20081202 Esercitazione - Traghetto di Leonardo

Appunti di
Elementi di Meccanica
Esercitazione di Dinamica
Il traghetto di Leonardo
v 1.0
2 dicembre 2008
Figura 1: Traghetto sull’Adda tra Imbersago (LC) e Villa d’Adda (BG)
1
Il traghetto
Il traghetto di figura 1 collega la sponda lecchese a quella bergamasca del
fiume Adda. Questo traghetto sfrutta la spinta della corrente per trasportare
persone e automobili da una parte all’altra del corso d’acqua, senza ricorrere
ad alcun motore. Il moto del traghetto è guidato da una fune che collega le
due sponde. Il principio di funzionamento è attribuito a Leonardo da Vinci
che ne studiò il progetto durante il suo soggiorno a Vaprio d’Adda (MI) negli
anni 1506-1507.
2
Modellazione
Il traghetto è costituito da due scafi collegati rigidamente dalla parte superiore (non rappresentata in figura 2). Nella parte di prua si trova il dispositivo
che vincola il traghetto alla fune consentendone lo scorrimento e la rotazione
relativa. Il traghetto è manovrato dall’operatore tramite due timoni.
2
w
fune
HH
j
scafo H
l
H
j
timone
HH
j
H
lr
Figura 2: Modello del traghetto
3
Figura 3: Traghetto in quiete
3
Principio di funzionamento
Lo scafo e i timoni devono presentare un profilo simmetrico per consentire
l’attraversamento del fiume nelle due direzioni. Per questo motivo il traghetto durante la fase di sosta (ovvero quando l’operatore non effettua alcuna
manovra) si allinea al flusso della corrente (vedi figura 3).
Per compiere l’attraversamento del fiume l’operatore deve inclinare lo
scafo della barca rispetto al flusso della corrente. Ruotando il timone (per
esempio in senso antiorario, vedi figura 4), l’operatore devia il flusso dell’acqua. La quantità di moto del flusso d’acqua acquista cosı̀ una componente
perpendicolare alla direzione originale. A questa variazione di quantità di
moto deve corrispondere una forza agente sullo scafo. Dato che alla barca è
impedita la sola traslazione perpendicolarmente alla fune, questa comincia a
ruotare in senso orario.
Nel momento in cui lo scafo non è più allineato con il flusso della corrente,
anch’esso contribuisce alla deviazione del flusso stesso. In questo senso si
può dire che lo scafo stesso funge da timone. Osservando la configurazione
di figura 5, si nota che lo scafo devia il flusso d’acqua verso sinistra e che il
timone lo riallinea parzialmente verso destra. L’effetto combinato di queste
due azioni consente la traslazione del traghetto verso destra mantenendo
costante l’orientazione dello scafo rispetto al flusso d’acqua.
4
Figura 4: Traghetto durante manovra di timone dallo stato di quiete
Figura 5: Traghetto durante manovra di attraversamento
5
4
Studio della dinamica
Lo studio della dinamica del moto del traghetto può essere suddivisa in tre
fasi: la partenza, l’attraversamento e l’arresto. Il traghetto è schematizzabile
come un sistema di tre corpi rigidi, due dei quali (i timoni) sono vincolati
in maniera isostatica allo scafo(in realtà i timoni sono incernierati allo scafo
ma la loro orientazione è fissata dall’operatore a seconda della manovra da
effettuare). Lo scafo può scorrere e ruotare rispetto alla fune: tale vincolo è
quindi schematizzabile come un carrello.
Partenza
Alla partenza lo scafo si trova allineato con il flusso di corrente e l’unica
forza agente sul sistema è la forza di attrito viscoso Fv tra lo scafo e l’acqua.
Questa forza, proporzionale alla velocità e alla viscosità dell’acqua, dipendente inoltre dalla forma dello scafo, è equilibrata dalla reazione che la fune
esercita, quindi
R = Fv
Dal momento in cui il timone viene ruotato di un angolo β, compare una
forza Fr , approssimabile come perpendicolare al timone, che imprime un’accelerazione al traghetto. Sfruttando il principio di d’Alembert, si possono
scrivere le equazioni di equilibrio dinamico:


 R − 2Fr sin β − Fv = 0
−ma − ³
2Fr cos β = 0
´
³
´

 −J ω̇ − √l sin (60◦ − β) + lr Fr − √l cos (β − 30◦ ) + lr Fr = 0
2
2
3
3
dove si è supposto che le linee congiungenti i vertici opposti degli scafi formino
un angolo di 60◦ . Il sistema è facilmente risolvibile:


 R = 2F2Fr sin β + Fv
a = − mr³cos β
´

 ω̇ = − 1 √l sin (60◦ − β) + √l cos (β − 30◦ ) + lr Fr
J
3
3
In questa fase lo scafo accelera verso sinistra (vedi figura 6) e accelera in
senso orario. Nel momento in cui lo scafo assume una orientazione non più
parallela alle linee di flusso della corrente è necessario utilizzare un modello
differente per lo studio del problema.
6
J ω̇
ma
Fv
Fr
Fr
Figura 6: Schematizzazione della manovra di timone
Fh
Fv0
Fh
Fr
Fr
Figura 7: Schematizzazione della manovra di attraversamento
7
Attraversamento
Quando lo scafo è ruotato rispetto alla fune (ad esempio di un angolo α), la
corrente d’acqua viene deviata e quindi compare una forza Fh che agisce sullo
scafo. Tale forza si oppone a quella agente sul timone, rendendo equilibrata
la configurazione nella quale lo scafo è inclinato di un angolo 90◦ − α rispetto
al flusso. Si può supporre che esista una condizione per la quale il traghetto
si muove a velocità costante verso sinistra (vedi figura 7). In tal caso le
equazioni di equilibrio statico devono essere soddisfatte:

0
◦
0
=0
− Fv,⊥

 2Fh sin α − 2Fr cos(β − 900 + α)
◦
0
R − 2Fh cos³α − 2Fr sin(β − 90 +´ α) − F
³v,q = 0
´

 R l cos α − √l sin (60◦ − β 0 ) + lr Fr − √l cos (β 0 − 30◦ ) + lr Fr = 0
2
2
2
3
3
Queste equazioni ci forniscono la massima spinta di attraversamento che
la corrente può fornire (che nel sistema di equazioni formulato è pari alla
componente orizzontale della forza di attrito viscoso), la forza scambiata
con la fune e l’angolo β 0 al quale il timone deve orientato per mantenere
l’equilibrio. Nella scrittura delle equazioni si è supposto che le forze generate
sullo scafo e le forze di attrito viscoso non generino momenti sullo scafo.
Questo sistema di equazioni è estremamente complesso da risolvere, in
particolare per il fatto che anche i termini Fh , Fr , e Fv0 dipendono dagli
angoli α e β 0 e dalla velocità del fluido.
Un approccio più accurato al problema impone di formulare le forze propulsive scambiate tra fluido e scafo come dipendenti dall’angolo di incidenza
del fluido. Si possono supporre valide le seguenti relazioni:
Fh = F̄h cos α
Fr = F̄r sin β 0
dove l’angolo α varia tra 0 e π/2, mentre l’angolo β 0 tra 0 e α (vedi figura 8).
Supponendo inoltre proporzionalità tra le suddette forze e la lunghezza dello
scafo si ottiene:
Fh = kl cos α
Fr = klr sin β 0
L’equazione di equilibrio dei momenti consente di trovare gli angoli ai
quali il sistema è in equilibrio. Considerando per semplicità solamente metà
dello scafo si ottiene:
8
α
Fh
Fh
β0
Figura 8: Equilibrio dei momenti del singolo scafo
¶
µ
l
lr
0
Fh − Fr l cos β +
=0
2
2
Tale equazione può essere riscritta come
lr
l2
sin(2β 0 ) + r2 sin β 0
l
l
Supponendo che il rapporto tra la lunghezza dello scafo e la lunghezza
del timone sia pari a 1.5, l’equazione può essere risolta in via grafica (vedi
figura 9). Si trovano cosı̀ gli angoli all’equilibrio ᾱ e β̄ 0 .
Sommando la componente trasversale al flusso della corrente libera delle
due forze propulsive si ottiene la forza P che spinge la barca attraverso il
fiume. Nel modello di figura tale forza non è equilibrata perché non si sono
incluse le forze di attrito viscoso. La risultante P può essere quindi calcolata
come:
cos α =
´´
³
³π
−α
P = Fh sin α − Fr cos β 0 −
2³
´
√
√
= F̄h cos α 1 − cos2 α − F̄r sin β 0 cos β 0 1 − cos2 α + sin2 β 0 cos α
9
1.2
1
0.8
f (β 0 )
0.6
0.4
cos α
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0
ᾱ ≡ βAMM
β̄ 0
Figura 9: Condizione di equilibrio dei momenti
P
F̄h
0.3
PMAX
F̄h
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
βMAX
1
1.2
1.4
1.6
β0
Figura 10: Risultante trasversale della spinta della corrente
10
Conoscendo l’espressione di cos α, perché ricavata dall’equazione di equilibrio
dei momenti si può tracciare il diagramma della forza propulsiva risultante P
(in figura 10 ne è tracciato l’andamento normalizzato a F̄h ). Si ottiene quindi un valore di β 0 , a cui corrisponde un valore di α, al quale la spinta è
massima. Dato che la forza di attrito viscoso si può considerare in buona
approssimazione proporzionale al quadrato della velocità, eguagliando le due
forze si ottiene il valore della velocità di avanzamento v per una data coppia
di angoli α e β 0 :
r
P (β 0 )
P (β 0 ) = cv 2 ⇒ v =
c
Più che una formulazione corretta del problema fluidodinamico, il sistema
di equazioni scritto vuol sottolineare il fatto che un sistema a più gradi di
libertà soggetto a moto a velocità costante deve essere in equilibrio statico.
Le equazioni della statica devono essere quindi soddisfatte, anche se alcuni
suoi termini sono dipendenti dalla velocità.
Arresto
Per arrestare il moto del traghetto è sufficiente che l’operatore lasci il timone
libero. Cosı̀ facendo, il timone si allinea al flusso dell’acqua e non fornisce
più alcuna forza che impedisce la rotazione dello scafo. Il traghetto quindi
tende ad allinearsi al flusso longitudinale della corrente d’acqua rallentando
progressivamente per effetto dell’attrito viscoso.
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