book in progress matematica geometria secondo anno

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BOOK IN PROGRESS
MATEMATICA
GEOMETRIA
SECONDO ANNO
TOMO NR. 2
SOMMARIO DEL TOMO 2 – SECONDO ANNO
UNITÀ 9: LE GRANDEZZE E LA PROPORZIONALITA’ .....................................2
9.1 Generalità .....................................................................................2
9.2 Grandezze commensurabili e incommensurabili ..................................3
9.3 Il rapporto di due grandezze ............................................................7
9.4 Rapporto tra due numeri. Proporzioni ................................................9
9.5 Il teorema di Talete ..................................................................... 17
UNITÀ 10: LA SIMILITUDINE TRA FIGURE PIANE....................................... 22
10.1 Generalità ................................................................................. 22
10.2 La similitudine nei triangoli .......................................................... 25
10.3 I criteri di similitudine dei triangoli ................................................ 26
10.4 Applicazioni della similitudine ....................................................... 32
10.5 La similitudine dei poligoni ........................................................... 37
10.6 Applicazione della similitudine a corde, tangenti, secanti e bisettrici ... 39
ESERCIZI ............................................................................................ 42
ESERCIZI SULLA SIMILITUDINE ........................................................... 42
Conoscenza e comprensione .......................................................... 42
Problemi su triangoli e poligoni ....................................................... 48
Similitudine e i teoremi di Euclide......................................................... 51
Problemi ..................................................................................... 53
Similitudine e circonferenza................................................................. 53
Problemi ..................................................................................... 55
Problemi sulla similitudine da risolvere algebricamente............................ 55
INVALSI esercizi sulla similitudine ....................................................... 58
1
UNITÀ 9
LE GRANDEZZE E LA PROPORZIONALITÀ
9.1 Generalità
Nelle unità precedenti abbiamo considerato insiemi di elementi (segmenti, angoli, superfici piane)
con i quali abbiamo operato il confronto e la somma: si dice che tali elementi sono grandezze
geometriche o semplicemente grandezze e si parla di insiemi di grandezze o di classi di
grandezze.
Le grandezze di una stessa classe si dicono omogenee fra loro e si possono confrontare e sommare.
Non ha senso, invece, confrontare e/o sommare un segmento con un angolo oppure un angolo e una
superficie: le operazioni di confronto e somma possono essere eseguite solo tra elementi di una
stessa classe.
Data una classe di grandezze X, valgono le seguenti proprietà:
1. ∀A, B ∈ X è vera una sola delle relazioni
A<B , A=B , A>B
cioè due qualsiasi elementi di X sono sempre confrontabili;
2. ∀A, B ∈ X : A + B = B + A
(proprietà commutativa dell’addizione);
3. ∀A, B, C ∈ X : (A + B) + C = A + (B + C)
(proprietà associativa dell’addizione).
Si estendono alle grandezze le proprietà delle relazioni < (minore), ≤ (minore o uguale), >
(maggiore) e ≥ (maggiore o uguale) che valgono negli insiemi numerici, nonché le definizioni di
multiplo e di sottomultiplo date per i segmenti e per gli angoli.
Si ha, infatti, la seguente definizione:
• Si dice multiplo di una grandezza A, secondo il numero naturale n ≠ 0, la grandezza B, ad
essa omogenea, somma di n grandezze uguali ad A; cioè:
B=A+A+A+…+A
n volte
o, meglio:
B=nA.
La grandezza A si dice sottomultipla di B secondo il numero n e si scrive:
A=
2
1
B .
n
Per le classi di grandezze valgono i due postulati seguenti:
POSTULATO DI EUDOSSO-ARCHIMEDE:
Date due grandezze omogenee, di cui una non nulla, esiste sempre una grandezza multipla della
minore che supera la maggiore.
POSTULATO DELLA DIVISIBILITÀ ALL’INFINITO (o POSTULATO DELLA DIVISIBILITÀ
DELLE GRANDEZZE):
Per ogni grandezza A e per ogni numero naturale n non nullo, esiste sempre, ed è unica, la
grandezza B, omogenea ad A, sottomultipla di A secondo il numero n (cioè B =
1
A ).
n
OSSERVAZIONE
Il secondo postulato permette di dividere una grandezza in un numero qualsiasi di parti congruenti.
9.2 Grandezze commensurabili e incommensurabili
Due grandezze omogenee A e B si dicono commensurabili quando ammettono una grandezza C, ad
esse omogenea, come sottomultipla comune; in altre parole quando esiste una terza grandezza,
omogenea alle prime due, che è contenuta un numero intero di volte in entrambe le grandezze.
Se:
A = m C e B = n C, con m ed n interi positivi,
si ha:
C=
1
B
n
e quindi:
1
m
A = m( B ) = B (la grandezza A è multipla, secondo m, dell’n-esima parte della grandezza B)
n
n
o, anche:
m
A
=
B
n
e si dice che il rapporto delle grandezze A e B è
Si dice anche che il numero razionale
m
, cioè un numero razionale.
n
m
è la misura della grandezza A rispetto alla grandezza B,
n
scelta come unità di misura.
3
Esempio:
Fissato un segmento AB, consideriamo due segmenti CD = 3AB e EF = 2AB (fig. 1):
.
.
A
B
.
.
.
.
C
E
.
.
D
.
F
fig. 1
Osserviamo che i segmenti CD ed EF ammettono come sottomultiplo comune il segmento AB;
infatti:
CD = 3AB
AB =
1
CD
3
EF = 2AB
AB =
1
EF
2
e quindi:
1
1
CD = EF = AB (cosa sta a significare questa scrittura?)
3
2
Inoltre:
1
CD = 3( EF )
2
cioè
CD =
3
EF
2
1
EF = 2( CD )
3
cioè
EF =
2
CD
3
e
I due segmenti CD ed EF sono commensurabili e scriviamo:
CD 3
=
EF 2
oppure
EF 2
= .
CD 3
Pertanto:
•
il numero razionale
3
è la misura del segmento CD rispetto al segmento EF;
2
•
il numero razionale
2
è la misura del segmento EF rispetto al segmento CD.
3
In generale, il rapporto di due grandezze commensurabili è un numero razionale, cioè un numero
intero o un numero decimale limitato o, ancora, un numero decimale illimitato periodico.
4
Due grandezze omogenee A e B si dicono incommensurabili quando non ammettono una
grandezza C, ad esse omogenea, come sottomultipla comune; in altre parole quando non esiste una
terza grandezza, omogenea alle prime due, che è contenuta un numero intero di volte in entrambe le
grandezze.
Un esempio di grandezze incommensurabili è dato dal lato di un quadrato e dalla sua diagonale.
Si ha, infatti, il seguente:
TEOREMA
Il lato e la diagonale di un quadrato sono segmenti incommensurabili.
D
C
Hp.: ABCD quadrato
Th.: AB e AC incommensurabili
A
B
Dimostrazione
Supponiamo per assurdo che il lato AB e la diagonale AC siano segmenti commensurabili e che,
quindi, ammettano come sottomultiplo comune un segmento, che indichiamo con U, contenuto m
volte in AB ed n volte in AC, con m ed n interi positivi; cioè:
AB = mU
e
AC = nU ,
per cui i segmenti AB e AC possono essere divisi rispettivamente in m ed n segmenti, tutti di
lunghezza U.
Di conseguenza i quadrati costruiti su AB e AC sono costituiti rispettivamente da m2 e da n2
quadratini di lato U (fig. 2)
D
A
C
B
fig. 2
5
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo isoscele ABC si ha:
q(AC) =. q(AB) + q(BC)
[fig. 3]:
D
A
C
B
fig. 3
Poiché:
¾ q(AC) è costituito da n2 quadratini di lato U;
¾ q(AB) è costituito da m2 quadratini di lato U;
¾ q(BC) è costituito da m2 quadratini di lato U (perché?),
si ha:
n2 = m2 + m2
cioè:
n2 = 2 m2.
(*)
Osserviamo che:
se due numeri sono uguali, devono avere la stessa scomposizione in fattori primi;
se un numero è elevato al quadrato, tutti i suoi fattori primi devono comparire un numero
pari di volte.
Pertanto l’uguaglianza precedente implica che i numeri n2 e 2 m2, scomposti in fattori primi, devono
avere gli stessi fattori ed elevati agli stessi esponenti.
6
Ma:
il numero intero n2, scomposto in fattori primi, o non contiene il fattore 2 o lo contiene un
numero pari di volte;
il numero intero 2m2, scomposto in fattori primi, conterrà il fattore 2 necessariamente un
numero dispari di volte (perché?),
e quindi i numeri n2 e 2m2 non contengono gli stessi fattori, elevati agli stessi esponenti.
Pertanto l’uguaglianza (*) non è vera; si è così giunti ad un assurdo che deriva dall’aver supposto
che il lato AB e la diagonale AC fossero segmenti commensurabili.
Si conclude, quindi, che il lato e la diagonale di un quadrato sono segmenti incommensurabili.
C.V.D.
9.3 Il rapporto di due grandezze
Come conseguenza dell’ultimo teorema si ha che la misura di una grandezza rispetto ad un’altra
non si può esprimere sempre mediante un numero razionale.
Più precisamente, date due grandezze omogenee A e B, si hanno i seguenti due casi:
1. le grandezze A e B sono commensurabili: il loro rapporto è un numero razionale
m
;
n
2. le grandezze A e B sono incommensurabili: il loro rapporto non è un numero razionale.
Vogliamo vedere se è possibile dare una “nuova” definizione di rapporto di due grandezze
omogenee che possa valere sia per le grandezze commensurabili che per quelle incommensurabili.
Il procedimento che seguiremo vale per due qualunque grandezze omogenee; qui ci riferiamo, in
particolare, a due segmenti AB e CD (fig. 4):
.
.
A
B
.
.
C
D
fig. 4
Per determinare il rapporto
AB
riportiamo consecutivamente il segmento CD sul segmento AB, a
CD
partire dall’estremo A (fig. 5):
.
//
.
//
A
C
.
//
.
//
.
E
.
B
.
D
fig. 5
7
Nel caso in figura, CD è contenuto 3 volte in AB con resto EB < CD (cosa succede se AB < CD?)
Dividiamo ora CD in 10 parti congruenti e riportiamo su EB la decima parte di CD (fig. 6):
.
A
.
//
//
.
//
. . . . . F. .
E
B
.. .........
C
D
fig. 6
Osserviamo che
CD
CD
è contenuto 5 volte in EB, con resto FB <
. Ripetiamo lo stesso
10
10
procedimento riportando, di volta in volta, sui vari resti ottenuti, i sottomultipli decimali di CD, cioè
CD CD
,
,….
100 1000
Se si perviene ad un resto nullo, vuol dire che il rapporto dei due segmenti è un numero decimale
limitato, costituito dalla successione delle varie cifre trovate; altrimenti tale successione dà luogo ad
un numero decimale illimitato, periodico o aperiodico, che rappresenta, in ogni caso, il rapporto
dei due segmenti.
In definitiva, date due grandezze omogenee A e B, si ha che:
se A e B sono commensurabili, il rapporto A/B è un numero razionale (intero, o decimale
limitato, o decimale illimitato periodico) rappresentato dal quoziente m/n di due numeri
interi positivi.
se A e B sono incommensurabili, il rapporto A/B è un numero irrazionale (cioè un numero
decimale illimitato aperiodico).
Possiamo, quindi, affermare che il nostro tentativo ha avuto successo: si può dare una “nuova”
definizione di rapporto di due grandezze omogenee; precisamente:
Il rapporto di due grandezze omogenee è un numero reale positivo dato dal quoziente delle loro
misure, relativamente ad una grandezza scelta come unità di misura: questo numero reale è
razionale o irrazionale a seconda che le due grandezze siano rispettivamente commensurabili o
incommensurabili.
Dal momento che la terminologia qui usata per i rapporti tra grandezze, e quella che verrà utilizzata
per le grandezze proporzionali, è la stessa di quella usata per i rapporti e per le proporzioni tra
numeri, riteniamo opportuno richiamare alcune definizioni e proprietà.
8
9.4 Rapporto tra due numeri. Proporzioni
Iniziamo col dare la seguente definizione:
Si dice rapporto tra due numeri a e b, nell’ordine dato e con b ≠ 0, il quoziente della divisione di a
a
e b. Il rapporto tra i numeri a e b si indica con il simbolo a : b oppure .
b
I due termini a e b si dicono termini del rapporto e precisamente:
a è il primo termine del rapporto e si chiama antecedente;
b è il secondo termine del rapporto e si chiama conseguente.
Se si scambiano i termini del rapporto a , purché diverso da zero (perché?), si ottiene il nuovo
b
b
.
rapporto b : a =
a
a
b
Il rapporto
viene detto rapporto inverso o reciproco di .
b
a
Esempi:
il rapporto tra 6 e 3
è
il rapporto tra 3 e 5
è
3
1
= ;
6
2
3
5
3 : 5 = ; il suo inverso è 5 : 3 = ;
5
3
6 : 3 = 2 ; il suo inverso è 3 : 6 =
2
2 3
2 3
2 5 10
3 2
9
e
è
: = 3= . =
; il suo inverso è
: =
.
il rapporto tra
3 3 3
3 5
3 5
9
5 3 10
5
Consideriamo ora i seguenti due rapporti numerici:
I rapporti
12 24
e
.
3
6
12
24
e
sono uguali infatti il quoziente di 12 : 3 (= 4) è uguale al quoziente di 24 : 6
3
6
(=4), per cui possiamo scrivere:
12 : 3 = 24 : 6
Questa uguaglianza si chiama proporzione e si legge “12 sta a 3 come 24 sta a 6”.
In generale, si dà la seguente definizione:
Dati quattro numeri a, b, c, d, nell’ordine in cui sono scritti, con b e d diversi da 0, si dice che essi
sono in proporzione se il rapporto tra il primo e il secondo è uguale al rapporto tra il terzo e il
quarto, e si scrive:
a : b = c : d (si legge: “a sta a b come c sta a d ”).
[Una proporzione è, quindi, l’uguaglianza fra due rapporti].
9
I numeri a, b, c, d si chiamano termini della proporzione; in particolare:
b, c si chiamano medi;
a, d si chiamano estremi.
Il numero d si dice quarto proporzionale dopo a, b, c.
Inoltre:
a e c, primo e terzo termine della proporzione, si chiamano antecedenti;
b e d, secondo e quarto termine della proporzione, si chiamano conseguenti.
Una proporzione si dice continua se i medi sono uguali cioè se:
a:b=b:c
In tal caso b si dice medio proporzionale tra a e c mentre c si dice terzo proporzionale dopo a e b.
Nella proporzione continua:
8:4=4:2
4 è il medio proporzionale tra 8 e 2 mentre 2 è il terzo proporzionale dopo 8 e 4.
Proprietà delle proporzioni
Dalla definizione di frazioni equivalenti, si deduce la seguente proprietà:
PROPRIETÀ
FONDAMENTALE DELLE PROPORZIONI
In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Dalla proporzione:
a:b=c:d
si ricava infatti che:
bc=ad.
Esempio:
La proporzione
5 : 4 = 20 : 16 ,
scritta come uguaglianza tra frazioni, diventa:
5
20
=
.
4
16
Dalla definizione di frazioni equivalenti si ha (prodotti in croce):
4 · 20 = 5 · 16 (= 80)
10
( o, ovviamente, 5 · 16 = 4 · 20 ).
Viceversa:
Siano dati i numeri 5, 2, 20, 8 ; poiché:
2 · 20 = 5 · 8 ( = 40 ),
possiamo dire che i numeri 5, 2, 20, 8 , nell’ordine dato, formano una proporzione; precisamente:
5 : 2 = 20 : 8.
PROVA TU
Scrivi quattro numeri che, nell’ordine dato, formino una proporzione.
Dalla proprietà fondamentale, discendono le seguenti proprietà:
PROPRIETÀ DELL’INVERTIRE.
Se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente, si ha ancora
una proporzione.
Dalla proporzione
a:b=c:d,
scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente, si ottiene:
b:a=d:c
che è ancora una proporzione (perché?).
Esempio:
Dalla proporzione
4 : 12 = 3 : 9 ,
scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente, si ottiene:
12 : 4 = 9 : 3
PROPRIETÀ DEL PERMUTARE.
Se in una proporzione si scambiano fra loro i medi o gli estremi, si ottiene ancora una
proporzione.
Dalla proporzione
a:b=c:d,
si ottengono le seguenti proporzioni:
a : c = b : d (scambiando fra loro i medi);
d:b=c:a
(scambiando fra loro gli estremi).
11
Esempio:
Dalla proporzione
15 : 5 = 6 : 2 ,
scambiando fra loro i medi si ottiene:
o
15 : 6 = 5 : 2
che è ancora una proporzione (perché?);
scambiando fra loro gli estremi si ottiene:
o
2 : 5 = 6 : 15
PROPRIETÀ DEL COMPORRE
In ogni proporzione, la somma dei primi due termini sta al primo (o al secondo) come la
somma degli altri due termini sta al terzo (o al quarto).
Dalla proporzione
a:b=c:d ,
si ottengono le proporzioni seguenti:
•
(a+b) : a = (c+d) : c
• (a+b) : b = (c+d) : d
[ovviamente devono essere definite le varie operazioni]
Esempio:
Dalla proporzione
5 : 2 = 10 : 4 ,
si ottengono le seguenti:
•
(5 + 2) : 5 = (10 + 4) : 10
cioè
7 : 5 = 14 : 10 ;
•
(5 + 2) : 2 = (10 + 4) : 4
cioè
7 : 2 = 14 : 4 ,
che sono ancora proporzioni (perché?).
PROPRIETÀ DELLO SCOMPORRE
In ogni proporzione, in cui gli antecedenti sono maggiori dei conseguenti, la differenza fra i
primi due termini sta al primo (o al secondo) come la differenza degli altri due termini sta al terzo
(o al quarto).
Dalla proporzione
a : b = c : d (con a > b e c > d) ,
si ottengono le proporzioni seguenti:
♦ (a − b) : a = (c − d) : c
♦ (a − b) : b = (c − d) : d
E se a < b e c < d ?
12
Esempio:
Dalla proporzione
5 : 2 = 10 : 4 ,
si ottengono le seguenti:
♦ (5 − 2) : 5 = (10 − 4) : 10
cioè 3 : 5 = 6 : 10 ;
♦ (5 − 2) : 2 = (10 − 4) : 4
cioè
3:2=6:4 .
che sono ancora proporzioni (perché?).
RISOLUZIONE DI UNA PROPORZIONE
La proprietà fondamentale permette di calcolare un termine incognito di una proporzione quando
siano noti gli altri tre oppure, nel caso di una proporzione continua, permette di calcolare il medio
proporzionale.
1) Supponiamo di avere la seguente proporzione:
a:b=c:x
nella quale a, b, c sono numeri noti e x è il termine incognito da calcolare.
Applicando la proprietà fondamentale si ha:
ax=bc
e quindi:
x=
bc
a
cioè: “il valore di un estremo incognito in una proporzione è uguale al prodotto dei medi diviso per
l’estremo noto”.
2) Supponiamo di avere la seguente proporzione:
a:b=x:d
nella quale a, b, d sono numeri noti e x è il termine incognito da calcolare.
ad=bx
e quindi:
x=
ad
b
cioè: “il valore di un medio incognito in una proporzione è uguale al prodotto degli estremi diviso
per il medio noto”.
3) Supponiamo di avere la seguente proporzione continua:
a:b=b:x
nella quale a, b sono numeri noti e x è il termine incognito da calcolare.
13
ax=b
2
b2
x=
a
da cui:
cioè: “in una proporzione continua, il terzo proporzionale è uguale al quadrato del secondo
termine diviso per il primo termine”.
4) Supponiamo di avere la seguente proporzione continua:
a:x=x:b
nella quale a, b sono numeri noti e x è il termine incognito da calcolare.
x2 = a b
da cui
x = ab
cioè: “in una proporzione continua, il medio proporzionale fra gli altri due termini è dato dalla
radice quadrata del loro prodotto”.
PROVA TU
Risolvi le seguenti proporzioni:
1)
x : 5 = 9 : 20
2)
3 : 15 = x : 10
3)
4:8=8:x
4)
16 : x = x : 9
CATENA DI RAPPORTI UGUALI
La definizione di proporzione si estende al caso di tre o più rapporti uguali; precisamente si
definisce catena di rapporti uguali l’uguaglianza di tre o più rapporti.
Ad esempio, dati i rapporti:
4 : 2 ; 8 : 4 ; 12 : 6 ; 16 : 8 ,
che sono tutti uguali a 2, si ha la seguente catena di rapporti uguali:
4 : 2 = 8 : 4 = 12 : 6 = 16 : 8
In essa, la proprietà del comporre si enuncia così:
In una catena di rapporti uguali, la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti,
come un antecedente qualsiasi sta al proprio conseguente.
Nel caso del nostro esempio si ha:
(4 + 8 + 12 + 16) : (2 + 4 + 6 + 8) = 4 : 2 cioè: 40 : 20 = 4 : 2
14
e ancora:
(4 + 8 + 12 + 16) : (2 + 4 + 6 + 8) = … continua tu
(4 + 8 + 12 + 16) : ………………………………….
………………………………………………………
(verifica che, in tutti i casi, si ottiene una proporzione).
PROBLEMI SULLE PROPORZIONI
Le proprietà delle proporzioni e, in generale, delle catene di rapporti uguali possono essere
utilizzate per risolvere problemi di varia natura.
ESEMPI (di natura geometrica):
1. Determinare le lunghezze di due segmenti sapendo che la loro somma, espressa in cm, è 40
e che il loro rapporto è
5
.
3
Indichiamo con x e y le lunghezze, in cm, dei due segmenti (con x > y); possiamo scrivere:
x:y=5:3
Applichiamo alla proporzione la proprietà del comporre (perché?), così da avere:
(x + y) : x = (5 + 3) : 5
si ha: …… continua tu .
2. Determinare le lunghezze di due segmenti sapendo che la loro differenza, espressa in cm, è
4 e che il loro rapporto è
5
.
4
Indichiamo con x e y le lunghezze, in cm, dei due segmenti (con x > y); possiamo scrivere:
x:y=5:4
Applichiamo alla proporzione la proprietà dello scomporre (perché?), così da avere:
(x − y) : x = (5 − 4) : 5
si ha: …… continua tu .
15
LE GRANDEZZE DIRETTAMENTE PROPORZIONALI.
Vi sono coppie di grandezze variabili che hanno un comportamento particolare, ossia sono tali che
al raddoppiare, triplicare… dell’una, raddoppia, triplica….. anche l’altra.
Tali grandezze si dicono direttamente proporzionali.
Sono esempi di grandezze direttamente proporzionali i seguenti:
lo spazio percorso da un’automobile e i litri di benzina consumati;
il costo di una merce e il suo peso;
lo spazio percorso da una moto che viaggia a velocità costante e il tempo di viaggio.
“Leggi” la seguente tabella (e COMPLETA):
peso pane (P)
costo pane (C)
Rapporto ( P/C)
1 kg
2 euro
1/2
2 kg
4 euro
1/2
1/2 kg
1 euro
1/2
Osserva che il rapporto P/C è ………………………………………. .
Si dà, quindi, la seguente definizione:
Due grandezze variabili a e b si dicono direttamente proporzionali se il rapporto tra i valori
corrispondenti assunti da a e da b è costante: tale costante è detta costante di proporzionalità
diretta e viene indicata con la lettera k. In simboli:
a
=k
b
ovvero
a=k·b
OSSERVAZIONE
Due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca si dicono, quindi, direttamente proporzionali
se il rapporto tra due grandezze qualsiasi della prima classe è uguale al rapporto delle grandezze
corrispondenti della seconda classe.
La verifica di tale condizione non è sempre agevole o possibile.
Vale, però, il seguente:
CRITERIO DELLA PROPORZIONALITÀ DIRETTA
Condizione necessaria e sufficiente affinché due classi di grandezze omogenee in
corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che:
1. a grandezze uguali ( congruenti ) di una classe corrispondano grandezze uguali
( congruenti ) dell’altra classe;
2. alla somma di due grandezze di una classe corrisponda la somma delle due
grandezze corrispondenti dell’altra classe.
16
LE GRANDEZZE INVERSAMENTE PROPORZIONALI.
Vi sono, invece, altre coppie di grandezze variabili tali che, raddoppiando, triplicando, dimezzando,
… la prima grandezza, la seconda, rispettivamente, si dimezza, diviene un terzo, raddoppia, … .
Tali grandezze si dicono inversamente proporzionali.
Sono esempi di grandezze inversamente proporzionali i seguenti:
le basi di rettangoli equivalenti e le rispettive altezze;
il numero di operai che svolgono un determinato lavoro e il numero di giorni necessari per
portarlo a termine.
“Leggi” la seguente tabella (e COMPLETA):
Numero operai (o)
Numero di giorni (g)
Prodotto (o · g)
2
6
12
4
3
12
1
12
12
Dalla tabella osserviamo che il prodotto tra le due grandezze è …………………………………… .
Si dà, quindi, la seguente definizione:
Due grandezze variabili a e b si dicono inversamente proporzionali se il prodotto dei valori
corrispondenti assunti da a e b è costante: tale costante è detta costante di proporzionalità inversa
e viene indicata con la lettera k. In simboli:
a ⋅b = k
ovvero
a=
k
b
Come applicazione del concetto di proporzionalità tra classi di grandezze
“introduciamo” il teorema di Talete.
9.5 Il teorema di Talete
Nell’unità 5 abbiamo definito il fascio improprio di rette (o fascio di rette parallele) come
l’insieme di tutte le rette parallele ad una data retta r .
Abbiamo, poi, introdotto la corrispondenza di Talete (una corrispondenza biunivoca) quando
abbiamo considerato due trasversali, t1 e t2, unitamente ai punti in cui ogni retta del fascio le
intersecava (punti corrispondenti) e ai segmenti che avevano per estremi punti corrispondenti
(segmenti corrispondenti)
[fig. 7]:
17
t1
C.
B.
A.
t2
v
.C'
. B'
. A'
u
s
r
fig. 7
Abbiamo “visto” il TEOREMA DEL FASCIO DI RETTE PARALLELE:
Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una
trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale.
Abbiamo anche detto che questo teorema viene, talvolta, chiamato “piccolo teorema di Talete”,
nel senso che è una versione semplificata del “teorema di Talete”.
Da tale teorema discendevano i seguenti:
COROLLARIO 1
Se per il punto medio di un lato di un triangolo si conduce la parallela ad un altro lato, questa
divide il terzo lato in due segmenti congruenti.
COROLLARIO 2 (TEOREMA INVERSO)
Il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato ed è
congruente alla sua metà.
Sussiste il seguente:
TEOREMA DI TALETE
Un fascio di rette parallele determina su due trasversali classi di segmenti direttamente
proporzionali.
Per dimostrare che le due classi di segmenti sono direttamente proporzionali, possiamo utilizzare il
CRITERIO DELLA PROPORZIONALITÀ DIRETTA e cioè verificare che nella corrispondenza si
mantengono la congruenza e la somma.
Nella richiamata unità 5, abbiamo dimostrato che viene conservata la congruenza (teorema del
fascio di rette parallele); resta, quindi, da dimostrare che viene conservata anche la somma.
PROVA TU a dimostrare tale proprietà riferendoti alla precedente fig. 7. [Considera su t1 un
segmento, diciamo PQ, somma di due segmenti, per esempio AB e CD, sempre di t1 (per cui esiste
un punto T su PQ tale che ….. , da T manda la parallela …..), fai vedere che il segmento
corrispondente a PQ su t2 è la somma dei segmenti corrispondenti ad AB e CD sempre su t2].
18
ESERCIZI SULLE PROPORZIONI
1) Indica quali delle seguenti relazioni sono delle proporzioni:
a) 2 : 3 = 14 : 21
d)
b) 5 : 3 = 30 : 18
6 18
=
7 21
e) (1 -
g) (4,5 + 3,5) : 6 = (0,5 : 11,5) : 9
c) 6 : 2 = 9 : 5
1
1
27
):(2- )=6:
3
2
2
f) 6 : 5 = 1,5 : 7,5
4 3 16
i) : = : 2
5 2 15
h) 13 : 5 = (4,2 + 2,3) : (7 – 4,5)
2) Per ciascuna delle seguenti proporzioni, partendo dai suoi termini e applicando le
diverse proprietà, costruisci altre 7 proporzioni.
4 3 1
= :
3 2 2
a) 5 : 3 = 15 : 9
b) 4 :
d) 6 : 4 = 3 : 2
e) 7 : 8 = 49 : 56
f) 3 : 7 = 15 : 35
h) 1,3 : 0.8 = 5,6 : 3,7
i) 10 : 15 = 14 : 21
g)
4 3 16
: =
:2
5 2 15
c) 14 : 6 = 21 : 9
3) Risolvi le seguenti proporzioni:
a) 5 : 6 = 2,5 : x
b) 3 : x = x : 12
c) x : 8 = 9 : 3
d) x : 7 = 96 : 24
e) 9 : 1,5 = 0,3 : x
f) x : 8 = 1 : (2/3)
g) 3 : x = x : 48
h) x : 45 = 5 : x
i) 5/2 : x = 3/4 : 1/2
l) (3 − 1 ) : (6 − 1 ) = x : ( 3 + 37 )
m) 0, 7 : x = 0, 4 : 1, 7
_
_
_
1
1
n) ( − 0, 1) : 0, 3 = x : (1, 8+ )
3
9
o) 3 : x = 6 : 10
p) 7: 32 = 14 : x
_
1 1
q) ( + ) : 0, 2 = 9 : x
3 9
r) 54 : x = x : 24
s)
4
u)
2
5 7 5
: =
:x
3 2 21
5
5
_
_
3
27
:x = x:
4
25
v) x :
12 21 3
=
:
7
4 2
_
_
t) 0, 6 : x = x :
8
27
z) (3 − 7 ) 2 : (2 − 5 ) 2 = x : (1 − 1 ) 2
3
3
2
19
a) 3; b) 6; c) 24; d) 28; e) 0,05; f) 12; g) 12; h) 15; i) 5/3; l) 4; m) 28/9; n) 4/3; o) 5; p) 64;
_
q) 9/2; r) 36; s) 0,9; t) 0, 4 ; u) 0,5; v) 6; z) 1.
4) Risolvi le seguenti proporzioni mediante l’uso delle proprietà relative:
a) (7+x) : x = 18 : 4
b) (x-5) : x = 12 : 27
c) x : (x-3) = 4 : 2,5
d) (5+x) : 4 = x : 1,5
e) (14-x) : x = 5 : 9
f) x : (21+x) = 2 : 9
g) 1 : x = 9 : (48+x)
h) (51-x) : 15 = x :2
i) x : (70 – x) = 8 : 6
l) x : 10 = (49 + x) : 17
7
9
1
m) ( + x ) : = x : (1 − )
3
5
4
2 1 3 1
13
n) ( − ) : ( + ) = x : ( x + )
3 6 5 3
30
o) (12 + x) : 29 = x : 5
p) 5 : x = 25 : (13 + x)
2
7
q) ( + x ) : = x : 0,2
5
10
r)
s)
5
17 4
:x=
: ( − x)
8
24 3
5
7 8
: x = : ( + x)
6
2 15
_
t) (3,8 − x) : (2 − 1, 3) = x : (2 − 1,4)
⎡⎛ 2 4 ⎞ 1 ⎤ ⎡ 1
2
⎤
u) ⎢⎜ + : 3 ⎟ ⎥ : ⎢ (0,2 + 0,4 * 3)⎥ = x : ( − x)
3
⎦
⎣⎝ 9 3 ⎠ 5 ⎦ ⎣ 2
a) 2; b) 9; c) 8; d) 3; e) 9; f) 6; g) 6; h) 6; i) 40; l) 70; m) 5/3; n) 1/2; o) 5/2; p) 13/4
q) 4/25; r) 1/6; s) 5/8; t) 9/5; u) 8/75.
5) Applicando le proprietà delle proporzioni, calcola due numeri conoscendo la loro
somma ed il loro rapporto:
20
a) x + y = 21
x:y=4:3
b) x + y = 75
x : y = 16 : 9
c) x + y = 100
x : y = 13 : 7
d) x + y = 85
x : y = 28 : 6
e) x + y = 88
x : y = 13 : 9
f) x + y = 72
x : y = 15 : 21
g) x + y = 17/4
x : y = 3/4 : 2/3
h) x + y = 42
x:y=5:9
i) x + y = 16
x : y = 1/3 : 1/5
l) x + y = 20
x : y = 0, 3 : 0, 7
m) x + y = 144
x : y = 1, 6 : 2, 3
_
_
_
_
a) (12; 9) ; b) (48; 27); c) (65; 35); d) (70;15); e) (52;36);
f) (30;42); g) (9/4;2); h) (15;27); i) (10;6); l) (6;14); m) (60; 84)
6) Applicando le proprietà delle proporzioni, calcolare due numeri conoscendo la loro
differenza ed il loro rapporto:
a) x - y = 16
x:y=7:5
b) x - y = 18
x:y=9:3
c) x - y = 32
x:y=8:4
d) x - y = 24
x : y = 17 : 13
e) x - y = 8
x : y = 21 : 5
f) x - y = 10
x : y = 33 : 13
g) x - y = 20
x : y = 19 : 15
h) x - y = 40
x : y = 13 : 5
i) x - y = 15
x : y = 18 : 13
l) x - y = 28
x : y = 35 : 21
m) x - y = 9
x : y = 0, 6 : 0, 2
_
_
a) (56;40); b) (27;9); c) (64;32); d) (102;78); e) (10,5;2,5); g) (95;75);
h) (65;25) i) (54;39); l) (70;42); m) (27/2 ; 9/2)
21
UNITÀ 10
LA SIMILITUDINE TRA FIGURE PIANE
10.1 Generalità
Negli studi precedenti hai “incontrato” figure congruenti e/o figure di forma diversa ma aventi
uguale estensione o, ancora, figure aventi la stessa forma ma non la stessa estensione. Insieme
abbiamo già analizzato i casi delle figure congruenti e di quelle equiestese; ora studiamo l’ultimo
caso, ossia quello delle figure simili.
Disegna, a tale scopo, un rettangolo R di vertici A,B,C,D e traccia le sue diagonali, indicando con O
il loro punto di intersezione. Detti E, G, F, H i punti medi rispettivamente dei segmenti AO, OC,
OB, DO, congiungi tali punti medi e chiama R' il quadrilatero ottenuto.
Costruisci, in base ai dati, la figura relativa (fig. 1):
fig. 1
¾ Cosa puoi dire del quadrilatero R' ?
¾ Cosa puoi dire dei quadrilateri R e R' ?
Ti aiuto con il seguente esercizio di completamento (le “parole di completamento” vanno scelte tra
quelle indicate dopo l’esercizio,con l’avvertenza che vi sono parole “intruse”).
• R e R' sono due ……………………….. ;
• R e R' hanno la stessa ………………… ma non le stesse ………………………….. ;
• R e R' sono figure ………………… .
• gli angoli di R' sono ordinatamente …………………….. agli angoli di R ( nel caso in
questione gli angoli di R e R' sono tutti angoli ……….. ;
•
i lati di R' sono …………………….. ai lati di R.
“Parole di completamento”: area, dimensioni, perpendicolari, simili, acuti, retti, rettangoli, paralleli,
direzione, forma, congruenti, opposti al vertice.
Parlando delle trasformazioni geometriche nel piano (unità 4) avevamo visto, in particolare, il
“trasformato” di un triangolo ABC, retto in C, secondo una fissata trasformazione.
22
Avevamo determinato le immagini dei vertici A, B, C (rispettivamente A', B', C'), ottenendo, così, il
triangolo A' B' C' (fig. 2):
O
*
~o
C'
A'
B'
~
*
C
o
A
B
fig. 2
L’esame della figura ti dovrebbe permettere di “ricostruire” la trasformazione.
Ricordiamo la terminologia usata:
il punto A' è l’omologo o il corrispondente di A;
il punto B' è l’omologo o il corrispondente di B;
il punto C' è l’omologo o il corrispondente di C;
l’angolo A' è l’omologo o il corrispondente dell’angolo A; continua tu
l’angolo B' ………………………………………………….. ;
l’angolo …………………………………………………...... ;
il lato A'B' è l’omologo o il corrispondente del lato AB (i due lati hanno, quindi, per estremi due
coppie di vertici omologhi);
il lato B'C' ………………………………………………….. ;
il lato ……………………………………………………….. ;
Ti era stato consigliato, altresì, di “verificare” che:
A'B' // AB, A'C' // AC, B'C' // BC
il triangolo A'B'C', trasformato del triangolo ABC, è retto in C'.
La “nostra” trasformazione non modifica , quindi, determinate proprietà geometriche (conserva,
cioè, alcune proprietà) mentre ne modifica altre.
♦ Ricordi gli invarianti?
♦ Quale “relazione” vi è tra gli angoli del triangolo A'B'C' e quelli omologhi del triangolo ABC?
23
♦ Quale “relazione” vi è tra i lati del triangolo A'B'C' e quelli omologhi del triangolo ABC?
Nella fig. 1 dovresti aver verificato, ma potevi, anche, dedurlo da un teorema (quale?) che:
EF // AB e
EF ≅
1
AB
2
FG // BC e
FG ≅
1
BC
2
HG // DC e
HG ≅
1
DC
2
HE // DA e
HE ≅
1
DA
2
Scrivi le “relazioni” legate alla fig. 2 .
OSSERVAZIONE
Hai “trovato” che i “rapporti” tra i lati risultano uguali (a quanto?) nei casi illustrati in entrambe le
figg. 1 e 2 e ciò per le particolari trasformazioni considerate.
A questo punto, possiamo dare la seguente definizione:
Due poligoni F e F' , di ugual numero di lati, si dicono simili, in simboli F ~ F', se hanno gli angoli
ordinatamente congruenti ed i lati omologhi in proporzione.
[In fig. 3 sono rappresentati due pentagoni simili]
D
*
. C
E o
E' o
. C'
♥
A
ABCDE ~ A'B'C'D'E'
♥
B
def.
⇔
D'
*
A'
B'
fig. 3
A ≅ A' , B ≅ B' , C ≅ C' , D ≅ D' , E ≅ E'
AB : A'B' = BC : B'C' = CD : C'D' = DE : D'E' = EA : E'A'
Il rapporto costante k tra due qualsiasi lati omologhi viene detto rapporto di similitudine (nel caso
dei poligoni delle figg. 1 e 2 si ha k = 2).
Se k = 1, i due poligoni (simili) sono anche …………………… .
24
N.B. La relazione di similitudine tra poligoni gode delle proprietà:
• riflessiva: ogni poligono è simile a se stesso;
• simmetrica: se il poligono P è simile al poligono P', allora P' è simile a P ;
• transitiva: se il poligono P è simile al poligono P' e il poligono P' è simile al poligono P'',
allora P è simile a P''.
La relazione di similitudine è quindi una relazione di equivalenza.
Per stabilire che due poligoni sono simili, dobbiamo, quindi, eseguire le seguenti operazioni:
♦ verificare la congruenza fra gli angoli
e
♦ verificare la proporzionalità fra i lati.
Queste operazioni sono, in genere, laboriose per cui, come abbiamo fatto per la congruenza, ci
chiediamo se sia possibile effettuare un numero minore di confronti.
Nel lavoro che segue, daremo una risposta a questa domanda introducendo i criteri di similitudine
dei triangoli prima e dei poligoni poi.
Esaminiamo, quindi, tre criteri, i criteri di similitudine dei triangoli, che forniscono condizioni
sufficienti affinché due triangoli siano simili.
10.2 La similitudine nei triangoli
In base a quanto detto per i poligoni simili, si ha la seguente definizione:
Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e se i lati corrispondenti
(cioè i lati opposti agli angoli congruenti) sono proporzionali.
Consideriamo i triangoli ABC e A'B'C' (fig. 4):
C
C'
o
A
.
B
o
A
.
fig. 4
B'
In base alla definizione, i due triangoli sono simili se:
A ≅ A' , B ≅ B' , C ≅ C'
e
AB : A'B' = BC : B'C ' = AC : A'C' .
25
Nel caso di due triangoli simili, riferendoci ancora alla fig. 4, ribadiamo che si dicono :
• omologhi o corrispondenti i vertici di due angoli congruenti, per esempio i vertici A e A';
• omologhi o corrispondenti i lati opposti ad angoli congruenti, cioè i lati che hanno come
estremi due coppie di vertici omologhi, per esempio i lati AB e A'B';
• rapporto di similitudine il valore costante dei rapporti tra i lati omologhi, per esempio il
valore del rapporto
AB
.
A' B '
OSSERVAZIONE
Per stabilire, quindi, se due triangoli sono simili, bisogna confrontare i tre angoli (per “vedere” se
sono o meno ordinatamente congruenti) e i tre lati (per “vedere” se sono o meno in proporzione).
Queste “operazioni” risultano spesso complesse per cui, come nel caso della congruenza, ci
chiediamo se è possibile eseguire meno confronti.
La risposta, anche questa volta, è affermativa. Vedremo infatti che, per verificare la congruenza di
due triangoli, sarà sufficiente che valgano opportune condizioni, espresse dai cosiddetti criteri di
similitudine dei triangoli.
10.3 I criteri di similitudine dei triangoli
TEOREMA (Primo criterio di similitudine)
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti [Ne bastano due!
Perché?]
C
C'
Hp.: A ≅ A' ; B ≅ B' ; C ≅ C'
Th.: ABC ~ A'B'C'
o
A
.
o
B
A
.
B'
Dimostrazione
Basta dimostrare che valgono le proporzioni:
AB : A'B' = BC : B'C ' = AC : A'C'
26
Distinguiamo due casi:
AB ≅ A'B'
I.
In tal caso i due triangoli sarebbero congruenti (perché?) e quindi simili (i rapporti sarebbero tutti
uguali a 1).
AB ≅ A'B'
II.
In tal caso uno dei due segmenti è maggiore dell’altro; supponiamo che AB > A'B' (così come in
figura).
Sul lato AB prendiamo un punto D tale che AD ≅ A'B' (segniamo AD e A'B' con il simbolo
)e
tracciamo da D la parallela al segmento BC che incontra il lato AC nel punto E (fig. 5):
C
C'
E.
. .
o
D
A
.
o
B
A
B'
fig. 5
Applicando il teorema di Talete al triangolo ABC la , otteniamo seguente proporzione:
AB : AD = AC : AE
(*)
Osserviamo, poi, che:
ADE ≅ ABC
perché angoli corrispondenti formati dalle parallele DE e BC tagliate dalla
trasversale AB (“segnare ADE con il simbolo . ”).
[fig. 6]
C
C'
E.
o
A
. . .
D
o
B
A
.
B'
fig. 6
Consideriamo, ora, i triangoli ADE e A'B'C'; essi hanno:
27
AD ≅ A'B'
per costruzione;
ADE ≅ A'B'C'
per la proprietà transitiva della congruenza tra angoli (perché?) [in fig. 6
sono già rappresentati con lo stesso simbolo . ];
DAE ≅ B'A'C'
per ipotesi.
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli altri
elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
AD ≅ A'B' e AE ≅ A'C' .
Ne consegue che nella proporzione (*) possiamo sostituire al lato AD il lato A'B' e al lato AE il lato
A'C' ottenendo così la seguente proporzione:
AB : A'B' = AC : A'C'
PROVA TU , procedendo in modo analogo, a dimostrare che:
AB : A'B' = BC : B'C'
e, quindi, si ha la tesi.
C.V.D.
PROVA TU a dimostrare il teorema nel caso in cui AB < A'B'.
PROVA TU a dimostrare i seguenti corollari:
COROLLARIO 1
Due triangoli rettangoli con un angolo acuto congruente sono simili.
COROLLARIO 2
Due triangoli isosceli con l’angolo al vertice congruente sono simili.
COROLLARIO 3
Due triangoli isosceli con un angolo alla base congruente sono simili.
COROLLARIO 4
Due triangoli equilateri sono simili.
COROLLARIO 5
Una corda parallela ad un lato di un triangolo individua un triangolo simile a quello dato.
28
TEOREMA (Secondo criterio di similitudine)
Due triangoli sono simili se hanno un angolo congruente e i due lati che lo comprendono in
proporzione.
C
A ≅ A'
Hp.: AB : A'B' = AC : A'C'
C'
Th.: ABC ~ A'B'C'
o
o
A
B
A
B'
Dimostrazione
I.
AB ≅ A'B'
In tal caso i due triangoli sarebbero congruenti (perché?) e quindi simili (i rapporti sarebbero
entrambi uguali a 1).
II.
AB ≅ A'B'
In tal caso uno dei due segmenti è maggiore dell’altro; supponiamo che AB > A'B' (così come in
figura).
)e
C
C'
E.
o
A
.
D
o
B
A
B'
fig. 7
Per il COROLLARIO 5 si ha che i triangoli ABC e ADE risultano simili e, quindi, vale la seguente
proporzione:
AB : AD = AC : AE
Sostituendo al lato AD il lato A'B', si ha:
AB : A'B' = AC : AE
e, poiché per ipotesi:
AB : A'B' = AC : A'C',
29
si ha, per l’unicità della grandezza quarta proporzionale, che:
AE ≅ A'C'.
I triangoli A'B'C' e ADE risultano, pertanto, congruenti per il primo criterio di congruenza dei
triangoli.
In definitiva, si ha:
ABC ~ ADE e ADE ≅ A'B'C'
e quindi:
ABC ~ A'B'C' (perché?).
C.V.D.
PROVA TU a dimostrare il seguente:
COROLLARIO
Due triangoli rettangoli che hanno i cateti in proporzione sono simili.
TEOREMA (Terzo criterio di similitudine)
Due triangoli sono simili se hanno i lati in proporzione.
C
C'
A
B
A
B'
Hp.: AB : A'B' = BC : B'C' = AC : A'C'
Th.: ABC ~ A'B'C'
Dimostrazione
I.
AB ≅ A'B'
In tal caso i due triangoli sono congruenti (perché?) e quindi simili (i rapporti sarebbero entrambi
uguali a 1).
30
II.
AB ≅ A'B'
In tal caso uno dei due segmenti è maggiore dell’altro; supponiamo che sia AB > A'B' (così come in
figura).
)e
C
C'
E.
.
D
A
B
A
B'
fig. 8
Per il COROLLARIO 5 si ha che i triangoli ABC e ADE sono simili e, quindi, vale la seguente
proporzione:
AB : AD = BC : DE = AC : AE
Sostituendo al lato AD il lato A'B', si ha:
AB : A'B' = BC : DE = AC : AE
e, poiché per ipotesi:
AB : A'B' = BC : B'C' = AC : A'C'
si ha, per l’unicità della grandezza quarta proporzionale, che:
DE ≅ BC
e
AE ≅ A'C'.
I triangoli A'B'C' e ADE risultano, pertanto, congruenti per il terzo criterio di congruenza dei
triangoli.
In definitiva, si ha:
ABC ~ ADE e ADE ≅ A'B'C'
e quindi:
ABC ~ A'B'C' (perché?).
C.V.D.
Quanto fatto, ci permette di concludere che la definizione che è stata data per la similitudine dei
poligoni risulta “eccessiva” nel caso particolare dei triangoli.
Infatti, per i triangoli la congruenza degli angoli e la proporzionalità dei lati sono proprietà
dipendenti l’una dall’altra, nel senso che la prima implica la seconda e viceversa (tale relazione non
vale per gli altri poligoni).
31
10.4 Applicazioni della similitudine
TEOREMA
In due triangoli simili le altezze relative a due lati omologhi sono proporzionali ai lati stessi.
C
ABC ~ A'B'C'
C'
Hp.:
CH ⊥ AB
CH ⊥ A'B'
Th.: ABCH
: A'B'
= CH : C'H'
≅ C'H'
A
H
B
A'
H'
B'
[oppure: in due triangoli simili, due lati stanno fra loro come le rispettive altezze]
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli ACH e A'C'H'; essi hanno:
CAH ≅ C'A'H'
perché angoli omologhi dei triangoli ABC e ABC, simili per ipotesi;
AHC ≅ ACH
perché entrambi retti.
I due triangoli sono quindi simili per il COROLLARIO 1 del primo criterio di similitudine per cui i
lati omologhi sono in proporzione.
Si ha,cioè:
AC : A'C' = CH : C'H' .
Inoltre, per la similitudine dei triangoli dati, si ha:
AB : A'B' = AC : A'C' .
Dalle ultime due relazioni segue, per la proprietà transitiva dell’uguaglianza, che:
AB : A'B' = CH : C'H'
C.V.D.
COROLLARIO
In due triangoli simili, le altezze relative a due lati omologhi sono proporzionali ad una qualsiasi
coppia di lati corrispondenti. [PROVA TU]
32
TEOREMA
In due triangoli simili, le mediane relative a due lati omologhi sono proporzionali ad una
TEOREMA
In due triangoli simili, le bisettrici relative a due angoli omologhi sono proporzionali ad una
TEOREMA
I perimetri di due triangoli simili sono proporzionali a due qualsiasi lati omologhi.
C
Hp.: ABC ~ A'B'C'
C'
Th.: 2p : 2p' = AB : A'B'
A
B
A
B'
[dove 2p e 2p' indicano rispettivamente i perimetri dei triangoli ABC e A'B'C']
Dimostrazione
I triangoli ABC e A'B'C' sono simili per ipotesi e, quindi, i lati omologhi sono in proporzione;
risulta cioè:
AB : A'B' = BC : B'C' = AC : A'C' .
Applicando a questa catena di rapporti uguali la proprietà del comporre (in una catena di rapporti
uguali, la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti, come un antecedente qualsiasi
sta al proprio conseguente), si ha:
(AB + BC + AC) : (A'B' + B'C' + A'C') = AB : A'B' .
Poiché:
¾
AB + BC + AC = 2p
¾
A'B' + B'C' + A'C' = 2p'
si ha:
2p : 2p' = AB : A'B'
C.V.D.
33
TEOREMA
Le aree di due triangoli simili sono proporzionali ai quadrati di due lati omologhi.
C
C'
Hp.: ABC ~ A'B'C'
Th.: A : A' = a 2 : a ' 2
A
A
B
B'
[Abbiamo indicato con:
A e A' rispettivamente le aree dei triangoli ABC e A'B'C' ;
a e a' rispettivamente le lunghezze dei due lati omologhi AB e A'B']
Dimostrazione
Osserviamo innanzitutto che se quattro segmenti sono in proporzione (e, quindi, sono in
proporzione le loro misure), risultano in proporzione anche i quadrati costruiti su di essi.
Infatti, se a, a', b, b' sono le lunghezze di quattro segmenti in proporzione, si ha:
a b
= .
a ' b'
Elevando ambo i membri al quadrato, si ottiene:
a2 b2
=
a ' 2 b' 2
da cui risulta che sono in proporzione anche i quadrati costruiti sui quattro segmenti.
Indichiamo, ora, con h e h' le misure delle altezze relative rispettivamente ai lati a e a' (fig. 9):
C
C'
h
A
H
h'
a
B
A
H'
ah
2
e
fig. 9
B'
a'
Si ha:
A=
e, passando ai loro rapporti:
34
A' =
a ' h'
2
ah
A
2 = ah = a . h (*)
=
a
' h'
A'
a ' h' a ' h'
2
Poiché i due triangoli sono simili si ha che:
h
a
=
(le altezze relative a due lati omologhi sono proporzionali ai lati stessi),
h'
a'
per cui, sostituendo nella relazione (*), si ottiene:
A = a a
A'
a' a'
⇒
2
2
A = a ⎡ ⎛a⎞ ⎤
⎢= ⎜ ⎟ ⎥ ;
A'
a ' 2 ⎣⎢ ⎝ a' ⎠ ⎦⎥
in altre parole, il rapporto delle aree è uguale al quadrato del rapporto di similitudine.
C.V.D.
PROVA TU il seguente:
TEOREMA
Le aree di due triangoli simili sono proporzionali ai quadrati di due qualsiasi altezze
corrispondenti.
Abbiamo analizzato in precedenza i teoremi di Euclide e di Pitagora mediante l’equivalenza tra
figure piane (unità 8), adesso, “rivediamo” tali teoremi alla luce della teoria della similitudine.
1° TEOREMA DI EUCLIDE
In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del
cateto stesso sull’ipotenusa.
C
ACB ≅
Hp.:
A
H
B
Th.:
π
2
CH ⊥ AB
1) AB : AC = AC : AH
2) AB : BC = AC : BH
Dimostrazione
Osserviamo che i triangoli ABC e ACH, retti rispettivamente in C e in H, hanno l’angolo di vertice
A in comune; pertanto i due triangoli sono simili (COROLLARIO 1 del primo criterio di
similitudine).
35
Ne consegue che i lati omologhi sono in proporzione per cui, considerando lati opposti ad angoli
congruenti, si ha:
AB : AC = AC : AH
e con ciò resta dimostrato il punto 1).
PROVA TU a dimostrare il punto 2).
C.V.D.
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma
delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
C
ACB ≅
Hp.:
π
2
CH ⊥ AB
A
H
B
Th.:
AB2 = AC2 + BC2
Dimostrazione
Per il primo teorema di Euclide si hanno le seguenti uguaglianze:
AC2 = AB .AH
e
BC2 = AB .BH
Sommando membro a membro tali uguaglianze si ha:
AC2 + BC2 = AB . AH + AB . BH = AB . (AH + BH) = AB . AB = AB2
cioè:
AB2 = AC2 + BC2
C.V.D.
36
2° TEOREMA DI EUCLIDE
In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le
proiezioni dei cateti stessi sull’ipotenusa.
C
ACB ≅
A
H
π
Hp.:
2
CH ⊥ AB
Th.:
AH : CH = CH : BH
B
Dimostrazione
Osserviamo che:
ACH ~ ABC (perché?) ;
ABC ~ BCH (perché?) ,
quindi:
ACH ~ BCH per la proprietà transitiva della relazione di similitudine.
Pertanto risultano in proporzione i lati opposti ad angoli congruenti, in particolare:
AH : CH = CH : BH
C.V.D.
10.5 La similitudine dei poligoni
Abbiamo già detto che per dimostrare che due poligoni (che non sono triangoli) sono simili,
dobbiamo dimostrare che gli angoli sono congruenti e che i lati corrispondenti sono in proporzione.
Esistono, però, dei criteri di similitudine per i poligoni; precisamente:
Due poligoni di ugual numero di lati sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i
lati omologhi in proporzione, tranne:
1) tre angoli interni relativi a due lati consecutivi;
2) un lato e due angoli ad esso adiacenti;
3) due lati consecutivi e l’angolo tra essi compreso,
sui quali elementi non si fa alcuna ipotesi.
37
Nel caso, poi, di poligoni regolari, vale il seguente:
TEOREMA
Due poligoni regolari con ugual numero di lati sono simili.
PROVA TU a dimostrare il teorema.
Ora ci limitiamo ad enunciare alcuni teoremi:
TEOREMA
I perimetri di due poligoni simili stanno fra loro come due lati corrispondenti (e, quindi, il loro
rapporto è uguale al rapporto di similitudine k dei poligoni).
TEOREMA
Le diagonali corrispondenti di due poligoni simili stanno fra loro come i lati corrispondenti
(e, quindi, il loro rapporto è uguale al rapporto di similitudine k dei poligoni).
TEOREMA
I perimetri di due poligoni regolari con ugual numero di lati stanno fra loro come i rispettivi
raggi e come i rispettivi apotemi.
TEOREMA
Due poligoni simili stanno fra loro come i quadrati costruiti su due loro lati corrispondenti (e,
quindi, il rapporto tra le aree di due poligoni simili è uguale al quadrato del rapporto di similitudine
k dei poligoni).
TEOREMA
Le aree di due poligoni regolari con ugual numero di lati stanno fra loro come i quadrati dei
rispettivi raggi e come i quadrati dei rispettivi apotemi.
In genere, le dimostrazione dei teoremi su riportati si effettuano scomponendo i poligoni dati in
triangoli simili.
38
10.6 Applicazione della similitudine a corde, tangenti, secanti e bisettrici
TEOREMA DELLE DUE CORDE
Se per un punto interno ad una circonferenza si conducono due corde, esse si dividono in
modo che le due parti dell’una sono i medi e le due parti dell’altra sono gli estremi di una
proporzione.
[Costruisci la figura in base all’enunciato del teorema, aiutandoti anche con le relazioni espresse
dall’ipotesi e dalla tesi].
Γ circonferenza
Hp.:
AB e CD corde
AB ∩ CD = {P}
Th.: AP : CP = PD : PB
Dimostrazione
Dopo aver unito A con D e B con C, consideriamo i triangoli ADP e BCD; essi hanno:
APD ≅ CBP
perché angoli opposti al vertice;
DAP ≅ BCP
perché insistono sullo stesso arco AC (e/o ADP ≅ …… )
I triangoli sono, quindi, simili per il primo criterio di similitudine per cui vale la proporzione tra i
lati omologhi; cioè:
AP : CP = PD : PB
C.V.D.
PROVA TU a dimostrare il teorema congiungendo A con C e B con D.
TEOREMA DELLE DUE SECANTI
Se per un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti, una secante e la sua
parte esterna formano i medi, l’altra secante e la sua parte esterna gli estremi di una
proporzione.
γ circonferenza
P esterno a γ
Hp.:
s1, s2 rette per P
s1 ∩ γ = {A, B}
s2 ∩ γ = {C, D}
Th.:
PA : PC = PD : PB
39
Dimostrazione
I triangoli CPB e APD hanno l’angolo di vertice P in comune e gli angoli in B e in D congruenti
perché insistono sullo stesso arco.
I due triangoli sono simili per il primo criterio di similitudine; vale, quindi, la proporzione tra i lati
omologhi e cioè:
AP : PC = PD : PB
TEOREMA DELLA SECANTE E DELLA TANGENTE
Se per un punto esterno ad una circonferenza si conducono una secante ed una tangente, la
tangente è media proporzionale tra l’intera secante e la parte esterna di questa.
γ circonferenza di centro O e raggio r
P esterno a γ
Hp.:
s, t rette per P
s ∩ γ = {A, B}
t ∩ γ = {T}
Th.:
PA : PT = PT : PB
Dimostrazione
I triangoli PBT e PTA hanno gli angoli di vertice P in comune e gli angoli in T e in A congruenti
perché insistono sullo stesso arco BT; perciò i triangoli PBT e PTA sono simili per il primo criterio
di similitudine.
Vale, quindi, la proporzione tra i lati omologhi; cioè:
AP : PT = PT : PB
C.V.D.
Enunciamo adesso due teoremi di notevole importanza applicativa.
TEOREMA DELLA BISETTRICE DELL’ANGOLO INTERNO
La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali
agli altri due lati.
TEOREMA DELLA BISETTRICE DELL’ANGOLO ESTERNO
La bisettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra il prolungamento del lato opposto
in un punto, le cui distanze dagli estremi di quel lato sono direttamente proporzionali agli
altri due lati.
40
10.6 Sezione aurea
Vogliamo risolvere il seguente problema:
“dividere un segmento in due parti tali che una di esse sia media proporzionale fra l’intero
segmento e la parte rimanente”.
Sia AB il segmento dato (fig. 10):
.
.
A
B
Conduciamo dall’estremo B la perpendicolare ad AB e prendiamo su tale perpendicolare il punto O
tale che BO ≅
1
AB (fig. 11):
2
.O
.
.
A
B
fig. 11
Tracciamo la circonferenza di centro O e raggio OB (fig. 12):
.O
.
.
A
B
fig. 12
Conduciamo ora la retta AO ed indichiamo con C e D i suoi punti d’intersezione con la
circonferenza (fig. 13):
.D
.
O
C.
.
A
.
B
fig. 13
41
Consideriamo su AB il punto P tale che AP ≅ AC …..
continua tu [applica il teorema della tangente e della secante e, poi, la proprietà dello scomporre
….. AB : AP = AP : PB].
Si ha, quindi, la seguente definizione:
Si dice sezione o parte aurea di un segmento AB la parte AP di esso che è media proporzionale tra
l’intero segmento e la parte restante PB.
Si definisce rapporto aureo il rapporto tra un segmento AB e la sua sezione aurea.
Il rapporto aureo viene generalmente indicato con la lettera greca Φ ( “ fi ” ).
Vale il seguente teorema di cui diamo il solo enunciato
TEOREMA
Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è la parte aurea del raggio.
ESERCIZI
ESERCIZI SULLA SIMILITUDINE
Conoscenza e comprensione
1) Stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false:
a) in una qualsiasi similitudine l’orientamento dei punti è un invariante.
V
F
b) nella corrispondenza di Talete, il rapporto tra segmenti è un invariante.
V
F
c) due figure simili hanno la stessa forma.
V
F
d) la relazione di similitudine non è una relazione di equivalenza.
V
F
e) se due triangoli sono congruenti allora sono simili.
V
F
f) se due triangoli sono simili allora sono congruenti.
V
F
g) i lati corrispondenti di due triangoli simili sono proporzionali.
V
F
h) se due triangoli sono simili hanno area diversa.
i) se due triangoli sono simili uno di essi è equilatero e uno rettangolo.
V
F
V
F
V
F
k) tutti i triangoli equilateri sono simili tra loro.
V
F
l) tutti i triangoli isoscele sono simili tra loro.
V
F
m) tutti i quadrati sono simili tra loro.
V
F
n) tutti i rettangoli sono simili tra loro.
V
F
o) tutti gli esagoni regolari sono simili tra loro.
V
F
j) se due triangoli hanno ordinatamente gli angoli congruenti non sono
necessariamente simili.
42
p) tutti i trapezi isosceli sono simili tra loro.
V
F
q) se due poligoni sono simili e 1 è il rapporto di similitudine allora i due
V
F
poligoni sono congruenti.
r) poligoni equiestesi sono necessariamente simili.
V F
s) se due triangoli sono simili e k è il rapporto di similitudine, allora
V
F
V
F
è k anche il rapporto tra le loro altezze.
t) se due poligoni sono simili e k è il rapporto di similitudine, allora
è k anche il rapporto dei loro perimetri.
u) se due poligoni sono simili e k è il loro rapporto di similitudine, allora
V
F
v) due triangoli isosceli sono sempre simili.
V
F
w) non è vero che due triangoli equilateri sono sempre simili.
V
F
x) se due poligoni sono suddivisi in poligoni simili, allora sono simili.
V
F
y) se due figure piane sono equiscomponibili, allora sono simili.
V
F
z) se due figure piane sono simili, allora sono equiscomponibili .
V
F
a) in due triangoli simili gli angoli omologhi sono congruenti .
V
F
b) due triangoli simili hanno i lati omologhi congruenti.
V
F
c) figure piane simili hanno aree uguali.
V
F
d) non è detto che due poligoni regolari con lo stesso numero di lati
V
F
e) due trapezi rettangoli sono necessariamente simili.
V
F
f) due quadrati qualsiasi sono necessariamente simili.
V
F
g) due rettangoli non sono necessariamente simili.
V
F
h) le aree di due poligoni simili sono proporzionali al quadrato del
V
F
i) due figure simili hanno la stessa estensione.
V
F
j) due poligoni che hanno tutti gli angoli congruenti sono simili.
V
F
k) due triangoli che hanno due angoli congruenti sono simili.
V
F
l) due triangoli se hanno i lati omologhi congruenti sono simili.
V
F
m) due poligoni se hanno i lati omologhi in proporzione sono simili.
V
F
n) due triangoli se hanno gli angoli omologhi uguali sono simili.
V
F
o) due triangoli sono simili se hanno i lati omologhi in proporzione.
V
F
è k anche il rapporto tra le loro aree.
siano simili tra loro.
rapporto delle misure di due lati omologhi.
43
p) due triangoli se hanno un angolo congruente e due lati omologhi
V
F
q) due rombi che hanno un angolo congruente sono simili.
V
F
r) due trapezi isosceli che hanno due angoli congruenti non
V
F
V
F
t) la relazione di similitudine è una relazione di equivalenza.
V
F
u) se due triangoli sono congruenti allora non sono simili.
V
F
v) affinché due triangoli siano simili avere i lati in proporzione è una
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
in proporzione, allora sono simili .
sono necessariamente simili
s) due figure simili hanno i lati corrispondenti in proporzione e gli
angoli omologhi congruenti.
condizione necessaria, ma non sufficiente.
w) affinché due triangoli siano simili avere i lati in proporzione è una
condizione sufficiente, ma non necessaria.
x) per due quadrilateri avere i lati in proporzione è una condizione
necessaria affinché i due quadrilateri siano simili.
y) in due poligoni simili i lati omologhi sono in proporzione e gli
angoli omologhi sono congruenti.
z) se due triangoli hanno ordinatamente gli angoli congruenti sono
necessariamente simili.
3) Cosa si intende con l’espressione “figure simili”?
4) Cosa si intende con l’espressione lati “omologhi”?
5) Cosa si intende con l’espressione “angoli omologhi”?
6) Due figure simili hanno la stessa forma?
7) La relazione di similitudine è una relazione di equivalenza?
8) La lunghezza di un segmento è invariante in una similitudine? E l’ampiezza degli angoli?
9) La congruenza fra poligoni è una similitudine?
10) In due poligoni simili gli angoli omologhi sono uguali?
11) Qual è l’enunciato del primo criterio di similitudine tra triangoli?
12) Dimostra il primo criterio di similitudine tra triangoli.
44
13) Enuncia e dimostra il secondo criterio di similitudine fra triangoli.
14) Enuncia e dimostra il terzo criterio di similitudine fra triangoli.
15) Se due triangoli hanno ordinatamente gli angoli congruenti sono simili? Perchè?
16) Se due triangoli hanno due angoli congruenti sono simili? Perché?
17) Se due triangoli hanno i lati in proporzione sono simili? Perché?
18) Sapendo che i due triangoli nella seguente figura sono simili, completa le scritture seguenti:
C'
A
B
A'
C
B'
a)
i lati AB, A'B' sono lati ……………….. dei triangoli;
b)
i lati …… , …… e i lati ……, …… sono le altre due coppie di lati omologhi dei
triangoli;
c) le coppie degli angoli omologhi dei triangoli ABC e A'B'C' …… , ….… , ….… sono
rispettivamente …… e …… , …… e ……, …… e …… .
19) Riferendoti alla precedente figura, quale delle seguenti proposizioni è vera?
a) AB e A'B' sono lati omologhi, ma non lo sono la coppia di lati AC e A'C'.
b) I triangoli ABC e A'B'C' sono congruenti e quindi non sono simili.
c)
Gli angoli ABC e A'B'C' non sono angoli omologhi.
d) I triangoli ABC e A'B'C' sono congruenti e quindi sono simili.
e) Gli angoli ACB e A'B'C' sono angoli omologhi.
20) Hai già incontrato sicuramente il teorema della bisettrice, lo sapresti dimostrare utilizzando la
similitudine?
45
21) Considera la figura sottostante, sapendo che la retta r è parallela al lato AB, dimostra che i
due triangoli ABC e A'B'C' sono simili completando le scritture seguenti:
C
A'
A
B'
r
B
Poiché AB e A'B' sono segmenti paralleli allora per il teorema di ………………. la coppia di
angoli BAC e …… sono angoli ……………………….. formati dalle rette ……… e ………
tagliate dalla trasversale …… e quindi i due angoli sono ……………………………….. .
Analogamente gli angoli …… e A'B'C' sono ……………………………………………
perché alterni interni ………………………………………………………………………
Quindi per …………………………………………………………………………………
i due triangoli sono ……………………………
C.V.D.
22) Quando due poligoni regolari hanno un angolo congruente sono simili? Perché?
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
23) Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?
a) Due triangoli rettangoli sono simili se hanno un angolo congruente.
b) Due triangoli rettangoli sono sempre simili.
c) Se il rapporto tra le ipotenuse di due triangoli rettangoli è k, allora i due triangoli
rettangoli sono simili.
d) Solo se il rapporto tra i cateti di due triangoli rettangoli è k, allora i due triangoli
rettangoli sono simili.
e) Due triangoli rettangoli sono simili se hanno un angolo acuto congruente.
24) Se due triangoli sono simili e la loro costante di proporzionalità è k, allora è k anche i
rapporto tra le altezze relative a due qualsiasi lati omologhi? Perché?
rapporto tra i loro perimetri? Perché?
46
26) Se due poligoni regolari sono simili e la loro costante di proporzionalità è k, allora è k anche i
rapporto tra i loro apotemi? Perché?
rapporto tra le loro aree? Perché?
28) Completa:
Due triangoli si dicono simili se …………………………………………...............
………………………………………………………………………………………..
Il primo criterio di similitudine dice che due triangoli sono simili se ………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Il secondo criterio di similitudine dice che due triangoli sono simili se…………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
Il terzo criterio di similitudine dice che due triangoli sono simili se……………… .
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
Due poligoni si dicono simili se……………………………………………………..
……………………………………………………………………………………….
29) Che relazione c’è fra i perimetri di due triangoli simili? ………………………………………
………………………………………………………………………………………………….
E fra i perimetri di due poligoni simili?.......................................................................................
…………………………………………………………………………………………………..
30) Che relazione c’è fra le aree di due triangoli simili?....................................................................
…………………………………………………………………………………………………..
E fra le aree di due poligoni simili?..............................................................................................
.………………………………………………………………………………………………….
31) Se DE e D’E’ sono i lati corrispondenti di due poligoni simili e k è il loro rapporto, allora
quanto vale il rapporto tra i loro perimetri?..................................................................................
32) Se due poligoni sono simili e k e il rapporto dei loro perimetri, quanto vale il rapporto fra le
loro aree?......................................................................................................................................
47
Problemi su triangoli e poligoni
33) Siano i due triangoli rettangoli ABC e A’B’C’ tali che AB=2AC ed A’B’ =2A’C’. Dato il
triangolo ABC in figura, disegna sotto nello spazio che ti abbiamo lasciato il triangolo A'B'C'
e, motivando in modo esauriente, rispondi alla seguente domanda: i due triangoli rettangoli
sono simili?
C
A
B
SI NO
Criterio ………………….
perché hanno i cateti………………………………………e gli angoli compresi………....................
perché………………………………………………………………………………………………….
34) Due triangoli ABC e A'B'C' con i lati omologhi rispettivamente AB=3, A'B'=9, BC=8,
B'C'=24, AC=6 e A'C'=18 sono triangoli simili? Perché?
35) Due triangoli che hanno i lati rispettivamente lunghi 3m, 8m, 6m e 24m, 9m, 18m è vero che
non sempre sono simili? Perché?
36) Sotto quale ipotesi un triangolo isoscele può essere simile a un triangolo scaleno? Perché?
37) Due rombi che hanno un angolo interno congruente sono sempre simili? Dimostralo.
38) Disegna due triangoli ABC e A'B'C' tali che abbiano un angolo congruente e per i quali valga
la seguente proporzione AB : A'B' = BC : B'C'. Tali triangoli sono sempre simili? Perché?
39) Disegna il parallelogramma ABCD e prolunga il lato CD, dalla parte di C, di un segmento
CE, scelto a piacere. Congiungi il vertice A con l’estremo E ed indica con O il punto di
intersezione fra il segmento AE e il lato BC. Dimostra che i triangoli ABO e CEO sono simili.
40) Disegna il trapezio isoscele ABCD, traccia le sue diagonali AC e BD ed indica con O il loro
punto di intersezione. Dimostra che il trapezio viene diviso in quattro triangoli, due dei quali
sono congruenti tra loro e gli altri due simili.
48
41) Da un punto qualsiasi P dell’ipotenusa BC di un triangolo rettangolo ABC, manda le
perpendicolari ai cateti AB e AC ed indica rispettivamente con H e K i piedi di tali
perpendicolari. Motivando in modo esauriente, individua, nella figura che hai ottenuto, quanti
e quali triangoli sono simili tra loro.
42) Considera un triangolo ABC e conduci da un punto qualsiasi D del lato AC una retta r che
incontri il lato BC nel punto E tale che DEC ≅ CAB.
Dimostra che i triangoli ABC e DEC sono simili.
43) Dato il triangolo ABC, conduci da un punto D qualsiasi del lato AC la retta r parallela al lato
AB fino ad incontrare in E il lato BC.
Dimostra che il triangolo DEC che si viene a formare è simile al triangolo ABC dato.
44) Dato il triangolo qualsiasi ABC, conduci:

da un punto D del lato AC la retta r parallela al lato AB e sia r ∩ BC = {E};

da un punto F del lato AB la retta s parallela al lato AC e sia s ∩ AC = {G}.
Dimostra che si vengono a formare quattro triangoli simili tra loro.
45) Disegna un triangolo ABC acutangolo e conduci le altezze relative a due suoi lati. Dimostra
che si ottengono due triangoli simili.
46) Dimostra che in due triangoli simili le altezze relative a due lati omologhi sono direttamente
proporzionali:
a. alle rispettive basi
b. a due qualsiasi lati omologhi
c. ai perimetri dei due rispettivi triangoli
47) Dimostra che in due triangoli simili le bisettrici di due angoli omologhi sono direttamente
proporzionali:
a. a due qualsiasi lati omologhi
b. alle altezze relative a due lati omologhi
c. ai perimetri dei due rispettivi triangoli
49
48) Dimostra che in due triangoli simili le mediane relative a due lati omologhi sono direttamente
proporzionali:
a. a due qualsiasi lati omologhi
b. alle altezze relative a due lati omologhi
c. alle bisettrici relative a due angoli omologhi
d. ai perimetri dei due rispettivi triangoli
49) Disegna un angolo acuto e da due punti qualsiasi di un suo lato manda le perpendicolari
all’altro. Ottieni due triangoli simili? Disegna e motiva in modo esauriente la risposta.
50) Dati due triangoli simili, traccia le mediane relative a due lati omologhi. Quante coppie di
triangoli simili si vengono a formare? Per quale criterio di similitudine?
51) Dati due triangoli simili, traccia le altezze relative a due lati omologhi. Quante coppie di
52) Dati due triangoli simili, traccia le bisettrici relative a due angoli omologhi. Quante coppie di
53) Dato un triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa AB, conduci dal vertice dell’angolo retto una
retta r che interseca AB in un punto interno P. Dette A' e B' le proiezioni ortogonali di A e B
su r , individua, nella figura ottenuta, una coppia di triangoli simili, specificando il relativo
criterio di similitudine.
54) Disegna un angolo acuto AOB. Da un punto qualsiasi A di un suo lato manda la
perpendicolare all’altro e dal piede B della perpendicolare conduci la perpendicolare al primo
lato e vai avanti con la costruzione così, passo dopo passo. Trovi dei triangoli simili? Quanti
triangoli simili tra loro trovi dopo due passi?
Se imposti le proporzioni fra angoli omologhi, che proporzioni trovi?
55) Se in un triangolo ABC si traccia il segmento di estremi M e N, punti medi di due suoi lati,
allora la mediana al terzo lato interseca il segmento MN nel suo punto medio.
56) Dimostra che in un trapezio rettangolo, se le diagonali sono perpendicolari fra loro, vengono a
formarsi due triangoli simili.
57) Sia dato un trapezio rettangolo ABCD in cui la diagonale AC è perpendicolare al lato obliquo
BC. Dimostra che l’altezza del trapezio è media proporzionale tra la base minore e la
differenza delle basi.
50
58) Dimostra che, unendo tra loro i punti medi dei lati di un triangolo equilatero, si ottengono
cinque triangoli simili tra loro.
59) Prolunga i lati non paralleli di un trapezio fino al loro punto di incontro. Dimostra che si
ottengono due triangoli simili.
60) Dato un triangolo ABC, si conducano tre rette perpendicolari rispettivamente ai tre lati, allora
si viene a formare un triangolo simile al triangolo dato.
61) Sia ABCD un trapezio rettangolo di base maggiore AB e base minore CD. Congiungi il punto
medio M del lato AD, perpendicolare alle basi, con i vertici B e C. Dimostra che se l’angolo
CMB è retto, i due triangoli ABM e DCM sono simili.
62) Disegna il rettangolo ABCD e prolunga i lati AB e BC rispettivamente di un segmento AE e
CF, in modo tale che il segmento FE intersechi i lati AD e DC rispettivamente nei punti G ed
L. Dimostra che i triangoli EAD, GDL,LFC e EBF sono tutti simili tra loro.
63) Disegna il parallelogramma ABCD e prolunga di segmenti lunghi a tuo piacere, non
necessariamente congruenti, i lati AD e BC rispettivamente di un segmento AF e CE.
Congiungi F con E e conduci la diagonale DB. Utilizzando i criteri di similitudine tra
triangoli, individua nella figura tutti i triangoli simili.
64) Due poligoni regolari con lo stesso numero di lati sono simili.
65) Tracciando da due vertici corrispondenti di due poligoni simili tutte le possibili diagonali, i
poligoni vengono divisi nello stesso numero di triangoli rispettivamente simili tra loro.
Similitudine e i teoremi di Euclide
66) Utilizzando i criteri di similitudine fra triangoli enuncia e dimostra il primo Teorema di
Euclide.
67) Utilizzando i criteri di similitudine fra triangoli enuncia e dimostra il secondo Teorema di
Euclide
a) Ogni triangolo rettangolo è diviso dall’altezza relativa all’ipotenusa
V
F
V
F
in due triangoli simili.
b) Ogni triangolo rettangolo ABC è diviso dall’altezza relativa all’ipotenusa
in due triangoli simili entrambi al triangolo ABC stesso.
51
c) In ogni triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e V
F
la proiezione dell’altro cateto sull’ipotenusa stessa.
d) In ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media
V
F
proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa stessa.
e) In ogni triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e V
F
l’altezza relativa all’ipotenusa stessa.
f) In ogni triangolo rettangolo l’ipotenusa è media proporzionale tra le
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
proiezioni dei cateti sull’ipotenusa stessa.
g) In un triangolo rettangolo il prodotto delle lunghezze delle proiezioni dei
due cateti sull’ipotenusa è uguale al quadrato della misura dell’altezza
relativa all’ipotenusa.
h) In un triangolo rettangolo il prodotto tra la lunghezza dell’ipotenusa e
la proiezione di un cateto su di essa è uguale al quadrato della misura
del cateto stesso.
i) In un triangolo isoscele ciascun lato obliquo è medio proporzionale tra
l’altezza relativa alla base e il diametro della circonferenza circoscritta
al triangolo isoscele dato.
l) In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base è media proporzionale
tra la sua proiezione sul lato obliquo e il lato obliquo stesso
69) Rispondi alle seguenti domande motivando in modo esauriente:
a) Perché un triangolo rettangolo è suddiviso, dall’altezza relativa all’ipotenusa, in due
triangoli rettangoli simili al triangolo dato?
b) Perché in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione
sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa?
c) Perché in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra
le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa stessa?
d) Perché la distanza che, un punto qualsiasi di una circonferenza, ha da un qualsiasi diametro è
medio proporzionale tra i due segmenti in cui il diametro considerato rimane diviso?
e) Perché in un triangolo rettangolo il prodotto tra la lunghezza dell’ipotenusa e la proiezione
di un cateto su di essa è uguale al quadrato della misura del cateto stesso?
f) Perché in un triangolo isoscele ciascun lato obliquo è medio proporzionale tra l’altezza
relativa alla base e il diametro della circonferenza circoscritta al triangolo isoscele dato?
52
Problemi
70) Dimostra che ogni corda di un cerchio è media proporzionale fra il diametro condotto da un
suo estremo e la sua proiezione sul diametro stesso.
71) Il rapporto tra due lati di un triangolo è uguale al rapporto tra le proiezioni che l’altezza
relativa al terzo lato ha sui lati stessi.
72) Dimostra che se da un punto di una circonferenza conduci la perpendicolare ad un diametro
qualsiasi della circonferenza, questo rimane diviso in due parti tali che la perpendicolare è
media proporzionale tra queste due parti.
73) Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB e CH ne sia l’altezza. Prolunga AB di un
segmento BD in modo che CDB = CBD - 90°.
Dimostra che l’altezza è media proporzionale tra i segmenti AH e HD.
74) Disegna una circonferenza di diametro AB. Dimostra che una qualsiasi corda ad esso
perpendicolare lo divide in due parti tali che il quadruplo del loro prodotto è uguale al
quadrato della corda stessa.
Similitudine e circonferenza
Completa le seguenti frasi:
75) Il Teorema delle corde dice che: in una circonferenza due ……………incidenti si tagliano in
modo che le parti dell’una formano i ………….e le parti dell’altra formano gli ……………di
una ……………………………..
76) Il Teorema delle due secanti dice che: se da un punto esterno ad una circonferenza si
conducono due ……….......alla circonferenza stessa, allora un segmento secante e la sua parte
esterna sono i ………… e l’altro segmento secante e la sua parte…………….formano
gli……………………..di una proporzione.
77) Il Teorema della secante e della tangente dice che: se da un punto esterno ad una
circonferenza si conducono una secante e una tangente alla ………...................stessa, allora il
segmento tangente è medio…………………………. tra il segmento …………...………...e la
sua parte esterna.
53
a)In una circonferenza due corde incidenti si tagliano in parti uguali.
V
F
b)In una circonferenza due corde si tagliano in modo che le parti dell’una
V
F
c)In una circonferenza due corde incidenti danno origine a due triangoli simili.
V
F
d)Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti ad
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
formano i medi e le parti dell’altra formano gli estremi di una proporzione.
essa allora un segmento secante e la sua parte esterna sono i medi e l’altro
segmento secante e la sua parte esterna formano gli estremi di una proporzione.
e)Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti ad
essa allora i segmenti secanti sono i medi e la loro parte esterna formano
gli estremi di una proporzione.
f)Se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano una tangente e una
secante, il segmento secante è medio proporzionale tra la sua parte esterna e
il segmento tangente.
g)Se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano una tangente e una
secante, la parte esterna della secante è media proporzionale tra il segmento
secante e il segmento tangente.
h) Se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano una tangente e una
secante, il segmento tangente è medio proporzionale tra il segmento secante e
la sua parte esterna.
i)Il teorema della secante e della tangente possiamo considerarlo come un caso
particolare del teorema delle due secanti.
79) Enuncia e dimostra il Teorema delle due corde.
80) Enuncia e dimostra il Teorema delle due secanti.
81) Enuncia e dimostra il Teorema della tangente e della secante.
54
Problemi
82) Disegna il triangolo ABC e la circonferenza circoscritta ad esso, prolunga la bisettrice
dell’angolo in C, CD, fino ad incontrare in E la circonferenza. Dimostra che i triangoli ACD,
EBD, ECB sono simili.
83) Disegna il quadrilatero ABCD inscritto nella semicirconferenza di centro O. Dimostra che i
triangoli AOD, COD, BCO sono simili tra loro.
84) Il raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo è dato dal rapporto tra il prodotto delle
misure di due lati del triangolo e il doppio dell’altezza relativa al terzo lato.
85) Il raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo è dato dal rapporto tra il prodotto delle
misure dei lati del triangolo e il quadruplo della sua area.
86) Disegna una circonferenza di centro O, conduci ad essa due tangenti a e b parallele tra loro e
conduci la retta tangente t alla circonferenza nel punto T in modo tale che essa intersechi
rispettivamente in A e B le rette a e b. Dimostra che il segmento OT è medio proporzionale
tra i segmenti AT e BT.
87) Siano date due circonferenze γ1 e γ2 secanti nei punti A e B. Da un punto P, esterno alle
circonferenze e appartenente alla retta AB, conduci la tangente ad una circonferenza nel punto
T e la tangente s all’altra circonferenza nel punto S. Dimostra che PT ≅ PS.
88) Traccia due circonferenze tangenti nel punto T e da un punto P, esterno alle circonferenze e
appartenente alla retta tangente in T alla circonferenza stessa, conduci la retta a secante una
circonferenza nei punti A e B e la retta b secante l’altra circonferenza nei punti C e D.
Dimostra che il prodotto del segmento secante e la sua parte esterna della retta a è uguale al
prodotto del segmento secante e la sua parte esterna della retta b.
Problemi sulla similitudine da risolvere algebricamente
89) Le dimensioni di un rettangolo misurano 30 cm e 40 cm. Calcola la misura della diagonale di
un rettangolo simile, la cui dimensione minore misura 15 cm.
90) Due triangoli isoscele sono simili e il rapporto tra le loro aree è
9
, sapendo che la base del
25
primo triangolo è lunga 10 cm, quanto misura la base del secondo triangolo?
91) Per disegnare su un foglio A4 un campo da calcio lungo 97 m e largo 50 m, quale scala ti
conviene usare perché il modellino del campo abbia dimensioni massime?
55
92) I triangoli ABC e A'B'C' sono tra loro simili; se il rapporto di similitudine è
3
e l’area del
5
triangolo ABC è 15 , qual è l’area del triangolo A'B'C'? Qual è il rapporto dei perimetri dei
due triangoli?
93) Quanto è alto un campanile, se nel momento in cui la sua ombra è lunga 10 m il mio
ombrello, lungo 80 cm, in posizione verticale rispetto al suolo proietta sul suolo un’ombra
lunga 1,2 m?
[7,5 m]
94) Nel modellino 1:50 della tua camera i vetri della finestra hanno dimensioni rispettivamente
4cm e 2,10 cm. Quali sono le dimensioni dei vetri che devi comprare per la tua camera reale?
[2 m ; 1,05 m]
95) Il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo ABC è 5 cm. Determina il raggio della
circonferenza circoscritta al triangolo A'B'C', simile al triangolo ABC, sapendo che il rapporto
tra i loro perimetri è
3
(approssima, per eccesso, il risultato alla 2^ cifra decimale). [2,15 cm]
7
96) Determina l’altezza relativa all’ipotenusa, il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo ABC
sapendo che un cateto misura 9 cm e che lo stesso cateto è
3
dell’ipotenusa.
5
[7,2cm; 36cm; 54 cm2]
97) In un parallelogramma ABCD è AB=24 cm e BC=12 cm. Conduci dal vertice A una retta r
che incontri in F e in E rispettivamente il lato CD e il prolungamento del lato BC. Sapendo
che la lunghezza del segmento FC è 8 cm, determina la misura del segmento CE.
[6cm]
98) In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa divide l’ipotenusa in due parti, una
lunga 63 cm, l’altra lunga 175 cm. Determina l’area del triangolo.
[12495 cm2]
99) Sia ABCD un trapezio isoscele con la base maggiore lunga 75 cm, la base minore lunga 55
cm e i lati obliqui lunghi 30 cm. Prolunga i lati obliqui fino al loro punto di intersezione E.
Calcola l’area del triangolo ABE.
[3225 cm2 ]
100) Determina perimetro e area di un triangolo rettangolo ABC, sapendo che un cateto misura
60 cm e la sua proiezione sull’ipotenusa 36 cm.
[240 cm; 2400 cm2]
101) Sia dato un triangolo ABC, di base AB=20 cm e altezza CH= 16 cm . Traccia da un punto P
del lato AC la parallela alla base fino ad incontrare in Q il lato BC, in modo che l’area del
triangolo PQC sia 57,6 cm 2 . Determina la lunghezza della corda PQ.
56
[12 m ]
102) Il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo ABC misura 7 cm. Determina il raggio
della circonferenza inscritta nel triangolo A'B'C', simile al triangolo ABC, sapendo che il
perimetro del triangolo A'B'C' è il quadruplo di quello del triangolo ABC.
[28 cm]
103) Dato un punto P esterno ad una circonferenza di centro O, conduci la secante PA, la cui
parte esterna PB misura 12 cm. La retta passante per P ed O interseca la circonferenza nei
punti C e D, con PC > PD. Sapendo che il diametro della circonferenza misura 15 cm e che
AB ≅ PD, calcola la misura della corda AB.
[6 cm]
104) Per un punto P, esterno ad una circonferenza di centro O, conduci la tangente PA e la
secante PC. Sapendo che PC=18 cm e che la parte interna della secante è uguale alla sua parte
esterna, calcola la lunghezza del segmento di tangenza PA.
[ 6 2 cm]
105) Disegna una circonferenza di centro O e raggio 10 m, conduci da un punto P, esterno alla
circonferenza, la retta tangente in A alla circonferenza e la retta secante PO. Sapendo che il
segmento di tangenza misura 24 m, calcola la parte esterna della secante.
[28,8 m]
106) Due corde AB e CD di una circonferenza si intersecano nel punto E; sapendo che AE=10 cm
e che EB=25 cm, trova la misura delle due parti in cui la corda CD è divisa dal punto E,
sapendo che una è
1
dell’altra.
10
[5 cm, 50 cm]
107) Nel rettangolo ABCD (vertici indicati in senso antiorario), E e F sono punti medi dei lati
AD
maggiori AD e BC rispettivamente. Sapendo che ABEF è simile ad ABCD, quanto vale
?
AB
7
3
A.
B.
C. 3
D. 2 2
E. Le precedenti risposte sono tutte sbagliate.
5
2
[Olimpiadi della Matematica, Giochi di Archimede 1996]
57
INVALSI esercizi sulla similitudine
1. Che cosa succede alla lunghezza della circonferenza e all'area del cerchio se si raddoppia il
raggio?
A. La prima rimane uguale e la seconda raddoppia.
B. Sia la prima che la seconda raddoppiano.
C. La prima raddoppia e la seconda quadruplica.
D. Sia la prima che la seconda quadruplicano.
2. Che cosa succede all'area di un quadrato se si raddoppia il suo lato?
A. Raddoppia.
B. Rimane uguale.
C. Quadruplica.
D. Dipende dalla lunghezza del lato.
3. Due trapezi isosceli sono simili. Quello più piccolo ha area 400 cm2 e base 30 cm, mentre quello
grande ha base 60 cm; qual è l'area del trapezio più grande?
A. 800 cm2
B. 1200 cm2
C. 1600 cm2
D. 2000 cm2
4. Su una carta stradale due località sono distanti 3 cm . Sapendo che la scala della carta è di
1:1500000, a quale distanza si trovano le due località?
A. 4,5 km
B. 15 km
C. 45 km
D. 450 km
5. Per pavimentare una stanza quadrata occorrono 8 scatole di piastrelle. Quante scatole occorrono
per pavimentare una stanza quadrata con il lato doppio della precedente?
A. 16
B. 32
C. 64
D. Non si può rispondere se non si conosce il lato della stanza.
58
6. Due poligoni simili hanno il rapporto fra i lati di 2/5. Il rapporto fra le loro aree è allora di
A. 2/5
B. 4/25
C. 5/2
D. 25/4
7. Dato il triangolo ABC, vengono presi due punti D ed E sui lati rispettivamente AD e AE in modo
tale che BC sia parallelo a DE. Se AB = 6 cm, BD = 3 cm e AC = 7 cm, la misura di CE è
A. 2,5
B. 3
C. 3,5
D. 2
8. Due triangoli equilateri sono fra loro...
A. sempre simili.
B. simili solo se i lati dei triangoli sono uguali.
C. mai simili.
D. simili solo se i lati dei triangoli sono a due a due paralleli.
9. Due triangoli scaleni sono simili. Il primo ha base 20 cm e altezza 16 cm; il secondo ha base 25
cm e altezza x. Con quale proporzione puoi trovare x?
A. 20 : 25 = 16 : x
B. 20 : 25 = x : 16
C. 25 : x = 16 : 20
D. 25 : 20 = 16 : x
10. Due triangoli isosceli ABC e A'B'C', con basi AB e A'B', sono simili. Sapendo che A = 72°,
quanto misura B' ?
A. 72°.
B. 36°.
C. 58°.
D. 39°.
59