Matematica Finanziaria 6 cfu

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Corso di
Matematica Finanziaria
a.a. 2012/2013
Testo a cura del Prof. Sergio Bianchi
Programma
•
Operazioni finanziarie in condizioni di certezza
– L’operazione finanziaria elementare
– Operazioni a pronti e a termine
•
Regimi finanziari
– Della capitalizzazione composta
– Della capitalizzazione semplice
– Dello sconto commerciale
•
Operazioni finanziarie complesse
– Rendite
– Obbligazioni
•
Indici temporali e di variabilità
– Maturity
– Scadenza media aritmetica
– Scadenza media finanziaria
– Durata media finanziaria (duration e convexity)
•
Costituzione di capitali e ammortamenti
– Ammortamento italiano
– Ammortamento francese
– Ammortamento tedesco
– Ammortamento americano
Definizioni introduttive
Matematica Finanziaria
Branca della matematica applicata che
modellizza le operazioni finanziarie
Operazione finanziaria (o.f.)
Ogni atto che produce una variazione di capitale per effetto
dello scambio non contemporaneo di almeno due importi.
⇒ Oggetto di studio è la coppia (I, t) - Importo, Epoca
⇒ Più in generale, un’operazione finanziaria può scriversi
come insieme di coppie F = {(I1, t1), (I2, t2),..., (In, tn)}
Notazione:
Rispetto al soggetto che valuta l’o.f., l’importo ha segno negativo se
costituisce un’uscita e segno positivo se costituisce un’entrata.
Classificazione delle operazioni finanziarie
Elementare, se #(F) = 2
(se lo scambio è fra una sola prestazione ed
una sola controprestazione)
Complessa, se #(F) > 2
(se lo scambio riguarda più prestazioni e/o
controprestazioni)
A pronti
se il prezzo dell’o.f. viene pagato nel momento
in cui esso viene concordato tra le parti
L’operazione finanziaria è
A termine
se il prezzo dell’o.f. viene pagato in un’epoca
successiva a quella in cui esso è concordato
Certa
se entrambi gli elementi della coppia (I,t) sono
deterministici (decisioni finanziarie in condizioni
di certezza)
Aleatoria
se tale è almeno uno degli elementi della coppia (I,t)
(decisioni finanziarie in condizioni di incertezza)
Il mercato dei capitali
Le transazioni che hanno ad oggetto operazioni finanziarie avvengono nel
Mercato dei capitali
inteso come luogo di incontro della domanda (finanziamenti con vincolo di
credito [obbligazioni] e/o di capitale [azioni]) e dell’offerta (emissioni e/o
negoziazioni di titoli relativi prestiti monetari).
Teoria
Formulazione di ipotesi sul comportamento degli
partecipanti al mercato per definire un modello:
il mercato ideale
Analisi del mercato
dei capitali
Pratica
Valutazione della convenienza finanziaria delle
opportunità sulla base delle transazioni nel
mercato reale
Caratteristiche del mercato dei capitali ideale
Competitività (competitive)
•
Ogni operatore:
a) usufruisce gratuitamente delle stesse informazioni
b) ignora le conseguenze delle proprie azioni sul mercato
c) è un massimizzatore di profitti (mira a conseguire il maggior risultato economico
con il minimo costo
Non frizionalità (frictionless)
•
Le transazioni sono libere da costi aggiuntivi (di intermediazione, fiscali ecc.)
•
Le operazioni:
a) sono divisibili (possono cioè avere ad oggetto importi qualsiasi)
b) possono essere effettuate in ogni istante
•
Sono ammesse vendite allo scoperto (short sales) (è cioè possibile vendere titoli che
non si possiedono)
•
Non c’è rischio di insolvenza (default risk)
Assenza di arbitraggi
Caratteristiche del mercato dei capitali ideale (segue)
Definizione di arbitraggio
Un arbitraggio è un'operazione finanziaria che consente al soggetto che la pone
in essere di conseguire un profitto certo senza correre alcun rischio.
Distinguiamo tra:
Arbitraggio di tipo A
Si ha quando l’o.f.:
• ha un costo nullo o negativo e
• genera un flusso di importi tutti non negativi, con almeno un pagamento
positivo
Arbitraggio di tipo B
Si ha quando l’o.f.:
• ha un costo negativo e
• genera un flusso di importi tutti non negativi
Caratteristiche del mercato dei capitali ideale (segue)
«Con il termine arbitraggio si intende indicare un'operazione che consente di ottenere
un profitto certo, senza che il soggetto che la mette in essere corra alcun rischio.
Solitamente l'arbitraggio consiste nell'acquisto/vendita di uno strumento finanziario
(ma anche non finanziario, come una commodity) e in una contemporanea operazione
di segno opposto sullo stesso strumento negoziato su un mercato diverso dal
precedente, oppure su uno strumento diverso ma avente le stesse caratteristiche a
livello di payout del primo.
Appare evidente che una siffatta operazione può generare un profitto solo nel caso in
cui esista un differenziale di prezzo tra due strumenti pressochè identici,
differenziale determinato da una inefficienza di tipo informativo (o normativo): questo è il
presupposto fondamentale perché si creino opportunità di questo tipo.
Un altro presupposto è rappresentato dalla esistenza di strumenti finanziari
perfettamente sostituibili. Questo può avvenire nel caso in cui si prendono in
considerazione strumenti identici ma scambiati su mercati diversi, oppure in quello
relativo a strumenti diversi ma aventi lo stesso payout (ad es. un paniere di titoli azionari
ed il future avente lo stesso paniere come sottostante), o ancora in quello di cui uno
strumento può essere replicato sinteticamente (triangolazioni sul mercato valutario).»
Da “www.borsaitaliana.it”
Il mercato dei capitali reale
Diretto
Le negoziazioni avvengono mediante
accordi diretti tra le parti, che determinano
autonomamente le condizioni di scambio.
Es.: operazioni bancarie
Mercato
dei capitali
Mercato monetario
(negoziazione di strumenti a
breve scadenza, convenzionalmente non superiori a 18
mesi)
Aperto
Le negoziazioni sono di tipo impersonale
ed hanno caratteristiche (taglio degli
importi, scadenze, tassi, ecc.) standardizzate.
Es: operazioni di cambio
Mercato finanziario
(negoziazione di mezzi
finanziari – obbligazioni e/o
azioni – generalmente a
medio e lungo termine)
Mercato dei cambi
(negoziazione di valute
estere)
L’operazione finanziaria elementare
Accordo che scambia le coppie (P, x) ed (M, y), con y ≠ x ; x ≥ 0,y ≥ 0
Schema:
A conferisce a B all’epoca x l’importo P in cambio dell’importo
M che B conferirà ad A all’epoca y, con y > x.
P
A→B
x
M
A← B
y
Esempio 1:
Acquisto oggi (epoca t) un BOT (Buono Ordinario del Tesoro) al prezzo di € 95,817 ed
incasserò tra un anno €100.
Assumendo l’anno come unità di misura del tempo, l’o.f. può scriversi come
F = { (−95,817, t), (100, t+1)}
Esempio 2:
Presento oggi (epoca t) all’incasso un credito per € 1.000 che maturerà tra 30 giorni.
Ricevo dalla controparte € 995.
Assumendo il giorno come unità di misura del tempo, l’o.f. può scriversi come
F = { (995, t), (−1.000, t+30)}
L’operazione finanziaria elementare (segue)
Ipotesi:
1. Gli importi P ed M sono espressi nella stessa unità di misura
2. I soggetti che attuano lo scambio sono razionali:
a) ( I , x ) f ( I , x )
1
2
se
I1 > I2
Criteri di preferenza assoluta
b) ( I , x) f ( I , y )
se
x<y
Principio di equivalenza finanziaria
«E’ finanziariamente equivalente ricevere [corrispondere] un importo
immediatamente oppure riceverlo [corrisponderli] in un’epoca
successiva purché — in questa seconda eventualità — all’importo si
aggiunga un interesse per il differimento della transazione.»
L’operazione finanziaria complessa (esempi)
Esempio 3:
Acquisto oggi (epoca t) un BTP (Buono del Tesoro Poliennale) con scadenza tra tre anni
al prezzo di € 101,25 che paga cedole semestrali in base al tasso annuo del 4%.
Assumendo l’anno come unità di misura del tempo, l’o.f. può scriversi come
F = {(−101.25, t ), (2, t + ), (2, t + 1), (2, t + ), (2, t + 2), (2, t + ), (102, t + 3)}
1
2
3
2
5
2
Esempio 4:
Acquisto oggi (epoca t) un’auto del valore di € 15.000 e la pago con rate mensili di € 300
per i prossimi 5 anni (numero di rate = 12×5 = 60).
Assumendo il mese come unità di misura del tempo, l’o.f. può scriversi come
F = {(15.000, t ), (−300, t + 1), (−300, t + 2),...,(−300, t + 60)}
L’o.f. elementare: investimento e anticipazione
L’operazione finanziaria elementare F = {( P, x),( M , y )} è detta
di investimento (o impiego)
di
se, noto P, deve determinarsi M
se, noto M, deve determinarsi P
(…se P rappresenta un’uscita)
(…se P rappresenta un’entrata)
In questo caso:
In questo caso:
x è l’epoca di investimento
x è l’epoca di anticipazione
y è l’epoca di scadenza
y è l’epoca di scadenza
P è il capitale impiegato (o investito)
all’epoca x
P è il valore attuale all’epoca x
dell’importo M disponibile all’epoca y
M è il montante alla data y del capitale
investito alla data x.
M (incognita)
P
x
y
M è l’importo disponibile all’epoca y
anticipazione
finanziamento)
P (incognita)
x
(o
sconto
M
y
In entrambi i casi, per il principio di equivalenza finanziaria, deve aversi
M ≥P
∀y≥x
o
L’o.f. elementare: esempi di investimento e anticipazione
Esempi di operazioni di investimento
A presta a B la somma P in cambio della restituzione, tra un mese, della
somma M > P (da determinare nell’accordo che intercorre tra A e B).
A effettua un versamento di importo P su un conto corrente bancario e, senza
movimentare il conto, preleva a fine anno l’importo M > P.
Esempio di operazioni di anticipazione
A cede all’epoca x un credito a B di importo M che scade all’epoca y ed ottiene
in cambio l’importo P < M.
L’o.f. elementare: interesse e sconto
La differenza (non negativa) M – P è detta
nelle operazioni di investimento,
interesse (sul capitale investito P) ed
è indicata come Ix,y.
nelle operazioni di anticipazione,
sconto (sul capitale dovuto M) ed è
indicata come Dx,y.
Pertanto
l’interesse Ix,y è la somma che frutta
l’investimento dell’importo P tra le
epoche x ed y
lo sconto Dx,y è la somma che frutta
l’anticipazione all’epoca x dell’importo M dovuto all’epoca y
M − P = I x , y ⇔ M = P + I x , y Il montante dell’importo P è pari alla somma dello
stesso importo P e dell’interesse da questo prodotto.
M − P = Dx , y ⇔ P = M − Dx , y Il valore attuale dell’importo M è pari alla differenza
tra lo stesso importo M e lo sconto.
Osservazione. Si consideri che per definizione è I x , y = Dx , y
L’o.f. elementare: la funzione valore
Le assunzioni alla base del mercato dei capitali ideale garantiscono che esiste una sola
funzione f che, nota la terna x, y e P, individua univocamente M, cioe’:
f : ( P , x, y ) → M
⇔
M = f ( P, x, y )
Ipotesi sulla funzione f
Assumeremo che la funzione f sia:
• continua su un insieme costituito da opportuni intervalli di definizione delle variabili
• derivabile parzialmente rispetto alle tre variabili
Stante il significato finanziario della funzione f, dovrà anche essere
•
P = f ( P, x, x), ∀ x ≥ 0, P
∂f
>0
∂P
∂f
>0
•
∂y
•
∂f
<0
•
∂x
(f crescente al crescere di P)
(f crescente al crescere di y)
(f decrescente al crescere di x)
L’o.f. elementare: la funzione valore (segue)
Ipotesi sulla funzione f (segue)
• (Ipotesi di proporzionalità o indipendenza dall’importo)
M = f ( P, x, y ) = P ⋅ f (1, x, y )
essendo detta f(1, x, y) funzione di importo unitario.
Osservazioni
• Dal punto di vista economico, l’ipotesi assume che l’utilità marginale del denaro sia
costante
• L’assunto è realistico nel caso di importi contenuti o di periodi non molto lunghi.
• Si può interpretare f(1, x, y) come il prezzo all’epoca y di una unità di capitale (p.es.: un
euro) disponibile all’epoca x
L’o.f. elementare: invertibilità della funzione valore (segue)
Richiamo
Data la funzione y = f(x) continua e strettamente crescente (decrescente) nell’intervallo I
esiste la sua funzione inversa f −1 che risulta continua e strettamente crescente (decrescente) nell’intervallo J, con J = f(I).
y
f
y = f(x)
f −1
f −1
f
x
x=f
−1(y)
L’o.f. elementare: invertibilità della funzione valore (segue)
Per ipotesi, la funzione f è continua e strettamente crescente rispetto all’importo P.
Esiste dunque la sua funzione inversa (rispetto a P) che indichiamo con g.
Pertanto
M = f(P, x, y)
restituisce l’importo M disponibile all’epoca y in cambio dell’importo P
disponibile all’epoca x
P = g(M, x, y)
restituisce l’importo P disponibile in x in cambio dell’importo M
disponibile all’epoca y
Valendo l’ipotesi di proporzionalità si ha anche che
M = P ⋅ f (1, x, y ) ⇔
M
= f (1, x, y )
P
Per definizione poniamo r(x, y) = f(1, x, y).
P = M ⋅ g (1, x, y ) ⇔
P
= g (1, x, y )
M
Per definizione poniamo v(x, y) = g(1, x, y).
L’o.f. elementare: significato della funzione valore
r(x, y) può interpretarsi come:
1. il numero di unità di capitale disponibili all’epoca y in
cambio di una unità di capitale disponibile all’epoca x.
1
x
r(x,y)
y
2. il prezzo all’epoca y di un importo unitario disponibile
all’epoca x.
3. Il fattore di capitalizzazione in quanto fornisce il
montante all’epoca y per ogni unità di capitale P
investito all’epoca x
v(x, y) può interpretarsi come:
1. il numero di unità di capitale disponibili all’epoca x in
cambio di una unità di capitale disponibile all’epoca y.
v(x,y)
x
1
y
2. il prezzo all’epoca x di un importo unitario disponibile
all’epoca y.
3. Il fattore di attualizzazione in quanto fornisce il
valore attuale all’epoca x per ogni unità del capitale M
dovuto all’epoca y
L’o.f. elementare: relazione tra r e v
Osservazione
Essendo per definizione
M
= r ( x, y )
P
e
P
= v ( x, y )
M
seguono banalmente le
r ( x , y ) ⋅ v ( x, y ) = 1
1
v ( x, y )
1
v ( x, y ) =
r ( x, y )
r ( x, y ) =
L’o.f. elementare: Esempi
Esempio 5
Investo il 02.03.2008 un capitale di € 100 ed ho in restituzione il 02.08.2008 un capitale
di € 102,5.
P = 100
M = 102,5
x = 02.03.08
y = 02.08.08
M02.08.08 = P02.03.08 ⋅ r(02.03.08, 02.08.08)
102,5
=
100
⋅ r(02.03.08, 02.08.08)
da cui
r (02.03.08,02.08.08) =
102,5
= 1,025
100
Fattore di capitalizzazione
L’o.f. elementare: Esempi
Esempio 6
Disporrò il 02.12.2008 un importo di € 100 e cedo tale disponibilità in cambio di € 90
che mi vengono corrisposti il 02.10.2008
P = 90
M = 100
x = 02.10.08
y = 02.12.08
P02.10.08 = M02.12.08 ⋅ v(02.10.08, 02.12.08)
90
=
100
⋅ v(02.10.08, 02.12.08)
da cui
v (02.10.08,02.12.08) =
90
= 0,90
100
Fattore di attualizzazione
L’o.f. elementare: tasso di interesse (periodale)
Nelle operazioni di investimento, si è definito l’interesse Ix,y come
Ix,y = M − P
(1)
essendo M il montante all’epoca y dell’importo P investito all’epoca x.
Dividendo entrambi i membri della (1) per P si ottiene
I x, y
P
=
M −P M
=
−1
P
P
Per definizione poniamo
i ( x, y ) =
I x, y
P
Il numero puro i(x,y) rappresenta l’interesse prodotto tra le epoche x ed y da ogni unità
di capitale investito P e prende il nome di
tasso effettivo di interesse
Osservazione
Si tenga ben presente che il tasso sopra definito è un tasso periodale, relativo cioè al
periodo di tempo che intercorre tra le epoche x ed y.
L’o.f. elementare: tasso di sconto (periodale)
Analogamente, nelle operazioni di anticipazione, si è definito lo sconto Dx,y come
Dx,y = M − P
(2)
essendo M il capitale disponibile all’epoca y e P l’investito anticipato all’epoca x.
Dividendo entrambi i membri della (2) per M si ottiene
Dx , y
M
=
M −P
P
= 1−
M
M
Per definizione poniamo
d ( x, y ) =
Dx , y
M
Il numero puro d(x,y) rappresenta lo sconto corrisposto per ogni unità di capitale M
che, disponibile all’epoca y, viene anticipata all’epoca x. Esso prende il nome di
tasso effettivo di sconto
Osservazione
Come osservato in precedenza, si rammenti che quello sopra definito è un tasso
periodale, relativo cioè al periodo di tempo che intercorre tra le epoche x ed y.
L’o.f. elementare: relazioni tra grandezze finanziarie
Definiti il
tasso effettivo di interesse i(x, y)
ed il
tasso effettivo di sconto d(x,y)
è necessario esplicitare:
1. le relazioni che legano tali quantità alle altre grandezze già introdotte
(fattore di capitalizzazione, fattore di sconto)
2. la relazione esistente tra i(x, y) e d(x, y)
1) Relazione tra tasso effettivo di interesse e fattori di capitalizzazione e sconto
Per definizione i ( x, y ) =
Concludendo
Ma è anche
da cui segue
ed anche
I x, y
P
=
M −P M
= − 1 = r ( x, y ) − 1
P
P
i ( x, y ) = r ( x, y ) − 1
r ( x, y ) =
i ( x, y ) =
⇔
r ( x, y ) = 1 + i ( x, y )
1
v ( x, y )
1
1 − v ( x, y )
−1 =
v ( x, y )
v ( x, y )
v ( x, y ) =
1
1 + i ( x, y )
1) Relazione tra tasso effettivo di sconto e fattori di capitalizzazione e sconto
Per definizione d ( x, y ) =
Concludendo
Ma è anche
da cui segue
ed anche
I x, y
M
=
M −P
P
=1 −
= 1 − v ( x, y )
M
M
d ( x , y ) = 1 − v ( x, y )
r ( x, y ) =
d ( x, y ) = 1 −
⇔
v ( x, y ) = 1 − d ( x, y )
1
v ( x, y )
1
r ( x, y ) − 1
=
r ( x, y )
r ( x, y )
r ( x, y ) =
1
1 − d ( x, y )
2) Relazione tra tasso effettivo di interesse e tasso effettivo di sconto
Abbiamo appena dedotto che d ( x, y ) =
e che
r ( x, y ) − 1
r ( x, y )
(1)
(2)
r ( x, y ) = 1 + i ( x, y )
Sostituendo la (2) nella (1) segue immediatamente che
d ( x, y ) =
i ( x, y )
1 + i ( x, y )
Analogamente abbiamo anche dedotto che i ( x, y ) =
e che
1 − v ( x, y )
v ( x, y )
v ( x, y ) = 1 − d ( x, y )
Sostituendo la (4) nella (3) segue immediatamente che
i ( x, y ) =
d ( x, y )
1 − d ( x, y )
(3)
(4)
L’o.f. elementare: significato finanziario della relazione tra i e d
Si consideri la catena di uguaglianze
d ( x, y ) =
1
1
i ( x, y )
= i ( x, y ) ⋅
= i ( x, y ) ⋅
= i ( x, y ) ⋅ v ( x, y )
1 + i ( x, y )
1 + i ( x, y )
r ( x, y )
L’uguaglianza tra primo e ultimo membro
d ( x, y ) = i ( x, y ) ⋅ v ( x, y )
consente di interpretare finanziariamente
il tasso di sconto come valore attuale del tasso di interesse.
i(x, y)⋅v(x, y)
d(x, y)
i(x, y)
x
y
L’o.f. elementare: significato finanziario della relazione tra i e d
Analogamente si consideri la catena di uguaglianze
i ( x, y ) =
d ( x, y )
1
1
= d ( x, y ) ⋅
= d ( x, y ) ⋅
= d ( x, y ) ⋅ r ( x, y )
1 − d ( x, y )
1 − d ( x, y )
v ( x, y )
L’uguaglianza tra primo e ultimo membro
i ( x, y ) = d ( x, y ) ⋅ r ( x, y )
consente di interpretare finanziariamente
il tasso di interesse come montante del tasso di sconto.
d(x, y)⋅r(x, y)
d(x, y)
i(x, y)
x
y
L’o.f. elementare: tavola riepilogativa delle relazioni fondamentali
Queste
funzioni
in funzione
di queste
r(x, y)
v(x, y)
i(x, y)
d(x, y)
r(x, y)
1
r ( x, y )
r ( x, y ) − 1
r ( x, y ) − 1
r ( x, y )
r(x, y)
v(x, y)
1
v ( x, y )
v(x, y)
1 − v ( x, y )
v ( x, y )
1 − v ( x, y )
i(x, y)
1 + i ( x, y )
1
1 + i ( x, y )
i(x, y)
i ( x, y )
1 + i ( x, y )
d(x, y)
1
1 − d ( x, y )
1 − d ( x, y )
d ( x, y )
1 − d ( x, y )
d(x, y)
L’o.f. elementare: esempi
Nell’esempio 5 era
r (02.03.08,02.08.08) =
102,5
= 1,025
100
Quindi sarà
Queste
funzioni
in funzione
di queste
r(x, y)
v(x, y)
i(x, y)
d(x, y)
r(x, y)
1
r ( x, y )
r ( x, y ) − 1
r ( x, y ) − 1
r ( x, y )
1,025
0,9756…
0,025
0,02439…
r(x, y)
Nell’esempio 6 era v (02.10.08,02.12.08) =
90
= 0,90
100
Quindi sarà
Queste
funzioni
in funzione
di queste
v(x, y)
r(x, y)
1
v ( x, y )
_
1,1
v(x, y)
v(x, y)
0,90
i(x, y)
1 − v ( x, y )
v ( x, y )
_
0,1
d(x, y)
1 − v ( x, y )
0,10
Esempio
Si deve corrispondere alla scadenza y l’importo di €1.000. Il tasso effettivo di
interesse periodale è del 2,5%. Si determini all’epoca x (con x < y) la somma
da anticipare, lo sconto ed il tasso effettivo di sconto dell’operazione.
1
=
1 + i ( x, y )
1
= 1.000
= 975,61
1 + 0,025
P = M ⋅ v ( x, y ) = M ⋅
Dx , y = M − P = 1.000 − 975,61 = 24,39
d ( x, y ) =
Dx , y
M
=
24,39
= 0,02439
1.000
975,61
1.000
x
y
Contratti a pronti e contratti a termine
Nell’operatività finanziaria la regolazione del prezzo avviene solitamente in
epoche successive a quella in cui il prezzo stesso viene concordato dalle parti.
Esempio
Si acquista oggi un bene che si inizierà a pagare tra sei mesi.
Il prezzo del bene è contrattualmente stabilito oggi dalle parti. L’esborso per
l’acquirente è differito rispetto alla data di stipula del contratto.
Conseguenza
E’ necessario ampliare lo schema fin qui adottato per descrivere le o.f. semplici.
D’ora in avanti indicheremo con
• u l’epoca in cui viene pattuito il prezzo dell’operazione finanziaria (è
generalmente l’epoca nella quale si stipula il contratto);
• x l’epoca in cui viene regolato il prezzo dell’operazione finanziaria (è
generalmente x > u)
• y l’epoca in cui ha termine l’operazione finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine (segue)
durata del contratto
durata dell’o.f.
u
x
y
Epoca in cui viene
pattuito il prezzo
Epoca in cui viene
regolato il prezzo
Epoca in cui ha
termine il contratto
Si osservi che
• y − u : durata del contratto (rileva l’epoca di accordo sul prezzo)
• y − x : durata dell’operazione finanziaria (rileva l’epoca di regolamento del
prezzo)
Contratti a pronti e contratti a termine: esempio
Esempio 8
Il 1°.11.08 (epoca u) il soggetto A stipula un contratto con il soggetto B in base
al quale si impegna a corrispondere a B un importo pari a € 870 il 1°.01.09
(epoca x) in cambio di un importo di € 1000 che B riconoscerà ad A il 1°.06.09
(epoca y).
Schema dell’operazione
01/11/08
− €870
+ €1.000
01/01/09
01/06/09
durata dell’o.f. (5 mesi)
durata del contratto (7 mesi)
1.000 = 870 ⋅ r ( 01/11/08, 01/01/09, 01/06/09 )
870 = 1.000 ⋅ v ( 01/11/08, 01/01/09, 01/06/09 )
v(01/11/08, 01/01/09, 01/06/09) = 0,87 è il prezzo a termine di una unità di capitale
che sarà disponibile il 1°giugno 2009.
Contratti a pronti e contratti a termine: Proprietà
Enunciamo le proprietà della funzione v(u, x, y) (date le relazioni fondamentali, proprietà
analoghe possono essere desunte per le funzioni d(u, x, y), r(u, x, y), i(u, x, y)).
1. E’ ovviamente
u≤ x ≤ y
2. Se u = x si ottiene il caso particolare v(u, x, y) = v(x, x, y) = v(x, y), prezzo a pronti
3. La funzione v(u,x,y) rappresenta il prezzo, concordato all’epoca u, da pagarsi all’epoca
x di un importo unitario disponibile all’epoca y. Pertanto è
0 < v(u, x, y) ≤ 1
∀ u≤ x≤ y
4.Se x = y la durata dell’operazione finanziaria è nulla. Pertanto
v(u, y, y) = 1
5. Il prezzo di un importo unitario esigibile in y aumenta all’avvicinarsi alla scadenza
dell’istante in cui il prezzo viene regolato. Formalmente
v(u , x1 , y ) ≤ v (u , x2 , y )
se
u ≤ x1 ≤ x2 ≤ y
6. Tra due importi unitari disponibili in epoche future diverse ha prezzo maggiore quello dei
due che è disponibile prima. Formalmente
v(u , x, y1 ) ≥ v(u , x, y2 )
se
u ≤ x ≤ y1 ≤ y2
Contratti a pronti e contratti a termine: terminologia
Contratti
a termine
a pronti
Il prezzo viene corrisposto nel
momento in cui esso è pattuito.
Nelle operazioni di capitalizzazione
1
r(x, y)
x
y
Il prezzo viene corrisposto in un’epoca
successiva a quella in cui esso è pattuito.
Nelle operazioni di capitalizzazione
u
1
r(u, x, y)
x
y
r(x, y) è il fattore di capitalizzazione
a pronti (spot)
r(u, x, y) è il fattore di capitalizzazione
a termine
Nelle operazioni di attualizzazione
Nelle operazioni di attualizzazione
v(x, y)
1
x
y
v(x, y) è il fattore di attualizzazione
a pronti o prezzo a pronti
(prezzo spot)
u
v(u, x, y)
1
x
y
v(u, x, y) è il fattore di attualizzazione
a termine o prezzo a termine
Contratti a pronti e contratti a termine: terminologia (segue)
Con riferimento al prezzo v(u, x, y), fissando…
…uey
[v(u, x, y) diviene funzione della sola epoca x]
Evoluzione del prezzo (dei contratti che, stipulati in u,
hanno scadenza in y)
…uex
[v(u, x, y) diviene funzione della sola epoca y]
Evoluzione per scadenza (dei contratti che, stipulati in u,
vengono regolati in x)
…xey
[v(u, x, y) diviene funzione della sola epoca u]
Evoluzione delle strutture dei prezzi (dei contratti che,
regolati in x, hanno scadenza in y)
Operatività a pronti ed a termine
Stanti le ipotesi formulate circa il mercato dei capitali, in ogni epoca gli
operatori possono decidere se effettuare un’operazione a pronti o a termine.
Ci poniamo pertanto tre obiettivi:
1. Costruire uno schema che descriva la struttura a pronti
2. Costruire uno schema che descriva la struttura a termine
3. Chiarire la relazione (fondamentale) che intercorre tra operatività a pronti e
a termine
Premessa
Per semplificare la notazione supporremo che il tempo sia rappresentato da un
variabile discreta. Denoteremo con t l’epoca iniziale e con il naturale n il numero
di periodi unitari (orizzonte) a partire da t. Lo scadenzario di riferimento sarà
dunque:
t
t+1
t+2
...
t+k
...
t+n−1
t+n
Schema della struttura a pronti
Lo schema della struttura a pronti è particolarmente semplice.
All’epoca t si osservano nel mercato gli n prezzi a pronti:
v(t, t+1), v(t, t+2), ..., v(t, t+n)
Come ormai chiaro, v(t, t+k) è il prezzo pattuito e corrisposto all’epoca t che
garantisce la disponibilità di un importo unitario in t + k (k = 1, 2,…, n)
Sullo scadenzario avremo:
v(t, t+1)
t
1
t+1
...
t+k
...
t+n−1
t+n
...
t+k
...
t+n−1
t+n
1
v(t, t+2)
t
t+2
t+1
t+2
::
1
v(t, t+n)
t
t+1
t+2
...
t+k
...
t+n−1
t+n
Schema della struttura a termine
Lo schema della struttura a termine è più articolato.
Per dedurlo, nel generico prezzo a termine v(u, x, y), fissiamo u = t, x = t+1 e
lasciamo che y assuma il valore di ciascuna delle n−1 epoche rimanenti.
Ripetiamo il procedimento fissando x = t + 2, valore in corrispondenza del
quale y assumerà il valore di ciascuna delle n−2 epoche rimanenti. Procediamo
identicamente finché sarà x = t + n−1, valore in corrispondenza del quale y
potrà valere solo t+n.
v(u,
x,
y)
u = t ; x = t+1 ;
y = t+2 , y = t+3 , . . . , y = t + n
(n− 1) prezzi
x = t+2 ;
y = t+3 , y = t+4 , . . . , y = t + n
(n− 2) prezzi
::
x = t + n−2 ;
y = t + n− 1 , y = t + n
x = t + n−1 ;
y=t+n
2
prezzi
1 prezzo
(segue)
Sullo scadenzario avremo
t
v(t, t+1, t+2)
1
t+1
t+2
...
t+1
::
v(t, t+1, t+n−1)
t
t+1
...
t+n−1
t+n
...
t+n−1
t+n
1
v(t, t+1, t+k)
t
t+k
t+2
...
t+k
1
t+2
...
t+k
...
t+n−1
1
v(t, t+1, t+n)
t
t+1
t+n
t+2
...
t+k
...
t+n−1
t+n
n−1 prezzi a termine il cui prezzo è regolato all’epoca t +1:
v(t , t + 1, t + 2), v(t , t + 1, t + 3),..., v(t , t + 1, t + n)
(segue)
Sullo scadenzario avremo
v(t, t+2, t+3)
t
t+1
::
t
t+2
1
. . . t+3
...
v(t, t+2, t+n−1)
t+1
t+2
...
t+n−1
1
t+k
...
t+n−1
t+1
t+2
...
t+n
1
v(t, t+2, t+n)
t
t+n
t+k
...
t+n−1
t+n
n−2 prezzi a termine il cui prezzo è regolato all’epoca t +2.
v(t , t + 2, t + 3), v (t , t + 2, t + 4),..., v (t , t + 2, t + n)
…e così via
(segue)
Prezzi
N°
v(t, t+1, t+2), v(t, t+1, t+3), ..., v(t, t+1, t+n)
n −1
v(t, t+2, t+3), v(t, t+2, t+4), ..., v(t, t+2, t+n)
n −2
v(t, t+3, t+4), v(t, t+3, t+5), ..., v(t, t+3, t+n)
n −3
:
:
v(t, t+n−2, t+n−1), v(t, t+n−2, t+n)
2
v(t, t+n−1, t+n)
1
Il numero di prezzi a termine che si osserva nel mercato all’epoca t su un orizzonte
di n periodi unitari è
n(n − 1)
(n − 1) + (n − 2) + ... + 3 + 2 + 1 =
2
Per ogni epoca t, l’insieme di tali prezzi definisce la struttura a termine del mercato.
Relazione tra operazioni a pronti e a termine
Quindi, un operatore che all’epoca t voglia assicurarsi un importo unitario all’epoca
t + i (1 ≤ i ≤ n) può combinare operazioni a termine con operazioni a pronti con
l’unico vincolo rappresentato dalle scadenze dell’orizzonte temporale sul quale
opera.
In particolare può scegliere se:
stipulare in t un contratto a pronti con scadenza t+i
oppure
stipulare uno dei possibili contratti a termine regolandone il prezzo,
in rapporto al contratto scelto, in una delle epoche t +1, t + 2,..., t + i −1
Problema
Che tipo di relazione esiste tra i due tipi di operatività?
Più precisamente, le caratteristiche del mercato ideale consentono di stabilire delle
“condizioni di coerenza” tra i prezzi a pronti e a termine?
Per rispondere ragioniamo sul caso semplificato di un orizzonte di due periodi,
cioè sullo scadenzario
t
t+1
t+2
in relazione al quale l’obiettivo finanziario dell’operatore, che agisce
all’epoca t, è di assicurarsi un importo unitario all’epoca t+2.
Come può procedere l’operatore?
1. Può stipulare un contratto a pronti che scade in t+2, pagando in t l’importo
v(t, t+2)
2. Può stipulare un contratto a termine che scade in t+2, pagando in t+1
l’importo v(t, t +1, t +2)
• In questo caso, qual è la somma che l’operatore deve investire all’epoca
t per assicurarsi la disponibilità della somma v(t, t +1, t +2) all’epoca t +1?
• La somma è v(t, t+1, t+2) attualizzata dall’epoca t+1 all’epoca t, cioè
moltiplicata per il fattore di attualizzazione v(t, t+1)
v(t, t +1, t +2) ⋅ v(t, t +1)
Equivalente finanziario (prezzo)
all’epoca t dell’importo
v(t, t+1, t+2) all’epoca t +1
v(t, t+1, t+2) ⋅ v(t, t+1)
Equivalente finanziario (prezzo)
all’epoca t +1 di un importo unitario
all’epoca t +2
v(t, t+1, t+2)
t
t+1
1
t+2
Riassumendo:
Per disporre di un importo unitario all’epoca t+2, l’operatore all’epoca t deve
investire
v(t, t + 2) in un’operazione a pronti
o
v(t, t + 1, t + 2) ⋅ v(t, t + 1) in un’operazione a termine
Possono i due importi differire ?
…NO
perché entrambe le operazioni finanziarie danno luogo allo stesso risultato (un
importo unitario) all’epoca t+2. Per le ipotesi che reggono il mercato dei capitali
ideale, esiste un solo prezzo per l’insieme delle operazioni che producono il
medesimo risultato finanziario.
Vale pertanto la seguente relazione
v(t, t + 2) = v(t, t + 1) ⋅ v(t, t + 1, t + 2)
(5)
che deriva dal principio di assenza di arbitraggio.
Dalla (5) segue immediatamente
v(t , t + 1, t + 2) =
v(t , t + 2)
v(t , t + 1)
la quale sottolinea come il prezzo della struttura a termine possa essere calcolato noti i prezzi a pronti. La struttura a termine è dunque implicita nella
struttura a pronti.
Esempio
Sul mercato all’epoca t :
• un BOT con scadenza un anno (t+1) quota V(t, t+1) = 95,69(*);
• un CTZ con scadenza due anni (t+2) quota V(t, t+2) = 91,57.
In ipotesi di assenza di arbitraggio si vuole determinare il prezzo a termine del
titolo che, acquistato all’epoca t e regolato all’epoca t+1, paga 100 all’epoca t+2.
Dalla
v(t , t + 1, t + 2) =
v(t , t + 2)
v(t , t + 1)
segue
v(t , t + 1, t + 2) =
91,57
= 0,95684
95,69
Pertanto il prezzo richiesto è 95,684.
(*) Con
v indichiamo il prezzo unitario. Per indicare il prezzo di importi non unitari si è soliti
utilizzare la lettera maiuscola.
Esempio 9 (arbitraggio)
Si supponga che nel mercato si osservino i seguenti prezzi:
v(t, t+1) = 0,98
v(t, t+1, t+2) = 0,96
v(t, t+2) = 0,958
La relazione v(t, t + 2) = v(t, t + 1) ⋅ v(t, t + 1, t + 2) non vale, essendo
0,958 > 0,98 ⋅ 0,96 = 0,9408
Come si sfrutta concretamente
l’incoerenza
tra prezzi che il mercato presenta?
Devo coprire questo esborso
Devo coprire questo esborso
t
Vendo in t il contratto a pronti
che scade in t+2
Profitto unitario
t+2
−1
+0,958
Compro in t il contratto a
termine (che regolo in t+1)
Compro in t 0,96 unità del
contratto a pronti che scade in t+1
t+1
−0,96
−0,96×0,98 =
− 0,9408
+0,96
+0,0172
0
+1
0
Esempio 10 (arbitraggio)
Si supponga che nel mercato si osservino i seguenti prezzi:
v(t, t+1) = 0,98
v(t, t+1, t+2) = 0,96
v(t, t+2) = 0,938
La relazione v(t, t + 2) = v(t, t + 1) ⋅ v(t, t + 1, t + 2) non vale, essendo
0,938 < 0,98 ⋅ 0,96 = 0,9408
Come siDevo
sfrutta
concretamente
l’incoerenza
tra prezzi
che ilentrata
mercato presenta?
azzerare
questa entrata
Devo azzerare
questa
t
Compro in t il contratto a pronti
che scade in t+2
−0,938
Vendo in t il contratto a termine
(che viene regolato in t+1)
Vendo in t 0,96 unità del contratto
a pronti che scade in t+1
Profitto unitario
t+1
t+2
+1
+0,96
+0,96×0,98 =
+ 0,9408
−0,96
+0,0028
0
−1
0
Principio di assenza di arbitraggio
Dagli esempi prima visti, sullo scadenzario dato dalle epoche t ≤ T ≤ s,
deduciamo lo schema generale.
Se fosse v(t, s) > v(t, T) v(t, T, s) la strategia
t
Vendo allo scoperto il contratto
a pronti che scade in s
Profitto unitario
s
−1
+v(t, s)
Compro il contratto a termine
che scade in s
Compro v(t,T,s) unità del contratto a pronti che scade in T
T
−v(t,T,s)
−v(t,T,s)v(t,T)
+v(t,T,s)
v(t,s)−v(t,T,s)v(t,T)
0
+1
0
darebbe luogo ad arbitraggio con un profitto unitario pari a v(t, s) − v(t, T) v(t, T, s).
Principio di assenza di arbitraggio
In maniera analoga, se fosse v(t, s) < v(t, T) v(t, T, s) la strategia
t
Compro il contratto a pronti
che scade in s
Profitto unitario
s
+1
−v(t, s)
Vendo il contratto a termine
che scade in s
Vendo v(t,T,s) unità del contratto a pronti che scade in T
T
+v(t,T,s)
+v(t,T,s)v(t,T)
−v(t,T,s)
v(t,T,s)v(t,T)−v(t,s)
0
−1
0
darebbe luogo ad arbitraggio con un profitto unitario pari a v(t, s) − v(t, T) v(t, T, s).
Condizione di non arbitraggio: osservazioni
Osservazione 1
In generale, come implicitamente appena visto, nel mercato ideale deve valere la
seguente relazione, di facile verifica
v(t + p, t + s ) = v(t + p, t + q ) ⋅ v(t + p, t + q, t + s )



v(t + p, t + q, t + s) =
v (t + p, t + s )
v(t + p, t + q )
(p ≤ q ≤ s)
(6)



Osservazione 2
Ricordando che v =
1
la relazione (6), scritta in funzione dei tassi di interesse, diviene
1+ i
i (t + p, t + s ) = [1 + i (t + p, t + q )][1 + i (t + p, t + q, t + s )] − 1



i (t + p, t + q, t + s ) =
1 + i (t + p, t + s )
−1
1 + i (t + p, t + q)
(7)



essendo i(t + p, t + s) e i(t + p, t + q) i tassi di interesse a pronti ed i(t + p, t + q, t + s) il
tasso di interesse a termine (entrambi periodali).
Condizione di non arbitraggio: osservazioni
Osservazione 3
Si consideri che nella (6) e nella (7) figurano rispettivamente i prezzi ed i tassi effettivi di
interesse periodali.
Nella (6) il prezzo v(t + p, t + q) è quello che osserviamo sul mercato per l’o.f. di durata
q − p [= t + p − (t + q)], il prezzo v(t + p, t + q, t + s) è quello relativo all’o.f. di durata s − q
[= t + s − (t + q)], il prezzo v(t + p, t + s) è relativo all’o.f. di durata s − p [= t + s − (t + p)].
Analogamente nella (7), in termini di tassi effettivi di interesse periodali.
Tasso periodale e tasso effettivo di interesse per periodo unitario
Con i(x, y) si è finora denotato il tasso effettivo di interesse periodale, cioè relativo al
periodo che intercorre tra le epoche x ed y. Così i(t, t+n) indica il tasso periodale che
caratterizza l’operazione che si sviluppa per n periodi unitari a partire dall’epoca t.
Problema
Il tasso periodale non può essere utilizzato per confrontare la convenienza finanziaria di
operazioni che hanno durate diverse.
Esempio
Si ha la possibilità di investire un importo:
(A) per tre mesi al tasso periodale i(0, 3) = 1,85%, oppure
(
(B) per tre mesi e dieci giorni al tasso periodale i 0,3 +
Quale operazione “appare” più conveniente?
10
30,416
) = 2,03%
Si potrebbe pensare che l’operazione (B) sia più redditizia dell’operazione (A), ma il
confronto tra i due tassi non è possibile direttamente, a causa della diversa durata delle
operazioni finanziarie. Se si riferiscono entrambi i tassi ad una stessa base, per esempio
all’anno, si realizza che l’operazione (A) è al tasso effettivo di interesse annuo iA = 7,61%
e l’operazione (B) è effettuata al tasso effettivo di interesse annuo iB = 7,51%. A dispetto
dell’intuizione, l’operazione (A) risulta più redditizia dell’operazione (B).
Tasso effettivo di interesse per periodo unitario
Problema
Occorre stabilire una relazione che, dato un tasso effettivo di interesse periodale,
consenta di “trasformare” il tasso riferendolo ad una diversa base temporale, per esempio
al periodo unitario.
Fissata l’unità di misura del tempo (p.es. l’anno), indichiamo con
i1(x, y)
il tasso effettivo di interesse riferito al periodo unitario dedotto dalle condizioni vigenti
sul mercato tra le epoche x ed y.
Adottando questa notazione, oltre che semplicemente come i(x, y), il tasso effettivo di
interesse periodale potrebbe anche scriversi come
iy−x(x, y)
a sottolineare che il periodo cui il tasso è relativo è quello compreso tra le epoche x ed y.
In genere l’omissione del pedice indicherà che il tasso è periodale, a meno che non sia
altrimenti precisato.
Ci interessa stabilire
• quale relazione deve esistere tra i1(x, y) e iy−x(x, y);
•
Più in generale, come si possa trasformare il periodo cui è riferito il tasso effettivo di
interesse (periodale).
Tassi periodale e tasso effettivo di interesse per periodo unitario
Ragioniamo a ritroso.
Il prezzo all’epoca t dell’o.f. di durata pari a n periodi unitari è v(t, t+n).
Data la struttura a pronti che vige all’epoca t+n−1, il prezzo che in t+n−1 assicura
all’epoca t+n un importo unitario è
v(t+n−1, t+n)
all’epoca t+n−1 l’importo v(t+n−1, t+n) [equivalente finanziariamente all’importo unitario
in t+n] è
v(t+n−2, t+n−1)⋅ v(t+n−1, t+n)
all’epoca t+n−2 l’importo v(t+n−2, t+n−1)⋅v(t+n−1, t+n) [equivalente finanziariamente
all’importo unitario in t+n] è
v(t+n−3, t+n−2)⋅v(t+n−2, t+n−1)⋅ v(t+n−1, t+n)
e così via fino all’epoca t.
Quindi…
Tassi periodali e tasso effettivo di interesse per periodo unitario
Fissiamo l’unità di misura del tempo (p.es. un anno) e consideriamo un’o.f. che si sviluppa
su un orizzonte di n periodi unitari (n anni). In particolare, consideriamo il prezzo all’epoca
t di un importo unitario disponibile all’epoca t + n, v(t, t+n).
Ipotesi
L’operazione finanziaria (unica) tra t e t + n
• può scomporsi in n operazioni la cui durata è pari al periodo unitario;
•
•
le n operazioni vengono effettuate tutte allo stesso tasso di interesse;
conducono allo stesso risultato finanziario.
Obiettivo
Dato il prezzo (e quindi il tasso effettivo di interesse) periodale, si vuole caratterizzare
l’operazione finanziaria attraverso un tasso effettivo di interesse per periodo unitario.
v(t, t+n)
v(t, t+1)
v(t+1, t+2)
v(t+2, t+3)
v(t+n−1, t+n)
1
t
t+1
.t+2
..
t+n−1
t+n
… all’epoca t, il prezzo che assicura un importo unitario all’epoca t+n attraverso una
successione di n operazioni a pronti che hanno tutte durata pari al periodo unitario
(roll-over) è
v(t , t + 1) ⋅ v(t + 1, t + 2) ⋅ ... ⋅ v(t + n − 1, t + n)
(8)
Ovvero, scritto in forma compatta
n −1
∏ v(t + s, t + s + 1)
(9)
s =0
Osservazione
Si noti che tutti i prezzi che figurano nella (8) [(9)] sono riferiti al periodo unitario. Usando la
notazione prima introdotta, potrebbero anche scriversi come
v1 (t , t + 1) ⋅ v1 (t + 1, t + 2) ⋅ ... ⋅ v1 (t + n − 1, t + n)




(
,
1)
v
t
+
s
t
+
s
+
∏
1

s =0

n −1
Conclusione
L’unica operazione di durata pari a n periodi unitari il cui prezzo all’epoca t è v(t, t+n) ed il
roll-over delle n operazioni, ciascuna di durata pari a un periodo unitario il cui prezzo aln −1
l’epoca t è
∏ v (t + s, t + s + 1)
1
danno come esito finale la disponibilità di un importo uni-
s =0
tario all’epoca t+n. Pertanto esse devono avere lo stesso valore anche all’epoca t.
Pertanto
n −1
v(t , t + n) = ∏ v1 (t + s, t + s + 1)
(10)
s =0
dalla quale, ricordando che v =
1
, segue
1+ i
n −1
i (t , t + n) = ∏ [1 + i1 (t + s, t + s + 1) ] − 1
(11)
s =0
Se nel periodo compreso tra le epoche t e t+n tutti i tassi effettivi di interesse a
pronti riferiti al periodo unitario fossero uguali, la (11) si ridurrebbe alla
n
i (t , t + n) = [1 + i1 (t , t + n) ] − 1
(13)
avendo indicato con i1(t, t+n) il tasso effettivo di interesse per periodo unitario osservato
sull’orizzonte di n periodi unitari a partire dall’epoca t.
Ricavando dalla (13) i1(t, t+n) si ottiene
1
n
i1 (t , t + n) = [1 + i (t , t + n)] − 1
(14)
Tasso di interesse medio per periodo unitario
Osservazione
La (14) esprime la relazione tra il tasso effettivo di interesse riferito al periodo unitario ed il
tasso effettivo di interesse periodale di un’operazione che si sviluppa su un orizzonte di n
periodi unitari, nell’ipotesi che nell’intero arco di tempo considerato il tasso per
periodo unitario rimanga invariato.
La relazione è tuttavia suscettibile di un’altra interpretazione: se la successione dei tassi a
pronti che figura al secondo membro della (11) viene rimpiazzata da una successione in
cui figura un tasso medio per periodo unitario, denotato con ι1 (t , t + n) , si giunge al
medesimo risultato.
n −1
i (t , t + n) = ∏ [1 + i1 (t + s, t + s + 1) ] − 1 =
s =0
n −1
= ∏ [1 + ι1 (t + s, t + s + 1) ] − 1 =
s =0
n
= [1 + ι1 (t , t + n) ] − 1
da cui segue banalmente:
1
n
ι1 (t , t + n) = [1 + i (t , t + n)] − 1
(15)
Benché formalmente la (15) equivalga alla (14), l’interpretazione finanziaria è differente: al
suo primo membro figura il tasso di interesse medio per periodo unitario.
Tasso di interesse medio per periodo unitario
Esempio
Pago € 87,6 oggi che mi assicurano la disponibilità di € 100 tra tre anni. Qual è il tasso
medio su base annua (avente cioè per periodo di riferimento l’anno)?
v(0,3) =
87,6
= 0,876
100
i (0,3) =
1
1
−1 =
− 1 = 0,141553
v(0,3)
0,876
Essendo n = 3 anni, si ha
1
3
ι1 (0,3) = [1 + 0,141553] − 1 = 0,045118
Il tasso di interesse medio per periodo unitario (approssimato alla seconda cifra
decimale) è pari al 4,51%.
Attenzione, si tratta di un tasso medio! Lo stesso risultato (a meno di un
errore dell’ordine di 6,3×10−6) si sarebbe raggiunto utilizzando, per esempio,
la seguente successione di tassi a pronti
i1(0,1) = 0,045118
i1(1,2) = 0,039250
i1(2,3) = 0,051000
Tassi equivalenti
Osservazione
Riconsideriamo la (13) e la (14)
n
i (t , t + n) = [1 + i1 (t , t + n) ] − 1
1
n
i1 (t , t + n) = [1 + i (t , t + n) ] − 1
che abbiamo dedotto a partire da un’operazione della durata di n periodi unitari.
Se anziché un multiplo del periodo unitario, n rappresentasse una frazione dello stesso,
cioè fosse n = 1/m con m>1, sostituendo nella (13) e nella (14) si avrebbe, rispettivamente
1
m
i 1 (t , t + ) = 1 + i1 (t , t + )  − 1
m
1
m
1
m
m
i1 (t , t + ) = 1 + i 1 (t , t + m1 )  − 1
m


1
m
(16)
(17)
nelle quali, per evitare ambiguità, il tasso periodale è stato precisato anche attraverso il
pedice.
Tassi equivalenti (segue)
Nel caso in cui il tasso effettivo di interesse riferito all’m-esima parte del periodo unitario
sia sempre lo stesso, è possibile omettere l’indicazione dell’intervallo di tempo cui lo stesso
è riferito e scrivere semplicemente
1
i 1 = (1 + i1 ) m − 1
(18)
m
(
i1 = 1 + i 1
m
)
m
(19)
−1
La (16) e (17) [(18) e (19)] definiscono le relazioni tra tassi equivalenti.
Rappresentando sullo scadenzario, si ha
i1
0
i1
i1
i1
m
m
m
1
m
2
m
m −1
m
m
m
=1
Osservazioni
1) Tutte le relazioni di equivalenza tra i tassi fin qui dedotte si basano sul principio di
assenza di arbitraggio. Come si vedrà in seguito, poiché tale principio vale per uno
specifico regime finanziario – che chiameremo della capitalizzazione composta – le
relazioni di equivalenza tra tassi sopra desunte valgono nell’ambito di tale regime. Per
gli altri regimi finanziari si possono ricavare relazioni di equivalenza analoghe a quelle
viste, seguendo lo stesso schema di ragionamento.
2) La (19) può essere scritta in una forma più generale, che consente di modificare la
base temporale di riferimento del tasso senza necessariamente riferirla al periodo
unitario (p.es. all’anno). Infatti, se questo è frazionato una volta in m1-esimi (p.es.
trimestri) ed una volta in m2-esimi (p.es. quadrimestri), vale sempre la (19)
( )
i1 = 1 + i 1
m1
(
i1 = 1 + i 1
−1
m1
m2
)
m2
−1
dalle quali, uguagliando e risolvendo, si ottiene
(
i 1 = 1+ i 1
m1
m2
)
m2
m1
−1
(20)
La (20) consente di modificare il periodo di riferimento del tasso di interesse da una
qualsiasi base ad una qualsiasi altra base (ivi inclusa, ovviamente, quella riferita al
periodo unitario), nelle ipotesi sopra richiamate.
Esempio
Il tasso effettivo di interesse quadrimestrale è pari all’1,8%. Determinare il tasso
trimestrale, il tasso semestrale e quello annuale equivalenti al tasso dato.
Numero di quadrimestri in un anno: m2 = 3
Numero di trimestri in un anno: mt = 4
Numero di semestri in un anno: ms = 2
Numero di anni in un anno: ma = 1
Pertanto, utilizzando la (20)
Tasso equivalente trimestrale
( ) − 1 = (1 + 0,018) − 1 = 0,013469851 (1,35%)
i 1 = 1 + i1
4
2
( )
3
2
3
− 1 = (1 + 0,018 ) 2 − 1 = 0,027121138 (2,71%)
3
3
1
( ) − 1 = (1 + 0,018) − 1 = 0,054977832 (5,50%)
i1 = 1 + i1
1
3
4
3
Tasso equivalente semestrale i1 = 1 + i1
Tasso equivalente annuale
3
4
3
3
1
I regimi finanziari
Capitalizzazione composta (con struttura piatta)
Riconsideriamo la relazione (15) nella forma
n
1 + i (t , t + n) = [1 + ι1 (t , t + n) ]
ovvero, ricordando la relazione tra r ed i, come
n
r (t , t + n) = [1 + ι1 (t , t + n)]
Se per ogni t e per ogni n risulta ι1 (t , t + n) = i1 , cioè il tasso di interesse è costante o – come anche si dice – la struttura dei tassi di interesse è piatta, allora (omettendo per
semplicità di notazione di indicare il pedice 1) si ha
r (t , t + n) = r (n) = (1 + i ) n = r n
(21)
da cui, sfruttando le relazioni fondamentali
v(t , t + n) = v(n) =
1
1
1
n
v
= n =
=
n
r ( n) r
(1 + i )
(22)
i (t , t + n) = i (n) = r (n) − 1 = r n − 1 = (1 + i ) n − 1
(23)
d (t , t + n) = d ( n) = 1 − v(n) = 1 − v n = 1 − (1 + i ) − n
(24)
Le leggi (21)−(24) non dipendono dall’epoca t ma dalla sola durata n dell’operazione. Se
anziché limitarsi alla durata n ∈
si considera una durata qualsiasi τ ∈ + le (21)−(24)
diventano
r (τ ) = rτ = (1 + i )τ
v (τ ) = vτ =
1
τ
(1 + i )
(25)
(26)
i (τ ) = rτ − 1 = (1 + i )τ − 1
(27)
d (τ ) = 1 − vτ = 1 − (1 + i ) −τ
(28)
Le relazioni (25)−(28) individuano il regime finanziario della capitalizzazione composta
in ipotesi di struttura piatta dei tassi di interesse.
Osservazione
Si noti la natura esponenziale della legge (25), una volta fissato il tasso di interesse. Dal
punto di vista finanziario, tale caratteristica significa assumere che gli interessi producano
a loro volta interessi (cd. anatocismo).
Grafici delle leggi finanziarie del regime della capitalizzazione composta
al variare del tasso di interesse (i = 2,5%; 5,0%; 7,5%; 10,0%)
Grafico della funzione r(τ ) = (1 + i)τ
Grafico della funzione i(τ ) = (1+i)τ − 1
8
7
7
6
6
5
i = 10,0%
i = 10,0%
4
i = 7,5%
i(τ )
r(τ )
5
4
i = 7,5%
3
3
i = 5,0%
2
i = 5,0%
2
i = 2,5%
1
1
i = 2,5%
0
0
0
5
10
τ
15
20
0
5
10
τ
15
20
Grafici delle leggi finanziarie del regime della capitalizzazione composta
Grafico della funzione v(τ ) = (1+i)−τ
Grafico della funzione d(τ ) = 1−(1+i)−τ
0.9
1.2
i = 10,0%
0.8
1
0.7
i = 7,5%
0.6
0.8
d(τ )
v(τ )
i = 2,5%
0.6
i = 5,0%
0.5
0.4
i = 5,0%
0.3
0.4
i = 2,5%
i = 7,5%
0.2
0.2
0.1
i = 10,0%
0
0
0
5
10
τ
15
20
0
5
10
τ
15
20
Capitalizzazione composta (Esempio)
Esempio
In regime di capitalizzazione composta si investe un importo di € 1.500 al tasso effettivo
annuo i = 4,7% per 3 anni e due mesi. Calcolare il montante, il fattore di attualizzazione, il
tasso di interesse ed il tasso di sconto periodali relativi alla durata dell’operazione.
r (t ) = (1 + 0,047)
Essendo
3 + 122
= 1,15655021
segue
M = 1.500 ⋅ (1 + 0,047)
v(t ) =
1
(1 + 0,047)
i (t ) = (1 + 0,047)
3 + 122
2
3 + 12
d (t ) = 1 − (1 + 0,047)
3 + 122
38
12
= 1.500 ⋅ (1 + 0,047) = € 1.734,825
= 0,864640368
− 1 = 0,15655021
(
− 3 + 122
)
= 0,135359632
(15,66%)
(13,54%)
Tassi periodali
Capitalizzazione semplice
Abbiamo visto che nel regime della capitalizzazione composta in ipotesi di struttura piatta
del tasso di interesse (e quindi con leggi finanziarie dipendenti dalla sola durata dell’o.f.) il
fattore di capitalizzazione di un’operazione di durata pari a t periodi unitari è
r (t ) = r t = (1 + i )t
Sviluppando in serie di potenze di i, con i<1, si ottiene
(1 + i )t = 1 + t ⋅ i +
t (t − 1) 2 t (t − 1)(t − 2) 3
i +
i + ...
2!
3!
Per t<1 (cioè per operazioni aventi durata inferiore al periodo unitario), la serie risulta a
termini di segno alterno e decrescenti
t ⋅i >
t (t − 1) 2 t (t − 1)(t − 2) 3
i >
i > ...
2!
3!
Pertanto, arrestando lo sviluppo ai primi due addendi, si ha
(1 + i )t ≅ 1 + i ⋅ t
e si commette un errore per eccesso inferiore a
t ( t −1) 2
2!
i
Il regime finanziario definito dalle leggi
r (t ) = 1 + i ⋅ t
(29)
i (t ) = i ⋅ t
(30)
v(t ) =
1
1+ i ⋅t
(31)
d (t ) =
i ⋅t
1+ i ⋅t
(32)
prende il nome di capitalizzazione (o interesse) semplice.
Osservazione
La relazione (29) è stata derivata dal regime della capitalizzazione composta in maniera
esclusivamente analitica, sviluppandone in serie il fattore di capitalizzazione.
E’ opportuno definire il regime della capitalizzazione semplice anche a partire da ipotesi
finanziarie.
Con riferimento allo scadenzario
r(t, t)
t
r(t, t+1) r(t, t+2)
t+1
t+2
r(t, t+k) r(t, t+k+1)
...
t+k
t+k+1
r(t, t+n)
...
t +n
il regime della capitalizzazione semplice può dedursi in via finanziaria assumendo che
l’interesse prodotto tra t + k e t + k + 1, It+k, t+k+1, sia proporzionale:
• al capitale investito all’epoca t;
• alla durata (su base unitaria) dell’operazione;
• al tasso di interesse del periodo (t + k, t + k + 1)
cioè
I t + k ,t + k +1 := r (t , t + k + 1) − r (t , t + k ) = r (t , t ) ⋅1 ⋅ i (t + k , t + k + 1)
da cui
r (t , t + k + 1) = r (t , t + k ) + r (t , t ) ⋅1 ⋅ i (t + k , t + k + 1)
ovvero, essendo r(t, t) = 1, (qui si considera un importo iniziale unitario)
r (t , t + k + 1) = r (t , t + k ) + i (t + k , t + k + 1),
k = 0,..., n − 1
(33)
Dalla (33), procedendo iterativamente
r (t , t + 1) = r (t , t ) + i (t , t + 1) = 1 + i (t , t + 1)
r (t , t + 2) = r (t , t + 1) + i (t + 1, t + 2) = 1 + i (t , t + 1) + i (t + 1, t + 2)
M
r (t , t + k ) = r (t , t + k − 1) + i (t + k − 1, t + k ) = 1 + i (t , t + 1) + i (t + 1, t + 2) + ... + i (t + k − 1, t + k )
M
r (t , t + n) = r (t , t + n − 1) + i (t + n − 1, t + n) =
= 1 + i (t , t + 1) + i (t + 1, t + 2) + ... + i (t + n − 1, t + n) =
n −1
= 1 + ∑ i (t + k , t + k + 1)
(34)
k =0
Osservazione
Si noti che la (34), che esprime il fattore di capitalizzazione nel regime della
capitalizzazione semplice attraverso la successione dei tassi a pronti, è una relazione
lineare. Dalla (34), assumendo una struttura piatta dei tassi, si ricavano banalmente le
(29)−(32).
Grafici delle leggi finanziarie del regime della capitalizzazione semplice
Grafico della funzione r(τ ) = 1+i⋅τ
Grafico della funzione i(τ ) = i⋅τ
2.5
3.5
i = 10,0%
3
i = 10,0%
2.5
i = 7,5%
2
i = 5,0%
i = 2,5%
1.5
i = 7,5%
1.5
i(τ )
r(τ )
2
i = 5,0%
1
1
i = 2,5%
0.5
0.5
0
0
0
5
10
τ
15
20
0
5
10
15
τ
20
Grafici delle leggi finanziarie del regime della capitalizzazione semplice
Grafico della funzione v(τ ) = (1+i⋅τ )−1
Grafico della funzione d(τ ) = i⋅τ /(1+ i⋅τ )
1.2
0.8
0.7
i = 10,0%
1
0.6
i = 7,5%
0.8
i = 2,5%
0.5
i = 5,0%
0.4
v(τ )
i = 7,5%
d(τ )
i = 5,0%
0.6
0.3
i = 2,5%
0.4
i = 10,0%
0.2
0.2
0.1
0
0
0
5
10
τ
15
20
0
5
10
15
τ
20
Osservazioni
1. E’ immediato verificare che per la linearità della legge del tasso di interesse (i(t)=i⋅t)
del regime finanziario della capitalizzazione semplice, il tasso effettivo di interesse
riferito all’m-esima parte del periodo unitario in ipotesi di struttura piatta [v. la (18)],
diventa
i1 = i ⋅
m
1 i
=
m m
Questa osservazione sarà utile in seguito, quando tratteremo il tasso convertibile.
2. Il regime finanziario della capitalizzazione semplice può applicarsi ad operazioni di
durata qualsiasi, ma viene per lo più utilizzato in operazioni finanziarie di durata non
superiore all’anno. E’ comodo esprimere il tempo in giorni, distinguendo tra anno
commerciale (360 giorni) ed anno solare (365 giorni). Così, l’ interesse prodotto dal
capitale P impiegato per g giorni al tasso i, utilizzando l’anno commerciale, è
I t ,t + g = P × i ×
Il rapporto
g
P× g
=
360 360
i
360
= D è detto generalmente divisore fisso.
i
(35)
Capitalizzazione semplice (esempi)
Esempio
I Buoni Ordinari del Tesoro (BOT) costituiscono un esempio di titoli obbligazionari a
cedola nulla con rendimento calcolato secondo il regime della capitalizzazione semplice.
Più precisamente il rendimento è pari alla differenza tra il valore di rimborso ed il prezzo
di acquisto (o, nel caso il titolo sia acquistato all’emissione, il prezzo di sottoscrizione).
Il tasso di interesse netto (periodale, a partire dalla data di acquisto fino a scadenza) dei
BOT è dato dalla:
i=
( M − p )(1 − a ) − c 360
×
p (1 − a ) + aM + c
g
essendo:
i il tasso di interesse
M il valore nominale
p il prezzo di acquisto
a l’aliquota fiscale (attualmente 12,5% applicato alla sottoscrizione)
c la commissione applicata dall’intermediario finanziario
g i giorni a scadenza
Come si ricava la (36)?
(36)
Capitalizzazione semplice (esempi, segue)
In regime di capitalizzazione semplice il montante M è dato dalla
M = p(1 + i⋅t)
(37)
Si denoti con a l’aliquota fiscale applicata al reddito generato dal titolo obbligazionario e
con c la commissione applicata dall’intermediario finanziario. Il prezzo di acquisto
comprensivo dell’imposta e della commissione è allora
pac = p + a(M − p) + c
(38)
Combinando la (37) e la (38) si ha
M = pac(1 + i⋅t)
dalla quale segue
i=
M pac − 1 M − pac
=
t
t ⋅ pac
Sostituendo la (38) nella (39)
i=
=
M − [ p + a ( M − p ) + c] M − p − aM + ap − c
=
=
[ p + a( M − p) + c] ⋅ t
( p + aM − ap + c ) ⋅ t
M (1 − a ) − p (1 − a ) − c
( M − p )(1 − a ) − c
=
[ p (1 − a ) + aM + c] ⋅ t [ p (1 − a ) + aM + c] ⋅ t
(39)
Capitalizzazione semplice (esempi, segue)
Esprimendo il tempo in frazione d’anno, cioè come t = g/360 essendo g il numero dei
giorni, si ha infine la (36):
i=
( M − p )(1 − a ) − c 360
×
p (1 − a ) + aM + c
g
Esempio
Si acquista in asta un BOT con scadenza tra 180 giorni al prezzo di 98,20 e si paga una
commissione pari allo 0,2%. Calcolare il rendimento netto.
Calcoliamo la ritenuta fiscale:
12,5% × (100 − 98,20) = 0,225
Calcoliamo il prezzo netto di
aggiudicazione (prezzo di
acquisto+commissioni+ritenuta fiscale):
98,20 + 0,2 + 0,225 = 98,625
Calcoliamo l’interesse netto:
100 – 98,625 = 1,375
Calcoliamo il rendimento semplice:
i=
I 360 1,375 360
×
=
×
= 0,027883
p g
98,625 180
Allo stesso risultato si perviene applicando la (36) con M=100, p=98,20, g=180,
a=0,125 e c=0,2.
Sconto commerciale
Ricordiamo che nel regime della capitalizzazione composta in ipotesi di struttura piatta del
tasso di interesse (e quindi con leggi finanziarie dipendenti dalla sola durata dell’o.f.) il
fattore di attualizzazione di un’operazione di durata pari a t periodi unitari è
v (t ) = vt = (1 + i ) −t = (1 − d )t
Sviluppando in serie di potenze di d, con d<1, si ottiene
(1 − d )t = 1 + t ⋅ (−d ) +
t (t − 1)
t (t − 1)(t − 2)
( −d ) 2 +
(− d )3 + ...
2!
3!
Per t<1 (cioè per operazioni aventi durata inferiore al periodo unitario), la serie risulta a
termini di segno negativo e decrescenti
0 > t ⋅ (−d ) >
t (t − 1)
t (t − 1)(t − 2)
(−d )2 >
(− d )3 > ...
2!
3!
Pertanto, arrestando lo sviluppo ai primi due addendi, si ha (con un errore per eccesso)
(1 − d )t ≅ 1 − d ⋅ t
Sconto commerciale
Il regime finanziario definito dalle leggi
v (t ) = 1 − d ⋅ t
(40)
d (t ) = d ⋅ t
(41)
r (t ) =
1
1− d ⋅t
(42)
i (t ) =
d ⋅t
1− d ⋅t
(43)
prende il nome di sconto (o capitalizzazione) commerciale
Osservazione
La relazione (40) è stata derivata dal regime della capitalizzazione composta in maniera
esclusivamente analitica, sviluppandone in serie il fattore di attualizzazione.
E’ opportuno definire il regime dello sconto commerciale anche a partire da ipotesi
finanziarie.
Sconto commerciale
Il regime dello sconto commerciale (impiegato per lo più in operazioni di anticipazione
bancaria di breve durata) è definito richiedendo che lo sconto relativo all’anticipazione
di un capitale disponibile in un’epoca futura risulti proporzionale:
• al capitale da scontare;
• al tasso di sconto;
• alla durata dell’anticipazione.
In altri termini
D = M⋅d(t) = M ⋅ d ⋅ t
(41’)
essendo (con notazione solita) M il capitale da anticipare, d il tasso di sconto e t la durata
dell’operazione di anticipazione.
Il capitale scontato è quindi
P = M − D = M − M⋅d⋅t = M(1 − d⋅t) = M⋅v(t)
Dalle (40‘) e (41‘) è immediato ricavare le relazioni (40)−(43).
(40’)
Sconto commerciale
Osservazioni
1. E’ immediato verificare che per la linearità della legge del tasso di sconto (d(t) = d⋅t)
del regime finanziario dello sconto commerciale, il tasso effettivo di sconto riferito
all’m-esima parte del periodo unitario, in ipotesi di struttura piatta [v. la (18)], diventa
d1 = d ⋅
m
1 d
=
m m
Questa osservazione sarà utile in seguito, quando tratteremo il tasso convertibile
2. Si noti che per conservare significato finanziario, nella (40) [o (40’)] deve essere
1− d ⋅t > 0
⇔
t<
1 1+ i
=
d
i
(44)
La (44) costituisce pertanto un vincolo logico nelle relazioni che definiscono il regime
dello sconto commerciale.
Sconto commerciale
Grafici delle leggi finanziarie del regime dello sconto commerciale
200
Grafico della funzione r(τ ) = (1−d⋅τ )−1
Grafico della funzione i(τ ) = d⋅τ /(1− d⋅τ )
100
i = 10,0%
d = 0,0909
180
160
80
i = 7,5%
d = 0,0697
140
i = 5,0%
d = 0.0476
70
60
100
i(τ )
120
r(τ )
i = 7,5%
d = 0,0697
i = 10,0%
d = 0,0909
90
i = 5,0%
d = 0.0476
80
50
i = 2,5%
d = 0,0244
40
60
30
i = 2,5%
d = 0,0244
40
20
20
10
0
0
0
5
10
15
20
τ
τ < 1/ 0,0909=11
τ <1/ 0,0697≅14,3
25
30
35
40
45
τ < 1/ 0,0476=21
τ < 1/ 0,0244=41
0
5
10
15
20
25
τ
30
35
40
45
Sconto commerciale
Grafici delle leggi finanziarie del regime dello sconto commerciale
Grafico della funzione v(τ ) = 1−d⋅τ
1.2
Grafico della funzione d(τ ) = d⋅τ
1.2
1
i = 7,5%
d = 0,0697
i = 10,0%
d = 0,0909
1
i = 7,5%
d = 0,0697
0.8
0.8
d(τ )
v(τ )
i = 5,0%
d = 0.0476
0.6
0.4
0.6
i = 2,5%
d = 0,0244
0.4
i = 5,0%
d = 0.0476
0.2
i = 2,5%
d = 0,0244
0.2
i = 10,0%
d = 0,0909
0
0
0
5
10
15
20
τ
τ < 1/ 0,0909=11
τ <1/ 0,0697≅14,3
25
30
35
40
45
τ <1/ 0,0476=21
τ <1/ 0,0244=41
0
5
10
15
20
25
τ
30
35
40
45
Confronto tra regimi finanziari
Grafico del fattore di capitalizzazione dei tre regimi finanziari analizzati
Sconto
commerciale
Capitalizzazione
composta
t<1
A chi investe conviene il regime
della capitalizzazione semplice
r(t)
A chi si finanzia conviene il regime
dello sconto commerciale
Capitalizzazione
semplice
1+i
t>1
A chi investe conviene il regime
dello sconto commerciale
A chi si finanzia conviene il regime
della capitalizzazione semplice
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Confronto tra regimi finanziari
Grafico del fattore di attualizzazione dei tre regimi finanziari analizzati
1
1
1+ i
v(t)
Capitalizzazione
semplice
Sconto
commerciale
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
1.2
1.4
1.6
Capitalizzazione
composta
1.8
2
Tasso convertibile ed intensità
istantanea di interesse
Tasso convertibile
Riconsideriamo il tasso effettivo di interesse riferito all’m-esima parte del periodo unitario in
ipotesi di struttura piatta, definito dalla (18).
1
m
i 1 = (1 + i1 ) − 1
m
Ricordiamo che la relazione (18) è stata dedotta da considerazioni basate sul principio di
assenza di arbitraggio che, come si vedrà più avanti, valgono per il regime finanziario della
capitalizzazione composta.
Definiamo
tasso nominale (per periodo unitario) rinnovabile
(o convertibile) m volte nel periodo unitario
il prodotto
j ( m) = m ⋅ i 1
m
(45)
Tasso convertibile
Osservazioni
1. Il tasso convertibile j(m) esprime un’intensità. Infatti, dimensionalmente
i1
j ( m) = m ⋅ i 1 =
m
m
1
m
(numero puro)
(tempo −1 )
2. Analogamente a quanto fatto per il tasso di interesse, è possibile definire il tasso
nominale di sconto per periodo unitario rinnovabile m volte nel periodo unitario
semplicemente sostituendo nella (45) d1/m a i1/m, cioè
ρ ( m) = m ⋅ d
(46)
1
m
essendo, nell’ambito del regime della capitalizzazione composta, il tasso di sconto
relativo all’m-esima parte del periodo unitario
d 1 = 1 − (1 − d )
m
1
m
Tasso convertibile
Il tasso nominale j(m) “converte” il tasso effettivo di interesse relativo all’m-esima parte del
periodo unitario, i1/m, riferendolo al periodo unitario stesso.
Benché il tasso convertibile sia spesso impiegato nella pratica (è il tasso tipicamente usato
per le obbligazioni), la conversione non è finanziariamente corretta perché equivale a
sommare m volte il tasso i1/m relativo a sottoperiodi diversi del periodo unitario.
Si consideri l’esempio seguente:
m volte
i1
m
i1
i1
i1
m
m
m
P=1
t
t + m1
t + m2
t + mm−1
t + mm = t + 1
In regime di capitalizzazione composta su base pari ad un m-esimo di periodo unitario, la
conversione significa che ad ogni scadenza l’investitore di un capitale unitario (P=1) riscuote come interesse l’ammontare i1/m, cosicché – nell’intero periodo unitario – viene riscosso
complessivamente l’interesse m⋅i1/m. La scorrettezza finanziaria nasce dal fatto che ogni
importo i1/m matura in un’epoca differente del periodo unitario e quindi non potrebbe
essere sommato ai rimanenti, se non dopo essere stato riferito ad una stessa epoca.\
Tasso convertibile
Il tasso convertibile è definito come j (m) = m ⋅ i 1.
m
L’espressione si particolarizza in rapporto al regime finanziario:
1
1. Nel regime della capitalizzazione composta, ricordando che è i 1 = (1 + i ) m − 1 , si ha
m
j (m) = m ⋅  (1 + i ) − 1


1
m
(47)
2. Nel regime della capitalizzazione semplice, ricordando che i 1 =
m
i
j ( m) = m ⋅ = i
m
(48)
3. Nel regime dello sconto commerciale, ricordando che d 1 =
m
ρ ( m) = m ⋅
d
=d
m
i
, si ha
m
d
, si ha
m
(49)
Per cogliere il significato finanziario del tasso convertibile analizzeremo nel dettaglio la (47).
Assumeremo cioè in primo luogo che il regime finanziario sia quello della capitalizzazione
composta. Solo successivamente generalizzeremo i risultati.
Tasso convertibile (esempio)
Esempio
Con riferimento al regime finanziario della capitalizzazione composta, si calcoli il tasso
nominale annuo j(m) per un frazionamento:
• semestrale (m = 2)
• quadrimestrale (m = 3)
• trimestrale (m = 4)
• mensile (m = 12)
equivalente al tasso effettivo annuo di interesse del 5%.
j (2) = 2 ⋅ (1 + 0,05) 2 − 1 = 0,04939015


(4,939%)
j (3) = 3 ⋅ (1 + 0,05) 3 − 1 = 0,04918907


(4,919%)
j (4) = 4 ⋅ (1 + 0,05) 4 − 1 = 0,04908894


(4,909%)
j (12) = 12 ⋅ (1 + 0,05) 12 − 1 = 0,04888949


(4,889%)
1
1
1
1
Tasso convertibile
Tassi effettivi annui →
1,0000%
2,0000%
3,0000%
4,0000%
5,0000%
Tasso nominale annuo
m
Annuale
1
1,0000%
2,0000%
3,0000%
4,0000%
5,0000%
Semestrale
2
0,9975%
1,9901%
2,9778%
3,9608%
4,9390%
Quadrimestrale
3
0,9967%
1,9868%
2,9705%
3,9478%
4,9189%
Trimestrale
4
0,9963%
1,9852%
2,9668%
3,9414%
4,9089%
Mensile
12
0,9954%
1,9819%
2,9595%
3,9285%
4,8889%
Settimanale
52
0,9951%
1,9806%
2,9567%
3,9236%
4,8813%
Giornaliero
365
0,9950%
1,9803%
2,9560%
3,9223%
4,8793%
∞
0,9950%
1,9803%
2,9559%
3,9221%
4,8790%
0,0000001
0,0000005
0,0000012
0,0000021
0,0000033
Continuo
∆tra giorn. e continuo
Osservazione
Al crescere del frazionamento m il tasso convertibile decresce e tende ma stabilizzarsi ad
un valore che dipende dal tasso effettivo annuo. Per dedurre la relazione analitica che
esiste, nel regime della capitalizzazione composta, tra i e j(m) quando m cresce
indefinitamente è necessario studiare la funzione j(m).
Tasso convertibile ed intensità istantanea di interesse
Studio della funzione j(m)
Insieme di definizione:
∀m ∈
:m ≠ 0
(finanziariamente ha senso m > 0)
1
Limiti:
lim j (m) = lim m ⋅ (1 + i ) − 1 = lim

 m →±∞
m →±∞
m →±∞
1
m
(1 + i ) m − 1
1
m
lim− j ( m) = lim− m ⋅ (1 + i ) m − 1 = 0


m →0
m→0
(immediato)
lim+ j ( m) = lim+ m ⋅ (1 + i ) m − 1 = +∞


m →0
m→0
( de L ' Hospital )
1
1
Segno: j (m) > 0
Derivata prima:
(l. notevole)
= log(1 + i)
∀m ∈ I .D.
1
1
dj (m)
1
= (1 + i ) m − 1 − (1 + i ) m log(1 + i )
dm
m
dj ( m )
dj ( m )
dj ( m )
= 0 , lim
= 0 , lim−
= −1 ,
lim
m →−∞ dm
m →+∞ dm
m→0
dm
Segno della derivata prima:
dj (m)
<0
dm
∀m ∈ I .D.
lim+
m →0
dj ( m )
= −∞
dm
(j ( m) decrescente per m ∈ I .D.)
Tasso convertibile ed intensità istantanea di interesse
Studio della funzione j(m) (segue)
Derivata seconda:
1
d 2 j ( m) 1
2
m
=
(1
+
i
)
log
(1 + i )
2
3
dm
m
Segno della derivata seconda:
dj 2 ( m )
>0
2
dm
dj 2 (m)
<0
dm 2
Grafico della funzione:
per m > 0
(j (m) convessa per m > 0)
per m < 0
(j (m) concava per m < 0)
j(m)
log(1+i)
m
Intensità istantanea di interesse
Consideriamo il lim j (m) = log(1 + i )
m →±∞
Per definizione poniamo δ = log(1+ i) e chiamiamo δ
Tasso nominale di interesse per periodo
unitario rinnovabile istante per istante
o, più sinteticamente
Intensità istantanea di interesse
L’intensità istantanea di interesse δ esprime con quale intensità la legge di
capitalizzazione accresce l’interesse, nell’ipotesi che il regime finanziario sia quello della
capitalizzazione composta (istantanea poiché m → ∞).
Tasso di sconto convertibile ed intensità istantanea
Oltre al tasso di interesse convertibile, è stato definito anche il tasso di sconto convertibile
come [cfr. (46)]
ρ ( m) = m ⋅ d
1
m
Ricordando che nel regime della capitalizzazione composta è
1
v1 = vm
1
⇒
m
1
⇒
1 − d 1 = (1 − d ) m
d 1 = 1 − (1 − d ) m
m
m
segue che, in tale regime,
ρ ( m) = m ⋅ 1 − (1 − d ) 
1
m


Per rappresentare graficamente la funzione ρ(m) è sufficiente osservare che
ρ ( m) = m ⋅ 1 − (1 − d ) m  = m ⋅ 1 − v m =


−1
−1
= m ⋅ 1 − (1 + i ) m = − m ⋅ (1 + i ) m − 1 = j ( − m)


(
1
(
1
)
)
Questo è il motivo per cui si è studiata la funzione j(m) sull’intero asse reale (con m≠0)
anziché solo per valori positivi di m.
Tasso di sconto convertibile ed intensità istantanea
Pertanto, il grafico della funzione è:
ρ(m)= j(−m)
−log(1−d)
m
Osserviamo in particolare che
lim ρ (m) = lim
m →±∞
1 − (1 − d )
m →±∞
1
m
1
m
= lim
1
m
→0
1 − (1 − d )
1
m
1
m
= − log(1 − d )
(limite notevole)
e poniamo per definizione
ρ = −log(1 − d)
ρ è detto tasso nominale di sconto per periodo unitario rinnovabile istante per
istante o, più sinteticamente, intensità istantanea di sconto.
Significato finanziario
Osservazione
Confrontiamo le due espressioni
δ = log(1 + i )
(50)
ρ = − log(1 − d )
(51)
i
, segue, sostituendo nella (51)
1+ i
i 

 1 
ρ = − log(1 − d ) = − log 1 −
=
−
log


 = − [ log1 − log(1 + i )] = log(1 + i ) = δ
1
+
i
1
+
i




Ricordando che è d =
cioè
δ = ρ
L’intensità istantanea di interesse è uguale all’intensità istantanea di sconto.
Infatti, dato il significato finanziario di intensità istantanea di interesse e di sconto, non ha
senso distinguere l’inizio e la fine di un intervallo di tempo di ampiezza infinitesima.
Generalizzazione
Osservazione
Lo studio dei tassi di interesse e di sconto convertibili ha riguardato finora il caso
particolare del regime finanziario della capitalizzazione composta, per il quale le definizioni
di j(m) e ρ(m) si particolarizzano – come ampiamente visto – nelle:
j (m) = m ⋅ (1 + i ) m − 1


1
e
ρ (m) = m ⋅ 1 − (1 − d ) 

1
m

Il comportamento al limite dei tassi di interesse e di sconto convertibili ha condotto a
definire l’intensità istantanea (di interesse e di sconto), sempre nell’ambito del regime della
capitalizzazione composta.
L’obiettivo diviene quindi la generalizzazione di tale risultato, vale a dire la definizione di
un’intensità istantanea a prescindere dallo specifico regime finanziario.
L’importanza di tale estensione risiede nel fatto che – come si vedrà – l’espressione che
dedurremo in generale, scritta per ciascuno specifico regime finanziario, permetterà di
stabilire se il regime stesso consente o meno opportunità di arbitraggio.
Generalizzazione (il caso di leggi dipendenti dalla sola durata)
Consideriamo il fattore di capitalizzazione come dipendente dalla sola durata dell’operazione finanziaria e valutiamo l’interesse prodotto tra le epoche t0 e t0+∆t da un importo unitario
investito all’epoca 0.
r(t0 + ∆t)
It0, t0 + ∆t
r(t0)
1
0
t0
t0 + ∆t
Moltiplicando e dividendo per r(t0), l’interesse I t0 , t0 + ∆t = r (t0 + ∆t ) − r (t0 ) può essere scritto
in modo equivalente come
I t0 ,t0 + ∆t = r (t0 )
r (t0 + ∆t ) − r (t0 )
r (t0 )
(52)
Generalizzazione (il caso di leggi dipendenti dalla sola durata)
Poiché per ipotesi la funzione r(t) è continua e derivabile, l’incremento r(t0+∆t) − r(t0) può
essere approssimato dal differenziale r’(t0)⋅∆t, quando ∆t→0.
r(t0 + ∆t)
r(t0+∆t)−r(t0)
r’(t0)⋅∆t
r(t0)
y = r(t0) + r’(t0)⋅∆t
1
0
t0
t0 + ∆t
Sostituendo nella (52) si ha
I t0 ,t0 + ∆t = r (t0 ) ⋅
r (t0 + ∆t ) − r (t0 )
r '(t0 ) ⋅ ∆t
r '(t0 )
≅ r (t0 ) ⋅
= r (t0 ) ⋅
⋅ ∆t
r (t0 )
r (t0 )
r (t0 )
(∆t → 0)
Forza di interesse (per leggi dipendenti dalla sola durata)
Ovvero, per t qualsiasi
I t ,t + ∆t ≅ r (t ) ⋅
r '(t )
⋅ ∆t
r (t )
( ∆t → 0)
Concludendo, un capitale unitario investito all’epoca 0 determina tra t e t+∆t un interesse
proporzionale:
• al capitale r(t) disponibile in t ;
• all’intervallo di tempo ∆t ;
• alla funzione
r '(t )
r (t )
Ricordando che D log r (t ) =
r '(t )
, poniamo per definizione
r (t )
δ (t ) = D log r (t ) =
r '(t )
r (t )
(53)
La funzione δ(t) prende il nome di forza di interesse o Intensità istantanea di interesse.
Integrando entrambi i membri della (53), si ha
t
t
t
∫ δ ( s)ds = ∫ D log r ( s)ds ;
∫ δ (s)ds = [log r (s)]0 ;
0
0
t
0
t
log r (t ) − log r (0) = ∫ δ ( s )ds ;
t
log r (t ) = ∫ δ ( s )ds
0
0
cioè infine
r (t ) =
t
∫ δ ( s ) ds
e0
(54)
Data la forza di interesse, la (54) consente di ricavare il fattore di capitalizzazione.
Sfruttando le relazioni fondamentali, segue
v(t ) =
1
1
= t
r (t )
∫ δ ( s ) ds
e0
t
− ∫ δ ( s ) ds
=e 0
Data la forza di interesse, la (55) consente di ricavare il fattore di attualizzazione.
(55)
Osservazione
1
Riconsideriamo la relazione r (t ) =
, dalla quale segue
v(t )
r '(t ) = −
v '(t )
v 2 (t )
Sostituendo il risultato nella (53) si ha
δ (t ) =
r '(t )
v '(t ) 1
v '(t )
v '(t )
=− 2 ⋅
= − 2 ⋅ v(t ) = −
= − D log v (t )
r (t )
v (t ) r (t )
v (t )
v (t )
(56)
Nella forma espressa dalla (56), la funzione δ(t) prende il nome di forza di sconto o
intensità istantanea di sconto.
Si osservi che, integrando entrambi i membri della (56), si perviene sempre alla (55).
t
t
t
∫ δ ( s)ds = −∫ D log v(s)ds ;
∫ δ ( s)ds = − [log v(s)]0 ;
0
0
0
t
− log v(t ) + log v(0) = ∫ δ ( s )ds ;
0
da cui infine v (t )
t
− ∫ δ ( s ) ds
=e 0
, cioè la (55).
t
t
log v (t ) = − ∫ δ ( s )ds
0
Esempio
Sia data la forza di interesse δ(t) = 1 + t2. Calcolare il fattore di capitalizzazione
corrispondente.
t
∫ δ ( s ) ds
r (t ) = e
0
=
t
2
∫ (1+ s ) ds
=e
0
=e
t
 s3 
s + 3 

0
3
=
t+t
e 3
Osserviamo che sono verificate le condizioni perché r(t) sia un fattore di capitalizzazione:
10
r (t ) > 0 , ∀t ∈
9
r (0) = 1
8
3
2
r '(t ) = (1 + t )e
t + t3
> 0 , ∀t ∈
(r (t ) è crescente)
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1. Nel regime della capitalizzazione composta è r(t) = (1 + i)t, per cui
r '(t ) (1 + i )t log(1 + i )
δ (t ) =
=
= log(1 + i ) = δ
t
r (t )
(1 + i )
Si osservi che, in questo regime, la forza di interesse non dipende dal tempo. Si osservi
inoltre che la (53) generalizza la (50), nel senso che recupera il valore di δ già calcolato
come limite del tasso di interesse convertibile al tendere di m ad infinito.
Si consideri
δ = log(1 + i )
⇔
eδ = 1 + i
⇔
eδ t = (1 + i )t
Pertanto, nel regime della capitalizzazione composta, il fattore di capitalizzazione può
scriversi come
r (t ) = eδ t
(57)
Dalla (57), attraverso le relazioni fondamentali, seguono le
1
1
= δ t = e −δ t
r (t ) e
(58)
i (t ) = r (t ) − 1 = eδ t − 1
(59)
d (t ) = 1 − v(t ) = 1 − e −δ t
(60)
v(t ) =
2. Nel regime della capitalizzazione semplice è r(t) = 1 + i⋅t, per cui
δ (t ) =
r '(t )
i
=
r (t ) 1 + i ⋅ t
Si osservi che, in questo regime, la forza di interesse dipende dal tempo.
3. Nel regime dello sconto commerciale è
r (t ) =
1
1− d ⋅t
d
r '(t ) (1− d ⋅t )2
d
d
δ (t ) =
=
=
−
d
⋅
t
=
(1
)
2
1
r (t )
−
d
⋅
t
(1
)
1− d ⋅t
1− d ⋅t
Si noti che, in questo regime, la forza di interesse dipende dal tempo.
Forza di interesse (per leggi dipendenti da epoca iniziale e finale)
Per definire la forza di interesse anche in relazione a leggi dipendenti dall’epoca iniziale e
finale dell’operazione finanziaria, consideriamo il fattore di capitalizzazione r(x, y). Si avrà che
l’interesse prodotto tra le epoche y ed (y + ∆y) da un importo unitario investito all’epoca x è
dato da
I y , y +∆y = r ( x, y + ∆y ) − r ( x, y )
Tale differenza, fatte le opportune ipotesi sulla funzione r, potrà approssimarsi mediante il
differenziale, calcolato derivando parzialmente rispetto alla variabile y.
I y , y +∆y ≅
∂r ( x, y ) ⋅
∆y = r ( x, y ) ⋅
∂y
∂r ( x , y )
∂y
r ( x, y )
⋅ ∆y
(∆y → 0)
La funzione
∂
δ ( x, y ) = log r ( x, y ) =
∂y
∂ r ( x, y )
∂y
r ( x, y )
(61)
definisce la forza di interesse per operazioni finanziarie dipendenti dall’epoca iniziale
e finale.
E’ immediato verificare che la (61) può scriversi anche in termini di fattore di attualizzazione
come
∂
δ ( x, y ) = −
v( x, y )
∂y
v( x, y )
(62)
Analogamente a quanto fatto per la forza di interesse nel caso di leggi dipendenti dalla sola
durata, integrando ambo di membri della (61) rispetto alla variabile y e sviluppando, si ha
y
y
y
∂
=
δ
(
x
,
s
)
ds
∫x
∫x ∂s log r ( x, s) ds
y
∫ δ ( x, s)ds = [log r ( x, s)]x ⇒
⇒
x
y
y
∫ δ ( x, s)ds = log r ( x, y) − log r ( x, x)
∫ δ ( x, s)ds = log r ( x, y )
⇒
x
x
da cui infine
y
∫ δ ( x , s ) ds
r ( x, y ) = e x
(63)
Con la (63), nota la forza di interesse, ricaviamo la legge di capitalizzazione.
Al solito, ricordando la relazione r ( x, y ) =
1
si ha anche
v ( x, y )
y
v ( x, y ) =
1
y
∫
− δ ( x , s ) ds
=e
x
∫ δ ( x , s ) ds
ex
Con la (64), nota la forza di interesse, ricaviamo la legge di attualizzazione.
(64)
Osservazione
La definizione della forza di interesse anche per leggi di due variabili consente di
sottolineare come in un mercato ideale il prezzo del contratto a termine dipende dalla
forma che la forza di interesse ha all’epoca u di stipula del contratto stesso.
Infatti nel mercato ideale si ha
v(u , x, y ) =
v(u , y )
v(u , x)
Sostituendo la (64) segue
v(u , x, y ) =
y
− ∫ δ (u , s ) ds
e u
x
− ∫ δ (u , s ) ds
e u
y
x
− ∫ δ (u , s ) ds + ∫ δ ( u , s ) ds
u
v(u , x, y ) = e u
da cui infine
v(u , x, y ) =
y
x
x
− ∫ δ (u , s ) ds − ∫ δ (u , s ) ds + ∫ δ (u , s ) ds
x
u
v (u , x , y ) = e u
y
− ∫ δ (u , s ) ds
e x
La forma della forza di interesse
viene definita all’epoca u
L’osservazione precedente può essere formulata in termini di forza di interesse.
Dalla
v(u , y ) = v(u, x) ⋅ v(u, x, y )
passando ai logaritmi, si ha
log v(u , y ) = log v(u , x) + log v(u , x, y )
Derivando rispetto a y ambo i membri segue
∂
∂
∂
log v(u , y ) = log v(u , x) + log v (u , x, y )
∂y
∂y
∂y
da cui
δ (u , y ) = δ (u , x, y )
All’epoca u si fissa la forma della forza di interesse, quale che sia l’epoca x nella quale
viene regolato il prezzo.
Scindibilità (per leggi di due variabili)
Ricordiamo che in un mercato ideale, per u ≤ x ≤ y, vale la (5), ovvero la
r(u, y) = r(u, x) ⋅ r(u, x, y)
[ v(u, y) = v(u, x) ⋅ v(u, x, y) ]
nella quale r(u, x, y), fattore di capitalizzazione a termine, sottolinea la natura prospettiva
della relazione (si guarda cioè ai prezzi che le condizioni di mercato all’epoca u implicano
per il futuro).
In termini retrospettivi, cioè dall’epoca x in poi – quando è noto il prezzo a pronti futuro
r(x,y) – la relazione può scriversi come:
r(u, y) = r(u, x) ⋅ r(x, y)
(65)
[ v(u, y) = v(u, x) ⋅ v(x, y) ]
La (65) stabilisce che un capitale unitario investito all’epoca u produce all’epoca y un
montante uguale a quello che si otterrebbe investendo all’epoca u un capitale unitario,
disinvestendo lo stesso ad una qualsiasi epoca intermedia x e proseguendo l’investimento
dell’importo ottenuto fino all’epoca y.
Una legge finanziaria che verifica la (65) si dice scindibile.
In altri termini, la condizione di scindibilità implica che il montante generato da un
investimento non sia alterato da una capitalizzazione intermedia degli interessi
Osservazione
Come si è visto, in un mercato ideale in condizioni di certezza vale sia la
r(u, y) = r(u, x) ⋅ r(u, x, y)
[v(u, y) = v(u, x) ⋅ v(u, x, y)]
che la
r(u, y) = r(u, x) ⋅ r(x, y)
[v(u, y) = v(u, x) ⋅ v(x, y)]
e pertanto deve essere
r(x, y) = r(u, x, y)
(66)
[v(x, y) = v(u, x, y)]
Il futuro fattore di capitalizzazione [ prezzo ] a pronti deve essere uguale al fattore di
capitalizzazione [ prezzo ] a termine.
La relazione (66), che costituisce una definizione alternativa di scindibilità, è una
condizione molto più forte dell’assenza di arbitraggio (cioè della (5)) e raramente è
verificata nelle situazioni di mercato reali.
Due teoremi fondamentali sulla scindibilità
Teorema
La legge finanziaria in due variabili r(u, y) è scindibile se e solo se esiste una legge di una
variabile f tale che
r (u , y ) =
f ( y)
f (u )
(67)
Dim.
f ( y)
a) La condizione è sufficiente. Infatti, posto che valga la r (u , y ) = f (u )
r (u , x) ⋅ r ( x, y ) =
f ( x) f ( y )
f ( y)
⋅
=
f (u ) f ( x )
f (u )
segue
= r (u , y )
b) La condizione è necessaria. Dalla condizione di scindibilità
r (u , y ) = r (u , x) ⋅ r ( x, y )
non dipendendo il primo membro da x, poniamo x = x0 e scriviamo i fattori al secondo
membro come funzioni di una variabile, cioè r(u, x0) = g(u) e r(x0, y) = f(y). Segue
r (u , y ) = g (u ) ⋅ f ( y )
(68)
Se y = u, r(u, u) = 1 e la (68) diviene
g (u ) ⋅ f (u ) = 1
da cui
Sostituendo nella (68) segue r (u , y ) =
g (u ) =
1
f (u )
f ( y)
, cioè la (67).
f (u )
(c.v.d.)
Il teorema appena dimostrato è suscettibile della seguente interpretazione finanziaria:
una legge in due variabili (dipendente dall’epoca iniziale e finale dell’operazione finanziaria)
è scindibile se e solo se, nell’arco di tempo considerato (u, y), essa può essere
rappresentata come montante di proseguimento di un importo unitario investito
all’epoca u.
Per chiarire il senso di quanto sopra si consideri lo schema
1
f (u )
1 f ( y)
f (u )
1
0
u
r(u,y)
y
dal quale risulta evidente il significato finanziario della funzione f, fattore di capitalizzazione
dipendente dalla sola durata dell’operazione finanziaria.
Teorema (di Cantelli)
La legge finanziaria in due variabili r(u, y) è scindibile se e solo se la corrispondente forza di
interesse dipende al più dall’epoca di disinvestimento.
Dim.
a) La condizione è necessaria [ r(u, y) = r(u, x)⋅r(x, y) ⇒ δ(u, y) = δ(y) ]
Dalla scindibilità
r (u , y ) = r (u , x) ⋅ r ( x, y )
passando ai logaritmi, si ha
log r (u , y ) = log r (u , x ) + log r ( x, y )
Derivando rispetto a y
∂
∂
∂
log r (u , y ) = log r (u , x ) + log r ( x, y )
∂y
∂y
∂y
da cui
∂
∂
log r (u, y ) = log r ( x, y )
∂y
∂y
ovvero
δ (u , y ) = δ ( x, y )
( = δ ( y) )
b) La condizione è sufficiente [ δ(u, y) = δ(y) ⇒ r(u, y) = r(u, x)⋅r(x, y) ]
Dalla
δ (u , y ) = δ ( y )
integrando la forza di interesse, per l’additività dell’operatore integrale si ha
y
x
y
u
x
∫ δ ( s)ds = ∫ δ (s)ds + ∫ δ ( s)ds
u
Per definizione, una primitiva della funzione δ è log r(u, s), per cui segue
y
x
y
[log r (u, s)]u = [log r (u, s)]u + [log r ( x, s)]x
da cui
log
r (u , y )
r (u , x)
r ( x, y )
= log
+ log
r (u , u )
r (u , u )
r ( x, x )
ovvero
log r (u , y ) = log ( r (u , x ) ⋅ r ( x, y ) )
ed infine
r (u , y ) = r (u , x) ⋅ r ( x, y )
(c.v.d.)
Il teorema di Cantelli appena dimostrato è interpretabile finanziariamente nel senso che
segue:
una legge in due variabili (dipendente dall’epoca iniziale e finale dell’operazione finanziaria)
è scindibile nell’intervallo (u, y) se e solo se la redditività dell’operazione all’epoca y non
dipende dall’epoca nella quale l’operazione stessa ha avuto inizio. La redditività dell’o.f.
dipende al più dall’epoca nella quale viene calcolata.
È come se il mercato stesso fosse regolato da un unico contratto, descritto, in ogni istante
u, dalla forza d’interesse δ(y)
Esempi
1) Le leggi finanziarie del regime della capitalizzazione composta sono scindibili. Per
verificarlo si può procedere direttamente dalla condizione (65)
r (u , x) ⋅ r ( x, y )=(1 + i ) x −u ⋅ (1 + i ) y − x =(1 + i ) x −u + y − x =(1 + i ) y −u = r (u , y )
In alternativa si può verificare la condizione di Cantelli, calcolando la forza di interesse
δ(u, y)
∂
∂
(1 + i ) y −u log(1 + i )
y −u
= log(1 + i )
δ (u , y ) = log r (u, y ) = log(1 + i )
=
y
−
u
∂y
∂y
(1 + i )
Essendo la forza di interesse costante, la condizione è verificata.
2) Le leggi finanziarie del regime della capitalizzazione semplice non sono scindibili.
Infatti, dalla condizione (65)
r (u , x) ⋅ r ( x, y )= [1 + i ⋅ ( x − u ) ] ⋅ [1 + i ⋅ ( y − x) ] ≠ [1 + i ⋅ ( y − u )] = r (u , y )
In alternativa si può verificare la condizione di Cantelli
δ (u , y ) =
∂
∂
i
log r (u , y ) = log [1 + i ⋅ ( y − u ) ] =
∂y
∂y
1 + i ⋅ ( y − u)
La forza di interesse dipende da y e da u, pertanto la condizione non è verificata.
3) Le leggi finanziarie del regime dello sconto commerciale non sono scindibili. Per
verificarlo si può procedere direttamente dalla condizione (65)
r (u , x) ⋅ r ( x, y )=
1
1
1
⋅
≠
= r (u , y )
1 − d ⋅ ( x − u ) 1 − d ⋅ ( y − x) 1 − d ⋅ ( y − u )
Come in precedenza, si può in alternativa verificare la condizione di Cantelli,
calcolando la forza di interesse
δ (u , y ) =
∂
∂
1
d
log r (u , y ) = log
=
∂y
∂y
1 − d ⋅ ( y − u ) [1 − d ( y − u )]
La forza di interesse dipende da y e da u, pertanto la condizione non è verificata.
Scindibilità (per leggi di una variabile)
E’ stata analizzata la forza di interesse nel caso di leggi finanziarie di due variabili. Interessa
ora stabilire come è possibile riformulare il teorema di Cantelli nel caso di leggi dipendenti
dalla sola durata. Per far ciò premettiamo la seguente
Definizione di uniformità (o traslabilità)
La legge finanziaria r(x, y) [ v(x,y) ] è detta uniforme se
r ( x, y ) = r ( y − x )
[ v ( x, y ) = v ( y − x ) ]
(una legge è dunque uniforme se dipende dalla sola durata dell’operazione finanziaria).
Esempio
Le leggi finanziarie del regime della capitalizzazione composta in ipotesi di struttura piatta
dei tassi di interesse sono uniformi. Infatti:
r ( x, y ) = r ( y − x) = (1 + i ) y − x
Allo stesso modo si può verificare che tali sono anche le leggi del regime della
capitalizzazione semplice e dello sconto commerciale (sempre in ipotesi di struttura piatta).
La condizione scindibilità per leggi di due variabili è espressa dalla (66)
r(u, y) = r(u, x) ⋅ r(x, y)
Se la legge r è uniforme, ponendo
t=x−u
s=y−x
t
u
s
x
y
segue
r(u, x) = r(x−u) = r(t)
r(x, y) = r(y−x) = r(s)
r(u, y) = r(y−u) = r(y−x+x−u) = r(s+t) = r(t+s)
Con le posizioni fatte, la condizione di scindibilità (66) diviene
r(t + s) = r(t) ⋅ r(s)
(69)
Con riferimento alla (69), il teorema di Cantelli può essere riformulato come segue
Teorema di Cantelli (per leggi di una sola variabile)
La legge r(t) è scindibile se e solo se la corrispondente forza di interesse è costante.
Dim.
a) La condizione è necessaria ( r(t + s) = r(t) ⋅ r(s) ⇒ δ(t + s) = δ(s) = δ )
Infatti, dalla
r (t + s ) = r (t ) ⋅ r ( s )
passando ai logaritmi
log r (t + s ) = log r (t ) + log r ( s )
e derivando
d
d
d
log r (t + s ) = log r (t ) + log r ( s )
ds
ds
ds
da cui
δ (t + s) = δ ( s)
(= δ )
b) La condizione è sufficiente (δ(s) = δ ⇒ r(t + s) = r(t) ⋅ r(s) )
Infatti, integrando ambo i membri della δ(s) = δ , si ha
t
t
0
0
∫ δ ( s)ds = ∫ δ ds
t
[log r ( s)]0 = δ t
r (t ) = eδ t
t
d
∫0 ds log r (s)ds = δ t
log r (t ) = δ t
con δ ∈
(70)
Pertanto, la costanza della forza di interesse implica il fattore di capitalizzazione (70).
E’ immediato osservare che la funzione (70) verifica le seguenti condizioni:
i. é continua e derivabile
ii. r (0) = 1
iii. r '(t ) = δ r (t )
Si noti che la (iii) altro non è che la forza di interesse δ. δ (t ) = D log r (t ) =
r '(t )
r (t )
L’analisi funzionale elementare dimostra che se esiste una funzione che gode delle (i)(iii), essa è unica ed è tale da verificare la (69).
Infatti:
Unicità
Supponiamo esista una funzione g(t) che soddisfa le (i)-(iii). Allora
d  g  g ' r − gr ' δ gr − gδ r
=
=0
 =
2
2
dt  r 
r
r
cioè, la derivata prima della funzione rapporto g(t)/r(t) è nulla e pertanto la funzione
g(t)/r(t) è costante. Poiché g(0)/r(0) = 1, segue che g(t)/r(t) = 1, cioè che g(t) = r(t).
r(t + s) = r(t)⋅⋅r(s) ∀ t, s ∈
Sia s un arbitrario numero reale. Consideriamo la funzione
r (t + s )
h(t ) =
r (t )
e osserviamo che h(0) = r(s). Calcoliamo la derivata di h:
h '(t ) =
r '(t + s ) r (t ) − r (t + s )r '(t ) δ r (t + s )r (t ) − r (t + s )δ r (t )
=
=0
2
2
r (t )
r (t )
La derivata prima è nulla, pertanto la funzione h(t) è costante. Ma h(0) = r(s), per cui
h(t) = r(s). Segue quindi che
r (s) =
r (t + s )
r (t )
⇔
r (t + s ) = r (t ) ⋅ r ( s )
c.v.d.
Osservazioni
1. La (70) è finanziariamente consistente se δ > 0. In questo caso infatti r(t) > 1 per t > 0
(si ricordi che δ indica qui la forza d’interesse).
Si osservi anche che la (70) è già stata dedotta dalla relazione che lega il fattore di
capitalizzazione all’intensità istantanea di interesse nel regime della capitalizzazione
composta [cfr. la (57)].
2. (Equità finanziaria) Consideriamo l’operazione finanziaria elementare consistente nella
consegna da parte di un contraente di un capitale P all’epoca x, in cambio della
consegna – dalla controparte – di un capitale M all’epoca successiva y.
L’operazione si dice equa rispetto ad un’assegnata legge finanziaria (valida in un
periodo di tempo contenente le due epoche x ed y) se M risulta uguale al montante di P
(o, equivalentemente, se P risulta uguale al valore attuale di M).
Se la legge finanziaria è scindibile, allora la condizione di equità può essere anche
enunciata nel seguente modo: un’operazione è equa se riportando finanziariamente
ad una qualsiasi epoca u gli importi dovuti dai contraenti si ottengono valori
uguali. Ne consegue che un’operazione finanziaria costituita da un numero finito
di operazioni finanziarie elementari eque è equa.
Tale proprietà non vale per una legge non scindibile.
Operazione finanziaria composta
Finora abbiamo analizzato il caso di operazioni finanziarie elementari.
Se la prestazione ha ad oggetto l’importo P all’epoca x e la controprestazione l’importo M
all’epoca y, l’operazione è definita dal confronto di due coppie del tipo
F = { (P, x), (M, y) }
Se invece,
a fronte di una prestazione, hanno luogo più controprestazioni
F = { (P, x), (M1, y1) , (M2, y2),…, (Mn, yn) }
oppure, più prestazioni danno luogo ad una controprestazione
F = { (P1, x1) , (P2, x2),…, (Pn, xn), (M, y) }
oppure, più prestazioni danno luogo a più controprestazioni
F = { (P1, x1) , (P2, x2),…, (Pn, xn), (M1, y1) , (M2, y2),…, (Mr, yr) }
allora si hanno operazioni finanziarie composte, per analizzare le quali occorre costruire
adeguati schemi di valutazione che consentano di riferire ad una stessa epoca (epoca di
valutazione) gli importi distribuiti sullo scadenzario. Concettualmente la valutazione non è
dissimile da quella delle operazioni elementari; la difficoltà risiede nel fatto che occorre
valutare più importi.
Rendita finanziaria
Consideriamo l’operazione finanziaria composta che si sviluppa come segue
R0
R1
R2
Rk−1
Rk
Rk+1
Rn
t0
t1
t2
tk−1
tk
tk+1
tn
In corrispondenza di ciascuna delle n + 1 epoche (scadenze) t0,t1,...,tn maturano gli n + 1
importi R0, R1,..., Rn.
Definiamo:
• rendita la successione di importi {Rk}k = 0,...,n
• rata (della rendita) il singolo importo Rk (k = 0,…, n)
• cash flow (dell’operazione) la successione (R0, t0), (R1, t1),…, (Rn, tn)
• valore capitale (della rendita) all’epoca T la somma delle rate finanziariamente riferite
all’epoca di valutazione T
Assumiamo che sia:
• Rk > 0 se la rata è dovuta al soggetto che valuta l’operazione finanziaria
• Rk < 0 se la rata è dovuta dal soggetto che valuta l’operazione finanziaria
• Rk = 0 altrimenti (il senso di questa assunzione sarà chiaro tra breve)
Classificazione delle rendite
In rapporto all’intervallo di tempo tra le rate
Rendita periodica
se tk − tk−1 = u (k = 1,…, n)
u è il periodo
Rendita non periodica
In rapporto al periodo unitario
Rendita intera
Se la rata è riferita al
periodo unitario
Es.
u = 1 anno → Rendita annuale
u = 1 semestre → Rendita semestrale
u = 1 mese → Rendita mensile
Rendita frazionata
Se la rata è riferita a frazioni (1/m) del
periodo unitario
Es.
u = 1 anno, rata riferita a ½⋅u
(m = 2) → Rendita frazionata
semestrale
Se m → ∞ la rendita è detta continua
Classificazione delle rendite (segue)
In rapporto alle rate
Rendita costante
Se tale è la rata
Rendita variabile
Se la rata non è costante
In rapporto al numero delle rate
Rendita temporanea
Se il numero delle rate
è finito
Rendita perpetua
Se il numero delle rate è una
infinità numerabile
In rapporto all’istante di pagamento della rata
(fissato il periodo unitario)
Rendita anticipata
Se la rata viene corrisposta
all’inizio del periodo cui è relativa
R1
R2
R3
Rn
t0
t1
t2
tn−1
tn
Rendita posticipata
Se la rata viene corrisposta alla
fine del periodo cui è relativa
t0
R1
R2
Rn−1
Rn
t1
t2
tn−1
tn
Classificazione delle rendite (segue)
In rapporto all’orizzonte temporale
Rendita immediata
Se la prima rata è riferita al
primo periodo dell’orizzonte
temporale
Rendita differita
Se la prima rata è differita rispetto
al primo periodo dell’orizzonte
temporale
Esempio di rendita immediata
(posticipata)
Esempio di rendita differita di t
periodi unitari (anticipata)
t0
R1
R2
R n− 1 R n
t1
t2
tn−1
tn
0
R1
R2
Rn
t
t1
tn−1
tn
Valore capitale della rendita finanziaria
Data la rendita
R0
R1
R2
Rk−1
Rk
Rk+1
Rn
t0
t1
t2
tk−1
tk
tk+1
tn
l’obiettivo primario è valutarne il valore capitale alla generica epoca T.
Evidentemente
• se T ≤ t0, si dovranno attualizzare tutti gli importi ed il valore capitale AT sarà
n
AT = R 0 v(T , t0 ) + R 1 v(T , t1 ) + ... + R k v(T , tk ) + ... + R n v(T , tn ) = ∑ Rk v(T , tk )
(71)
k =0
• se T ≥ tn, si dovranno capitalizzare tutti gli importi ed il valore capitale ST sarà
n
ST = R 0 r (t0 , T ) + R 1 r (t1 , T ) + ... + R k r (tk , T ) + ... + R n r (tn , T ) = ∑ Rk r (tk , T )
(72)
k =0
• se è un’epoca intermedia, p.es. tk−1 ≤ T ≤ tk, si dovranno capitalizzare tutti gli importi
che precedono T ed attualizzare tutti gli importi che seguono T. In questo caso, il
valore capitale VT sarà
VT = R 0 r (t0 , T ) + R 1 r (t1 , T ) + ... + R k −1 r (tk −1 , T ) + R k v(T , tk ) + ... + R n v(T , tn ) =
k −1
n
j =0
j =k
= ∑ R j r (t j , T ) + ∑ R j v (T , t j )
(73)
Valore capitale della rendita finanziaria. Rendite periodiche
Osservazioni
1. E’ evidente che concretamente il calcolo del valore capitale di una rendita dipende dal
regime finanziario attraverso il quale si esplicitano i fattori di attualizzazione e
capitalizzazione delle (71)-(73).
Così, per esempio, ipotizzando una struttura piatta dei tassi di interesse, la (71) si
particolarizza come segue (si ricordi che T ≤ t0)
 n
T − tk
R
(1
+
i
)
(nel regime della capitalizzazione composta)
∑ k
k =0
n
 n
−1
R
v
(
T
,
t
)
=
R
1
+
i
⋅
(
t
−
T
)
(nel regime della capitalizzazione semplice)
[
]
∑ k
∑
k
k
k
k =0
k =0
 n
∑ Rk [1 − d ⋅ (tk − T ) ] (nel regime dello sconto commerciale)
k =0
Analoghe considerazioni valgono per la (72) e la (73).
2. Dato lo scadenzario t0< t1 < ... < tk < ... < tn (tk∈
un’unità di misura tale che risulti
tk − tk −1 = 1
) è sempre possibile determinare
( k = 1,..., n)
cioè è sempre possibile equintervallare le scadenze, eventualmente inserendo rate
nulle.
Rendite periodiche
Esempio
R0
R1
R2
R3
t0
R0
t1
R1
t2
R2
t3
R3
t0
t1
t2
t3
Denominiamo
R1 ← R3 ; R2 ← R5; R3 ← R7
t1 ← t3 ; t2 ← t5; t3 ← t7
Introduciamo
R1 = 0 ; R2 = 0 ; R4 = 0 ; R6 = 0
t 1 ; t 2 ; t 4; t 6
R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
t0
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
Poiché ogni rendita può essere resa periodica, le relazioni che svilupperemo
riguarderanno solo il caso di rendite periodiche di periodo unitario.
Ci riferiremo quindi in generale a scadenzari del tipo
R0
R1
R2
Rk
Rn
t
t+1
t+2
t +k
t+n
il che consentirà di semplificare le formule per la valutazione delle rendite.
Valori attuali
e
Montanti
Valore attuale di una rendita
Esplicitiamo AT (cioè la (71)) ed ST (cioè la (73)) – quando necessario e/o possibile –
specificando le assunzioni circa:
a) Il regime finanziario,
che assumeremo essere quello della capitalizzazione composta;
b) Il tipo di fattore di attualizzazione:
Periodale
A pronti per periodo unitario
A termine
Medio
Con struttura piatta del tasso.
c) L’epoca cui è riferita la valutazione, che sarà T = t per il valore attuale e T = t + n per
il montante
a) Il tipo di rata (variabile o costante)
Si osservi che la c) consente di separare, nel calcolo del valore attuale, la rata R0 che,
maturando all’epoca T, non necessita di essere attualizzata. Nel caso in cui sia R0 ≠ 0
sarà sufficiente sommare R0 al valore capitale della rendita definita a partire dalla rata R1.
Ove opportuno, nelle formule che seguono si utilizzerà questa possibilità.
Valore attuale di una rendita (tasso periodale)
Prezzo (tasso) a pronti periodale
A rata variabile
n
n
AT = ∑ Rk v(T , t + k ) = ∑ Rk [1 + i (T , t + k ) ]
k =0
−1
(74)
k =0
A rata costante
n
n
AT = R ∑ v(T , t + k ) = R ∑ [1 + i (T , t + k )]
k =0
−1
(75)
k =0
Schema
Rnv(T, t+n)
Rkv(T, t+k)
R2v(T, t+2)
R1v(T, t+1)
R0
R1
R2
Rk
Rn
T=t
t+1
t+2
t +k
t+n
Montante di una rendita (tasso periodale)
Fattore di capitalizzazione (tasso) a pronti periodale
A rata variabile
n
n
WT = ∑ Rk r (t + k , T ) = ∑ Rk [1 + i (t + k , T ) ]
k =0
(74.1)
k =0
A rata costante
n
n
WT = R ∑ r (t + k , T ) = R ∑ [1 + i (t + k , T ) ]
k =0
(75.1)
k =0
Schema
R0r(t, T)
Rkr(t+1, T)
Rn−2r(t+n−2, T)
Rn−1t(t+n−1, T)
R0
R1
R n− 2
t
t+1
t+n−2
R n −1
Rn
t+n−1 t+n=T
Valore attuale di una rendita (tasso a pronti)
Prezzo (tasso) a pronti per periodo unitario
A rata variabile
k
n
n
k
AT = R0 + ∑ Rk ∏ v(t + s − 1, t + s ) = R0 + ∑ Rk ∏ [1 + i (t + s − 1, t + s )]
k =1
k =1
s =1
−1
(76)
s =1
A rata costante
k
n

−1 
AT = R + R ∑ ∏ v(t + s − 1, t + s) = R 1 + ∑ ∏ [1 + i (t + s − 1, t + s )] 
k =1 s =1
 k =1 s =1

n
k
Schema
Rnv(t, t+1)v(t+1, t+2)…v(t+n−1, t+n)
Rkv(t, t+1)v(t+1, t+2)…v(t+k−1, t+k)
R2v(t, t+1)v(t+1, t+2)
R1v(t, t+1)
R0
R1
R2
Rk
Rn
T=t
t+1
t+2
t +k
t+n
(77)
Montante di una rendita (tasso a pronti)
Fattore di capitalizzazione (tasso) a pronti per periodo unitario
A rata variabile
n −1
n −1
n −1
n −1
ST = ∑ Rk ∏ r (t + s, t + s + 1) + Rn = ∑ Rk ∏ [1 + i (t + s − 1, t + s ) ] + Rn
k =0
s=k
k =0
(76.1)
s=k
A rata costante
 n −1 n −1

 n −1 n −1

ST = R 1 + ∑ ∏ r (t + s, t + s + 1)  = R 1 + ∑ Rk ∏ [1 + i (t + s − 1, t + s ) ] 
 k =0 s = k

 k =0 s = k

Schema
R0r(t, t+1)r(t+1, t+2)…r(t+n−1, t+n)
R1r(t+1, t+2)r(t+2, t+3)…r(t+n−1, t+n)
Rkr(t+k, t+k+1) …r(t+n−1, t+n)
Rn−1r(t+n−1, t+n)
R0
R1
Rk
Rn−1
Rn
t
t+1
t +k
t+n−1
t+n=T
(77.1)
Valore attuale di una rendita (tasso a termine)
Osservazione
In un mercato ideale il prezzo (tasso) a termine è uguale al futuro prezzo (tasso) a pronti.
Pertanto la (76) [(77)] può essere riscritta utilizzando il prezzo (tasso) a termine.
A rata variabile
k
n
n
k
AT = R0 + ∑ Rk ∏ v(t , t + s − 1, t + s ) = R0 + ∑ Rk ∏ [1 + i (t , t + s − 1, t + s ) ]
k =1
k =1
s =1
−1
(78)
s =1
A rata costante
k
n

−1 
AT = R + R ∑ ∏ v(t , t + s − 1, t + s) = R 1 + ∑ ∏ [1 + i (t , t + s − 1, t + s )] 
k =1 s =1
 k =1 s =1

n
k
Schema
Rnv(t, t+1)v(t, t+1, t+2)…v(t, t+n−1, t+n)
Rkv(t, t+1)v(t, t+1, t+2)…v(t, t+k−1, t+k)
R2v(t, t+1)v(t, t+1, t+2)
R1v(t, t+1)
R0
R1
R2
Rk
Rn
T=t
t+1
t+2
t +k
t+n
(79)
Montante di una rendita (tasso a termine)
A rata variabile
n −1
n −1
n −1
n −1
ST = ∑ Rk ∏ r (t , t + s, t + s + 1) + Rn = ∑ Rk ∏ [1 + i (t , t + s − 1, t + s ) ] + Rn
k =0
s=k
k =0
(78.1)
s=k
A rata costante
 n −1 n −1

 n −1 n −1

ST = R 1 + ∑ ∏ r (t , t + s, t + s + 1)  = R 1 + ∑ Rk ∏ [1 + i (t , t + s − 1, t + s ) ] 
 k =0 s = k

 k =0 s = k

Schema
R0r(t, t+1)r(t,t+1, t+2)…r(t,t+n−1, t+n)
R1r(t,t+1, t+2)r(t,t+2, t+3)…r(t,t+n−1, t+n)
Rkr(t,t+k, t+k+1) …r(t,t+n−1, t+n)
Rn−1r(t,t+n−1, t+n)
R0
R1
Rk
Rn−1
Rn
t
t+1
t +k
t+n−1
t+n=T
(79.1)
Valore attuale di una rendita (tasso medio)
Trattando il regime della capitalizzazione composta, abbiamo denotato (cfr. la (15)) con
ī1(t, t+k) quel tasso di interesse medio riferito al periodo unitario che − applicato alle
operazioni che iniziano in t e terminano in t+k − produce lo stesso risultato finanziario
che si consegue attraverso la successione dei tassi a pronti operanti tra le epoche t e
t+k. Si è visto che
1
k
ι1 (t , t + k ) = [1 + i (t , t + k )] − 1
cioè, equivalentemente
−1
k
v1 (t , t + k ) = [1 + ι1 (t , t + k ) ]
Ne consegue che in questo caso il valore attuale della rendita è
Prezzo (tasso) medio per periodo unitario
A rata variabile
n
n
AT = ∑ Rk v1 (t , t + k ) = ∑ Rk [1 + ι1 (t , t + k ) ]
−k
k
k =0
(80)
k =0
A rata costante
n
n
AT = R ∑ v1 (t , t + k ) = R ∑ [1 + ι1 (t , t + k )]
k
k =0
k =0
−k
(81)
Montante di una rendita (tasso medio)
mentre il montante della rendita è
Fattore di capitalizzazione (tasso) medio per periodo unitario
A rata variabile
n
ST = ∑ Rk r1 (t + k , t + n)
n
n−k
k =0
= ∑ Rk [1 + ι1 (t + k , t + n)]
n−k
(80.1)
k =0
A rata costante
n
ST = R ∑ r1 (t + k , t + n)
k =0
n
n−k
= R ∑ [1 + ι1 (t + k , t + n) ]
k =0
n−k
(81.1)
Valore attuale di una rendita a tasso e rata costanti
Le (74)-(81) consentono di calcolare il valore capitale (attuale) all’epoca T = t di una
rendita periodica temporanea.
I montanti possono ottenersi capitalizzando per n periodi i valori attuali determinati.
Ciò sarà fatto ove possibile nei casi che saranno esaminati di seguito.
Interessa ora stabilire come si semplificano le relazioni appena dedotte se:
a) Il tasso di interesse per periodo unitario è costante (struttura piatta);
b) la rata è costante.
E’ evidente che il caso a) può formalmente scriversi come la (80), sostituendo al tasso
medio ī1(t, t+k) il tasso costante i ed ottenendo semplicemente
n
n
AT = ∑ Rk v = ∑ Rk (1 + i )
k
k =0
−k
(82)
k =0
Altrettanto immediato è scrivere il valore attuale della rendita se anche la rata è
costante. Sostituendo R in luogo delle Rk nella (82) segue semplicemente
n
n
AT = R ∑ v = R ∑ (1 + i )
k
k =0
k =0
−k
(83)
Valore attuale di una rendita a tasso e rata costanti (segue)
La (83) può scriversi in forma compatta osservando che gli addendi della sommatoria
sono in progressione geometrica di ragione v. Pertanto
n
∑v
k
= 1 + v + v 2 + ... + v n
(84)
k =0
Moltiplicando per v
n
v ∑ v k = v + v 2 + v3 + ... + v n +1
(85)
k =0
e sottraendo membro a membro la (85) dalla (84)
n
∑v
n
k
− v ∑ v k = 1 + v + v 2 + ... + v n − v − v 2 − v3 − ... − v n +1
k =0
k =0
n
(1 − v)∑ v k = 1 − v n +1
k =0
da cui infine
1 − v n +1
v =
∑
1− v
k =0
n
k
(86)
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Osservazione
La (86) è stata ottenuta attualizzando le n+1 rate della rendita (R0 , R1 , …, Rn), la prima
delle quali – maturando all’epoca T = t cui è riferita la valutazione – è stata moltiplicata
per v0 = 1. Pertanto, per valutare il valore attuale della rendita nel caso in cui, anziché
dall’epoca t, n rate decorrano dall’epoca t+1 (R1 , R2 , …, Rn), nella (86) occorrerà
sottrarre 1.
1 − v n +1
1 − v n +1 − 1 + v
1 − vn
v −1 = ∑v =
−1 =
=v
∑
1− v
1− v
1− v
k =0
k =1
n
n
k
k
ovvero
1 − vn 1 − vn 1 − vn
v = 1
=
=
∑
r −1
i
−1
k =1
v
n
k
(87)
La (87) rappresenta il valore attuale di una rendita intera, temporanea n,
posticipata, immediata, di rata unitaria, valutata al tasso di interesse costante i.
L’importanza della (87) è tale che ad essa viene riservata la notazione a , che si legge
n i
“ a figurato n al tasso i ”, cioè per definizione è
a
n i
1 − vn
=
i
(88)
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Avendo dedotto la (88), possiamo scrivere il valore attuale di una rendita intera,
temporanea n, posticipata, immediata, di rata pari a R, valutata al tasso di interesse
i:
AT = R ⋅ a
n i
(89)
Il montante della rendita può essere calcolato semplicemente capitalizzando la (88)
1 − vn
(1 + i ) n − 1
n
a (1 + i ) =
(1 + i ) =
n i
i
i
n
(90)
La (90) rappresenta il montante di una rendita posticipata unitaria di durata pari a n
periodi unitari valutata al tasso di interesse costante i.
Alla (90) è riservata la notazione s , che si legge “ s figurato n al tasso i ”. E’ per
n i
definizione
s
n i
r n − 1 (1 + i ) n − 1
=
=
i
i
(91)
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
La (88) [(89)] può essere rappresentata sullo scadenzario come(*)
t
R1
R2
Rk
Rn
t+1
t+2
t +k
t+n
Se, anziché posticipata, la rendita fosse anticipata, lo scadenzario sarebbe
R1
R2
R3
Rk+1
Rn
t
t+1
t+2
t +k
t+n−1
t+n
cioè tutte le rate risultrebbero traslate indietro di un periodo.
Come si traduce analiticamente la traslazione nella (89) (ovvero nella (84)) ?
(*)
Benché le rate siano assunte come costanti, nello scadenzario le distinguiamo con il pedice per
rendere più esplicita la “traslazione” delle stesse tra posticipata ed anticipata.
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Analiticamente, la traslazione equivale a scrivere la (84) fino al penultimo addendo, cioè
n −1
∑v
k
= 1 + v + v 2 + ... + v n −1
k =0
Come prima, moltiplicando per v e sottraendo membro a membro
n −1
v ∑ v k = v + v 2 + v3 + ... + v n
k =0
n −1
∑v
k =0
n −1
k
− v ∑ v = 1 + v + v + ... + v
k
2
n −1
2
3
n
− v − v − v − ... − v ;
k =0
n −1
(1 − v)∑ v k = 1 − v n
k =0
cioè
1 − vn 1 − vn
v =
=
∑
d
1− v
k =0
n −1
k
(92)
La (92) rappresenta il valore attuale di una rendita intera, temporanea n, anticipata,
immediata, di rata unitaria, valutata al tasso di interesse i.
&& , che si legge
L’importanza della (92) è tale che ad essa viene riservata la notazione a
n i
“ a anticipato figurato n al tasso i ”, cioè per definizione è
a&&
n i
1 − vn
=
d
(93)
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
temporanea n, anticipata, immediata, di rata pari a R, valutata al tasso di interesse
i.
&& = R ⋅ a&&
A
T
(94)
n i
Si osservi che la (93), dedotta analiticamente dalla (84), può anche scriversi come
a&&
n i
1 − vn 1 − vn
1 − vn
=
= i = (1 + i ) ⋅
= (1 + i ) ⋅ a
n
d
i
1+ i
1+
i
cioè in funzione del valore attuale della corrispondente posticipata.
La relazione appena dedotta può interpretarsi finanziariamente, osservando che nello
schema posticipato R1 è attualizzata di un periodo, R2 di due e così via fino a Rn, che è
attualizzata di n periodi. Nello schema anticipato, R1 non è attualizzata, R2 è attualizzata
di un periodo e così via, fino ad Rn che è attualizzata di n−1 periodi unitari. Quindi
a&&
n i
= (1 + i ) ⋅ a
n i
(95)
ovvero
&& = R ⋅ (1 + i ) ⋅ a
A
T
n i
= (1 + i ) ⋅ AT
(96)
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Osserviamo anche che
a&&
n i
=1+ a
n −1 i
 A
&& = R ⋅ 1 + a
n −1 i
 T
(
)


Infatti
1 − vn 1 − vn
a&& =
=
=
n i
d
i⋅v
1
v
− v n −1
i
r − v n −1
=
=
i
(97)
Una rendita anticipata
immediata su n rate può
considerarsi formata da una
prima rata immediata, più una
rendita posticipata immediata su
n – 1 rate.
i + 1 − v n −1
1 − v n −1
=
=1+
=1+ a
n −1 i
i
i
Il significato finanziario della (97) è evidente: con riferimento allo scadenzario, il primo
addendo rappresenta la prima rata unitaria, alla quale è sommato il valore attuale di una
rendita intera, immediata, posticipata, di rata unitaria, di durata pari a n−1 periodi unitari
al tasso i.
1
1
1
1
t
t+1
t+2
t+n−1
1 + a
n −1 i
t+n
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Capitalizzando la (93) per n periodi, otteniamo il montante di una rendita intera,
temporanea n, anticipata, immediata, di rata unitaria, valutata al tasso di interesse i.
&&
s
n i
1 − vn
(1 + i )n − 1
n
=
(1 + i ) =
d
d
(98)
dalla quale il montante di una rendita intera, temporanea n, anticipata, immediata, di
rata pari a R, valutata al tasso di interesse i.
S&&T = R ⋅ &&
s
n i
(99)
Osservazione
Si sarebbe potuto derivare il montante anche a partire dai valori attuali (95) o (97)
pervenendo a relazioni equivalenti alla (98).
&&
s
= (1 + i ) s
&&
s
=s
n i
n i
n i
n +1 i
−1
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Finora sono stati calcolati i valori attuali ed i montanti relativi a rendite periodiche intere,
temporanee, immediate. E’ facile calcolare i valori attuali (ed i montanti) delle
corrispondenti rendite differite. Infatti, se la rendita è differita di t periodi unitari, una
volta calcolato il valore attuale della corrispondente rendita immediata sarà sufficiente
attualizzare tale valore di t periodi.
vt ⋅ a
a
1
1
1
1
0
t
t+1
t+2
t+n−1
t+n
n i
n i
Il simbolo riservato al differimento è t a
t
a
n i
n i
. Per definizione è:
= vt a
n i
(100)
temporanea n, posticipata, differita di rata pari a R, valutata al tasso di interesse i.
t
A = R ⋅t a
n i
(101)
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Analogamente, il valore attuale di una rendita unitaria intera, temporanea n, anticipata e
differita di t periodi unitari è ottenibile dalla corrispondente rendita immediata, il cui
valore attuale va attualizzato di t periodi.
a&&
n i
vt ⋅ a&&
1
1
1
1
0
t
t+1
t+2
t+n−1
n i
&&
Il simbolo è in questo caso t a
n i
t+n
. Per definizione è:
t
a&&
n i
= vt a&&
(102)
n i
temporanea n, anticipata, differita, di rata pari a R, valutata al tasso di interesse i.
&& = R ⋅ a&&
A
t
t
(103)
n i
Osservazione
La (102) può anche scriversi come
t
a&&
n i
= vt a&&
n i
= vt (1 + i )a
n i
= vt −1a
n i
(104)
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Il valore attuale delle rendite perpetue è ottenuto mediante il passaggio al limite, per n
tendente ad infinito, del valore attuale della corrispondente rendita tempoanea. Così, il
valore attuale di una rendita intera, perpetua, posticipata, immediata, di rata
unitaria, valutata al tasso di interesse i risulta
a
∞ i
= lim a
n →∞ n i
1 − vn
1 − (1 + i ) − n 1
= lim
= lim
=
n →∞
n →∞
i
i
i
(105)
da cui, con notazione ormai nota, il valore attuale di una rendita intera, perpetua,
posticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di interesse i risulta
A∞ = R ⋅ a
∞ i
=
R
i
(106)
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Procedendo come nel caso appena analizzato, il valore attuale di una rendita intera,
perpetua, anticipata, immediata, di rata unitaria, valutata al tasso di interesse i
risulta
a&&
∞ i
= lim a&&
n →∞ n i
1 − vn
1 − (1 + i ) − n 1 1
1
= lim
= lim
= = (1 + i ) = 1 +
n →∞ d
n →∞
d
d i
i
(107)
anticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di interesse i risulta
&& = R ⋅ a&&
A
∞
∞ i
 1
= R 1 + 
 i
(108)
Osservazione
&& = 1 + a
La (107) avrebbe potuto equivalentemente essere dedotta ricordando che a
n i
n −1 i
(cfr. la (97)), da cui segue:
a&&
∞ i
(
= lim 1 + a
n →∞
n −1 i
) = 1 + lim a
n →∞ n −1 i
=1+
1
i
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Procedendo in modo analogo, il valore attuale di una rendita intera, perpetua,
posticipata, differita di t periodi unitari, di rata unitaria, valutata al tasso di interesse
i può essere calcolato come
t
a
∞ i
= lim
a
n →∞ t
n i
= lim vt a
n →∞
n i
= vt lim a
n →∞ n i
= vt
1
i
(109)
posticipata, differita di t periodi unitari, di rata R, valutata al tasso di interesse i può
t
A∞ = R ⋅ t a
∞ i
=
R t
v
i
(110)
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Procedendo in modo analogo, il valore attuale di una rendita intera, perpetua,
anticipata, differita di t periodi unitari, di rata unitaria, valutata al tasso di interesse i
può essere calcolato come
t
a&&
∞ i
= lim
n →∞ t
a&&
n i
= lim vt a&&
n →∞
n i
= vt lim a&&
n →∞ n i
 1 1
= vt 1 +  = vt −1
 i i
(111)
anticipata, differita di t periodi unitari, di rata R, valutata al tasso di interesse i
risulta
t
&& = R ⋅ a&&
A
t
∞
∞ i
=
R t −1
v
i
(112)
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Per determinare il valore attuale delle rendite frazionate inquadriamo il problema sullo
scadenzario.
R1
t + m2
t + mm−1
R2
t +1+ m1
Rn
Rn−1
t +1+ mm−1
t + n −1+ m1 t + n −1+ mm−1
. . .
t
t + m1
t +1
II
+m
m
t
t+2
t +1+ m2
II
t +1+
t + n −1
m
m
II
t + n −2+ m
m
t +n
t + n −1+ m2
II
t + n −1+ m
m
Ogni periodo unitario viene suddiviso in m parti di uguale ampiezza; ad ogni scadenza
così determinata viene associata una rata pari all’m-esima parte della rata riferita al
periodo unitario, che per semplicità supponiamo inizialmente unitaria. Ne risulta una
rendita composta da n⋅m rate, ciascuna pari a 1/m.
1/m 1/m
t + m2
1/m 1/m 1/m
t + mm−1
t +1+ m1
1/m 1/m
1/m 1/m 1/m
t +1+ mm−1
1/m 1/m
t + n −1+ m1 t + n −1+ mm−1
. . .
t
t + m1
t +1
t
II
+m
m
t+2
t +1+ m2
II
t +1+
t + n −1
m
m
II
t + n −1+ m2
m
t + n −2+ m
t +n
II
t + n −1+ m
m
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Poiché ciascun periodo unitario è stato suddiviso in m parti, il tasso di interesse da
utilizzare per il calcolo del valore attuale è quello equivalente relativo all’m-esima parte di
periodo unitario, cioè
1
m
i 1 = (1 + i ) − 1
m
Disponiamo di tutti gli elementi (numero di rate, rata, tasso) per calcolare il valore attuale
di una rendita unitaria, frazionata m, temporanea n, posticipata, immediata, valutata
al tasso di interesse i. Tale valore è denotato con il simbolo a ( m ) , che si legge “a figurato
n i
n al tasso i frazionato m”, è dato dalla
n⋅m
a
( m)
n i
1 1 − v m1
= ⋅
m
i1
(
1 − 1 + i1
=
m
j ( m)
)
− n⋅m
m


1 −  1 + i1 
m


=
j ( m)
(
)
−n
=
1 − (1 + i )
j ( m)
−n
1 − vn
=
j ( m)
(113)
m
essendo j(m) il tasso nominale di interesse convertibile m volte nel periodo unitario.
Data la (113) è immediato calcolare Il valore attuale di una rendita frazionata m,
temporanea n, posticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di interesse i
A( m ) = R ⋅ a ( m )
n i
(114)
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Osservazioni
1) Si consideri la
a (m)
n i
1 − vn i 1 − vn
i 1 − vn
i
=
= ⋅
=
⋅
=
⋅a
j ( m) i j ( m) j ( m )
i
j ( m) n
i
Pertanto, la
a (m) =
n i
i
⋅a
j ( m) n
(115)
i
consente di ricavare il valore attuale della rendita frazionata a partire dal valore attuale
della corrispondente rendita intera (e viceversa).
2) La (113) è il valore attuale nel caso in cui la rata corrisposta ad ogni scadenza di mesimo di periodo unitario sia pari all’m-esima parte della rata unitaria. Ciò significa che
se ad ogni scadenza viene corrisposto l’importo Rm, la (114) è correttamente calcolata
con R = m⋅Rm. In alternativa, se nella (114) si vuole impiegare l’importo Rm, la formula
da utilizzare è
(m)
A
= Rm ⋅ m ⋅ a
(m)
n i
1 − vn
= Rm ⋅
i1
m
(116)
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Data la (115), il montante di una rendita unitaria, frazionata m, temporanea n,
posticipata, immediata, valutata al tasso di interesse i è
s (m)
n i
=
a( m)
n i
1 − vn
⋅ (1 + i ) =
⋅ (1 + i ) n
j ( m)
n
=
(1 + i ) n − 1
i
s
=
j ( m)
j ( m) n
(117)
i
Dalla quale segue, come di consueto, che il montante di una rendita frazionata m,
temporanea n, posticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di interesse i è
S (m) = R ⋅ s(m)
(118)
n i
Osservazione
Si noti che vale anche per la (118) l’osservazione 2) precedente. Se ad ogni scadenza
viene corrisposto l’importo Rm, la (118) è correttamente calcolata con R = m⋅Rm.
Diversamente, se nella (118) si vuole impiegare l’importo Rm, la formula da utilizzare è
S
( m)
= Rm ⋅ m ⋅ s
(m)
n i
(1 + i ) n − 1
= Rm ⋅
i1
m
(119)
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Il valore attuale di una rendita unitaria, frazionata m, temporanea n, anticipata,
&&( m ) , che si legge
immediata, valutata al tasso di interesse i è denotato con il simbolo a
n i
“a anticipato figurato n al tasso i frazionato m”, ed è dato dalla
( m)
a&&
n i
(
)
n⋅m
1 − 1 + i1
1
−
v
1
1
m
m
= ⋅
=
m
d1
ρ ( m)
− n⋅m
m


1 −  1 + i1 
m


=
ρ ( m)
(
)
−n
=
1 − (1 + i )
ρ ( m)
−n
1 − vn
=
ρ ( m)
(120)
m
essendo ρ(m) il tasso nominale di sconto convertibile m volte nel periodo unitario.
temporanea n, anticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di interesse i
&&( m ) = R ⋅ a&&( m )
A
(121)
n i
nella quale R = m⋅Rm se Rm è la rata corrisposta in corrispondenza della frazione m-esima
di periodo unitario.
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Il montante di una rendita unitaria, frazionata m, temporanea n, anticipata,
immediata, valutata al tasso di interesse i è denotato con il simbolo &s&( m ) , che si legge
n i
“s anticipato figurato n al tasso i frazionato m”, ed è dato dalla
(m)
&&
s
n i
(1 + i ) n − 1
= a&& ⋅ (1 + i ) =
n i
ρ ( m)
(m)
n
(122)
Data la (122) è immediato calcolare Il montante di una rendita unitaria, frazionata m,
temporanea n, anticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di interesse i
S&&( m ) = R ⋅ &&
s (m)
(123)
n i
nella quale, come già precisato in precedenza, R = m⋅Rm se Rm è la rata corrisposta in
corrispondenza della frazione m-esima di periodo unitario.
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Il valore attuale di una rendita unitaria, frazionata m, temporanea n, posticipata,
differita t, valutata al tasso di interesse i è dato dall’attualizzazione per t periodi del
valore attuale della corrispondente rendita immediata. E’ cioè:
t
a
( m)
n i
1 − vn
=v ⋅
= vt ⋅ a ( m )
n i
j ( m)
t
(124)
temporanea n, posticipata, differita t, di rata R, valutata al tasso di interesse i
t
A( m ) = R ⋅ t a ( m )
n i
(125)
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Il valore attuale di una rendita unitaria, frazionata m, temporanea n, anticipata,
differita t, valutata al tasso di interesse i può facilmente dedursi attualizzando per t
periodi quello della corrispondente rendita immediata. E’ cioè
( m)
t
a&&
n i
1 − vn
=v ⋅
= vt ⋅ a&&( m )
n i
ρ ( m)
t
(126)
temporanea n, anticipata, differita t, di rata R, valutata al tasso di interesse i
t
&&( m ) = R ⋅ a&&( m )
A
t
n i
(127)
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Il valore attuale di una rendita unitaria, frazionata m, perpetua, posticipata,
immediata, valutata al tasso di interesse i può facilmente dedursi come limite di quello
della corrispondente rendita temporanea. E’ cioè
a ( m ) = lim a ( m ) = lim
∞ i
n →∞ n i
n →∞
1
i
a =
j ( m) n i j ( m)
(128)
perpetua, posticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di interesse i
A∞( m ) = R ⋅ a ( m ) =
∞ i
R
j ( m)
(129)
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Il valore attuale di una rendita unitaria, frazionata m, perpetua, anticipata,
immediata, valutata al tasso di interesse i è calcolata come limite per n tendente ad
infinito della corrispondente rendita temporanea. E’ cioè
( m)
a&&
∞ i
(m)
= lim a&&
n →∞ n i
1 − vn
1
= lim
=
n →∞ ρ ( m)
ρ ( m)
(130)
Osservazione
Una diversa formulazione della (130) può ottenersi considerando che il valore attuale
ricercato è pari alla somma dell’m-esima parte di una rata unitaria e del valore attuale
della corrispondente rendita posticipata.
a&&( m ) =
∞ i
1
1
1
+ a(m) = +
∞ i
m
m j ( m)
(131)
Si osservi che la (131) è equivalente alla (130). Infatti
i 1 = (1 + i )
m
da cui
1
m
1
d m

− 1 = 1+ 
 1− d 
1
−1 =
(1 − d )
1
1
m
−1
m⋅d1
 1

1 − (1 − d ) m
ρ ( m)
m
j ( m) = m ⋅ i 1 = m ⋅ 
−
1
=
m
⋅
=
=

1
1
1
m
 (1− d ) m1

m
m
m


(1 − d )
(1 − d ) (1 − d )
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Sostituendo nella (131)
a&&( m )
∞ i
(1 − d )
1
m
1
= +
=
m
ρ ( m)
d 1 + (1 − d )
m
ρ ( m)
1
1
m
=
1 − (1 − d ) m + (1 − d )
ρ ( m)
1
m
=
1
ρ ( m)
cioè la (130).
Data la (130) [(131)] è immediato calcolare Il valore attuale di una rendita frazionata m,
perpetua, anticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di interesse i
&&( m ) = R ⋅ a&&( m )
A
∞
∞ i
(132)
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Il valore attuale di una rendita unitaria, frazionata m, perpetua, posticipata, differita
t, valutata al tasso di interesse i può facilmente dedursi attualizzando per t periodi
quello della corrispondente rendita immediata. E’ cioè
t
a ( m ) = vt ⋅ a ( m ) = vt ⋅
∞ i
∞ i
1
j ( m)
(133)
perpetua, posticipata, differita t, di rata R, valutata al tasso di interesse i
t
A∞( m ) = R ⋅
t
a ( m ) = R ⋅ vt ⋅
∞ i
1
j ( m)
(134)
intera
temporanea
anticipata
immediata
frazionata
perpetua
posticipata
differita
Rendita
Il valore attuale di una rendita unitaria, frazionata m, perpetua, anticipata, differita t,
valutata al tasso di interesse i può facilmente dedursi attualizzando per t periodi quello
della corrispondente rendita immediata. E’ cioè
t
a&&( m ) = vt ⋅ a&&( m ) = vt ⋅
∞ i
∞ i
1
ρ ( m)
(135)
In alternativa, come già osservato (cfr. la (131)), il valore attuale può anche scriversi come
t
1
1 
a&&( m ) = vt ⋅ a&&( m ) = vt ⋅  +

∞ i
∞ i
 m j ( m) 
(136)
Data la (135) [la (136)] è immediato calcolare Il valore attuale di una rendita frazionata
m, perpetua, anticipata, differita t, di rata R, valutata al tasso di interesse i
t
&&( m ) = R ⋅
A
∞
t
a&&( m ) = R ⋅ vt ⋅
∞ i
1
1 
t 1
= R⋅v  +

ρ ( m)
 m j ( m) 
(137)
intera
Rendita
continua
frazionata
Come si è visto, una rendita si dice continua se il numero dei frazionamenti di ciascuna
rata tende ad infinito. Pertanto, il valore attuale di una rendita continua è ottenibile
come risultato del limite per m→∞ del valore attuale della corrispondente rendita
frazionata.
Per esempio, il valore attuale di una rendita unitaria continua, temporanea n,
posticipata, immediata (valore che indichiamo con la notazione a ) è dato dalla:
n i
n
a
n i
1− v
1− v
=
m →∞ j ( m)
δ
= lim a ( m ) = lim a&&( m ) = lim
m →∞ n i
m →∞ n i
n
(138)
Ricordando che in capitalizzazione composta v n = e −δ n, la (138) può anche scriversi come
a
n i
=
1 − e −δ n
δ
(139)
intera
Rendita
continua
frazionata
Osservazioni
1) Si noti nella (138) l’uguaglianza lim a
( m)
m →∞ n i
= lim a&&( m ) che ha una semplice spiegazione:
m →∞ n i
per m→∞ l’ampiezza dell’intervallo di frazionamento tende a zero e non ha più senso
distinguere tra rata anticipata e posticipata.
2) La (139) è stata ottenuta mediante un passaggio al limite ma il medesimo risultato può
essere conseguito in maniera alternativa attraverso l’operatore integrale. Infatti, data
una rendita unitaria frazionata, temporanea n,
dt
vt⋅dt
...
0
t
t + dt
t+1
t+n
a) Nell’intervallo infinitesimo (t, t + dt) la frazione di rata unitaria corrisposta è pari a dt
(la rata è infatti unitaria tra t e t + 1);
b) Il valore attuale all’epoca 0 dell’importo dt è vt⋅ dt, ma in capitalizzazione composta
è vt = e−δt. Pertanto il valore attuale all’epoca 0 della frazione di rata è e−δt⋅ dt;
c) Poiché l’intervallo (t, t + dt) è infinitesimo, la somma di tutte le frazioni di rata
attualizzate coincide con l’integrale, tra 0 ed n, di e−δt⋅ dt. Cioè
a
n i
n
 e−δ t 
1 − e−δ n
−δ t
= ∫ e dt = − 
 =
δ
0
 δ  0
n
…ovvero la (139).
Tasso interno di rendimento
(Internal rate of return)
Riconsideriamo la (71)
n
AT = ∑ Rk v(T , tk )
k =0
che, come noto, restituisce il valore attuale – anche detto Valore Attuale Netto (VAN) o
Net Present Value (NPV) – della rendita composta dalle n+1 rate R0, R1,…, Rn.
Nel regime della capitalizzazione composta a tasso costante la (71) si particolarizza nella
n
AT = ∑ Rk (1 + i )
T − tk
k =0
Definiamo tasso interno di rendimento (T.I.R.) il tasso della legge di sconto
esponenziale che annulla il valore attuale dell’operazione, cioè il tasso i* (con i*> −1) che
risolve la
n
∑ R (1 + i)T −tk
k
=0
(140)
k =0
Osservazione
La definizione di tasso interno di rendimento non è in realtà del tutto ben posta in quanto
l’esistenza, l’unicità e la significatività finanziaria della soluzione non è garantita quale
che sia l’operazione finanziaria.
Esempio 1
Si consideri l’operazione finanziaria descritta dal seguente scadenzario
−385
+423
+100
t
t+1
t+2
Risolvendo la
−385 + 423 × v + 100 × v 2 = 0
si ha
v1 = −5
−423 ± 423 + 4 × 100 × 385 
=
=
200

v2 = 0,77
2
v1,2
da cui
i1 =
1
1
−1 =
− 1 = −1, 2
v1
−5
i2 =
1
1
−1 =
− 1 = 0, 2987
v2
0.77
Come si vede, le soluzioni sono due: tuttavia la prima (i1= −1,2) è priva di significato
finanziario; la seconda è accettabile. Il tasso interno di rendimento dell’operazione è
dunque pari in questo caso al 29,87%.
Esempio 2
Si consideri ora l’operazione finanziaria descritta dal seguente scadenzario
73,15
−172
+100
t
t+1
t+2
Risolvendo la
73,15 − 172 × v + 100 × v 2 = 0
si ha
v1 = 0,77
172 ± 172 − 4 × 100 × 73,15 
=
=
200

v2 = 0,95
2
v1,2
da cui
i1 =
1
1
−1 =
− 1 = 0, 2987
v1
0,77
i2 =
1
1
−1 =
− 1 = 0,0526
v2
0,95
Come si vede, le soluzioni in questo caso sono due, 5,26% e 29,87%, ed entrambe
finanziariamente accettabili.
Gli esempi suggeriscono che:
a) apparentemente nulla garantisce l’esistenza e l’unicità della soluzione
finanziariamente accettabile(*). Può infatti accadere che la (140) abbia più soluzioni
finanziariamente accettabili, nel qual caso l’utilizzo del tasso interno di rendimento al
fine di valutare l’operazione diviene problematico;
b) quasi mai il calcolo del tasso interno di rendimento è agevole come negli esempi visti.
Per operazioni che si sviluppano su n ≥ 4 periodi unitari non possono applicarsi
formule risolutive ma bisogna procedere attraverso procedimenti numerici, come
meglio si vedrà più avanti.
(*) In realtà esistono delle condizioni che assicurano, limitatamente al caso i > 0, l’unicità
del tasso in base all’alternanza di segno delle rate (condizione di Levi) o alla sequenza
temporale dei saldi dell’operazione (condizione di Norstrøm).
Problemi sulle rendite
Problemi sulle rendite: rata
Riconsideriamo il valore attuale ed il montante di una rendita (periodica) intera,
immediata, temporanea n, posticipata, di rata R, valutata al tasso di interesse i (nella
quale, per semplicità, omettiamo il pedice T)
A = R⋅a
1 − vn
= R⋅
i
S = R⋅s
rn −1
= R⋅
i
n i
n i
Intendiamo esplicitare ciascuna delle variabili, note tutte le rimanenti.
Dati
• ( A, i, n ) ricaviamo R
R=
A
a
=
A⋅i
1− v
n i
n
(141)
• ( S, i, n ) ricaviamo R
R=
S
s
n i
=
S ⋅i
n
r −1
(142)
Problemi sulle rendite: annualità
(Dati)
• ( A, i, R ) ricaviamo n
A⋅i
= 1 − vn ;
R
vn = 1 −
A⋅i
;
R
A⋅i 

ln 1 −

R 

n=
ln v
cioè in ultimo
A⋅i 

ln 1 −

R 

n=−
ln(1 + i )
(143)
Osservazione
Perché la (143) risulti definita occorre che sia
1−
A⋅i
>0
R
⇔
1
A< R⋅ = R⋅a
∞i
i
Il cui significato finanziario è evidente: il valore attuale della rendita deve essere inferiore
a quello di una rendita perpetua. Vista diversamente, e cioè come R > A⋅ i, la relazione
suggerisce che la rata deve essere superiore al solo interesse (dato dal valore attuale
moltiplicato il tasso di interesse).
Problemi sulle rendite: annualità
(Dati)
• ( S, i, R ) ricaviamo n
S ⋅i
= r n − 1;
R
rn = 1+
S ⋅i
R
cioè in ultimo
 S ⋅i 
ln 1 +

R 

n=
ln(1 + i )
(144)
Esempio
Determinare quanti anni occorrono per estinguere un debito di € 7.000 al tasso effettivo di
interesse annuo del 6.5% pagando una rata annuale posticipata di € 600.
Anzitutto verifichiamo che sia R > A ⋅ i
600 > 7.000 ⋅ 0.065 = 455
Quindi calcoliamo la (143)
A⋅i 

 7.000 ⋅ 0.065 
ln 1 −
ln

1 −

R 
600


 = 22,55181329
n=−
=−
ln(1 + i )
ln(1 + 0.065)
Convertiamo il risultato in anni, mesi e giorni:
22,55181329 − [22,55181329] = 0,55181329
[ 22 anni ]
0,55181329 × 12 = 6,621759506
6,621759506 − [6,621759506] = 0,621759506
[ 6 mesi ]
0,621759506 × 30,41666(*) = 18,91185165
[ 18 giorni… quasi 19! ]
(*)
30,41666 è il valore del mese medio, ottenuto dividendo 365 per 12 (solitamente i
contratti disciplinano le modalità di calcolo del tempo).
Problemi sulle rendite: ricerca del tasso
(Dati)
• ( A, n, R ) come calcoliamo i (il TIR) ?
A differenza dei casi precedenti il calcolo del tasso di interesse non è immediato e
comporta i problemi già in parte segnalati quando si è trattato del tasso interno di
rendimento.
Il problema risiede nel fatto che la (89) non è invertibile rispetto al tasso di interesse.
Dalla
A 1 − (1 + i ) − n
=
R
i
ponendo A/R = a e sviluppando, abbiamo
1
rn −1
1− n
n
r
r
a=
=
r −1
r −1
a ⋅ r n (r − 1) = r n − 1
a ⋅ r n +1 − a ⋅ r n − r n + 1 = 0
a ⋅ r n +1 − (a + 1)r n + 1 = 0
(145)
La (145) è un’equazione trinomia di grado n+1 nella incognita r che, per n ≥ 4, non può
essere risolta con metodi elementari. Per determinare il fattore di capitalizzazione r che la
verifica si ricorre a metodi numerici che forniscono soluzioni approssimate.
Problemi sulle rendite: ricerca del tasso
Saranno esaminati in particolari tre metodi numerici:
1) Metodo iterativo
2) Metodo per interpolazione lineare
3) Metodo delle approssimazioni successive
I tre metodi possono essere combinati per migliorare l’approssimazione del tasso di
interesse.
Ricerca del tasso. Metodi iterativo
Avendo posto A/R = a, dalla (89) isolando i si ha
1 − (1 + i )− n
i=
a
Consideriamo i due membri dell’uguaglianza come due funzioni e rappresentiamole
graficamente. Cioè:
f1 (i ) = i
e
La f1(i) è la funzione identica (bisettrice
del primo e terzo quadrante) e pertanto
non necessita di ulteriori considerazioni
1 − (1 + i ) − n
f 2 (i ) =
a
Studiamo sommariamente la f2(i).
• f2(0) = 0
•
•
•
•
1 − (1 + i ) − n 1
=
lim f (i ) = lim
i →∞ 2
i →∞
a
a
n(1 + i ) −( n +1)
'
f 2 (i ) =
>0 ∀i
a
n
f 2' (0) = > 1
a
− n(n + 1)(1 + i ) − ( n + 2)
''
f 2 (i ) =
<0 ∀i
a
Rappresentiamo graficamente le due funzioni, indicando sull’asse delle ascisse la
soluzione i* ricercata.
f1(i)
f2(i)
i*
Il metodo iterativo opera attraverso con i seguenti passi:
1) Si fissa il tasso i = i0
2) Si calcola il valore f2(i)
3) Si assume f2(i), come nuovo tasso di calcolo i1
4) Si pone i = i1 e si itera il passo 2)
i
Rappresentiamo graficamente le due funzioni, indicando sull’asse delle ascisse la
soluzione i* ricercata.
f1(i)
f2(i)
i56
i0
i1
i2
i3 i4 i*
La successione {ik} converge verso il valore ricercato i*.
i
Esempio
Si acquista un bene al prezzo di € 100.000 e lo si paga in 20 rate annuali da € 8.000.
Determinare il TIR annuale con il metodo iterativo.
E’ A/R = a = 100.000/8.000 = 12,5
1 − (1 + 0.039) −20
= 0,0427798
1) Calcoliamo f 2 (0,039) =
12,5
2) … ed assumiamo f2(0.039) come nuovo tasso
3) iterando il passo 1).
Risultati delle iterazioni
1
0.039
0.04278
11
0.049584
0.049609
2
0.04278
0.045387
12
0.049609
0.049623
3
0.045387
0.047073
13
0.049623
0.049632
4
0.047073
0.048118
14
0.049632
0.049637
5
0.048118
0.048747
15
0.049637
0.049639
6
0.048747
0.049120
16
0.049639
0.049641
7
0.049120
0.049339
17
0.049641
0.049642
8
0.049339
0.049467
18
0.049642
0.049642
9
0.049467
0.049541
19
0.049642
0.049643
10
0.049541
0.049584
…
…
…
30
0.049643
0.049643
Osservazione
Il metodo iterativo non è applicabile sempre. Per esempio non converge nel caso della
funzione derivata dal montante
(1 + i ) n − 1
f 2 (i ) =
s
essendo, in analogia a quanto sopra, s = S/R.
Una condizione sufficiente per l’applicabilità del metodo iterativo all’equazione x = f(x) –
con f: x∈[a,b] → f(x), f∈C1[a,b] – è la seguente:
esiste un x* tale che x* = f(x*)
in (a,b) è f ’(x*)< 1
allora x* è l’unica soluzione in (a,b) dell’equazione x = f(x) e la successione {xn} converge
quale che sia x0∈(a,b)
Se
esiste un x* tale che x*=f(x*)
in (a,b) è f ’(x*)> 1
allora x* è l’unica soluzione in (a,b) dell’equazione x=f(x) ma la successione {xn} non
converge a x* a meno che sia x0=x*.
Se
Ricerca del tasso. Interpolazione lineare
Riconsideriamo il valore attuale (89), che riscriviamo sottolineando la dipendenza dal tasso
di interesse
1 − (1 + i ) − n
(146)
a (i ) =
i
Dati due valori del tasso di interesse, siano i0 e i1, possiamo calcolare attraverso la (146) i
valori a0=a(i0) e a1=a(i1).
Calcoliamo l’equazione della retta tangente passante per i punti (i0, a0) e (i1, a1)
a − a0
a1 − a0
=
i − i0
i1 − i0
cioè
a = a0 +
a1 − a0
(i − i0 )
(147)
(a − a0 )
(148)
i1 − i0
ma anche
i = i0 +
i1 − i0
a1 − a0
Se a1 < a(i) < a0 allora la rappresentazione è la seguente
a = a0 +
a1 − a0
i1 − i0
(i − i0 )
a0
a
1 − (1 + i ) − n
a (i ) =
i
a1
i0
i*
ιˆ
i1
ιˆ stima i*
Esempio
Si determini, per interpolazione lineare, il TIR annuo per un debito di € 20658.28 che
viene rimborsato in 10 rate posticipate di € 2582.28 ciascuna.
E’
20.658, 28 = 2582, 28 ⋅ a10 i
da cui:
a10 i =
20.658, 28
=8
2582, 28
Consideriamo i due tassi i0=0,03 e i1=0,06 e calcoliamo a(i0) e a(i1). Si ha
1 − 1,03−10
= 8,530203
a0 =
0,03
1 − 1,06−10
= 7,360087
a1 =
0,06
Quindi
a1 < a10 i < a0
e pertanto possiamo calcolare il tasso approssimato mediante la (148), cioè come
ιˆ = 0,03 +
0,06 − 0,03
(8 − 8,530203) = 0,043594
7,360087 − 8,530203
Osservazioni
1) E’ evidente che l’approssimazione può migliorarsi scegliendo convenientemente i due
tassi i0 ed i1, in modo cioè che i valori a0 ed a1 siano quanto più prossimi possibile al
valore a(i) calcolato dai dati del problema. Così, scegliendo per esempio i0= 0,04 ed
i1 = 0,043 si avrebbe a0 = 8,110895779 e a1 = 7,99107391 da cui segue
ιˆ = 0,04 +
0,043 − 0,04
(8 − 8,110895779) = 0,042774
7,99107391 − 8,110895779
2) In alternativa, per migliorare l’approssimazione, si può procedere iterativamente una
volta stimato il tasso attraverso il metodo per interpolazione. In questo caso si ha
Iterazioni
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Tasso
0,043594
0,043418
0,04328
0,043172
0,043088
0,043021
0,042969
0,042928
0,042895
0,04287
0,04285
0,042834
Iterazioni
…
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Tasso
0,04278
0,042779
0,042778
0,042778
0,042777
0,042777
0,042776
0,042776
0,042776
0,042776
0,042775
Ricerca del tasso. Approssimazioni successive
Riconsideriamo il valore attuale di una rendita (periodica) intera, immediata, temporanea
n, posticipata, di rata R, valutata al tasso di interesse i nella forma
A = R ⋅ (v + v 2 + ... + v n )
che può equivalentemente scriversi come
v + v 2 + ... + v n =
A
R
Osserviamo che per v ≥ 0 (finanziariamente privo di significato sarebbe considerare il
caso v < 0) la funzione f(v) = v + v2 + … + vn è:
• continua
• positiva per v > 0
• monotòna crescente
• divergente positivamente per v → +∞
Grafico della funzione f(v, n)
Per il teorema di Darboux(*) e la sua monotonìa, la f(v) assume una sola volta ogni valore
positivo...
(*)Se
la funzione f: X ⊆ R → R è continua nell’insieme X, essa assume ogni valore
compreso tra il suo estremo inferiore ed il suo estremo superiore.
…dal che segue che assume una sola volta anche il valore (positivo)
Conseguenza: l’equazione
f (v ) =
A
.
R
A
R
(149)
ha una sola radice reale positiva (e dunque finanziariamente significativa).
Per calcolare la radice reale positiva applichiamo il procedimento del teorema di esistenza
degli zeri alla funzione
ϕ (v ) = f (v ) −
A
A
= v + v 2 + ... + v n −
R
R
(150)
Richiamo
Teorema di esistenza degli zeri: Sia f: X ⊆ R → R continua nell’insieme X. Se
per a, b ∈ X si ha f(a)⋅f(b) < 0 allora esiste almeno un punto c ∈ (a, b) in cui
risulta f(c) = 0.
Osservazione
Sappiamo che – per la monotonìa della funzione ϕ(v) – il punto c di cui alla tesi del teorema
di esistenza degli zeri è unico.
Ricerca del tasso. Approssimazioni successive: algoritmo
Si calcola il punto
medio tra a e b
Si fissano due valori di v ≥ 0, siano a e
b, tali che ϕ(a) < 0 e ϕ(b) > 0 (non
potrebbe essere il contrario in quanto ϕ
– come f – è strettamente crescente)
Determinato lo zero della funzione ϕ
c=
SI
a+b
2
ϕ(c) = 0 ?
NO
Poiché ϕ(b) > 0 la radice ricercata è
nell’intervallo (c, b): ( a ← c )
SI
ϕ(c) < 0 ?
NO
Poiché ϕ(a) < 0 la radice ricercata è
nell’intervallo (a, c): ( b ← c )
Ad ogni passo l’ampiezza dell’intervallo si dimezza e la successione formata dai punti medi
converge verso la radice ricercata. Determinata la radice, cioè il valore di v che verifica la
(149), calcoliamo il relativo tasso usando la nota relazione i = v−1 − 1.
Esempio
Determinare il TIR annuo con il metodo delle approssimazioni successive relativamente alla
rendita di cui sono noti i seguenti dati: annualità 10, rata € 77,47, valore attuale € 517.48.
A 517, 48
=
= 6,679921,
R 77, 47
1) Poniamo a = 0,90 e b = 0,93. Si ha
ϕ(0.90) = −0.818026961 ϕ(0.93) = 0.175742633
Quindi ϕ(0.90)⋅ ϕ(0.93) < 0
2) Calcoliamo c0 = (0,90 + 0,93)/2 = 0.915
ϕ(0.915) = −0.343271163 < 0 per cui la radice è nell’intervallo (0.915, 0.93)
Calcolato
3) Calcoliamo c1 = (0,915 + 0,93)/2 = 0.9225
ϕ(0.9225) = −0.08955579 < 0
per cui la radice è nell’intervallo (0.9225, 0.93)
4) Calcoliamo c2 = (0,9225 + 0,93)/2 = 0.92625
ϕ(0.92625) = 0.041611868 > 0 per cui la radice è nell’intervallo (0.9225, 0.92625)
5) Calcoliamo c3 = (0,9225 + 0,92625)/2 = 0.924375
ϕ(0.924375) = −0.024338082 < 0 per cui la radice è nell’intervallo (0.924375, 0.92625)
6) Calcoliamo c4 = (0.924375 + 0.92625)/2 = 0.9253125
ϕ(0.9253125) = 0.008544833 > 0 per cui la radice è nell’intervallo (0.924375, 0.9253125)
….
Per v ≅ 0.9253125 otteniamo un tasso i ≅ 0.080715974
Obiettivo
Ci prefiggiamo di riassumere in indici sintetici le caratteristiche fondamentali, in particolare
la struttura delle scadenze e degli importi, delle operazioni finanziarie composte in modo da
consentire di confrontare tra loro operazioni differenti.
Tali indici risultano generalmente utili nella valutazione delle operazioni finanziarie se, oltre
a sintetizzare durata ed importi, riescono a fornire informazioni circa la “distribuzione” degli
importi nel tempo.
Come ormai consueto, ci riferiremo allo scadenzario
R0
R1
R2
Rk
Rn-1
Rn
t
t+1
t+2
t +k
t+n−1
t+n
L’intervallo [t, t + n] prende il nome di orizzonte temporale del contratto mentre, fissata
l’epoca intermedia t + k, la differenza (t + n) − (t + k) = n − k prende il nome di vita a
scadenza o vita residua del contratto.
L’epoca di scadenza t + n è detta maturity.
Indici temporali e di variabilità: scadenza media finanziaria
Il primo indice che analizziamo è la scadenza media finanziaria, definito come
n
n
k =1
k =1
log ∑ Rk − log ∑ Rk (1 + i ) − k
z=
(151)
log(1 + i )
La (151) è dedotta dall’uguaglianza
(1 + i )
−z
n
n
∑ Rk =∑ Rk (1 + i)−k
k =1
(152)
k =1
che consente di interpretare finanziariamente l’indicatore: z è l’epoca nella quale, in ipotesi
di capitalizzazione composta con struttura piatta del tasso, devono essere concentrati tutti
gli importi scambiati nell’operazione affinché il valore attuale in t sia uguale a quello
generato dal flusso degli importi, ciascuno opportunamente attualizzato.
(1 + i )
−z
n
∑ Rk
Rn(1+i)−n
k =1
Rk(1+i)−k
R2(1+i)−2
R1(1+i)−1
n
∑ Rk (1 + i)− k
n
R1
R2
Rk
∑ Rk
t+1
t+2
t +k
z
k =1
Rn
k =1
t
t+n
Indici temporali e di variabilità: scadenza media finanziaria
Problemi
La scadenza media finanziaria presenta due svantaggi:
1) può essere calcolata solo in ipotesi di struttura piatta dei tassi
2) è un indice finanziariamente scorretto: contiene la somma degli importi R1, . . .,Rn
che maturano in epoche diverse e che non vengono riportati finanziariamente alla
stessa epoca prima di essere sommati.
Indici temporali e di variabilità: scadenza media aritmetica
Il secondo indice che analizziamo è la scadenza media aritmetica (average term to
maturity).
Tale indice è definito come la media aritmetica, ponderata con le rate Rk, delle epoche
in cui hanno luogo i pagamenti, cioè:
n
n
k =1
k =1
n
∑ [(t + k ) − t ] Rk ∑ kRk
t =
n
∑ Rk
k =1
=
∑ Rk
k =1
n
= ∑k
k =1
Rk
n
∑ Rk
(153)
k =1
Osservazione
Si può dimostrare che, se le rate Rk non sono tutte uguali tra loro, si ha t > z.
Anche la scadenza media aritmetica, come la scadenza media finanziaria, è
scorretto da una prospettiva finanziaria in quanto somma importi che maturano in
epoche diverse.
Esempio
Calcoliamo la scadenza media finanziaria e la scadenza media aritmetica per le seguenti
obbligazioni, di valore nominale pari a 100.
Obbligazione A) Durata 5 anni, cedola annuale al tasso effettivo di interesse del 4% e
rimborso del valore nominale a scadenza
−100
4
4
4
t
t+1
t+2
t +3
4
104
t +4
t+5
Obbligazione B) Durata 5 anni, cedola annuale al tasso effettivo di interesse pari al 4% e
rimborso di una frazione del valore nominale ad ogni scadenza, come da schema
−100
24
23,2
22,4
21,6
20,8
t
t+1
t+2
t +3
t +4
t+5
24
= 20 + 100×0,04
23,2 = 20 + 80×0,04
22,4 = 20 + 60×0,04
21,6 = 20 + 40×0,04
20,8 = 20 + 20×0,04
Piano dei calcoli
Obbligazione B
Obbligazione A
t
1
2
3
4
5
Rk
4
4
4
4
104
R k (1+i )-k
3.846154
3.698225
3.555985
3.419217
85.48042
kRk
4
8
12
16
520
∑
120
100
560
n
n
k =1
k =1
log ∑ Rk − log ∑ Rk (1 + i ) − k
zA =
log(1 + i )
t
1
2
3
4
5
∑
log120 − log100
=
= 4,649
log(1,04)
Rk
24
23.2
22.4
21.6
20.8
R k (1+i )-k
23.07692
21.4497
19.91352
18.46377
17.09608
kRk
24
46.4
67.2
86.4
104
112
100
328
n
tA = ∑ k
k =1
Rk
n
=
560
= 4,667
120
=
328
= 2,928
112
∑ Rk
k =1
n
n
k =1
k =1
log ∑ Rk − log ∑ Rk (1 + i ) − k
zB =
log(1 + i )
log112 − log100
=
= 2,889
log(1,04)
n
tB = ∑ k
k =1
Rk
n
∑ Rk
k =1
Indici temporali e di variabilità: la duration
Il terzo indice è la durata media finanziaria (duration), introdotta
“… to signify the essence of the time element in a loan”
F. Macaulay, 1938 (Hicks, 1939)
Come la scadenza media aritmetica, la duration è una media aritmetica delle epoche di
pagamento degli importi ponderata con le rate Rk attualizzate in base ai fattori
v(t, t+k) dedotti dalla struttura a pronti per scadenza vigente all’epoca t. Quindi:
n
∑k ⋅ R
k
Dt =
⋅ v(t , t + k )
k =1
(154)
n
∑R
k
⋅ v(t , t + k )
k =1
Osservazione
La (154) tiene conto dei valori degli importi attualizzati ed esprime un’epoca media, cioè
una combinazione convessa delle scadenze k. Pertanto, per Rk ≥ 0 (k=1,2,...,n), sarà
ovviamente 1≤Dt≤n.
In rapporto all’esplicitazione del fattore di attualizzazione la (154) si particolarizza come
segue
n
∑k ⋅R
k
Tasso periodale
Dt =
⋅ [1 + ik (t , t + k )]−1
k =1
(155)
n
∑R
k
⋅ [1 + ik (t , t + k )]−1
k =1
k
n
∑ k ⋅ R ⋅ ∏[1 + i(t + s − 1, t + s)]
−1
Tassi a pronti
per periodo unitario
k
Dt =
k =1
s =1
(156)
k
n
∑ R ⋅ ∏[1 + i(t + s − 1, t + s)]
−1
k
k =1
s =1
k
n
∑ k ⋅ R ⋅ ∏[1 + i(t , t + s − 1, t + s)]
−1
Tassi a termine
per periodo unitario
k
Dt =
k =1
(157)
s =1
k
n
∑ R ⋅ ∏[1 + i(t , t + s − 1, t + s)]
−1
k
k =1
s =1
Evidentemente, la formula si semplifica se la struttura per scadenza a pronti è piatta, cioè
se ī(t, t + k) = i (k =1,…,n).
Si ha in questo caso
n
∑k ⋅ R
Dt =
−k
(1
i
)
⋅
+
k
k =1
n
∑R
k
(158)
⋅ (1 + i )
−k
k =1
essendo i il tasso effettivo di interesse (costante) riferito al periodo unitario.
La (158) è detta flat yield curve duration.
Osservazione
Benché dia luogo a risultati diversi da quelli che si ottengono utilizzando la successione dei
tassi a pronti (a termine), è molto frequente il calcolo della duration in modo approssimato
attraverso la (158), nella quale il tasso di valutazione i è assimilato – se esiste unico – al
T.I.R. del cash-flow dell’operazione finanziaria.
Esempio
Si calcoli in t = 0 la durata media finanziaria (duration) di un’obbligazione emessa alla pari
alla stessa epoca, di valore nominale uguale a € 100 che paga cedole annuali in base ai
tassi di interesse di mercato
i(0,1) = 3%
i(1,2) = 4%
i(2,3) = 4,5%
i(3,4) = 4,8%
e che viene estinta al suo valore nominale.
−100
3
4
4,50
4,8
5+100
t
t+1
t+2
t +3
t +4
t+5
vk
Rkvk
kRkvk
0.970874
0.933532
0.893333
0.852417
0.811825
2.9126
3.7341
4.0200’
4.09160
85.24165
2.9126
7.4683
12.0600
16.3664
426.2083
Totale
100
465.0155
0
1
2
3
4
5
i
0.030
0.040
0.045
0.048
0.050
-100
3.00
4.00
4.50
4.80
105.00
1
Anni
v(0,1) =
1
1
1 1
Mesi
2) == 1 + 0,03
(0,
(0,3)
4)
vv(0,5)
0,04) ++ 0,045)(1
(1++ 0,03)(1
0,03)(1++ 0,04)(1
0,04)(1
0,045) + 0,048)(1
0,048) + 0.05)
(1
Giorni
4.650155
4
7
24
i(4,5) = 5%
Si calcoli ora in t = 0 la durata media finanziaria (duration) della stessa obbligazione ma
attualizzando gli importi al tasso medio dedotto dalla struttura a pronti data.
Calcoliamo il tasso medio
1
5
ι = [ (1 + 0,03)(1 + 0,04)(1 + 0,045)(1 + 0,048)(1 + 0,05) ] − 1 ≅ 0, 042575
0
Tasso
vk
-100
Rkvk
kRkvk
1
0.03
3
0.959163
2.87749
2.8775
2
0.04
4
0.919994
3.67998
7.3600
3
0.045
4.5
0.882424
3.97091
11.9127
4
0.048
4.8
0.846389
4.06267
16.2507
5
0.05
105
0.811825
85.24165
426.2083
99.8327
464.6091
tasso medio = 0.042575
4,653877
Anni
4
Mesi
7
Giorni
25
Osservazione
Si noti che Dt in questo caso è 4,653877, valore più grande di 4,650155.
Si calcoli ora in t = 0 la durata media finanziaria (duration) della stessa obbligazione ma
considerando che ad ogni scadenza oltre alla cedola (calcolata ai tassi di mercato) viene
rimborsato un quinto del valore nominale.
0
Tasso
-100
vk
Rkvk
kRkvk
1
0.03
23.00
0.970874
22.33010
22.33010
2
0.04
23.20
0.933532
21.65795
43.31591
3
0.045
22.70
0.893333
20.27865
60.83594
4
0.048
21.92
0.852417
18.68497
74.73988
5
0.05
21.00
0.811825
17.04833
85.24165
100
286.4635
2.864635
Anni
2
Mesi
10
Giorni
11
Osservazione
Si noti che Dt in questo caso è 2,864635, valore molto più contenuto dei precedenti. Ciò
avviene perché le “masse” finanziarie sono distribuite lungo tutto lo scadenzario anziché
essere concentrate nell’ultima scadenza, come nell’esempio precedente.
Proprietà
1. Dt = n se e solo se il rimborso avviene in un’unica soluzione e non ci sono cedole (zero
coupon bond).
Infatti in
n questo caso è
∑ kR v(t , t + k )
k
Dt =
k =1
n
=
∑ R v(t , t + k )
1 ⋅ 0 ⋅ v(t , t + 1) + ... + (n − 1) ⋅ 0 ⋅ v(t , t + n − 1) + n ⋅ Rn ⋅ v(t , t + n)
=n
0 ⋅ v(t , t + 1) + ... + 0 ⋅ v(t , t + n − 1) + Rn ⋅ v(t , t + n)
k
k =1
2. Sia Dt = τ. La duration decresce al crescere di ciascuno degli importi Rk con k < τ
(antecedenti l’epoca τ ) e cresce al crescere di ciascuno degli importi Rk con k > τ
(seguenti l’epoca τ ), tendendo alla maturity al crescere di Rn (titoli a bassa cedola, cd.
deep discount bonds)
3. La duration decresce al crescere del tasso di calcolo. Infatti, considerando la flat yield
curve duration ed assumendo la derivabilità rispetto al tasso i, si ha:
 n
 n
2
k
k
 ∑ k Rk v
kR
v
∑

k
∂D
i =1
i =1

= −v
− n
n

∂i
k
k

R
v
R
v
∑
∑


k
k
i
=
1
i
=
1








2





Proprietà (segue)
Osserviamo che la quantità tra parentesi quadre è del tipo M(X2) − M2(X) (formalmente
ha l’espressione della varianza σ 2) e pertanto è
∂D
= −vσ 2 < 0
∂i
Dalla negatività della derivata prima segue la decrescenza della duration rispetto al tasso
di calcolo.
4. La duration misura la sensitività del valore attuale del contratto rispetto alle variazioni del
tasso i.
Per dimostrarlo, consideriamo – in ipotesi di struttura piatta dei tassi – il valore attuale del
flusso degli importi Rk (che è anche il prezzo di non arbitraggio dell’operazione)(*)
V (i ) = R1 (1 + i ) −1 + R2 (1 + i ) −2 + ... + Rn (1 + i ) − n
Rappresentiamo la funzione V(i), limitandoci ad osservare quanto segue:
a) V(i) > 0 per i > 0
n
b) V (0) =
∑R
k
k =1
(*) Scrivendo V(i) si è inteso sottolineare la dipendenza del valore attuale dal tasso i. Più rigorosamente, si sarebbe dovuto
scrivere V(i, Rk) (k = 1,…, n)
c)
n
dV
= ∑ − kRk (1 + i ) − ( k +1) < 0
di k =1
2
n
d
V
− ( k + 2)
d)
=
(
+
1)
(1
+
)
>0
k
k
R
i
∑
k
2
di
k =1
Graficamente
V(i)
∑Rk
Il prezzo del contratto decresce al
crescere del tasso di interesse
i
Analizziamo la derivata prima del prezzo del contratto
n
n
dV
− ( k +1)
−1
= ∑ −kRk (1 + i )
= −(1 + i ) ∑ kRk (1 + i ) − k
di k =1
k =1
(159)
Dalla definizione di flat yield curve duration abbiamo
n
∑ kR (1 + i)
k
−k
n
= D ∑ Rk (1 + i ) − k
k =1
(160)
k =1
Sostituendo il secondo membro della (160) nella (159) segue
dV
D n
Rk (1 + i ) − k
=−
∑
di
1 + i k =1
ovvero in ultima analisi
dV
D
V (i )
=−
di
1+ i
(161)
Il rapporto
D( m) =
D
(1 + i )
prende il nome di duration modificata o volatilità (del prezzo).
(162)
Osserviamo che la (161), per incrementi non infinitesimi, può scriversi come
∆V
D
V (i ) + o( ∆i )
=−
∆i
1+ i
= − D ( m ) V (i ) + o(∆i )
(163)
essendo o(∆i) un infinitesimo di ordine superiore a ∆i.
Trascurando la quantità o(∆i), dalla (163) segue
∆V
≅ − D ( m ) ⋅ V (i )
∆i
cioè, ricordando che ∆V = V(i + ∆i) − V(i)
V (i + ∆i ) ≅ V (i ) (1 − D ( m ) ⋅ ∆i )
(164)
La (164), che fornisce un’approssimazione del prezzo (valore attuale) V(i+∆i) del
contratto conseguente la variazione ∆i del tasso di interesse, mostra come il valore
della duration modificata influenza il prezzo del contratto, nel senso che:
- tanto più D(m) è contenuta tanto più modesta è la variazione del prezzo
- tanto più D(m) è grande tanto maggiore è la variazione del prezzo.
La (164) fornisce:
a) una stima del prezzo del contratto conseguente una variazione del tasso di interesse
Si vedrà come la stima fornita dalla (164) può essere migliorata aggiungendo un
termine di secondo grado che tiene conto della convessità della funzione valore
attuale.
b) una indicazione nella scelta delle obbligazioni da preferire in rapporto alle aspettative
sul futuro andamento dei tassi
Si vedrà come la duration rappresenta l’epoca alla quale il cash-flow risulta
immunizzato rispetto alle conseguenze sul prezzo del contratto che derivano da una
variazione del tasso di interesse.
a) Stima del prezzo del contratto conseguente una variazione del tasso di interesse
V(i)
∑Rk
V (i + ∆i ) ≅ V (i )(1 − D ( m ) ⋅ ∆i )
V(i)
V(i+∆i)
V (i )(1 − D ( m ) ⋅ ∆i )
i
i+∆i
i
Osservazione
La stima V(i)(1 − D(m)⋅∆i) del prezzo del contratto ottenuta attraverso la duration
modificata è per difetto. Ciò consegue dal fatto che V(i) è una funzione decrescente e
convessa.
Esempio
Si abbia l’operazione finanziaria descritta dal seguente cash-flow. Il tasso iniziale i = 8%.
t
100
200
300
400
500
600
t+1
t+2
t +3
t +4
t+5
t+6
La duration e la duration modificata sono, rispettivamente
D = 4,156892754 (4 anni, 1 mese, 27 giorni)
D(m) = 3,848974772
Il valore attuale del contratto (equivalentemente, il prezzo di non arbitraggio) è
V(0,08) = 1.514,615345
Si supponga che il tasso subisca un incremento di un punto percentuale (passi cioè
dall’8% al 9%). Qual è il nuovo valore attuale (prezzo di non arbitraggio) del contratto?
Per rispondere, possiamo:
1) Calcolare V(0,09)… ed ottenere V(0,09) = 1.457,8303
2) Calcolare V(0,08+0,01) ≅ V(0,08)⋅(1−D(m)⋅0,01) =
≅ 1.514,615345⋅(1−3,848974772⋅0,01) = 1.456,3182
valore molto prossimo al valore esatto 1.457,8303.
La tabella mostra l’approssimazione che si consegue calcolando attraverso la (164) il
prezzo del contratto conseguente una variazione di tasso di interesse
TASSO
i
0.0550
0.0575
0.0600
0.0625
0.0650
0.0675
0.0700
0.0725
0.0750
0.0775
0.0800
0.0825
0.0850
0.0875
0.0900
0.0925
0.0950
0.0975
0.1000
0.1025
0.1050
Prezzo effettivo
V(i)
1670.563
1654.003
1637.668
1621.552
1605.653
1589.968
1574.492
1559.222
1544.154
1529.287
1514.615
1500.137
1485.849
1471.748
1457.830
1444.094
1430.536
1417.153
1403.943
1390.903
1378.030
Prezzo approssimato
V(0,08)×(1−D(m)∆i)
∆
(eff.−appr.)
1660.358
1645.784
1631.210
1616.635
1602.061
1587.487
1572.913
1558.338
1543.764
1529.190
1514.615
1500.041
1485.467
1470.892
1456.318
1441.744
1427.170
1412.595
1398.021
1383.447
1368.872
10.20444
8.219211
6.457902
4.916816
3.592335
2.480909
1.579054
0.883356
0.390462
0.097086
0
0.096041
0.382102
0.855136
1.512153
2.350219
3.366452
4.558027
5.922169
7.456155
9.157312
(*) Variazione percentuale misurata sul prezzo effettivo
[V(i+∆i) -V(i)]/ V(i)
%
10.30%
9.20%
8.12%
7.06%
6.01%
4.98%
3.95%
2.95%
1.95%
0.97%
---−0.96%
−1.90%
−2.83%
− 3.75%
−4.66%
−5.55%
−6.43%
−7.31%
−8.17%
−9.02%
(*)
Osservazione
Si noti nella tabella precedente che – in valori assoluti – la variazione percentuale del
prezzo dell’obbligazione è asimmetrica rispetto alle variazioni (positive o negative) del
tasso. In altri termini al decrescere del tasso il prezzo aumenta percentualmente più
di quanto non diminuisca al crescere del tasso, rispetto al valore centrale dell’8%.
Tale effetto non è specifico dell’esempio analizzato, ma è conseguenza della convessità
della funzione valore attuale rispetto al tasso di interesse; esso suggerisce che
l’approssimazione del prezzo dell’obbligazione attraverso la (164)
V (i + ∆i ) ≅ V (i ) (1 − D ( m ) ⋅ ∆i )
può essere migliorata considerando termini aggiuntivi di grado superiore al primo.
V(i)
∑Rk
V (i + ∆i ) ≅ V (i )(1 − D ( m ) ⋅ ∆i )
i
Indici temporali e di variabilità: la convexity
Richiamo (approssimazione di una funzione mediante il polinomio di Taylor)
Data la funzione f(x), derivabile n volte nel punto x0 ed n−1 volte in un intorno di x0, per x
“prossimo” a x0 sussiste la
f ''( x0 )
f ( n ) ( x0 )
2
f ( x) ≅ f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ) +
( x − x0 ) + ... +
( x − x0 ) n
2!
n!
n
Pn ( x) = ∑
k =0
f ( k ) ( x0 )
( x − x0 ) k
k!
essendo Pn(x) il polinomio di Taylor di grado n centrato nel punto x0.
Arrestando l’approssimazione al termine di secondo grado si può scrivere
f ( x) − f ( x0 ) ≅ f '( x0 )( x − x0 ) +
f ''( x0 )
( x − x0 ) 2
2!
Utilizziamo questo risultato per migliorare l’approssimazione che si commette attraverso
la (164) nel calcolare il prezzo del contratto conseguente una variazione del tasso di
interesse.
Banalmente la funzione f sarà la funzione valore attuale (prezzo) del contratto e la
variabile x sarà il tasso di interesse.
Già sappiamo che
n
dV
= ∑ − kRk (1 + i ) − ( k +1) che può anche scriversi come
di k =1
dV
= − D ( m )V (i )
di
e che la derivata seconda della funzione valore attuale è positiva e data dalla
n
d 2V
− ( k + 2)
=
(
+
1)
(1
+
)
k
k
R
i
∑
k
di 2 k =1
Pertanto l’approssimazione f ( x ) − f ( x0 ) ≅ f '( x0 )( x − x0 ) +
come
avendo posto
f ''( x0 )
( x − x0 ) 2 può scriversi
2!
1
∆V ≅ − D ( m ) ⋅ V ⋅ ∆ i + C ⋅ V ⋅ ∆ i 2
2
(165)
1 n
C = ∑ k (k + 1) Rk (1 + i ) −( k + 2)
V k =1
(166)
La quantità C, rapporto tra la derivata seconda del valore attuale ed il valore attuale
stesso, prende il nome di convexity (del prezzo) e misura la convessità della funzione
valore attuale per unità di capitale.
La convexity può essere impiegata per stimare in modo più accurato la variazione del
prezzo del contratto. Per verificarlo, riprendiamo l’esempio precedente, nel quale l’operazione {(100,t+1),(200,t+2),(300,t+3),(400,t+4),(500,t+5),(600,t+6)} era valutata al tasso i=8%.
Abbiamo già calcolato la duration e la duration modificata, rispettivamente pari a
D = 4,156892754 (4 anni, 1 mese, 27 giorni)
D(m) = 3,848974772
Dalla tabella dei conti calcoliamo C = 20,40082.
k(k+1)Rk(1+0.08)−(k+2)
k
Rk
vk
Rk vk
1
100
0.92593
92.59259
158.766
2
200
0.85734
171.4678
882.036
3
300
0.79383
238.1497
2450.100
4
400
0.73503
294.0119
5041.357
5
500
0.68058
340.2916
8752.356
6
600
0.63017
378.1018
13614.780
Somma
1514.615
30899.390
A fronte di una variazione positiva di un punto percentuale del tasso, la stima del nuovo
prezzo è
1


V (i + ∆i ) ≅ V (i ) 1 − D ( m) ⋅ ∆i + C ⋅ ∆i 2 
2


1


V (0,08 + 0,01) ≅ 1.514,615 1 − 3,84897 ⋅ 0,01 + 20, 40082 ⋅ 0,012  = 1.457,863
2


La Tabella mostra – colonne (5) e (6) – il miglioramento della stima del prezzo usando la convexity
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
0.055
Prezzo effettivo
1670.563
Approx 1°ordine
1660.358
Approx 2°ordine
1670.014
(2)-(3)
10.205
(2)-(4)
0.549
0.058
1654.003
1645.783
1653.605
8.220
0.398
0.060
1637.668
1631.209
1637.389
6.459
0.279
0.063
1621.552
1616.635
1621.366
4.917
0.186
0.065
0.068
0.070
0.073
1605.653
1589.968
1574.492
1559.222
1602.061
1587.486
1572.912
1558.338
1605.537
1589.900
1574.457
1559.207
3.592
2.482
1.580
0.884
0.116
0.068
0.035
0.015
0.075
1544.154
1543.764
1544.150
0.390
0.004
0.078
0.080
1529.287
1529.189
1529.286
0.098
0.001
1514.615
1514.615
1514.615
0.000
0.000
0.083
1500.137
1500.041
1500.137
0.096
0.000
0.085
1485.849
1485.466
1485.853
0.383
-0.004
0.088
1471.748
1470.892
1471.761
0.856
-0.013
0.090
1457.830
1456.318
1457.863
1.512
-0.033
0.093
1444.094
1441.744
1444.158
2.350
-0.064
0.095
1430.536
1427.169
1430.646
3.367
-0.110
0.098
1417.153
1412.595
1417.327
4.558
-0.174
0.100
1403.943
1398.021
1404.201
5.922
-0.258
0.103
1390.903
1383.447
1391.268
7.456
-0.365
0.105
1378.030
1368.872
1378.528
9.158
-0.498
(1)
Tasso i
Conclusione
Come la duration, anche la convexity indica come il prezzo del contratto si modifica rispetto
alle variazioni del tasso di interesse: se il tasso si riduce il prezzo aumenta
percentualmente più di quanto non si riduca se il tasso aumenta. Tale effetto,
desiderabile per l’investitore, è tanto maggiore quanto maggiore è la convexity del titolo.
Pertanto, l’investitore preferirà i titoli che presentano convexity più elevata.
b) Indicazione nella scelta delle obbligazioni da preferire in rapporto alle aspettative sul
futuro andamento dei tassi
Dalla (164) si deduce che:
• un operatore con aspettative ribassiste circa il futuro andamento dei tassi di interesse
preferisce operazioni di investimento con duration più elevata
• un operatore con aspettative rialziste circa il futuro andamento dei tassi di interesse
preferisce operazioni di investimento con duration minore.
Scelte opposte intervengono se l’operazione è di finanziamento.
Infatti,
se l’operatore investe ha convenienza che la variazione di tasso ∆i accresca (o non
eroda troppo) il prezzo del contratto.
Pertanto, stante la
V (i + ∆i ) ≅ V (i ) (1 − D ( m ) ⋅ ∆i )
• ∆i < 0 (ribasso del tasso) ⇒ ∆V > 0 e la differenza è tanto maggiore quanto maggiore
è la D(m), cioè la duration
• ∆i > 0 (rialzo del tasso) ⇒ ∆V < 0 e la differenza è tanto minore quanto minore è la
D(m), cioè la duration.
Pertanto, la duration fornisce indicazioni strategiche:
Nelle operazioni di investimento
se si hanno aspettative di riduzione dei tassi di interesse si preferiranno titoli
obbligazionari con duration più elevata (al ridursi dei tassi di interesse cresce il prezzo
dell'obbligazione e i guadagni sono maggiori sui titoli più sensibili alle oscillazioni dei
tassi);
se si hanno aspettative di aumento dei tassi di interesse si preferiranno titoli
obbligazionari con duration più bassa (all'aumento dei tassi di interesse diminuisce il
prezzo di un'obbligazione e le perdite sono minori sui titoli meno sensibili alle oscillazioni
dei tassi).
Nelle operazioni di finanziamento le posizioni sono speculari.
Indici temporali e di variabilità: duration e immunizzazione
Abbiamo analizzato le variazioni del prezzo del titolo al variare del tasso di interesse,
osservando che esiste un legame inverso tra le due grandezze.
Il fatto che il tasso di interesse vari nel tempo espone gli operatori finanziari ad un rischio, il
cd. rischio di tasso, consistente nell’eventualità di non conseguire i risultati che – in
assenza di variazioni del tasso – l’operazione finanziaria avrebbe garantito.
Ci proponiamo pertanto di:
1) analizzare in dettaglio il rischio di tasso, scomponendolo in:
a) rischio di reimpiego (o di reinvestimento)
b) rischio di prezzo (o di realizzo)
2) comprendere in che modo la duration svolga un ruolo protettivo (immunizzante) rispetto
alle variazioni del tasso.
1) Il rischio di tasso
Per comprendere la natura di tale rischio, consideriamo l’operazione finanziaria descritta
dal seguente schema
−100
10
10
110
t
t+1
t+2
t +3
Ipotizzando che il tasso sia i = 10%, la duration è
1 ⋅ 10 ⋅ 1,10−1 + 2 ⋅ 10 ⋅ 1,10−2 + 3 ⋅ 110 ⋅ 1,10−3
D=
≅ 2,7355
(2 anni, 8 mesi, 25 giorni)
100
110 ⋅ 1,10−3 ≅ 82,64
10 ⋅ 1,10−1 ≅ 9,09
D = 2,7355
10 ⋅ 1,10−2 ≅ 8, 26
−100
10
10
110
t
t+1
t+2
t +3
Dopo aver riscosso la seconda cedola dell’obbligazione, l’investitore decide di terminare
anticipatamente l’operazione.
Quanto vale l’investimento all’epoca t+2?
k
Rk
Valore all’epoca del disinvestimento
t+1
10
10 × 1,10 = 11
t+2
10
10
t+3
110
110 × 1,10−1 = 100
121
Valore del cash-flow all’epoca t+2 se il tasso
sul mercato si è mantenuto al 10%
Problema
Cosa accade se all’epoca t+2 il tasso vigente non è più il 10% ?
Rischio di reimpiego (o di reinvestimento): il tasso passa dal 10% all’8%
k
Rk
t+1
10
10 × 1,08 = 10,80
t+2
10
10
t+3
110
110 × 1,08−1 = 101,85
122,65
Rischio di prezzo: 101,85 > 100
Rischio di reimpiego: 10,80 < 11
Rischio di prezzo (o di realizzo): il tasso passa dal 10% al 12%
k
Rk
t+1
10
10 × 1,12 = 11,20
t+2
10
10
t+3
110
110 × 1,12−1 = 98,21
119,41
Rischio di prezzo: 98,21 < 100
Rischio di reimpiego: 11,20 > 11
Osservazione
La variazione del tasso (10% → 8%, nel primo esempio) (10 → 12%, nel secondo
esempio) ha prodotto effetti opposti: positivi nel primo caso (122,65>121) e negativi
nel secondo caso (119,41<121).
I rischi di rempiego e di prezzo non si cumulano, ma – almeno parzialmente – si
compensano.
Ciò induce la domanda:
E’ possibile proteggersi (“immunizzarsi”) dal rischio di tasso mediante la
compensazione delle due componenti?
In altri termini, esiste un’epoca disinvestendo alla quale si è immunizzati dal rischio
di tasso?
Supponiamo che nell’esempio appena visto l’investitore decida di interrompere
l’operazione all’epoca coincidente con la duration (D = 2,7355). Qual è il valore del cashflow a tale epoca?
Il tasso rimane il 10%
k
Rk
t+1
10
10 × 1,10D−1 = 11,7988
t+2
10
10 × 1,10D−2 = 10,7262
t+3
110
110 × 1,10D−3 = 107,2620
129,7870
Il tasso passa dal 10% all’8%
k
Rk
t+1
10
10 × 1,08D−1 = 11,4290
t+2
10
10 × 1,08D−2 = 10,5824
t+3
110
110 × 1,08D−3 = 107,7838
129,7952
Il tasso passa dal 10% al 12%
k
Rk
t+1
10
10 × 1,12D−1 = 12,1736
t+2
10
10 × 1,12D−2 = 10,8693
t+3
110
110 × 1,12D−3 = 106,7521
129,7950
Pertanto,
l’esempio mostra che la duration immunizza dalle variazioni del tasso di interesse
Formalizziamo il risultato, considerando l’operazione finanziaria descritta dal seguente
scadenzario
t0
R1
R2
t1
t2
d
R n− 1
Rn
tn−1
tn
E’ noto che il valore del contratto all’epoca d – valore che denotiamo con V(i0, d) per
sottolineare la dipendenza sia dal tasso i0 che dall’epoca di valutazione d – è dato dalla
V (i0 , d ) =
∑ Rk (1 + i0 )
d − tk
tk ≤ d
n
+
∑ Rk (1 + i0 )
− ( tk − d )
=
tk > d
= ∑ Rk (1 + i0 )
d − tk
k =1
Il problema di immunizzazione consiste nello stabilire se, dati i due tassi i0 e i, esiste
un’epoca d tale che
V (i, d ) ≥ V (i0 , d )
∀ i0 , i
(167)
tale cioè che il valore del contratto in d, calcolato al tasso i, risulti non inferiore al valore
del contratto in d, calcolato sulla base del tasso i0.
La (165) richiede che la funzione V abbia un minimo in i0. Se tale funzione è derivabile
rispetto al tasso di interesse (e noi assumiamo che lo sia), condizione necessaria perché
abbia un minimo in i0 è che sia
∂
V (i0 , d ) = 0
∂i
Calcoliamo dunque la derivata prima della funzione V rispetto al tasso i
n
∂
d −t −1
V (i, d ) = ∑ (d − tk ) Rk (1 + i ) k
∂i
k =1
da cui
n
∂
d −t −1
V (i0 , d ) = ∑ (d − tk ) Rk (1 + i0 ) k = 0
∂i
k =1
Cioè, sviluppando opportunamente
∂V
(i0 , d ) =
∂i
n
∑ (d − t
k
) Rk (1 + i0 )
d − t k −1
=0
k =1
n
= ∑ ( d − t k ) Rk (1 + i0 ) − tk (1 + i0 ) d −1 = 0
k =1
= (1 + i0 )
d −1
n
∑ (d − t
k =1
− tk
)
(1
+
)
=0
R
i
k
k
0
n
∂V
−t
d −1
(i0 , d ) = (1 + i0 ) ∑ ( d − t k ) Rk (1 + i0 ) k = 0
∂i
k =1
se e solo se
n
∑ ( d − tk ) Rk (1 + i0 )
− tk
=0
k =1
n
− tk
− tk 

(1
+
)
−
(1
+
)
=0
dR
i
t
R
i
∑
0
0
k
k k


k =1
n
∑ dR
k
(1 + i0 )
n
− ∑ t k Rk (1 + i0 )
− tk
k =1
− tk
=0
k =1
n
d ∑ Rk (1 + i0 )
n
− tk
=
k =1
∑t
k
Rk (1 + i0 ) − tk
k =1
dalla quale infine segue
n
∑t
d =
k
Rk (1 + i0 ) − tk
k =1
n
∑R
k =1
(168)
k
(1 + i0 ) − tk
La (168) altro non è che la definizione di duration, per cui si ha la seguente
Conclusione
La durata d per la quale la funzione V ha un minimo rispetto al tasso di interesse
coincide con la duration.
Osservazione
∂
Posto che la funzione V sia derivabile, la condizione
V (i0 , d ) = 0 è solo necessaria.
∂i
Per individuare il punto di minimo occorre anche calcolare la derivata seconda della
funzione V e verificare che risulti
Si ha infatti
∂2
V (i0 , d ) > 0 .
2
∂i
.
∂ 2V
(i0 , d ) =
2
∂i
n
∑ (d − t
k
) 2 Rk (1 + i0 )
d − tk − 2
k =1
come si verifica immediatamente essendo positivi tutti i fattori .
>0
(169)
Esempio
Si acquista in t=0 una obbligazione alla pari con le seguenti caratteristiche:
- Valore nominale: € 100
- Durata: 8 anni
- Cedola annuale al tasso i = 6%;
- Rimborso del valore nominale: €50 al 4°ed €50 all’8°anno
La valutazione avviene al tasso del 6%.
La duration del titolo è calcolata attraverso il seguente piano dei conti
k
Rk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-100
6
6
6
56
3
3
3
53
Rkvk
kRkvk
5.660377
5.339979
5.037716
44.35725
2.241775
2.114882
1.995171
33.25286
100
Duration
5.660377
10.67996
15.11315
177.429
11.20887
12.68929
13.9662
266.0228
512.7697
5.127697
Calcoliamo il valore dell’obbligazione all’epoca coincidente con la duration (d=5.127697)
al variare del tasso di interesse.
8
V (i, 5.127697) = ∑ Rk (1 + i )5.127697 − k =
k =1
= 6 ⋅ (1 + i ) 4.127697 + 6 ⋅ (1 + i )3.127697 + 6 ⋅ (1 + i ) 2.127697 + 56 ⋅ (1 + i )1.127697 +
+ 3 ⋅ (1 + i )0.127697 + 3 ⋅ (1 + i ) −0.8723 + 3 ⋅ (1 + i ) −1.8723 + 53 ⋅ (1 + i ) −2.8723
Il punto di minimo coincide con il
tasso di valutazione iniziale
Si è finora esplorato il ruolo protettivo svolto dalla duration in relazione ad un titolo
obbligazionario.
Poiché:
a) la duration indica l’epoca alla quale l’investimento risulta immunizzato;
b) l’epoca in corrispondenza della quale si desidera che l’investimento sia immunizzato
è generalmente determinata dagli impegni e/o dagli obiettivi dell’investitore;
c) non è detto che il mercato offra titoli con duration esattamente uguale a quella
desiderata da ciascun investitore che vuole immunizzarsi,
è rilevante chiedersi se sia possibile immunizzarsi per un’epoca qualsiasi e non
soltanto per quelle corrispondenti alle duration dei titoli offerti sul mercato.
La risposta è affermativa sotto una condizione molto debole: è possibile immunizzarsi
per l’epoca D qualsiasi se il mercato offre titoli con duration D1 e D2 tali che (*)
D1 < D < D2
(*) Si sono considerate disuguaglianze forti perche, in caso di uguaglianza, il problema sarebbe risolto
acquistando il titolo tra i due la cui duration coincide con D.
Dimostriamo il risultato
Consideriamo i due titoli T(1) e T(2), caratterizzati come segue:
T (1) =
T (2) =
{( R
(1)
1
{( R
(2)
1
(
(1)
t
, t1(1) ) , ( R2(1) , t2(1) ) ,..., Rn(1)
,
n
1
1
(
(2)
, t1(2) ) , ( R2(2) , t2(2) ) ,..., Rn(2)
,
t
n2
2
)}
)}
R(1)
1
R(1)
2
R3(1)
R(1)
n1
t1(1)
t2(1)
t3(1)
tn(1)
1
R(2)
1
R(2)
2
R(2)
3
R(2)
n2
t1(2)
t2(2)
t3(2)
tn(2)
2
Indicando con V(1) e V(2) i valori attuali dei due titoli, le relative duration sono
n1
∑t
D (1) =
(1)
k
Rk(1) v(t , tk(1) )
k =1
V (1)
n2
∑t
D (2) =
(2)
k
Rk(2) v(t , tk(2) )
k =1
V (2)
Consideriamo ora un portafoglio composto dai due titoli. Gli importi e le epoche del
portafoglio sono date dall’unione degli importi e delle epoche che caratterizzano ciascuno
dei due titoli, cioè – denotando con Π il portafoglio – si ha
{( R , t ) , ( R , t ) ,..., ( R , t )} =
) , ( R , t ) ,..., ( R , t )} ∪ {( R , t ) , ( R
Π = T (1) ∪ T (2) =
=
{( R
(1)
1
, t1(1)
1
(1)
2
1
2
(1)
2
2
n
(1)
n1
(1)
n1
n
(2)
1
(2)
1
(2)
2
(
(2)
, t2(2) ) ,..., Rn(2)
,
t
n
2
2
)}
Cioè, sullo scadenzario
R(1)
1
R(1)
2
R3(1)
R(1)
n1
t1(1)
t2(1)
t3(1)
tn(1)
1
R(2)
1
R(2)
2
R3(2)
R(2)
n2
t1(2)
t2(2)
t3(2)
tn(2)
2
R1
R2 R3
R4 R5
t1
t2 t3
t4
t5
Rn
tn
essendo
R1 = R1(1) + R1(2) ;
R2 = R2(2) ;
t1 = t1(1) = t1(2) ;
t2 = t2(2) ;
R3 = R2(1) ;
t3 = t2(1) ;
R4 = R3(1) ;
t4 = t3(1) ;
R5 = R3(2) ; .... ;
t5 = t3(2) ; .... ;
Rn = Rn(1)1 + Rn(2)
2
tn = tn(1)1 = tn(2)
2
La duration del portafoglio è pertanto
n1
n
∑ t R v(t , t
k
DΠ =
k
k
k =1
V
(1)
+V
(2)
(1)
(1)
∑t
)
=
n2
(1)
k
R v(t , t ) + ∑ tk(2) Rk(2) v(t , tk(2) )
(1)
k
(1)
k
k =1
V
k =1
(2)
(1)
+V
(2)
k
Rk(2) v(t , tk(2) ) = D (2)V (2)
ovvero, essendo
n2
n1
∑t
(1)
k
(1)
k
(1)
k
R v(t , t ) = D V
e
∑t
k =1
k =1
segue
D (1)V (1) + D (2)V (2)
D =
V (1) + V (2)
Π
Se denotiamo con V l’importo che l’operatore investe complessivamente nell’acquisto dei
due titoli, il problema si traduce nel seguente sistema in due equazioni lineari e due
incognite, V(1) e V(2):
V (1) + V (2) = V
 (1) (1)
 D V + D (2)V (2)
=D

(1)
(2)
V +V

(vincolo di bilancio)
(vincolo di duration)
la cui soluzione è immediata
 (1)
D (2) − D
V = V (2)
D − D (1)

(1)
V (2) = V D − D

D (2) − D (1)
Quindi, affinché il portafoglio risulti immunizzato per l’epoca D, occorre acquistare
la quota V(1) del primo titolo e la quota V(2) del secondo titolo.
Esempio
All’epoca t = 0, si vuole immunizzare l’importo di € 5.000 per l’epoca t = 2,2 (2 anni, 2
mesi e 12 giorni). Sul mercato non sono trattati titoli aventi duration D = 2,2 ma tra le altre
sono scambiate le due seguenti obbligazioni, entrambe di valore nominale pari a € 100 e
valutate al tasso di interesse effettivo annuo i = 6,75%:
Titolo 1
Prezzo € 92,196. Rimborso del valore nominale: € 75 alla fine del primo anno, € 25 alla
fine del secondo anno.
Titolo 2
Prezzo € 82,105. Rimborso del valore nominale: € 10 alla fine del primo anno, € 15 alla
fine del secondo anno, € 35 alla fine del terzo anno, € 40 alla fine del quarto anno
Titolo 1
k
Rkvk
Rk
Titolo 2
kRkvk
k
Rkvk
Rk
kRkvk
0
-82.105
70.25761
1
10
9.367681
9.367681
21.93836
43.87673
2
15
13.16302
26.32604
92.19598
114.1343
3
35
28.77163
86.31488
1.237954
4
40
30.80268
123.2107
∑
82.105
245.2193
0
-92.196
1
75
70.25761
2
25
∑
Duration
Duration
2.986655
Essendo
1, 237954 = D (1) < D = 2, 2 < D (2) = 2,986655
è possibile costruire, con le due obbligazioni date, un portafoglio immunizzato per la
scadenza D.
In primo luogo occorre determinare quale somma impiegata all’epoca t = 0 potrà garantire
allo smobilizzo in t = 2,2 la somma di € 5.000.
V = 5.000 ⋅ (1 + 0.0675) −2,2 = 4.330,72553
Di tale somma si dovranno investire
V
D (2) − D
2,986655 − 2, 2
4.330,72553
= V (2)
=
= 1.948,180801 €
D − D (1)
2,986655 − 1, 237954
(1)
nel titolo 1 e
V
D − D (1)
2, 2 − 1, 237954
4.330,72553
= V (2)
=
= 2.382,544729 €
D − D (1)
2,986655 − 1, 237954
(2)
nel titolo 2.
Tenendo conto del prezzo delle due obbligazioni, si dovranno acquistare rispettivamente
n (1) =
1.948,180801
= 21,13087
92,196
21 contratti del titolo 1 e 29 contratti del titolo 2.
n (2) =
2.382,544729
= 29,01827
82,105
Ammortamenti e prestiti
Ammortamenti e prestiti: generalità
Consideriamo un’operazione finanziaria conforme allo schema seguente:
all’epoca t0 un soggetto (mutuante o creditore) cede ad un secondo soggetto
(mutuatario o debitore) un importo S (importo del mutuo o prestito), che viene suddin
viso negli importi non negativi C1, C2, …, Cn (quote capitale), con
∑C
i
= S , che vengo-
i =1
no corrisposti alle scadenze t0< t1< t2 <…< tn.
Attraverso le quote capitale si definisce il debito residuo Dk all’epoca tk.
Evidentemente sarà
D0 = S
(173)
(k = 1,..., n)
Dk = Dk −1 − Ck
Combinando le (173) si ottiene
k
Dk = S − ∑ Ci
i =1
che costituisce la relazione retrospettiva del debito residuo.
(174)
Dalla (174), ricordando il significato di S, si ha
k
n
k
n
Dk = S − ∑ Ci =∑ Ci − ∑ Ci = ∑ Ci
i =1
i =1
i =1
(175)
i = k +1
La (175) costituisce la relazione prospettiva del debito residuo.
Dato il debito residuo Dk all’epoca tk, la quantità
n
n
Ek = S − Dk = ∑ Ci −
i =1
k
∑ C = ∑C
i
i = k +1
i
(176)
i =1
ha il significato di debito estinto all’epoca tk.
Per il debito estinto Ek è immediato osservare che valgono le relazioni:
E0 = 0
Ek = Ek −1 + Ck
En = S
( k = 1,..., n)
(177)
Ad ogni epoca tk il mutuatario deve onorare due obbligazioni, versando al mutuante
1) la k-esima quota capitale Ck
2) la k-esima quota interessi Ik, che riguarda gli interessi maturati sul debito residuo
n
Dk −1 = ∑ Ci tra le epoche tk−1 e tk
i=k
Pertanto, all’epoca tk il debitore corrisponde un importo Rk (rata di ammortamento) pari
alla somma delle due componenti, cioè
Rk = Ck + I k
(178)
Premesse le grandezze finanziarie sopra definite, il problema consiste nell’esplicitare i
metodi di ammortamento del mutuo, cioè le procedure che consentono al debitore di
corrispondere alle varie scadenze gli importi Rk in modo che il debito residuo risulti
azzerato all’epoca tn (equivalentemente, in modo che il debito estinto sia pari a S in tn). In
altri termini il metodo di ammortamento garantisce l’equità (cioè il rispetto della condizione
di chiusura) dell’operazione finanziaria attraverso la quale il mutuo è rimborsato
Le modalità di rimborso del mutuo e le grandezze fondamentali
{tk}
{Rk}
{Ck}
{Ik}
{Dk}
{Ek}
successione delle scadenze
»
delle rate
»
delle quote capitali
»
delle quote interesse
»
del debito residuo
»
del debito estinto
che lo caratterizzano vengono ordinatamente riportate nel piano di ammortamento, cioè
in una tabella, ogni colonna della quale è intestata ad una delle grandezze fondamentali
Piano di ammortamento
t
Rk
Ck
Ik
Dk
Ek
t0
R0 = 0
C0 = 0
I0 = 0
D0 = S
E0 = 0
t1
R1
C1
I1
D1
E1
⁞
⁞
⁞
⁞
⁞
⁞
tn
Rn
Cn
In
Dn=0
En= S
Per inquadrare le problematiche relative ai piani di ammortamento assumiamo di operare
in regime di capitalizzazione composta con tasso costante su uno scadenzario del tipo
{ t0 = 0, t1 = 1, ... , tk = k , ... , tn−1 = n −1, tn= n }
Si hanno le seguenti relazioni
n
Condizione di equivalenza retrospettiva S ⋅ (1 + i ) =
n
∑R
j
⋅ (1 + i )n − j
(179)
j =1
n
Condizione di equivalenza prospettiva
S = ∑ R j ⋅ (1 + i )
−j
= ∑ Rj ⋅ v j
j =1
Quota interessi
n
(180)
j =1
I k = i ⋅ Dk −1
(181)
Dk = Dk −1 ⋅ (1 + i) − (C k + i ⋅ Dk −1 )
Equazione ricorrente del debito
residuo in funzione delle rate
Dk = Dk −1 ⋅ (1 + i ) − Rk
Equazione esplicita retrospettiva del
debito residuo in funzione delle rate
Dk = S ⋅ (1 + i ) − ∑ R j ⋅ (1 + i ) k − j
Equazione esplicita prospettiva del
Dk =
debito residuo in funzione delle rate
(182)
n
k
(183)
j =1
n
∑
j = k +1
R j ⋅ (1 + i )
−( j − k )
n
=
∑
j = k +1
R j ⋅ v j −k
(184)
Schemi tipici di ammortamento di un prestito sono:
a) rimborso unico di capitale ed interessi
L’ammortamento si riduce in questo caso ad un’operazione finanziaria semplice in cui,
contro l’importo S prestato all’epoca t0, viene corrisposto l’importo S⋅(1+i)t1−t0
all’epoca t1.
b) Pagamento periodico degli interessi e rimborso unico del capitale
c) Rimborso graduale
I) metodo progressivo (anche detto francese)
II) metodo uniforme (anche detto italiano)
III) metodo a due tassi (anche detto americano)
IV) metodo degli interessi anticipati (anche detto tedesco)
Piani di ammortamento:
pagamento periodico degli interessi e rimborso unico del capitale
E’ esaustivamente descritto dal seguente piano di ammortamento
t
Rk
Ck
Ik
Dk
Ek
0
R0 = 0
C0 = 0
I0 = 0
D0 = S
E0= 0
1
R1 = I1
C1 = 0
I1
D1 = S
E1= 0
⁞
⁞
⁞
⁞
⁞
⁞
n−1
R1 = In−1
C1 = 0
In−1
Dn−1= S
En−1= 0
n
Rn= S + In
Cn = S
In
Dn= 0
En= S
essendo evidentemente I k = S  (1 + i ) k

t − tk −1
− 1 = S (1 + i ) k − ( k −1) − 1 = Si



Piani di ammortamento: metodo progressivo (francese)
Tale metodo, probabilmente il più usato nella pratica finanziaria, prevede che le rate
siano costanti, cioè Rk = R.
Denotato con i il tasso di interesse per periodo unitario, la condizione di equivalenza
prospettiva in funzione delle rate (cfr. la (180))
n
S = ∑ R j ⋅ (1 + i )
j =1
−j
n
=∑ R j ⋅ v j
j =1
può scriversi come
S = R ⋅ an
i
1 − (1 + i ) − n
1 − vn
= R⋅
= R⋅
i
i
ovvero, esplicitando rispetto ad R
R=S⋅
i
1
=S⋅
an i
1 − vn
(185)
Poiché per il debito residuo si ha
n
∑R
Dk =
j
⋅ v j − k = R (v + v 2 + ... + v n − k ) = R ⋅ an − k
i
(186)
j = k +1
sostituendo la (185) nella (186) segue\
Dk = R ⋅ an − k
i
1
i
1 − vn−k
1 − vn−k
=S⋅
⋅a
=S⋅
⋅
=S⋅
n
an i n − k i
i
1− v
1 − vn
che fornisce il valore del debito residuo all’epoca k.
(187)
La quota interessi è data dalla
(
)
(188)
Ck = Rk − I k = R − R 1 − v n − k +1 = R ⋅ v n − k +1
(189)
Ck
R ⋅ v n − k +1
−1
n − k +1− n + k − 2
=
=
v
=
v
= (1 + i )
−
+
n
k
2
Ck −1 R ⋅ v
(190)
I k = i ⋅ Dk −1 = i ⋅ R ⋅ an − k +1 i = R ⋅ 1 − v n − k +1
mentre la quota capitale è data dalla
(
)
Osservazione
Si noti che
Le quote capitale sono pertanto in progressione geometrica di ragione v−1 = (1+i) (da qui
la progressività del metodo di ammortamento in questione).
Sono state definite tutte le grandezze che consentono di redigere il piano di
ammortamento seguendo il metodo progressivo
Piano di ammortamento
k
Rk
Ck
Ik
Dk
Ek
0
-
-
-
D0 = S
E0= 0
1
R=S⋅
C1 = Rvn
I1= R(1−vn)
D1 = Ran −1 i
E1= Rvn
⁞
⁞
⁞
⁞
⁞
⁞
n−1
R
Cn−1 = Rv2
In−1= R(1−v2)
n
R
Cn = Rv
In= R(1−v)
i
1− v
n
Dn −1 = Ra1 i En −1 = Rv n sn −1 i
Dn= 0
En= S
Esempio
Ammortamento, con metodo progressivo (francese) di un mutuo di € 150.000 al tasso
effettivo annuo del 6% attraverso il pagamento di 10 rate annuali posticipate.
k
Rk
Ck
Ik
0
Dk
Ek
150000,00
0
1
20380.19
11380.19
9000.000
138619.80
11380.19373
2
20380.19
12063.01
8317.188
126556.80
23443.19909
3
20380.19
12786.79
7593.408
113770.00
36229.98477
4
20380.19
13553.99
6826.201
100216.00
49783.97759
5
20380.19
14367.23
6012.961
85848.79
64151.20998
6
20380.19
15229.27
5150.927
70619.52
79380.47631
7
20380.19
16143.02
4237.171
54476.50
95523.49862
8
20380.19
17111.60
3268.590
37364.90
112635.1023
9
20380.19
18138.30
2241.894
19226.60
130773.4021
10
20380.19
19226.60
1153.596
0
150000.0000
Osservazione
Si è finora esaminato il caso in cui le rate hanno la stessa periodicità del tasso di interesse
(p.es. tasso di interesse annuo 6%, ammortamento dell’importo S=150.000€ in 10 rate con
cadenza annuale).
E’ rilevante analizzare come deve scriversi il piano di ammortamento se le rate hanno
periodicità diversa da quella cui viene riferito il tasso di interesse.
In questa eventualità, dati:
a) il tasso annuale determinato sulla base del contratto di mutuo (i);
b) Il numero di anni (n) in cui si richiede venga rimborsato il capitale;
c) il numero di rate da corrispondere nell’anno (m),
si calcolano:
1
i) il tasso di interesse equivalente riferito alla periodicità delle rate del mutuo i 1 = (1 + i ) m − 1
m
ii) il numero di annualità, pari a n×m
i1
La rata viene determinata sulla base della relazione R = S ⋅
m
1 − (1 + i 1 )− n×m
m
Esempio
Ammortamento, con metodo progressivo (francese) di un mutuo di € 150.000 al tasso
effettivo annuo del 6% attraverso il pagamento di 20 rate semestrali posticipate.
S = € 150.000
i = 0,06 ⇒ i½ = (1+0,06)½ −1 = 0.02956301
n × m = 2×10 = 20
k
Rk
Ck
Ik
0
Dk
Ek
150000.0000
0.000000
1
10041.67
5607.2138
4434.452115
144392.7862
5607.213796
2
10041.67
5772.97994
4268.685974
138619.8063
11380.19373
3
10041.67
5943.64662
4098.019287
132676.1596
17323.84036
4
10041.67
6119.35873
3922.307178
126556.8009
23443.19909
5
10041.67
6300.26542
3741.40049
120256.5355
29743.46451
6
10041.67
6486.52026
3555.145654
113770.0152
36229.98477
7
10041.67
6678.28135
3363.384564
107091.7339
42908.26612
8
10041.67
6875.71147
3165.954439
100216.0224
49783.97759
9
10041.67
7078.97823
2962.687683
93137.04418
56862.95582
10
10041.67
7288.25416
2753.41175
85848.79002
64151.20998
11
10041.67
7503.71692
2537.94899
78345.0731
71654.9269
12
10041.67
7725.54941
2316.116501
70619.52369
79380.47631
13
10041.67
7953.93994
2087.725975
62665.58376
87334.41624
14
10041.67
8189.08238
1852.583536
54476.50138
95523.49862
15
10041.67
8431.17633
1610.489578
46045.32505
103954.675
16
10041.67
8680.42732
1361.238594
37364.89773
112635.1023
17
10041.67
8937.04691
1104.618998
28427.85082
121572.1492
18
10041.67
9201.25296
840.4129545
19226.59786
130773.4021
19
10041.67
9473.26973
568.3961836
9753.328134
140246.6719
20
10041.67
9753.32813
288.3377771
0
150000.0000
Piani di ammortamento: metodo uniforme (italiano)
In questo schema di ammortamento si assume che la quota capitale sia costante, cioè
Ck = C.
n
Poiché, per la condizione di equità, è necessario che sia
∑C
j
=S
j =1
segue immediatamente
S
C=
n
(191)
In via altrettanto immediata si deduce che
Dk = (n − k ) ⋅
S
= (n − k ) ⋅ C
n
(192)
e pertanto che
Ek = S − Dk = S − (n − k )C = nC − nC + kC = kC = k ⋅
S
n
(193)
Utilizzando la relazione Ik = i⋅Dk−1, la quota interesse può scriversi come
I k = i ⋅ Dk −1 = i ⋅ ( n − k + 1) ⋅ C =
n − k +1
⋅ S ⋅i
n
(194)
e quindi, essendo Rk = Ck + Ik (Rk = C + Ik), scriviamo la rata come
Rk = C + I k =
S
S S
+ i ⋅ (n − k + 1) ⋅ = [1 + i ⋅ (n − k + 1)]
n
n n
(195)
Piani di ammortamento: metodo uniforme (italiano)
Osservazione
Nel metodo uniforme (italiano) le successioni {Dk}, {Ek}, {Ik}, {Rk} sono in progressione
aritmetica.
Esempio
Ammortamento, con metodo uniforme (italiano) di un mutuo di € 72.000 al tasso di
interesse annuo del 7% in 8 rate.
k
Rk
Ck
Ik
Dk
0
Ek
72000
0
1
14040
9000
5040
63000
9000
2
13410
9000
4410
54000
18000
3
12780
9000
3780
45000
27000
4
12150
9000
3150
36000
36000
5
11520
9000
2520
27000
45000
6
10890
9000
1890
18000
54000
7
10260
9000
1260
9000
63000
8
9630
9000
630
0
72000
Piani di ammortamento: metodo a due tassi (americano)
Il metodo prevede
1) il pagamento periodico alle scadenze tk della quota interesse Ik, che viene calcolata al
tasso i (tasso di remunerazione)
2) la costituzione del capitale prestato S attraverso il versamento periodico, a scadenze
che possono coincidere o meno con quelle di versamento delle quote interesse
(supporremo che coincidano), degli importi Ck che, capitalizzati al tasso j (tasso di
accumulazione), garantiscono la disponibilità dell’importo S all’epoca tn.
Se gli importi Ck sono costanti (Ck=C) allora è immediato calcolare il valore della quota
capitale come
C=S
j
(1 + j ) n − 1
(196)
ed altrettanto immediato è scrivere la rata (costante):
R =C + I =C +i⋅S = S


j
j
+
i
⋅
S
=
S
+
i


n
(1 + j ) n − 1
(1
+
j
)
−
1


(197)
Siamo in grado di redigere il piano di ammortamento
Rk
Ck
Ik
t0
Dk
Ek
S
0
t1
C + i⋅ S
C
i⋅ S
S
0
t2
C + i⋅ S
C
i⋅ S
S
0
⁞
⁞
⁞
⁞
⁞
⁞
tk
C + i⋅ S
C
i⋅ S
S
0
⁞
⁞
⁞
⁞
⁞
⁞
tn
C + i⋅ S
C
i⋅ S
0
S
con riferimento al quale sono necessarie le seguenti precisazioni:
1. nonostante il mutuatario versi la quota capitale al termine di ciascuna scadenza, il
debito residuo rimane S per tutte le scadenze intermedie perché l’ipotesi è che la
quota capitale non sia direttamente versata al mutuante ma “girata” a
quest’ultimo solo all’epoca finale del periodo di ammortamento. Ciò spiega anche
perché la quota interesse rimane costantemente uguale a i⋅ S per l’intero periodo e
perché il debito estinto sia sempre pari a 0 fino all’epoca precedente la fine del piano
di ammortamento.
2. E’ altresì chiaro che il piano di ammortamento sopra redatto costituisce un caso
particolare, nel senso che si assume che le quote capitale e interesse vengano
corrisposta alle stesse scadenze, ciò che non è affatto necessario.
Osservazioni
1. Sempre nell’ipotesi di rata costante, con quota capitale e quota interesse corrisposte
alla stessa scadenza, se fosse anche i = j la rata dell’ammortamento americano
coinciderebbe con quella dell’ammortamento progressivo (o francese). Infatti sarebbe
 i + i (1 + i ) n − i 
i
+i⋅S = S
R=C+I =S
=
n
(1 + i ) n − 1
 (1 + i ) − 1 
 i (1 + i ) n 
i
1
= S
=
S
=
S

n
1 − (1 + i ) − n
an i
 (1 + i ) − 1 
(198)
2. Poiché viceversa nel metodo a due tassi di norma risulta i > j, il mutuatario è
esposto a condizioni peggiori rispetto al caso del metodo progressivo, essendo
costretto ad incrementare – rispetto a questo – la quota capitale necessaria a
ricostituire l’importo S (è infatti sn j < sn i per i > j).
Per comprendere a quale tasso x si indebita il mutuatario che contragga un prestito
che preveda un ammortamento a due tassi è sufficiente risolvere l’equazione di
equità prospettiva delle rate
n
n
S = ∑ R j ⋅ v = R ⋅ ∑ v x = R ⋅ an
j =1
x
j =1
x


j
i
S
⇒ S =S
+
⋅
 an
n
(1
+
j
)
−
1


x
cioè, equivalentemente


j
+
i

 an
n
 (1 + j ) − 1 
x
−1 = 0
(199)
E’ facile verificare che il tasso x di indebitamento è maggiore del tasso i. Infatti la funzione


j
+
f ( x) = 
i
 an
n
 (1 + j ) − 1 
1. per x > 0 è continua;
2. è strettamente decrescente, tale essendo an
3. è tale che

 1 − (1 + x ) − n
j
+ i
−1 =
a) lim 
n
+
+
j
−
x
(1
)
1
x →0 



j
=
+
i
n −1 > 0
n
(1
+
j
)
−
1



 1 − (1 + x ) − n
j
b) lim 
+ i
− 1 = −1
n
x →+∞  (1 + j ) − 1
x

pertanto la (199) ha un’unica radice.
x
x
−1
(ricordiamo che i, j e n sono costanti)
f(x)
x*
x
Una volta stabilito che la f(x) ha un unico zero x*, mostriamo che x* è maggiore di i.
Calcoliamo f(i)
 1

+ i  an
f (i ) = 
 sn j



Osservando che
 1

f (i ) = 
+ i  an
 sn j 


1
sn
i
−1
è una funzione decrescente di j e ricordando che è i > j, segue
j
 1

−1 > 
+ i  an
i
s

 n i 

 1 − (1 + i ) − n
i
−1= 
+i
−1 =
n
i
+
−
(1
i
)
1
i


1 − (1 + i ) − n
1 − (1 + i ) − n
−n
=
+ 1 − (1 + i ) − 1 =
− (1 + i ) − n
n
n
(1 + i ) − 1
(1 + i ) − 1
1
=
− (1 + i) − n = 0
n
(1 + i )
(1 + i ) n − 1
(1 + i ) n
=
− (1 + i ) − n =
n
(1 + i ) − 1
Pertanto, essendo f(i) > 0 e f(x*) = 0 ed essendo la funzione f(x) decrescente con x,
segue che x* > i, cioè il tasso di indebitamento del metodo americano è maggiore
del maggiore tra il tasso di remunerazione ed il tasso di accumulazione.
Piani di ammortamento: metodo ad interessi anticipati (tedesco)
Il metodo prevede che
1) la prima rata di ammortamento venga corrisposta contestualmente alla
erogazione del mutuo di importo S;
2) gli interessi siano corrisposti in via anticipata, applicando il tasso di sconto al
debito residuo corrente.
In termini di debito residuo, dalla 1) consegue la condizione iniziale
D0 = S − C0
(200)
Poiché la legge di aggiornamento del debito residuo è sempre
Dk = Dk −1 − Ck
(k = 1..., n)
(201)
(k = 1,..., n)
(202)
combinando la (200) e la (201) si ha
k
k
Dk = S − C0 − ∑ Ci = D0 − ∑ Ci
i =1
i =1
Evidentemente, essendo per definizione S = C0 + C1 + …+ Cn, la condizione di chiusura è
n
n
i =1
i =0
Dn = S − C0 − ∑ Ci = S − ∑ Ci = 0
(203)
Dalla 2) consegue che la quota interesse è
I k = d ⋅ Dk
( k = 0,..., n)
(204)
essendo d il tasso di sconto riferito al periodo unitario.
La prima quota interesse è pertanto
I0 = d⋅ D0 = d(S−C0)
mentre l’ultima quota interesse è
In = d⋅Dn = d ⋅ 0 = 0
Stanti la 1) e la 2), il mutuatario all’atto dell’erogazione incassa l’importo
S − C0 − I 0 = S − C0 − d ( S − C0 ) = (1 − d )( S − C0 )
(205)
mentre corrisponde ad ogni scadenza la rata
k


Rk = Ck + I k = Ck + d  S − ∑ Ci 
i =0


(k = 1..., n)
(206)
Dalla (205) e dalla (206) consegue che il tasso di interesse al quale il mutuatario si
indebita è dato dalla soluzione dell’equazione
n
−k
R
(1
i
)
+
= (1 − d )( S − C0 )
∑ k
k =1
(207)
Si dimostra che la soluzione (unica) della (207) è
i=
d
1− d
(208)
In altri termini, il metodo ad interessi anticipati può interpretarsi come l’ammortamento di
un mutuo pari a S − C0 al tasso di interesse per periodo unitario (annuo) i, dato dalla
(208).
F I N E

Matematica Finanziaria 6 cfu

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