Progettazione e ottimizzazione di una testata per

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Università degli Studi di Palermo
Facoltà di ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Corso di Principi e metodologie
della progettazione Meccanica
del Prof Giuseppe Sala
Progettazione e ottimizzazione
di una testata per motore endotermico a
quattro tempi con meccanismo di
distribuzione desmodromico
AA. 1998- 1999
Giovanni Lo Iacono
Davide Tumino
INDICE
ANALISI FUNZIONALE
- Il coefficiente di efflusso
- Il coefficiente di riempimento
- Il diagramma della distribuzione
- La caratteristica di coppia
- Le leggi di alzata
4
10
13
16
19
21
Capitolo 1 – CINEMATICA
- Le camme
- Curve di Bezier
- Determinazione del diagramma delle alzate
- Costruzione dei profili: valvola di aspirazione
- Rilievo dei diagrammi di alzata originari
- Fasatura
- Valvola di scarico
23
27
31
36
40
43
46
50
Capitolo 2 – LA FASATURA
53
Capitolo 3 – DINAMICA
- Valvola
- Bilanciere
- Molla
- Ipotesi di vincolo
- Verifica dei cuscinetti
- Studio dell’albero iperstatico
- Storia di carico
- Forze centrifughe
- Fatica
- Diagramma di Goodman
- Considerazioni sulle concentrazioni di tensione
58
62
62
63
66
72
73
81
95
99
101
103
Capitolo 4 – USURA PER FATICA SUPERFICIALE
106
Capitolo 5 – RECUPERO GIOCO VALVOLA
- Valutazione del gioco minimo per deformazioni termiche
- Valutazione del gioco minimo per deformazioni centrifughe
115
117
121
Capitolo 6 – LE VIBRAZIONI
- La massa oscillante
- La rigidezza del sistema
129
139
140
Capitolo 7 – OTTIMIZZAZIONE
149
Capitolo 8 – TOLLERANZE
164
2
3
INTRODUZIONE,
ANALISI FUNZIONALE
4
INTRODUZIONE, ANALISI FUNZIONALE
La funzione degli eccentrici è quella di comandare l’alzata delle valvole in fase di aspirazione
e di scarico. Attraverso le valvole passa l’aria, che, essendo un fluido comprimibile, è
soggetta ad una diminuzione della densità connessa alla perdita di carico che un qualsiasi
fluido subisce in una tubazione in corrispondenza di un’irregolarità geometrica: si parla cioè
di una perdita concentrata differente da quella distribuita perché la caduta di pressione in
questione è di un altro ordine di grandezza.
Per fissare le idee si prenda in considerazione il caso in esame: il condotto di aspirazione può essere assimilato
ad una tubazione dello stesso diametro. Il numero di Reynolds da un’idea delle perdite distribuite.
Re =
ρVD 1⋅ 200 ⋅ 0,02
=
= 200.000
µ
18e − 6
dove
ρ (densità) =1 kg/mc
V (velocità aria al limite subsonico) ≅ 200 m/s
D (diametro medio condotto di aspirazione sul restringimento) =20 mm
5
µ (viscosità cinematica dell’aria ) = 18 e-6 Ns/m2
µ (viscosità cinematica dell’aria ) = 18 e-6 Ns/m2
In corrispondenza di tale valore del n. di Reynolds si è in presenza di moto altamente turbolento:
Log Re≅5
Con una rugosità relativa e/D minima (si suppone che le superfici siano ben lavorate),
dall’abaco di Moody si legge un coefficiente f = 0,005
La perdita di carico è
R=
4 ⋅ f ⋅ L w2
4 ⋅ 0,005 ⋅ 20e − 3 ⋅ 200 2
⋅
=
≅ 40m
g⋅D
2
9,8 ⋅ 20e − 2 ⋅ 2
Considerando invece, come effettivamente avviene, un rapporto di espansione sulla valvola
β=p2/p01
6
Il carico è:
Ho =
p0 v 20
+
γ0
2g
in presenza di una laminazione a temperature uguali agli estremi, e per un gas perfetto:
T0 = T1 =>
p0
p
= 1
γ0
γ1
T0
 V 2  V0 2
 =
La perdita di carico è ∆H = ∆ 
2
g
2g


T1
 A ρ
1−  0 0
  A 1ρ1



2
 V 2
≅ 0
2g

  1 2 
1− 
 
  4 ⋅ β  
Essendo 4 il rapporto area cilindro/area valvola (per un due valvole avente valvole con
diametri pari a circa la metà di quello del cilindro. Con β=0,8 ad esempio
∆H ≅
200 2
20
  1 2 
1−    = 1800m
  3  
Si osservi che la perdita concentrata qui considerata è parecchio simile alla cosiddetta perdita
di Borda, o perdita per brusco allargamento pari all’altezza cinetica del moto perduto ed usata
in presenza di fluidi incomprimibili:
PerditadiBorda =
(∆V )2
2g
7
La differenza è imputabile alla comprimibilità dell’aria, ma è chiaro che anche nel caso
dell’aria il motivo della perdita di carico è lo stesso.
In base a questa considerazione di carattere assolutamente qualitativo, è possibile dedurre che
sarebbe opportuno prestare la massima cura nel disegno della camera di combustione per
favorire per quanto possibile uno sbocco “dolce” ai gas di ricarica (o di scarico).
Il nostro studio vuole però soffermarsi su di un altro aspetto della progettazione dell’impianto
di distribuzione, anch’esso legato indirettamente alla fluidodinamica del motore, ma con una
superiore possibilità di manipolazione, e cioè i diagrammi di alzata delle valvole.
Il diagramma di alzata rappresenta lo spostamento assiale delle valvole in funzione
dell’angolo di rotazione dell’albero a camme oppure dell’angolo di manovella. La posizione
di riferimento, lo zero, è quella in cui il fungo della valvola poggia sulla sua sede garantendo
la tenuta ermetica della camera di combustione.
I diagrammi di alzata sono determinati direttamente e più o meno univocamente dalla
geometria degli eccentrici di comando, le camme, ed hanno parecchi gradi di libertà
progettuali, quali:
-
anticipo aspirazione
-
ripidità delle rampe di accostamento
8
-
valore dell’alzata massima
-
durata del periodo di alzata
-
valore dell’incrocio tra le fasi di scarico ed aspirazione
E’ chiaro che, nel flussaggio, il rapporto di espansione di cui sopra è tanto più alto quanto più
piccola è la luce di passaggio consentita al fluido, il cosiddetto “TIME AREA”:
più tempo ci metterà a crescere il valore di alzata e maggiore sarà la perdita di carico media
durante tutta la durata del flussaggio. Si ricordi infatti che, in meccanica dei fluidi vale la
legge empirica:
∆H = α
v2
2g
dove α è un fattore di forma tabellato in funzione del tipo di discontinuità geometrica.
Esigenze funzionali suggeriscono dunque rampe ripide, ma questo va in contrasto ad altri
aspetti come ad esempio quello costruttivo o quello realizzativo: rampe ripide significano
grossi gradienti di velocità delle valvole, cioè accelerazioni elevate. Dalla accelerazione
dipende la gran parte delle sollecitazioni strutturali, le vibrazioni, ma soprattutto il valore
delle pressioni Hertziane sulle camme, valore che oltre una certa soglia, porta al rapido
deterioramento delle superfici di contatto per usura.
Ciò non toglie che anche volendo realizzare delle camme “spinte” non sempre esse sono
compatibili con il cinematismo meglio con la sua realizzazione pratica. Può capitare ad
esempio che un albero con camme troppo grosse abbia problemi di alloggiamento nelle sedi o
di montaggio, oppure che un albero con camme troppo piccole, in un sistema a bilancieri non
consenta il corretto posizionamento degli assi dei bilancieri.
Aspetto
funzionale
Aspetto
Aspetto
costruttivo
realizzativo
Aspetto
produttivo
9
Insomma una progettazione metodica guarda contemporaneamente ai diversi aspetti del
problema per evitare di accorgersi a posteriori dell’incompatibilità di due aspetti fondamentali
di un progetto.
Il coefficiente di efflusso
Quando in una tubazione un fluido attraversa un orifizio, su di un certo tratto a cavallo del
restringimento geometrico il valore della pressione si abbassa perché la velocità aumenta. Se
l’orifizio fosse ideale il valore della pressione tornerebbe a valle del restringimento a quello
originario. L’idealità, condizione irraggiungibile auspicata da tutti i progettisti, sta nel
disegnare la tubazione in modo che essa si adatti perfettamente al tubo di flusso naturale
dell’aria, le cui sezioni dipendono dal valore istantaneo della densità in una evoluzione
isoentropica.
Applicando l’equazione di Bernoulli per moto permanente e per fluidi comprimibili tra
sezione di monte e sezione ristretta, risulta:
k −1


1
k p1   p2  k 
2
2
v2 − v1 =
⋅ 1 −  
2g
k − 1 γ 1   p1  


(
)
Occorre imporre la continuità della portata (si parlerà di portate di massa),
10
Q p = γ 1v1 A1 = γ 2v2 A2 ;
ponendo m=A1/A2 il rapporto di strozzamento tra monte e sezione ristretta, sarà:
v1 = m
γ2
v
γ1 2
Il rapporto tra i pesi specifici è funzione del rapporto di espansione, seguendo la politropica
isoentropica:
1
γ 2  p2  k
= 
γ 1  p1 
per cui l’equazione di Bernoulli diventa:
k −1
2
2 


k
v2 
k p1   p2  k 

2  p2 




1− m    =
⋅ 1−
p1   k − 1 γ 1   p1  
2 g 





L’espressione della portata in funzione delle pressioni p2 e p1 e dei pesi specifici sulle sezioni
di controllo, degli elementi geometrici caratteristici dell’apparecchio sarà dunque:
Qt = γ 2 v2 A2 =
p 
γ 1  2 
 p1 

1 − m 2 




1
k
A2
k −1


k p1   p 2  k 
2g
⋅ 1−  
(formulazione idraulica)
2

k − 1 γ 1   p1 
k 


p2  

p1  

Questa portata è quella teorica, perché il procedimento seguito per calcolarla suppone che il
fluido segua una trasformazione ideale.
Nella realtà la trasformazione è si adiabatica, ma non può essere reversibile per le inevitabili
perdite di carico in corrispondenza del restringimento, pertanto, a parità di caduta di pressione
tra sezione di monte e sezione ristretta, la portata effettiva sarà minore della teorica.
Si definisce coefficiente di efflusso il rapporto tra la portata effettiva e la portata teorica:
ε=
Qe
Qt
In alcuni studi fluidodinamici tale coefficiente si intende come rapporto tra la sezione
contratta del fluido e la sezione geometrica della tubazione in corrispondenza del
restringimento. Tale approccio non cambia nulla dal punto di vista numerico perché ingloba il
coefficiente di efflusso nel termine A2. Suggerisce però una riflessione: se la perdita di carico
11
è associata alla contrazione della vena fluida, allora è presumibile che essa dipenda solo da
fattori geometrici, e non termodinamici. Studi sperimentali dimostrano infatti che il
coefficiente di efflusso si stabilizza a partire da un certo valore del numero di Reynolds in
campo turbolento.
La trattazione che precede riguarda degli apparati, come gli orifizi, con una geometria
regolare, spesso assialsimmetrica, ma è applicabile a qualsiasi discontinuità dove si registri
una caduta di pressione, purché la portata effettiva venga misurata sperimentalmente.
Nel caso del sistema di aspirazione del motore a combustione interna il moto non è
permanente, ma una analisi in condizioni stazionarie dà buone indicazioni sulla permeabilità
al flusso del sistema. Inoltre se la perdita di carico sul sistema fosse, come prima accennato
solo dipendente dalla geometria, allora si potrebbe ragionevolmente supporre che in un
intervallo infinitesimo di tempo si instaurino le condizioni stazionarie dal punto di vista della
perdita concentrata.
La seconda sezione di controllo può essere l’area di cortina, definita come l’area cilindrica
avente per base la sede valvola e per altezza l’alzata, oppure la stessa area del cilindro. In
dipendenza dalla scelta di tale riferimento si imposterà il corretto rapporto di strozzamento.
Si presuppone che la pressione sull’area di cortina sia la stessa che vige sul resto del sistema a
valle: secondo questo modello per il brusco allargamento non si riesce a recuperare l’altezza
cinetica perduta. Le condizioni di pressione che in un orifizio si verificano solo sulla sezione
ristretta, sul sistema di aspirazione si mantengono anche a valle di essa.
12
Una ulteriore prova dell’analogia con gli orifizi si può dedurre dagli studi condotti da W, A.
Woods e S. R. Khan sul sistema di aspirazione: essi constatarono infatti che, da un certo
valore del numero di Reynolds in poi, il coefficiente di efflusso si manteneva costante per
fissato valore dell’alzata, e dunque per fissata geometria del sistema.
Il coefficiente di riempimento
Le perdite di carico, inducendo una caduta di pressione e di densità, riducono di fatto la massa
di miscela che istantaneamente entra nel cilindro del motore a combustione interna.
Consideriamo ora la formula che esprime la potenza istantanea di un motore in funzione della
coppia C:
P = C⋅
2πn
n
= η ⋅ M b ⋅ Hi ⋅
60
60m
dove
-
η è il rendimento globale del motore
-
Mb è la massa di combustibile introdotta per ciclo
-
Hi è il potere calorifico inferiore del combustibile
-
n è il regime del motore espresso in giri per minuto
-
1/m è il rapporto tra corse di espansione e cicli del motore (2 per un motore a 4 tempi)
Mb si può esprimere come:
13
M b = λv ⋅ ρ aria
V
α
dove
-
V è la cilindrata
-
ρaria è la densità atmosferica dell’aria (intesa come comburente)
-
α la dosatura, cioè il rapporto aria – combustibile
Il coefficiente di riempimento λv esprime il rapporto
M aria
, ossia
ρ aria ⋅ V
λv= Massa d’aria introdotta/ Massa d’aria teoricamente introducibile
Tale coefficiente è espressione numerica di una perdita, la perdita di parte della massa d’aria
teoricamente introducibile.
Tale perdita avviene però a monte del ciclo termodinamico, quindi non si perde una parte di
energia (l’energia chimica) già trasformata. Per tale ragione non si parla qui di “rendimento”,
bensì di “coefficiente”.
Inoltre, per la comprimibilità dell’aria, sfruttando l’inerzia delle masse fluide è possibile che
la pressione dell’aria sia mediamente, sull’intero ciclo di aspirazione, superiore a quella
atmosferica, facendo sì di fatto che il coefficiente di riempimento superi l’unità. Questo per
un rendimento equivarrebbe a contraddire il secondo principio della termodinamica.
La massa d’aria introdotta durante un ciclo di aspirazione è funzione della portata istantanea
di massa,
ritardo
∫Q
Ma =
volumetrica
⋅ ρ aria ⋅ dt
anticipo
(la densità dell’aria si intenda calcolata istantaneamente a valle della valvola di aspirazione).
Ecco quale è l’andamento della portata di volumica teorica di miscela aria combustibile in
funzione dell’angolo di manovella sul motore che si vuole studiare, al regime di 6000 rpm:
mm -m /sdal/s
20,00
-90
-60
ciclo di aspirazione
15,00
10,00
5,00
0,00
-30-5,00 0
30
60
90
120
150
-10,00
-15,00
-20,00
180
210
240
velocit à pist one
fase assoluta motore [deg]
port ata t eorica
270
300
14
Tale andamento sarebbe quello reale se il fluido fosse incomprimibile, dovendo un tale fluido
rispettare l’equazione di continuità nella forma (nota come teorema di Leonardo):
Velocitàs tan tuffo ⋅ Areas tan tuffo = Velocitàaria ⋅ Areasezionedipassaggio (a densità costante)
In tali condizioni il riempimento sarebbe unitario anche in presenza di grosse perdite di
flussaggio: la perdita di carico si limiterebbe alla pressione, incidendo sulla PME ed
indirettamente sul rendimento globale, ma non sulla massa aspirata. Per questo motivo nel
grafico precedente non si riporta il diagramma di alzata, che diversamente ha molta
importanza in presenza di un fluido comprimibile, “regolando” la valvola la portata, proprio
come se fosse una valvola attuatrice. Naturalmente si tratta di una regolazione non voluta, ma
imposta dal sistema di distribuzione.
Occorre osservare a questo punto che esiste una differenza fondamentale tra un sistema chiuso
come il motore a combustione interna ed un normale circuito idraulico aperto. In un circuito
di tale tipo infatti si conoscono le condizioni di monte e di valle,
e le perdite sono
numericamente note. Il sistema potrebbe dirsi impropriamente “isostatico”, cioè vi sono tante
equazioni quante incognite, ed in questo caso una regolazione di portata si può fare inducendo
una caduta di pressione. Nel sistema chiuso, nel caso idraulico l’incomprimibilità rende nota a
priori la pressione (se la perdita è nota), anche in un sistema dinamico, ma non consente una
regolazione di portata (si pensi al funzionamento delle pompe volumetriche). Nel caso
pneumatico invece, in regime stazionario l’indeterminazione di una delle tre variabili dei gas
rende le incognite sovrabbondanti rispetto a ciò che è calcolabile o tabellabile nel caso
idraulico, per cui si rende necessaria una seconda misura sperimentale (la temperatura). In un
sistema dinamico l’introduzione dell’ulteriore variabile tempo alza di un altro grado il sistema
numerico: non essendo possibile, ne pratica, una ulteriore misura, si utilizza allora un
approccio “per tentativi”, impiegando condizioni di congruenza esterne al sistema, o meglio
allargandolo anche ai condotti di aspirazione, che, in un sistema essenzialmente dinamico
come il motore - per la natura stessa del manovellismo di spinta -, giocano un ruolo
fondamentale nella nascita delle caratteristiche più specifiche di un propulsore.
15
Nel caso reale dunque
-
Velocità
-
Densità
-
Pressione
cambiano rispetto al caso ideale, mantenendo tra esse le relazioni determinate dalle equazione
di Navier-Stokes, dall’equazione dell’energia e dalla legge dei gas ideali. Prescindendo dalla
risoluzione dell’indeterminazione della temperatura, rimane il fatto che la perdita di pressione
è causata da una irregolarità geometrica, e si rende indispensabile la misura di tale perdita,
sperimentale o simulata che sia.
Il diagramma della distribuzione
Si mostra in figura il diagramma limite,
quello cioè secondo il quale le fasi
verrebbero
idealmente
confinate
nei
corrispettivi intervalli angolari cinematici:
come ben si sa la fluidodinamica, per effetto
della comprimibilità, ha infiniti gradi di
libertà di corpo deformabile, mentre gli
organi
meccanici
su
grandi
scale
si
considerano infinitamente rigidi. Occorre
dunque sfruttare le inerzie della vena fluida
per eliminare le piccole imperfezioni del
motore. Se infatti si volessero limitare le
perdite di flussaggio solo con una opportuna
scelta dei condotti di aspirazione, questi dovrebbero avere sezioni infinite.
Per fissato regime l’andamento della portata volumica e massica dipenderà dalla legge di
alzata della valvola di aspirazione. Si può prevedere che sarà più schiacciato e più spostato a
destra rispetto all’andamento del caso teorico (impropriamente detto così).
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Il prolungarsi del ciclo di aspirazione oltre il PMI è vincolato alla effettiva possibilità che il
flusso di miscela si mantenga ancora positivo, cosa probabile agli alti regimi, ma improbabile
ai bassi, laddove, non essendo elevato l’effetto della comprimibilità, l’andamento effettivo
della portata assomiglierà parecchio a quello calcolato per fluido incomprimibile, generando
un riflusso della ricarica nel condotto di aspirazione. Nel grafico si vede un possibile
andamento della portata volumica. Si noti che spesso l’istante di chiusura della valvola di
aspirazione arriva quasi ai 270° di manovella, fase nella quale l’accelerazione dello stantuffo
cambia segno per ritornare positiva. Una simile fasatura dell’impianto della distribuzione è
più votato per motori che girino alti, motori da allungo, che non richiedano grossi valori di
coppia “ai bassi”.
30
ciclo di aspirazione
velocità pistone
velocità valvola
mm-m/s-m/sq-dal/s
20
-60
alzata
portata teorica
portata effettiva
accelerazione stantuffo/1000
10
0
-30
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
-10
-20
-30
-40
fase assoluta motore [deg]
Questo significa che
per ciascun regime
si ha un diverso
valore
del
coefficiente
di
riempimento,
in
17
dipendenza dai parametri costruttivi esposti all’inizio della trattazione.
Come si può osservare nella figura adiacente, ciascuno dei valori di λv è determinato dalla
diversa risposta che il sistema da in termini di pressione alla sollecitazione dinamica del
manovellismo.
In relazione ai regimi preferenziali occorre mettere a punto il diagramma della distribuzione
che,
nei
motori
a
fasatura
variabile, può addirittura adattarsi
ad un ampio range di cicli. Nella
figura…
l’inviluppo
delle
tangenti nei punti di massimo
agli andamenti del coefficiente di
riempimento per diverse fasature,
descrive la curva ideale del λv
realizzata mediante un eccentrico
bidimensionale.
Nello specchietto che segue si riportano degli esempi di regolazione della fasatura.
18
La caratteristica di coppia
E’ chiaro che, conoscendo i legami funzionali tra i valori di tutti i parametri e la risposta del
sistema, questi possono essere impostati convenientemente: è cioè in teoria possibile
“confezionare su misura” la caratteristica di coppia di un motore. L’impiego di una misura
accurata delle perdite di carico, unita all’impiego di software avanzati per il calcolo del
coefficiente di riempimento, può aiutare a fare delle previsioni non solo qualitative, ma anche
quantitative sul comportamento di un propulsore.
Ecco di seguito riportati i dati relativi al motore oggetto dello studio gentilmente fornitici
dalla DUCATI MECCANICA. Si tratta di un motore motociclistico, bicilindrico, che adotta
un sistema di distribuzione desmodromico.
Dati propulsore
Ducati 650 ala azzurra
alesaggio
corsa
82
obliquità biella
61,5
cilindrata unitaria V anticipo asp
324,61791
getto m ax.
53
138
0,246
ritardo valvola asp
diam etro carburatori
eta trasm issione
rapp com pressione ro
75,16929123
lunghezza condotto aspirazione
36
alfa stechiom etrico
0,9
10
volum e utileV1
255,2434771
d cond aspirazione
300
28
altezza cam era di com bustione
13
5
Questo motore ha dato nelle prove al banco i seguenti risultati nelle condizioni ambientali
indicate nello specchietto:
Condizioni di prova
-
Potenza massima 40,3 kW a 8400 rpm
Coppia massima 55,6 Nm a 5900 rpm
tem peratura di prova °C
26
pressione atm osferica bar
1,02
densità benzina kg/m c
733
densità aria kg/m c
1,168345277
19
Rilievi strumentali (in condizioni ambientali su indicate)
giri/1000
4,84
5,20
5,52
5,88
6,19
6,53
6,88
7,23
7,56
7,93
8,14
8,37
8,64
8,82
9,35
consumo specifico
riempimento % pressione media effettiva bar
coppia alla ruota Nm potenza alla ruota kw potenza all'albero Kw
coppia all'albero
consumo
Nm specifico all'albero g/kwh
52,00
52,70
54,10
54,80
54,10
52,90
51,70
50,30
48,50
47,10
46,60
45,40
43,50
41,40
38,10
309,00
321,00
316,00
309,00
299,00
307,00
311,00
319,00
324,00
326,00
321,00
322,00
327,00
349,00
358,00
96,08
101,15
102,22
101,25
96,72
97,11
96,14
95,94
93,96
91,81
89,44
87,41
85,05
86,39
81,56
10,27
10,40
10,68
10,82
10,68
10,44
10,21
9,93
9,57
9,30
9,20
8,96
8,59
8,17
7,52
46,80
47,43
48,69
49,32
48,69
47,61
46,53
45,27
43,65
42,39
41,94
40,86
39,15
37,26
34,29
23,71
25,81
28,13
30,35
31,55
32,54
33,51
34,26
34,54
35,18
35,73
35,80
35,40
34,40
33,56
26,34
28,68
31,26
33,73
35,05
36,16
37,23
38,06
38,38
39,09
39,70
39,77
39,34
38,22
37,29
dag/kw h
30,90
32,10
31,60
30,90
29,90
30,70
31,10
31,90
32,40
32,60
32,10
32,20
32,70
34,90
35,80
Nel seguente grafico riassuntivo delle prove si riporta anche l’andamento del coefficiente di
riempimento calcolato mediante la formula: C = η ⋅ M b ⋅ Hi ⋅
n
60m
Che si può scrivere anche nella forma
C ⋅ 2π
n
H
n
= η ⋅ λv ⋅ i ⋅ δ a ⋅ V
60
α
60m
dove il prodotto η·Hi è pari all’inverso del consumo specifico, qb i cui valori sono noti.
Dunque
λv = C ⋅ 2π
qb
α
δ a ⋅V
Occorre invece, mancando dati sperimentali in merito, fare delle ipotesi sul valore della
dosatura: si può, per semplicità, assumerlo costante e pari a quello stechiometrico, 15, ma è
meglio, visto il tipo di propulsore non certo “economico”, sbilanciarsi arricchendo la miscela
fino a 13. Del resto, già così il coefficiente di riempimento supera l’unità su di un range di
quasi 2000 giri, tra l’altro a ridosso del punto di coppia massima, cioè dove il motore “chiede”
di più (in realtà il motore dà di più perché chiede il massimo e viceversa). Comunque è da
osservarsi, solo incidentalmente, il fatto che, almeno sui motori a carburatore elementare, od
anche con dispositivi elementari di correzione del rapporto aria-combustibile, tale valore
dipende anch’esso da un coefficiente di efflusso, quello del getto benzina, motivo per cui è
variabile sull’arco di coppia. Interesse fondamentale degli odierni costruttori di motori è
dunque quello di assicurare la costanza di tale valore, non solo per garantire il funzionamento
di dispositivi di servizio come il catalizzatore, ma anche per rendere agevole il calcolo
istantaneo del valore della massa d’aria aspirata, in dipendenza dal quale regolare l’anticipo di
20
accensione, principale responsabile del rendimento di combustione, e quindi del rendimento
dell’intero motore.
Banco prove
160,00
60,00
coppia Nm
riempimento %
potenza kw
consumo specifico
120,00
55,00
50,00
45,00
coppia
100,00
40,00
80,00
35,00
30,00
60,00
25,00
40,00
20,00
20,00
0,00
4,00
Potenza-consumo specifico dag/kwh
140,00
15,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
10,00
girix1000
Come si può notare il diagramma di coppia si mantiene per lo più parallelo a quello del
coefficiente di riempimento, cosa che fa pensare che quest’ultimo sia uno degli elementi
maggiormente influenti appunto sulla caratteristica di coppia.
Le leggi di alzata
E’ importante stabilire una legge di alzata che, compatibilmente ai limiti strutturali, cerchi i
limiti in fatto di rigidità e di durata della massima alzata. Durante la massima alzata infatti, le
perdite di carico sulla valvola sono ridotte al minimo essendo più lineare la traiettoria del
flusso di aria, con meno brusche variazioni di direzione. Di conseguenza si può migliorare il
coefficiente di riempimento a parità di altri parametri come anticipo, incrocio, ecc…
Si riportano i diagrammi relativi ad un motore BMW e quelli relativi ad un motore Ducati a
distribuzione desmodromica. E’ evidente lo sforzo di renderli “rettangolari”. Nel primo
grafico si vede il confronto con la versione precedente, mentre nel secondo si raffigura il
confronto qualitativo con un sistema di distribuzione tradizionale.
21
22
1 - CINEMATICA
23
1 - CINEMATICA
Il cinematismo costituente il comando desmodromico che si vuole realizzare, è costituito
da un albero ad asse parallelo all’asse motore. Da questo viene trasmessa la potenza
mediante una cinghia dentata in gomma, collegata ad una ruota dentata posta all’estremità
dell’albero a camme. Per ogni valvola esistono due moventi, uno di apertura e l’altro di
chiusura, collegati ad altrettanti cedenti, in questo caso dei bilancieri che trasmettono un
moto lineare alterno alle due valvole.
Ogni valvola è collegata a due cedenti, che ruotano attorno ai loro assi, comandati dai
relativi eccentrici.
Per l’apertura il collegamento che trasforma il moto rotatorio in lineare, è realizzato a mezzo
di un accoppiamento strisciante tra un piattello posto in testa alla valvola ed una estremità
sagomata e lavorata del bilanciere.
Per la chiusura il sistema è analogo, ma questa volta sulla valvola è inserito un cilindretto con
una superficie di battuta accoppiata all’estremità del bilanciere di chiusura, sagomata a
forcella.
24
Uno degli eccentrici è positivo, cioè allontana da se il cedente quando questo si accoppia con
l’arco attivo del movente. L’altro eccentrico sarà evidentemente negativo, dovendo
assecondare il moto della valvola durante il periodo di alzata. Si può dire che l’eccentrico di
chiusura svolga nel comando desmodromico la medesima funzione svolta dalla molla nei
sistemi tradizionali, però per la sua rigidezza, infinitamente più grande di quella della molla, è
opportuno che il meccanismo mantenga un gioco da ripartire sui vari accoppiamenti istante
per istante, altrimenti una compenetrazione geometrica tra due elementi della catena, darebbe
luogo ad uno stato tensionale di precarico che usurerebbe rapidamente le superfici a contatto,
assorbendo al contempo una notevole potenza dal sistema.
Occorrerà dunque:
- scegliere la disposizione degli elementi della catena cinematica (assi di albero a camme, dei
bilancieri, assi delle valvole)
- fissare la geometria dei bilancieri
- scegliere il profilo dell’eccentrico di apertura in base alle esigenze funzionali
- adattare il profilo del movente di chiusura alla legge di alzata imposta dal movente di
apertura.
E’ importante osservare che la disposizione di tali elementi è sempre subordinata alla effettiva
possibilità di realizzazione del cinematismo, dovendo rispondere questo ad esigenze di:
assemblabilità, facilità di montaggio, norme generali per la costruzione di sedi, appoggi, ecc.
La disposizione degli organi del cinematismo si presenta come in figura:
25
Mentre il singolo cinematismo si presenta globalmente così:
Parecchi sono i gradi di libertà progettuali:
-
interassi eccentrici i
26
-
angoli di interasse α tra gli interassi ed il riferimento
-
posizioni del centro di curvatura sui bilancieri
-
raggi curvatura bilancieri R
-
angolo asse valvola τ
-
braccio valvola b
-
angolo di braccio ζ
cui vanno aggiunti i parametri per la determinazione della geometria degli eccentrici.
Le camme
Sono caratterizzate da diversi elementi geometrici, ognuno dei quali ne rappresenta una
funzione specifica in termini di movimento delle valvole.
In figura si notano:
-
cerchio di base,tratto A-B
-
rampa di accostamento, di raccordo o di
ripresa del gioco, tratto B-C
-
fianco, tratto C-D
-
testa o nasello, tratto D-E
Va anche considerato il cerchio fittizio
determinato dal gioco sul cerchio di base.
La funzione del gioco è quella di recuperare gli
effetti delle dilatazioni termiche, ed è
indispensabile, a meno che non si disponga di
punterie idrauliche.
Il cerchio di base rappresenta il diametro della
camma nella fase in cui il cedente non riceve
spinte radiali dal movente, la valvola è chiusa e vi è gioco sul meccanismo.
27
Nella rampa avviene l’accostamento tra movente e cedente. In base ala regolarità del moto del cedente in tale
tratto, si riscontreranno maggiore o minore rumorosità derivanti da una ripresa istantanea del gioco. Occorre
dunque controllare la velocità d’urto o minimizzare il gioco.
In corrispondenza del fianco C-D si hanno le maggiori sollecitazioni inerziali che
determinano pressioni Hertziane ed anche vibrazioni derivanti dall’elasticità del sistema. Su
questo tratto si ha l’effettiva alzata che culmina nel punto di massimo sul tratto D-E, dove si
ha la massima accelerazione negativa. In E si annulla la velocità, e sul fianco D’-C’ si
ripropone la stessa situazione nel passaggio alle alzate nulle.
Il diametro del cerchio di base determina il raggio minimo di curvatura dell’eccentrico e non
influisce sulle caratteristiche cinematiche: si
può al limite elevare il valore dell’alzata
massima diminuendolo. Deve essere il più ridotto possibile ai fini dell’ingombro, e il più
ampio possibile per evitare pressioni Hertziane troppo elevate. Pressioni Hertziane elevate
rompono il film di olio lubrificante determinando uno stato di usura abrasiva. Inoltre
accelerano i processi di fatica sub-superficiale, il pitting, fenomeno di propagazione delle
microcricche per effetto della penetrazione di olio ad elevata pressione fino all’apice delle
cricche.
Il diagramma di alzata si ricava con vari metodi, di tipo grafico od analitico, e
successivamente, per derivazione, si ottengono diagrammi di velocità ed accelerazione.
In figura si riporta un diagramma in cui le tre funzioni vengono rappresentate
contemporaneamente, in ascissa vi è l’angolo di rotazione dell’albero a camme. Si tratta di un
grafico preso da un vecchio testo: l’interesse principale era inizialmente la limitazione ai
valori massimi dell’accelerazione, e per questo la derivazione è piuttosto semplificata. Oggi
invece si tende a controllare le escursioni del valore dell’accelerazione, utilizzando anche la
derivata terza dello spostamento, il jerk: esso deve essere il più basso possibile essendo indice
28
della variabilità delle forze trasmesse da movente a cedente, e quindi il principale
responsabile della fatica, sia strutturale che superficiale.
A gioco nullo il diagramma di alzata rispecchierebbe esattamente quello teorico. In realtà la
presenza del gioco fa si che la valvola non si muova prima della ripresa del gioco, quindi nel
diagramma di alzata la linea dello zero viene traslata verso valori positivi appunto del valore
di tale gioco.
Effettivamente il diagramma di alzata andrebbe determinato a caldo, laddove parte del gioco
viene recuperato dalle deformazioni termiche sul cinematismo. Bisogna osservare che anche
anticipo ed incrocio mutano rispetto ai valori “a freddo”. Questo scostamento dei parametri
effettivi da quelli teorici è una delle principali cause della limitazione all’incremento teorico
delle prestazioni nella elaborazione dell’apparato della distribuzione.
Anche le deformazioni di tipo strutturale causano errori di tale genere: per effetto dello
schiacciamento delle superfici a contatto, il moto del cedente non sarà infinitamente rigido,
come supposto in sede di calcolo dei diagrammi di alzata, motivo per cui questi non saranno
mai aderenti a quelli teorici.
Studi avanzati prevedono di dare ai lobi una forma tale da compensare tali deformazioni in
modo tale da mettersi nelle condizioni più vicine a quella ideali. Per questo motivo è
necessario usare dei modelli matematici molto versatili per la definizione dei profili, in grado
29
cioè di modellare minuziosamente gli eccentrici: l’ideale sarebbe avere un profilo ad infiniti
gradi di libertà.
In passato si usavano molteplici profili: policentrici, parabolici, trapezi, ecc.. Oggi vi sono
anche quelli ad accelerazione imposta che derivano il profilo dei lobi per integrazione
dell’accelerazione per avere l’alzata, ed in seguito per inviluppo del profilo o per tentativi. A
questo approccio si adattano bene i profili polinomiali. Essi sono abbastanza complessi e per
questo difficilmente eseguibili su macchine utensili tradizionali, ma notevoli sono vantaggi di
calcolo e la versatilità: rispetto ai policentrici non danno discontinuità sul jerq, ovvero punti
angolosi nei diagrammi di accelerazione, perché sono continui almeno fino alla derivata terza.
Gli esponenti del polinomio sono infatti molto elevati, nell’ordine delle decine, e ciò assicura
una enorme variabilità dei profili a parità di cerchio base ed alzata massima.
Evidentemente le alzate calcolate devono essere realizzabili in termini di modellabilità dei
profili e di efficienza del cinematismo: in un sistema tradizionale i valori dell’accelerazione
sono limitati dalla caratteristica della molla di contrasto, mentre ciò non avviene in un
comando bilaterale. Su di un sistema tradizionale la molla deve reagire all’accelerazione
negativa delle masse alterne con una forza che tenda a tenerle attaccate al profilo della
camma: se ciò non avvenisse si verificherebbe il fenomeno dello “sfarfallamento”.
Di contro le camme polinomiali hanno lo svantaggio, soprattutto rispetto alle policentriche; di
essere poco intuitive dal punto di vista matematico. Ad esempio un polinomio a quattro
esponenti è del tipo:
h = A ⋅ϑ a + B ⋅ϑ b + C ⋅ϑ c + D ⋅ϑ d
Chiaramente è parecchio difficile intuire gli effetti numerici sommati di esponenti e
coefficienti sui valori della funzione.
Su una camma policentrica le posizioni dei centri indicano esattamente i vari tratti, dei quali si
è parlato in precedenza. Ognuno di essi ha delle caratteristiche ben precise, e con l’esperienza
è possibile modellare un lobo quasi a mano in base alle caratteristiche funzionali richieste dal
sistema da realizzare. Si sa ad esempio che ritardando la rampa di accostamento di una decina
di gradi si sposta il regime di funzionamento ottimale verso l’alto di un migliaio di giri,
rendendo il motore più “da allungo” che non “da spunto”. Con l’utilizzo del calcolatore si
compensa la poca intuitività delle camme polinomiali, perché con un calcolo per tentativi si
riesce comunque a raggiungere lo scopo. Però i tempi di calcolo si allungano
esponenzialmente, secondo la teoria degli errori, con il grado di precisione richiesto. Un
30
programma commerciale può arrivare ad eseguire 200.000 analisi prima di “sfornare la
soluzione”.
In questa sede si propone un profilo che è effettivamente una variante del profilo polinomiale:
un profilo costituito da curve parametriche.
Della camma non viene espressa l’alzata in funzione dell’angolo, bensì si esprimono le
coordinate planari dei punti del profilo in funzione di un parametro ausiliario che non ha una
sua consistenza fisica.
Genericamente una curva parametrica piana si esprime nella forma:
p = p (u )
 x
p= 
 y
Si è detto che in questo caso si vuole esaltare il controllo delle zone del profilo. Il modello matematico più adatto
è allora quello delle curve approssimanti a controllo globale, le cosiddette “curve di Bezier”.
Curve di Bezier
Le curve di Bezier sono descritte da particolari equazioni parametriche. Tali tipi di
equazioni sono particolarmente importanti perché modificando i valori dei parametri è
possibile aggiornare iterativamente la forma delle superfici o delle curve per adattarle alla
particolari esigenze del progetto. Con una curva parametrica tradizionale non è però possibile
prevedere se le variazioni dei parametri avvengono nella direzione voluta dal progettista; Le
curve di Bezier, proprio per la loro particolare forma presentano questa caratteristica, ci
danno, cioè, la possibilità di controllare, prevedendole, le variazioni della curva.
La curva di Bezier è definita in funzione di n+1 punti di controllo di coordinate nel
piano, ed al variare delle coordinate dei punti di controllo variano le coordinate dei punti della
curva e, quindi, la sua forma. Importante notare che non tutti i punti di controllo giacciono
sulla curva, ma ogni punto esercita una influenza sulla curva che potrebbe dirsi di attrazione,
nel senso che un punto e più o meno vicino alla curva a seconda della sua molteplicità. Infatti
proprio per la formulazione parametrica della funzione è possibile assegnare ad un punto una
molteplicità maggiore di uno in modo da avere la curva più vicina ad esso.
31
E’ possibile esprimere analiticamente l’equazione di una curva chiusa imponendo che
il punto iniziale e finale sia lo stesso e quindi in pratica assegnando ad esso una molteplicità
pari a due. Se si vuole inoltre che la continuità in quel punto sia del secondo ordine, cioè che
non ci sia un punto angoloso, occorre che i lati estremi dei due poligoni adiacenti ai punti di
controllo estremi giacciano sulla stessa retta.
Le curve di Bezier sono esprimibili a mezzo della seguente espressione, cioè in funzione della
posizione di n+1 punti di controllo p0, p1, p2, p3
n
r
r
p (u ) = ∑ p i Bi ,n
(1)
i =0
dove
Bi ,n = C (n, i ) ⋅ u i ⋅ (1 − u )
n −i
(2)
C (n, i ) =
n!
i!⋅(n − 1)!
proiettando la (1) sugli assi si ottiene
x (u ) = x0 B0,3 (u ) + x1 B1,3 (u ) + x2 B2, 3 (u ) + x3 B3,3 (u )
y (u ) = y 0 B0,3 (u ) + y1 B1, 3 (u ) + y 2 B2, 3 (u ) + y 3 B3,3 (u )
z (u ) = 0
con ovvio significato dei simboli.
p o l in o m i d i B e r n s t e i n
I valori di Bi,n possono calcolarsi per mezzo delle (2):
1 ,2
1
0 ,8
0 ,6
0 ,4
0 ,2
0
0
0 ,2
0 ,4
0 ,6
0 ,8
1
1 ,2
32
Espressione polinomiale equivalente alla (1) sempre nel caso di 4 punti di controllo è la
seguente:
r
r
r
3 r
2 r
p(u ) = (1 − u ) p0 + 3u (1 − u ) p1 + 3u 2 (1 − u ) p2 + u 3 p3
x (u ) = (1 − u ) x0 + 3u (1 − u ) x1 + 3u 2 (1 − u ) x 2 + u 3 x3
3
2
y (u ) = (1 − u ) y 0 + 3u (1 − u ) y1 + 3u 2 (1 − u ) y 2 + u 3 y3
3
2
z (u ) = 0
L’andamento della curva risultante sarà il seguente:
Siano dati ad esempio gli estremi della poligonale di controllo
r
p 0 = [0;1;0]
r
p 1 = [1.5;1.2;0]
r
p 2 = [0.9;0;0]
r
p 3 = [2;0;0]
Si osservi l’andamento della curva che ne deriva:
curv e d i B e zier
1,4
risulta sempre tangente ai tratti estremi della
1,2
poligonale di controllo.
1
0,8
Un osservazione molto importante va fatta alla
x
p unti di controllo
0,6
0,4
dolcezza
della
curva,
tradotta
in
dolcezza
di
0,2
funzionamento nel caso pratico in questione. Essa è
0
0
0 ,5
1
1,5
2
2,5
garantita dal controllo che su di essa esercitano tutti i punti contemporaneamente. Per
convincersene tentiamo di interpolare la curva con una polinomiale: in questo caso sarà
sufficiente una sola perchè la parametrica risulta ad un sol valore in x.
curve di Bezier
La
1,4
miglior
1,2
rappresentazione
1
ottenuta
0,8
è
una
x
punti di controllo
0,6
Poli. (x)
polinomiale del quinto
0,4
ordine:
risulta
0,2
chiaramente
0
0
0,5
1
-0,2
1,5
2
2,5
insufficiente a rendere
graficamente la parametrica.
33
Le polinomiali che rappresentano le camme sono più sensibili avendo gradi più elevati. Tali
polinomi non sono però completi per esigenze di semplicità di utilizzo, diventano dunque
numericamente instabili, dipendendo da coefficienti molto piccoli.
Una curva di Bezier ha il pregio di rendere malleabile la curva pur mantenendo basso
l’ordine della polinomiale, che è sempre di grado n (dove n+1 sono i punti di controllo), con
la stabilità numerica che ne deriva.
eccentrico di comando apertura aspirazione
20
15
10
5
superiore
punti di controllo
inferiore
0
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
riposo
riposo
-5
-10
-15
-20
Nel caso delle camme occorre costruire una curva chiusa, non una curva ad un sol valore, e
per far questo si può usare una poligonale di controllo chiusa, oppure affiancare più curve: un
arco di circonferenza in corrispondenza del cerchio di riposo, e due curve di Bezier sull’arco
attico. Queste vengono raccordate ai tratti circolari con continuità di primo ordine, imponendo
cioè al tratto della poligonale di controllo adiacente tangenza uguale a quella dell’estremo del
r
cerchio base. Affinché una seconda curva di Bezier abbia una continuità di ordine 1 in p 3 è
sufficiente che la poligonale di controllo di tale curva abbia il primo segmento parallelo
all’ultimo segmento della precedente.
Nel caso delle camme tale continuità si tradurrà in continuità della velocità, mentre con
costruzioni più complesse si raggiungono continuità di ordine superiore. Si osservi che una
curva giace all’interno della porzione convessa definita dalla poligonale di controllo. Per tale
ragione è opportuno che anche tale poligonale, derivante dall’unione delle due poligonali, sia
convessa.
34
Ecco cosi dimostrate le potenzialità teoriche di tale soluzione rispetto alle precedenti: esse
uniscono il pregio dell’intuitività delle camme policentriche alla dolcezza delle polinomiali.
Inoltre tale costruzione può essere considerata una esemplificazione del procedimento per inviluppo, quello cioè
che ricava i profili dell’eccentrico partendo dall’alzata o addirittura dall’accelerazione. Del resto, come si
osserva nelle figure seguenti, l’inviluppo di tante rette o di tanti cerchi, corrispondenti al moto relativo della
punteria, piana o curva, rispetto alla camma, è poi quello dell’utensile che deve costruire la camma stessa.
Questo suggerisce qualcosa
anche sulla realizzabilità alle
macchine utensili: i disegni di
una camma policentrica
devono quotare centri e
curvature. In questo caso si
potrà semplicemente
convertire le coordinate dei
punti della parametrica in un
DATABASE da fornire ad
una macchina a controllo
numerico, oppure, non
disponendone, si può usare
una macchina “a copiare”,
35
avendo realizzato in qualche modo un esemplare, o ancora si potrebbe costruire il profilo policentrico più simile
al dato per realizzarlo con una macchina più semplice senza mandare in pensione i vecchi metodi.
Determinazione del diagramma delle alzate
Usando curve parametriche aventi come parametro una variabile diversa dalla anomalia, occorre per ciascuno dei
punti del profilo, determinare l’anomalia rispetto ad un riferimento solidale alla camma. Per determinare il
riferimento solidale la camma viene fotografata nell’istante zero nel quale si trova al momento della
modellazione. Gli assi coordinati hanno origine sull’asse dell’albero: dalla figura si deriva la convenzione sui
segni. Per praticità si prende come asse di riferimento solidale l’asse che all’istante zero si trova sovrapposto
all’asse x del riferimento fisso. Dalla figura risultano:
ρ = x2 + y2
 y
π − ϕ = arc tan  
x
β=
dρ
ρ (ϕ + dϕ ) − ρ (ϕ )
=
ρ ⋅ dϕ
ρ ⋅ dϕ
Avendo preso una spaziatura del parametro sufficientemente fitta da poter affermare che:
36
∆ρ ≅ dρ
∆ϕ ≅ dϕ
I bilancieri vengono analogamente costruiti con due curve di Bezier il cui punto di incontro si fa cadere in
corrispondenza dell’inizio dell’arco attivo del movente ruotato nel sistema fisso dell’angolo desiderato, detto
rotazione di primo contatto. Le due poligonali di controllo del bilanciere partono da tale punto con tangenza
uguale alla corrispondente sulla camma. In tal modo si assicura una certa dolcezza di ingranamento. Nella realtà
i bilancieri sono costruiti con semplici archi di cerchio, poiché l’incidenza della loro geometria sui diagrammi di
accoppiamento camma bilancere al primo contatto
camma
controllo bilancere
20
arco attivo
asse
15
asse
10
5
0
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
-5
-10
-15
-20
alzata non giustifica l’impiego di procedimenti di generazione più complessi. Comunque, in sede teorica, vista la
possibilità di elaborare al meglio il cinematismo, si utilizzano curve di Bezier anche per i bilancieri, potendosi
comunque considerare gli archi di circonferenza delle particolari curve parametriche.
Ciascuno dei punti che si vedono in figura marcati con un indicatore corrisponde ad un valore del parametro u, e
le variabili angolari, e tutte le grandezze cinematiche (alzata, velocità e accelerazione), vengono calcolate in
corrispondenza di tali punti.
Per i bilancieri il calcolo delle variabili β’, ϕ’, ρ’ è analogo al caso delle camme, con la differenza che il sistema
di riferimento solidale del bilanciere non è arbitrario ma dipende dalla posizione che questo assume quando si
appoggia sul cerchio di base.
37
Si mostra di seguito il procedimento matematico mediante il quale si accoppiano le rotazioni dell’albero a
camme θ a quelle del bilanciere θ’.
Si osservi in figura il triangolo scaleno formato istante per istante dall’interasse i e da i due vettori ρ e ρ’: con
facili passaggi si ricava che
δ = β '− β ,
ed in base al teorema di Euclide:
ρ 2 + ρ ' 2 +2 ρ 2 ρ ' 2 cos(δ ) = i
Risolvendo per tentativi questa equazione nelle variabili ϕ e ϕ’, essendo β e β’ loro funzioni, per ciascuno degli
accoppiamenti ϕ - ϕ’ ricavati si avrà:
ϑ +ϕ − β −
π
2
+ β '+
π
2
− π = ϑ '+ϕ ' ,
che esprime la condizione di equitangenza alla normale comune n-n.
camma
bilancere
asse
asse
Questa equazione si può mettere nella forma
38
(ϑ − ϑ ') + (ϕ − ϕ ') + (β '− β ) = π
∆ϑ + ∆ϕ = π − δ
nelle due incognite ϑ e ϑ’. Bisogna allora sfruttare la conoscenza della disposizione degli organi:
π
2
− ε + γ = ϑ '+ϕ '
ρ ⋅ sin(δ ) = i ⋅ sin(γ )
con le quali il sistema è risolvibile.
Una volta noti gli accoppiamenti ϑ ϑ’ si risale al diagramma di alzata
mediante la costruzione grafica
seguente:
posto λ
=
π
2
−ξ −τ
b(ϑ ) ⋅ cos(ϑ ) + h ⋅ cos(λ ) = b
b(ϑ ) ⋅ sin(ϑ ) = h ⋅ sin(λ )
dalle quali si ricava:
h=
b
 sin(λ )
+ cos(λ )
tg (ϑ )


39
Costruzione dei profili: valvola di aspirazione
Vediamo più nel dettaglio il procedimento di costruzione analizzando le variabili di ingresso del sistema. Ecco il
quadro di controllo del programma realizzato con un foglio di lavoro EXCEL:
camma di apertura aspirazione
14,2
7,8
115
89,7
5,7
15
13
13
-4
23,17
raggio cerchio riposo
alzata
arco riposo inf
arco riposo sup
ord.p di massimo
distanza p2
distanza p7
y3
y6
romax
inclinazione interasse
braccio
angolo di braccio
angolo asse valvola
rot.eccentrico primo contatto
rot.bilancere sperimentale
verso rot. bilancere c=1;d=0
regime
-20
-15
-10
0
5
10
15
20
-10
-15
-20
20
camma
controllo bilancere
15
arco attivo
sperimentale
10
5
0
distanza p3
distanza p6
-9
-13,5
p8
-5
-5
-20
9,5
5,3
p7
controllo ecc.
0
-25
-15
-10
-5
profilo attivo sulla camma
p2
15
5
38
17,5
35
-10
30
101
11
1
10000
bilancere
p1
x,y
10
accoppiamento eccentrici
interasse eccentrici
20
-19,1
-15,5
3
2
-13,5
-15
0
5
10
15
20
25
-5
-10
-15
-20
-25
Ciascuno dei valori in rosso rappresenta un input del sistema:
-
CAMMA:
10 gradi di libertà
-
BILANCIERE:
10 gradi di libertà
-
ACCOPPIAMENTO : 8 gradi di libertà (escludendo il regime)
40
Nel disegno dell’eccentrico si possono dunque variare le durate delle varie fasi (riposo, rampa, ecc.) le tangenze
nei vari punti. L’alzata massima si ottiene per differenza tra ro max e raggio di riposo. L’alzata è l’ascissa del
punto di unione delle due curve parametriche. Anche l’ordinata di tale punto fa parte degli input della geometria
dell’eccentrico, e da esso dipende la posizione angolare del punto di massima alzata.
Le voci “distanza pi” riguardano l’estensione dei tratti estremi della poligonale di controllo (si ricorda che la
parametrica è sempre tangente a tali tratti), mentre la pendenza o è da specificarsi esplicitamente, oppure
coincide con la pendenza dei tratti adiacenti.
In tutto il sistema possiede 28 gradi di libertà, ma l’eccentrico ne possiede solo 10, paragonabili agli 8 gdl delle
camme polinomiali.
Per attuare il procedimento sovraesposto per il calcolo delle alzate, si dispongono i dati necessari al calcolo
dell’interasse in vettori riga per l’eccentrico, ed in vettori colonna per il bilanciere. Quindi per ogni coppia ϕ - ϕ’
si calcola l’interasse: quello che presenta il minimo errore rispetto all’interasse reale determina l’accoppiamento.
Ecco di seguito riportato una griglia di calcolo nella quale agli accoppiamenti di minimo errore viene attribuito il
valore 1.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
logica
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t
u
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
41
In base a tale griglia vengono determinati tutti gli accoppiamenti tra i parametri di interesse per semplice somma
di prodotti riga per colonna, come se la griglia fosse una matrice di identità distorta per effetto della curvatura
delle superfici striscianti.
0,9
errori
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
errori
0,3
0,2
0,1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
posizione cam m a
E’ anche possibile calcolare l’errore del sistema in base all’errore nel calcolo dell’interasse:
errorepercent = 100 ∑
errori int erasse
n ⋅ int erasse
(n è il numero di accoppiamenti)
42
Rilievo dei diagrammi di alzata originari
Per stabilire i diagrammi sull’apparato di serie si esegue, per la valvola di aspirazione, un rilievo sperimentale
con goniometro e comparatore centesimale, come si vede in figura.
Alzata
12
10
alzata
sperimentale
8
mm
6
4
2
0
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
-2
Fase
Come prova della bontà del metodo di calcolo messo a punto si effettua
anche un rilievo sull’eccentrico di apertura aspirazione tracciando su
carta millimetrata il profilo. La stessa operazione viene condotta sul
bilanciere originale .
43
20
15
10
5
superiore
punti di controllo
0
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
inferiore
riposo
riposo
sperimentale
-5
-10
-15
-20
Si effettua anche il rilievo sperimentale degli angoli ζ,τ,α e dell’interasse i, relativo al solo bilanciere di apertura
aspirazione. A fianco sono riportate tutte le grandezze necessarie al calcolo teorico del diagramma di alzata. Di
sotto si riportano i due diagrammi, quello sperimentale e quello teorico, a confronto.
Alzata
12
10
alzata
alzatamedia
sperimentale
8
velocità di alzata
6
mm
6
4
4
m/sec
2
2
0
-20
0
-2
velocità
mediata
0
20
-20
0
40 20
4060
60
80 80
100
100
120
120140
160140
180
160
180
-2
Fase
-4
fase
-6
A questo punto è possibile calcolare le altre grandezze cinematiche derivanti dall’alzata. Il metodo di
derivazione utilizzato è numerico, risente per cui dell’errore intrinseco del metodo per punti che è stato
44
adoperato nella determinazione del diagramma di alzata. Si è ritenuto opportuno mediare alcune volte i valori di
alzata prima di calcolare la velocità e così di seguito per l’accelerazione.
I valori elevati di accelerazione che si riscontrano all’inizio sono dovuti a quell’errore numerico di cui sopra. Si
considerano per cui massimi solo i massimi locali, in questo caso i valori vicini a 10000.
Accelerazione valvola
25000
20000
m/secq
15000
10000
5000
0
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
-5000
-10000
fase distribuzione
Per la particolare disposizione del comando desmodromico, occorre ora accoppiare alla camma di apertura la
relativa camma di chiusura: esse agiscono contemporaneamente sui relativi cedenti, i bilancieri, e la valvola
costituisce il punto di incontro dei due cinematismi. Per l’infinita rigidezza della valvola l’intero cinematismo
costituisce un meccanismo, cioè un cinematismo ad un solo grado di libertà.
Il cinematismo di chiusura funziona in modo simile a quello di apertura. La prima differenza sta nel fatto che,
trattandosi di una camma negativa, occorre cambiare il segno all’alzata prima di confrontarla con quella della
camma di apertura. Esiste poi un’altra differenza: la camma di apertura nella prima fase di alzata va contro il
bilanciere, facendolo ruotare concordemente all’albero a camme. Diversamente quello di chiusura richiama in un
certo senso a se il bilanciere coniugato, che ruota in tale fase in modo discorde all’albero. Questa differenza da
all’apertura la possibilità di avere una rampa più ripida. A livello di calcolo tale differenza comporta alcune
modifiche nei segni di alcuni angoli. Nel quadro di controllo del foglio di lavoro si specifica la modalità alla
voce verso di rotazione del bilanciere. Analogamente all’altro caso occorre rilevare gli angoli ζ,ττ,α
α e l’interasse
i.
Una volta impostati tali parametri si può modellare la camma di chiusura con una precauzione: il diagramma di
alzata relativo alla chiusura si deve mantenere sempre al disopra di quello relativo all’apertura. Il movente di
chiusura deve sempre garantire alla valvola di potersi aprire un po’ di più rispetto a quanto non faccia il movente
di apertura. Perché si verifichi ciò infatti, il profilo di chiusura deve essere più piccolo di quello nominale, e di
conseguenza insiste meno sulla valvola, garantendole il gioco necessario al corretto funzionamento. Il valore del
gioco è dato proprio dalla differenza di alzata per ciascun angolo di rotazione dell’albero a camme, ed il suo
45
valore va stabilito in base alle deformazioni termiche che intervenendo sul meccanismo a regime, favoriscono il
recupero dei giuochi.
Ecco quale profilo ha dato i migliori risultati:
camma di chiusura aspirazione
alzata
30
arco riposo inf
20
arco riposo sup
10
ord.p di massimo
distanza p2
0
-20
-10
0
10
20
-10
distanza p7
-20
y3
y6
-30
ritardo angolare su camma apertura
anticipo di gioco
romax
23,32
-8,9
76
90
-2
9,3
12
17
-17
-170,13
20
23,32
30
12
Fasatura camme
10
mm
8
chiusura
6
apertura
4
2
0
0
30
60
-2
90
120 150 180 210 240 270 300
Fase
33
160
30
-20
30
70
-25
0
10000
braccio
angolo di braccio
angolo asse valvola
verso rot. bilancere c=1;d=0
regime
bilanciere
p2
17
15
distanza p3
distanza p6
p7
p8
controllo
bilancere
arco attivo
20
10
0
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-10
-20
p1
30
camma
0
-3,5
-30
-20,5
-20
5
3
-26
-31
-40
Da un confronto qualitativo tra questo profilo e quello reale risulta che il profilo teorico risulta meno curvato in
corrispondenza del taglio superiore (l’angolo in alto a sinistra nella prima figura del quadro), fatto imputabile al
basso grado di molteplicità della curva in corrispondenza di tale punto, ma comunque abbastanza sovrapponibile
all’originale su tutto il resto del profilo.
46
30
eccentrico di comando chiusura aspirazione
20
10
superiore
0
-20
-15
-10
-5
punti di controllo
0
5
10
15
20
25
30
inferiore
riposo
riposo
-10
-20
-30
Fasatura
L’alzata del movente negativo è stata calcolata in un riferimento angolare assoluto. Occorre dunque fasare i due
moventi in modo da poter costruire correttamente l’albero a camme.
-
I due cinematismi vengono posizionati in modo speculare rispetto ad un piano avente per normale direttrice
l’asse della valvola, motivo per cui si genera un primo sfasamento di 180 gradi.
-
Un secondo sfasamento è la differenza angolare nel riferimento assoluto tra le rotazioni di primo contatto.
Sfasamento relativo = tetainizialechiusura-tetainizialeapertura
- Un terzo sfasamento, chiamato anticipo di gioco, viene appositamente aggiunto per consentire al cinematismo
di chiusura di entrare nella fase attiva con anticipo sul cinematismo di apertura, allo scopo di assicurare il giuoco
anche in questa delicata fase del diagramma. Una volta effettuato tale procedimento i due diagrammi di alzata
sono perfettamente sovrapponibili in un sistema di riferimento angolare assoluto.
Sfasamento angolare camme = -(180 + sfasamento relativo + anticipo di giuoco)
47
Tale è il ritardo angolare della camma di chiusura su quella di apertura. Il ritardo si riferisce alle rampe di
accostamento.
30
Fasatura camme aspirazione
20
mm
10
0
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
chiusura
apertura
-10
-20
-30
mm
Di seguito si riportano i diagrammi di velocità ed un diagramma che mette a confronto le accelerazioni derivate
dalla legge di alzata determinata dal movente di chiusura con quelle ottenute in precedenza dal movente di
apertura.
48
velocità di alzata
6
4
m/sec
2
velocità
mediata
0
0
50
100
150
200
250
-2
-4
fase
-6
Le differenze di accelerazione sono dovute alle piccole inevitabili differenze sui diagrammi di alzata. Si noti che
però le due funzioni cambiamo segno quasi allo stesso istante. Dovendo la valvola, per effetto del giuoco, essere
condotta istante per istante da uno soltanto dei due cinematismi, a condurla sarà quello di apertura quando
l’accelerazione risulti positiva, quello di chiusura quando sarà negativa. Infatti l’eccentrico negativo vede come
positiva una accelerazione negativa della valvola, e tende a sostenerla proprio come farebbe una molla di
contrasto.
Confronto accelerazioni
25000
accelerazione valvola c
20000
accelerazione valvola a
m/secq;N
15000
10000
5000
0
0
50
100
150
200
250
300
-5000
-10000
fase distribuzione
49
Valvola di scarico
Per quanto riguarda la valvola di scarico valgono le stesse considerazioni fatte per quella di aspirazione. Il
meccanismo della valvola di scarico è asimmetrico rispetto a quello già visto, non potendo essere diversamente a
causa del fatto che l’albero ruota in una direzione prestabilita, rendendo il problema geometrico non
assialsimmetrico. Così il cinematismo di apertura sarà di tipo discorde e quello di chiusura concorde.
Si riportano di seguito i dati relativi ai profili ed i grafici di maggio interesse.
camma di apertura scarico
14,7
8,2
113
89
-1
14
6
11,5
-7
22,92183
alzata
arco riposo inf
arco riposo sup
ord.p di massimo
distanza p2
distanza p7
y3
y6
romax
x,y
20
10
5
0
-25
-20
-15
-10
-5
braccio
angolo di braccio
angolo asse valvola
verso rot. bilanciere c=1;d=0
regime
11,8
8
distanza p3
distanza p6
p7
p8
15
20
-15
-20
camma
controllo bilancere
20
arco attivo
sperimentale
15
10
5
-20
-5,5
-10,55
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-5
p2
10
0
bilanciere
p1
5
-10
38
162,5
35
-10
30
79
-12
0
10000
0
-5
controllo ecc.
15
-14,9
-14
2
5
-16,5
-20,7
-10
-15
-20
-25
50
camma di chiusura scarico
alzata
30
arco riposo inf
20
arco riposo sup
10
ord.p di massimo
distanza p2
0
-20
-10
0
10
20
-10
distanza p7
-20
y3
y6
-30
ritardo angolare su camma apertura
anticipo di gioco
romax
23
-7,9
98
90
2,3
8
5
17
-10
-219,77
7
23
Fasatura camme
10
9
8
chiusura
30
apertura
7
6
5
4
mm
3
2
1
0
0
60 -1 90
30
120
33
20
30
-20
30
110
25
1
10000
braccio
angolo di braccio
angolo asse valvola
verso rot. bilanciere c=1;d=0
regime
bilanciere
p2
2
-1
distanza p3
distanza p6
p7
p8
180
210
240
270
Fase
30
camma
controllo
bilancere
arco attivo
20
10
sperimentale
0
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-10
-20
p1
150
-15
-19
-30
-29
-26
5
3
-20,45
-20,4
-40
51
Confronto accelerazioni
60000
50000
40000
20000
10000
0
0
50
100
150
200
250
300
-10000
-20000
fase distribuzione
Fasatura camme
30 scarico
25
20
15
10
5
chiusura
mm
m/secq;N
30000
apertura
0
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-5
-10
-15
-20
-25
mm
52
2 - LA FASATURA
53
2 - LA FASATURA
Oltre alla fasatura tra eccentrici di apertura ed eccentrici di chiusura, procedura specifica del
solo comando desmodromico, occorre mettere a punto la fasatura tra cinematismo di
aspirazione e cinematismo di scarico.
Tale fasatura, a differenza della prima, atta a garantire i giochi di funzionamento, non viene
studiata per esigenze meccaniche. Da questo punto di vista il diagramma della distribuzione
non è vincolante ai fini del funzionamento meccanico, ma lo è per il rendimento.
Il motore originale adotta tale diagramma:
aspirazione
-
anticipo apertura 53° ppms
-
fine ciclo 265° dpms
scarico
-
anticipo apertura 82° ppmi
-
fine ciclo 230° dpmi
54
si deduce che il valore dell’incrocio è di 230° - 180° + 53° = 103°
Diagramma polare della distribuzione
aspirazione
scarico
Occorrerà dunque costruire sull’albero a camme i profili delle due coppie di eccentrici in
modo tale da avere tale diagramma della distribuzione.
Data la natura del comando bilaterale, sorge la necessità di specificare rispetto a quale dei due
diagrammi di alzata, generati dai moventi di apertura e chiusura, riferire il diagramma della
distribuzione. Se i giochi fossero nell’ordine dei centesimi di millimetro il problema non si
porrebbe. Ma a freddo il gioco raggiunge valori ben più alti (nell’ordine di 0,5 mm), ed una
tale differenza di alzata tra nominale ed effettiva, specie nella fase di incrocio, può cambiare
sensibilmente la fluidodinamica del sistema, rendendo inutili eventuali sofisticati studi sui
moti di swirl e tumble condotti sulla geometria delle valvole.
Come visto nel capitolo Cinematica le camme di chiusura, per avere il gioco necessario, si
realizzano con un arco attivo più largo rispetto a quelle di apertura. Occorre però osservare
che estremi dell’arco attivo gli eccentrici negativi non possono ad imprimere alle valvole una
accelerazione positiva. Di conseguenza sono le camme di apertura a comandare il moto in
queste fasi, e dunque ad imporre i limiti superiore ed inferiore dei diagrammi di alzata. Di
seguito ci si riferirà quindi ai diagrammi di alzata generati dagli eccentrici positivi.
55
Si riportano nella tabella sottostante i principali angoli atti a mettere a punto la fasatura.
Incrocio
Tetainsc
103
anticipo
Fasedfins
78,6
Tetatinas
53
Fasefinsc
156
Fasedinas
100,4
50
Tetascfin
104,5
195,1
Si prenda in considerazione la camma di alzata della valvola di scarico: il relativo diagramma
di alzata assume valori positivi dai 78,6° (tetainsc) nel riferimento locale, ed ha una durata di
156° di rotazione dell’albero a camme (fasedfinsc), corrispondenti a 312° di angolo di
manovella. L’ampiezza è dunque corretta.
Occorre ora fasare rispetto al PMS. In pratica bisognerà creare sull’albero un riferimento in
grado di misurare la sfasamento tra le rampe di accostamento di camma apertura scarico e
camma apertura aspirazione di
156°-0,5·103°=104,5° (fasedinas)
Incrocio fasi
10
8
aspirazione
scdarico
alzata [mm]
6
4
2
0
-300
-270
-240
-210
-180
-150
-120
-90
-60
-30
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
-2
fase manovella
56
Gli altri angoli riportati in tabella, servono ad accoppiare i riferimenti locali dei due
cinematismi:
Tetascfin = tetainsc + fasedinas
è l’angolo, calcolato nel riferimento locale del cinematismo di scarico, in corrispondenza del
quale inizia la fase di aspirazione. Serve a calcolare il momento di inerzia di tutte le camme
in un unico riferimento angolare.
Seguono i grafici dei profili delle camme fasate sull’albero relative ai diagrammi di alzata già
visti.
57
3 – DINAMICA
58
3 - DINAMICA
Nella sezione relativa alla cinematica sono stati calcolati i valori di alzata, velocità ed
accelerazione del cinematismo relativi ad ogni singola coppia di eccentrici camma-bilanciere
in ogni istante di funzionamento ed in un sistema di riferimento fisso nello spazio. I valori
ottenuti nascono esclusivamente dai profili geometrici e non è detto che siano compatibili con
le caratteristiche effettive del sistema. Infatti il caso in esame si presenta come il classico
problema di chi progetta un componente meccanico: ricercare le migliori prestazioni possibili
compatibilmente con le caratteristiche di resistenza dei materiali adoperati. Nel caso del
sistema di distribuzione, il fine di ottimizzare i diagrammi di alzata, incrementando così il
riempimento del cilindro, si scontra con le sollecitazioni a cui vengono sottoposti gli elementi
del sistema che possono anche superare i valori massimi ammissibili. Concretamente è facile
capire come il tendere verso diagrammi di alzata pseudo-rettangolari provoca valori di
incrementi di velocità e quindi di accelerazioni tendenti all’infinito e quindi meccanicamente
non validi.
Nell’esempio di seguito riportato si può vedere come una modifica anche piccola nella
geometria possa provocare variazioni nei valori delle accelerazioni determinanti. Si sono
confrontati due sistemi camma-piattello differenti soltanto nell’estensione dell’arco di riposo.
I parametri fondamentali come raggio di riposo e alzata sono identici:
raggio di riposo r = 20 mm
alzata h = 6 mm
velocità di rotazione n = 6000 rpm
profilo
profilo
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
0
-25
-2 0
-1 5
-1 0
-5
0
0
5
10
15
20
25
-25
-2 0
-15
-10
-5
0
-5
-5
-1 0
-10
-1 5
-15
-2 0
-20
-2 5
-25
-3 0
-30
5
10
15
20
25
a = 90°
b = 110°
59
Da questi due profili si ricavano diagrammi di alzata della valvola decisamente diversi:
alzata [mm]
7
6
5
4
90
3
110
2
1
0
-40
10
60
110
160
210
260
310
360
-1
teta
Ma ancora più interessante è vedere come siano diversi i valori delle accelerazioni della
valvola:
accelerazione [m/s2]
20000
15000
10000
90
110
5000
0
-40
10
60
110
160
210
260
310
360
-5000
-10000
teta
60
Nel caso di 110° i valori di accelerazione massima sono circa triplicati rispetto il caso di 90°,
ciò comporta che tutte le grandezze ad essa correlate subiranno lo stesso innalzamento e
quindi anche la sollecitazione meccanica degli organi a contatto.
In questa sezione ci occuperemo dello studio dei carichi a cui è sottoposto il sistema e della
stretta correlazione tra cinematica e dinamica ai fini della migliore scelta dei profili.
Innanzitutto dobbiamo distinguere i tipi di sollecitazione a cui è sottoposto il sistema:
•
Sollecitazioni dinamiche
•
Sollecitazioni termiche
A loro volta le sollecitazioni dinamiche possono essere suddivise in:
• Sollecitazioni inerziali
•
Sollecitazioni centrifughe
•
Vibrazioni
Per ora ci occuperemo soltanto delle sollecitazioni inerziali e verificheremo i componenti del
sistema soggetti a questo tipo di azioni.
Gli elementi di cui ci interesseremo sono: la valvola, il bilanciere, l’albero a camme.
F1B
BILANCIERE
OB
F1C
CAMMA
F2B
F2V
VALVOLA
Per ognuno di essi è possibile scrivere le equazioni cardinali della dinamica:
r
r
r
R ( m ) + R ( e , a ) + R ( e ,v ) = 0
r
r
r
M T( m ) + M T( e ,a ) + M T( e ,v ) = 0
r
r
Dove R ( e ) è la risultante delle forze esterne applicate attive e vincolari, R ( m ) è la risultante
r
delle forze di inerzia, M T( e ) è il momento risultante rispetto un polo T delle azioni esterne
r
attive e vincolari, M T( m ) è il momento risultante rispetto un polo T delle azioni di inerzia.
61
Valvola
Dato che la valvola può soltanto traslare nella direzione impostale, consideriamo la prima
delle eq. cardinali. Per come viene definito un sistema di forze di inerzia possiamo scrivere
r
r
r
R ( m ) = − mV aG , dove m è la massa della valvola ed aG l’accelerazione del baricentro della
r
r
valvola ovvero di un qualsiasi punto della valvola stessa aV . La retta di applicazione di aV
coincide con l’asse valvola dato che l’unica possibilità di movimento per la valvola è quella
concessa dalla guida. Le forze esterne attive, trascurando la forza peso, si riducono soltanto
r
r
r
alla forza di contatto F2V per cui possiamo scrivere R ( e ,a ) = F2V . Anche la retta di
r
r
applicazione di F2V è parallela all’asse valvola in quanto la F2V si esplica tramite il contatto
tra superfici e quindi risulterà normale alla tangente unica nel punto di contatto tra cappuccio
della valvola e pattino del bilanciere. Dato che la superficie del cappuccio è piana ed
r
ortogonale all’asse valvola si deduce che in ogni istante F2V sarà parallela all’asse valvola. La
r
r
r
r
r
R ( e ,v ) deriva dalla composizione di R ( e ) con R ( m ) che, avendo posto R ( e ,a ) = F2V , risultano
r
allineate lungo la stessa direzione, per cui anche la direzione di R ( e ,v ) sarà quella dell’asse
valvola. Comunque, dato che l’entità di questa componente deriva esclusivamente della
viscosità del lubrificante e che per le temperature in gioco tale valore di viscosità risulterà
r
modesto, possiamo ritenere trascurabile R ( e ,v ) e scrivere quindi in forma scalare lungo l’asse
della valvola:
F2V = mV aV
Bilanciere
Dato che il bilanciere può soltanto ruotare attorno alla cerniera, utilizziamo la seconda delle
eq. cardinali, prendendo come polo la traccia OB sul piano xy dell’asse di rotazione del
bilanciere. Per come viene definito un sistema di forze di inerzia possiamo scrivere:
r
r
r
M O( mB ) = −OB GB ∧ mB aOB − I dα B k , dove OB GB è il vettore posizione del baricentro del
r
bilanciere GB rispetto il centro di rotazione OB, mB è la massa del bilanciere, aOB è
r
l’accelerazione del centro di rotazione, k è il versore della direzione ortogonale al piano
r
passante per OB (asse di rotazione del bilanciere d), α B è l’accelerazione angolare del
bilanciere rotante attorno al suo asse, Id è il momento polare di inerzia del bilanciere attorno
r
all’asse di rotazione d. Anche per il bilanciere è possibile trascurare le azioni vincolari M O( eB,v )
dovute alla viscosità del lubrificante presente tra la superficie cilindrica del bilanciere e quella
r
r
r
dell’asse di rotazione, per cui possiamo porre M O( eB) = M O( eB,a ) . Il momento M O( eB,a ) deriva dalla
r
r
composizione delle azioni di F1B ed F2 B come si puòFvedere
nella figura sottostante.
1B
B1
OB
F2B
B2
b2
b1
62
Scriviamo quindi il momento delle forze esterne rispetto OB come:
r
r
r
M O( eB,a ) = OB B1 ∧ F1B + OB B2 ∧ F2 B dove B1 e B2 sono i punti di istantaneo contatto
rispettivamente fra pattino e camma e fra pattino e valvola. Nel caso del momento delle forze
r
r
r
di inerzia, essendo aOB = 0 , si ha che il vettore M O( mB ) è parallelo all’asse d. Similmente,
r
r
essendo tutti i vettori OB B1 , F1B , OB B2 , F2 B sul piano xy i prodotti vettoriali saranno
ortogonali a questo piano e quindi paralleli all’asse d. I vettori contenuti nell’equazione
cardinale sono tutti paralleli tra loro e l’equazione può quindi essere scritta in forma scalare
lungo l’asse di rotazione d come:
F1B b1 − F2 B b2 = I d α B
r
Lo scopo principale di questa indagine è riuscire a ricavare in ogni istante il vettore F1C in
modo da potere effettuare la verifica a flessione dell’albero a camme. Mettendo a sistema le
equazioni scalari ottenute
 F2V = mV aV

 F1B b1 − F2 B b2 = I dα B
vediamo che il problema risulta chiuso. Infatti per il principio di azione e reazione deve
essere: F2V = F2 B = F2 ed F1C = F1B = F1 , data la geometria del problema le quantità mV e
Id sono note, ed inoltre dalla sezione cinematica sono noti in ogni istante b1( ), b2( ),
aV( ),
( ). Avremo dunque due equazioni nelle uniche due incognite F1 ed F2.
r
I valori ricavati di F1 durante un ciclo sono le intensità dei vettori F1 le cui direzioni sono in
ogni istante ortogonali al piano tangente alle superfici di contatto fra bilanciere e camma.
Dalla sezione cinematica è possibile ricavare in ogni istante la posizione sulla camma del
punto di contatto e da questa si può conoscere l’inclinazione del piano tangente in un sistema
fisso nello spazio. Da qui in avanti quindi opereremo su due piani ortogonali: il piano xz su
cui agiscono le forze F1x ed il piano yz su cui agiscono le forze F1y .
Molla
Nel cinematismo è presente una molla di flessione la cui funzione è ben diversa dalle consuete
molle viste nei sistemi di distribuzione con molla di richiamo. Infatti in questo caso il suo
compito è di mantenere a contatto il bilanciere di chiusura con la valvola in modo da evitare
urti non appena viene interessato il bilanciere di chiusura. Le sue ridotte dimensioni inoltre
non potrebbero mai fare pensare a una funzione di richiamo. La molla è inserita sull’asse di
rotazione del bilanciere di chiusura ed è agganciata al bilanciere ad un estremo, l’altro
estremo tocca la testata. La molla viene precaricata in quanto l’angolo fra gli estremi
consentito nella sede è minore di quello formato dalla molla scarica. E’ chiaro che l’angolo
della molla varierà nel tempo in base alla rotazione del bilanciere. Una volta scelto l’angolo di
precarico pre , dato che la rotazione del bilanciere ’ di chiusura è nota dalla cinematica del
sistema, l’angolo di effettiva flessione della molla sarà la somma dei due:
Tetamolla =Tetare + Teta’
63
Si tratta adesso di vedere in quali fasi di funzionamento del cinematismo la molla agisce
attivamente. Durante la fase di apertura della valvola (sia in aspirazione che in scarico) la
camma attiva è quella di apertura, il bilanciere di chiusura è comunque a contatto con la
valvola ed è invece staccato dalla camma di chiusura, proprio per la presenza della molla. In
questo modo dell’azione della molla ne risente la testa della valvola, il bilanciere di apertura e
quindi anche la camma di apertura. Durante la fase di chiusura invece la molla agisce sempre
sul bilanciere di chiusura, ma della sua azione non risente il bilanciere di apertura che in
questa fase è accoppiato con gioco sufficiente alla valvola ed alla camma. Dunque possiamo
dire che conseguenze della presenza della molla si hanno soltanto in fase di apertura e
consistono in un incremento del valore della forza F1 . Questo incremento non tiene conto
degli effetti inerziali, che per la molla vengono trascurati, ed è chiaramente valutabile noti la
geometria della molla e l’angolo molla .
Infatti la forza Fmolla applicata sul bilanciere si ricava da :
Kθ molla
d 4E
Fmolla =
dove K =
r'
64 DN
dove r’ è la distanza ortogonale tra il centro delle spire e la retta di applicazione della forza,
K è la costante della molla, d è il diametro del filo, D è il diametro medio delle spire, N è il
numero di spire attive. Nel nostro caso risulta:
r = 17,77 mm
d = 2,6 mm
D = 16,6 mm
E = 210000 Mpa
N = 4,5
e quindi:
K = 2007,3 Nmm
La forza ricavabile tramite la costante K e l’angolo molla non è ancora il valore corretto da
sommare alla F1 . Infatti si deve tenere conto dei diversi punti di contatto fra molla e
bilanciere e fra bilanciere e valvola.
Fmolla
F1molla
64
Per l’equilibrio alla rotazione del bilanciere attorno al proprio asse deve essere:
Fmolla ⋅ 17,7657 = F1molla ⋅ 30,2750 ⇒
F1molla = 0,59 Fmolla
Quindi alla fine la forza che la valvola trasmette al bilanciere di apertura durante la fase di
apertura a causa della presenza della molla di flessione si ricava in ogni istante da :
F1molla = 0,59 ⋅ 2007,3 ⋅
θ molla
r'
Dato l’andamento della rotazione del bilanciere di chiusura è noto anche l’andamento della
forza F1molla.
Disponiamo dunque di tutti gli elementi per studiare l’albero a camme secondo i criteri della
Scienza delle Costruzioni. Il sistema dei carichi provenienti dai bilancieri è infatti noto,
bisogna solamente scomporre le forze agenti istantaneamente sull’albero in due piani xz e yz
e studiare gli effetti flessionali e torsionali di questi carichi.
y
F1x
F1y
F1
x
Ma d’altra parte le forze esterne agenti sull’albero provengono anche dalla cinghia di
distribuzione. L’albero a camme è trascinato dall’albero motore tramite una cinghia dentata
che trasferisce il moto di rotazione alla puleggia accoppiata all’albero a camme con
l’interposizione di una linguetta americana. A regime, la velocità angolare dell’albero a
camme deve essere costante per cui devono farsi equilibrio tutti i momenti lungo l’asse z. Il
momento Mc fornito dalla cinghia dovrà equilibrare, a meno di resistenze dovute all’attrito, il
risultante dei momenti torcenti dati dalle azioni sulle camme. Noti in ogni istante i momenti
foniti da ogni singola camma e sommate le azioni si ottiene il momento torcente che deve
essere fornito dalla cinghia per permettere la rotazione dell’albero.
65
Chiaramente oltre al momento torcente l’azione della cinghia si esplica in maniera
semplificata come un carico Fc che possiamo pensare con retta di applicazione parallela
all’asse y. L’ipotesi è semplificativa ma data l’entità del carico risultante può essere ritenuta
valida. Questo si traduce praticamente nel supporre che in presa vi sia un solo dente della
cinghia data la flessibilità della cinghia stessa. Nella figura ad essere ativo sarà solo il dente
cerchiato in rosso. Una volta noto quindi l’andamento del momento torcente, per conoscere Fc
, la cui direzione sarà sempre quella dell’asse y, dovremo dividere il momento torcente
risultante per il raggio medio della puleggia rp . Nel nostro caso risulta:
rp = 26 mm
Mc
Fc
Ipotesi di vincolo
Il sistema dei carichi sull’albero è noto, bisogna adesso fare delle considerazioni sui vincoli.
Le ipotesi sul tipo di vincoli usati sono semplici per quanto riguarda i vincoli B e C. Infatti in
questi punti l’albero viene appoggiato a due cuscinetti a sfere che, per i valori di estensione
assiale e di gioco radiale, possono tranquillamente essere assimilati ad appoggi.
F1y
AS
CS
Fc
CA
AA
2
1
A
A’
B
3
4
C
Camma 1 : Chiusura Scarico
Camma 2 : Apertura Aspirazione
Camma 3 : Apertura Scarico
Camma 4 : Chiusura Aspirazione
66
Il problema è un po’ più complicato per il vincolo A. Infatti apparentemente il contatto fra
albero e testata è esteso alla superficie cilindrica compresa tra le due linee in rosso, il che
farebbe pensare ad un vincolo di tipo incastro, quindi con limitazioni relative alla possibilità
di rotazione in quella zona. Le strade da seguire sono almeno due e comunque sono analoghe:
ipotizzare la presenza nella zona interessata di due appoggi A e A’, ipotizzare la presenza di
un incastro. Il problema però va studiato progressivamente, ovvero risolvendo in prima
istanza l’albero facendo un’ipotesi di vincolo precisa (3 appoggi), calcolando i valori di
deformazione e di rotazione nella zona A e confrontare questi valori con quelli tollerati dalle
dimensioni dei cuscinetti adottati.
I cuscinetti adottati sono:
Tipo
Diametro
interno
[mm]
Diametro
esterno
[mm]
Spessore
[mm]
Appellati
vo
classe
Coeff. di
carico C
[N]
Gioco
min [µ
µm]
Gioco
max [µ
µm]
n max
[rpm]
A, A’
Radiale rigido a
sfere con
schermi stagni
C
Radiale rigido a Radiale rigido a
sfere con schermi sfere con schermi
stagni
stagni
B
17
20
15
35
42
34
10
12
10
6003-2RS
6004-2RS
6002-2RS
normale
normale
normale
4650
7200
3550
3
5
3
18
20
18
13000
11000
14000
Entriamo nell’abaco della pagina precedente che fornisce la relazione tra gioco radiale e gioco
assiale per cuscinetti radiali rigidi a sfere ed otteniamo per i vari cuscinetti:
67
-
A
diametro medio T = (17+35)/2 = 26 mm
Nel caso di disassamento rispetto il centro del cuscinetto si trova:
a/e = 5,5
gioco assiale a = 0,018⋅5,5 ≈ 0,1 mm
La rotazione consentita risulta:
a
θ m = = 3,8 ⋅10 −3
T
Nel caso di disassamento rispetto alla sfera inferiore si ha:
e* = 2e = 36 m
a*/e* = 4
gioco assiale a* = 0,036⋅4 ≈ 0,144 mm
a*
θm =
= 2 ⋅10 −3
2T
Come vedremo in seguito, nell’istante di maggiore sollecitazione sul piano yz la forza Fy è
applicata sulla seconda camma ed ha un valore pari a :
Fyaamax = 2607 N
In questo istante l’angolo assoluto di rotazione dell’albero a camme è ass = 116,5° , ci
troviamo sulla rampa di accostamento per cui il momento torcente è trascurabile e con esso
quindi il carico di cinghia T.
Riportiamo i grafici di rotazione e deformazione dell’albero relativi a questo istante di
funzionamento:
68
rotazione
0,00015
0,0001
0,00005
T
Xsin
sommasin
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
P
Xdes
sommades
-0,00005
-0,0001
-0,00015
z [mm]
deformata
z [mm]
-0,0015
-0,001
-0,0005
0
20
40
60
80
100
120
140
T
0
[mm]
Xsin
sommasin
0,0005
P
Xdes
sommades
0,001
vincoli
0,0015
0,002
0,0025
In corrispondenza di z = 16 mm si ha:
A
= 5⋅10-5
valore inferiore al minimo valore ammesso
θm =
-
a*
= 2 ⋅10 −3
2T
B
diametro medio T = (20+42)/2 = 31 mm
69
e* = 2e = 40 m
a*/e* = 4
gioco assiale a* = 0,040⋅4 = 0,16 mm
θm =
a*
= 3,8 ⋅10 −3
2T
In corrispondenza di z = 59 mm si ha:
A
= 8⋅10-5
valore inferiore al minimo ammesso.
-
C
diametro medio T = (15+34)/2 = 24,5 mm
e* = 2e = 36 m
a*/e* = 3,7
gioco assiale a* = 0,036⋅3,7 = 0,133 mm
a*
θm =
= 2,7 ⋅ 10 − 3
2T
In corrispondenza di z = 114,5 mm si ha:
A
= 1,1⋅10-4
valore inferiore al minimo ammesso.
I valori sono stati ottenuti utilizzando il valore massimo del gioco radiale e; si può verificare
che le relazioni di disuguaglianza sono ancora soddisfatte utilizzando il gioco minimo.
-
A’
In corrispondenza dell’eventuale cuscinetto A’ , per z = 40 mm avremmo :
vA’ = 7,65⋅10-4 mm
ed il gioco radiale minimo ammesso è
e = 0,003 mm
che è maggiore di vA .
Pertanto i valori di deformazione e rotazione riscontrati in presenza dei massimi carichi di
esercizio sono tali da non consentire ad un eventuale cuscinetto A’ di entrare in funzione e
quindi sarebbe scorretto adottare un modello a 4 appoggi. Una possibile spiegazione alla
effettiva presenza di un quarto cuscinetto A’ affiancato al cuscinetto A può provenire dal fatto
che è necessario assicurare un facile posizionamento dell’albero nella sua sede ed una
distanza stabilita fra i cuscinetti A e B. In questo modo A’ diventa una boccola distanziatrice
che non è necessario calettare sull’albero, ma che resta nella sua sede sulla testata. Il diverso
utilizzo che viene fatto di A ed A’ è intuibile anche osservando la superficie di un albero
usato. Questa appare diversamente usurata nelle due zone a dimostrazione che le pressioni cui
sono state sottoposte sono diverse.
70
Scelto il modello a tre appoggi, a discapito di quello a quattro appoggi e di quello con
incastro, abbiamo comunque fatto un’analisi comparativa agli Elementi Finiti utilizzando il
programma ANSYS 5.3 con lo scopo di determinare quale dei tre sistemi avesse un
comportamento migliore. Il parametro di giudizio è il cimento strutturale dell’albero per cui
sarà apprezzato quello dei tre modelli che assicura uno stato tensionale medio inferiore
all’altro. Il modello utilizza elementi trave (BEAM) che possono essere sollecitati a sforzo
normale ed a flessione. Come si vedrà nella pagina seguente, del modello a quattro appoggi
abbiamo considerato un tipo con appoggi distanziati ed uno con appoggi ravvicinati a
simulare un incastro. Si può vedere dai grafici che i tre modelli non presentano particolari
differenze, anche se i segni delle tensioni si invertono, alla destra del vincolo B (nodo 3),
mentre proprio in prossimità di B il modello a tre appoggi assicura una tensione massima di
flessione inferiore (21 MPa contro 30 MPa).
Possiamo concludere quindi dicendo che la scelta del modello a tre appoggi, oltre che
legittima, è anche vantaggiosa in termini di sollecitazione flessionale sull’albero.
3 appoggi
4 appoggi distanziati
71
4 appoggi ravvicinati
Verifica dei cuscinetti
Le equazioni che regolano la durata dei cuscinetti a rotolamento sono ricavate sotto ipotesi di
carico esterno costante. La vita raggiungibile dal 90% degli elementi di un campione di
cuscinetti in rotazione, sottoposti ad un carico costante P e caratterizzati da un coefficiente di
carico C è fornita da:
C 
L10 =  
P
n
dove, nel caso di cuscinetti a sfere, si ha n = 3.
Nel nostro caso i carichi sui cuscinetti variano nel tempo. Il valore massimo P = 2600 N
viene raggiunto soltanto per un breve istante ed inoltre per un intervallo di tempo di circa 90
gradi l’albero non è sollecitato da alcun carico esterno. Da ciò se ne deduce che la stima della
durata che faremo è senz’altro in notevole sicurezza.
Le reazioni vincolari per il carico P predetto risultano:
RA = 133,6 N ; RB = -1783 N ; RC = -950,55 N
da cui le durate per i cuscinetti:
L10A = 4,2⋅1010 cicli
L10B = 6,5⋅107 cicli
L10C = 5,2⋅107 cicli
Il cuscinetto A può a ragione considerarsi a vita infinita, data l’entità ridotta dei carichi. Il più
a rischio risulta il cuscinetto C che deve sopportare carichi dello stesso ordine di B ma che ha
un coefficiente C minore. In ogni caso i valori ottenuti (dato che ipotizzano condizioni di
esercizio eccezionalmente sfavorevoli non riscontrabili nella realtà) sono in linea con la
durata a fatica degli altri elementi del sistema.
72
Studio dell’albero iperstatico
Il problema è quindi calcolare le caratteristiche di sollecitazione e le deformazioni di un
albero appoggiato in tre punti. Le difficoltà nascono dal fatto che il problema risulta una volta
iperstatico e che in più l’albero è a diametro variabile. Nel caso di albero a sezione costante la
soluzione è relativamente semplice e si può trovare analiticamente. Infatti se introduciamo
una sconnessione nell’albero in corrispondenza del vincolo B consistente nella sostituzione
del vincolo di continuità con una cerniera, siamo in presenza di due alberi I e II ciascuno
vincolato isostaticamente per i quali sono note le equazioni della linea elastica.
l
c
d
b
a
T
P
I
II
X
X
A
B
C
L’introduzione della sconnessione porta una incognita iperstatica X che va considerata come
carico esterno. Le rotazioni in prossimità di B per l’albero I e per l’albero II dovute a tutti i
carichi agenti risultano:
Ta
(b − a ) − X (b − a )
6 EI
3EI
P (c − d )
=−
(c − d )2 − (c − b )2 + X (c − b )
6 EI (c − b )
3EI
ϕ B,I = −
ϕ B , II
[
]
Per la congruenza queste rotazioni devono essere uguali e quindi si ottiene una equazione
nella sola incognita X, da cui:
X =−
[
T b−a P
c−d
a
−
(c − d )2 − (c − b )2
2 c − a 2 (c − b )(c − a )
]
Nel caso reale di albero a sezione variabile la soluzione analitica appare notevolmente
complessa. S
i preferisce dunque adottare un metodo iterativo che è di facile applicazione utilizzando un
calcolatore.
73
c
z
y
d
T
b
P
a
X
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
camme
Nella figura di sopra sono indicate con le frecce piene le sezioni in corrispondenza delle quali
vi è una variazione di diametro. Anche la presenza delle camme è vista come una variazione
di diametro. Il procedimento prevede, dopo avere assegnato un valore di tentativo
all’incognita iperstatica X, di iterare le operazioni:
•
trovare i diagrammi di taglio e momento per entrambi gli alberi I e II
•
trovare le rotazioni e le deformazioni
•
confrontare le rotazioni in B dei due alberi
•
aggiornare il valore di X
La fine delle iterazioni si avrà quando sarà soddisfatta l’equazione di congruenza, ovvero
quando la differenza fra le due rotazioni in B dell’albero I e II sarà trascurabile. La rotazione
e la freccia v delle varie sezioni sono state trovate per integrazione dalle formule note:
dϕ M dv
=
,
= −ϕ
dz EI dz
A seguito della i-esima iterazione avremo un valore Xi ed un valore
i diverso da zero. Per
aggiornare il valore di X si è pensato ad un metodo che ipotizza una relazione di tipo lineare
i
i
fra l’incognita Xi e le rotazioni in B ϕ B,
I e ϕ B, II , cioè:
X i = K Ii ϕ Bi , I ; X i = K IIi ϕ Bi , II
74
E’ chiaro che da queste formule si ricaveranno due diversi valori di Ki . Prendiamo un valore
medio tra i due e lo moltiplichiamo per il
i in modo da ottenere l’aliquota Xi da
sommare ad Xi per aggiornare il valore dell’incognita iperstatica:
X i +1 = X i − K i ∆ϕ i / 2
Nella pagine seguente vediamo un esempio di come funziona il procedimento. Si vede che
bastano quattro iterazioni per ottenere un valore di
i trascurabile. In questo caso siamo
partiti da un valore di X quasi nullo.
a
b
c
camma
E
P
T
Luno
Ldue
Ltre
Lquattro
Lcinque
Lsei
Lsette
Lotto
Lnove
Ldieci
Lundici
Ldodici
Duno
Ddue
Dtre
Dquattro
Dcinque
Dsei
Dsette
Dotto
Dnove
Ddieci
Dundici
Ddodici
16
59
114,5
seconda
210000
-862,834225
131,511806
53,5
65
68
75
78
85
88
95
98
105
108,5
121,5
17
20
24
41,8110086
21
30,3231871
21
36,7579767
21
43,700792
20
15
A fianco sono riportati i dati relativi alla geometria
dell’albero ed ai carichi. In questo caso il carico P
agisce soltanto sulla seconda camma da sinistra,
mentre le altre tre restano scariche. Una situazione
simile si verifica per quasi tutto il ciclo di
funzionamento, ovvero quasi sempre si ha soltanto
una camma sollecitata. Soltanto in un ristretto
intervallo di tempo si hanno due camme sollecitate
e questo avviene durante l’incrocio delle fasi. I
diametri che compaiono in corrispondenza delle
camme (Dquattro, Dsei, Dotto, Ddieci) sono dei
diametri equivalenti, ovvero dei diametri che
forniscono lo stesso momento di inerzia calcolato
dalla effettiva geometria della camma.
prima iterazione
0,00006
0,00004
rot
0,00002
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
T
Xsin
sommasin
P
Xdes
sommades
-0,00002
-0,00004
-0,00006
z [mm]
75
seconda iterazione
0,00006
0,00004
0,00002
rot
T
Xsin
sommasin
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
P
Xdes
sommades
-0,00002
-0,00004
-0,00006
z [mm]
terza iterazione
0,00006
0,00004
0,00002
T
rot
Xsin
sommasin
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
P
Xdes
sommades
-0,00002
-0,00004
-0,00006
z [mm]
quarta iterazione
0,00006
0,00004
0,00002
rot
T
Xsin
sommasin
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
P
Xdes
sommades
-0,00002
-0,00004
-0,00006
z [mm]
L’andamento scalinato della rotazione, soprattutto nella parte destra, si giustifica col fatto che
il momento di inerzia I varia parecchio con l’ascissa, per cui quando I assume valori elevati
(in corrispondenza delle camme) si ha un ridotto incremento di , mentre quando I assume
valori ridotti (tra una camma ed un’altra) si ha un grosso incremento di .
Per la configurazione imposta possiamo ricavare anche i diagrammi di deformazione e di
tensione massima:
76
deformazione
-0,0008
-0,0006
-0,0004
-0,0002
0
20
40
60
80
100
120
140
T
[mm]
0
Xsin
sommasin
0,0002
P
Xdes
sommades
0,0004
vincoli
0,0006
0,0008
0,001
z [mm]
tensione
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
120
140
[MPa]
-2
-4
-6
-8
-10
-12
z [mm]
Per conoscere compiutamente il funzionamento dell’albero non possiamo arrestarci alla
conoscenza di un istante particolare ma dobbiamo conoscere le sollecitazioni a cui esso è
sottoposto durante tutto un ciclo. Nella parte cinematica abbiamo ricavato i diagrammi di
accelerazione relativi alle camme di apertura e di chiusura sia per la fase discarico che per
quella di aspirazione. Tenendo presente anche la presenza della molla questi diagrammi
forniscono l’andamento completo delle forze cui è sottoposto l’albero durante un ciclo.
Riportiamo i diagrammi dell’andamento della forza normale alla superficie della camma
durante lo scarico e durante l’aspirazione.
77
Forze di contatto scarico
Normale chiusura
Normale apertura
1800
1600
1400
1200
N
1000
800
600
400
200
0
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
-200
Fase assoluta
Normale chiusura
Forze di contatto aspirazione
Normale apertura
1200
1000
800
N
600
400
200
0
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
-200
Fase assoluta
I grafici riportano l’andamento della forza normale su ogni camma, cioè ognuno è relativo alla
camma preposta ad una definita funzione. Consideriamo per esempio lo scarico: le forze di
contatto appaiono ovviamente sulla camma di apertura ed hanno una massimo nei momenti
iniziali laddove si incomincia a scalare la rampa di alzata, la sollecitazione va diminuendo
fino a circa 110°, adesso la camma di apertura non viene più sollecitata, lo sforzo passa sulla
camma di chiusura per tutto il tempo a cavallo del massimo del diagramma di alzata fino ai
210° dove torna in azione la camma di apertura. Considerazioni del tutto analoghe si possono
fare per l’aspirazione.
Le forze sono state scomposte nelle direzioni x e y e si riportano in seguito i diagrammi
relativi.
78
Scomposizione forze scarico
1000
500
0
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
Fyc
Fxa
Fya
-1000
-1500
-2000
fase assoluta [deg]
Scomposizione forze aspirazione
600
400
200
0
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
Fxc
-200
Fyc
N
N
Fxc
-500
Fxa
Fya
-400
-600
-800
-1000
-1200
fase assoluta [deg]
79
L'andamento del momento torcente durante le due fasi è riportato sotto.
Torsione scarico
5
4
3
2
Mt[Nm]
1
torsionec
0
0
50
100
150
200
250
300
torsionea
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Fase[Deg]
Torsione aspirazione
4
3
2
Mt[Nm]
1
torsionec
torsionea
0
0
50
100
150
200
250
300
-1
-2
-3
-4
Fase[Deg]
Tenendo conto del diagramma di alzata riportato a pagina seguente si può giustificare il fatto
che durante l’incrocio delle fasi si avranno sollecitazioni contemporanee su camme diverse
mentre per il resto del ciclo si avrà sempre una sola camma sollecitata per volta. Se per
esempio consideriamo il diagramma di Fy vediamo che durante la fase di scarico la linea di
chiusura si discosta da zero quando si annulla quella di chiusura e viceversa. Analogo
80
discorso vale per le Fx o per il momento. Soltanto nel periodo fra 120° e 155° si hanno due
linee contemporaneamente diverse da zero.
Incrocio fasi
10
8
aspirazione
scarico
alzata [mm]
6
4
2
0
-330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120
-90
-60
-30
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
-2
fase manovella
Fx
300
200
100
[N]
Fxasc
Fxcsc
0
0
40
80
120
160
200
240
280
320
360
-100
Fxaas
Fxcas
-200
-300
teta [deg]
Fy
1000
500
[N]
0
-500
Fyasc
0
40
80
120 160 200 240 280 320 360
Fycsc
Fyaas
-1000
Fycas
-1500
-2000
teta [deg]
81
[Nm]
Momento torcente
5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
-5
-6
Mtasc
Mtcsc
40
80
120
160
200
240
280
320
360
Mtaas
Mtcas
teta [deg]
Storia di carico
Adesso da questi diagrammi dobbiamo ottenere le storie di carico in alcune sezioni stabilite
dell'albero (A, B, 1, 2, 3) che saranno quelle più sollecitate.
F1
AS
CS
Fc
CA
AA
C
A
B
1
2
3
Per fare ciò dovremmo risolvere il problema iperstatico per ognuno degli istanti di
funzionamento. Questo renderebbe il calcolo eccessivamente oneroso. Pertanto abbiamo
evidenziato di un ciclo una serie di istanti in cui le sollecitazioni sono ragguardevoli ed
abbiamo ricavato i diagrammi di tensione massima di flessione dovuta alle sole forze
inerziali. I punti presi durante la fase di scarico sono cinque, quelli nella fase di aspirazione
quattro e sono definiti nella tabella seguente.
82
0
punti
0
155,784
0
-880,776
0
0
0
0
0
0
0
0
0
fase
Fxasc
Fxcsc
Fyasc
Fycsc
Mtasc
Mtcsc
Fxaas
Fxcas
Fyaas
Fycas
Mtaas
Mtcas
Scarico
1
2
15,6
46,3
251,146
0
0 243,837
-673,900
0
0 548,700
3,7809
0
0 -4,0750
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
116,5
0
11,412
0
200,546
0
1,1220
0
0
0
0
0
0
4
163,9
98,231
0
-1589,162
0
-4,2098
0
0
0
0
0
0
0
3'
118,2
0
0
0
0
0
0
-51,9588
0
-404,749
0
-0,49375
0
Aspirazione
4'
5
160,2
221,4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12,128 -197,1719
0
0
340,2899
427,377
0
0
2,9069
-2,94351
6
267,4
0
0
0
0
0
0
-46,8597
0
-216,3347
0
0,12263
0
Riportiamo in seguito tutti i diagrammi di tensione massima di flessione nei piani xz ed yz
negli istanti selezionati in tabella.
Piano xz
0°
-500
0
20
40
60
80
100
120
140
0
500
Mf [Nmm]
Fxasc = 155,784 N
Camma 3
1000
1500
2000
2500
z [mm]
83
15,6°
-1000
-500
0
20
40
60
80
100
120
140
0
Mf [Nmm]
500
1000
Fxasc = 251,146 N
1500
Camma 3
2000
2500
3000
3500
z [mm]
46,3°
-1000
-500
0
20
40
60
80
100
120
140
Mf [Nmm]
0
500
Fxcsc = 243,838 N
1000
Camma 1
1500
2000
2500
z [mm]
116,5°
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
0
Mf [Nmm]
20
Fxcsc = 11,4127 N
Camma 1
40
60
80
100
120
z [mm]
84
163,9°
-400
-200
0
20
40
60
80
100
120
140
0
Mf [Nmm]
200
400
Fxasc = 98,232 N
600
Camma 3
800
1000
1200
1400
z [mm]
118,2°
-700
-600
-500
Mf [Nmm]
-400
Fxaas = -51,959 N
-300
Camma 2
-200
-100
0
20
40
60
80
100
120
140
80
100
120
140
0
100
200
z [mm]
160,2°
-40
-20
0
20
40
60
0
Mf [Nmm]
20
40
Fxcas = 12,128 N
60
Camma 4
80
100
120
140
z [mm]
85
221,4°
-2500
-2000
Mf [Nmm]
-1500
Fxcas = -197,172 N
Camma 4
-1000
-500
0
20
40
60
80
100
120
140
0
500
z [mm]
267,4°
-600
-500
-400
Mf [Nmm]
-300
Fxaas = -46,859 N
-200
Camma 2
-100
0
20
40
60
80
100
120
140
0
100
200
z [mm]
0°
2,5
2
tens max [MPa]
1,5
1
Fxasc = 155,784 N
Camma 3
0,5
0
0
20
40
60
80
100
120
140
-0,5
-1
z [mm]
86
15,6°
3,5
3
2,5
tens max [MPa]
2
1,5
1
0,5
0
0
20
40
60
80
100
120
140
80
100
120
140
-0,5
-1
-1,5
z [mm]
46,3°
2,5
2
tens max [MPa]
1,5
1
0,5
0
0
20
40
60
-0,5
-1
z [mm]
116,5°
0,12
0,1
0,08
tens max [MPa]
0,06
0,04
Fxcsc = 11,4127 N
Camma 1
0,02
0
0
20
40
60
80
100
120
140
-0,02
-0,04
-0,06
z [mm]
87
163,9°
1,4
1,2
1
tens max [MPa]
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
20
40
60
80
100
120
140
80
100
120
140
-0,2
-0,4
-0,6
z [mm]
118,2°
0,3
0,2
0,1
0
tens max [MPa]
0
20
40
60
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
-0,7
z [mm]
160,2°
0,2
tens max [MPa]
0,15
0,1
Fxcas = 12,128 N
0,05
Camma 4
0
0
20
40
60
80
100
120
140
-0,05
z [mm]
88
221,4°
1
0,5
0
0
20
40
60
80
100
120
140
80
100
120
140
100
120
tens max [MPa]
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
-3
z [mm]
267,4°
0,3
0,2
0,1
0
tens max [MPa]
0
20
40
60
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
z [mm]
Piano yz
0°
-4000
-2000
0
20
40
60
80
140
0
Fyasc = -880,776 N
Mf [Nmm]
2000
T=0
4000
Camma 3
6000
8000
10000
12000
z [mm]
89
15,6°
-4000
-2000
0
20
40
60
80
100
120
140
Mf [Nmm]
0
Fyasc = -673,9 N
2000
T = 145,422 N
4000
Camma 3
6000
8000
10000
z [mm]
46,3°
-5000
-4000
-3000
Mf [Nmm]
-2000
Fycsc = 548,7 N
T = 156,73 N
-1000
0
20
40
60
80
100
120
140
80
100
120
140
Camma 1
0
1000
2000
3000
z [mm]
116,5°
-2000
-1500
Mf [Nmm]
-1000
-500
0
20
40
60
0
500
1000
z [mm]
90
163,9°
-5000
0
20
40
60
80
100
120
140
80
100
120
140
0
Mf [Nmm]
5000
10000
15000
20000
25000
z [mm]
118,2°
-2000
-1000
0
20
40
60
0
Mf [Nmm]
1000
Fyaas = -404,75 N
2000
T = 18,96 N
3000
Camma 2
4000
5000
6000
z [mm]
160,2°
-3500
-3000
-2500
-2000
Mf [Nmm]
-1500
Fycas = 340,29 N
-1000
T = 111,8
-500
0
20
40
60
80
100
120
140
Camma 4
0
500
1000
1500
z [mm]
91
221,4°
-5000
-4000
-3000
Mf [Nmm]
-2000
Fycas = 427,377 N
-1000
0
20
40
60
80
100
120
140
0
T = 113,21 N
Camma 4
1000
2000
3000
z [mm]
267,4°
-1000
-500
0
20
40
60
80
100
120
140
0
Mf [Nmm]
500
Fyaas = -216,335 N
1000
T = 4,71 N
1500
Camma 2
2000
2500
3000
z [mm]
0°
12
10
8
tens max [MPa]
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
120
140
-2
-4
z [mm]
92
15,6°
10
8
6
tens max [MPa]
4
2
0
0
20
40
60
80
100
120
140
80
100
120
140
-2
-4
-6
z [mm]
46,3°
4
3
2
tens max [MPa]
1
0
0
20
40
60
-1
Fycsc = 548,7 N
-2
T = 156,73 N
-3
Camma 1
-4
-5
-6
z [mm]
116,5°
1,5
1
tens max [MPa]
0,5
0
0
20
40
60
80
100
120
140
-0,5
-1
-1,5
-2
z [mm]
93
163,9°
25
20
tens max [MPa]
15
10
5
0
0
20
40
60
80
100
120
140
-5
-10
z [mm]
118,2°
6
5
4
tens max [MPa]
3
2
Fyaas = -404,75 N
T = 18,96 N
1
Camma 2
0
0
20
40
60
80
100
120
140
80
100
120
140
-1
-2
z [mm]
160,2°
2
1
0
tens max [MPa]
0
20
40
60
-1
Fycas = 340,29 N
-2
T = 111,8
Camma 4
-3
-4
-5
z [mm]
94
221,4°
6
4
tens max [MPa]
2
0
0
20
40
60
80
100
120
140
100
120
140
-2
-4
-6
-8
z [mm]
267,4°
3
2,5
2
tens max [MPa]
1,5
1
0,5
0
0
20
40
60
80
-0,5
-1
z [mm]
Adesso possiamo ragionare in termini di andamento della tensione massima in una
determinata sezione nel tempo. Infatti scelte le sezioni, ovvero fissati determinati valori delle
ascisse z nei diagrammi di tensione sopra riportati, possiamo visualizzare nei diversi piani sia
le tensioni normali che le tensioni tangenziali dovute alla torsione.
95
piano xz
3
2,5
2
σ [MPa]
1,5
a
1
b
0,5
1
0
-0,5 0
40
80
120
160
200
240
280
320
360
-1
2
3
-1,5
-2
fase [deg]
piano yz
20
15
σ [MPa]
10
a
5
b
0
1
-5
0
40
80
120
160
200
240
280
320
360
2
3
-10
-15
fase [deg]
96
piano xy
5
4
3
τ xy [MPa]
2
a
1
b
0
-1 0
1
40
80
120
160
200
240
280
320
-2
360
2
3
-3
-4
-5
fase [deg]
Questi comunque sono diagrammi relativi ad un punto fisso nello spazio in corrispondenza
dell’asse x o dell’asse y ma non rappresentano la sollecitazione di fatica di un punto rotante
con l’albero. Per ottenere i diagrammi della sollecitazione di fatica dobbiamo innanzitutto
quantificare la sollecitazione centrifuga e poi scrivere le equazioni del moto per un punto
rotante. C’è da notare che ogni sezione risulta cimentata per un periodo pari circa a 270° di
rotazione. I 90° inutilizzati corrispondono a 180° di angolo di manovella ed è il periodo in cui
entrambe le camme restano chiuse per permettere l’accensione nella camera di combustione.
Forze centrifughe
La prima grossa differenza fra le sollecitazioni inerziali e le centrifughe è che le prime sono
per l’albero un sistema dinamico mentre le seconde costituiscono un sistema statico perché
rotante insieme all’albero stesso. Le forza centrifughe nascono dal fatto che le camme sono
eccentriche, per cui, messe in rotazione generano una risultante diversa da zero in direzione
ortogonale all’asse di rotazione.
forza centrifuga
baricentro
e
asse di rotazione
La meccanica dei solidi ci dice che il sistema di vettori radiali che rappresenta la
r
sollecitazione centrifuga Fc è riconducibile ad un’unica forza radiale di intensità pari a:
Fc = m ω 2 e
97
dove m è la massa dell’eccentrico, è la velocità angolare, e l’eccentricità, e con direzione la
congiungente tra il centro di rotazione e il baricentro.
In tabella sono riportati le aree trasversali delle camme, le coordinate dei baricentri, l’intensità
delle forze.
area trasversale [mm2]
spessore [mm]
massa [gr]
velocità angolare [1/s]
x0 [mm]
y0 [mm]
eccentricità [mm]
intensità [N]
Chiusura Scarico
1335,81
7
72,935
523,6
1,873
2,577
3,186
63,646
Apertura Aspirazione
777,318
7
42,441
523,6
-3,965
0,960
4,080
47,428
Apertura Scarico
877,013
7
47,885
523,6
0,634
3,946
3,996
52,414
Chiusura Aspirazione
1322,81
7
72,225
523,6
-3,095
-0,886
3,219
63,678
Il diagramma delle forze centrifughe e della risultante è qui riportato.
Forze centrifughe [N]
60
50
baraas
barcas
barasc
barcsc
Fccas
Fccsc
Fcasc
Rc
Fcaas
40
30
20
y
10
0
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
-10
-20
-30
x
r
Con Rc si è indicata la risultante delle azioni centrifughe. Dalla composizione vettoriale
deriva che questa ha un intensità:
Rc = 114,776 N
e forma un angolo con l’asse x pari a 123,1232°.
La massima tensione statica a cui vengono sottoposte le cinque sezioni a causa della forza
centrifuga risultante è riportata in tabella.
a
b
1
2
3
c [Mpa]
0
-1,95532
4,473215
5,131339
3,298718
98
Le equazioni che forniscono le tensioni di fatica sono state ottenute proiettando sul piano
r
della Rc le forze calcolate sui piani xz ed yz e tenendo conto della rotazione dell’albero:
σ fat = σ c + σ xz cos(27° + fase) + σ yz sen(27° + fase)
ottenendo in questo modo la tabella delle tensioni di fatica normali e tangenziali nelle sezioni
0
sigma
a
b
1
2
3
a
b
1
2
3
0
-1,337392
2,8367559
2,2547379
0,562192
tau
0
0
0
0
0
15,6
46,3
117,35
162,05
221,4
267,4
sigma
sigma
sigma
sigma
sigma
sigma
0,897803 -1,77599 0,797217 -6,29717
-0,976675 0,136939
-2,48797 -1,58666 -2,81213 -2,39105
-2,194706 -1,52047
5,126024 5,084154 6,717354 11,04501 5,6910901
2,82281
6,420111 5,581505 8,422347 15,67353 7,1633088 3,239833
4,556177
3,58811 5,418766 12,31415 6,1447825
2,08275
tau
tau
tau
tau
tau
tau
3,932 -4,23777 0,653375 -1,35492
-3,061075 0,127528
2,41474 -2,60252 0,401254 -0,83209
-1,879883 0,078318
2,085943
0
-0,2724 -0,71879
-1,623914 0,067654
2,085943
0
0 -0,71879
-1,623914
0
0
0
0 1,603754
-1,623914
0
Possiamo dunque ottenere l’andamento durante un ciclo delle tensioni di fatica per le cinque
sezioni. Questi diagrammi rappresentano adesso l’andamento della sollecitazione su un punto
dell’albero rotante e da questi sarà possibile estrarre i parametri caratteristici di una
sollecitazione di fatica quali valori medi ed alternati.
Tensioni assiali
20
15
[Mpa]
10
a
b
5
1
2
3
0
-40
0
40
80
120
160
200
240
280
320
360
-5
-10
fase
Ricaviamo quindi i valori di tensione media ed alternata per ognuna delle sezioni. I valori di
tensione media sono stati ottenuti su un periodo di funzionamento di 360°. In realtà sappiamo
99
che l’albero risulta cimentato per 270° ma sarebbe stato scorretto mediare i valori di tensione
solo su quell’intervallo.
a
b
1
2
3
m
a
m
a
-0,80199
-1,59227
4,369244
5,417263
3,851881
3,597487
1,406065
4,111098
6,709395
5,875978
-0,43787
-0,26891
-0,05128
-0,02853
-0,00224
4,084887
2,508631
1,854928
1,854928
1,613834
Fatica
Prima di passare alla verifica di resistenza per carichi di fatica dobbiamo fare alcune
precisazioni sui fattori di concentrazione di tensione da usare nelle sezioni scelte sia in
relazione alla flessione che alla torsione.
alfak flessione
3
2,8
2,6
2,4
2,2
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
D/d
1,02
1,05
1,1
1,5
3
0
0,05
0,1
r/D
0,15
0,2
0,25
alfak torsione
2,8
2,6
2,4
D/d
2,2
2
1,8
1,6
1,09
1,2
1,33
2
1,4
1,2
1
0
-
0,05
0,1
r/D
0,15
0,2
Flessione
Per la sezione A il problema non si pone perché non vi è variazione di diametro.
Per la sezione B si passa da un diametro d = 20 mm ad un diametro D = 24 mm.
Dalla tabella si trova un fattore di concentrazione di tensione statico k = 2,225. Con un
raggio di raccordo r = 0,5 mm il fattore di sensibilità all’intaglio è q = 0,85 da cui il fattore
di concentrazione di tensione per sollecitazioni di fatica:
kf = 1+ q (k-1) = 2,041
Per la sezione 1 dati: d = 21 mm , D = 41,811 mm , r = 0,3 mm si trovano:
k = 2,64 ; q = 0,8 ; kf = 2,312
100
k = 2,39 ; q = 0,8 ; kf = 2,113
k = 2,675 ; q = 0,8 ; kf = 2,34
-
Torsione
Per la sezione A valgono le stesse considerazioni fatte per la flessione.
Per la sezione B si passa da un diametro d = 20 mm ad un diametro D = 24 mm.
Dalla tabella si trova un fattore di concentrazione di tensione statico k = 1,817. Con un
raggio di raccordo r = 0,5 mm il fattore di sensibilità all’intaglio è q = 0,85 da cui il fattore
di concentrazione di tensione per sollecitazioni di fatica:
kf = 1+ q (
k-1)
= 1,695
k = 2,286 ; q = 0,8 ; kf = 2,029
k = 2,006 ; q = 0,8 ; kf = 1,805
k = 2,325 ; q = 0,8 ; kf = 2,06
Secondo la teoria di Von Mises, in presenza di uno stato multiplo di sollecitazione con valori
medi ed alternati diversi da zero, si definiscono delle tensioni di confronto:
2
2
σ m ' = σ zm
+ 3τ zm
σ a'=
(k
ff
σ za )2 + 3(k ftτ za )2
dove kff e kft sono i fattori di concentrazione di tensione dinamica per la flessione e per la
torsione ottenuti in precedenza.
In questo modo le tensioni di confronto per le sezioni risultano:
a
b
1
2
3
’m
1,103804
1,658989
4,370146
5,417489
3,851883
’a
7,937306
7,716216
11,54032
16,60116
14,6664
101
Diagramma di Goodman
Questi valori vanno inseriti in un diagramma di Goodman noto che sia il limite di resistenza a
fatica Lf effettivo del pezzo. Per il materiale 16NiCr11 si hanno:
R
= 1200 Mpa ;
S
= 980 Mpa
Per un acciaio ad alta resistenza come questo è consigliato un limite di resistenza a fatica dato
da:
L’f = 0,33
R
= 396 Mpa
Per avere Lf dobbiamo considerare tutti i fattori che indeboliscono il pezzo nel suo
funzionamento a fatica tranne il fattore di concentrazione di tensione Ke già presente nelle
formule delle tensioni di confronto di Von Mises:
Lf = Ka ⋅ Kb ⋅ Kc ⋅ Kd ⋅ Kf ⋅ Kg ⋅ L’f
- Ka
E’ il fattore che tiene conto delle finitura superficiale del pezzo. Per le sezioni A e B possiamo
considerare una buona finitura superficiale ottenuta per rettifica, per cui possiamo prendere
Ka = 0,9 . Per le sezioni 1, 2 ,3 va considerato il materiale laminato a freddo e quindi, essendo
R = 1200 Mpa, troviamo Ka = 0,67.
-
Kb
E’ il fattore che tiene conto delle dimensioni del pezzo. Per tutte le sezioni possiamo prendere
un valore Kb = 0,92
-
Kc
E’ il fattore che tiene conto dell’affidabilità. Ipotizzando un’affidabilità del 90%, si trova un
valore dello scostamento unitario dal valore medio z = 1,28. Da questo, per tutte le sezioni
possiamo prendere un valore Kc = 1 - 0,08 ⋅ z = 0,8976.
-
Kd
E’ il fattore che tiene conto degli effetti della temperatura sulla resistenza del pezzo. Da
riviste abbiamo ricavato valori di temperatura della testata fra i 100°C e 200°C chiaramente a
seconda delle condizioni di funzionamento e di fattori come la temperatura ambiente ecc…
620
Prendendo un valore di temperatura T = 150°C si trova K d =
= 0,811.
9
494 + T
5
-
Kf , Kg
Tengono conto rispettivamente di effetti vari (difetti interni, anisotropia, corrosione) e di
eventuali trattamenti termici. Posto Kf = 1 , dato che l’albero viene cementato possiamo porre
un coefficiente Kg = 1,3.
Quindi alla fine risulterà:
-
A, B
102
LfA,B = 0,9 ⋅ 0,92 ⋅ 0,8976 ⋅ 0,811 ⋅ 1 ⋅ 1,3 ⋅ L’f = 310,3 MPa
-
1, 2, 3
Lf1,2,3 = 0,67 ⋅ 0,92 ⋅ 0,8976 ⋅ 0,811 ⋅ 1 ⋅ 1,3 ⋅ L’f = 231 MPa
σa
Accanto è riportato un diagramma di
Goodman di esempio. La retta di
rottura unisce il Lf sull’asse delle
ordinate con il R sull’asse delle
Lf
ascisse, i punti A sono rappresentativi
B
degli stati di tensione nelle varie
A
sezioni, i coefficienti di sicurezza si
sono ricavati come rapporto tra la
O
σR
lunghezza del segmento OB e il
σm
segmento OA.
Sotto si riportano le zone caratteristiche dei diagrammi di Goodman relativi alle sezioni
scelte.
Goodman A,B
350
300
sigma a
250
200
a
b
150
100
50
0
0
50
sigma m
100
Goodman 1,2,3
350
300
sigma a
250
200
1
2
150
3
100
50
0
0
50
sigma m
100
Come si può vedere i punti rappresentativi sono molto lontani dalla retta di rottura pertanto i
coefficienti di sicurezza che troveremo saranno abbastanza alti.
Risultano infatti i coefficienti:
103
n
A
35,7
B
39
1
19
2
13
3
15,4
Appare chiaro dunque che la vita a fatica ottenuta per sollecitazioni inerziali e centrifughe non
è un parametro determinante ai fini del proporzionamento. I coefficienti di sicurezza ricavati
sono molto espliciti a riguardo: il dimensionamento della casa costruttrice è stato fatto in
grande sicurezza. D’altra parte la tipologia di moto scelta è quella di una moto da turismo per
la quale importanza fondamentale assume l’affidabilità di ogni sua parte soprattutto dei
componenti il gruppo termico. Possiamo dunque dire che l’albero di distribuzione risulta in
sicurezza per vita infinita riguardo le sollecitazioni di origine inerziale e centrifuga.
Considerazioni sulle concentrazioni di tensione
Il procedimento seguito parte da alcune ipotesi di base che sono state rispettate durante tutto il
calcolo. Queste ipotesi hanno semplificato il problema e ci hanno permesso di risolverlo con i
mezzi che la teoria fornisce. In particolare dobbiamo ricordare come è stata interpretata la
presenza delle camme ai fini della verifica dell’albero. I calcoli effettuati per determinare, dai
diagrammi del momento flettente, la rotazione delle sezioni, la deformata dell’albero per poi
ricavare le tensioni normali e tangenziali partivano dall’ipotesi di considerare le camme come
variazioni di diametro dell’albero e quindi impostare per la sezione dell’albero in
corrispondenza di una camma un valore di momento di inerzia di figura pari proprio a quello
della camma. Ciò ha comportato un andamento della rotazione, come visto, scalettato. Ma
l’interpretazione fornita è in effetti una forzatura in quanto gli studi fatti sugli alberi a sezione
variabile partono dall’ipotesi in cui i tratti a diametro variabile abbiano una lunghezza assiale
paragonabile. Per l’albero di distribuzione in studio questo non è vero in quanto lo spessore di
ogni singola camma è di soli
7 mm. Nella realtà la presenza della camma, anche se
indubbiamente modifica il comportamento dell’albero localmente, globalmente non ne altera
sensibilmente le capacità di resistenza. La rigidezza dell’albero non viene effettivamente
modificata quanto si potrebbe credere.
Ma le conseguenze più evidenti si hanno nella valutazione dei coefficienti di concentrazione
di tensione che abbiamo fatto in prossimità delle camme. Fermi restando i coefficienti ottenuti
per la sezione B, per la quale le ipotesi sulla paragonabilità dei tratti a diametro diverso sono
valide, per le sezioni 1, 2, 3 si sono ottenuti valori di k che vedremo essere eccessivi.
Lo studio dell’effettiva concentrazione di
tensione statica è stato affrontato tramite
ANSYS sottoponendo una parte di albero ad
un sistema di carichi affine a quello che si
presenta nel nostro problema. Abbiamo
sottoposto l’albero ad una distribuzione di
tensione di trazione triangolare che
rappresentasse
una
sollecitazione
di
flessione, come visibile nella figura a lato. I
vincoli di continuità e di simmetria sono
rappresentati dalle linee in verde.
Il valore massimo della tensione di trazione ad una certa distanza dalla discontinuità e pari a
100 MPa. Come si può vedere dalle figure seguenti, in prossimità della variazione di diametro
la tensione assume valori più elevati, circa 130 MPa. Il coefficiente di concentrazione delle
tensioni a seguito di un’analisi numerica risulta quindi k = 130/100 = 1,3 .
104
Nonostante l’incremento vi sia stato, sicuramente è inferiore rispetto a quello previsto dalle
tabelle. Infatti con un raggio di raccordo r = 0,3 mm, un diametro minore d = 21 mm ed uno
maggiore D = 40 mm si ricava k = 2,286.
La spiegazione consiste quindi nella limitata estensione assiale della camma. Infatti se
vediamo la figura … si può apprezzare come le linee di flusso in realtà non riescono a risalire
sulla camma che rimane pertanto scarica. Un’analogia idrodinamica rende facile
l’interpretazione: il moto di un fluido (le linee di tensione) che scorre nella direzione dell’asse
viene interessato dalla presenza di un’apertura sulla parete; la velocità del fluido all’interno di
questa apertura (l’intensità della tensione) sarà tanto più elevata quanto più estesa sarà
l’apertura. Al tendere a zero dell’estensione dell’apertura il fluido ristagnerebbe senza
muoversi (la camma sarebbe del tutto scarica).
Abbiamo riportato anche l’andamento delle tensioni in direzione ortogonale all’asse caricando
l’elemento con una pressione uniforme sul lato più alto pari a 100 MPa. Dalle mappe si
intuisce che anche in questo caso, in prossimità della discontinuità, si ha una concentrazione
di tensione quantificabile con un k = 1,47.
105
In conclusione possiamo dire che le verifiche fatte secondo la teoria dell’elasticità partono da
un’ipotesi che rende i calcoli conservativi. Lo studio numerico ha dimostrato che in realtà le
discontinuità geometriche non danno l’effetto negativo che si pensava.
106
4 - USURA
PER FATICA SUPERFICIALE
107
4 - USURA PER FATICA SUPERFICIALE
Di grandissima importanza nello studio dei sistemi di distribuzione assumono le pressioni di
contatto, le pressioni Hertziane. A rigore lo studio di Hertz è rivolto ai moti di puro
rotolamento, mentre sul cinematismo oggetto di studio è presente una componente tangenziale
della velocità. Lo strisciamento tra movente e cedente che ne consegue favorisce l’insorgere
di altri tipi di usura, quali l’usura abrasiva.
Una regolare abbondante lubrificazione permette l’instaurarsi di un regime idrodinamico, e
quindi l’eliminazione dell’usura superficiale, restringendone lo studio ai periodi di
funzionamento irregolare, in assenza temporanea di lubrificante, o di pressione del
lubrificante. Tuttavia forti pressioni di contatto, unite a forti velocità relative, possono
sviluppare calore in misura tale che il corrispondente rialzo termico porta all’interruzione del
velo di lubrificante, in seguito all’eccessiva perdita di viscosità. Ne segue lo sfregamento
diretto delle superfici con conseguenti rigature, fino al limite del grippaggio.
Una delle conseguenze più comuni in contatti misti rotolamento – strisciamento è il cosiddetto
Pitting, ovvero la vaiolatura delle superfici di contatto che può portare anche alla formazione
di crateri. Questo fenomeno comporta malfunzionamenti nel cinematismo ed, alla lunga,
danneggiamenti del sistema. In accordo con la teoria di Hertz, si è dimostrato che la causa
principale del pitting è la tensione tangenziale che in questi casi raggiunge valori molto
elevati ad una certa profondità dalla superficie (vedi figura sottostante). Quando questa supera
il valore del limite di resistenza a fatica del materiale per sollecitazioni tangenziali si incorre
in fenomeni di pitting.
108
La verifica di resistenza nella pratica più diffusa si opera utilizzando il metodo di
Buckingham. Partendo dalle conclusioni ottenute da Hertz relativamente al contatto per linea,
possiamo scrivere che la semilarghezza b dell’impronta effettiva fra due superfici cilindriche
a contatto risulta:
(
b=
)
1−ν 2
2P 2 ⋅
E
⋅
1
1
πl
+
d1
d2
,
avendo indicato con
-
P il valore del carico normale alla superficie di contatto
ν il modulo di Poisson (=0,3)
E il modulo dell’elasticità (=210.000 Mpa)
d1 raggio di curvatura del primo elemento
d2 raggio di curvatura del secondo elemento
l lunghezza assiale del contatto (=7mm)
Le caratteristiche del materiale vengono implicitamente supposte uguali dal tipo di formula
usata, ed in particolare riferite all’acciaio.
Il valore della pressione massima di contatto sarà:
pHz =
2P
πbl
Occorrerà dunque avere informazioni su tutti questi parametri per ogni istante di
accoppiamento tra le superfici a contatto.
Il valore del carico normale P è stato dedotto nel capitolo Dinamica.
Il raggio di curvatura di tutti i bilancieri è di 25 mm.
109
Per il calcolo del raggio di curvatura degli eccentrici per ogni valore dell’anomalia ϕ, si fa
riferimento alla figura a pagina seguente:
Considerando β formato dal vettore posizione ρ e dalla normale alla tangente al profilo a, il
centro di curvatura, per una coppia di punti del profilo di vettori ρ1 e ρ2, è dato
dall’intersezione tra le rette a e b.
Tali rette hanno equazioni:
y = y1 + tg (π − ϕ1 − β1 ) ⋅ ( x − x1 )
ed
y = y2 + tg (π − ϕ 2 − β 2 ) ⋅ ( x − x2 )
( )
Trovato il punto di intersezione x, y tra le due rette il raggio di curvatura è:
r=
(x − x ) + (y − y )
2
1
2
1
110
Nel grafico seguente si può osservare l’andamento del raggio di curvatura su camma di
apertura. Tale valore non deve scendere mai al disotto dei 5 mm, motivo per cui bisogna
limitare molteplicità elevate soprattutto vicino alle rampe.
Raggio di curvatura
500
400
R [mm]
300
200
100
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-100
-200
punti
La pressione massima va confrontata con un valore limite che assicura che il pezzo non si
danneggi per un certo numero di cicli. Quando il numero di cicli di riferimento è 108 il valore
di pressione di confronto si chiama limite di resistenza a fatica superficiale e si indica con Sfe
. Non potendo trovare sperimentalmente il valore di Sfe per l’albero a camme ci basiamo su
una formula empirica che ci consente di ottenerlo nota la durezza del materiale:
Sfe = 400 HB – 10000
[psi]
dove HB è la durezza Brinell espressa in daN/mm2 .
Per il materiale utilizzato si trova HB = 3 ⋅ R = 360 daN/mm2 , da cui:
Sfe = 134000 psi = 920 Mpa
Si tratta effettivamente di un limite piuttosto alto, ma in linea con le qualità costruttive
giustificate dal tipo di sistema.
La condizione di sicurezza si ha fin quando viene soddisfatta la disuguaglianza:
pmax ≤ Sfe
Ecco quello che succede in funzionamento: quando la valvola ha accelerazione positiva le
forze di contatto si scaricano sul movente positivo, diversamente sul negativo.
Al massimo regime di funzionamento, 5000 rpm, per le camme rispettivamente di apertura e
chiusura aspirazione, si ha il seguente andamento della pressione Hertziana al variare
dell’angolo di rotazione dell’albero a camme.
111
Camma di apertura aspirazione: pressione Hertziana
25000
3250
2250
1750
10000
1250
5000
750
250
0
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110 120 130 140 150 160 170-250
-5000
-750
-10000
-1250
fase distribuzione
Camma di chiusura aspirazione: pressione Hertziana
25000
1000
pressione Hertziana cas
SFE
20000
m/secq;N
15000
800
600
10000
400
5000
200
0
0
50
100
150
200
250
0
300
-5000
-200
-10000
-400
fase distribuzione
Vista la vicinanza dei massimi valori a quelli limite, si deduce che il limite strutturale più
evidente sono proprio le forze di contatto, soprattutto appurato che la fatica flessionale ha
coefficienti di sicurezza a vita infinita che sono quasi di un ordine di grandezza superiori a
quelli delle pressioni Hertziane.
Si riportano di seguito anche i grafici relativi alla valvola di scarico.
112
p Hertz [Mpa] ; N
15000
m/secq
2750
accelerazione valvola
forza normale
pressione Hertziana
SFE
20000
Camma di apertura scarico: pressione Hertziana
60000
5000
50000
4000
forza normale
40000
pressionw Hertziana
3000
SFE
m/secq;N
30000
2000
20000
1000
10000
0
0
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
-10000
170
-1000
fase distribuzione
Camma di chiusura scarico: pressione Hertziana
60000
1000
50000
pressione Hertziana csc
SFE
40000
m/secq;N
30000
800
600
400
20000
200
10000
0
0
-10000
0
50
100
150
200
250
300
-200
-20000
-400
fase distribuzione
Si osservi ora il picco nel grafico relativo alla camma di apertura scarico: sembrerebbe in
effetti che il limite di fatica venga superato. In effetti, se il regime di funzionamento del
motore fosse sempre quello massimo, allora su questo eccentrico si verificherebbe una rottura
per Pitting superficiale prima dei 108 cicli, vita solitamente richiesta per tale tipo di organo.
Ovviamente, anche nell’impiego più spinto, è difficile che si verifichi tale circostanza.
113
Considerando che le pressioni di contatto sono proporzionali alla radice quadrata del carico
normale, e che quest’ultimo è proporzionale all’accelerazione, a sua volta quadratica con il
regime, ne consegue che:
pHz = C⋅n,
dove C è una costante di proporzionalità. Se la pressione hertziana è proporzionale, per
ciascun angolo di rotazione dell’albero, al regime di rotazione, allora lo sarà anche l’inverso
del più piccolo coefficiente di sicurezza.
Se ne deduce che, nei riguardi della fatica superficiale, il coefficiente di sicurezza per il limite
di 108 cicli ha un andamento iperbolico sull’arco di utilizzo.
Centrando una curva di distribuzione gaussiana sull’arco di coppia si può trovare il valore di
compenso del coefficiente di sicurezza durante l’intera vita dell’organo.
Come si vede dagli ultimi due grafici seguenti, un utilizzo normale, nel quale il motore gira
soprattutto intorno al regime di coppia massima, il coefficiente di sicurezza compensato è
superiore all’unità, mentre, al contrario, un impiego di tipo estremo limita la vita degli organi
della distribuzione al disotto dei 100 milioni di cicli, circa 280 ore di funzionamento.
180
0,00045
160
0,0004
c oppia
140
0,00035
pres sione Hertz iana mas sima
s ic urez za%
120
0,0003
n medio
probabilità Gaus siana
100
0,00025
80
0,0002
60
0,00015
40
0,0001
20
0,00005
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
probabilità Gaussiana
Coppia [Nm]-sicurezza%-pressione
daN/mmq
Danneggiam ento a usura
0
12000
rpm
114
180
0,00045
160
0,0004
coppia
140
0,00035
pres s ione Hertziana mas sima
sic urezz a%
120
0,0003
n medio
probabilità Gauss iana
100
0,00025
80
0,0002
60
0,00015
40
0,0001
20
0,00005
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
probabilità Gaussiana
Coppia [Nm]-sicurezza%-pressione
daN/mmq
Danneggiam ento a usura
0
12000
rpm
115
5 - RECUPERO GIOCO VALVOLA
116
5 - RECUPERO GIOCO VALVOLA
Come abbiamo visto nel capitolo 1, l’accoppiamento valvola – bilancieri è un accoppiamento
con gioco. Questo gioco è stato quantificato tenendo conto delle posizioni imposte dai
cinematismi di apertura e chiusura della valvola. La presenza di un gioco consistente sulla
valvola è un accorgimento di fondamentale importanza nei motori termici; esso nasce dalla
necessità di prevedere variazioni dimensionali di ogni elemento del cinematismo durante il
funzionamento. Le cause sono sia le sollecitazioni centrifughe che quelle termiche mentre la
conseguenza dal punto di vista cinematico, qualora non si prevedesse il gioco richiesto,
sarebbe la compenetrazione tra bilancieri e valvola. Dato che compenetrazione non ve ne può
essere, si presenterà uno stato tensionale che può essere nocivo al corretto funzionamento del
sistema: i bilancieri risulteranno sottoposti a flessione mentre la valvola risulterà compressa
nella parte compresa tra i due pattini. Oltre le conseguenze tensionali ci saranno anche
variazioni nei diagrammi di alzata perché le posizioni occupate dai bilancieri in un istante
fissato non saranno più quelle calcolate nella sezione Cinematica ma dovranno tenere conto
delle deformazioni a cui i bilancieri sono sottoposti.
b1
30
b2
20
10
0
-30
-20
-10
lv
0
10
20
30
40
lc
-10
-20
-30
-40
117
Valutazione del gioco minimo per deformazioni termiche
Come si può vedere nella figura a pagina precedente il gioco è valutabile come differenza tra
la lunghezza lc imposta dal cinematismo e la lunghezza lv della parte della valvola compresa
tra cappuccio ed anello. Ci poniamo su di un asse parallelo all’asse valvola e consideriamo
ogni componente di spostamento su questo asse. La situazione peggiore si avrebbe qualora
entrambi i bilancieri fossero in contatto con le rispettive camme in corrispondenza del raggio
massimo. Questa situazione però non si può presentare per come sono state fasate le camme:
quando una delle camme è in contatto nella zona di raggio massimo, l’altra è in contatto nella
zona di raggio minimo. Operiamo quindi una valutazione qualitativa prendendo sia per la
camma di chiusura che per quella di apertura un raggio medio. Ricavata per ogni camma lo
spostamento radiale per avere lo spostamento del pattino del bilanciere lungo l’asse
valvola si dovrà tenere conto dei bracci del bilanciere e dell’angolo di inclinazione della
valvola. La deformazione dovuta alla dilatazione libera di un corpo è data da:
ε=
Data una variazione di temperatura
∆l
= α ∆T
l
T = 150 °C ed un coefficiente di dilatazione termica
lineare per l’acciaio α = 10 −6 °C −1 si possono eseguire i calcoli sotto riportati.
-
Apertura
raggio minimo
min
= 14,2 mm
raggio massimo
max
= 23,17 mm
raggio medio
ρ = 18,68 mm
variazione raggio
∆ρ = α ρ ∆T = 2,43⋅10-3 mm
variazione posizione bilanciere
b
32,71
lbil,a = 1 ∆ρ =
2,43 ⋅ 10 −3 = 2,417⋅10-3 mm
b2
32,89
Ci siamo serviti del programma agli elementi finiti ANSYS 5.3 per visualizzare, in ogni
punto, lo spostamento radiale cui le camme sono sottoposte a seguito di una variazione di
118
temperatura uniforme T = 150 °C. Abbiamo così importato la geometria dei profili, tramite i
parametri caratteristici definiti nella sezione Cinematica, in ambiente ANSYS ed operato la
meshatura. In figura seguente è riportata la camma di apertura meshata.
Si è scelto un elemento quadrangolare ad otto nodi (PLANE 82) adatto a rappresentare uno
stato piano di tensione. Il file *.bas che genera il file *.log per ANSYS è stato compilato per
dare alla camma il profilo esterno richiesto ed un raggio interno diverso da zero. Questo
perché è necessario vincolare diversamente la camma a seconda del tipo di sollecitazione cui
essa è sottoposta. Nel caso della sollecitazione termica libera, la camma non andrebbe
vincolata, ma per come è compilato il programma è necessario dare un raggio interno.
Abbiamo preso per comodità di calcolo un raggio r = 1 mm che non compromette l’esito dei
risultati dato che a noi interessa lo spostamento sul profilo esterno, ad un distanza consistente,
dunque, dal punto di vincolo. Riportiamo la mappa degli spostamenti radiali per la camma di
apertura. Come si può vedere i valori ottenuti con i due procedimenti sono molto simili. A
fine capitolo abbiamo riportato il file *.log da fare leggere al programma.
119
-
Chiusura
raggio minimo
min
= 14,42 mm
max
= 23,32 mm
raggio massimo
raggio medio
ρ = 18,87 mm
variazione raggio
∆ρ = α ρ ∆T = 2,45⋅10-3 mm
variazione posizione bilanciere
b
26,37
lbil,c = 1 ∆ρ =
2,45 ⋅ 10 −3 = 2,187⋅10-3 mm
b2
29,54
Similmente a quanto fatto per la camma di apertura, riportiamo la mappa degli spostamenti
radiali per quella di chiusura. Anche in questo caso i risultati ottenuti sono molto simili.
120
La variazione di posizione dei bilancieri è data da:
∆lc = ∆lbil ,a + ∆lbil ,c = 4,6 ⋅ 10 −3 mm
-
Valvola
lunghezza
lv = 20 mm
variazione lunghezza
lv = α lv ∆T = 2,6⋅10-3 mm
Possiamo quindi dare una valutazione orientativa del minimo valore di gioco che deve
esistere nell’accoppiamento bilancieri – valvola al fine di permettere la libera
deformazione termica del sistema:
gmin,T = lc + lv = 7,2⋅10-3 mm
121
Valutazione del gioco minimo per deformazioni centrifughe
Come detto in precedenza un altro fattore che influenza la scelta del gioco minimo da dare
all’accoppiamento valvola – bilancieri è la deformazione dei profili degli eccentrici dovuta
alla rotazione dell’albero di distribuzione. Sia la camma di apertura che la camma di chiusura
tendono ad espandersi a seguito della rotazione e quindi, come nel caso delle deformazioni
termiche, la lunghezza lc in funzionamento diminuisce. Quella che praticamente possiamo
considerare invariante è la lunghezza lv della valvola, per cui il gioco minimo per
deformazioni centrifughe tiene conto solo della variazione dimensionale degli eccentrici. Per
valutare l’entità di questa variazione ci siamo serviti del programma agli elementi finiti
ANSYS 5.3 , che ci ha permesso di visualizzare, in ogni punto, lo spostamento radiale cui le
camme sono sottoposte a seguito di una velocità di rotazione dell’albero a camme n = 5000
rpm. Abbiamo così importato la geometria dei profili, tramite i parametri caratteristici definiti
nella sezione Cinematica, in ambiente ANSYS ed operato la meshatura. In figura seguente è
riportata la camma di apertura meshata.
I vincoli nelle direzioni x e y sono applicati a tutti i nodi della circonferenza interna che
coincide con quella dell’albero. Si è implicitamente ipotizzando che l’albero potesse essere
considerato di rigidezza infinita e quindi non soggetto a deformazione. L’ipotesi è confortata
anche dal fatto che l’estensione assiale dell’albero è notevolmente più grande di quella della
122
camma. Nei diagrammi sottostanti sono riportate le mappe degli spostanti radiali per entrambe
le camme.
Nella pagina seguente le camme sono state messe in fase.
123
chiusura
apertura
Come si può vedere dalle tabelle i valori massimi di spostamento radiale sono:
-
apertura
max,a
-
= 3,33⋅10-3 mm
chiusura
max,c
= 4⋅10-3 mm
Come visto prima, gli istanti di massimo spostamento radiale per le due camme non sono
contemporanei, per cui sommare i valori massimi non sarebbe corretto. Semplificando la
situazione, ponendo cioè i due punti di contatto diametralmente opposti, la situazione più
critica è quella prospettata sopra con i due punti di contatto evidenziati. In questa
configurazione gli spostamenti sono:
-
apertura
a
-
= 1,37⋅10-3 mm
chiusura
124
c
= 2,96⋅10-3 mm
da cui le variazioni di posizione dei bilancieri:
-
-
apertura
lbil,a =
b1
32,71
∆ρ a =
1,37 ⋅ 10 −3 = 1,36⋅10-3 mm
32,89
b2
lbil,c =
b1
26,37
∆ρ c =
2,96 ⋅ 10 −3 = 2,64⋅10-3 mm
29,54
b2
chiusura
Pertanto il gioco minimo nell’accoppiamento valvola – bilancieri per le sollecitazioni
centrifughe risulta:
gmin, = ∆lc = ∆lbil ,a + ∆lbil ,c = 4 ⋅10 −3 mm
Da quanto calcolato per sollecitazioni termiche e centrifughe si trova un valore di gioco
minimo:
gmin = gmin,T + gmin, = 11,2⋅10-3 mm
Questo gioco ha in effetti un valore poco indicativo in quanto nella pratica di montaggio non
avrebbe senso misurare una quantità che è dello stesso ordine di grandezza delle tolleranze
dimensionali ed inoltre difficilmente apprezzabile con i più comuni spessimetri adoperati per
questo scopo. D’altra parte la letteratura a riguardo ci dice che le case costruttrici consigliano
valori di gioco pari a qualche decimo di millimetro, di un ordine di grandezza superiore
quindi rispetto a quello determinato da noi. La spiegazione si trova nel fatto che, in effetti, le
sollecitazioni termiche e centrifughe non hanno una funzione prevalente nella deformabilità
del sistema. Come vedremo nella sezione relativa alle Vibrazioni, l’entità della freccia cui è
sottoposto un bilanciere nell’istante in cui incomincia ad essere spostato, arriva fino al decimo
di millimetro. Ciò significa che il ciclo di un bilanciere sarà caratterizzato da un moto
vibratorio che, sull’asse valvola, si può quantificare con un
lbil dell’ordine del decimo di
millimetro. Da questo si capiscono i valori di gioco consigliati.
125
Nel caso del cinematismo di aspirazione i valori di gioco, calcolati come differenza tra i
diagrammi di alzata della camma di chiusura e di quella di apertura, sono riportati nel grafico
seguente.
Gioco valvola di aspirazione
1,2
1
0,8
mm
0,6
0,4
0,2
0
0
50
100
150
200
250
300
-0,2
fase [deg]
I valori massimi vanno presi tenendo conto dell’errore inevitabile derivante dalla difficoltà di
modellazione delle camme nei tratti di accostamento (dovuto ai limitati gradi di libertà) e
dalla procedura di messa in fase delle due camme per cui ad un istante fissato del diagramma
di apertura corrisponde un intervallo su quello di chiusura. Il principio di selezione dei punti
corrispondenti è quello di minimizzare gli errori, ma oltre un certo valore si ottengono pochi
punti validi lungo un intero ciclo. Osservando il grafico possiamo comunque renderci conto di
come la distribuzione dei valori sia tale da non preoccupare sul corretto funzionamento del
cinematismo.
126
Alzate
12
chiusura
apertura
10
8
mm
6
4
2
0
0
30
60
90
120
150
-2
180
210
240
270
300
Fase
Infatti, come si può vedere più agevolmente dai diagrammi di alzata, lo scarto maggiore si ha
proprio nei tratti di accostamento dove il moto è comandato da una sola camma, per cui un
gioco eccessivo non ha alcuna conseguenza. I tratti più delicati sono le rampe, corrispondenti
ai momenti in cui si ha il passaggio di carico da una camma all’altra. Qui è importante che il
gioco sia ridotto al minimo per evitare urti che accorcerebbero drasticamente la durata delle
superfici. Come si può vedere, proprio sulle rampe si è riusciti ad ottenere valori di gioco
prossimi ai 2 decimi di millimetro, quindi in linea con quelli tratti in letteratura.
In conclusione quindi, è accertato che i profili degli eccentrici sono tali da:
-
assicurare il gioco minimo necessario a compensare le dilatazioni termiche e centrifughe e
le vibrazioni dovute alle pressioni hertziane
-
assicurare la massima precisione negli istanti in cui i carichi passano da una camma
all’altra
File .log per sollecitazione termica-centrifuga-hertziana
/COM,ANSYS RELEASE 5.3 UP071096
/PREP7
FLST,3,9,8
FITEM,3,0,0,0
FITEM,3, 14.2 , 0, 0
FITEM,3,-22 , 5.7 ,0
FITEM,3,-21.51891 , 8.594961 ,0
FITEM,3,-20.06446 , 10.77234 ,0
FITEM,3,-17.61987 , 12.32587 ,0
FITEM,3,-14.1684 , 13.34931 ,0
FITEM,3,-9.693267 , 13.93638 ,0
FITEM,3, 8.562066E-02 , 14.19974 ,0
K, ,P51X
FLST,3,6,8
FITEM,3,-21.70359 , 1.732348 ,0
FITEM,3,-20.76928 ,-1.553938 ,0
127
FITEM,3,-19.12946 ,-4.328853 ,0
FITEM,3,-16.71651 ,-6.76239 ,0
FITEM,3,-13.46283 ,-9.024545 ,0
FITEM,3,-5.988082 ,-12.87567 ,0
K, ,P51X
FLST,3,4,8
FITEM,3, 1 ,0,0
FITEM,3,0, 1 ,0
FITEM,3,-1 ,0,0
FITEM,3,0,-1 ,0
K, ,P51X
KPLOT
FLST,3,4,3
FITEM,3,3
FITEM,3,4
FITEM,3,5
FITEM,3,6
BSPLIN, ,P51X
FLST,3,4,3
FITEM,3,6
FITEM,3,7
FITEM,3,8
FITEM,3,9
BSPLIN, ,P51X
FLST,3,4,3
FITEM,3,3
FITEM,3,10
FITEM,3,11
FITEM,3,12
BSPLIN, ,P51X
FLST,3,4,3
FITEM,3,12
FITEM,3,13
FITEM,3,14
FITEM,3,15
BSPLIN, ,P51X
LARC,9,2,1, 14.2 ,
LARC,15,2,1, 14.2 ,
LARC,16,17,1, 1 ,
LARC,17,18,1, 1 ,
LARC,18,19,1, 1 ,
LARC,19,16,1, 1 ,
LPLOT
LSTR,
16,
2
LSTR,
17,
9
LSTR,
18,
6
LSTR,
18,
3
LSTR,
18, 12
LSTR,
19, 15
LPLOT
FLST,2,4,4
FITEM,2,5
FITEM,2,12
FITEM,2,7
FITEM,2,11
AL,P51X
FLST,2,4,4
FITEM,2,2
FITEM,2,13
FITEM,2,8
FITEM,2,12
AL,P51X
FLST,2,3,4
FITEM,2,13
FITEM,2,1
FITEM,2,14
AL,P51X
FLST,2,3,4
FITEM,2,3
FITEM,2,14
FITEM,2,15
AL,P51X
FLST,2,4,4
FITEM,2,4
FITEM,2,16
FITEM,2,9
FITEM,2,15
128
AL,P51X
FLST,2,4,4
FITEM,2,10
FITEM,2,11
FITEM,2,6
FITEM,2,16
AL,P51X
APLOT
ET,1,PLANE82
KEYOPT,1,3,3
KEYOPT,1,5,0
KEYOPT,1,6,0
R,1,1,
UIMP,1,EX, , ,210000,
UIMP,1,DENS, , ,.0000078,
UIMP,1,NUXY, , ,.3,
UIMP,1,ALPX, , ,1e-6,
LESIZE,ALL, , ,6,1,1
FLST,5,6,5,ORDE,2
FITEM,5,1
FITEM,5,-6
CM,_Y,AREA
ASEL, , , ,P51X
CM,_Y1,AREA
CHKMSH,'AREA'
CMSEL,S,_Y
ESHAPE,2,0
AMESH,_Y1
ESHAPE,0,0
CMDEL,_Y
CMDEL,_Y1
CMDEL,_Y2
FINISH
/SOLU
ANTYPE,0
TUNIF, 130 ,
FLST,2,1,1,ORDE,1
FITEM,2,14
OMEGA,0,0, 0 ,0
EPLOT
FLST,2,4,1,ORDE,3
FITEM,2,134
FITEM,2,-136
FITEM,2,265
SF,P51X,PRES, 0 ,
FLST,2,4,4
FITEM,2,8
FITEM,2,9
FITEM,2,10
FITEM,2,7
DL,P51X, ,SYMM
FLST,2,4,4
FITEM,2,7
FITEM,2,8
FITEM,2,9
FITEM,2,10
DL,P51X, ,ASYM
SAVE
/STAT,SOLU
SOLVE
/POST1
PLNSOL,S,XY,0
/REPLOT,RESIZE
129
6 - LE VIBRAZIONI
130
6 - LE VIBRAZIONI
Nei comuni procedimenti, analitici o grafici, adoperati per la determinazione dei diagrammi di
alzata, si formula l’ipotesi di infinita rigidezza del sistema. Gli eccentrici, i bilancieri, le
valvole e quant’altro può presentarsi in un cinematismo, sono invece elementi elastici, si
deformano cioè sotto l’applicazione dei carichi di esercizio. Di conseguenza le leggi di alzata
non rispecchiano quelle teoriche, ma se ne discostano di quantità pari alla somma di tutte le
deformazioni che si verificano sul sistema. Tali deformazioni possono venire anche
amplificate da bilancieri troppo grandi, oppure da una scelta sbagliata dei materiali che, pur
resistendo alle sollecitazioni strutturali, non garantiscono una risposta adeguata del sistema.
131
Nella figura precedente si mostra un tentativo di compensare le deformazioni modellando le
camme con un modello “polydyne”, consistente in polinomi a controllo locale tali da
controllare variazioni del profilo di questi ordini di grandezza. Naturalmente tali modello
necessitano per la realizzazione procedimenti molto precisi.
Per risolvere numericamente il problema è necessario schematizzare il sistema, che è a
parametri distribuiti, in un sistema a parametri concentrati, cioè masse, elementi elastici e
smorzatori che simulino le dissipazioni. La complessità del modello viene scelta in base al
livello di precisione richiesto.
Nella figura seguente si vede il passaggio logico dallo schema a parametri concentrati ad un
modello ad una massa e non smorzato ed in un altro a più masse che considera anche la
freccia dell’albero.
132
Naturalmente la complessità del modello è vincolata dai mezzi matematici di cui si dispone
per risolverlo, dunque, volendo risolvere facilmente il problema occorre adottare la più
semplice delle schematizzazioni, quella dell’oscillografo.
La camma è rappresentata mediante la sua sagoma di traslazione ideale, la legge di alzata. La
deformazione del sistema è rappresentata dall’accorciamento della molla
z = y - x.
L’elasticità della molla è pari all’elasticità del sistema. Lo smorzatore in parallelo alla molla
simula l’attrito esercitando una forza costantemente opposta alla velocità relativa z& .
Se la forza smorzante è di tipo viscoso, allora l’equazione differenziale che regge il moto
della massa equivalente m è:
m&x& = rz& + kz
Indicando con
ω0 =
2π
=
T0
k
m
la pulsazione propria del meccanismo; e con:
ε=
r
2 mω 0
il coefficiente adimensionale di smorzamento; ed essendo inoltre:
133
&x& = &y& − &z& ,
si pone l’equazione differenziale nella forma:
2
&z& + 2ε 0ω 0 z& + ω 0 z = &y&
Questa evidenzia il legame funzionale tra la grandezza di ingresso, l’accelerazione imposta
&y& , e la grandezza di uscita, lo scostamento z, ossia la vibrazione.
L’integrale generale dell’equazione fornisce la cosiddetta soluzione a regime, per &y& = 0 :
Per ε<1 le vibrazioni libere hanno equazione:
z = C (t )sin(ω1t + ϕ )
(soluzione dell’equazione omogenea), dove
ω1 = ω 0 1 − ε 2
e
C (t ) = C0e −εω 0 t
è l’ampiezza della vibrazione: risulta decrescente nel tempo per effetto dello smorzamento. Il
moto oscillatorio ha periodo:
T1 =
2π
ω1
=
T0
1− ε 2
Tale moto si smorza al 37% dell’ampiezza originaria dopo un periodo Ts =
1
εω 0
detto
costante di tempo di smorzamento.
La soluzione particolare dell’equazione del moto ha invece soluzione in forma chiusa solo per
una funzione di ingresso &y& sinusoidale.
Per ricondursi al questo caso basterà sviluppare in serie di Fourier l’effettiva funzione di
ingresso.
L’accelerazione è una funzione periodica ed ammette un numero finito di salti nel periodo,
dunque se ne può ricavare lo spettro.
La funzione di ingresso diventerà dunque:
134
n
&y& = ∑ Ci ⋅ sin(i ⋅ x + ϕ i )
i =1
dove:
2
Ci =
Ai + Bi
2
è l’ampiezza della i-ma armonica di fase
φi = arctg Bi


Ai 
dove
Ai =
Bi =
1
π∫
π
1
π
0
π∫
0
&y& ⋅ cos(i ⋅ x )dx
&y& ⋅ sin(i ⋅ x )dx
La variabile x è la variabile della campionatura: in presenza di funzioni continue nel tempo,
come il segnale analogico dell’oscilloscopio, o di un segnale digitale con un intervallo di
campionamento costante, tale variabile è proprio il tempo.
Nel caso in esame il segnale di ingresso è una funzione a dispersione, una stringa di valori
della grandezza in questione, accoppiati ai relativi angoli di rotazione dell’albero a camme.
Per questo motivo non è stato possibile inserire la funzione accelerazione nel dominio del
tempo, e si è dovuto lavorare su una campionatura discreta. Ponendo:
-
α intervallo angolare in gradi cui si riferisce la campionatura (arco attivo della camma)
-
k numero dei campioni
Si verifica che:
Periodo campionatura
= frazione angolare arco attivo
Periodo funzione seno
cioè
k ⋅ dx : 2π = α : 360
quindi l’incremento finito della variabile x sarà:
135
dx =
2π
k ⋅ 360
α
I risultati di questo procedimento di scomposizione si possono osservare nel seguente grafico:
Scom pos izione
6000
Serie1
5000
Serie2
Serie3
acce le ra zion e [m /s q ]
4000
Serie4
3000
Serie5
2000
Serie6
Serie7
1000
Serie8
0
-5 0 -1 0 0 0 0
Serie9
50
1 00
150
200
Serie10
s omma
-2 0 0 0
s egnale input
-3 0 0 0
-4 0 0 0
fa s e [de g ]
Come si può ben vedere l’errore tra la funzione ricostruita ed il “segnale” originario non è
trascurabile, ed è imputabile senz’altro al procedimento. Tuttavia, qualitativamente,
l’andamento della funzione è corretto ed i dati sono sufficienti allo scopo. L’errore del
procedimento infatti, è sicuramente di tipo random: si deduce dal fatto che sui primi punti la
funzione sembra dilatata rispetto all’originaria, mentre sembra compressa sugli ultimi. Questo
significa che valori di ampiezza delle armoniche fondamentali sono mediamente corretti.
In assenza di urti, ossia di valori dell’accelerazione tendenti ad infinito, è possibile troncare la
serie di Fourier ad un certo valore di n. Lo spettro a righe della funzione accelerazione si
presenta come nella figura a pagina seguente:
136
1500
1000
500
15
13
11
9
7
5
3
0
1
am pie z z a m /s q
Do min io d i fre q u e n za
ar m o nica
La risposta in frequenza all’i-ma eccitazione sinusoidale
&y&i = Ci sin(ix + ϕ i )
è quella caratteristica dei sistemi smorzati a massa oscillante (sistemi del secondo ordine), e la
funzione di trasferimento è nella rappresentazione complessa:
zi
1
=
= G1(Ω )
2
&y&i − Ω + i 2εω 0 Ω + ω 0 2
nella quale i rappresenta l’unità immaginaria, da non confondersi con i indice di armonica.
Ω=iω (i=1,2,….n)
è la pulsazione della i-ma armonica, essendo ω il regime di funzionamento.
In forma esponenziale si ha:
G1 = C1 ⋅ e − iδ 1
essendo C1 il modulo della funzione di trasferimento, mentre la fase è:
137


 2ε Ω

ω0 

δ 1 = arctg
2 
 

Ω
 1−  ω  
0 
 
Amplificazione
7,00
180,00
6,00
150,00
5,00
120,00
4,00
90,00
3,00
fase
60,00
2,00
1,00
30,00
0,00
0,00
0,00
coefficiente di
am plificazione
1,00
2,00
3,00
4,00
Ω /ω 0
Per ogni armonica l’ampiezza Z della vibrazione z si ottiene moltiplicando l’ampiezza C di &y&
per il coefficiente C1 mente la fase ϕi si ottiene sottraendo a ψ lo sfasamento δ1.
Cioè:
zi = C1i ⋅ Ci sin(ix + ϕ i − δ 1i )
La vibrazione effettiva sarà:
n
z = ∑ zi
i =1
138
Per quanto detto la vibrazione è dunque funzione di:
-
massa equivalente del sistema m
-
rigidezza del sistema k
-
coefficiente di smorzamento ε
-
regime di funzionamento ω
Per avere una idea dell’influenza di queste grandezze, si consideri il coefficiente di
amplificazione per ε =0,05 (valore comunemente usato)
ω 0 C1 Ω
2


 ω0 
e
δ 1 Ω


 ω0 
La rigidezza del meccanismo dovrà essere tale che ω0 << 1 in modo almeno che le armoniche
più basse, quelle più ampie, cadano nella zona di comportamento rigido e il cedente esegua
almeno qualitativamente il movimento richiesto.
Nello spettro ricavato in precedenza le armoniche superiori alla decima sono abbastanza
piccole da garantire queste condizioni.
In questa zona di funzionamento la funzione Z(t) ha lo stesso andamento della &y& , ridotto del
rapporto 1/ω02.
Per avere dei risultati quantitativi allora occorre calcolare il valore della pulsazione naturale.
Essa dipende dalla massa oscillante equivalente e dalla rigidezza del sistema.
139
A m p lifica z io n e :
z o n a d i fu n z io n a m e n to p e r le p rim e 15 a rm o n ich e
1 ,4 0
1 8 0 ,0 0
1 ,2 0
1 5 0 ,0 0
1 ,0 0
1 2 0 ,0 0
0 ,8 0
9 0 ,0 0
co e ffic ie n te d i
a m p lifica zio n e
fa s e
0 ,6 0
6 0 ,0 0
0 ,4 0
0 ,2 0
3 0 ,0 0
0 ,0 0
0 ,0 0
0 ,0 0
0 ,1 0
0 ,2 0
0 ,3 0
0 ,4 0
0 ,5 0
Ω /ω0
La massa oscillante
Trattandosi in questo caso di un meccanismo a bilancieri, l’equazione differenziale del moto è
diversa da quella usata per risolvere il modello semplificato:
m ⋅ a ⋅ b + I ⋅ α = meq ⋅ a ⋅ b
dove m è la massa della valvola, a è l’accelerazione lineare, b il braccio del bilanciere, I è il
momento di inerzia del bilanciere, α la relativa accelerazione angolare.
Dalla precedente si ricava:
meq = m +
I
ρ acciaio = 0,0829 + 3636000 2 ⋅ 7800 E − 9 = 0,11 kg
2
32
b
140
La rigidezza del sistema
Per calcolarla a rigore occorrerebbe sottoporre tutte le parti del meccanismo ai carichi di
esercizio mediante prove statiche, al fine di misurarne gli spostamenti e calcolare le rigidezze.
Qui ci si servirà invece di un procedimento teorico, con il quale si prevede di valutare le
singole deformazioni quando il sistema è sottoposto al carico massimo, che è di 2000 N. Ma
per la supposta linearità della struttura nell’intervallo di carico non fa differenza che questo
carico di prova sia il carico massimo.
Il comando è bilaterale, ma per ogni istante è una sola la camma che trasmette il carico alla
valvola mediante il bilanciere coniugato. Considerando quindi “inerte” il resto del
meccanismo lo schema di carico è il seguente:
141
F1 B
BILA N CIERE
CA M M A
OB
F1 C
F2 B
F2 V
VA LVO LA
Le parti soggette a deformazione sono in questo schema la camma ed il bilanciere,
mentre la valvola, non essendo soggetta ad una reazione di appoggio si considera
infinitamente rigida. Il sistema è effettivamente labile, ma si può considerare
istantaneamente isostatico considerando come un appoggio il piattello valvola.
Schematicamente:
In questa schematizzazione la camma costituisce un vincolo cedevole per il resto della struttura.
La deformazione totale ha dunque due componenti:
-
schiacciamento della camma
-
freccia del bilanciere
La camma è quella riportata in figura, ed è relativa alla configurazione originaria del
cinematismo.
142
20
15
10
5
superiore
punti di controllo
0
-25
-20
-15
-10
-5
inferiore
0
5
10
15
20
riposo
riposo
-5
-10
-15
-20
Per valutare lo schiacciamento della camma si può ricorrere ad un comune codice ad elementi
finiti, in questo caso si adopera ANSYS 5.3. Disegnato il profilo della camma, si interpretano
le condizioni di vincolo e si esegue la mesh che discretizza il pezzo in una serie di elementi di
spessore unitario. Si applica poi una forza normale alla superficie in un punto della rampa di
accostamento.
Trattandosi di un contatto di tipo Hertziano, occorre applicare una pressione il cui valore sia dedotto da quella
Hertziana teorica, ed in seguito verificare che il carico totale si quello teorico dal quale si è dedotta la pressione
Hertziana.
143
Nel grafico che segue si può vedere come, in corrispondenza della rampa di accostamento si
ha, per la camma scelta a 10000 rpm una pressione Hertziana massima di circa 900 Mpa con
un valore del carico di 2000 N.
25000
3250
2750
forza normale
pressione Hertziana
SFE
m/secq
15000
2250
1750
10000
1250
5000
750
250
p Hertz [Mpa] ; N
20000
0
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120 130 140 150 160 170-250
-5000
-750
-10000
-1250
fase distribuzione
Il carico per unità di spessore è dunque 2000/7=285 N/mm
Applicando su tre nodi della rampa una pressione di 100 Mpa ( si ricordi che la distribuzione delle pressioni
Hertziane non è lineare), la soluzione nodale da le seguenti reazioni vincolari:
***** POST1 TOTAL REACTION SOLUTION LISTING *****
LOAD STEP=
TIME=
1.0000
1 SUBSTEP=
1
LOAD CASE= 0
THE FOLLOWING X,Y,Z SOLUTIONS ARE IN GLOBAL COORDINATES
NODE
FX
FY
548 -1.9020
-.54896
549 -.60631
-.30180
550 -.88944
-.53859
551 -.27288
-.23926
144
552 -.38855
-.40208
553 -.11281
-.16377
554 -.15858
-.27289
555 -.44704E-01 -.10963
556 -.64926E-01 -.19557
557 -.20133E-01 -.86190E-01
558 -.28296E-01 -.18285
TOTAL VALUES
VALUE -88.664
284.70
Se ne deduce che la soluzione nodale relativa a tale distribuzione è compatibile con il carico totale.
145
Per cui la componente uy dello schiacciamento è nell’ordine dei 2,5E-3 mm.
Passiamo ora al bilanciere. E’ comodo schematizzarlo come una trave a sezione costante, il cui momento di
inerzia è 1700 mm4 . Questo è l’andamento del momento e della tensione lungo l’asse: in realtà la zona centrale è
soggetta ad una tensione ben minore, essendo il bilanciere parecchio esteso assialmente in quella zona.
Tensioni bilanciere
x [mm]
20
40
60
80
0
50
100
150
200
250
300
350
400
sigma [Mpa]
M [Nmm]
0
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
M
sigma
Freccia bilanciere
0,2
0,006
0,005
0,004
0,003
0,1
0,002
0,05
0,001
rot [rad]
f [mm]
0,15
f'
rot'
0
0
0
20
40
-0,05
60
80
-0,001
-0,002
x [mm]
146
Con il procedimento dell’integrazione numerica si risale alla freccia: l’ordine di grandezza è del decimo di mm.
Pur trascurando il fatto che il bilanciere sia rastremato il dato è sufficiente per capire che la rigidezza del sistema
dipende principalmente dai bilancieri.
Per calcolare la rigidezza degli elementi in serie ricorriamo alla:
P = K ⋅∑ s
dunque K =
2000
≅ 2000 ⋅ 10 = 2 E 4[ N / mm]
2,5 E − 3 + 0,1
La pulsazione naturale del sistema sarà:
ω0 =
2π
=
T0
k
=
m
2E7
N
1
= 13484
0,11 kg ⋅ m
s
Con questo risultato è possibile vedere quantitativamente la risposta in termini di vibrazioni.
147
Serie1
Vibrazioni
Serie2
Serie3
Serie4
0,00002
Serie5
Serie6
Serie7
0,000015
Serie8
Serie9
Serie10
0,00001
Serie11
Serie12
Serie13
Z [mm]
0,000005
Serie14
Serie15
somma
0
0,00
-50,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
350,00
400,00
-0,000005
-0,00001
-0,000015
camshaft [deg]
E’ possibile dunque separare due periodi:
-
il transitorio, in corrispondenza dell’arco attivo della camma, nel quale l’accelerazione ha valori non nulli, e
l’andamento della vibrazione è dato dalla composizione delle risposte alle n eccitazioni sinusoidali nelle
quali si sviluppa l’accelerazione della valvola
-
le vibrazioni libere, moto oscillatorio smorzato che si instaura alla fine dell’arco attivo, cioè sul cerchio di
riposo.
E interessante notare che, se tali vibrazioni non si smorzano abbondantemente prima dei 360° di rotazione
dell’albero a camme, al seguente ciclo la vibrazione si troverà con una ampiezza iniziale che potrebbe innescare
un processo di implementazione delle ampiezze fino alla risonanza.
E’ dunque opportuno cercare di allontanare il regime di risonanza aumentando per quanto possibile la rigidezza
del sistema. Essendo questa dipendente soprattutto dalle frecce dei bilancieri è conveniente ridurne l’estensione,
non essendo opportuno aumentare il momento di inerzia.
148
7 - OTTIMIZZAZIONE
149
7 - OTTIMIZZAZIONE
Il miglioramento delle prestazioni del motore passa per la fluidodinamica dei condotti di
aspirazione nella misura in cui questa riesca a massimizzare il coefficiente di riempimento.
Come abbiamo visto però, anche una opportuna legge di alzata influisce notevolmente sul
comportamento fluidodinamico, motivo per cui ottimizzare in questo caso significa variare i
profili degli eccentrici.
Altra modifica opportuna riguarda la disposizione degli assi valvola, che, come riscontrato
sperimentalmente, influiscono sui moti di “swirl”, quelli di propagazione turbolenta della
miscela: una corrente di pensiero moderna li vuole il più possibile vicini alla verticale, anche
per una questione di propagazione del fronte di fiamma.
Il nostro lavoro si concentrerà dunque su questi due aspetti:
-
Geometria degli assi valvole
-
Geometria degli eccentrici di comando (camme e bilancieri)
150
I vincoli della ottimizzazione sono, in campo costruttivo:
-
che la nuova disposizione geometrica sia conciliabile con la topologia del sistema
-
che il nuovo assieme sia assemblabile
In campo strutturale:
-
che la sollecitazione prevalente (la pressione Hertziana) sia controllata e mantenuta entro
certi limiti
-
che il picchiamento sulle valvole sia contenuto
In campo funzionale
-
che l’eventuale incremento delle sollecitazioni, o dei costi di produzione per scelte più
sofisticate, sia giustificato dall’entità dell’incremento delle prestazioni
-
che i moti vibratori innescati dal meccanismo siano controllati entro certi limiti.
La semplice elencazione dei problemi di progettazione costituisce un loop da sfruttare per
raggiungere la funzione obiettivo.
Si procederà per tentativi cercando configurazioni via via più raffinate, aggiornando ciascun
aspetto ad ogni loop.
Si parte dalla geometria degli assi valvola, condizione necessaria ma non sufficiente per
l’obiettivo finale, per cui tanto vale imporla a monte di tutto.
Si passa dai 30° di inclinazione ai 20°: in verità si è fatto anche un tentativo a 17°, fallito per
inconciliabilità topologica con la geometria degli eccentrici.
151
Il posizionamento degli assi bilancieri è stato vincolato dal massimo raggio di ingombro delle
nuove camme, che, più piccole permettono l’impiego di bilancieri proporzionalmente più
piccoli: questo vuol dire masse rotanti in gioco inferiori ed carichi inerziali minori.
La posizione degli assi dei bilancieri deve essere tale che la distanza tra i bordi dei fori assi ed
il bordo del foro di introduzione dell’albero sia sufficiente da evitare il taglio del labbro. Il
152
foro di introduzione dell’albero ( il foro sull’asola anteriore), deve avere come diametro
minimo il diametro di ingombro dell’albero, per garantire l’assemblabilità del sistema. Tale
diametro è pari al doppio del maggiore raggio di riposo delle camme di chiusura.
Questa verifica si può fare direttamente sul modello solido creato con SOLID EDGE:
Una volta verificato che la nuova disposizione cinematica è topologicamente corretta se
ne studiano i relativi diagrammi di alzata per dedurne le sollecitazioni.
153
Confronto diagrammi di alzata
10
9
8
aspirazione
scdarico
aspirazione originale
scarico originale
7
alzata [mm]
6
5
4
3
2
1
0
-300
-270
-240
-210
-180
-150
-120
-90
-60
-30
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
-1
fase manovella
L’intento è stato quello di rettangolarizzare il più possibile i diagrammi per massimizzare il
numero degli istanti in cui la perdita di carico è bassa in modo da migliorare il riempimento.
Non si è intervenuto in questa fase nella correzione della fasatura, ma una regolazione del
genere è facilmente eseguibile a posteriori con una semplice rotazione relativa dei sistemi di
riferimento delle camme.
154
Forze centrifuge [N]
70
60
50
baraas
barcas
barasc
barcsc
Fccas
Fccsc
Fcasc
Rc
Fcaas
40
30
20
10
0
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-10
-20
-30
Le forze centrifughe, unitamente alle componenti inerziali, generano una sollecitazione
flessionale come visto trascurabile, mentre le forze di contatto, che nascono dalle sole
componenti inerziali, costituiscono il vincolo più restrittivo per la costruzione di eccentrici più
spinti.
Per ciascuna delle valvole si ha una coppia di sollecitazioni Hertziane.
Il limite di fatica (peraltro valutato in modo conservativo) viene superato a 10000 rpm in un
solo punto. La situazione è accettabile anche alla luce delle considerazioni statistiche fatte nel
capitolo
sull’usura superficiale.
Camma di apertura aspirazione: pressioni Hertziane
3500
forza normale
pressione Hertziana
SFE
15000
m/secq
10000
3000
2500
2000
1500
1000
5000
500
0
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110 120 130 140 150 160 170 180-500
-1000
-5000
-1500
-10000
-2000
fase distribuzione
155
p Hertz [Mpa] ; N
20000
20
15
10
5
0
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
superiore
punti di controllo
inferiore
riposo
riposo
-5
-10
-15
-20
L’eccentrico pare meno spinto dell’originale, ed infatti lo è: la migliore prestazione deriva
infatti solo dalla nuova disposizione geometrica degli assi bilancieri.
accoppiamento camma bilancere al primo contatto
camma
controllo bilancere
20
arco attivo
asse
15
asse
sperimentale
10
5
0
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
-5
-10
-15
-20
-25
-30
Come si vede in figura,
rispetto alla disposizione originale (sperimentale), una minore
distanza del punto di contatto sul bilanciere dal suo asse assicura, a parità di accelerazione
156
rotazionale, una minore sollecitazione per il fatto che si riduce il momento di inerzia
rotazionale.
Alzate
10
8
chiusura
apertura
mm
6
4
2
0
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
-2
Fase
La fasatura con la camma di chiusura si effettua con lo stesso procedimento impiegato sulla
configurazione originale, avendo sempre cura di mantenere bassi i giochi di funzionamento
nelle zone di inversione del segno dell’accelerazione (i punti di flesso nel diagramma delle
alzate).
eccentrico di comando chiusura aspirazione
30
25
20
15
superiore
10
punti di controllo
inferiore
riposo
5
riposo
0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-5
-10
-15
-20
-25
Anche questa camma risulta essere meno spinta.
157
Le pressioni Hertziane sulla camma di chiusura sono sempre inferiori a quelle sulla camma di
apertura, sia per i minori valori delle forze normali derivanti da minori accelerazioni, sia per
la minore curvatura degli eccentrici negativi. Si omettono pertanto, per semplicità della
trattazione, i diagrammi relativi a tali sollecitazioni.
Gioco valvola di aspirazione
0,8
0,6
0,4
mm
0,2
Serie1
0
0
50
100
150
200
250
300
-0,2
-0,4
-0,6
fase [deg]
Naturalmente i punti a gioco negativo non hanno significato dal punto di vista geometrico. E’
infatti evidente dal grafico delle alzate che la curva rossa si mantiene sempre al disopra della
blu. Il diagramma dei giochi è infatti ottenuto da due diagrammi, quelli di alzata, a
dispersione: essi non hanno cioè gli stessi angoli di riferimento. Tra i due diagrammi vengono
accoppiati gli angoli di minimo errore, di conseguenza il sistema è soggetto ad un errore di
dispersione dello stesso ordine di grandezza del valore assoluto del più piccolo gioco
158
negativo. Questo vuol dire che il massimo gioco potrebbe essere 1,1 mm anziché di 0,7 mm.
Il risultato si può ritenere accettabile ai fini del problema, che è quello di controllare
l’intervallo di gioco. Non lo sarebbe nel caso fosse richiesta una quantificazione puntuale,
essendo l’errore dell’ordine del 36% sulla base di misura.
Per quanto riguarda le vibrazioni basti il confronto tra i diagrammi relativi alla vecchia ed alla
nuova configurazione ad uno stesso regime di funzionamento, ad esempio il regime di coppia
massima, circa 6000 giri rpm.
Vibrazioni: geometria originale
6000
Trasformata
5000
accelerazione [m/sq]
0,00003
0,00002
4000
3000
2000
1000
0
-50
-1000 0
somma
50
100
150
200
segnale input
-2000
-3000
-4000
fase [deg]
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Dominio di frequenza
1000
500
15
13
9
11
0
1
-0,00002
1500
3
ampiezza m/sq
-0,00001
7
0
5
-50
armonica
-0,00003
camshaft [deg]
Vibrazioni: nuova geometria
10000
Trasformata
8000
0,00003
0,00002
6000
4000
2000
0
-2000 0
50
100
150
200
somma
segnale input
-4000
-6000
0,00001
-8000
fase [deg]
0
Z [mm]
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-0,00001
2000
ampiezza m/sq
-0,00002
-0,00003
1500
1000
500
15
13
11
9
7
5
3
0
1
Z [mm]
0,00001
armonica
-0,00004
camshaft [deg]
159
Essendo ridotto il braccio del bilanciere, diminuisce la freccia di quest’ultimo rispetto alla
configurazione originale, motivo per cui il sistema ha una rigidezza superiore, con la
conseguenza che l’oscillazione vibrante viene smorzata prima.
Si riportano di seguito anche i diagrammi relativi alla valvola di scarico, per i quali valgono le
stesse considerazioni fatte per i diagrammi relativi al meccanismo della valvola di
aspirazione.
25
Fasatura camme scarico
20
15
10
mm
5
0
-30
-20
-10
0
10
20
chiusura
apertura
-5
-10
-15
-20
-25
mm
160
Gioco valvola di scarico
1,2
1
0,8
mm
0,6
Serie1
0,4
0,2
Fasatura camme
0
-50
10
0
50
100
150
200
250
300
9
-0,2
chiusura
fase [deg]
8
apertura
7
6
mm
5
4
3
2
1
0
0
30
60
90
-1
120
150
180
210
240
270
300
Fase
161
Camma di apertura scarico: pressioni Hertziane
30000
3500
forza normale
25000
3000
pressionw Hertziana
SFE
2500
20000
2000
15000
10000
1000
Mpa
m/secq;N
1500
500
5000
0
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
-500
-5000
-1000
-10000
-1500
fase distribuzione
0,00002
Valvola di scarico: Vibrazioni
6000
Trasformata
5000
0,000015
0,00001
4000
3000
2000
1000
somma
0
-1000 0
50
100
150
segnale input
200
-2000
fase [deg]
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-0,000005
1200
800
600
400
200
15
13
11
9
7
5
0
3
camshaft [deg]
1000
1
-0,00001
ampiezza m/sq
Z [mm]
-3000
0,000005
armonica
162
Analizzate la cinematica e la dinamica del sistema, e constatati gli effettivi miglioramenti, per
lo meno dal punto di vista strutturale, unitamente ai presunti miglioramenti fluidodinamici, si
può passare alla fase di assemblaggio, nella quale il cinematismo viene posizionato ad hoc sul
telaio, che è rappresentato dal pezzo di fusione unico della testata. Se nella fase della
modellazione solida infatti ci si è occupati di conciliare ingombri e performance del
cinematismo, la successiva fase si occupa degli aggiustaggi, ossia quegli accorgimenti che
rendono efficiente, e soprattutto producibile in serie, l’impianto progettato.
163
164
8 - TOLLERANZE
165
8 - TOLLERANZE
Accoppiamenti Albero - Foro
diametro
[mm]
accoppiamento
ISO
Testata – sede valvola
aspirazione
41,5
H6 – n6
Testata – sede valvola
scarico
37,5
H6 – n6
Testata – guide valvola
13
H7 – n6
Guide valvola – valvole
7,975
H6 – h6
Testata – assi bilanciere
7
H7 – m6
Bilancieri – assi bilanciere
7
EF7 – m6
Testata – tappo
43
H7 – k6
Anello – albero
14
Js7 – h6
Anello – puleggia
14
Js7 – h6
Elementi
Elementi
Cuscinetto A
Diametro sede
[mm]
35 N 7
−0 , 008
− 0 , 033
Diametro ralla
esterna [mm]
35
0
−0 , 013
tipo
con interferenza
Imin = 1 m
Imax = 17 m
con interferenza
Imin = 1 m
Imax = 17 m
incerto
gmax = 6 m
Imax = 23 m
con gioco
gmin = 0 m
gmax = 9 m
incerto
gmax = 15 m
Imax = 9 m
con gioco
gmin = 3 m
gmax = 27 m
incerto
gmax = 24 m
Imax = 17 m
incerto
gmax = 20 m
Imax = 9 m
incerto
gmax = 20 m
Imax = 9 m
Diametro
albero [mm]
17 h6
0
−0 , 011
descrizione
bloccato alla pressa
extra preciso
bloccato alla pressa
extra preciso
bloccato serrato
preciso
con scorrimento
extra preciso
bloccato normale
preciso
libero normale
preciso
bloccato leggero
preciso
di scorrimento
preciso
di scorrimento
preciso
Diametro
ralla interna [mm]
17
0
−0 , 008
166
Cuscinetto B
42 N 7
−0 , 008
− 0 , 033
42
0
− 0 , 013
20 h6
0
− 0 , 013
20
0
− 0 , 010
Cuscinetto C
34 M 6
−0 , 004
− 0 , 020
34
0
− 0 , 013
15 g 6
−0 , 006
− 0 , 014
15
0
− 0 , 012
CATENE DI QUOTE
Catena 1
Come si vede in figura la catena 1 è costituita da 5 elementi: la testata, il cuscinetto B,
l’albero, il cuscinetto C, il tappo. Le dimensioni nominali sono:
LT = 77,75 mm
167
LB = 12 mm
LA = 43,5 mm
LC = 10 mm
LTP = 12,25 mm
Dato che in condizioni di funzionamento l’albero si allungherà a causa di deformazioni
termiche, è necessaria la presenza di un gioco g sulla catena. Al montaggio il cuscinetto B
viene portato a battuta sulla testata e l’albero sul cuscinetto B; il cuscinetto C viene forzato
nel tappo fino al raggiungimento della corretta posizione e quindi il tappo viene montato e
serrato sulla testata. Da ciò deriva che l’albero potrà dilatarsi assialmente del gioco impostato.
La temperatura massima che può raggiungere l’albero è attorno ai 200°C da cui ne deriva un
allungamento assiale:
L = L T ≈ 0,01 mm
L’interesse principale è quello di assicurare un corretto funzionamento dei cuscinetti B e C
anche in presenza di deformazione termica, mentre non è particolarmente vincolante il
perfetto posizionamento reciproco tra albero e bilancieri, dato che le superfici dei pattini
hanno per l’appunto uno spessore maggiorato rispetto a quello delle camme. Per cui come
valore del gioco minimo andrebbe preso almeno l’allungamento dovuto alle deformazioni
termiche
(g’min= 0,01 mm) come gioco massimo possiamo prendere g’max = 0,3 mm.
Le relazioni che forniscono i valori massimo e minimo del gioco sono:
gmin = LTmin – LBmax – LAmax – LCmax – LTPmax
gmax = LTmax – LBmin – LAmin – LCmin – LTPmin
Le tolleranze sulle dimensioni assiali dei cuscinetti sono unificate e sono 0,1 mm per entrambi
in posizione h, per cui risulta:
LBmax = 12 mm
LBmin = 11,9 mm
LCmax = 10 mm
LCmax = 9,9 mm
168
La tolleranza sul gioco è circa 3 decimi e va suddivisa tra i vari elementi costituenti la catena.
Sottratti i 2 decimi relativi alle tolleranze sui cuscinetti, rimane un decimo da assegnare alla
testata, all’albero ed al tappo. Di questo decimo diamo 50 centesimi alla testata e i restanti ad
albero e tappo. Da ciò deriva una qualità per la testata IT8 corrispondente ad un’ampiezza
della tolleranza pari a 0,046 mm, e per l’albero una qualità IT7 corrispondente ad
un’ampiezza della tolleranza pari a 0,025 mm. Le posizioni scelte per testata ed albero sono
quindi rispettivamente F8 ed n7. Le dimensioni del tappo che soddisfano il gioco imposto
sono:
L’TPmax = 77,78 – 12 – 43,542 – 10 – 0,01 = 12,228 mm
L’TPmin = 77,826 – 11,9 – 43,517 – 9,9 – 0,3 = 12,209 mm
Scegliendo per il tappo una tolleranza ISO del tipo
e7
si ricavano le dimensioni
normalizzate:
LTPmax = 12,218 mm
LTPmin = 12,200 mm
e quindi i valori di gioco normalizzati sono:
gmin = 0,020 mm
gmax = 0,309 mm
Riassumendo in tabella si ha:
elemento
dimensioni nominali [mm]
tolleranza [mm]
dimensioni normalizzate
77,75 F 8 ++00,,076
030
LT
77,75
0,046
LA
43,5
0,025
43,5 n7
LTP
12,25
0,018
12,25 e7
+0 , 042
+ 0 , 017
−0 , 032
−0 , 050
169
Catena 2
La catena 2 è costituita da tre elementi: la testata, l’albero ed il cuscinetto B. Le dimensioni
nominali sono:
LT = 43 mm
LB = 12 mm
LA = 56 mm
La funzionalità dell’accoppiamento è quella di mantenere una luce l tra anello e testata in
modo che l’anello possa ruotare liberamente. Come si può vedere dalle dimensioni, la catena
di quote non è chiusa, infatti è stata imposta una luce nominale l = 1 mm. A parte la
dimensione assiale del cuscinetto B che risulta 12
0
−0 ,1
mm, per le altre due quote è definita
una tolleranza generale di progetto t.g. = IT 11.
In questo modo le luci minima e massima saranno:
lmin = LAmin – LBmax – LTmax = 55,905 – 12 – 43,08 = 0,825 mm
lmax = LAmax – LBmin – LTmin = 56,095 – 11,9 – 42,92 = 1,275 mm
170
Catena 3
La catena 3 è costituita da tre quote: due sulla testata più lo spessore del bilanciere. Le
dimensioni nominali sono:
LT1 = 24,25 mm
LBil = 41,5 mm
LT2 = 65,75 mm
Per assicurare un corretto movimento del bilanciere è necessaria la presenza di un gioco
assiale contenuto sulla catena, gioco che deve però consentire l’allungamento per
deformazione termica (anche in questo caso si può prendere un allungamento di 0,01 mm)
Le scelte sull’accoppiamento sono riportate in tabella
elemento
dimensioni nominali [mm]
tolleranza [mm]
dimensioni normalizzate
24,25 h10 0−0,084
LT1
24,25
0,084
LBil
41,5
0,062
41,5 d 9
LT2
65,75
0,120
65,75 H 10
−0 , 080
− 0 ,142
+0 ,120
0
da cui i valori di gioco:
gmin = 0,08 mm
gmax = 0,396 mm
171
172

Progettazione e ottimizzazione di una testata per

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