Equazione di Navier-Stokes

For the English version see below, after the Italian one.
EQUAZIONE DI NAVIER-STOKES:
La regina della fluidodinamica.
Una dimostrazione semplice, ma completa.
di Leonardo Rubino
Settembre 2010 – Rev. 00
Equazione di Navier-Stokes nel caso di fluido incomprimibile, cioè con ρ = const e
r s
∇⋅v = 0:
(questa situazione abbraccia la maggioranza dei casi)
r
r r r
r
r
∂v r r 1 r 2
r
ρ [ + Ω × v + ∇v ] = −∇p − ρ∇φ + η∇ 2v
con
Ω = ∇ × v (vorticità), η
∂t
2
r
φ (potenziale gravitazionale), ρ (densità), v (velocità), t (tempo).
(viscosità),
Dimostrazione:
-partiamo dall’Equazione di Continuità
r
∂ρ
r
+ ∇ ( ρ v ) = 0 , di cui diamo prova:
∂t
r r
kg s
ρv = J è la densità di corrente di massa [ 2 ] (dimensionalmente ovvia)
m
M = ∫ ρ ⋅ dV (ritenuta ovvia)
V
r
dS
r
l
r
∂
∂
∂ρ
r
dV
Si ha:
M = ∫ ρ ⋅ dV = ∫
⋅ dV = − ∫ ρv ⋅ dS , infatti, a livello dimensionale:
V
V
S
∂t
∂t
∂t r
r r
r ∂l
r r
∂
dV = l ⋅ dS e quindi
dV = dS
= dS ⋅ v ed il segno – si ha in caso di massa che “esce”.
∂t
∂t
r
r
∂ρ
r
r
dV
=
−
(
ρ
v
)
⋅
d
S
=
−
∇
∫V ∂t
∫S
∫V ⋅ ( ρv ) ⋅ dV , avendo usato il Teorema della Divergenza
nell’ultima eguaglianza.
Dunque:
Quindi:
∂ρ
∫ [ ∂t
V
r
r
+ ∇ ⋅ ( ρv )]dV = 0 , da cui appunto l’Eq. Di Continuità.
r
r
∂v r r r
∇p
-e partiamo anche dall’Equazione di Eulero ( + (v ⋅ ∇)v = −
), di cui anche diamo
∂t
ρ
prova:
(p è la pressione; inoltre, la stessa è un primo abbozzo di Equazione di Navier-Stokes,
dove però non si tiene ancora conto del campo gravitazionale
r
re delle forze viscose)
La forza agente su un volumetto di fluido dV è df = − p ⋅ dS , con il segno -, in quanto
consideriamo
verso il volumetto. Inoltre:
r
r una forza
r
f = − ∫ p ⋅ dS = −∫ ∇p ⋅ dV , dopo aver usato un duale del Teorema della Divergenza
S
V
(formula di Green), per passare dall’integrale di superficie a quello di volume.
r
r
r
∂f
∂
Abbiamo poi che:
[− ∫ ∇p ⋅ dV ] = −∇p , ma è contemporaneamente vero che, a
=
V
∂V ∂V
livello dimensionale:
r
r
r
r
∂f
d
dv
dM dv
dv
=
[M
]=
=ρ
= e dalle due si ha:
∂V dV
dt
dV dt
dt
r
r
dv
ρ
= −∇p .
(1.1)
dt
r
r
d d d
r dx dy dz
Ricordando ora che: dl = ( dx, dy , dz ) , ∇ = ( , , ) e v = ( , , ) , possiamo
dt dt dt
dx dy dz
banalmente scrivere che:
r
v ⋅ ...
r
r
r
r
r
r
r
dv ∂v ∂v dx ∂v dy ∂v dz ∂v r r r dv
=
+
+
+
=
+ (v ⋅ ∇) v =
e per la (1.1) si ha infine che:
dt
dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t
r r
...∇)v
r
r
r r r
∇p
∂v
+ (v ⋅ ∇ )v = −
e cioè l’Eq. Di Eulero appunto.
ρ
∂t
Ora, i termini di questa Equazione di Eulero hanno proprio le dimensioni di
r
un’accelerazione a ; dunque, volendo tener conto anche del campo gravitazionale, a
r
secondo membro si può sommare algebricamente l’accelerazione di gravità g , con il
segno meno, poiché la stessa è rivolta verso il basso.
r r
r
Sappiamo però dalla gravitazione che il gradiente del potenziale φ è proprio g ( ∇φ = g ),
da cui, dunque:
r
r
∂v r r r
∇p r
+ (v ⋅ ∇ )v = −
− ∇φ . Valendo ora la seguente identità vettoriale:
∂t
ρ
r r r r r r 1r r r
(v ⋅ ∇)v = (∇ × v ) × v + ∇(v ⋅ v ) , e ricordando l’espressione per la vorticità di pagina 1
2
r r r
( Ω = ∇ × v ), si ha:
r
r
∂v r r 1 r 2
∇p r
+ Ω × v + ∇v = −
− ∇φ e sin qui abbiamo dunque tenuto conto anche del campo
2
∂t
ρ
gravitazionale.
Nel caso più generale in cui si abbia a che fare con un fluido viscoso, andrà aggiunta una
componente di forza viscosa:
r
r
r
∂v r r 1 r 2
∇p r
f visc
+ Ω × v + ∇v = −
− ∇φ +
∂t
2
ρ
ρ
(1.2)
r
dove la f visc compare divisa per la densità per una questione di compatibilità dimensionale
con gli altri termini nell’equazione.
La (1.2) è
r già l’Equazione di Navier-Stokes, dove però ci manca ancora di valutare la forza
viscosa f visc .
r
∂ρ
=0
Noi valuteremo f visc nel caso di fluidi incomprimibili, cioè fluidi per cui ρ = const , >>
∂t
r s
r s
da cui, per l’Equazione di Continuità, ∇( ρv ) = 0 , >> ∇ ⋅ v = 0 .
--------------------------------r
Calcolo di f visc :
VISCOSITA’:
r
F
S
r
v
superficie libera del fluido
d
fondo
Fig. 1.
r
r
F
v
Sappiamo dalla fisica generale che:
=η ,
S
d
(1.3)
e cioè, per trascinare la lastra di area di base
r S sul fluido, a distanza d dal fondo, e per
r
trascinarla con velocità v , serve una forza F .
r
Scriviamo ora la (1.3) in forma differenziale, per sforzi τ e per componenti: (x)
F
∂u
r
τ x = x =η
, avendo posto v = (u , v, w) , e dunque:
S
∂y
∂u
Fx = η ⋅ S
(1.4)
∂y
Applichiamo ora la (1.4) ad un volumetto di fluido dV di Fig. 2:
y
z
“y”=dy
Zona UP
w
y
2
∂u
(in _ y = dy )
∂y
d=dy
v
4
∂u
(in _ y = 0)
∂y
“y”=0
3
u
x
1
5
x
Zona DOWN
6
Fig. 2: Volumetto di fluido dV.
z
Fig. 3: Asse y, facce 2 e 5.
In Fig. 3 abbiamo riportato quanto esposto in Fig. 1, ma in un contesto tridimensionale.
Facce 2 e 5:
Con riferimento dunque alla Fig. 3, valutiamo le forze viscose (dovute alle variazioni di u)
sulle facce 2 e 5 del volumetto, quelle cioè che si incontrano muovendosi lungo l’asse y,
applicando la (1.4):
Sforzo di taglio viscoso sulla faccia 2 = +η[
∂u
(in _ y = dy )]dxdz
∂y
r
v
della _(1 .3)
d
S _ della _(1.3)
Questa forza agente sulla faccia 2 è positiva (+) perché il fluido che è al disopra del punto
in cui la stessa viene calcolata (zona UP) ha una velocità maggiore (frecce orizzontali più
lunghe) che trascina S lungo la x positiva.
Sulla faccia 5, invece, si avrà il segno (-), in quanto il fluido al disotto di tale S ha velocità
più bassa (down) e vuole essere trascinato, determinando una resistenza, cioè una forza
negativa:
Sforzo di taglio viscoso sulla faccia 5 = −η[
∂u
(in _ y = 0)]dxdz
∂y
La risultante lungo x è data dalla differenza delle entità delle due, o meglio, dalla somma
algebrica:
∂u
∂u
[ ( y = dy ) − ( y = 0)]
∂u
∂u
∂ 2u
∂y
∂y
Fx ( y ) = η[ ( y = dy ) − ( y = 0)]dxdz = η
dxdydz = η 2 dV , dopo aver
∂y
∂y
dy
∂y
moltiplicato numeratore e denominatore per dy. Dunque:
Fx ( y ) = η
∂ 2u
dV
∂y 2
(forza viscosa su x dovuta alla variazione di u lungo y)
(1.5)
y
Facce 3 e 6:
“z”=0
“z”=dz
x
∂u
(in _ z = 0)
∂z
z
∂u
(in _ z = dz)
∂z
Fig. 4: Asse z, facce 3 e 6.
In analogia con il caso precedente, si ha come risultato:
Fx ( z ) = η
∂ 2u
dV
∂z 2
(forza viscosa su x dovuta alla variazione di u lungo z)
(1.6)
Facce 1 e 4:
Per quanto riguarda il caso Fx ( x ) , e cioè della forza viscosa su x dovuta alla variazione di u
(che è una componente su x) lungo x stessa, non si parlerà di sforzo di taglio, in quanto,
in questo caso, la forza in questione è sempre lungo x, ma agisce su S=dydz, che è
ortogonale ad x; si tratta dunque di una forza NORMALE, di trazione/compressione, e si fa
riferimento alla Fig. 5 qui sotto:
y
espansione
∂u
(in _ x = dx)
∂x
∂u
(in _ x = 0)
∂x
compressione
x
x=dx
z
x=0
Fig. 5: Asse x, facce 1 e 4.
In ogni caso, nulla cambia analiticamente, rispetto ai casi precedenti, e si ha:
Fx ( x ) = η
∂ 2u
dV
∂x 2
(forza viscosa su x dovuta alla variazione di u lungo x stessa)
(1.7)
Ora che abbiamo le tre componenti delle forze viscose agenti lungo x (e cioè quelle dovute
r
alla variazione della componente u (comp. x) della velocità v , rispetto ad y, z ed x stessa),
sommiamole ed otteniamo Fx − visc :
Fx − visc
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
= η 2 dV + η 2 dV + η 2 dV = η ⋅ dV ( 2 + 2 + 2 ) = η ⋅ dV ⋅ ∇ 2u , che riscriviamo:
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
∂x
Fx − visc = η ⋅ dV ⋅ ∇ 2 u
(1.8)
Effettuando ora gli stessi ragionamenti per una valutazione di Fy − visc e di Fz − visc , si ottiene,
r
ovviamente ( v = (u , v, w) ):
Fy −visc = η ⋅ dV ⋅ ∇ 2 v
(1.9)
Fz − visc = η ⋅ dV ⋅ ∇ 2 w
(1.10)
da cui, finalmente, componendo le (1.8), (1.9), e (1.10), si ha:
r
r
Fvisc = Fx − visc xˆ + Fy − visc yˆ + Fz − visc zˆ = η ⋅ dV [ xˆ∇ 2u + yˆ ∇ 2v + zˆ∇ 2 w] = η ⋅ dV ⋅ ∇ 2v che riscriviamo:
r
r
Fvisc =η ⋅ dV ⋅ ∇ 2v
(1.11)
r
Ora, questa Fvisc va usata nella (1.2), dopo averla divisa per ρ e per dV (cioè per
M = ρ ⋅ dV ), in quanto i membri della (1.2) hanno appunto le dimensioni di una forza
fratto una massa, dunque:
r
r
∂v r r 1 r 2
∇p r
η
r
+ Ω × v + ∇v = −
− ∇φ + ⋅ ∇ 2 v
∂t
2
ρ
ρ
(1.12)
e cioè, finalmente, la Equazione di Navier-Stokes, che riscriviamo:
r
r r
r
∂v
r 1 2
∇p r
η
r
+ Ω × v + ∇v = −
− ∇φ + ⋅ ∇ 2 v
∂t
2
ρ
ρ
r
r
F ∂v ∂
=
+ ........
M ∂t ∂
Accelerazione generale
Forze viscose
Forze di pressione
Forze di gravità
Appendici:
Appendice 1) Caso molto più raro di fluidi comprimibili:
r s
∂ρ
≠ 0 , >> ∇( ρv ) ≠ 0 , e alla (1.12) va aggiunto il seguente
per essi, cioè, ρ ≠ const , >>
∂t
r
r
(η + η ' )
r
∇(∇ ⋅ v ) , ma la (1.12) abbraccia già una grandissima quantità di
termine: +
ρ
situazioni…
Appendice 2) Teorema della Divergenza (dimostrazione pratica):
y
dz
C
G
∫
F
B
S
r
E
r r
r
E ⋅ dS = ∫ divE ⋅ dV
V
dτ
dy
H
D
0
A
dx
E
x
Fig. 6: Per il Teorema della Divergenza.
z
r
Denominiamo φ il flusso del vettore E ; si ha:
r r
dφABCD = E ⋅ dS = − Ex ( x, y, z )dydz
( y significa y medio)
dφEFGH = Ex ( x + dx, y , z )dydz , ma si ha anche che, ovviamente (come sviluppo):
∂E ( x, y , z )
Ex ( x + dx, y , z ) = Ex ( x, y , z ) + x
dx da cui:
∂x
∂E ( x, y, z )
dφEFGH = Ex ( x, y, z )dydz + x
dxdydz e dunque:
∂x
∂E
dφ ABCD + dφ EFGH = x dV . Si agisce poi con analogia sugli altri assi y e z:
∂x
∂E
dφ AEHD + dφBCGF = y dV
∂y
∂E
dφ ABFE + dφCGHD = z dV
∂z
e si sommano tali flussi trovati, ottenendo, in totale:
r
r r
∂Ex ∂E y ∂Ez
)dV = (div ⋅ E )dV = (∇ ⋅ E )dV e dunque:
+
+
∂y
∂z
∂x
r
r r
r
r r
φS ( E ) = ∫ dφ = ∫ E ⋅ dS = ∫ divE ⋅ dV = ∫ (∇ ⋅ E ) ⋅ dV e cioè l’asserto.
dφ = (
φ
S
V
V
Appendice 3) Teorema del Rotore o di Stokes (dimostrazione pratica-by Rubino!):
z
y
dz
r
B
r
r
r
r
r
r
r
∫ B ⋅ dl = ∫ rotB ⋅ dS = ∫ ∇ × B ⋅ dS
l
S
S
dy
-dx
-dy
dx
r
Cammino dl
-dz
0
x
Fig. 7: Per il Teorema del Rotore (dim. by Rubino).
r r
Valutiamo B ⋅ dl :
Su dz B vale Bz; su dx B vale Bx; su dy B vale By;
∂Bz
∂B
dx − z dy , per lo sviluppo di Taylor in 3D ed anche per il fatto che
∂x
∂y
per arrivare dal centro di dz e quello di –dz si sale su x, si scende su y e nulla lungo z
stesso.
∂B
∂B
∂B
∂B
Analogamente, su -dx B vale B x − x dz + x dy e su -dy B vale B y − y dx + y dz .
∂x
∂z
∂z
∂y
Sommando tutti i contributi:
su -dz B vale B z +
r r
∂B
∂B
∂B
∂B
B ⋅ dl = Bz dz − ( B z + z dx − z dy )dz + Bx dx − ( B x − x dz + x dy )dx + By dy −
∂y
∂z
∂y
∂x
∂B
∂B
∂B ∂B
∂B ∂B
∂B ∂B
+ ( B y − y dx + y dz )dy = ( z − y )dydz + ( x − z )dxdz + ( y − x )dxdy =
∂x
∂z
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
r
r v r r r
dove qui dS ha componenti [ xˆ (dydz ) , yˆ (dxdz ) , zˆ (dxdy ) ]
= rotB ⋅ dS = ∇ × B ⋅ dS
e cioè l’asserto:
xˆ
r r r ∂
rotB = ∇ × B =
∂x
Bx
r
r
r
r
v
r
r
∫ B ⋅ dl = ∫ rotB ⋅ dS = ∫ ∇ × B ⋅ dS , dopo aver ricordato che:
l
S
yˆ
∂
∂y
By
zˆ
∂
.
∂z
Bz
S
Appendice 4) L’Equazione di Bernoulli:
1 2
ρv + p + ρgz = 0
2
r
r
∂v
Se ci troviamo in uno stato stazionario, dove v ≠ f (t ) >>
= 0 , poi ρ = const , e dove
∂t
non si hanno forze viscose, la Equazione di Navier-Stokes si riduce sicuramente a quella di
Eulero (completata però della componente gravitazionale):
r
r
r
r r r
∂v
∂v
∇p r
+ ( v ⋅ ∇)v = −
− g , e, anzi, visto che, come dicevamo,
= 0 , si ha:
∂t
ρ
∂t
r
r r r
∇p r
(v ⋅ ∇) v = −
−g .
ρ
(1.13)
Se ora consideriamo la divergenza e il gradiente in termini di derivata direzionale, in
r
r v
dv
dp
direzione dl , nella fattispecie, allora si ha, nella (1.13):
in luogo di ∇ ⋅ v , e
in
dl
dl
r
r
luogo di ∇p e poi, sempre nella (1.13), l’accelerazione di gravità g (che si esercita lungo
r dz
z, verso il basso) va proiettata lungo dl (
è il relativo coseno direttore), e dunque la
dl
(1.13) diventa:
dz
dv
1 dp
=−
−g
dl
dl
ρ dl
quest’ultima:
v
, da cui:
vdv +
1
dp + gdz = 0 ed effettuando l’integrazione di
ρ
1 2 p
1
v + + gz = 0 , e moltiplicando tutto per la densità ρ , si ottiene: ρv 2 + p + ρgz = 0
2
ρ
2
e cioè proprio l’asserto!
--------------------------------Bibliografia:
1) (C. Mencuccini e S. Silvestrini) FISICA I - Meccanica Termodinamica, Liguori.
2) ( Y. Nakayama) INTRODUCTION TO FLUID MECHANICS - Butterworth Heinemann.
3) (L. D. Landau & E. M. Lifshitz) FLUID MECHANICS - Pergamon Press.
4) ME 563 - INTERMEDIATE FLUID DYNAMICS (Lectures).
5) (R. Feynman) LA FISICA DI FEYNMAN II – Zanichelli.
---------------------------------
THE NAVIER-STOKES EQUATION:
The Queen of Fluid Dynamics.
A proof simple, but complete.
by Leonardo Rubino
September 2010 – Rev. 00
The Navier-Stokes Equation in the case o fan incompressibile fluid, that is ρ = const and
r s
∇⋅v = 0:
(this situations is about most of practical cases)
r
r r r
r
r
∂v r r 1 r 2
r
ρ [ + Ω × v + ∇v ] = −∇p − ρ∇φ + η∇ 2v
where
Ω = ∇×v
∂t
2
r
φ (gravitational potential), ρ (density), v (velocity), t (time).
(vorticity), η (viscosity),
Proof:
-Let’s start from the Continuity Equation
r
∂ρ
r
+ ∇ ( ρ v ) = 0 , and we prove it:
∂t
r r
kg s
ρv = J is the mass current density [ 2 ] (dimensionally obvious)
m
M = ∫ ρ ⋅ dV (held obvious)
V
r
dS
∂
∂
∂ρ
r r
dV
M = ∫ ρ ⋅ dV = ∫
We have:
⋅ dV = − ∫ ρv ⋅ dS ,in fact, in terms of dimensions:
V
V
S
∂t
∂t
r∂t
r r
r
r r
∂
∂l
dV = l ⋅ dS and so
dV = dS
= dS ⋅ v and sign – is in case of “escaping” mass.
∂t
∂t
r
l
r
r
∂ρ
r
r
dV = − ∫ ( ρv ) ⋅ dS = − ∫ ∇ ⋅ ( ρv ) ⋅ dV , after having used the Divergence Theorem in
V ∂t
S
V
the last equality.
So:
∫
Therefore:
∂ρ
∫ [ ∂t
V
r
r
+ ∇ ⋅ ( ρv )]dV = 0 , from which we get the Continuity Equation.
r
r
∂v r r r
∇p
-and let’s also start from the Euler’s Equation ( + (v ⋅ ∇)v = −
), and we also prove
∂t
ρ
this:
(p is the pressure; moreover, this equation is a sketch of the Navier-Stokes Equation,
whereas we’re not yet taking into account the gravitational
r
r field and the viscous forces)
The force acting on a small fluid volume dV is df = − p ⋅ dS , with sign -, as we are dealing
with
the small volume. Moreover:
r a forcertowards
r
f = − ∫ p ⋅ dS = −∫ ∇p ⋅ dV , after having used a dual of the Divergence theorem (a Green’s
S
V
formula), to go from the surface integral to the volume one.
r
r
r
∂f
∂
We also have:
[− ∫ ∇p ⋅ dV ] = −∇p , but, in terms of dimensions, it’s simultaneously
=
V
∂V ∂V
true
r that:
r
r
r
∂f
d
dv
dM dv
dv
=
[M
]=
=ρ
= and from these two equations, we have:
∂V dV
dt
dV dt
dt
r
r
dv
ρ
= −∇p .
(1.1)
dt
r
r
d d d
r dx dy dz
Now we remind that: dl = ( dx, dy , dz ) , ∇ = ( , , ) and v = ( , , ) , so we can
dt dt dt
dx dy dz
easily write that:
r
v ⋅ ...
r
r
r
r
r
r
r
dv ∂v ∂v dx ∂v dy ∂v dz ∂v r r r dv
=
+
+
+
=
+ (v ⋅ ∇) v =
and for (1.1) we finally have:
dt
dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t
r r
...∇)v
r
r
r r r
∇p
∂v
+ (v ⋅ ∇ )v = −
that is the Euler’s Equation, indeed.
ρ
∂t
r
Now, the terms of this Euler’s Equation have the dimensiono f an acceleration a ; so, if we
want to take into account the gravitational field, too, on the right side we can algebraically
r
add the gravitational acceleration g , with a negative sign, as it’s downwards.
r r
r
But we know that the gradient of the potential φ is really g ( ∇φ = g ), so:
r
r
∂v r r r
∇p r
+ (v ⋅ ∇ )v = −
− ∇φ . As the following vectorial identity is in force:
∂t
ρ
r r r r r r 1r r r
(v ⋅ ∇)v = (∇ × v ) × v + ∇(v ⋅ v ) , and if we take the expression for the vorticity, on page 1,
2
r r r
( Ω = ∇ × v ), we have:
r
r
∂v r r 1 r 2
∇p r
+ Ω × v + ∇v = −
− ∇φ and, so far, we have also taken into account the
∂t
2
ρ
gravitational field.
In the most general case where we have to do with a viscous fluid , we’ll also add a
viscous force component:
r
r
r
∂v r r 1 r 2
∇p r
f visc
+ Ω × v + ∇v = −
− ∇φ +
∂t
2
ρ
ρ
(1.2)
r
whereas f visc is divided by the density because of the dimension compatibilità with other
terms in that equation.
r
(1.2) is already the Navier-Stokes Equation, whereas the viscous force f visc is still to be
evaluated.
r
We will evaluate f visc in the case of incompressibile fluids, that is fluids with ρ = const ,
r s
r s
∂ρ
= 0 so, for the Continuity Equations, ∇( ρv ) = 0 , >> ∇ ⋅ v = 0 .
>>
∂t
--------------------------------r
Calculation of f visc :
VISCOSITY:
r
F
S
r
v
Free surface of the fluid
d
bottom
Fig. 1.
r
r
F
v
We know from general physics that:
=η ,
S
d
(1.3)
That is, in order to drag the slab whose base surface is S, over
r the fluid, at a d distance
r
from the bottom, and drag it at a v speed, we need a force F
r
Now, let’s write down (1.3) in a differential form, for stresses τ and for components: (x)
F
∂u
r
τ x = x =η
, having set v = (u , v, w) , and so:
S
∂y
∂u
Fx = η ⋅ S
(1.4)
∂y
We now use (1.4) on a small fluid volume dV in Fig. 2:
y
z
“y”=dy
w
y
2
UP zone
∂u
(in _ y = dy )
∂y
d=dy
v
4
∂u
(in _ y = 0)
∂y
“y”=0
3
u
x
1
5
x
DOWN zone
6
z
Fig. 2: Smal volume of fluid dV.
Fig. 3: Axis y, faces 2 and 5.
In Fig. 3 we have reproduced what shown in Fig. 1, but in a three-dimension context.
Faces 2 and 5:
so, with reference to Fig. 3, let’s figure out the viscous forces (due to variations of u) on
faces 2 and 5 of the small volume, that is those we meet when moving along the y axis,
by using (1.4):
Viscous shear stress on face 2 = +η[
∂u
(in _ y = dy )]dxdz
∂y
r
v
in _(1.3)
d
S _ in _(1.3)
This force acting on face 2 is positive (+) because the fluid over the point where it’s
figured out (UP zone) has got a higher speed (longer horizontal arrows) which drags S
along the positive x.
On face 5, on the contrary, we’ll have a (-) negative sign, because the fluid under such S
surface has got a lower speed (down) and want to be dragged, so making a resistance,
that is a negative force:
Viscous shear stress on face 5 = −η[
∂u
(in _ y = 0)]dxdz
∂y
The resultant on x is the difference between the two equations, or better, the algebraic
sum:
∂u
∂u
[ ( y = dy ) − ( y = 0)]
∂u
∂u
∂ 2u
∂y
∂y
after
Fx ( y ) = η[ ( y = dy ) − ( y = 0)]dxdz = η
dxdydz = η 2 dV ,
∂y
∂y
dy
∂y
having multiplied numerator and denominator by dy. Therefore:
Fx ( y ) = η
∂ 2u
dV
∂y 2
(viscous force on x due to variations of u along y)
(1.5)
y
Faces 3 and 6:
“z”=0
“z”=dz
x
∂u
(in _ z = 0)
∂z
z
∂u
(in _ z = dz)
∂z
Fig. 4: Axis z, faces 3 and 6.
Similarly to the previous case, we have, as a result:
Fx ( z ) = η
∂ 2u
dV
∂z 2
(viscous force on x due to variationd of u along z)
(1.6)
Faces 1 and 4:
For what case Fx ( x ) is concerned, that is the viscous force on x due to variations of u
(which is a component on x) along x itself, we will not talk about shear stresses, as, in
such a case, the relevant force is still about x, but acts on S=dydz, which is orthogonal to
x; so, it’s about a NORMAL force, a tensile/compression one, and we refer to Fig. 5 below:
y
expansion
∂u
(in _ x = dx)
∂x
∂u
(in _ x = 0)
∂x
compression
x
x=dx
z
x=0
Fig. 5: Axis x, faces 1 and 4.
Anyway, nothing changes with numbers, with respect to previous cases, and we have:
Fx ( x ) = η
∂ 2u
dV
∂x 2
(viscous force on x due to variations of u along x itself)
(1.7)
Now that we have three components of the viscous forces acting along x (that is those
r
due to variations of the u component (comp. x) of speed v , with respect to y, z and x
itself), let’s sum them up and get Fx − visc :
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
Fx − visc = η 2 dV + η 2 dV + η 2 dV = η ⋅ dV ( 2 + 2 + 2 ) = η ⋅ dV ⋅ ∇ 2u , and we rewrite
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
∂x
it below:
Fx − visc = η ⋅ dV ⋅ ∇ 2 u
(1.8)
Now we carry out the same reasonings fora n evaluation of Fy − visc and of Fz − visc , and
r
obviously get ( v = (u , v, w) ):
Fy −visc = η ⋅ dV ⋅ ∇ 2 v
(1.9)
Fz − visc = η ⋅ dV ⋅ ∇ 2 w
(1.10)
from which, finally, by adding (1.8), (1.9), and (1.10), we have:
r
r
Fvisc = Fx − visc xˆ + Fy − visc yˆ + Fz − visc zˆ = η ⋅ dV [ xˆ∇ 2u + yˆ ∇ 2v + zˆ∇ 2 w] = η ⋅ dV ⋅ ∇ 2v che riscriviamo:
r
r
Fvisc =η ⋅ dV ⋅ ∇ 2v
(1.11)
r
Now, such a Fvisc must be used in (1.2), after having divided it by ρ and by dV (that is,
for M = ρ ⋅ dV ), as both sides of (1.2) have got the dimensiono f a force per a mass, indie,
so:
r
r
∂v r r 1 r 2
∇p r
η
r
+ Ω × v + ∇v = −
− ∇φ + ⋅ ∇ 2 v
ρ
∂t
2
ρ
(1.12)
And therefore, finally, the Navier-Stokes Equation, and we write it better again:
r
r r
∂v
r 1r 2
∇p r
η
r
+ Ω × v + ∇v = −
− ∇φ + ⋅ ∇ 2 v
∂t
2
ρ
ρ
r
r
F ∂v ∂
=
+ ........
M ∂t ∂
General acceleration
Viscous forces
Pressure forces
Gravity forces
Appendixes:
Appendix 1) Compressible fluids – very rare cases:
r s
∂ρ
≠ 0 , >> ∇( ρv ) ≠ 0 , and to (1.12) we have to add the
for those cases, ρ ≠ const , >>
∂t
(η + η ' ) r r r
∇(∇ ⋅ v ) , but (1.12) already enclose a big series of practical
following term: +
ρ
cases…
Appendix 2) Divergence Theorem (practical proof):
y
dz
C
G
∫
F
B
S
r
E
r r
r
E ⋅ dS = ∫ divE ⋅ dV
V
dτ
dy
H
D
0
A
dx
E
x
Fig. 6: For the Divergence Theorem.
z
r
Name φ the flux of the vector E ; we have:
r r
dφABCD = E ⋅ dS = − Ex ( x, y, z )dydz
( y means y “mean”)
dφEFGH = Ex ( x + dx, y , z )dydz , but we obviously know that also: (as a development):
∂E ( x, y , z )
Ex ( x + dx, y , z ) = Ex ( x, y , z ) + x
dx so:
∂x
∂E ( x, y, z )
dφEFGH = Ex ( x, y, z )dydz + x
dxdydz and so:
∂x
∂E
dφ ABCD + dφ EFGH = x dV . We similarly act on axes y and z:
∂x
∂E y
dφ AEHD + dφBCGF =
dV
∂y
∂E
dφ ABFE + dφCGHD = z dV
∂z
And then we sum up the fluxes so found, having totally:
r
r r
∂Ex ∂E y ∂Ez
+
+
)dV = (div ⋅ E )dV = (∇ ⋅ E )dV therefore:
∂x
∂y
∂z
r
r r
r
r r
φS ( E ) = ∫ dφ = ∫ E ⋅ dS = ∫ divE ⋅ dV = ∫ (∇ ⋅ E ) ⋅ dV that is the statement.
dφ = (
φ
S
V
V
Appendix 3) Rotor or di Stokes’ Theorem (practical proof-by Rubino!):
z
y
dz
r
B
r
r
r
r
r
r
r
∫ B ⋅ dl = ∫ rotB ⋅ dS = ∫ ∇ × B ⋅ dS
l
S
S
dy
-dx
-dy
dx
r
Walk dl
-dz
0
x
Fig. 7: For the Rotor Theorem (proof by Rubino).
r r
Let’s figure out B ⋅ dl :
On dz B is Bz; on dx B is Bx; on dy B is By;
∂Bz
∂B
dx − z dy , for 3-D Taylor’s development and also because to go
∂x
∂y
from the center of dz to that of –dz we go up along x, then we go down along y and
nothing along z itself.
∂B
∂B
∂B
∂B
Similarly, on -dx B is B x − x dz + x dy and on -dy B is B y − y dx + y dz .
∂x
∂z
∂z
∂y
By summing up all contributions:
on -dz B is B z +
r r
∂B
∂B
∂B
∂B
B ⋅ dl = Bz dz − ( B z + z dx − z dy )dz + Bx dx − ( B x − x dz + x dy )dx + By dy −
∂y
∂z
∂y
∂x
∂B
∂B
∂B ∂B
∂B ∂B
∂B ∂B
+ ( B y − y dx + y dz )dy = ( z − y )dydz + ( x − z )dxdz + ( y − x )dxdy =
∂x
∂z
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
r
r v r r r
whereas here dS has got components [ xˆ (dydz ) , yˆ (dxdz ) , zˆ (dxdy ) ]
= rotB ⋅ dS = ∇ × B ⋅ dS
r
r
r
r
v
r
r
that is, the statement:
∫ B ⋅ dl = ∫ rotB ⋅ dS = ∫ ∇ × B ⋅ dS , after having reminded of:
xˆ
r r r ∂
rotB = ∇ × B =
∂x
Bx
zˆ
∂
.
∂z
Bz
yˆ
∂
∂y
By
l
S
S
Appendix 4) The Bernoulli’s Equations:
1 2
ρv + p + ρgz = 0
2
r
r
∂v
If we are in a stationary situation, whereas v ≠ f (t ) >>
= 0 , and then ρ = const , and
∂t
where there’s no viscous forces, the Navier-Stokes Equation for sure reduce sto the Euler’s
one (but added with the gravitational component):
r
r
r
r r r
∂v
∂v
∇p r
+ ( v ⋅ ∇)v = −
− g , and, better, as we said that
= 0 , we have:
∂t
ρ
∂t
r
r r r
∇p r
(v ⋅ ∇) v = −
−g .
ρ
(1.13)
If now we consider the divergence and the gradient in terms of directional derivative, on
r
r v
dv
dp
direction dl , specifically, then we have in (1.13):
instead of ∇ ⋅ v , and
instead of
dl
dl
r
r
∇p and then, still in (1.13), the gravitational acceleration g (which exerts along z,
r dz
downwards) must be projected along dl ( is the relevant direction cosine), and so
dl
(1.13) becomes:
dz
1
dv
1 dp
v r =−
−g
, from which: vdv + dp + gdz = 0 and by integrating it:
dl
ρ
ρ dl
dl
1 2 p
1
v + + gz = 0 , and by multiplying by the density ρ , we get: ρv 2 + p + ρgz = 0
2
ρ
2
that is, really the statement!
--------------------------------Bibliography:
1) (C. Mencuccini and S. Silvestrini) FISICA I - Meccanica Termodinamica, Liguori.
2) ( Y. Nakayama) INTRODUCTION TO FLUID MECHANICS - Butterworth Heinemann.
3) (L. D. Landau & E. M. Lifshitz) FLUID MECHANICS - Pergamon Press.
4) ME 563 - INTERMEDIATE FLUID DYNAMICS (Lectures).
5) (R. Feynman) THE FEYNMAN PHYSICS II – Zanichelli.
---------------------------------