doc esp poliedri - Eduscienze.progettotrio.it

Istituto Comprensivo G. B. Niccolini
San Giuliano Terme (Pisa)
http://www.gbniccolini.pisa.it
anno scolastico 2002-03
1
Attività geometriche e artistiche sui poliedri in una classe di
terza media
Maria Cristina Maffei
Anna Amidei
Introduzione
Il lavoro nasce dalla osservazione di due quadri di Escher, Stars e Gravity, che si possono, a
ragione, ritenere la premessa ideale delle attività sui poliedri svolte in una classe terza della scuola
media di San Giuliano Terme di Pisa.
I poliedri, effettivamente, hanno esercitato grande fascino sulle menti dei matematici di tutti i tempi:
pare che Euclide negli Elementi, non volesse tanto fare un grande trattato di geometria, quanto
un’introduzione ai 5 poliedri regolari (solidi platonici); inizia infatti con il triangolo equilatero e
termina con la costruzione dell’icosaedro.
Proporre uno studio sistematico sui poliedri in una scuola media inferiore, poteva essere un
obiettivo troppo ambizioso, ma affrontarne uno studio più circoscritto, costruendo i solidi, dopo
averne tracciato lo sviluppo sul piano, poteva essere un obiettivo perseguibile.
La ricaduta sul piano didattico sarebbe stata la scoperta delle proprietà dei poliedri attraverso la
manipolazione dei modelli costruiti e un potenziamento generale delle conoscenze relative allo
spazio e alle simmetrie.
Il lavoro è stato articolato in due fasi e tutte le attività svolte hanno avuto caratteristiche
laboratoriali:
1. costruzione e classificazione di poliedri
2. creazione di un motivo artistico modulare (ispirato ai disegni di Escher), con cui
decorare lo sviluppo di un poliedro, coerente con la successiva chiusura nel solido.
N. B. La fase 1 è stata svolta utilizzando anche il software Cabri-geometre; una sintesi è
consultabile nella sezione L’uso di Cabri- Geometre come utile sussidio nella realizzazione di
attività geometriche e artistiche sui poliedri con una classe di terza media
I Prerequisiti necessari per la realizzazione del lavoro:
concetti generali della geometria solida (•relazioni fra rette nel piano e nello spazio, •relazioni
fra piani, •angoli diedri e angoloidi,•concetto di poliedro, •prismi e piramidi
isometrie
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Prima fase
A. Prime attività utili per lo sviluppo della capacità di dominare lo spazio tridimensionale
e la conoscenza delle proprietà delle figure geometriche
B. Poliedri regolari o solidi platonici
C. Poliedri semiregolari o archimedei
D. Poliedri stellati
E. Poliedri composti
A. Prime attività utili per lo sviluppo della capacità di dominare lo spazio tridimensionale e la
conoscenza delle proprietà delle figure geometriche
Il cubo
A1. In classe era già stato introdotto lo studio generale dei poliedri, distinti in prismi e piramidi.
Tra i prismi il cubo era già stato introdotto e la costruzione del modello in cartoncino era già stata
realizzata; ma per abituare i ragazzi a passare dal piano allo spazio e viceversa, sono state date loro
delle scatole cubiche di cartoncino e sono stati invitati a tagliarle opportunamente lungo alcuni
spigoli in modo da aprirle e distenderle nel piano. Quindi dovevano contrassegnare i vertici
combacianti con A, B, C… e gli spigoli combacianti con lo stesso colore…. come da esempio
Utilizzando gli sviluppi piani trovati da ciascun alunno e discutendone in classe si è arrivati a
individuare undici sviluppi piani possibili, in cui i quadrati sono uniti per un lato e non esistono
spazi vuoti tra essi.
3
Possibili sviluppi di cubo
Un’utile discussione è nata dalla osservazione che non tutte le possibili disposizioni di 6 quadrati
uguali potevano essere sviluppi di un cubo, osservazione che è stata in seguito il punto di partenza
per trovare la condizione di esistenza di un angoloide.
Vedi:
scheda1
scheda2
A 2. Un’interessante modello di cubo è stato realizzato con la tecnica dell’origami, antichissima
tecnica di origine giapponese che insegna ad ottenere da un foglio di carta, in genere di forma
quadrata, senza mai tagliarlo e incollarlo, mediante piegature basate su proprietà di simmetria,
oggetti di varia natura come fiori, animali, aeroplanini ecc. Con questa tecnica, senza usare quindi
né matita né strumenti della geometria è anche possibile ottenere sia figure geometriche piane come
varie forme poligonali sia figure tridimensionali come cubi e vari altri poliedri.
Ai ragazzi è stata proposta la realizzazione di un cubo..
Il modello del cubo prevede la costruzione di 6 pezzi tutti uguali fra loro, la cui disposizione a
incastro, permette di ottenere il solido; occorrono, per costruirlo, 6 fogli di forma quadrata di
dimensione 10-15cm di lato, possibilmente di 3 colori diversi (2 fogli per ogni colore).
Si procede secondo lo schema:
•
piegare e
riaprire
•
portare i 2 lati fino alla
traccia centrale
4
•
piegare 2 angoli opposti
•
riaprire
•
nascondere gli angolini
•
mettere gli angoli sotto le alette per...
•
...formare un
incastro e voltare
•
piegare i 2 angoli e
riaprire
•
voltare
•
•
•
il modulo
I 6 moduli ottenuti, alla
sovrapposizione
dovranno risultare
identici, cioè tutti piegati
nello stesso verso(o tutti
destri o tutti sinistri).
Per formare il cubo, basta assemblare i 6 moduli, incastrandoli tramite le alette e le tasche
formate con le piegature.
5
A 3. Allo scopo di facilitare il lavoro successivo, si è passati allo studio delle sezioni piane del
cubo
Attraverso l’esperienza diretta, tagliando un cubetto di polistirolo, è stato possibile osservare le
sezioni che si ottenevano mediante piani mediani, piani diagonali e piani trasversi
Piani di sezione
Piani mediani
Piani diagonali
Piani trasversi
Esempi di possibili sezioni nel cubo
sezioni
quadrati
rettangoli
triangoli
quadrilateri
pentagoni
esagoni
Sezioni ottenute mediante piani trasversi
Anche in questo caso per abituare i ragazzi a passare dal piano allo spazio e viceversa sono state
preparate delle schede di approfondimento
Vedi
Scheda3
Scheda4-5
6
B. Poliedri regolari o solidi platonici
Il cubo ha permesso di riprendere il tema degli angoloidi , già trattato, ma in forma generale.
Verificare la condizione di esistenza dell’angoloide è stata la premessa necessaria per iniziare il
percorso che ha portato alla scoperta dei poliedri regolari.
Manipolando il cubo è stato subito evidente che le facce convergenti in un vertice erano tre e la
somma dei relativi angoli (90°*3=270°) era la misura della somma degli angoli delle facce di ogni
angoloide; se si tentava di aggiungere una quarta faccia quadrata, l’angoloide cessava di esistere
perché si schiacciava sul piano. Si poteva concludere quindi, che un angoloide esiste se la somma
degli angoli delle sue facce convergenti in un vertice è minore di 360°.
Gli angoloidi nel cubo sono tutti congruenti , le facce sono dei poligoni regolari e sono tutte
congruenti.
Tutti questi requisiti ci hanno permesso per estensione di
arrivare alla definizione di poliedro regolare come
poliedro i cui angoloidi sono tutti congruenti e le cui
facce sono poligoni regolari congruenti.
Accanto a questa è stata introdotta anche l’altra
definizione:
E’ regolare ogni poliedro in cui la figura al vertice,
formata dai segmenti che giacciono nelle facce situate
attorno a un vertice particolare e che uniscono i punti
medi degli spigoli concorrenti in tale vertice, è un
poligono regolare
7
Subito sono state poste le seguenti domande:
• quanti tipi di poliedri regolari esistono oltre il cubo?
• sono infiniti come accade nel piano per i poligoni regolari?
Tenendo conto dei requisiti della definizione e della condizione di esistenza dell’angoloide, i
ragazzi sono giunti alla scoperta degli altri poliedri regolari.
•
•
Risulta subito evidente che con le facce quadrate, è possibile solo il cubo.
Se le facce sono triangoli equilateri, si rileva la possibilità di costruire un poliedro con tre
facce triangolari convergenti in ciascun angoloide; infatti la somma degli angoli delle facce
di ciascun angoloide è 60°*3= 180°<360°: ecco il tetraedro regolare.
t
Sviluppo del tetraedro regolare
Tetraedro regolare costruito dai
ragazzi
Lo sviluppo sul piano per la costruzione del relativo modello è stata individuata dai ragazzi.
•
Ma possono esistere anche angoloidi aventi per facce 4 triangoli equilateri; infatti
60°*4=240°<360°: ecco l’ottaedro regolare.
Ottaedro regolare
Ottaedro regolare costruito dai ragazzi
Anche qui è stato possibile lasciare liberi i ragazzi di costruire il modello in cartoncino usando lo
sviluppo piano mostrato dall’insegnante o lo sviluppo proposto da alcuni alunni.
8
Sviluppi ottaedro regolare
•
Ma si può pensare di costruire angoloidi aventi per facce anche 5 triangoli equilateri; infatti
60°*5=300°<360° e si giunge alla scoperta dell’icosaedro regolare
Icosaedro regolare
Icosaedro regolare costruito dai
ragazzi
Lo sviluppo piano è stato proposto direttamente ai ragazzi perché la ricerca avrebbe richiesto tempi
di lavoro eccessivamente lunghi e probabilmente non tutti sarebbero stati in grado di proporre
un’eventuale soluzione.
9
•
Non è possibile invece costruire
angoloidi aventi per facce 6 triangoli
equilateri; infatti 60°*6=360°.
Si è giunti così alla conclusione che, per poter costruire un poliedro regolare avente come facce
triangoli equilateri, 5 era il massimo di facce
• Si è passati quindi ad un altro poligono regolare: il pentagono.
Tre facce pentagonali convergenti in un vertice rendevano possibile l’esistenza di un angoloide;
infatti 108°*3=324° <360° e si è giunti così alla scoperta del dodecaedro regolare.
Dodecaedro regolare
Dodecaedro regolare realizzato dai
ragazzi
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Per realizzarlo, sono stati proposti 2 possibili sviluppi
Sviluppi piani proposti
I ragazzi sono stati invitati a costruire uno sviluppo che
sfrutta le proprietà del pentagono regolare. Basta disegnare
un pentagono regolare e tracciare le sue diagonali; i punti di
intersezione delle diagonali sono vertici di un altro
pentagono , corrispondente a quello di partenza in una
omotetia che ha il centro nel comune centro dei due
pentagoni regolari ; con 5 simmetrie assiali rispetto a
ciascun lato se ne possono costruire altri 5 congruenti,
aventi ciascuno un angolo coincidente con un angolo del
pentagono grande. Togliendo le parti di cartoncino in
eccedenza ai cinque pentagoni esterni, si ottiene lo sviluppo
di mezzo dodecaedro. Due sviluppi come questo danno lo
sviluppo di tutto il dodecaedro.
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L’ulteriore analisi dei poligoni regolari (già tre esagoni
convergenti in angoloide portano allo schiacciamento sul
piano, infatti 120°*3= 360°; con tre ettagoni c’è la
sovrapposizione nel piano di parte di due,infatti ogni angolo
misura 128° 34’ 17’’ e la loro somma è maggiore di 360° ) ha
portato i ragazzi alla conclusione che i poliedri regolari
potevano essere solo questi 5, detti anche solidi platonici,
perché citati da Platone nel dialogo“Il Teeteto”
tetraedro
cubo o esaedro
ottaedro
dodecaedro
icosaedro
Una volta costruiti i solidi, i ragazzi sono stati invitati a contare le facce, i vertici e gli spigoli di
ciascuno e a cercare di scoprire se esisteva una relazione, valida per tutti i solidi, tra questi elementi.
E’ stato facile verificare la relazione di Eulero , per cui
facce + vertici = spigoli + 2
Tabella riassuntiva
poliedro
tetraedro
ottaedro
cubo
icosaedro
dodecaedro
numero facce
f
numero vertici
v
numero spigoli
s
4
8
6
20
12
4
6
8
12
20
6
12
12
30
30
misura somma
degli angoli
angoloide
180°
240
270°
300°
324°
Per taluni ragazzi il conteggio degli spigoli è stato frutto dell’osservazione che se in un vertice
convergono n spigoli, moltiplicando n .v (v=numero dei vertici) ottengo un numero doppio di
quello degli spigoli, dato che per due vertici passa uno stesso spigolo, quindi la formula finale per
calcolare il numero degli spigoli (s) risulta:
s= ( n . v)/2
Allo stesso modo il numero delle facce f, essendo 2 il numero delle facce che hanno uno spigolo in
comune, s il numero degli spigoli e l = numero di lati del poligono regolare che è faccia del
poliedro, risulta:
f= ( 2.s )/l e quindi f= (n . v )/ l
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All’uso di questi conteggi sistematici, alla scoperta di regolarità e manipolazione di semplici
formule letterarie i ragazzi erano abituati sin dalle prime classi quando dovevano, per esempio,
cercare il numero delle strette di mano tra n diverse persone o il numero delle diagonali in un
poligono di n lati o la somma degli angoli interni di un poligono di n lati.
L’ultimo passo relativo è stato quello di cercare di ricavare le formule per il calcolo di superfici e
volumi in alcuni poliedri regolari, sfruttando le conoscenze degli alunni relative al teorema di
Pitagora, al calcolo delle aree delle figure piane e dei volumi delle piramidi.
Poliedro
cubo
tetraedro
ottaedro
icosaedro
Superficie totale
6l2
√3 l2
2. √3 l2
5. √3 l2
Volume
l3 .
l3 √2 /3
l3√2 /3
non calcolato
Per i volumi il lavoro si è limitato, però, solo a un ristretto gruppo di alunni aventi maggiore
dimestichezza con il calcolo algebrico.
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C. poliedri archimedei
Sono stati presentati ai ragazzi dei solidi che pur non essendo poliedri regolari in senso stretto, ne
mantenevano alcune proprietà.
Archimede di Siracusa (287-212 a. C.) che fu allievo di Euclide ad Alessandria d’Egitto, si dedicò
allo studio di questi solidi da lui stesso scoperti : sono poliedri convessi, le cui facce sono poligoni
regolari di almeno due tipi, i cui spigoli hanno tutti la stessa misura e a ogni vertice le facce sono
disposte nello stesso ordine: per queste loro peculiarità sono detti anche semi-regolari.
A questa famiglia appartengono
poliedri archimedei a facce regolari (sono 13)
poliedri archimedei duali a vertici regolari , che hanno proprietà scambiate rispetto al
gruppo precedente, cioè le facce sono tutte uguali, ma non sono poligoni regolari.
prismi (le cui basi sono poligoni regolari congruenti e le altre facce dei quadrati pure
congruenti) e antiprismi (le cui basi sono poligoni regolari congruenti disposti su piani
paralleli e con centri allineati, ma ruotati uno rispetto all’altro in modo che i vertici
dell’uno si proiettano tra i vertici dell’altro e le altre facce sono dei triangoli equilateri)
antiprisma
Abbiamo scelto di lavorare solo sul cubottaedro e il dodecaedro rombico come esempi dei
due primi insieme di poliedri.
Il cubottaedro come esempio di un poliedro archimedeo a facce regolari:
le facce sono poligoni regolari, ma di tipo
diverso (quadrati e triangoli equilateri), gli
angoloidi sono congruenti e le facce sono
disposte sempre nello stesso ordine.
• 14 facce
• 12 vertici
cubottaedro
14
Sviluppo del cubottaedro
Lo sviluppo è stato
proposto ai ragazzi e su di
esso sono state fatte
osservazioni comparate sui
lati e sugli angoli degli
8 triangoli equilateri e 6
quadrati con i lati
congruenti, che hanno
permesso di arrivare con
facilità al calcolo della
superficie totale:
2l2 (3 + √3 )
Per il calcolo del volume
vedi
Vedi
Scheda6
Il dodecaedro rombico come esempio di un poliedro archimedeo a vertici regolari:
le facce sono tutte uguali (rombi), ma non
sono regolari.
• 12 facce
• 14 vertici
dodecaedro rombico costruito dai ragazzi
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Sviluppo dodecaedro rombico
Le rette facilitano la costruzione in
cartoncino del solido; gli angoli di ogni
rombo misurano rispettivamente
70°32’ e 109°28’.
Anche in questo caso oltre allo sviluppo
proposto, è stato presentato un altro
modo di costruire il dodecaedro rombico
che permette di scoprire le relazioni
esistenti tra diagonali e lato di ciascuna
faccia rombica (a partire da un solido
articolato formato da 6 piramidi interne
di un cubo)
Vedi
Scheda 7
Il conteggio del numero delle facce e dei vertici nel cubottaedro e nel dodecaedro rombico ci ha
permesso di osservare che anche qui, come nel cubo e nell’ottaedro, nel dodecaedro e nell’icosaedro
si verificava uno scambio tra il numero delle facce e quello dei vertici.
Questa importante osservazione ci ha permesso di introdurre
• .il principio di dualità.
Parlare, in una scuola media, di piani polari rispetto a una sfera, come la teoria in questo caso
prevede, sarebbe risultato ostico e complesso; il nostro cammino si è basato su esperienze
geometriche che i ragazzi avevano già incontrato.
Le sezioni piane del cubo, in progressione si sono rivelate molto utili all’acquisizione del concetto:
Come ottenere un ottaedro da un cubo sezionandolo mediante 8 piani perpendicolari alle sue
4 diagonali con distanze via via decrescenti rispetto al centro del cubo.
Sezione1
Sezione2
Sezione3
Sezione4
I piani asportano
I piani arrivano a
I piani entrano
I piani arrivano a passare
solamente piccole passare per i punti
ulteriormente in
per i centri delle facce del
porzioni del cubo
medi degli spigoli del profondità nel cubo. cubo.
contenenti i vertici. cubo.
Si ottiene:
Si ottiene:
Si ottiene:
Si ottiene:
il cubo tronco
il cubottaedro
l’ottaedro tronco
l’ottaedro
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Osserviamo quindi, in conclusione che nel passaggio dal cubo all’ottaedro si verifica uno scambio
tra le facce del cubo che corrispondono ai vertici dell’ottaedro e i vertici del cubo che
corrispondono alle facce dell’ottaedro .
Proprio in questo scambio dei vertici con i centri delle facce (=vertice del duale) e quindi la
sostituzione di ciascun piano con il vertice e ciascun vertice con la faccia che consiste la dualità.
Si può osservare come è possibile iterare il passaggio reciproco da un solido al suo duale,
all’infinito.
Cubo e ottaedro
Icosaedro e dodecaedro
Riassumendo:
poliedro
Tetraedro
Cubo
Ottaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Cubottaedro
Dodecaedro rombico
facce
4
6
8
12
20
14
12
vertici
4
8
6
20
12
12
14
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il tetraedro è il duale di sé stesso
l’ottaedro è il duale del cubo
l’icosaedro è il duale del dodecaedro
il dodecaedro rombico è il duale del
cubottaedro
D. poliedri stellati I poliedri platonici e quelli archimedei sono poliedri convessi; ma esistono anche poliedri concavi le
cui facce sono regolari e congruenti.
Il lavoro con i ragazzi è diventato più avvincente quando si è passati alla trattazione di questi
poliedri regolari concavi, detti stellati perché si generano dalla stellatura di poliedri regolari.
La nostra osservazione si è rivolta ai 2 poliedri stellati di Keplero., che si ottengono dal
dodecaedro e dall’icosaedro regolari
Johannes Kepler (1571- 1630), noto soprattutto per il suo contributo all’astronomia, diede un non
meno fondamentale contributo alla teoria dei solidi platonici (Harmonice mundi 1619); si occupò,
inoltre, di provare che i poliedri archimedei erano solo 13 e scoprì anche la famosa stella
octangula, ottenuta dalla compenetrazione di 2 tetraedri, di cui parleremo in seguito.
Nel trattato Harmonice mundi, Keplero descrive un solido che chiama stellarum duodecim
planarum pentagonicarum , un solido stellato la cui generazione ha luogo dalla continuazione dei 5
piani del dodecaedro finchè si incontrano in solo punto: si tratta del piccolo dodecaedro stellato,
la cui scoperta gli è attribuita.
piccolo dodecaedro stellato
Dodecaedro + 12 piramidi a base
pentagonale
piccolo dodecaedro stellato
costruito dai ragazzi
Scoprì anche un secondo poliedro stellato, il grande dodecaedro stellato
grande dodecaedro stellato
Icosaedro + 20 piramidi a base
triangolare
grande dodecaedro stellato
costruito dai ragazzi
18
Per cercare di acquisire conoscenze nell’ambito di questi affascinanti solidi è stato necessario
tornare indietro nella geometria piana per riflettere sui poligoni e in particolare sulla distinzione tra
poligoni convessi e poligoni concavi e sulla individuazione tra i poligoni concavi di quelli stellati
che si possono ottenere come dall’esempio:
•
1. Si parte dal pentagono e si prolungano i
lati finchè i prolungamenti si incontrano:
si genera un pentagono stellato.
•
2. Si parte dal pentagono e si tracciano le
diagonali:
si genera un pentagono stellato
Dalla seconda costruzione si possono
generare iterativamente, in modo alternato,
pentagoni convessi e pentagoni stellati.
Si possono fare considerazioni sulle omotetie
centrali in cui i pentagoni ottenuti si
corrispondono.
Passando dal piano allo spazio, i ragazzi hanno subito capito che se invece di prolungare i lati del
poligono, si cercava di prolungare facce non adiacenti del poliedro regolare fino ad
intersecarsi(stellatura) si ottenevano sul poliedro di partenza delle punte che altro non erano che
piramidi di base uguale alla faccia del poliedro.
E’ stato fatto osservare ai ragazzi che si potevano ottenere poliedri stellati, anche con un’altra
modalità( sfaccettatura) tracciando, cioè nuovi piani passanti per una catena di vertici.
19
Stellatura 1
Stellatura completa
Sfaccettatura 1
Per la costruzione dei due poliedri stellati di Keplero, i ragazzi proponevano di realizzarli a partire
dal poliedro regolare e poi applicando tante piramidi quante le facce del solido, in modo da
realizzare le “ punte”.
Questa procedura è stata utilizzata per il grande dodecaedro stellato
Il solido consiste di 20 piramidi triangolari che circoscrivono un icosaedro, una per ciascuna
faccia.
20
Sviluppo di una singola piramide
Per semplificare il lavoro è utile costruire le
piramidi a coppie incernierate e poi incollarle
all’icosaedro per mezzo delle linguette
Per il piccolo dodecaedro stellato è stato invece proposto uno sviluppo più complesso, costituito
da 12 mezzi decagoni, che corrispondono allo sviluppo delle 12 piramidi a base pentagonale, le
punte della stella.
Si può partire da un mezzo decagono,
costruito partendo dalla circonferenza
circoscritta, costruire un modello in
cartoncino rigido e poi realizzare lo
sviluppo operando le opportune traslazioni
e simmetrie
21
I vertici si possono collegare secondo lo schema qui
accanto ed è utile che tutti gli spigoli che vengono a
coincidere con gli spigoli del dodecaedro siano forniti di
linguetta.
Attraverso la manipolazione dei modelli dei poliedri stellati costruiti, sono state fatte osservare ai
ragazzi le facce ovvero i pentagoni stellati evidenziati dalla diversa telatura nelle immagini
seguenti:appaiono così chiaramente, in entrambi i solidi, le 12 facce che motivano la
denominazione di dodecaedri.
Il colore verde rende evidente una faccia pentagonale stellata per ciascun solido
Per il piccolo dodecaedro stellato è stata realizzata la
pianta con opportuna colorazione di una faccia
.
Si è anche osservato che per il piccolo dodecaedro
stellato, non vale la relazione di Eulero, motivo per
cui più di un matematico ne negò l’esistenza.
Piccolo dodecaedro stellato
22
facce
12
vertici
12
spigoli
30
E. poliedri composti
L’ultimo gruppo esaminato è stato quello dei poliedri derivati dalla composizione di poliedri
regolari.
Noi ci siamo occupati di due poliedri regolari composti cioè quelli che si ottengono dalla
composizione-compenetrazione di un poliedro regolare e del suo duale, in modo che i loro spigoli si
dimezzino ad angolo retto
•
•
tetraedro combinato con tetraedro (stella octangula)
cubo combinato con un ottaedro
stella octangula
stella octangula
disegno in pianta che mette in evidenza il cubo
che racchiude il solido
23
sviluppo proposto ai ragazzi
Un altro modo di costruzione della stella octangula è consultabile nella
Scheda8
cubo - ottaedro
Un utile approfondimento su di esso ci ha
permesso di scoprire le relazioni tra le due figure
piane che lo costituiscono:
24 triangoli equilateri e 24 triangoli rettangoli
isosceli, la cui ipotenusa coincide con il lato del
triangolo equilatero(=l)
Spigolo cubo = l. √2
Spigolo ottaedro = 2 l
Si deduce, pertanto, che lo spigolo dell’ottaedro
è √2 volte più grande dello spigolo del cubo.
sviluppo proposto ai ragazzi
24
Sono stati colorati in rosa gli sviluppi delle 8 punte(a 3 facce) corrispondenti ai vertici del cubo e in
verde gli sviluppi delle 6 punte(a 4 facce) corrispondenti ai vertici dell’ottaedro.
Il calcolo della superficie totale è facilmente intuibile, perché si tratta di 24 triangoli rettangoli
isosceli aventi il cateto uguale a mezzo spigolo del cubo (l) e di 24 triangoli equilateri con il lato
uguale a suddetto cateto.
3l2 (√
√ 3 + 1/2)
Un altro modo di costruzione della cubo-ottaedro è consultabile nella
Scheda9
25
Fase 2
Dopo questo approfondimento matematico dei poliedri, siamo ritornati a colui che aveva ispirato e
in qualche modo motivato il nostro lavoro: Escher.
Con l’insegnante di educazione artistica i ragazzi hanno ripreso le opere dell’artista e ne hanno
studiato le tecniche grafiche di riempimento del piano.
Si sono quindi ripetutamente esercitati a creare dei disegni modulari con cui tassellare il piano e
successivamente hanno scelto lo sviluppo del piccolo dodecaedro stellato come area di
riempimento.
Il motivo grafico modulare, creato singolarmente da ciascun alunno, è stato frutto di un laborioso
studio perché oltre a essere coerenti con la tassellazione del piano , era necessario prevedere molto
chiaramente le combinazioni degli spigoli nelle varie facce affinchè i disegni mantenessero
disposizioni simmetriche anche nel solido.
Esempi di disegno modulare sullo sviluppo
Disegno con riempimento modulare
realizzato al computer
26
Sono stati costruiti circa una ventina di solidi diversi, uno più bello dell’altro, che hanno gratificato
gli studenti del lungo lavoro necessario per giungere a un risultato, appagante sul piano estetico, ma
anche preciso e rigoroso nel rispetto delle regole della geometria. Ogni studente ha descritto come
ha realizzato il proprio modello:
I disegni delle facce sono
stati realizzati con l’aiuto
di un compasso:
dapprima sono state
tracciate delle linee
circolari come punti di
riferimento per le punte
degli alberi;
successivamente le linee
passanti per tali punti
hanno generato degli
alberi di Natale, a cui
sono state aggiunte delle
decorazioni a forma di
luna. La colorazione in
nero è a china.
Ogni piramide è stata
quadrettata e sugli spigoli
sono stati disegnati, a
mano, delle specie di
petali. E’ stata poi
cancellata la quadrettatura
e sono stati poi riempiti
gli spazi dei disegni con la
china.Nei petali è stato
creato un intreccio di linee
in direzioni diverse,
mentre negli spazi
rimanenti la tecnica di
riempimento è di
addensamento e
rarefazione di punti.
27
Il disegno, impostato sul
piano in un triangolo non
regolare, è stato
modificato: la forma base
è stata rimpicciolita. La
forma ad abete è stata
realizzata nel contorno
con il pennarello, e
nell’interno con la china
e con tratti intrecciati.
In ogni faccia triangolare
sono stati realizzati due
gattini riempiti con
addensamento di punti.
Lo spazio rimanente è
stato riempito di nero.
Ogni faccia è stata divisa
a metà ed è stata
disegnata su di essa una
foglia. E’ stato riempito
lo spazio bianco con la
matita nera.
Su ogni faccia è stato
disegnato un petalo di
margherita e lo sfondo è
stato riempito a linee
ondulate; il settore del
fiore di puntini e i petali
sono riempiti alcuni di
nero e altri di bianco.
Ogni faccia triangolare,
dalla punta alla base, è
stata divisa in strisce di
1cm, 0.5cm, 1cm e 1.5cm.
E’ stata segnata
orizzontalmente la metà di
ogni striscia e i vari segni
sono stati collegati con
linee. Dall’alto di ogni
punta appaiono, così delle
stelle, che sono state
colorate a china con un
pennello.
La decorazione a china è
stata in parte di
riempimento totale e in
parte a punti.
Ogni piramide è stata
divisa in varie sezioni,
dove sono state disegnate
con la china composizioni
a forma di fiori, con
alternanza dei colori
bianco e nero. Ogni fiore
è stato riempito con la
china (tecnica ad
incrocio).
Su tutte le piramidi sono
state realizzate linee
verticali e sono stati
contornati i vertici con
degli ispessimenti
irregolari.
Sulle facce sono stati
riprodotti i semi delle
carte ripetendo il primo
seme (picche) sulla prima
e la quinta faccia, essendo
le facce un numero dispari
rispetto ai semi. Alcuni
semi sono stati riempiti di
nero di china, altri con la
tecnica della linea
intrecciata e della linea
fine.
Nove piramidi sono state
colorate con la china
nera; nelle altre tre
piramidi sono state
disegnate delle righe nere
su sfondo bianco.
L’effetto, visto dall’alto,
è quello di stelle bianche.
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Ogni faccia triangolare è
stata suddivisa in parti
simmetriche. La
colorazione è stata fatta a
china in bianco e nero. Il
contrasto è nettamente
visibile.
Su ogni faccia sono state
disegnate stelline con una
saponetta a forma di stella
e sono state poi colorate
di nero con la china. Lo
spazio rimasto tra le
stelle, che risulta a forma
di foglia, è stato colorato
con il pennino e la china
(tecnica a puntini).
Ogni faccia triangolare è
stata divisa in tanti
trapezi, dentro ai quali è
stato disegnato il seme
fiori delle carte da gioco,
poi colorato a china con
tante piccole righe.
In ogni triangolino sono
state disegnate righe a
zig-zag per dare origine a
forme simili a stelle. Col
pennarello fine nero è
stato pitturato l’interno di
ogni stella.
Su ogni faccia è stato
disegnato un vaso
semplice, in modo tale da
ottenere, tra un vaso e
l’altro, un pesciolino. I
pesciolini sono stati
decorati con la china,
evidenziando le squame e
un occhio. Lo spazio
rimanente al di sopra dei
vasi , lasciato bianco , è
stato riempito con un
pennello a china.
Su ogni faccia appaiono
fantasmini a braccia
aperte, dal cui incastro
derivano, in nero, delle
coppe. Ogni fantasmino è
suddiviso in tre parti:
quella più in alto, degli
occhi, colorata in nero,
quella in mezzo della testa
e delle braccia (aperte) e
quella in fondo di busto e
gambe.
Ogni piramide è stata
divisa in tre sezioni ad
archi, poi con la china
sono state ispessite i
vertici e le linee. Lo
spazio rimanente è stato
riempito con uno
spazzolino riproducendo
la tecnica della china a
spruzzo.
Su una faccia di ogni
piramide è stata alternata
una casina (la porta
realizzata con china nera
e il tetto con china
grigia) e una caramella
stilizzata grigia chiara,
con le zone esterne
completamente nere.
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Conclusioni
Al di là dell’indubbia bellezza di gran parte dei lavori realizzati, i risultati perseguiti sul piano
dell’apprendimento sono stati abbastanza lusinghieri e si possono sintetizzare in:
• maggiore consapevolezza e padronanza del concetto di piano e di spazio
• uso più consapevole dei termini specifici della geometria e della grafica
• miglioramento nelle capacità di orientamento spaziale; è stato sorprendente osservare la
facilità con cui molti alunni, di cui alcuni precedentemente in difficoltà, riuscivano a
prevedere la corretta collocazione dei punti nel passaggio dallo sviluppo al solido.
• maggiore dimestichezza con il disegno geometrico
• capacità di decifrare, capire e riprodurre lo sviluppo di un solido
• potenziamento delle immagini mentali relative alla geometria
• potenziamento delle abilità grafiche
• scoperta che, anche con l’uso della matematica, si possono ottenere prodotti di indubbia
bellezza
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Scheda 1
Quali tra i seguenti modelli non sono sviluppi piani di un cubo? perchè?
Per quelli che, secondo voi, sono sviluppi piani di un cubo, prevedete quali lati combaceranno
indicandoli con lo stesso numero (1,1; 2,2…) e quali vertici indicandoli con la stessa lettera
(A, A,A; B,B,B; ….); disegnati quindi i modelli ingranditi nel rapporto di 1:3 o 1:4, costruite i cubi
per verificate le vostre previsioni.
Scheda 2
Qui sotto sono disegnati alcuni possibili sviluppi piani di solidi; ma solo alcuni di essi sono corretti.
Correggi gli sviluppi sbagliati; ti occorre anche una riga o un compasso per misurare i lati.
Se non riesci a trovare gli errori, prova a costruire i solidi dopo averli disegnati secondo un
opportuno rapporto di ingrandimento, per es. 1:3.
Segna sui modelli disegnati sotto, dopo la correzione, i vertici che combaciano con la stessa lettera
(A, B....) e i lati che combaciano con lo stesso numero (1,2.... )
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Scheda 3
Le linee colorate sui seguenti sviluppi di uno stesso cubo rappresentano le tracce di diverse sezioni
del cubo con un piano. Di quali sezioni si tratta? Ti conviene, per ogni sviluppo, contrassegnare i
vertici dei singoli quadrati con lettere maiuscole, facendo in modo da assegnare la stessa lettera ai
vertici che nel cubo devono coincidere.
A
B
C
D
E
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Scheda 4 - 5
Esercitazione sulle sezioni piane di un cubo
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Scheda 6
Come si può calcolare il volume del cubottaedro, partendo da una sezione del cubo
Osservando la sezione del cubo con piani perpendicolari alle sue 4 diagonali passanti per i punti
medi degli spigoli si ottiene il cubottaedro.
Ciò che rimane del cubo, levato il cubottaedro, sono 8 piramidi regolari a base triangolare, aventi lo
spigolo di base uguale a metà diagonale di una faccia del cubo, e come facce laterali 3 triangoli
rettangoli isosceli con i lati uguali a metà spigolo del cubo.
Provate a calcolare il volume del cubottaedro.
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Scheda 7
Il dodecaedro rombico si può costruire anche a partire dallo sviluppo piano a croce della
superficie di un cubo e da sei piramidi rette a base quadrata e altezza uguale a metà dello spigolo
di base del cubo e quindi con apotema laterale e spigolo di base nel rapporto di 1 /2√2 a 1l
faccia dodecaedro rombico
l
sviluppo di una piramide
1 /2 l √2
l
Per ottenere il solido si incollano le basi delle piramidi sopra lo sviluppo a croce; ripiegando verso
l’interno il solido articolato, le sei piramidi si accostano l’una all’altra formando un cubo, ma
avvolgendo il solido articolato dalla parte opposta, si forma un poliedro caratterizzato da 12 facce
rombiche, appunto il dodecaedro rombico.
Ciascuna delle facce del
dodecaedro rombico è un
rombo formato dall’unione di
due triangoli congruenti che
hanno come base lo spigolo
del cubo, e i lati
corrispondenti a metà
diagonale del cubo
(1 /2 l √3).
La diagonale minore del
rombo è l e quella maggiore
è l √2
Gli angoli del rombo
misurano rispettivamente
70°32’ e 109°28’
In questo modo è inoltre possibile trovare la misura della superficie del dodecaedro rombico e del
suo volume: per questo ultimo, molto semplicemente, basta pensare ai rapporti tra volume di una
piramide e quello del cubo, tra volume del cubo e quello del dodecaedro, tra volume di una
piramide e quello del dodecaedro, che risultano evidenti dalla costruzione.
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Scheda 8
Un modo diverso per costruire la stella octangula
Si costruiscono 4 tetraedri regolari di spigolo l e un tetraedro di spigolo 2l. Dopo aver
contrassegnato i punti medi degli spigoli del tetraedro grande si incolla su ciascuna delle sue facce
un tetraedro piccolo in modo che i vertici della faccia che viene incollata, cadano nei punti medi
degli spigoli del tetraedro grande.
Si ottiene così il solido a due colori
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Scheda 9
Un modo diverso per costruire il cubo-ottaedro
Costruire in cartoncino di un certo colore un cubo e contrassegnare i punti medi degli spigoli di
ciascuna faccia.
I quadrati che così si evidenziano e che hanno come lato metà diagonale della faccia del cubo, sono
la base di piramidi regolari rette ( di cui uno sviluppo è disegnato sotto in altro colore ) con gli
spigoli laterali uguali agli spigoli di base. Le stesse vanno poi incollate sui 6 quadrati interni alle
facce del cubo.
Si ottiene così il solido bicolore:
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