassi
Malgrado questi schemi fossero già
stati scoperti e studiati da tempo,
Keplero fu il primo a intuire il
rapporto tra il quoziente di
fillotassi e i numeri di Fibonacci.
Questo, infatti, si può esprimere
come rapporto fra numeri alternati
di Fibonacci.
Tali
schemi
di
allineamento
spiraliforme si osservano anche in
altre strutture, come le squame
delle pigne dell’abete o dell’ananas,
o come i semi dei girasoli.
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Il fascino di 
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Perché una disposizione secondo tali numeri?
Le foglie si dispongono lungo una stretta spirale, chiamata “spirale
vegetativa”. Nuove foglie avanzano lungo la circonferenza formando
un angolo pressappoco costante, “angolo di divergenza”, prossimo a
137.5°. Quest’angolo è a volte chiamato angolo aureo, in quanto
esplementare di quello ottenuto dividendo 360° per Φ (225.5°).
Un angolo di divergenza come quello aureo, irrazionale, assicura che
le foglie non si allineino, riducendo lo spreco di spazio e sfruttando
al massimo acqua, aria e luce.
Le disposizioni della fillotassi rappresentano le condizioni di energia
minima per gemme che si respingono reciprocamente.
Le esigenze di omogeneità (che la struttura sia ovunque la stessa) e
di autosimiglianza ( che la struttura ingrandita o rimpicciolita
conservi lo stesso aspetto), limitano il numero di strutture possibili
e sono soddisfatte dalla struttura descritta.
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Il fascino di 
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La spirale logaritmica in natura
La spirale logaritmica si può ritrovare in arte, nei capelli raccolti
della Leda di Leonardo, in natura nelle forme delle galassie o
degli uragani, ma in particolare nelle strutture di alcuni animali.
Il
fatto
che
questa
spirale
crescendo non cambia forma ha
fatto sì che fosse adottata dal
nautilus nella sua conchiglia. Questo
crescendo si costruisce camere
sempre più spaziose, sigillando quelle
inutilizzate. Così la conchiglia si
allunga, il raggio aumenta in
proporzione, ma la forma del guscio
resta immutata.
Lo
stesso
principio
vale
per
l’accrescimento delle corna del
muflone e delle zanne degli elefanti.
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Il fascino di 
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Conclusione
Il rapporto aureo è un prodotto della geometria,
un’invenzione umana.
Ma gli uomini non immaginavano in quale magico
regno di fate ed elfi quel prodotto li avrebbe
portati.
Se la geometria non fosse stata inventata, mai
avremmo immaginato l’esistenza del rapporto aureo.
Ma forse, alla fine, esso ci avrebbe ugualmente
fatto visita, magari travestito da breve programma
per computer.
Livio Mario
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Il fascino di 
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BIBLIOGRAFIA:
• Livio Mario, La Sezione Aurea. Storia di un numero e di un
mistero che dura da tremila anni. – Rizzoli
• www.sectioauera.com
• www.liceoberchet.it
• www.math.it
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