aias 2012 - 029 progettazione di un`appendice alla pedivella per il

AIAS – ASSOCIAZIONE ITALIANA PER L’ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI
41°CONVEGNO NAZIONALE, 5-8 SETTEMBRE 2012, UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA
AIAS 2012 - 029
PROGETTAZIONE DI UN’APPENDICE ALLA PEDIVELLA PER IL
MIGLIORAMENTO DELLE PRESTAZIONI CICLISTICHE
P. Baldissera, C. Delprete, M. Tirelli
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Aerospaziale,
corso Duca degli Abruzzi 24 – 10129 Torino
contacting author: [email protected]
Sommario
Il presente lavoro si prefigge lo studio di un’appendice in grado di incrementare la potenza erogata da
un ciclista. Partendo dal prototipo iniziale, rappresentante l’idea di base, si studiano le sue potenzialità
da un punto di vista teorico, per applicazione su bicicletta sia classica sia reclinata. È stato
implementato un modello matematico semplificato delle articolazioni dell’arto inferiore in grado di
simulare il gesto di pedalata ricavando la posizione delle componenti e la forzante sul pedale, al
variare dell’angolo di pedivella. Applicando il modello all’appendice in esame e studiandone
l’equilibrio delle forze, si ricava la nuova traiettoria del pedale e quindi si calcola la potenza motrice.
Lo stesso modello è stato utilizzato nell’applicazione sulle biciclette reclinate al fine di dimensionare il
componente massimizzandone l’efficienza. Il prototipo così ricavato è infine studiato mediante tecnica
agli elementi finiti per completarne il dimensionamento.
Abstract
The article studies a pedal/crank system modification to improve the cycling power output. Starting
from the first prototype representing the basic idea, the potential of this solution is defined in a
theoretical way, both for upright and recumbent bicycles. A mathematical model is implemented,
simulating the lower limb movement during pedalling and calculating positions and pedal forces
variations with crank angle. Using this model, the forces balance of this new component is calculated,
with the resulting pedal trajectory from where to define the power output. The same model, applied to
the recumbent bicycle, is used to design the prototype in order to maximize its efficiency. Finally, a
finite element analysis of the designed component is performed to complete the sizing process.
Parole chiave: Pedivella, pedale, simulazione pedalata.
1. INTRODUZIONE
Nell’ambito delle crescenti problematiche legate ai trasporti umani, al prezzo e alla disponibilità di
combustibili fossili, all’inquinamento e alla congestione urbana, tornano di interesse studi inerenti la
mobilità dolce e la pratica sportiva. In quest’ottica, il Team Studentesco Policumbent del Politecnico
di Torino si occupa di progettazione e sviluppo di veicoli a propulsione umana in ambito competitivo,
turistico e urbano. Con l’obiettivo di migliorare le prestazioni dei prototipi in sviluppo, sono state
analizzate le soluzioni tecniche esistenti volte all’ottimizzazione del gesto di pedalata [1, 2] e
suddivisibili in tre categorie:
1.
pedivelle a lunghezza variabile;
2.
corone anteriori di forma non circolare;
3.
pedali e pedivelle con blocco angolare o corpo eccentrico.
41° CONVEGNO NAZIONALE – VICENZA, 5-8 SETTEMBRE 2012
Tutte le famiglie hanno in comune l’idea di aumentare la potenza espressa agendo sull’incremento del
braccio della forza motrice, intervenendo però su variabili diverse.
Nel presente lavoro si è scelto di studiare e progettare in dettaglio un’appendice appartenente alla
prima categoria, che è stata brevettata da un’officina meccanica di precisione ma che non ha avuto
sviluppo commerciale in ambito agonistico perché non conforme ai regolamenti UCI per il ciclismo
tradizionale. La geometria di riferimento dell’appendice è riportata in Figura 1, dove sono
schematizzate le dimensioni fondamentali e i punti di collegamento al pedale (P) e alla pedivella (O).
Su quest’ultima fanno reazione due elementi elastici, non presenti nell’immagine, vincolati nei punti
M1 e M2. Introducendo un grado di libertà alla rotazione attorno al punto O, il dispositivo consente,
durante la pedalata, una variazione dinamica della distanza tra pedale e movimento centrale.
Il procedimento seguito prevede anzitutto lo studio del gesto di pedalata da un punto di vista
cinematico e la creazione di un modello matematico in grado di rappresentare la forza motrice
applicata sul pedale, basandosi su informazioni reperite sia in letteratura [3-5] sia sull’esperienza
pregressa nel settore. Il modello, studiato inizialmente per una bicicletta classica, è stato poi applicato
all’appendice, per valutarne l’incremento di potenza da essa apportato, e in seguito è stato adattato alla
postura reclinata, di interesse per le tematiche del gruppo di ricerca, con il ridimensionamento secondo
l’obiettivo di massimizzazione della potenza erogata dal ciclista. Infine, il prototipo conseguente a
quest’ultima ottimizzazione è stato studiato mediante elementi finiti per identificarne eventuali
criticità e ricavare una geometria semplice, adatta ai successivi test sperimentali.
Figura 1: Appendice e geometria fondamentale.
2. VARIABILI DEL PROBLEMA
Per quanto riguarda la propulsione umana attraverso pedali, il motore è costituito dalle articolazioni
degli arti inferiori del corpo umano, assimilabili a un sistema di leve, le ossa, controllate da attuatori
particolari, i muscoli; il collegamento tra muscoli e ossa è realizzato attraverso i tendini. Un sistema di
questo tipo è molto complicato da modellizzare poiché per un unico movimento concorrono un gran
numero di azioni muscolari diverse, spesso complicate da quantificare e molto variabili, non soltanto
tra soggetti diversi ma anche nello stesso soggetto, laddove si decida di far fronte a uno stesso
movimento attraverso strategie diverse. Una soluzione per risolvere la complessità del meccanismo di
articolazione può essere quella di partire dai movimenti utili al ciclista, senza entrare nel dettaglio dei
muscoli utilizzati per realizzarli, ma analizzando l’azione risultante dal movimento stesso.
Anche in questo caso sono tuttavia necessarie semplificazioni, la prima delle quali riguarda la
possibilità di muovere l’arto inferiore e le sue singole componenti nelle tre dimensioni dello spazio.
Nel modello sviluppato questa semplificazione si traduce nella possibilità delle varie leve che
compongono l’articolazione dell’arto inferiore di muoversi esclusivamente su di un piano, nella
fattispecie parallelo al piano sul quale si può descrivere la rotazione dei pedali, detto piano sagittale.
Di conseguenza, le forze esercitate sui pedali non saranno tridimensionali come ci si aspetterebbe nella
realtà, bensì bidimensionali sul suddetto piano sagittale, approssimazione accettabile considerando il
fatto che l’azione utile motrice giace anch’essa sullo stesso piano.
41° CONVEGNO NAZIONALE – VICENZA, 5-8 SETTEMBRE 2012
Fortemente correlata alla prima semplificazione, la seconda riguarda in senso stretto le articolazioni,
considerandole come semplici giunti rotazionali.
È dunque possibile suddividere l’arto inferiore in tre parti (Figura 2): la coscia (a) e la gamba (b),
intesi rispettivamente come parti superiore e inferiore dell’apparato locomotore, e il piede (c). Per
ognuna di esse si identificano tre giunti: l’anca, che collega la coscia con il busto, il ginocchio, che
collega la gamba con la coscia e la caviglia, che collega il piede con la gamba. In particolare si
individuano tre gradi di libertà fondamentali:
•
rotazione della coscia attorno all’anca (O);
•
rotazione della gamba attorno al ginocchio (G);
•
rotazione del piede attorno alla caviglia (V).
Figura 2: Arto inferiore semplificato e nomenclatura (posizione reclinata).
Le dimensioni delle singole parti dell’arto inferiore sono facilmente misurabili con
un’approssimazione ragionevole sul ciclista stesso, per cui sono considerabili una variabile da
modificare di caso in caso, cioè da ciclista a ciclista.
Oltre all’arto inferiore stesso, ci sono due altri fattori fondamentali per la definizione del modello: la
configurazione della bicicletta e la lunghezza delle pedivelle utilizzate.
Per quanto riguarda la configurazione della bicicletta tutto si riconduce alla posizione relativa tra
seduta e movimento centrale. Anche in questo caso si è introdotta un’approssimazione significativa
che riguarda la seduta del ciclista: mentre nella realtà essa è una zona non sempre costante sia durante
la pedalata che durante le diverse sessioni, anche in base alle sensazioni del ciclista stesso, nel modello
essa è rappresentata da un singolo punto, coincidente a sua volta con il giunto che rappresenta l’anca.
Ciò detto si può misurare la distanza tra questo punto di seduta e il movimento centrale, cioè le
corrispondenti componenti orizzontale e verticale.
In secondo luogo, ma non meno importante, la lunghezza delle pedivelle è un fattore fondamentale per
il modello, poiché influenza direttamente la coppia motrice producibile. Al contrario di quello che si
può immaginare, però, non si possono utilizzare pedivelle lunghe a piacere poiché andrebbero a
influenzare la rotondità della pedalata, fattore di comfort molto importante per il ciclista. In questo
ambito è necessario sottolineare come il sistema innovativo in esame comporta la variabilità della
lunghezza del braccio motore.
3. LIMITI NEI MOVIMENTI
Imponendo i limiti fisiologici delle articolazioni dell’apparato locomotore come angoli massimi e
minimi dei relativi gradi di libertà, si può calcolare la massima estensione e la minima flessione
dell’arto inferiore, intese come distanze tra il pedale e la seduta. Con riferimento alla Figura 3, dove
mantenendo fissa la coscia, rappresentato in nero, sono variate gamba e piede in modo da raggiungere
la massima estensione (in verde) e la minima flessione (in rosso), si calcolano le due suddette distanze
mediante le successive equazioni (1) e (2).
41° CONVEGNO NAZIONALE – VICENZA, 5-8 SETTEMBRE 2012
Figura 3: Massima estensione e minima flessione dell’arto inferiore (posizione reclinata).


asin GMAX

Max Ext = a2 +b2 − 2abcosGMAX + c 2 − 2c a2 +b2 − 2abcosGMAX ⋅ cos VMAX + sin −1 
 a2 + b2 − 2abcosG 

MAX 
(1)


asin GMIN

Min Flex = a2 + b2 − 2abcosGMIN + c 2 − 2c a2 + b2 − 2abcosGMIN ⋅ cos VMIN + sin −1 
 a2 + b2 − 2abcosG 

MIN 
(2)
È ragionevole supporre che il limite fisiologico di estensione massima sia raggiungibile al punto morto
inferiore di pedalata, mentre quello di flessione minima al punto morto superiore. Conoscendo la
lunghezza della pedivella LP si calcolano le distanze massima e minima tra seduta O e movimento
centrale M; il ciclista in esame sarà fisiologicamente in grado di pedalare una bicicletta configurata in
modo tale da avere questa distanza compresa tra i suddetti limiti (Figura 4):
OMMAX ≤ OM ≤ OMMIN
(3)
Figura 4: Intervallo fisiologico di distanze tra movimento centrale M e seduta O.
Tanto più la distanza effettiva tra movimento centrale e seduta si avvicina a OMMIN quanto la pedalata
sarà corta, viceversa avvicinandosi a OMMAX la pedalata sarà lunga.
4. SCOMPOSIZIONE DELLA PEDALATA
Imposti i limiti fisiologici, il gesto della pedalata può essere scomposto nelle sue due fasi principali,
spinta e ritorno, intervallate da due fasi di transizione. Ognuno di questi momenti occupa un certo
spazio angolare nella rotazione della pedivella, impossibile da definire correttamente poiché variabile
dal ciclista stesso. Tuttavia possono essere identificati valori generali [1] entro i quali rientra una
pedalata-tipo, come riportato in Figura 5.
41° CONVEGNO NAZIONALE – VICENZA, 5-8 SETTEMBRE 2012
Figura 5: Scomposizione del ciclo di pedalata-tipo in posizione reclinata.
Per risolvere la cinematica dell’arto inferiore in funzione della posizione angolare della pedivella è
necessario vincolare un grado di libertà. Si è quindi deciso di imporre l’angolo V assunto dalla caviglia
durante la pedalata. Tale angolo è circa costante e pari a 90° durante l’intero ciclo ma, analizzando la
pedalata di ciclisti professionisti, si evidenzia come, specialmente quanto l’articolazione è quasi
completamente distesa, ci sia una lieve azione di spinta con il piede. Per rappresentare questa
condizione si è quindi imposto un angolo V pari a 90° tra piede e gamba nella fase di spinta, mentre
nella fase di ritorno questo angolo è assunto pari a 100°, variando tra questi due valori durante le due
transizioni. In letteratura [6] sono riportate approssimazioni matematiche della rotazione del pedale
durante un ciclo di pedalata con un movimento assimilabile a una sinusoide; imponendo gli angoli
come fatto nel presente lavoro l’andamento della rotazione V del piede attorno alla caviglia è invece
approssimato linearmente. In Figura 6 sono riportati gli andamenti ottenuti per i tre gradi di libertà, in
funzione dell’angolo della pedivella.
Figura 6: Andamento dei gradi di libertà (rotazioni V, G e O) in funzione dell’angolo di pedivella.
5. IMPOSIZIONE DELLA FORZANTE E POTENZA MOTRICE
Dalla letteratura [7] sono disponibili dati sulla forzante applicata dal ciclista al pedale; il valore è
molto variabile sia da ciclista a ciclista sia, per uno stesso ciclista, a ogni pedalata, in funzione delle
41° CONVEGNO NAZIONALE – VICENZA, 5-8 SETTEMBRE 2012
condizioni al contorno. Il grafico di Figura 7 riporta l’andamento delle componenti tangenziale e
normale della forza sul pedale, misurate a regime di pedalata mediante pedali strumentati, con cadenza
di riferimento di 90 giri/min e potenza prodotta di 200 W.
Figura 7: Andamento della forza normale e tangenziale al pedale.
Figura 8: Algoritmo di calcolo della potenza motrice.
Figura 9: Potenza motrice in funzione dell’angolo di pedivella.
Nota la forza applicata dal piede sul pedale, questa può essere scomposta nelle componenti normale e
tangenziale alla pedivella e grazie a quest’ultima, attraverso l’algoritmo riportato in Figura 8, si può
41° CONVEGNO NAZIONALE – VICENZA, 5-8 SETTEMBRE 2012
risalire alla potenza erogata dal modello, da confrontare con la potenza di riferimento di 200 W
misurata sperimentalmente.
Il modello messo a punto genera una potenza motrice media di 186 W, paragonabile a quella misurata
sperimentalmente di 200 W. L’andamento della potenza istantanea in funzione dell’angolo di
pedivella è riportato nel grafico di Figura 9.
6. EQUILIBRIO DELL’APPENDICE
Conoscendo la forzante è possibile applicarla all’appendice, valutandone la posizione assunta al
variare dell’angolo di pedivella. Con riferimento alla geometria riportata in Figura 1, si può scrivere
l’equazione di equilibrio alla rotazione attorno al perno di pedivella O:
( )(
)
()
(4)
Fsin ϕ L − d1 +FSXb1 −FDXb2 −Fcos ϕ c = 0
dove ϕ è l’angolo tra la forza motrice e l’appendice; nella (4) sono trascurate le componenti inerziali.
Si è quindi suddivisa l’appendice in una parte cosiddetta ‘reattiva’, caratterizzata dalla rigidezza dei
due elementi elastici e dalle quote bi e di (i = 1, 2) dei punti dei collegamenti, e una parte ‘motrice’,
definita dalle quote L e c di posizione del pedale. Gli elementi elastici scelti sono utilizzati
normalmente in stampaggio in sostituzione delle molle di riscontro. Essi sono commercializzati in
diverse misure, anche sufficientemente piccole per introdursi negli esigui spazi disponibili, e sono
accompagnati da diagrammi di rigidezza che ne rappresentano la forza in funzione della deformazione.
La deformazione è a sua volta funzione della geometria dell’appendice e dell’angolo di equilibrio θ
assunto dall’appendice stessa; con riferimento alla Figura 10 si possono scrivere le equazioni (5) e (6).
Figura 10: Equilibrio della parte reattiva dell’appendice.
(
(
)
)
(
FSX = FSX d1 −L SX = FSX Seq +b1 tan θ ≈ K SX ⋅ S eq +b1 tanθ
(
)
(
)
(
)
FDX = FDX L DX − d2 = FDX Seq − b2 tan θ ≈ KDX ⋅ S eq − b2 tan θ
(5)
)
(6)
dove Seq è la deformazione di precarica degli elementi elastici. Essendo polimerici, gli elementi elastici
reagiscono con una forza quasi proporzionale alla deformazione; diversamente dalle molle in acciaio
armonico, per le quali la proporzionalità è ben più rigorosa, dai grafici del fornitore si può calcolare
una rigidezza K, attraverso la quale impostare i calcoli di primo tentativo.
I due elementi reattivi lavorano sempre in contatto con il lato della pedivella ed è quindi necessario
tenere in conto un’opportuna precarica, da calcolarsi in modo che la lunghezza libera delle molle sia
sempre superiore alle dimensioni LSX e LDX al massimo angolo di equilibrio θ consentito all’appendice.
Dall’equilibrio dei momenti della parte reattiva si ricava il valore che l’angolo θ assume nella
condizione di equilibrio statico dell’appendice, cioè quando non sono applicate forze da parte del
ciclista:
41° CONVEGNO NAZIONALE – VICENZA, 5-8 SETTEMBRE 2012
1−
tan θ stat =
b1
b2
b12
+b
b2 2
⋅ Seq
(7)
Sostituendo le equazioni (5) e (6) nell’equazione di equilibrio (4) e tenendo conto che ϕ = α − π/2 + θ,
con α angolo di pedivella, si determina l’angolo θ assunto dall’appendice il cui andamento è riportato
in Figura 11.
Figura 11: Andamento dell’angolo θ dell’appendice in funzione dell’angolo di pedivella.
Noto l’angolo θ, si può quindi calcolare la posizione del pedale al variare dell’angolo di pedivella,
cioè la distanza tra il pedale e il movimento centrale, che è il braccio della coppia motrice. Note questa
lunghezza, la forza motrice e la cadenza di riferimento, si calcola la potenza istantanea e quindi la
potenza media durante il ciclo di pedalata, pari a 210 W.
L’appendice proposta permette quindi un incremento pari al 13% della potenza motrice (210 W)
rispetto a una pedivella classica (186 W).
7. APPLICAZIONE ALLA BICICLETTA RECLINATA
Visto l’incremento di potenza conseguente all’introduzione dell’appendice nelle biciclette classiche, si
è esteso lo studio ipotizzando di installarla anche su una bicicletta reclinata. L’appendice è stata quindi
riprogettata con l’obiettivo di ricavarne la massima potenza e di mantenere una traiettoria più circolare
possibile per questioni di comfort di pedalata.
Conoscendo l’andamento della forza motrice in funzione dell’angolo di pedivella, ricavato dalle
informazioni disponibili sulla bicicletta classica, è possibile stimarne il valore nel caso di bicicletta
reclinata, mantenendo la stessa coppia motrice erogata dai muscoli dell’arto inferiore nel movimento
di pedalata [8, 9]. È quindi possibile disegnare, sul piano sagittale, traiettorie arbitrarie circolari con
posizione del centro variabile attorno al movimento centrale M. Per ciascuna di queste traiettorie è
stata valutata la potenza istantanea e quindi la potenza media, nel ciclo di pedalata. In questo modo si è
identificata l’eccentricità della traiettoria del pedale che massimizza la potenza media motrice,
evidenziata in Figura 12 dal triangolo verde.
La posizione del centro delle traiettorie ottimali serve come termine di paragone per valutare la bontà
di una traiettoria reale. Quest’ultima è stata ricavata mediante un algoritmo che ricalcola l’equilibrio
alla rotazione dell’appendice, al variare le dimensioni caratteristiche dell’appendice entro opportuni
41° CONVEGNO NAZIONALE – VICENZA, 5-8 SETTEMBRE 2012
intervalli che non ne facciano degenerare la geometria. In questo modo, per ogni combinazione delle
quote L e c, si può disegnare una traiettoria e ricavare un valore di potenza media. La geometria
ottimale, pur non rispecchiando le specifiche di traiettoria richieste per via dell’equilibrio sfavorevole
delle forze di pedalata in posizione reclinata, permette comunque un incremento di potenza del 3%.
Figura 12: Distribuzione della potenza al variare del centro della traiettoria circolare.
8. ANALISI A ELEMENTI FINITI E CRITICITA’ DELL’APPENDICE
Figura 13: Analisi agli elementi finiti dell’appendice con carico maggiorato.
Definita la geometria ottimale dell’appendice, è stata eseguita un’analisi strutturale agli elementi finiti
al fine di evidenziare le principali criticità e valutare i provvedimenti utili per arginarle prima della
realizzazione del prototipo sperimentale. Le simulazioni sono state svolte applicando una forzante, in
41° CONVEGNO NAZIONALE – VICENZA, 5-8 SETTEMBRE 2012
direzione, verso pari a quella massima evidenziata, ma con modulo maggiorato a 1800 N per tenere
conto di eventuali condizioni anomale di carico. La distribuzione delle tensioni è riportata in Figura
13, dove è anche evidenziato uno spigolo critico con concentrazione di tensione da tenere sotto
controllo, specie considerando la presenza di una saldatura costruttiva presente in quella zona.
9. CONCLUSIONI
Tra le possibili alternative per incrementare la potenza erogata da un ciclista, è stata progettata nel
dettaglio un’appendice che permette di variare la lunghezza della pedivella e se ne sono valutate le
potenzialità applicative.
Basandosi su dati di letteratura è stato implementato un modello matematico in grado di simulare in
prima approssimazione il gesto di pedalata. Il risultato del modello è stato applicato ai due casi di
bicicletta classica e di bicicletta reclinata.
Nel caso di bicicletta classica, l’appendice è in grado di fornire un incremento sostanziale (13%) delle
performance ciclistiche, mentre nel caso di bicicletta reclinata il margine di miglioramento teorico è
molto più contenuto (3%).
L’introduzione dell’appendice comporta una traiettoria diversa da quella circolare classica del pedale,
che può essere indagata teoricamente mediante il modello di calcolo sviluppato.
L’analisi strutturale a elementi finiti ha evidenziato come sia necessaria una particolare cura nella
realizzazione costruttiva del componente, le cui sollecitazioni sono comunque ampiamente tollerate
dai comuni acciai da costruzione.
I risultati ottenuti dal modello sviluppato devono in ogni caso essere confrontati con i risultati di prove
sperimentali, già pianificate, per consentire sia la validazione del modello sia la valutazione del
comfort conseguente alla traiettoria non convenzionale del pedale, che si sviluppa con l’utilizzo
dell’appendice proposta, nelle sessioni di pedalata di lunga percorrenza.
BIBLIOGRAFIA
[1] Z. Zani, Pedalare bene, Ediciclo Editore, (2006)
[2] D.G. Wilson, Bicycling science 3rd edition, The MIT Press, (2004)
[3] Y.S. Liu; T.S. Tsay; T.C. Wang, “Muscle force and joints load simulation of bicycle riding using
multibody models”, Procedia Engineering, 13, 81-87 (2011)
[4] M.L. Hull; R.R. Davis, “Measurement of pedal loading in bicycling: I. Instrumentation”, Journal
of Biomechanics, 16, 843-856 (1981)
[5] T.F. Boyd; R.R. Neptune; M.L. Hull, “Pedal and knee loads using a multi-degree-of-freedom
pedal platform in cycling”, Journal of Biomechanics, 30, 505-511 (1997)
[6] F. Bolourchi; M.L. Hull, “Measurement of rider induced loads during simulated Bicycling”,
Journal of Biomechanics, 1, 308-329 (1985)
[7] M.L. Hull; M. Jorge, “A method for biomechanical analysis of bicycle pedaling”, Journal of
Biomechanics, 18, 631-644 (1985)
[8] G. Chen; S.A. Kautz; F.E. Zajaca, “Simulation analysis of muscle activity changes with altered
body orientations during pedaling”, Journal of Biomechanics, 34, 749-756 (2001)
[9] R.F. Reiser II; M.L. Peterson; J.P. Broker, “Anaerobic Cycling Power Output With Variations in
Recumbent Body Configuration”, Journal of Biomechanics, 17 (3), 204-216 (2001)