Esercitazione #1

Esercizi risolti
Esercizio # 1 (Rendimento di un portafoglio)
Supponete che il rendimento di un’azione Yahoo dipenda dall’esito dell’OPA
su Yahoo da parte di Microsoft. Il rendimento del titolo Google, concorrente
sul mercato, dipende anch’esso dall’esito dell’OPA di Microsoft. Il valore dei
rendimenti dei due titoli sono dati nella seguente tabella:
Probabilità Rendimento di Yahoo Rendimento di Google
OPA fallisce
0.3
-10
20
OPA ha successo 0.7
20
10
1. Qual è il rendimento atteso delle azioni Yahoo e Google?
2. Qual è la varianza delle azioni Yahoo e Google?
3. Qual è la covarianza tra le due azioni?
4. Supponete di investire una quantità x nelle azioni Yahoo e (1 x) nelle
azioni Google. Calcolate il rendimento atteso e la varianza del vostro
portafoglio.
5. Guardando solo al rendimento medio del vostro portafoglio, dite quale
percentuale del vostro portafoglio conviene investire nel titolo Yahoo.
6. Se voleste minimizzare il rischio, è ottimale non investire per nulla nel
titolo Yahoo? Perchè?
Esercizio # 2 (Portafoglio ottimo)
Nel mercato vi sono due titoli, un indice di Borsa e un titolo privo di rischio. Il
rendimento dell’indice di Borsa è 100 se si veri…ca lo scenario migliore (espansione), mentre è 40 se si veri…ca quello peggiore (recessione). La probabilità dei
due scenari è identica. Il rendimento del titolo privo di rischio è 50.
L’utilità attesa di un portafoglio che investe x nell’indice di Borsa e (1 x)
nel titolo privo di rischio è data dalla seguente funzione
EU = P 1 2
20 P
dove P = rendimento atteso del portafoglio, 2P = varianza del portafoglio.
1. Calcolate il rendimento atteso e la varianza dei due titoli:
2. Ricavate il rendimento atteso e la varianza del portafoglio:
3. Ricavate la percentuale x da investire nell’indice di Borsa che massimizza
l’utilità attesa EU .
1
4. Come cambia la percentuale x da investire nell’indice di Borsa, se la previsione di un’espansione fosse del 60% a parità di tutto il resto?
Esercizio #3 (CAPM)
Il portafoglio di mercato è composto da due titoli azionari, A e B, i cui rendimenti sono indipendenti. Il titolo A è presente nel portafoglio con un investimento di 60 Euro (milioni), mentre B con 40 Euro (milioni). I rendimenti attesi
sono rispettivamente rA = 7:9% e rB = 18:15%: Lo scarto quadratico medio di
A è A = 5 mentre quello di B è B = 10:
1. Calcolate il rendimento atteso del portafoglio di mercato, rM :
2. Calcolate lo scarto quadratico medio del portafoglio di mercato, M :
3. Supponete che il tasso privo di rischio sia rF = 4%: Calcolate il beta di A
e la correlazione tra A e il portafoglio di mercato.
4. Calcolate il beta di B e la correlazione tra B e il portafoglio di mercato
sempre nell’ipotesi che il tasso privo di rischio sia rF = 4%:
2
Altri (senza soluzioni)
Es.1 tratto dal tema d’esame del 8/2/2006 (media varianza del portafoglio)
Supponete che i rendimenti di due titoli A e B siano dati dalla seguente
tabella:
Fase del ciclo economico
Boom
Normale
Recessione
Probabilità
0.2
0.5
0.3
Rendimento di A
20
5
-10
Rendimento di B
0
5
10
1. Qual è il rendimento atteso delle due azioni A e B?
2. Calcolate le varianze dei due titoli.
3. Qual è la covarianza tra il titolo A e B? Quale è l’indice di correlazione
lineare tra i due titoli?
4. Trovate la quota x del portafoglio, composto dai due titoli, che deve essere
investita nel titolo A allo scopo di minimizzare la varianza del portafoglio
2P :
5. Trovate la quota x del portafoglio, composto dai due titoli, che deve essere investita nel titolo A allo scopo di massimizzare il valore atteso del
portafoglio P :
Es. 2 tratto dal tema d’esame del 8/2/2006 (diversi…cazione del portafoglio)
Supponete che un individuo possa investire in due titoli, un titolo rischioso
A con rendimento medio A = 7 e varianza 2A = 25 e un titolo privo di rischio
F con rendimento medio rF = 2 e varianza nulla. Sia x la quota percentuale del
portafoglio investito nel titolo A. L’utilità attesa dell’individuo è data da:
1
EU = P 2P
2
dove P è il rendimento medio del portafoglio e 2P è la varianza del portafoglio.
1. Calcolate il rendimento medio del portafoglio P e la varianza del portafoglio
2P in funzione della quota x investita nel titolo A.
2. Trovate la quota x ottimale che massimizza l’utilità attesa EU .
3. Supponete che il rendimento medio di A aumenti e diventi 0A = 10 :
trovate la nuova quota x che massimizza l’utilità attesa EU .
3
4. Cosa succede alla quota ottimale x se, a parità di parametri iniziali, la
varianza di A si riducesse a 20
A = 10?
5. Supponete ora che, a parità di tutto il resto, il titolo F non fosse privo di
rischio, ma che la sua varianza fosse 2F = 5: Sapendo che i rendimenti dei
due titoli A e F sono indipendenti, trovate la quota x investita nel titolo
A che massimizza l’utilità attesa EU:
Es. 4 tratto dal tema d’esame del 22/9/2005 (CAPM)
Supponete che il rendimento di un’azione C e il rendimento di un portafoglio
di mercato siano date dalla seguente tabella:
Fase del ciclo economico
Boom
Crescita normale
Recessione
Probabilità dello stato
0.3
0.5
0.2
Rendimento di C
10
5
-10
Rendimento di mercato
20
10
0
1. Qual è il rendimento atteso delle azioni C e del portafoglio di mercato?
2. Qual è lo scarto quadratico medio delle azioni C e del portafoglio di mercato?
3. Qual è la coviarianza tra le azioni C e il portafoglio di mercato?
4. Calcolate il valore del per le azioni C.
4