Esercizi - StudioMatematica

ESERCIZI PER LA PREPARAZIONE ALLA VERIFICA DEL 16 GENNAIO
1. Assegnati i vettori v(1,2,-1) e w(2,1,-1), determinare i loro moduli, l’angolo che formano, il
loro prodotto scalare e il loro prodotto vettoriale. Scrivere le coordinate di un vettore
parallelo a v e quelle di un vettore perpendicolare a v. Infine scrivere le coordinate di un
vettore di modulo 1 (versore) parallelo a v.
2. I vettori v, di modulo 5, e w, di modulo 7, formano un angolo di 95°. Determinare il vettore
somma, il vettore differenza, il prodotto scalare e il prodotto vettoriale.
3. Una motocicletta parte da ferma con accelerazione costante di 3,5 m/s^2 e insegue un’auto
che si muove di moto uniforme con una velocità di 130 km/h. Supponendo che la moto inizi
l’inseguimento appena l’auto le passa davanti, calcola quanto tempo impiega la moto a
raggiungere l’auto. Qual è la velocità finale della moto nel momento in cui raggiunge
l’auto? Quanto spazio ha percorso la motocicletta quando raggiunge l’auto?
(Parodi, L’evoluzione della fisica, Paravia)
4. Un ragazzo lancia una palla verso l’alto da un terrazzo alto 12 metri, con una velocità
iniziale di 4 m/s. Determina quanto tempo impiega la palla ad arrivare a terra e con quale
velocità vi arriva. Determina in quanto tempo percorre l’ultimo metro prima di toccare il
suolo, lo spazio percorso nel primo secondo dopo che la palla è stata lanciata e lo spazio
percorso nell’ultimo secondo di caduta.
SOLUZIONI
1.
→
v = 1+ 4 +1 = 6 ;
→
w = 4 +1+1 = 6
→
→
→ →
v • w = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅1 + (−1) ⋅ (−1) = 5 = v w cos ϑ = 6 6 cos ϑ = 6 cos ϑ ; quindi
cos ϑ =
5
, cioè
6
5
6
ϑ = arccos = 33°,56 .
→
→
Un vettore parallelo a v è ad esempio a = (2,4,−2) (le coordinate sono tutte multiple delle
→
→
→
coordinate di v ) e un vettore perpendicolare a v è ad esempio b = (2,−4,−6) (il prodotto
→
→
scalare tra i due vettori è nullo). Il versore parallelo a v si ottiene dividendo le coordinate di v
→
1 2
1
per il suo modulo: n = (
,
,−
).
6 6
6
2.
25 + 49 − 70 cos 85° = 8,2 , che si ottiene applicando il teorema di
8,2
7
Carnot. Per determinarne la direzione si applica invece il teorema dei seni:
=
,
sen85° senα
7 sen85°
quindi senα =
, cioè α = 58°,3 . Per determinare il vettore differenza, si applica ancora
8,2
Il vettore somma ha modulo
una volta prima il teorema di Carnot, che ci dà il modulo, 25 + 49 − 70 cos 95° = 8,9 , e poi il
8,9
7
=
, da cui β = 51°,6 .
teorema dei seni, per individuarne la direzione:
sen95° senβ
Il prodotto scalare è 5 ⋅ 7 cos 95° = −3,1 . Il prodotto vettoriale è un vettore perpendicolare al
piano formato dai due vettori e avente modulo 5 ⋅ 7 sen95° = 34,9 .
3.
130km / h = 130 : 3,6 = 36,1m / s . La legge oraria dell’auto è sa (t ) = 36,1t , la legge oraria della moto
1
è invece sm(t ) = 3,5t 2 . Uguagliando le due espressioni si trova il tempo richiesto: 20,6 secondi.
2
La velocità della moto quando raggiunge l’auto è v(t ) = 3,5 ⋅ 20,6 = 72,1m / s . La motocicletta ha
1
percorso sm(20,6) = 3,5 ⋅ 20,62 = 742,6metri .
2
4.
Raggiunge la massima altezza quando la velocità si annulla. Utilizzando la relazione 0 = v 0 − gt , si
v
1
2
ottiene t = 0 = 0,4 s . La massima altezza raggiunta è s = 12 + 4 ⋅ 0,4 − ⋅ 9,8 ⋅ 0,4 = 12,82m . Il
g
2
tempo impiegato per cadere a terra, da questa altezza, è: t =
2s
= 1,6 s . Il tempo complessivo di
g
caduta è allora di 2 secondi. Arriva a terra con una velocità v = 2 gs = 15,9m / s 2 . Per determinate
il tempo impiegato a percorrere l’ultimo metro prima di toccare il suolo si può ad esempio calcolare
il tempo impiegato a percorrere 11,82 metri e poi sottrarre questo valore dal tempo di 1,6 secondi:
1,6-1,56=0,04 secondi. La palla impiega 0,4 secondi per arrivare alla quota di 12,82 metri, cioè per
percorrere 0,82 metri. A questi vanno aggiunti i metri che percorre, in caduta libera, in un tempo di
1
2
0,6 secondi: ⋅ 9,8 ⋅ 0,6 = 1,76m . Quindi in un secondo percorre 0,82+1,76=2,58 metri. Il tempo per
2
arrivare a terra, cadendo dalla massima quota raggiunta, sono 1,6 secondi. Per trovare lo spazio
percorso nell’ultimo secondo di caduta si determina la posizione della palla dopo 0,6 secondi
1
2
dall’inizio della caduta libera: ⋅ 9,8 ⋅ 0,6 = 1,76m .
2