esercizi su cinematica a più dimensioni

Cinematica in due e tre dimensioni - Moto di un proiettile
1) Un treno percorre una traiettoria circolare di raggio 8 m per una mezza
circonferenza. Trovare:
a) il vettore spostamento rispetto al punto di partenza;
a) lo spazio percorso dal treno;
b) Il vettore spostamento quando il treno ha percorso l’intera
circonferenza.
c) Lo spazio totale percorso dopo l’intera circonferenza.
2) Un viaggiatore viaggia per 25 Km in direzione S-E. dopo percorre 40 Km in
direzione 60° N-E.
Si trovi lo spostamento risultante in modulo, direzione e verso.
3) Un motociclista viaggia verso Sud per 180 s con v = 20 m/sec, dopo
si sposta per 2 minuti verso Ovest con una velocità di 25 m/sec ed
infine viaggia a 30 m/sec per 1 minuto verso N-O . Alla fine di questo
viaggio si calcolino:
a) il vettore spostamento;
b) la velocità scalare media;
c) il vettore velocità media.
4) Una pallina da golf viene colpita da una mazza. Le coordinate
della pallina in funzione del tempo sono:
x = 18 t
y = 4t – 4.9 t2 con x e y in metri, t in secondi, v in m/s
Trovare:
a) Il vettore posizione utilizzando i versori i e j.
b) Il vettore velocità; c) Il vettore accelerazione; d) per t= 3 sec
quali sono i valori numerici di r, v e a?
5) Un pesce nuota nel mare in un piano orizzontale con vi = (4 i, j) m/s e in una
posizione individuata dal vettore r =(10i, -4j)m rispetto ad una roccia scelta
come origine di un sistema di riferimento. Dopo aver nuotato 20 s con
accelerazione costante il pesce raggiunge la velocità : vf = (20i, -5j) m/s.
Trovare
a) le componenti del vettore accelerazione;
b) la direzione dell’accelerazione rispetto all’asse x;
c) la posizione del pesce e la direzione in cui si sta movendo a t = 25 s.
6) Un punto materiale Un punto materiale inizialmente posto nell’origine ha
un’accelerazione a = 5.00 j m/s 2 ed una velocità iniziale vi = 8.00 i m/s. Si
trovino (a) i vettori posizione e velocità ad un generico istante t e (b) le coordinate
e il modulo della velocità del punto a t = 2.00 s.
7) Una barca a vela naviga con accelerazione costante impressa dal vento. La sua
velocità in un certo istante è v = 6.30 i – 8.42 j. Dopo un intervallo di 3 s la
velocità è nulla. Quanto vale l’accelerazione?
8) Il vettore posizione di un punto materiale dipende dal tempo secondo la
relazione r = (3.00 i – 6.00 t 2 j) m. (a) Si trovino le espressioni per la velocità
e l’accelerazione in funzione del tempo. (b) Si determinino la posizione e la
velocità del punto materiale a t 0 2 s.
9) Le coordinate x e y di una pallina sono espresse in funzione del tempo dalle
relazioni x = (24.2 m/s) t
y = (8.0 m/s) t – (3.8 m/s 2 ) t 2 .
a) Si scriva l’espressione vettoriale per la posizione r in funzione del tempo
utilizzando i versori i e j. Calcolando le derivate rispetto al tempo si ricavino
b) il vettore velocità v e (c) il vettore accelerazione a, in funzione del tempo.
Usando i versori i e j si esprimano (d) la posizione r, (e) la velocità v e (f)
l’accelerazione a, per t = 4.0 s.
10)
Un punto materiale cade all’istante t = 0 con velocità iniziale nulla. Un
secondo punto viene lanciato verso il basso all’istante t > 0 con velocità
iniziale diversa da zero v02. Riuscirà il secondo corpo a raggiungere il
primo? Risolvere prima simbolicamente e dopo fare l’esercizio per
t = 1 sec. v02 =20 m/s.
11)
Un giocatore di calcio colpisce la palla ad un angolo di 30° con
l’orizzontale con una v0 = 20 m/s . Supponendo che la palla si muova
in un piano verticale. Trovare:
a) L’istante in cui la palla raggiunge il più alto punto della sua traiettoria.
b) Qual è l’altezza massima raggiunta dalla palla?
c) Qual è lo spostamento orizzontale della palla e per quanto tempo la palla
rimane in aria ?
d) Qual è la velocità della palla quando raggiunge il suolo?
12)
Un aereo vola alla quota di 16 Km con velocità orizzontale costante di
1300 Km/h verso un punto sopra al bersaglio. A quale angolo di mira
deve essere sganciata la bomba per colpire il bersaglio?
13)
Un punto percorre il tratto AB orizzontale. In A ha velocità v1, in B ha
velocità v2<v1 perché l’accelerazione tra A e B vale a = –kv con k = 2.3 s-1.
Dopo B il punto prosegue nel vuoto e tocca il suolo in D.
Trovare il valore della velocità v1. Considerate che AB = 2.14 m, BC =1.5 m;
CD= 1.35 m.
14)
Una pietra viene scagliata con un angolo di 30° con velocità 20 m/sec
da un edificio alto 45 m.
a) Quanto tempo la pietra rimane in volo?
b) Quale è la velocità con cui la pietra tocca il suolo?
c) In che punto la pietra tocca il suolo?
15)
Un ragazzino, fermo sulla banchisa del porto, cerca di colpire una lattina
che galleggia a 4 m di distanza. Quale velocità dovrà imprimere al sasso, se
esso viene lanciato verso il basso con un angolo di 30° rispetto all’orizzontale,
e se la banchisa è alta 2,50 m sopra il pelo dell’acqua?
16)
Una monetina viene lanciata dall’alto di un ponte verso il fiume che vi
scorre sotto, con una velocità pari a 5 m/s ed un’inclinazione di 30° rispetto
all’orizzontale, verso l’alto. La moneta colpisce una barca che si trova a 8 m
dal pilone che regge il ponte. Determinare l’altezza del ponte.
17)
Cyrano, nascosto dietro un albero, cerca di attirare l’attenzione di
Roxanne lanciando un sassolino alla sua finestra, che è a 4 m di altezza. Il
lancio viene effettuato con velocità v=2i+10j m/s ed il sassolino arriva a
destinazione. Determinare la distanza dell’albero dalla casa.
18)
Un tiratore con una carabina mira dall’alto della torre Eiffel ad un
bersaglio che si trova a 50 m dai piedi della torre. Determinare a quale distanza
dalla base della torre giunge in realtà il proiettile, se viene sparato con velocità
iniziale pari a 40 m/s, sapendo che la torre Eiffel è alta 335 m.
19)
Giulietta al balcone lancia un messaggio, avvolto su una pietra, a Romeo
che si trova nel giardino a 3 m dalla casa; il lancio avviene verso il basso, con
velocità pari a 6 m/s e un’inclinazione di 30° rispetto all’orizzontale. A quale
altezza è il balcone, se il messaggio arriva ai piedi di Romeo?
20)
Un giocatore di pallacanestro lancia la palla da una distanza di 3 m verso
il canestro, che è posizionato a 3,05 m da terra. Determinare il modulo della
velocità con cui viene effettuato il lancio, supponendo che la palla venga
lanciata con un’inclinazione di 45° rispetto all’orizzontale e da un’altezza pari
a 2 m da terra.
21)
Un uomo calcia un sassolino dal bordo di una rupe verticale alta 120 m
rispetto al livello del terreno, imprimendogli una velocità di 3 m/s, con un
angolo di 25° verso l’alto rispetto al suolo. Calcolare a che distanza dalla base
della rupe il sassolino raggiunge il terreno, in quanto tempo ci arriva e quali
sono le componenti della sua velocità finale.
22)
Una pallina viene lanciata dall’origine degli assi cartesiani nello
stesso istante in cui un’altra pallina viene lasciata cadere da un punto di
coordinate P = (3, 2)m. La direzione di lancio della prima pallina è quella
della congiungente l’origine degli assi con il punto P, mentre la sua velocità
iniziale è 8 m/s. Trovare le coordinate del punto di incontro