Leve e proporzioni

Stefania Pozio
Leve e proporzioni
Leve e proporzioni
Stefania Pozio
Nucleo: Relazioni e funzioni
PREREQUISITI
conoscenza della legge fondamentale
delle proporzioni
conoscenza delle leve come macchine
semplici
ATTIVITÁ
Scheda di lavoro 2
Costruiamo un’opera
d’arte
Leve e proporzioni
VALUTAZIONE ATTIVITÁ
All’interno delle schede di lavoro
Scheda per attività
integrative
Costruzione di grafici
con Excel
Scheda per attività
di verifica
Risoluzione di problemi
sulle leve
Scheda di lavoro 1
Costruiamo una leva
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Leve e proporzioni
Introduzione
Tematica: Leve e proporzioni.
Finalità e obiettivi di apprendimento: in questa unità si prende spunto dalle leve per capire
meglio la proprietà fondamentale delle proporzioni e le sue applicazioni pratiche, la
rappresentazione sul piano cartesiano di relazioni e funzioni del tipo y=ax, y=a/x, i loro grafici
e il loro collegamento con il concetto di proporzionalità . Inoltre è utile per imparare a costruire
grafici con Excel e infine per lavorare sull’equiscomponibilità delle figure piane.
Metodologia: si tratta sempre di attività laboratoriali da svolgersi in piccoli gruppi, dove
l’insegnante guida l’esplorazione, valorizza le ipotesi, coordina discussione e verifica, ponendo
domande stimolo e problemi. L’unità è divisa in due diverse attività, ma la prima attività
comprende due fasi distinte. La prima attività prevede una scheda studente con le istruzioni
necessarie per svolgere l’attività e una meta scheda per l’insegnante in cui è spiegato come far
svolgere agli studenti tale attività. Per la seconda attività, invece, è prevista solo una meta
scheda per l’insegnante in cui sono riportate tutte le istruzioni necessarie per spiegare agli
studenti come svolgere le diverse fasi del lavoro.
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Leve e proporzioni
Descrizione dell’attività
Condizione, problema o stimolo da cui nasce l'attività
Questa attività nasce dall’esigenza di far lavorare gli studenti su argomenti che coniughino la
matematica con le scienze. Troppo spesso nella scuola media, dove l’insegnante è peraltro
unico, si scindono le due materie come se non avessero niente in comune. Invece è importante
far vedere agli studenti quanto la matematica sia utile per risolvere problemi “scientifici” e
quanto la matematica è applicabile a problemi di vita quotidiana. Nelle Indicazioni per il
Curricolo si evidenzia come i tre filoni curricolari di cui è costituita l’area scientificomatematica-tecnologica, dal punto di vista didattico si debbano intendere collegati e
interagenti fra loro. Inoltre questa attività nasce anche dall’esigenza di far consolidare le
conoscenze teoriche acquisite dagli studenti sulla proporzionalità, attraverso attività
laboratoriali, alla discussione tra pari e alla manipolazione di modelli costruiti con i compagni.
Prerequisiti richiesti ai ragazzi per svolgere l’attività
Per tutte le attività è necessario che gli studenti abbiano già affrontato la legge fondamentale
delle proporzioni e conoscano la struttura di una leva.
Strumenti forniti agli allievi
Per quanto riguarda la Fase 1 dell’Attività 1 (Costruiamo una leva), agli allievi devono essere
date delle righe da 60 cm, spago, scotch, una dozzina di monete tutte uguali (o da 0,50 € o da
1 €) e una fotocopia della scheda studente (si possono, volendo, fotocopiare solo le pagine
della Fase 2 (Come funziona un leva).
Per l’Attività 2 (Costruiamo un’opera d’arte) sono necessari cartoncini colorati, forbici, scotch,
filo da cucire, ago, fogli di carta da riciclo di diverse dimensioni, righello o squadra, compasso.
Per l’Attività integrativa è necessario l’uso dei computer.
Organizzazione della classe e metodologia
Le attività sono svolte in gruppi di 2-3 persone, in modo da dare a tutti la possibilità di
svolgere l’attività pratica. L’insegnante deve spiegare passo passo le varie fasi del lavoro che
ciascun gruppo porta avanti autonomamente. Può girare tra i gruppi, cercando di guidare il
loro lavoro, di instradare gli studenti se sono in difficoltà, di stimolarli ad una osservazione più
attenta e puntuale, di farli riflettere se tendono ad essere troppo superficiali. Nella prima
attività, l’insegnante deve riportare su un’unica scheda, visibile a tutti gli studenti, i risultati
dei gruppi e deve fare in modo che si sviluppi una discussione tra i vari gruppi circa i risultati
ottenuti dall’attività pratica, evitando di creare un canale unico gruppo-insegnante.
Nella seconda attività, quella relativa alla costruzione dei “Mobili”, la discussione, invece, va
fatta all’interno di ciascun gruppo, perché ogni gruppo si troverà di fronte a situazioni diverse a
seconda del tipo di figure geometriche che ha preparato. L’insegnante deve seguire la
discussione e far riflettere gli studenti sul come trovare la soluzione (l’equilibrio della leva).
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Fasi e tempi
L’unità comprende 2 diverse attività. La prima attività è divisa in due fasi, una di costruzione
dello strumento, l’altra di utilizzo dello strumento per effettuare una serie di misurazioni. Il
tempo previsto per la realizzazione completa di entrambe le fasi è di 3 ore. È prevista anche
una terza fase, inserita come attività integrativa, che si consiglia vivamente di svolgere. Il
tempo richiesto è di un paio di ore.
La seconda attività, invece, comprende un’unica fase di costruzione di “Mobili” per cui sono
previste 3 ore per il suo svolgimento. Ovviamente questo tempo potrebbe allungarsi nel caso si
decidesse di costruire più “Mobili” per uno stesso gruppo.
Tutta l’unità dovrebbe essere svolta nell’arco di due settimane, un’attività a settimana.
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Attività 1
Costruiamo una leva
Tipologia: Attività laboratoriale con costruzione di un modello di leva.
Obiettivo didattico: lo scopo di questa attività è di costruire una leva, verificarne la legge che
regola il suo funzionamento e, contemporaneamente, trovarsi di fronte a un’applicazione
pratica della proprietà fondamentale delle proporzioni.
Tempo: 1 ora (Fase 1), 2 ore (Fase 2), 2 ore (Fase 3)
Fase 1
Procuratevi una riga lunga 60 cm
(anche quella da 50 cm va bene
lo stesso). Appendetela ad uno
spago che passa esattamente per
la sua metà, come mostrato nella
Foto 1. Utilizzate un po’ di scotch
per fermare lo spago sulla metà
della riga.
La riga, tenuta per lo spago, deve
essere perfettamente orizzontale.
Scotch
Foto 1: riga appesa allo spago
Ora procuratevi una dozzina
di monete tutte uguali (vanno
bene da 1 euro o da 50
centesimi) e dividetele in due
gruppi, uno di 3 monete,
l’altro di 9 monete, come
nella Foto 2. Mettetevi intorno
un po’ di scotch per tenerle
ferme e un po’ di spago per
poterle appendere.
Foto 2: preparazione delle monete
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Foto 3: i due gruppi di monete appesi alla riga
Appendete ciascun gruppo di monete alla riga (Foto 3), uno a sinistra e l’altro a destra e
cominciate a fare un po’ di prove.
1) Mettete i due gruppi alla stessa distanza dal centro. Che cosa si osserva? Ovviamente la
riga pende dalla parte del gruppo di 9 monete.
2) Mettete il gruppo da 9 più vicino al centro e quello da 3 più lontano (Foto 4). Che cosa
si osserva? Incredibilmente, la riga pende dalla parte del gruppo di 3 monete.
Foto 4: la riga pende dalla parte del gruppo
di 3 monete
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Leve e proporzioni
Mettete il gruppo da 9 monete a 7 cm dal
centro e il gruppo da 3 monete a 21 cm dal
centro (Foto 5). La riga dovrebbe essere in
equilibrio.
Foto 5: la riga in equilibrio
Ripetete lo stesso procedimento, questa volta con
un gruppo da 4 monete e l’altro da 8 monete (Foto
6).
Fate diverse prove fino a che non trovate il perfetto
equilibrio.
Foto 6: altri 2 gruppi di monete (da 4 e da 8)
Foto 7: riga in equilibrio
Ora discutete con i vostri alunni come sia possibile che pesi minori possano risultare più
“pesanti” di pesi maggiori.
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Fase 2: Come funziona una leva
Dividete gli studenti in gruppi di 2-3 persone. Date a ciascun gruppo una riga da 60 cm, un po’
di spago, scotch e 12 monete tutte uguali. Affidate, a ciascun gruppo, la preparazione di una
delle coppie di monete, come indicato nella tabella 1.
Ciascun gruppo deve fare un po’ di prove con la sua coppia di monete, spostando le monete a
diverse distanze dal fulcro e annotando di volta in volta che cosa succede. Suggerite ai vostri
studenti di spostare le monete su numeri interi di cm.
Alla fine, ogni gruppo deve compilare una tabella di questo tipo, dove, per ciascun gruppo di
monete, sia riportata:
a) una distanza dal fulcro in modo che la riga penda dalla parte del gruppo con più
monete;
b) una distanza dal fulcro in modo che la riga penda dalla parte del gruppo con meno
monete.
c) una distanza dal fulcro in modo che la riga sia in equilibrio.
Numero
di
monete
Distanza
dal fulcro
Da quale
parte pende la
riga?
Distanza
dal fulcro
Da quale
parte pende
la riga?
Distanza
dal fulcro
Da quale
parte pende
la riga?
Coppia
n. …
Quando tutti i gruppi hanno completato la loro tabella, fate scambiare le coppie di monete tra i
gruppi (ad esempio, il gruppo 1 che ha lavorato con la coppia 1-11 prende la coppia 2-10 su
cui ha lavorato il gruppo 2, e il gruppo 2 prende la coppia 1-11). Con la nuova coppia di
monete, fate ripetere le misure effettuate in precedenza, riportandole su un nuovo schema.
Una volta che ciascun gruppo ha effettuato un paio di misure con due diverse coppie di
monete, riportate i risultati ottenuti da ciascun gruppo sulla tabella 1 (la coppia 3-9 è già stata
compilata come esempio).
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TABELLA 1: Riepilogo delle misure
Numero
di
monete
Coppia n. 1
1
11
Coppia n. 2
2
10
Distanza
dal fulcro
3
10 cm
9
10 cm
Coppia n. 3
Coppia n. 4
4
8
Coppia n. 5
5
7
Coppia n. 6
6
6
Da quale
parte
pende la
riga?
Distanza
dal fulcro
25 cm
Da
questa
parte
5 cm
Da quale
parte
pende la
riga?
Da
questa
parte
Distanza
dal fulcro
Da quale
parte
pende la
riga?
21 cm
Equilibrio
7 cm
Equilibrio
Ovviamente le distanze dal fulcro che fanno pendere la riga da una parte o dall’altra possono
variare da gruppo a gruppo, l’importante è trovare, alla fine, discutendone tutti insieme, un
intervallo di distanze oltre il quale la riga pende o da una parte o dall’altra. Ad esempio, nel
caso della coppia 3-9, una volta trovate le distanze (d) dal centro che permettono l’equilibrio
della riga, si ha:
Gruppo da 3: fermo a 21 cm dal fulcro
Gruppo da 9: se d > 7 cm dal fulcro, la riga pende dalla parte delle 9 monete
se d < 7 cm dal fulcro, la riga pende dalla parte delle 3 monete
OPPURE
Gruppo da 9: fermo a 7 cm dal fulcro
Gruppo da 3: se d > 21 cm dal fulcro la riga pende dalla parte delle 3 monete
se d < 21 cm dal fulcro la riga pende dalla parte delle 9 monete
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È chiaro che, per ogni coppia di monete, può esistere più di una coppia di valori di numeri
interi di cm che portano all’equilibrio. Ad esempio, per la coppia 3-9, l’equilibrio si può avere
a:
Gruppo da 3 a:
3 cm
6 cm
9 cm
12 cm
15 cm
18 cm
21 cm
24 cm
27 cm
30 cm
Gruppo da 9 a:
1 cm
2 cm
3 cm
4 cm
5 cm
6 cm
7 cm
8 cm
9 cm
10 cm
Fate verificare agli studenti che ogni coppia di distanze corrisponde effettivamente all’equilibrio
della riga-leva, facendo spostare i gruppi di monete lungo la riga.
Una volta compilata tutta la tabella, discutete con gli studenti sui risultati ottenuti. Chiedete
loro se notano qualche regolarità ogni volta che la riga-leva è in equilibrio.
Dovrebbe emergere la legge delle leve:
P x bp = R x br
Chiedete agli studenti: “A proposito di che cosa abbiamo già trovato l’uguaglianza di due
prodotti?”. Oppure: “Che cosa vi fa venire in mente questa uguaglianza?”.
Gli studenti dovrebbero ricordarsi la proprietà fondamentale delle proporzioni: il prodotto dei
medi è uguale al prodotto degli estremi.
Come possiamo trasformare questa uguaglianza tra due prodotti in un’uguaglianza tra due
rapporti?
Fateli ragionare fino a che non arrivino alla seguente proporzione (o forme equivalenti):
P : br = R : b p
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Leve e proporzioni
Fase 3: Questa fase fa parte dell’attività integrativa
Fate riflettere gli studenti sulle relazioni esistenti tra le quattro grandezze in gioco: potenza,
resistenza, braccio della potenza e braccio della resistenza. Per calcolare ciascuna grandezza è
necessario conoscere le altre tre. Fate quindi ricavare agli studenti le formule che permettono
di calcolare una delle quattro incognite, una volta note tre di esse.
Le formule sono le seguenti:
1)
P
R  br
bp
2)
R
P  bp
br
3)
bp 
R  br
P
4)
br 
P  bp
R
Fate riflettere gli studenti sui seguenti casi (sempre per l’equilibrio della leva).
1) Potenza e resistenza costanti. Vario il braccio della potenza e vedo come varia il braccio
della resistenza (formula 4).
2) Potenza e resistenza costanti. Vario il braccio della resistenza e vedo come varia il
braccio della potenza (formula 3).
3) Potenza e braccio della potenza costanti. Vario la resistenza e vedo come varia il braccio
della resistenza (formula 4).
4) Potenza e braccio della potenza costanti. Vario il braccio della resistenza e vedo come
varia la resistenza (formula 2).
5) Resistenza e braccio della resistenza costanti. Vario la potenza e vedo come varia il
braccio della potenza (formula 3).
6) Resistenza e braccio della resistenza costanti. Vario il braccio della potenza e vedo
come varia la potenza (formula 1).
Dalle riflessioni degli studenti dovrebbe emergere il concetto di proporzionalità diretta o
inversa. La variazione delle grandezze può essere visualizzata utilizzando dei grafici.
A questo punto fate costruire, su carta millimetrata o con Excel, a ciascun gruppo, i grafici
corrispondenti alla coppia di monete a loro assegnata. Ad esempio:
Gruppo 1 – Coppia di monete 1 -11
Per la costruzione di questo grafico, la potenza e la resistenza sono costanti (quindi siamo nel
caso 1 o 2).
P = 1 moneta
R = 11 monete
mentre faccio variare come voglio il braccio della resistenza e mi calcolo il braccio della
potenza (vedi tabella), o viceversa.
Formula da applicare
R  br
bp 
P
Tabella
br (cm)
0
1
2
3
…..
bp (cm)
0
11
22
?
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Grafico
50
45
40
35
30
Serie1
Lineare (Serie1)
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
Nelle pagine seguenti ci sono le istruzioni per costruire i grafici utilizzando Excel. Fotocopiatele
e datele agli studenti (Scheda attività integrativa).
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Per produrre il grafico con Excel:
1) aprite un file Excel
2) riportate sul foglio Excel i dati della prima colonna della tabella
3) scrivete, nella II colonna del foglio Excel,
la formula che vi permette di calcolare il
valore della II colonna della tabella
(=11*A2/1).
4) Posizionati con il cursore sull’angolino in
basso a destra e, tenendo premuto il
tasto sinistro del mouse, trascina il
mouse verso il basso. Rilascia il tasto del
mouse e ti appariranno i valori.
5) Seleziona i dati, andandoci sopra
tenendo premuto il tasto sinistro del
mouse, clicca su Inserisci e poi su
Grafico.
6) Seleziona il grafico Dispersione e poi
clicca su Avanti, finché non arrivi a
questa pagina dove puoi dare il titolo al
grafico e agli assi.
Istruzioni 2 e 3
Istruzione 4
Istruzione 5
Istruzione 6
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7) Clicca ancora su Avanti finché non ti appare il grafico.
8) Posizionati con il mouse su uno
dei punti del grafico, clicca sul
tasto destro del mouse e poi su
Aggiungi linea di tendenza. Clicca
su Lineare e poi su OK.
9) Ti apparirà il grafico.
Che tipo di relazione indica questo
grafico?
È una relazione di proporzionalità
diretta.
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Se volete far costruire agli studenti un grafico di proporzionalità inversa, fate applicare un’altra
formula. Ad esempio, tenete costanti la potenza e il braccio della potenza, fate variare il
braccio della resistenza e calcolate di volta in volta la Resistenza.
P = 4 monete
bp= 20 cm (scegliete voi il valore che volete; questo viene fornito come esempio)
Formula da applicare
R
P  bp
br
Tabella
br (cm)
2
4
8
10
…..
R (monete)
40
20
10
8
Costruite il grafico con Excel, seguendo le stesse istruzioni del grafico precedente. Ricordati di
cambiare ovviamente la formula (=20*4/A2).
Quando arrivi a Aggiungi linea di tendenza (Istruzione 8), clicca su Potenza (e non su Lineare).
Ti apparirà questo grafico:
Che tipo di relazione indica
questo grafico?
È una relazione di proporzionalità
inversa.
Su questo sito, potete trovare un gioco interattivo sull’equilibrio di una leva.
http://www.walter-fendt.de/ph14i/lever_i.htm
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Scheda per lo studente
Cognome
Nome
Data
Attività 1
Costruiamo una leva
Fase 1
Appendete la riga lunga 60 cm
ad
uno
spago
che
passa
esattamente per la sua metà,
come mostrato nella Foto 1.
Utilizzate un po’ di scotch per
fermare lo spago sulla metà della
riga.
La riga, tenuta per lo spago, deve
essere perfettamente orizzontale.
Scotch
Foto 1: riga appesa allo spago
Dividete le monete che la vostra
insegnante vi ha dato in due
gruppi, come lei vi ha indicato
(Foto 2). Mettetevi intorno un po’
di scotch per tenerle ferme e un
po’
di
spago
per
poterle
appendere.
Foto 2: Preparazione delle monete
Foto 2: preparazione delle monete
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Foto 3: i due gruppi di monete appesi alla riga
Appendete ciascun gruppo di monete alla riga (Foto 3), uno a sinistra e l’altro a destra e
cominciate a fare un po’ di prove.
1) Mettete i due gruppi alla stessa distanza dal centro. Che cosa osservate?
2) Mettete il gruppo con più monete più vicino al centro e quello con meno monete più
lontano (Foto 4). Che cosa osservate?
Foto 4
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
Spostate i due gruppi di monete lungo la riga, finché la riga non è in equilibrio (Foto 5).
Foto 5: la riga in equilibrio
Stefania Pozio
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Scheda per lo studente
Cognome
Nome
Data
Attività 1
Costruiamo una leva
Fase 2: Come funziona una leva
Spostate le monete su numeri interi di cm.
Completate la seguente tabella scrivendo, per ciascun gruppo di monete:
a) una distanza dal fulcro in modo che la riga penda dalla parte del gruppo con più
monete;
b) una distanza dal fulcro in modo che la riga penda dalla parte del gruppo con meno
monete;
c) una distanza dal fulcro in modo che la riga sia in equilibrio.
Completate la seguente tabella con le misure che avete trovato:
Numero
di
monete
Distanza
dal fulcro
Da quale
parte pende la
riga?
Distanza
dal fulcro
Da quale
parte pende
la riga?
Distanza
dal fulcro
Da quale
parte pende
la riga?
Coppia
n. …
Ripetete lo stesso procedimento, con un altro gruppo di monete che vi verrà dato dalla vostra
insegnante. Completate la seguente tabella:
Numero
di
monete
Coppia
n. …
Distanza
dal fulcro
Da quale
parte pende la
riga?
Distanza
dal fulcro
Da quale
parte pende
la riga?
Distanza
dal fulcro
Da quale
parte pende
la riga?
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
Scheda per lo studente
Cognome
Nome
Data
Attività 1
Costruiamo una leva
Scrivi che cosa hai imparato da questa attività
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
C’è qualcosa che non hai capito?
(Barra una sola delle caselle)
□
No, mi è tutto chiaro
□
Sì, non ho capito ________________ (scrivi quello che ancora non ti è chiaro).
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Come ti è
□
□
□
□
□
sembrata questa attività?
Difficile
Difficile all’inizio, ma poi abbastanza facile
Impegnativa, ma non difficile
Abbastanza facile
Facile
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
Attività 2
Costruiamo un’opera d’arte
Tipologia: Attività laboratoriale con costruzione di un “Mobile” simile a quelli dell’artista
Calder.
Obiettivo didattico: lo scopo di questa attività è di costruire un’imitazione delle opere di
Calder utilizzando la proprietà delle leve e di rinforzare il concetto di equiscomponibilità delle
figure piane.
Tempo: 3 ore
Le fotografie qui riportate mostrano due
opere dello scultore statunitense Alexander
Calder che Marcel Duchamp ha denominato
Mobili. Si tratta di strutture che fluttuano
nell’aria e si muovono al minimo soffio.
Come si può vedere, si tratta di una serie di
leve il cui equilibrio dipende da come sono
disposti i diversi elementi che si appendono.
La seguente attività ha lo scopo di
costruire imitazioni di questi “Mobili” per
rafforzare la conoscenza delle leve.
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
Date a ciascun alunno un foglio di carta (anche da riciclo) e fatelo arrotolare molto stretto,
partendo da un angolo, come mostrato nelle seguenti fotografie.
Fermate con un pezzetto di scotch la punta del foglio. Ottenete così una bacchetta come quella
mostrata in fotografia. A seconda della grandezza del foglio, otterrete bacchette più o meno
lunghe.
Le bacchette costituiranno la struttura portante del “Mobile”. Ora bisogna costruire le cose da
appendere. Si suggerisce di costruire figure geometriche note (triangoli, rettangoli, trapezi
ecc.) perché in questo modo si può sfruttare questa attività per rinforzare sia le conoscenze
degli alunni sulla equiscomponibilità delle figure piane, sia la comprensione di alcune formule
della geometria piana sul calcolo delle aree.
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
Fate costruire agli studenti, su un cartoncino, un
trapezio e un triangolo equivalente ad esso.
Metà lato obliquo
1
2
Uguale alla base minore
Fate sovrapporre il triangolo al trapezio e fate
osservare l’equiscomponibilità delle due figure. Fate
riflettere i vostri studenti sulla formula per il calcolo
dell’area del trapezio (il trapezio è equivalente ad un
triangolo che ha per base la somma delle basi del
trapezio e per altezza la stessa altezza. Ecco perché si
B  b   h
calcola
2
).
Se le due figure sono equivalenti, vuol dire che ho utilizzato la stessa quantità di cartoncino
per costruirle, quindi avranno lo stesso peso. Che cosa mi aspetto che accada se le appendo
alla bacchetta? Fate riflettere gli studenti. Ovviamente, se li metto alla stessa distanza dal
fulcro, la bacchetta sarà in equilibrio.
Innanzitutto fate appendere la bacchetta ad un filo
da cucito, fate trovare il perfetto equilibrio e, una
volta trovato, fate fermare con un pezzetto di scotch
il filo alla bacchetta.
Ora fate appendere alla bacchetta il triangolo e il
trapezio.
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
Il modo migliore per appendere le figure geometriche è quello illustrato dalla seguente
sequenza di foto. Con un ago, fate passare del filo da cucire in un punto della figura, sfilate
l’ago e chiudete il filo con un nodo. Fate passare la figura in mezzo al filo e tirate. In questo
modo la figura è appesa in modo più stabile.
Fate appendere le due figure alla bacchetta in modo che quest’ultimo sia in perfetto equilibrio.
Con un righello fate misurare la distanza delle due figure dal fulcro e discutete dei risultati con
i vostri studenti.
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
Ora fate costruire due rettangoli uguali. Da uno di
questi rettangoli, ricavate un rombo (come illustrato
nella foto) e 4 triangoli rettangoli.
Legate tra loro i 4 triangoli rettangoli.
Appendete alla bacchetta il rombo
da una parte e i triangoli dall’altra.
A quale distanza devono stare dal
fulcro per avere l’equilibrio?
Ora appendete il rettangolo da una parte e il
rombo dall’altra. A quale distanza devono stare
dal fulcro per avere l’equilibrio? Ovviamente il
rettangolo deve stare ad una distanza che è la
metà di quella del rombo. Che conclusioni si
possono trarre? Che il cartoncino usato per
costruire il rettangolo è il doppio di quello usato
per costruire il rombo. Ecco perché l’area del
Dd
rombo si calcola
2 .
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
Ora potete far costruire un altro rettangolo equivalente al precedente
e lo fate appendere con i triangoli. Che cosa si può osservare? I
triangoli sono equivalenti al rombo. Quindi abbiamo un’altra
Dd
dimostrazione del perché l’area del rombo si calcoli
2 .
Ora appendete ad una bacchetta le due bacchette
precedenti. E infine…
ECCO L’OPERA D’ARTE!
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
Alcuni consigli
I Mobili vanno costruiti partendo dalle bacchette più in basso e aggiungendo via via quelle più
in alto.
Ovviamente non è necessario appendere tutto per il centro della bacchetta. In realtà quando si
costruiscono gli oggetti, si possono prima appendere gli oggetti e poi cercare il punto dove
appendere la stanghetta in modo che sia in equilibrio. Discutete con i vostri studenti come fare
per trovare il punto di equilibrio della bacchetta.
Fate costruire anche altre figure geometriche in modo da poter fare una “Mostra di Mobili”.
Potrebbe essere interessante, per esempio, costruire cerchi con raggi uno multiplo dell’altro.
Ad esempio, un cerchio con raggio 4 cm viene appeso su una bacchetta insieme ad un cerchio
con raggio 8 cm. Quanto mi aspetto che il cerchio grande sia più pesante di quello piccolo? Il
doppio? Il quadruplo? In quale punto devo appendere la mia bacchetta affinché sia in
equilibrio?
Fate giocare (e ragionare) i vostri studenti con i Mobili. Sfruttate questa attività per rinforzare
le conoscenze delle relazioni tra aree di diverse figure piane.
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Scheda per lo studente
Cognome
Nome
Data
Attività integrativa
Costruiamo grafici con Excel
I dati che vi siete ricavati sulla leva che avete costruito (lunghezza del braccio della potenza
rispetto alla lunghezza del braccio della resistenza per avere la leva in equilibrio) possono
essere riportati su un grafico che vi permette di visualizzare la relazione tra le diverse
grandezze in gioco.
Qui di seguito viene riportato un esempio di costruzione di un grafico riferito al gruppo 1.
Cambiate voi stessi i dati a seconda del gruppo a cui appartenete.
Gruppo 1 – Coppia di monete 1-11
La Potenza e la Resistenza sono costanti
P = 1 moneta
R = 11 monete
mentre il braccio della resistenza lo faccio variare come voglio e mi calcolo il braccio della
potenza (vedi tabella).
Formula da applicare: ricavala dalla legge delle leve
Una volta trovata la formula, costruisci una tabella come la seguente:
Tabella
br (cm)
0
1
2
3
…..
bp (cm)
?
?
?
?
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
Una volta completata la tabella, i dati possono essere riportati su un grafico. Il grafico può
essere disegnato su carta a quadretti o millimetrata, oppure può essere costruito con un
programma che si chiama Excel.
50
45
40
Grafico costruito con Excel.
35
30
Serie1
Lineare (Serie1)
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
Segui le seguenti istruzioni per costruire il grafico con Excel.
1) Apri un file Excel, se non lo sai fare, chiedi alla tua insegnante.
2) Riporta sul foglio Excel i dati della prima colonna della tabella.
3) Scrivi, nella II colonna del foglio Excel,
la formula che ti permette di calcolare il
valore della II colonna della tabella
(=11*A2/1).
4) Posizionati con il cursore sull’angolino in
basso a destra e, tenendo premuto il
tasto sinistro del mouse, trascina il
mouse verso il basso. Rilascia il tasto del
mouse e ti appariranno i valori.
5) Seleziona i dati, andandoci sopra
tenendo premuto il tasto sinistro del
mouse, clicca su Inserisci e poi su
Grafico.
6) Seleziona il grafico Dispersione e poi
clicca su Avanti, finché non arrivi a
questa pagina dove puoi dare il titolo al
grafico e agli assi.
Istruzioni 2 e 3
Istruzione 4
Istruzione 5
Istruzione 6
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
7) Clicca ancora su Avanti finché non ti appare il grafico.
8) Posizionati con il mouse su uno
dei punti del grafico, clicca sul
tasto destro del mouse e poi su
Aggiungi linea di tendenza. Clicca
su Lineare e poi su OK.
9) Ti apparirà il grafico.
Che tipo di relazione indica questo
grafico?
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
Ora, costruiamo un altro tipo di grafico.
Questa volta mantieni costanti la potenza e il braccio della potenza, e fai variare il braccio della
resistenza e calcola di volta in volta il valore Resistenza. Qui di seguito ti viene fornito un
esempio. Puoi variare i numeri come vuoi.
P = 4 monete
bp= 20 cm (scegli tu il valore che vuoi; questo viene fornito come esempio)
Formula da applicare: ricavala dalla legge delle leve
Una volta trovata la formula, costruisci una tabella come la seguente:
Tabella
br (cm)
2
4
8
10
…..
R (monete)
Costruisci il grafico con Excel, seguendo le stesse istruzioni del grafico precedente. Ricordati di
cambiare ovviamente la formula (=20*4/A2).
Quando arrivi a Aggiungi linea di tendenza (Istruzione 8), clicca su Potenza (e non su Lineare).
Ti apparirà questo grafico:
Che tipo di relazione
questo grafico?
indica
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
Attività di verifica
Costruiamo una leva
Risolviamo questi problemi:
Sono al parco con il mio papà. Lui pesa 80 kg, mentre io
peso 40 kg. Ci mettiamo seduti su un’altalena come quella
che vedi nella figura qui al lato. L’altalena è lunga 2,80 m.
Mio papà dice che, poiché lui è più pesante, sicuramente
sarà lui che solleverà me e non viceversa. Tuo papà ha
ragione?
Trova un modo per riuscire tu stesso a sollevare lui.
È chiaro che, poiché il bambino ha un peso che è la metà di quello del padre, deve posizionarsi
ad una distanza dal fulcro lunga più del doppio di quella del padre. Si può partire, per risolvere
questo problema, prima dal calcolo della distanza alla quale l’altalena è in equilibrio,
successivamente si calcola la distanza alla quale il figlio può sollevare il padre.
Ad esempio: l’equilibrio si ha quando il figlio è seduto a 1,20 cm dal fulcro e il padre a 60 cm
perché 80 x 60 = 40 x 120. Quindi se il figlio si allontana dal fulcro o il padre si avvicina al
fulcro, il figlio riuscirà a sollevare il padre.
ATTENZIONE: poiché tutta l’altalena è lunga 2,80 m, ciascun braccio non può essere più lungo
di 140 cm!
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
………………..
Qui accanto c’è la fotografia di una carriola. Anche
la carriola è una leva. Spiega perché.
Inserisci, al posto dei puntini, i termini:
FULCRO, POTENZA, RESISTENZA
Trova che differenza c’è tra la leva-riga e la leva
carriola.
………………..
Questa carriola ha le seguenti dimensioni:
Lunghezza dei manici: 50 cm
Distanza impugnatura – ruota: 81 cm
Distanza ruota – centro vasca rossa: 30 cm
Carico massimo: 30 kg
………………..
Questo sacco di cemento pesa 27 kg. Luigi riesce
a sollevare al massimo 20 kg. Dimostra, con
calcoli matematici, che Luigi è in grado di
trasportare questo sacco con la carriola, dopo che
il papà lo ha aiutato a caricarcelo sopra.
La differenza tra la carriola e la riga è che il fulcro nella carriola non sta al centro, ma di lato. Il
braccio della resistenza è più corto, quindi è possibile vincere una resistenza maggiore con una
potenza minore.
Il calcolo matematico è molto semplice:
R = 27 kg
br = 30 cm
bp = 81 cm
P=
27  30
 10 kg
81
Per l’equilibrio occorrono 10 kg, quindi per sollevare la carriola con il sacco di cemento è
sufficiente una potenza di poco superiore a 10 kg. Poiché Luigi riesce a sollevare fino a 20 kg,
riuscirà a trasportare il sacco di cemento nella carriola.
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
Osserva questo carrello:
Dimensioni (Larghezza x Profondità x Altezza) mm 490x530x1250
Pala di carico mm 320x200
Portata Kg 200
Peso Kg 12
Ideale per casse e cassette come quelle della frutta
Con questo carrello devo
trasportare
queste
cassette di frutta che
pesano 10 kg ciascuna.
Spiega,
con
calcoli
matematici,
come
è
possibile che una persona
che solleva al massimo 25
kg, sia in grado di
trasportarle.
Spiega
perché
questo
carrello
permette
di
trasportare carichi molto
pesanti.
Per risolvere questo problema, gli studenti devono innanzitutto leggere bene i dati. L’altezza
del carrello rappresenta, all’incirca, il braccio della potenza; la profondità rappresenta il braccio
della resistenza. Quindi il calcolo è il seguente:
R = 50 kg
br = 50 cm circa
bp = 125 cm circa
P=
50  50
 20 kg
125
Il carrello permette di trasportare carichi molto pesanti perché ha un braccio della potenza
molto lungo. Fate ragionare a lungo gli studenti sulla legge della leva. Se il prodotto della
resistenza per il suo braccio è uguale al prodotto della potenza per il suo braccio, se il braccio
della potenza è molto lungo, e quello della resistenza molto corto, sarà sufficiente una potenza
molto piccola per vincere una resistenza molto grande.
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
Scheda per lo studente
Cognome
Nome
Attività di verifica
Costruiamo una leva
Risolviamo questi problemi:
Sono al parco con il mio papà. Lui pesa 80 kg, mentre io
peso 40 kg. Ci mettiamo seduti su un’altalena come quella
che vedi nella figura qui al lato. L’altalena è lunga 2,80 m.
Mio papà dice che, poiché lui è più pesante, sicuramente
sarà lui che solleverà me e non viceversa. Tuo papà ha
ragione?
Trova un modo per riuscire tu stesso a sollevare lui.
Data
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
………………..
Qui accanto c’è la fotografia di una carriola. Anche
carriola è una leva. Spiega perché.
Inserisci, al posto dei puntini, i termini:
FULCRO, POTENZA, RESISTENZA
la
Trova che differenza c’è tra la leva-riga e la leva
carriola.
………………..
………………..
Questa carriola ha le seguenti dimensioni:
Lunghezza dei manici: 50 cm
Distanza impugnatura – ruota: 81 cm
Distanza ruota – centro vasca rossa: 30 cm
Carico massimo: 30 kg
Questo sacco di cemento pesa 27 kg. Luigi riesce
a sollevare al massimo 20 kg. Dimostra, con
calcoli matematici, che Luigi è in grado di
trasportare questo sacco con la carriola, dopo che
il papà lo ha aiutato a caricarcelo sopra.
Stefania Pozio
Leve e proporzioni
Osserva questo carrello:
Dimensioni (Larghezza x Profondità x Altezza) mm 490x530x1250
Pala di carico mm 320x200
Portata Kg 200
Peso Kg 12
Ideale per casse e cassette come quelle della frutta
Con questo carrello devo
trasportare queste cassette
di frutta che pesano 10 kg
ciascuna. Spiega, con calcoli
matematici, come è possibile
che una persona che solleva
al massimo 25 kg, sia in
grado di trasportarle.
Spiega
perché
questo
carrello
permette
di
trasportare
carichi
molto
pesanti.