Modulazioni Analogiche

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1
5. Modulazioni analogiche
E.Baccarelli, Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazioni analogiche
2
Motivazioni per la modulazione
¾ I segnali analogici spesso nascono in “banda base”(esempi: voce, video)
¾
Esigenza di traslare in frequenza il segnale, per:
1) Assicurare la trasmissione (es. antenna)
2) Separarlo da altri segnali (es. multiplazione di frequenza)
3) Trasmetterlo su di una banda (insieme di frequenze) poco disturbata
¾ La modulazione di un segnale analogico x(t) ha l’effetto di “traslare”
sull’asse delle frequenze f la sua trasformata di Fourier X(f)
Schema fondamentale di modulazione
analogica
9Segnale modulante: m(t )
9Segnale portante: cos(2π f ot )
9 f o frequenza di portante (Hz)
9 Segnale modulato: x(t)
m(t )
x(t )
modulatore
cos(2π f ot )
r (t )
y (t )
canale
+
d (t )
demodulatore
n(t ) Disturbo additivo
(rumore di canale)
9 Segnale all’uscita del canale di trasmissione : y (t )
9 Segnale ricevuto : r (t )
9 Segnale demodulato, eventualmente con errore residuo : d (t ) = m(t ) + ε (t )
3
4
Rappresentazioni in frequenza
¾ Trasformata di Fourier per segnali impulsivi:
M(f )
−W
X(f )
W
2W
− fo
fo
2W
2W
Segnale di banda base
Segnale modulato
5
Modulazione di ampiezza (1/4)
¾ AM – AMPLITUDE MODULATION
Caso di Banda Laterale Doppia - Portante Intera (BLD-PI)
Modulatore AM
(BLD-PI)
m(t )
ka
X(f ) =
ap
2
+
x
ap
cos(2π f o t )
x(t ) = ⎡⎣ a p + ka m(t ) ⎤⎦ cos(2π f ot )
k
2
[δ ( f − f o ) + δ ( f + f o )] + a [ M ( f − fo ) + M ( f + fo )]
M(f )
ap
X(f )
ap
2
2
−W
+
W
f
- +
− f0
2w
- +
f0
2w
f
6
¾
Segnale modulato AM (BLD-PI): x(t ) = ( a p + ka m(t ) ) cos(2π f 0t )
⎡ a p + j 2π f 0 t
⎡ ka m(t ) + j 2π f0t
− j 2π f 0 t ⎤
− j 2π f 0 t ⎤
e
e
e
=⎢
+e
+
+
⎥
⎢ 2
⎥
2
⎣
⎦
⎣
⎦
(
¾
)
(
)
Trasformata di Fourier di x(t):
⎧⎪ ⎡ a p + j 2π f0t
⎫
⎡ ka m(t ) + j 2π f0t
− j 2π f 0 t ⎤
− j 2π f 0 t ⎤ ⎪
X ( f ) = FT ⎨ ⎢
e
+e
e
+e
⎥ + ⎢
⎥⎬
2
2
⎣
⎦ ⎪⎭
⎪⎩ ⎣
⎦
(
ap
)
(
ap
ka
ka
= δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 ) + M ( f − f 0 ) + M ( f + f 0 ),
2
2
2
2
dove M ( f ) FT {m(t )} .
)
7
9 Condizione di “portante intera” (BLD-PI):
a 2p ≥ k a2 m 2 (t )
9 L’inversione di segno di x(t) è dovuta solo al segnale portante e non
al segnale modulante. L’ estrazione del segnale modulante
(demodulazione) si effettua tramite semplice rivelazione di ampiezza
(inviluppo) di x(t).
9 Demodulazione “facile”, senza conoscere
x (t )
fo
a p + k a m (t )
t
8
9 “Portante soppressa” :
a p = 0, x(t ) = ka m(t ) cos(2π f ot ) (BLD-PS)
9 L’inversione di segno di x(t) dipende sia dal segnale portante che dal
segnale modulante
9 Demodulazione “meno facile” rispetto a quella ottenuta tramite la
rivelazione di inviluppo. In questo caso occorre conoscere f o
9 Il vantaggio sta nel fatto che non si spreca potenza
per trasmettere la portante perché a p = 0 .
Demodulazione AM (1/3)
9
¾ Demodulazione di tipo coerente (omodina)
• necessaria per segnali a BLD-PS a p = 0
• può essere effettuata per segnali a BLD-PI ( a ≠ 0 )
p
(
)
Filtro passa-basso
H(f)
x (t )
2 cos(2 π f 0 t )
FT { x(t )}
m (t )
FT {2 x(t ) cos(2πf 0t )}
H(f)
1
− 2 f0
f
− f0
f0
2W
2W
2 f0
FT {m(t )}
− 2 f0
− f0
0
2W
f0
2 f0
2W
f
2W
f
m (t ) +
1 / ka
x (t )
−W
W
ap
ka
f
m (t )
−
2 cos(2π f 0 t )
ap
ka
¾ x (t ) = [ a p + k a m (t )] cos(2π f 0 t ) (segnale modulato BLD-PI)
ipotesi: f 0 > W .
2
x
(
t
)2
cos(2
π
f
t
)
=
2[
a
+
k
m
(
t
)]
cos
(2π f 0 t ) =
p
a
0
¾
1
( sapendo che cos (x)= [1+cos(2x)] ) = [ a p + k a m (t )][1 + cos(2π 2 f 0 t )].
2
2
FT { x (t )2 cos(2π f 0 t )} = FT {a p + k a m (t )} + FT
{( a
p
}
+ k a m (t ) ) cos(4π f 0 t ) =
11
⎧1
⎫
= FT {a p + k a m (t )} + FT ⎨ ( a p + k a m (t ) ) e + j 4π f 0 t + e − j 4π f 0 t ⎬ =
⎩2
⎭
1
a pδ ( f ) + k a M ( f ) + ( a pδ ( f − 2 f 0 ) + a pδ ( f + 2 f 0 ) +
2
+ ka M ( f − 2 f0 ) + ka M ( f + 2 f0 ) )
(
)
¾ Dopo filtraggio nella banda [-W,W] si ottiene un segnale di banda
base la cui T.d.F risulta pari a
ap
ka
δ(f )+M(f )
¾ Dopo l’operazione di sottrazione si ottiene il segnale
modulante m(t).
12
Modulazione di frequenza (1/2)
9 FM (Frequency Modulation): la frequenza della portante varia
(intorno al valore f 0) proporzionalmente al segnale
t
⎡
x
(
t
)
=
a
cos
2
π
f
t
+
2
π
k
m ( τ) d τ ⎤
modulante:
0
f
∫
⎢
⎥
0
⎣
⎦
9 L’ampiezza di x(t) rimane costante
x (t )
t
m (t )
t
13
Modulazione di frequenza
•
t
⎛
⎞
x (t ) a cos ⎜ 2π f 0 t + 2π k f ∫ m (τ ) dτ ⎟ (Segnale modulato in
0
⎝
⎠ frequenza)
t
⎤
1 d ⎡
• f i (t ) ⎢ 2π f 0 t + 2π k f ∫ m (τ ) dτ ⎥ = f 0 + k f m (t ) ( Hz )
2π dt ⎣
0
⎦
(Frequenza istantanea)
• f d (t ) k f m (t ) f i (t ) − f 0 ( Hz )
• k f ( H z / V o lt ) > 0
(Deviazione di Frequenza )
(Indice di Modulazione di Frequenza)
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Modulazione di frequenza (2/2)
9 FM è una modulazione “non-lineare” --> banda maggiore
dell’AM
9 E’ robusta rispetto a variazioni di ampiezza introdotte dal
canale, che nell’AM vengono confuse con il segnale
modulante, se non c’è un buon controllo automatico di
guadagno (ACG, Automatic Gain Control)
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Segnali a banda stretta intorno a f0 (1/3)
9 Def: Un segnale x(t) reale è detto a “banda stretta intorno
a f0 “ se la sua trasformata di Fourier X(f) è diversa da zero
solo nella banda [f0-W, f0 +W]U[- f0 -W,- f0 +W] e inoltre,
l’occupazione di banda B=2W è molto più piccola rispetto a
f0, ossia se B=2W<< f0
X(f)
f(Hz)
- f0 –W -f0 - f0–W
f0 –W f0 f0 +W
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Inviluppo di un segnale a banda stretta
intorno a f0 (2/3)
9
Un segnale x(t) reale a “banda stretta intorno a f0 “ è sempre
rappresentabile come
x(t ) = a(t ) cos ( 2πf 0 t + ϕ(t ) )
a (t ) è detto inviluppo di x(t)
ϕ(t ) (rad) è detta “fase istantanea” di x(t)
Sia a (t ) che ϕ(t ) sono segnali reali di banda base con
dove
9
trasformate di Fourier A(f) e Φ (f ) nulle al di fuori della banda
[-W,W]
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Rivelatore di Inviluppo per segnali FM
(3/3)
9Dato il segnale
x(t ) = a(t ) cos ( 2πf 0 t + ϕ(t ) )
A banda stretta intorno a f0 , il circuito che estrae da x(t) il suo
inviluppo a(t) è detto rivelatore di inviluppo
Def:
x(t )
Rivelatore di
Inviluppo
a (t ) ≥ 0
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Demodulatore FM mediante rivelatore
di Inviluppo
9 Un segnale FM x (t ) a cos ⎡ 2 πf 0 t + 2 πk f
⎢⎣
m ( τ) d τ ⎤
⎥⎦
0
∫
t
può essere demodulato facendolo passare attraverso un “derivatore”
seguito da un “rivelatore di inviluppo”, in accordo allo schema seguente
x(t )
d/dt
v(t )
Rivelatore di
Inviluppo
i(t )
1/ 2πa
m(t )
+
-
f0
1/ k f
⎛
⎞
d
v(t ) x(t ) = 2πa[ f 0 + k f m(t )]sin ⎜ 2πf 0t + 2πk f ∫ m(τ) d τ + π ⎟
dt
0
⎝
⎠
t
i (t ) 2πa[ f 0 + k f m(t )]
9È possibile sole se: f 0 + k f m(t ) ≥ 0 per ogni t → f 0 > k f m(t ) per ogni t
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Occupazione di banda per segnali AM
Nella AM a BLD-PI e AM BLD-PS la banda del segnale modulato
x(t) è doppia (BLD) rispetto a quella del segnale modulante:
M(f)
− f0 − w − f 0 − f0 + w
BLD
−w
w
Segnale
modulante
f0 − w
f0
f
f0 + w
BLD
HJG
2w
X(f) (segnale modulato AM-BLD)
20
Occupazione di banda per segnali FM (1/3)
La larghezza di banda 2W (Hz) inforno alla frequenza portante f0 di un segnale FM:
x (t ) = a cos ⎡ 2 πf 0 t + 2 πk f
⎣⎢
dipende dal:
⎤
m
(
τ
)
d
τ
∫0
⎦⎥
t
1)
Valore assunto dall’indice di modulazione kf≥0;
2)
La banda [-fm,fm] occupata dal segnale modulante m(τ);
3)
Massimo valore mmax max {| m(τ) |} assunto dal modulo del segnale modulante
9
In particolare, la suddetta banda 2W aumenta al crescere di kf, di fm e di mmax
−∞<τ<+∞
X(f)
M(f)
-fm
fm
-f0-W
-f0
-f0+W
f0-W
f0
f0+W
21
In prima approssimazione, la banda 2W intorno a f0 occupata da un segnale
FM può essere valutata mediante la seguente formula, nota come “Formula
di Carson”
2W ≈ 2 ( β + 1) f m ,
dove
β
mmax k f
fm
≥0
( Hz )
(numero puro)
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¾ Esempio:
Assumiamo fm=15*103Hz, mmax=5(Volt), kf=10(Hz / Volt)
Allora la banda del segnale FM risultante è pari a
2W = 2(0.0033 + 1) × 15 × 103 = 30.1kHz

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