Matrici - Università di Bologna

Matrici
Matrice: tabella di m righe ed n colonne
AT matrice trasposta di A=(aij)
di elementi aijT=aji
Serena Morigi
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1
Matrici
Matrice quadrata
m=n
sottomatrici
A
Matrice rettangolare
m≠n
Serena Morigi
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2
Matrici
Matrici
simmetriche
A = AT
Matrici antisimmetriche
A = -AT
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3
Operazioni fra Matrici
Somma di matrici
Moltiplicazione per scalare
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4
Prodotto di Matrici
In generale A ⋅ B ≠ B ⋅ A
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5
Prodotto di matrici
A = {aij } ( m × n), B = {bij } ( n × p )
C = A ⋅ B = {cij } ( m × p ) cij = ∑ aik bkj ,
n
i = 1,.., m
k =1
j = 1,.., p
Algoritmo
for i = 1:m
for j = 1:p
for k = 1:n
C(i,j)=C(i,j)+A(i,k)*B(k,j);
end
Complessità computazionale:
m
p
n
∑∑∑ 2 = 2mpn
i =1 j =1 k =1
( per m = n = p la complessità è 2n3 )
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6
Matrici
 u11
0

U = 0

 .
 0
u12
u22
.
.
.
u13
u23
u33
.
.
..
..
..
.
0
 l11
l
 21
L =  l 31

 .
 l n1
0
l 22
.
0
.
.
l 32
.
ln2
l 33
.
.
u1n 
u2 n 

u3 n 

. 
unn 
0
0

. . 

. 0
. l nn 
Serena Morigi
Matrice triangolare
superiore (Upper)
aij=0 se i>j
Matrice triangolare
inferiore (Lower)
aij=0 se i<j
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7
Matrici Diagonali
d1

0
D=0

.

0
0
0
d2
0
.
d3
.
.
.
.
0

.. 0  Matrice diagonale
.. 0  D = diag (d1 , d 2 ,.., d n )

. .

0 dn 
.. 0 Matrice identità
..
1 0 0


0 1 0 .. 0
I = 0 . 1 .. 0


. . . . .


Serena
Morigi
0 . . 0 1 
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8
Prodotto Scalare <x,y>
p = x • y = [x1
T
x2 .. xm ]
T
Algoritmo
 y1 
  m
y2 

= ∑ xi ⋅ yi
•
 ..  i =1
 
 ym 
p=0;
for i = 1:m
p=p+x(i)*y(i);
pdot =dot(x,y);
end
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9
Prodotto Scalare
Funzione
⋅,⋅ : C n × C n → C
che verifica le seguenti proprieta’:
1.
x , x ≥ 0,
x, x = 0 ⇔ x = 0
2.
x, y = y, x
∀x , y ∈ C n
3. αx + βy , z = α x , z + β y , z
Esempi
∀x ∈ C n
x
x , y = y x = ∑ x i yi
T
∀x , y , z ∈ C n
in
ℜn
in
Cn
i =1
n
x , y = y x = ∑ x i yi
H
∀α , β ∈ C
i =1
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10
Norme vettoriali
Funzione • : C n → ℜ + ∪ {0}
che verifica le seguenti proprieta’:
1. x ≥ 0,
x =0⇔ x=0
2. α x = α x
3.
∀x ∈ C n
x+ y ≤ x + y
∀x ∈ C n
∀α ∈ C
∀x, y ∈ C n
(disuguaglianza triangolare)
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11
Norme vettoriali –
NORMA 2
Norma 2 o norma Euclidea
x
2
=
x, x =
Esempio n=4
x x=
T
n
∑ (x )
i =1
− 2


1

x = 
 0 


 3 
Serena Morigi
2
i
x 2 = 14
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12
Norme vettoriali –
NORMA 1
x
Esempio n=4
1
=
n
∑
i =1
xi
− 2


1 

x =
 0 


 3 
Serena Morigi
x
1
=6
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13
Norme vettoriali –
NORMA INFINITO
Norma infinito o norma Chebyshev
x
∞
=
max x i
i =1,2 ,..., n
Esempio n=4
− 2


1 

x =
 0 


 3 
Serena Morigi
x
∞
=3
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14
Circonferenze in norma p (in R2)
Luogo dei punti che sono a distanza 1 dal centro
1
norma-infinito
norma-1
-1
1
norma-2
{
}
= {x ∈ R : x = 1}
= {x ∈ R : x = 1}
C1 = x ∈ R 2 : x 1 = 1
C2
C∞
-1
2
2
2
∞
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15
Norme vettoriali
Teorema. Siano
'
⋅ , ⋅
''
due norme vettoriali. Allora le due norme sono
equivalenti, nel senso che esistono due costanti
α , β ∈ ℜ, 0 < α ≤ β
x ∈Cn
tali che per ogni
α x
x
∞
≤ x
2
''
'
≤ x ≤β x
≤ n x
x
∞
∞
x
2
≤ x 1 ≤n x
Serena Morigi
''
≤ x1≤ n x
2
∞
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16
Norme matriciali
Funzione
• : C nxn → ℜ + ∪ {0}
che verifica le seguenti proprieta’:
1.
A ≥ 0,
A =0⇔ A=0
2.
αA = α A
3.
A+B ≤ A + B
4.
AB ≤ A
∀A ∈ C nxn
∀ A ∈ C nxn
B
Serena Morigi
∀α ∈ C
∀ A , B ∈ C nxn
∀ A , B ∈ C nxn
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17
Norme matriciali
Ad ogni norma di vettore possiamo associare
una norma di matrice nel modo seguente:
Definizione. La norma definita da
A
p
=
Ax
sup
x ≠0
x
p
A ∈ C nxn , x ∈ C n
p
viene detta norma matriciale indotta dalla
⋅
norma vettoriale
o norma naturale
Per le norme naturali si ha:
I
p
=
Ix
sup
x ≠0
x
p
=1
p
Ax ≤ A x
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18
Norme matriciali indotte esempi
n
x1
x
norma 1
A 1 = max∑ aij
j =1, 2,...,n i =1
(massimo somma colonne in modulo)
norma infinito
∞ - Chebyshev
n
A ∞ = max ∑ aij
i =1, 2,...,n j =1
(massimo somma righe in modulo)
x
2
norma 2
- Euclidea
ρ(A) raggio spettrale di A:
A 2 = ρ ( A A)
T
massimo autovalore in modulo di A
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19
Norme matriciali - esempi
A
∞
=
n
∑ a ij
max
i = 1 , 2 ,..., n j = 1
n
norma infinito
A 1 = max j =1,..,n ∑ aij
norma 1
A 2 = ρ ( A A)
norma 2- Euclidea
i =1
T
− 1

11

A=
 0

 10
22
7
0
−4
0
1
6
−9
0
7
20
8 

3 
− 5

− 1
17
16
19
A 1 = 22
11
20
Serena Morigi
A
∞
= 20
A 2 = ??
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20
Norme matriciali
AF =
n
∑ aij
2
i , j =1
Norma di Frobenius o Schur
(non è una norma indotta)
Tutte le norme matriciali sono equivalenti
1
n
A
∞
≤ A2≤ n A
1
∞
max a ij ≤ A 2 ≤ n max a ij
i, j
i, j
n
1
n
Serena Morigi
A1≤ A2≤ n A1
A
F
≤ A2≤ A
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F
21
Norme matriciali
§ Data una norma di vettore ed una norma di matrice,
diciamo che le due norme sono compatibili se
Ax ≤ A x
⋅
§ Se
∀A ∈ ℜ nxn
x ∈ ℜn
e’ una norma matriciale compatibile, allora
ρ (A) ≤
A
§ Sia A una matrice simmetrica , allora
A
2
A
1
= A
∞
= ρ ( AT A) = ρ ( A 2 ) = ρ 2 ( A) = ρ ( A) = λmax
§ Sia A una matrice simmetrica definita positiva, allora
A
2
= λmax
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22
Matrice definite in segno
Se per ogni x non nullo il numero reale xTAx mantiene
lo stesso segno, si dice che la matrice A è definita in
segno, in particolare:
x Ax > 0, definita positiva
T
x Ax ≥ 0, semidefinita positiva
T
x Ax ≤ 0, semidefinita negativa
T
x Ax < 0, definita negativa
T
Altrimenti A è indefinita.
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23
Criterio di Sylvester
Una matrice simmetrica A è
definita positiva
se e solo se
det( Ak ) > 0, k = 1,.., n
dove det(Ak) rappresenta il determinante
della matrice di ordine k formata dalle
intersezioni delle prime k righe e k
colonne di A
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24