Un altro fenomeno legato al tempo di maturazione del getto è il

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6.10 Formule per la schematizzazione dell’andamento nel tempo del ritiro del conglomerato
Un altro fenomeno legato al tempo di maturazione del getto è il cosiddetto “ritiro”.
Essenzialmente è la tendenza di un conglomerato a diminuire il proprio volume lentamente nel
tempo ovvero a “rigonfiare”, a seconda che la maturazione avvenga rispettivamente in un
ambiente poco umido (ad esempio con aria sufficientemente asciutta) o in un ambiente
completamente saturo (ad esempio nell’acqua). Il fenomeno del ritiro (ovvero rigonfiamento) è
essenzialmente dovuto alle tensioni capillari che si estrinsecano durante il fenomeno della
presa. In particolare, se l’elemento strutturale è isostatico con processo di maturazione a
contatto con l’aria, il ritiro si palesa tramite un accorciamento dell’elemento stesso; mentre, se
l’elemento è iperstatico, si assiste ad un incremento delle tensioni interne di trazione
(autotensioni) sul calcestruzzo teso fino ad arrivare alla fessurazione se le tensioni sono
sufficientemente intense.
Per quanto le cause e i meccanismi del ritiro siano abbastanza complessi, si può affermare con
buona probabilità che tale fenomeno debba imputarsi essenzialmente ad una diminuzione per
evaporazione dell’acqua interstiziale. Infatti, per getti mantenuti in ambienti sufficientemente
umidi il ritiro risulta molto contenuto e tende a cambiare segno (quindi a rigonfiare) per getti
mantenuti in acqua (incremento dell’acqua interstiziale). Il suddetto fenomeno risulta inoltre
quasi totalmente irreversibile; infatti, l’immissione in ambienti saturi di umidità (al limite in
acqua) di calcestruzzi che abbiano già completato la fase di ritiro non determina ulteriori
apprezzabili incrementi di volume.
Il fenomeno del ritiro si differenzia dai fenomeni viscoelastici essenzialmente nei seguenti
punti:
il ritiro è praticamente indipendente dai carichi applicati (ovviamente non oltre certi
limiti(1)); quindi risulta svincolato dal livello tensionale esistente;
risulta dipendente dalle caratteristiche del conglomerato, dalla qualità e quantità di cemento
dosato;
risulta estremamente sensibile alle condizioni ambientali esistenti al contorno: umidità
relativa; temperatura in cui avviene la maturazione.
In particolare, il fenomeno del ritiro risulta accentuato:
per relativamente alti tenori dell’acqua d’impasto;
per relativamente alti quantitativi di cemento;(2)
con l’impiego di cementi di elevata finezza di macinazione(3);
per bassi valori dell’umidità relativa dell’ambiente in cui avviene la presa;
per relativamente alti valori della temperatura ambientale durante la presa;
per scarsa bagnatura dei getti durante il periodo di presa;
con l’adozione di granulometrie che non assicurino una buona compattezza del
conglomerato: inerti di pezzatura eccessivamente piccola.
Come risulta dalla figura 6.22, il fenomeno del ritiro presenta tempi di esaurimento (misurati
dalla data del getto) alquanto differenti dal quelli relativi ai fenomeni viscosi (misurati invece a
partire dalla data di applicazione del carico).
1
2
Le Normative indicano come valore limite il 40 ÷ 45 % della resistenza cilindrica a compressione.
Il fenomeno del ritiro ha sede per la maggior parte in seno al legante impiegato. Ad esempio, il ritiro della sola malta di
cemento risulta maggiore del doppio di quello di un normale conglomerato. Per i cementi pozzolanici il ritiro risulta sempre
maggiore ma più diluito nel tempo.
3
Bisogna osservare che la finezza di macinazione di un cemento ne incrementa la resistenza meccanica. Pertanto,
conglomerati di elevata resistenza presentano ritiri rilevanti, a parità di altre caratteristiche e in assenza di apposite
sostanze additive che contrastino il ritiro stesso.
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Inserire figura:
ARTS Tiff(cap 6)\Fig 6_22.tif
Figura 6.22 – Andamento qualitativo nel tempo del fenomeno del ritiro. In ordinata il valore della
deformazione unitaria per solo ritiro in funzione del tempo, a partire dalla data del getto (anni).
Come si può infatti notare, a tre anni dal getto il fenomeno può considerarsi praticamente
esaurito; mentre, nell’arco del primo anno il processo risulta completato di oltre il 60% del
valore finale. È importante precisare che nella realtà i due fenomeni di ritiro e viscosità sono
estremamente interdipendenti e agiscono come un unico fenomeno. Di essi, infatti, si può
rilevare solamente l’andamento globale. In linea teorica, però, ammettendo valida comunque la
sovrapposizione degli effetti, è possibile studiare nel dettaglio il fenomeno del ritiro
prescindendo dall’effetto dei carichi (e quindi della viscosità). In questo modo, noto
l’andamento complessivo delle deformazioni (t) per ritiro e viscosità è possibile ricavare
l’andamento della sola componente viscosa delle deformazioni per differenza, una volta che sia
stata infatti calcolata la curva delle deformazioni r (t) per solo effetto di ritiro.
L’andamento riportato nella figura 6.22 può essere schematizzato con sufficiente
approssimazione mediante una legge di tipo esponenziale del tipo:
t
r (t) = r (+) (1 e )
[6.16]
in cui:
r (+ ) è l’entità del ritiro a tempo teoricamente infinito (o finale), dipendente
essenzialmente dal rapporto acqua/cemento e dalle condizioni ambientali. Per un clima
mediterraneo e con calcestruzzi di normale impiego tale valore oscilla nell’intervallo
0, 0025 ÷ 0,005% ;
è un coefficiente legato alla modalità del getto e alle condizioni ambientali al contorno, e
determina la velocità di esaurimento del fenomeno del ritiro in funzione del tempo.
In particolare, nella figura 6.23 si riporta l’andamento qualitativo dell’andamento del ritiro in
funzione anche del grado di umidità relativo esistente durante la maturazione.
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Inserire figura:
ARTS Tiff(cap 6)\Fig 6_23.tif
Figura 6.23 – Andamenti qualitativi delle deformazioni da ritiro in funzione del tempo t e del grado
di umidità relativa u r durante la maturazione del getto.
Si riporta, di seguito, una formulazione proposta inizialmente dall’E.C.2 per il computo delle
contrazioni unitarie per ritiro durante l’arco temporale t = t t0 ; dove per t si intende l’età
del calcestruzzo al momento considerato (espresso in termini di giorni) e per t0 si intende l’età
(in giorni) del calcestruzzo a partire dal quale si considera l’influenza del ritiro. Se la
maturazione avviene all’aria aperta, la suddetta equazione assume la forma:
0,5
160 + sc (90 fcm ) ] (t t 0 )
[
[6.17]
r (t ;t0 ) =
1, 55 [(ur / 100)3 1] .
2
6
10
0,035 h0 + (t t0 ) Se la maturazione avviene, invece, in immersione in acqua, la formula assume la forma:
0 ,5
160 + sc (90 fcm ) ] (t t 0 )
[
.
[6.17_b]
r (t ;t0 ) = 0,25 106
0,035 h02 + (t t0 ) Nelle due precedenti equazioni compaiono i seguenti parametri:
sc è un opportuno coefficiente, funzione del particolare cemento impiegato per il
confezionamento, che vale 4 per cementi a lento indurimento; 5 per cementi ad indurimento
normale o rapido, e 8 per cementi a rapido indurimento e ad alta resistenza;
2 Ac
è la dimensione fittizia (da esprimersi in termini di millimetri), già
h0 =
u
precedentemente introdotta per il calcolo delle deformazioni viscoelastiche;
u r è l’umidità relativa dell’ambiente di maturazione (espresso in termini percentuali);
fcm valore medio della resistenza cilindrica del conglomerato (da esprimersi in termini di
N/mm2).
Infine, per un immediato computo dell’entità della tensione di trazione finale (a tempo
teoricamente infinito: t + ) dovuta sia al ritiro che ai fenomeni viscoelastici, si può
utilizzare la seguente espressione:
c ritiro = r (+ ;t 0 ) Ect (+ ) ;
[6.18]
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dove, per una stima approssimata dei valori della deformazione unitaria r (+ ;t0 ) a tempo
infinito si possono utilizzare i dati riportati in tabella 6.7, e il modulo elastico a trazione del
conglomerato (a tempo teoricamente infinito e in assenza di fessurazioni) andrà valutato
unendo le espressioni 6.4 e 6.5, viste al paragrafo 6.7:
Ec
Ect = Eceff =
.
1+ Atmosfera con umidità relativa u r 75%
200
h0 [mm]
t0 [giorni]
1 ÷ 7 gg
8 ÷ 60 gg
> 69 gg
r (+ ;t0 ) =
3
0,26 10
3
0,23 10
3
0,16 10
Atmosfera con umidità relativa u r 55%
200
h0 [mm]
t0 [giorni]
1 ÷ 7 gg
8 ÷ 60 gg
> 69 gg
r (+ ;t0 ) =
3
600
r (+ ;t0 ) =
3
0,21 10
3
0,21 10
3
0,20 10
600
r (+ ;t0 ) =
3
0,43 10
0,31 10
3
3
0,30 10
0,32 10
3
3
0,28 10
0,19 10
Tabella 6.7 – Valori di r (+ ;t0 ) in funzione dell’umidità relativa u r e della dimensione fittizia h0
della sezione secondo la Normativa Italiana (D.M. 09.01.96). (Per i valori intermedi si interpola
linearmente).
Il valore del modulo elastico a trazione a tempo infinito andrà quindi valutato con la relazione:
Ect (+ ) =
Ec (+ ) .
[6.19]
1+ (+ ; t0 )
In particolare, per modeste trazioni si assumerà = 1, altrimenti andrà posto = 0,5(4). Per
tenere, invece, forfettariamente conto dei fenomeni di natura viscosa, per calcestruzzi di
caratteristiche medie e modalità di maturazione ordinarie, purché non caricati prima di due
mesi dalla data del getto, si potrà assumere per il valore medio finale riferimento di circa
1, 5 ÷ 2 (vedere, ad esempio, i valori alle tabelle 6.4; 6.5; 6.5_b e 6.5_c con t0 > 60 gg). In
questo modo, un valore orientativo del modulo elastico a trazione a tempo infinito risulta:
0,5
Ec (+ )
Ect (+ ) =
Ec (+ ) (0,17 ÷ 0,20) Ec (+ ) ;
[6.20]
1+ (+ ; t0 ) 1 + (1, 5 ÷ 2)
dove, utilizzando i dati riportati in tabella 6.3, si calcolerà il modulo elastico a compressione a
tempo infinito tramite la relazione 6.3, in funzione del valore assunto del parametro
(t +) :
Ec (t) = Ec (28 gg) (t) ,
[6.21]
avendo quindi implicitamente accettato la validità della relazione: (t) = e + v (t) + r (t) .
4
Per un conglomerato cementizio in assenza di armature e sollecitato da un campo di tensioni sufficientemente elevate, il
parametro presenta valori attorno a 0, 7 ÷ 0, 9 ; mentre, nel caso di presenza di idonea armatura ad aderenza
migliorata, con buona diffusione e in sufficiente percentuale, sempre in presenza di non esigue tensioni, presenta valori
attorno a 0,5.
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Le Norme Tecniche, in sede di progettazione e quando non si ricorra ad additivi speciali,
schematizzano il ritiro del conglomerato essenzialmente in due termini: la deformazione per
ritiro da essiccamento e la deformazione per ritiro autogeno. Il ritiro da essiccamento si
manifesta lentamente in seguito alla migrazione delle particelle di acqua all’interno della pasta
cementizia indurita. Il ritiro autogeno si sviluppa in seguito alla maturazione del calcestruzzo:
per tale motivo si manifesta principalmente nel periodo immediatamente successivo al getto.
Analiticamente, quindi, la deformazione totale da ritiro viene schematizzata come:
cs = cd + ca ;
dove:
cs è la deformazione unitaria totale per ritiro;
cd è la deformazione unitaria per ritiro da essiccamento;
ca è la deformazione unitaria per ritiro autogeno.
Il valore medio a tempo infinto della deformazione per ritiro da essiccamento: cd = kh c 0
può essere velocemente computato in funzione della resistenza caratteristica a compressione fck,
dell’umidità relativa ur dell’ambiente di esposizione e del parametro h0. In particolare, sono
d’aiuto i valori riportati nelle seguenti due tabelle 6.8 e 6.9:
Deformazione unitaria da ritiro per essiccamento (in ‰)
Umidità relativa ur (in %)
20
40
60
80
90
100
20
– 0,62
– 0,58
– 0,49
– 0,30
– 0,17
+ 0,00
40
– 0,48
– 0,46
– 0,38
– 0,24
– 0,13
+ 0,00
60
– 0,38
– 0,36
– 0,30
– 0,19
– 0,10
+ 0,00
80
– 0,30
– 0,28
– 0,24
– 0,15
– 0,07
+ 0,00
Tabella 6.8 – Valori di cd 0 . Valori negativi per le contrazioni e positivi per il rigonfiamento (Norme
Tecniche).
fck [MPa]
h0 [mm]
kh
100
1,0
200
0,85
300
0,75
0,70
500
Tabella 6.9 – Valori del coefficiente kh (Norme Tecniche). Per valori intermedi si interpola
linearmente.
Lo sviluppo nel tempo della deformazione cd viene valutata dalle Norme Tecniche mediante
l’espressione:
(t t s )
cd (t) = cd ;
3/2
0,04 h0 + (t t s ) dove:
t è l’età del calcestruzzo nel momento considerato (espresso in giorni);
ts è l’età del calcestruzzo (espresso in giorni) a partire dalla quale si considera l’effetto del
ritiro da essiccamento (normalmente il termine del “curing”);
h0 la nota dimensione fittizia pari al rapporto 2 Ac / u , essendo
Ac l’area della sezione di conglomerato dell’elemento strutturale;
u il perimetro effettivo della sezione che risulta esposta all’aria (vedere note a piè pagina al
paragrafo 6.9).
Il valore medio a tempo infinito della deformazione per ritiro autogeno ca può essere
valutato tramite la seguente espressione:
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6
ca = 2, 5 ( fck [MPa] 10) 10 .
Secondo quanto previsto dall’E.C.2 (EN 1992-1-1: 20025), similmente a quanto presentato
nelle Norme Tecniche, la deformazione totale da ritiro è formata da due componenti: la
deformazione da ritiro per essiccamento e la deformazione da ritiro autogeno.
Il valore finale della deformazione da ritiro per essiccamento cd viene posta pari a:
cd = kh cd 0 ,
dove, il valore di cd 0 può essere ottenuto dal prospetto in tabella 6.10.
Deformazione unitaria da ritiro per essiccamento (in ‰)
Umidità relativa ur (in %)
20
40
60
80
90
100
C20/25
0,62
0,58
0,49
0,30
0,17
0,00
C40/50
0,48
0,46
0,38
0,24
0,13
0,00
C60/75
0,38
0,36
0,30
0,19
0,10
0,00
C80/95
0,30
0,28
0,24
0,15
0,08
0,00
C90/105
0,27
0,25
0,21
0,13
0,07
0,00
Tabella 6.10 – Valori nominali del ritiro cd 0 per cementi di Classe N (E.C.2 EN 1992-1-1:
2005).
Classe cls
In particolare, i valori riportati in tabella 6.10 sono deducibili dalla formulazione riportata
nell’appendice B della EN 1992-1-1: 2005:
f [ MPa] ur 6
10 1, 55 1 cd 0 = 0,85 (220 + 110 ds 1 ) exp ds2 cm
;
10 100% dove:
u r è l’umidità relativa ambientale (in percentuale);
fcm è la resistenza media a compressione del conglomerato [MPa];
ds1 è un coefficiente dipendente dal tipo di cemento (vedere punto 3.1.2(6) della Norma):
3 per cementi di Classe S
ds1 = 4 per cementi di Classe N
6 per cementi di Classe R.
ds2 è un coefficiente dipendente dal tipo di cemento (vedere punto 3.1.2(6) della Norma):
0,13 per cementi di Classe S
ds1 = 0,12 per cementi di Classe N
0,11 per cementi di Classe R.
Lo sviluppo del ritiro per essiccamento nel tempo è regolato dalla relazione:
cd (t ) = ds (t; ts ) kh cdo ;
dove:
kh è un coefficiente che dipende dalla dimensione convenzionale h0 secondo il prospetto
seguente:
h0 [mm]
100
200
300
500
kh
1,0
0,85
0,75
0,70
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In particolare, nell’espressione:
(t ts )
ds (t; ts ) =
(t ts ) + 0, 04 h03
si ha:
t età del calcestruzzo (in giorni), al momento considerato;
ts età del calcestruzzo (in giorni) all’inizio del ritiro per essiccamento (o rigonfiamento).
Generalmente questo avviene alla fine della maturazione;
h0 = 2 Ac / u è la nota dimensione convenzionale (in millimertri) della sezione trasversale
esposta all’ambiente esterno.
La deformazione da ritiro autogeno è data da:
ca (t) = as (t) ca () ;
dove:
6
ca () = 2,5 ( fck [ MPa] 10) 10 ;
as (t) = 1 e
( 0,2t
0,5
)
con t espresso in giorni.
Per meglio comprendere le basi da cui oggi partono i moderni modelli del fenomeno del ritiro
sulle strutture in calcestruzzo armato(5), si è deciso di riportare quanto è stato proposto
inizialmente in un vecchio modello del CEB (Manual on Structural Effects of Time-dependent
Behaviour of Concrete, Bulletin d’Information n. 142/142 bis). In particolare, la formula
analitica per la valutazione della contrazione unitaria per ritiro è data da:
[6.22]
r (t) = r 1 r2 [ r (t) r (t0 )] ;
dove:
r1 è un coefficiente dipendente dal valore dell’umidità relativa percentuale u r
dell’ambiente di maturazione;
r2 è un coefficiente funzione della dimensione fittizia h0 , da valutarsi come:
2 Ac
; dove le grandezze Ac e u devono intendersi, rispettivamente, in termini di
h0 = u
cm2 e cm. Il coefficiente si ricava dai medesimi valori riportati in tabella 6.6;
r (t) è una funzione che esprime il procedere del fenomeno del ritiro nel tempo in
funzione del valore della dimensione fittizia h0 ;
t è l’età (in giorni) di maturazione in cui si “legge” la misura di r ;
t0 è l’età (in giorni) a partire dal quale si considera l’effetto del ritiro.
Le età t e t0 sono quelle reali, nel caso la maturazione del conglomerato avvenga alla
temperatura media di riferimento di 20°C. Diversamente, detto t m i il generico intervallo di
tempo i-esimo durante il quale la temperatura del getto venga mantenuta al valore Tmi °C, l’età
corretta t0 si computa mediante la relazione seguente:
1
t0 c =
tmi (Tm i + 10) .
[6.23]
30 i
Ciò posto, i termini introdotti nell’espressione 6.22 assumono le seguenti espressioni:
5
[6.24]
r1 = 10 (0, 000775 ur3 0,1565 u 2r 11, 0324 ur 303,15) ;
r2 = e
5
[0,00174h0 ln(0, 526h0,251
)0,32 /h0 ]
0
;
[6.25]
Analogamente a quanto osservato precedentemente in merito al fenomeno della viscosità del calcestruzzo armato sullintera
struttura, per maggiori e più precisi dettagli si invita a consultare testi specializzati.
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t ;
r (t) = t + k3 k 3 = 11, 8 h 0 + 16 ;
k4
k4 = e
[0.00257h 0 +ln(0,22h0,0 4 )+0, 32/h0 ]
[6.26]
[6.27]
.
[6.28]
ESEMPIO 6.4. Sia data una trave in calcestruzzo di sezione 30 cm x 60 cm, con lunghezza
lungo l’asse di L = 6,0 m. Sia stato utilizzato un conglomerato Rck30 e, a prescindere dalla
Normativa utilizzata, si utilizzino le seguenti caratteristiche di resistenza: fcm = 32,9 N/mm2;
fck = 24,9 N/mm2; fctk = 1,8 N/mm2. In particolare, il cemento utilizzato sia un cemento ad
indurimento normale e gli inerti siano di natura silicea. L’umidità relativa dell’ambiente all’aria
aperta in cui è avvenuta la maturazione presenta un valore quasi costante e pari a u r = 75%.
Supponendo l’elemento strutturale come isostatico, si determinino gli accorciamenti unitari
dovuti al solo fenomeno del ritiro dopo un periodo di 12 mesi e a tempo teoricamente infinito
(finale). Supponendo, poi, che l’elemento strutturale sia vincolato come sistema iperstatico
stimare l’entità delle tensioni di trazione che si avrebbero sul conglomerato a tempo
teoricamente infinito, considerando sia il fenomeno del ritiro che gli effetti viscosi.
Considerando il ritiro a partire dal terzo giorno dalla data del getto, si dia una stima della
contrazione unitaria r (+ ;t0 ) per ritiro secondo le meno recenti espressioni fornite dall’E.C.2
(eq. 6.17 e 6.17_b) e infine secondo la Normativa Italiana (riferimento a tabelle 6.7; 6.8 e 6.9).
SOLUZIONE. Per una stima di massima, utilizzando le formule 6.17 e 6.17_b, si procede con
il calcolo della dimensione fittizia della sezione:
2 Ac 2 (300 mm) (600 mm)
h0 =
=
= 200mm .
2 (300 mm + 600 mm)
u
Calcolo coefficiente sc = 5 (per cementi ad indurimento normale).
Calcolo coefficiente r (t ;t0 ) per maturazione avvenuta all’aria aperta in ambiente con umidità
relativa u r = 75% e computato per t = 365 gg (12 mesi) e t0 = 3 gg (eq. 6.17):
160 + sc (90 (32, 9 N / mm 2 )) (365 gg 3 gg)
1, 55 [(75 / 100)3 1]
6
2
10
0,035 (200 mm) + (365 gg 3 gg) 3
r (365 g;3 gg) 0,18 10 (accorciamento unitario per elemento strutturale isostatico).
L’intero elemento strutturale, supposto isostaticamente vincolato, si accorcia di:
3
x = r L = ( 0,18 10 ) (6000 mm) 1,1mm .
0 ,5
r (365 gg; 3 gg) =
Calcolo coefficiente r (t ;t0 ) per maturazione avvenuta all’aria aperta in ambiente con umidità
relativa u r = 75% e computato per t + (finale) e t0 = 3 gg (eq. 6.17):
160 + sc (90 (32, 9 N / mm 2 )) (t 3 gg)
3
r (+ ; 3 gg) = lim
1, 55 [(75 / 100) 1]
6
2
t + 0,035
(200
mm)
10
+
(t
3
gg)
r (+ ;3 gg) 0, 4 10 3 (accorciamento unitario per elemento strutturale isostatico).
L’intero elemento strutturale, supposto isostaticamente vincolato, si accorcia di:
3
x = r L = ( 0, 4 10 ) (6000mm) 2, 4 mm .
Supponendo ora che l’elemento strutturale sia iperstaticamente vincolato (ad esempio,
ipotizzando un incastro perfetto agli estremi), e considerando i due fenomeni del ritiro e della
viscosità tra loro interdipendenti, in modo da considerarli come unico fenomeno, si potrà
trattare il problema come un fenomeno di lunga durata, assumendo per il conglomerato un
opportuno modulo elastico che tenga conto degli effetti del ritiro e della viscosità a lungo
termine (teoricamente a tempo infinito).
0 ,5
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Calcolo del valore del modulo elastico (secante) a compressione a 28 giorni dalla data del getto
(eq. 6.2, per conglomerati con maturazione standard di 28 giorni ed inerti di natura silicea):
Ecsec (28 gg) = 9500 3 fck [N / mm 2 ] + 8 = 9500 3 32,9 N / mm 2 30440 N / mm 2 .
Passaggio da modulo secante a modulo a tangente iniziale:
Ec (28 gg) = 1,1 Ecsec (28 gg) = 1,1 (30440 N / mm 2 ) = 33485 N / mm 2 .
Calcolo valore del coefficiente (t) per t + (riferimento a valori in tabella 6.3) e per
cementi ad indurimento normale: (t +) 1, 22 .
Calcolo modulo elastico a compressione (tangente all’origine) a tempo teoricamente infinito
(eq. 6.21):
Ec (+ ) = Ec (28 gg) (+ ) (33485 N / mm 2 ) 1,22 = 36985 N / mm 2 .
Calcolo modulo elastico (tangente all’origine) a trazione a tempo teoricamente infinito,
considerando anche la presenza di fenomeni viscosi (eq. 6.20):
0, 5
Ec (+ )
Ect (+ ) =
Ec (+ ) 0,17 Ec (+ ) = 0, 17 36985 N / mm2 6287 N / mm 2 .
1+ (+ ; t0 ) 1 + 2
Calcolo tensione di trazione finale per ritiro sul conglomerato secondo E.C.2 (eq. 6.18):
c ritiro = r (+ ;3 gg) Ect (+ ) = ( 0, 4 10 3 ) (6287 N / mm 2 ) = 2,51N / mm 2 .
Risultando
critiro > fctk , le tensioni per ritiro provocherebbero pericolo di lesioni in un
elemento prismatico di solo conglomerato; viceversa, la presenza di un’idonea armatura
metallica nell’elemento assicura l’assorbimento della tensione per ritiro oltre alla limitazione
delle fessurazioni.
D.M. 09.01.96. Secondo, invece, i dati orientativi forniti in tabella 6.7 (Normativa Italiana –
vecchio D.M. 09.01.96) per h0 = 200 mm con umidità relativa u r = 75% e con t0 = 3 gg,
risulta in modulo: r (+ ;3 gg) = 0,26 10 3 .
Assumendo il medesimo valore del modulo elastico calcolato con la procedura precedente,
l’ordine di grandezza della tensione di trazione finale per ritiro sul conglomerato secondo
Normativa Italiana (eq. 6.18) è:
c ritiro = r (+ ;3 gg) Ect (+ ) = (0,26 10 3 ) (6287 N / mm 2 ) = 1,63 N / mm 2 .
Norme Tecniche. Secondo, invece, le Norme Tecniche, interpolando linearmente i valori
riportati in tabella 6.8, relativamente a fck = 24, 9 N / mm2 = 24, 9 MPa e al valore u r = 75%, si
calcola:
c0 = 0,33 ‰ .
Essendo poi h0 = 200 mm, dai dati in tabella 6.9 si ricava immediatamente il valore kh = 0,85 .
Pertanto, risulta:
cd = kh c0 = 0,85 ( 0,33 ‰) 0,28 10 3 .
Infine, il valore della tensione di trazione finale per ritiro sul conglomerato secondo le Norme
Tecniche è pari a:
c ritiro = r (+ ;3 gg) Ect (+ ) = ( 0,28 10 3 ) (6287 N / mm 2 ) = 1,76 N / mm 2 ;
risultando anche in questo caso: c ritiro < fctk .
147
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Doc_a4_(2b).doc
ESEMPIO 6.5. Una trave “ricalata” di lunghezza L = 6,0 m e di sezione 30 cm x 60 cm,
emergente da un solaio di spessore di s s = 24 cm, si trova in un ambiente con umidità relativa
costantemente vicina al valore di u r = 60%. Prescindendo in prima approssimazione dalla
presenza delle armature e considerando il ritiro a partire dal ventottesimo giorno dalla data del
getto ( t0 = 28 gg ), nella valutazione dell’entità dell’accorciamento unitario a tempo infinito, si
consideri la trave come vincolata isostaticamente. In particolare, per una stima veloce, si
utilizzino le indicazioni della Normativa Italiana (D.M. 09.01.96) riportate in tabella 6.7.
SOLUZIONE. Calcolo area sezione trasversale elemento strutturale:
Ac = b H = (300 mm) (600 mm) = 180000 mm 2 ;
Calcolo perimetro della sezione esposta all’aria (esclusione dei tratti di contorno della sezione
inglobati nel solaio):
u = 2 [( H ss ) + b] = 2 [(600 mm 240 mm) + 300 mm] = 1320mm .
Calcolo dimensiona fittizia:
2 Ac 2 (180000 mm 2 )
h0 =
=
273mm .
u
(1320 mm)
Per una stima veloce, si fa riferimento ai valori in tabella 6.7. Relativamente a t0 = 8 ÷ 60
giorni, si interpola tra i valori di umidità relativa del 55% e del 75% per calcolare il valore
corrispondente a u r = 60%:
per h0 = 200 mm risulta:
(60% 55%) = 0,298 10 3 ;
r (+ ;28 gg) = 10 3 0,32 + (0,23 0,32) (75% 55%) per h0 = 600 mm risulta:
(60% 55%) = 0,278 10 3 ;
r (+ ;28 gg) = 10 3 0,30 + (0,21 0,30) (75% 55%) Interpolazione tra questi due ultimi valori, relativamente ad h0 = 273mm si ha:
(273 mm 200 mm) 3
r (+ ;28 gg) = 10 3 0,298 + (0,278 0,298) = 0,294 10 .
(600
mm
200
mm)
Avendo supposto la trave vincolata isostaticamente, il valore appena calcolato per
l’accorciamento unitario porterebbe la trave ad accorciarsi del valore:
x = r (+ ;28 gg) L = (0,294 10 3 ) (6000 mm) = 1,76 mm .
Supponendo, invece, la trave vincolata agli elementi strutturali posti alle sue estremità,
insorgerà un ulteriore campo tensionale dovuto al ritiro.
ESEMPIO 6.6. Si consideri la medesima trave portante di un solaio considerata nell’esempio
6.5. Prescindendo in prima approssimazione dalla presenza delle armature, si supponga che sia
stato utilizzato un conglomerato Rck30. Mantenendo valide le medesime condizioni
igrometriche al contorno, si valuti lo stato tensionale a tempo teoricamente infinito, indotto per
ritiro, nel caso la trave possa supporsi come perfettamente incastrata agli estremi. Per una
valutazione dell’ordine di grandezza del modulo elastico del conglomerato a tempo infinito si
utilizzi la procedura riportata nell’esempio 6.4.
SOLUZIONE. Calcolo modulo elastico (tangente all’origine) a trazione a tempo teoricamente
infinito, considerando anche la presenza di fenomeni viscosi (vedere esempio 6.4):
0, 5
Ec (+ )
Ect (+ ) =
Ec (+ ) 0,17 Ec (+ ) = 0, 17 35048 N / mm 2 = 5958 N / mm 2 .
1+ (+ ; t0 ) 1 + 2
Accorciamento unitario della trave, supposta isostaticamente vincolata (vedere esempio 6.5):
148
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r (+ ;28 gg) = 0,294 10 3 .
Calcolo incremento tensione di trazione (valore finale) per ritiro sul conglomerato (eq. 6.18):
c ritiro = r (+ ;3 gg) Ect (+ ) = ( 0,24 10 3 ) (5958 N / mm 2 ) = 1, 43 N / mm 2 .
ESEMPIO 6.7. Utilizzando il modello proposto inizialmente dal CEB(6) (eq. 6.22), si calcoli la
deformazione unitaria per ritiro di una sezione a “T” che presenti una sezione trasversale di
area Ac = 4560cm 2 e una dimensione fittizia di h0 = 34cm , calcolata supponendo che il
calcestruzzo utilizzato sia di consistenza plastica ( = 1,5 ). Ipotizzando che l’umidità relativa
sia pari a u r = 70% e che durante il primo giorno di maturazione il calcestruzzo venga
mantenuto per circa 12 ore (0,5 giorni) ad una temperatura di 80°C (maturazione a vapore), si
calcoli la deformazione unitaria per ritiro a partire dall’età della data del getto ( t0 = 1 giorno),
prescindendo dalla presenza delle armature.
SOLUZIONE. Calcolo intervalli temporali durante i quali la temperatura del getto si mantiene
attorno ai due valori di 20°C e 80°C :
Tm1 = 20°C nell’intervallo temporale giornaliero di t m1 = 0,5 gg (12 ore nel giorno);
Tm1 = 80°C nell’intervallo temporale giornaliero di t m 2 = 0,5 gg (12 ore nel giorno). Essendo
infatti t m1 + t m 2 = 1 giorno : maturazione a vapore effettuata nell’arco di un solo giorno.
Calcolo correzione dell’età t0 in virtù della maturazione a vapore (eq. 6.23):
1
1
t0 c =
t m i (Tm i + 10) =
[(0,5 gg) (20°C + 10) + (0,5 gg) (80°C + 10)] = 2 gg .
30 i
30
Calcolo tempi effettivi con sostituzioni:
t teff ;
t0 t 0c .
t eff = (t t0 ) + t0 c = (t 1gg) + 2 gg = t + 1 giorno ,
Quindi:
avendo
considerato
infatti
teff + t0 = t + t0 c .
Calcolo coefficiente r1 (eq. 6.24):
5
r1 = 10 (0, 000775 (70%)3 0,1565 (70%) 2 11, 0324 (70%) 303,15) 0, 00032 .
Calcolo coefficiente r2 (eq. 6.25):
[0,00174(34cm) ln(0, 526( 34cm)0,251 ) 0,32/(34cm)]
r2 = e
0,8232 .
Calcolo coefficiente k 3 (eq. 6.27):
k 3 = 11, 8 h 0 + 16 = 11, 8 (34cm) + 16 420 cm .
Calcolo coefficiente k 4 (eq. 6.28):
[0.00257( 34cm)+ln(0,22(34 cm)0 ,4 )+ 0,32/(34 cm)]
k4 = e
0, 8355 .
Calcolo coefficiente r (t0 ) (eq. 6.26) per t0 t0 c :
k4
0,8355
t
2 gg r (t co ) = 0 c = 0,01143 .
t 0 c + k3 2 gg + 420 Sostituendo i valori nell’espressione 6.22, si ottiene l’andamento della contrazione per ritiro in
funzione del tempo:
r (t) = r 1 r2 [ r (teff ) r (t0 c )]=
= 0, 00032 0, 8232[ r (t + 1) 0, 01143]= 0,0002634 [r (t + 1) 0, 01143] .
6
Benché il modello a cui si fa riferimento nel presente esempio è abbastanza datato, si è deciso di porlo ugualmente
allattenzione del Lettore proponendolo come ulteriore calcolo di massima.
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A tempo teoricamente infinito essendo:
k
0,8355
t+1 t+1 = lim lim r (t + 1) = lim =1;
t + t+ t + k t+ t + 1+ 420
3 risulta anche:
3
lim r (t) = lim r 1 r 2 [r (teff ) r (t0c )] 0,0002604 0, 26 10 .
4
t + t+
ESEMPIO 6.8. Sia data una trave in calcestruzzo di sezione 30 cm x 60 cm, con lunghezza
lungo l’asse di L = 6,0 m. Sia stato utilizzato un conglomerato C20/25. In particolare, il
cemento utilizzato sia un cemento ad indurimento normale (Classe N) e gli inerti siano di
natura silicea. L’umidità relativa dell’ambiente all’aria aperta in cui è avvenuta la maturazione
presenta un valore quasi costante e pari a u r = 60%. Supponendo l’elemento strutturale come
isostatico, si determinino gli accorciamenti unitari dovuti al solo fenomeno del ritiro dopo un
periodo di 12 mesi e a tempo teoricamente infinto (finale). Supponendo, poi, che l’elemento
strutturale sia vincolato come sistema iperstatico stimare l’entità delle tensioni di trazione che si
avrebbero sul conglomerato a tempo teoricamente infinito, considerando sia il fenomeno del
ritiro che gli effetti viscosi. Considerando il ritiro a partire dal ventottesimo giorno dalla data
del getto ( ts = 28 gg ), si dia una stima della contrazione unitaria cs (+ ; t0 ) per ritiro.
Rispettare quanto disposto dall’E.C.2 EN 1992-1-1.
SOLUZIONE. Per una stima di massima, utilizzando le formule 6.17 e 6.17_b, si procede con
il calcolo della dimensione fittizia della sezione:
2 Ac 2 (300 mm) (600 mm)
h0 =
=
= 200mm .
2 (300 mm + 600 mm)
u
Calcolo resistenze di progetto conglomerato C20/25:
fck = 20 MPa ; fctk = 1, 5 MPa (dai dati in tabella 9.3_b, avendo trasformato da daN/cm2 a
MPa). Si calcola poi: fcm [MPa]= fck [MPa] + 8 = (20 + 8) MPa = 28 MPa .
In base, poi, ai dati riportati in tabella 6.10 (per cementi di Classe N), in corrispondenza del
valore di umidità relativa u r = 60% e per un conglomerato C20/25, si legge: cd 0 = 0, 49 /1000.
Inoltre, dal prospetto della relazione di h0 con kh, in corrispondenza del valore h = 200 mm, si
legge kh = 0,85.
Si calcola, quindi:
(t ts )
(365 28) gg
ds (t; ts ) =
=
0,749 .
3
(t ts ) + 0, 04 h0 [(365 28) gg] + 0,04 (200 mm) 3
Pertanto, la deformazione per essiccamento a dodici mesi di vita risulta:
cd (t ) = ds (t; ts ) kh cdo 0,749 0,85 0,49 / 1000 0,000312 .
La deformazione da ritiro autogeno è data da:
ca (t) = as (t) ca () ;
dove:
6
6
5
ca () = 2,5 ( fck [ MPa] 10) 10 = 2,5 [(20 10) MPa] 10 = 2, 5 10 ;
( 0,2t
0,5
[ 0,2( 365)
0 ,5
as (t) = 1 e
= 1 e
0,979 , con t espresso in giorni.
Risultando, quindi:
5
5
ca (t) = as (t) ca () 0,979 2, 5 10 = 2,44 10 .
Perciò i valori della deformazione totale da ritiro cs dopo 12 mesi di vita si calcolano:
)
]
cs ( 365 gg; 28 gg) = cd + ca = (31, 2 + 2,44) 10
5
33, 6 10
5
= 0,000336 .
150
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In particolare, la deformazione totale a tempo teoricamente infinito si valuta tramite
l’espressione:
cs (+ ; 28 gg) = cd () + ca () .
Intanto si ha:
(t t s )
lim ds (t; t s ) = lim
= 1;
t + t + (t ts ) + 0,04 h03
lim as (t ) = 1 e
t + ( 0,2t 0 ,5 )
=1.
Quindi, essendo:
6
6
5
ca () = 2,5 ( fck [ MPa] 10) 10 = 2,5 [(20 10) MPa] 10 = 2, 5 10
cd (+ ) = lim ds (t; ts ) kh cdo 1 0,85 0, 49 / 1000 42, 0 10
t+
5
.
Si calcola:
5
5
cs (+ ; 28 gg) = cd () + ca () = (42,0 + 2, 5) 10 = 44, 5 10
L’intero elemento strutturale, supposto isostaticamente vincolato, si accorcia di:
5
x = cs L = (44, 5 10 ) (6000 mm) 2, 7 mm .
Supponendo ora che l’elemento strutturale sia iperstaticamente vincolato (ad esempio,
ipotizzando un incastro perfetto agli estremi), e considerando i due fenomeni del ritiro e della
viscosità tra loro interdipendenti, in modo da considerarli come unico fenomeno, si potrà
trattare il problema come un fenomeno di lunga durata, assumendo per il conglomerato un
opportuno modulo elastico che tenga conto degli effetti del ritiro e della viscosità a lungo
termine (teoricamente a tempo infinito).
Calcolo del valore del modulo elastico (secante) a compressione a 28 giorni dalla data del getto
(eq. 6.2, per conglomerati con maturazione standard di 28 giorni ed inerti di natura silicea):
Ecsec (28 gg) = 9500 3 fck [N / mm 2 ] + 8 = 9500 3 28 N / mm 2 28847 N / mm 2 .
Passaggio da modulo secante a modulo a tangente iniziale:
Ec (28 gg) = 1,1 Ecsec (28 gg) = 1,1 (28847 N / mm 2 ) = 31731N / mm 2 .
Calcolo valore del coefficiente (t) per t + (riferimento a valori in tabella 6.3) e per
cementi ad indurimento normale: (t +) 1, 22 .
Calcolo modulo elastico a compressione (tangente all’origine) a tempo teoricamente infinito
(eq. 6.21):
Ec (+ ) = Ec (28 gg) (+ ) (31731N / mm 2 ) 1,22 = 35048 N / mm 2 .
Calcolo modulo elastico (tangente all’origine) a trazione a tempo teoricamente infinito,
considerando anche la presenza di fenomeni viscosi:
0, 5
Ec (+ )
Ect (+ ) =
Ec (+ ) 0,17 Ec (+ ) = 0,17 35048 N / mm 2 = 5958 N / mm 2 .
1+ (+ ; ts ) 1+ 2
Calcolo tensione di trazione finale per ritiro sul conglomerato secondo E.C.2 (eq. 6.18):
5
c ritiro = cs (+ ;28gg) Ect (+ ) = (44, 5 10 ) ( 5958N / mm 2 ) = 2, 65 N / mm2 .
Risultando
critiro > fctk , le tensioni per ritiro provocherebbero pericolo di lesioni in un
elemento prismatico di solo conglomerato; viceversa, la presenza di un’idonea armatura
metallica nell’elemento assicura l’assorbimento della tensione per ritiro oltre alla limitazione
delle fessurazioni.
OSSERVAZIONI. Poiché sia la deformazione per ritiro che le deformazioni termiche
differiscono solo per la causa che le ha prodotte ed essendo il coefficiente termico di
dilatazione lineare per un conglomerato armato pari a:
5
1
= 1, 0 10 °C ,
151
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l’effetto tensionale del ritiro può essere considerato alla stessa stregua di una equivalente
variazione termica uniforme lungo l’asse dell’elemento strutturale:
T = r .
3
Poiché l’accorciamento unitario dovuto al ritiro può variare da circa 0, 20 10
a circa
3
0, 40 10 , l’effetto del ritiro equivale ad una variazione termica negativa di circa 20 ÷ 40°C .
È importante sottolineare che i vari coefficienti introdotti dalle varie normative per poter
schematizzare sia gli effetti del ritiro che i fenomeni viscosi sono stati desunti da dati
sperimentali che sono affetti da una notevole dispersione attorno ai valori medi (alcuni testi
parlano di coefficienti di variazione dell’ordine del 20 ÷ 35% ). Da questa puntualizzazione si
intuisce che, più che un’attento calcolo sull’entità di detti fenomeni, risulta essenziale
prevedere tutti quegli accorgimenti pratici che si rendono necessari per contenere questi effetti
non trascurabili. Ad esempio, nel caso del ritiro è necessario impedire quanto più possibile
l’evaporazione dell’acqua nei getti di calcestruzzo durante i primi giorni di maturazione (circa
una settimana), proteggendoli con teli e mantenendo la superficie del getto costantemente
umida. Altro accorgimento può essere quello di ricorrere alla disposizione di opportuni giunti
di dilatazione, utili anche per limitare gli effetti termici, suddividendo le strutture che
presentano un’estensione planimetrica superiore ai 30 ÷ 40 metri in blocchi indipendenti.
Infine, disponendo un sufficiente quantitativo di armature metalliche ben disposte al fine di
contenere le ulteriori tensioni indotte dal ritiro.
Con tali accorgimenti, almeno per le strutture in conglomerato armato ordinario, non diventa
essenziale una specifica valutazione delle deformazioni da ritiro.
Infine, si ritiene utile ricordare che sono disponibili in commercio particolari additivi chimici,
che se aggiunti all’impasto durante il confezionamento del calcestruzzo, tendono a limitare (se
non ad annullare del tutto) l’effetto del ritiro.
Nota. Quando l’influenza della deformazione del calcestruzzo dipendente dal tempo viene
considerata particolarmente significativa, tanto che la sua valutazione richieda l’uso di
procedure di calcolo avanzate (per esempio, in presenza di vincoli elastici; dove possano
intervenire deformazioni impresse variabili; nel caso in cui si voglia tenere conto
dell’influenza di armature simmetriche o asimmetriche; nelle costruzioni miste acciaiocalcestruzzo, ecc.) si deve fare di regola riferimento all’apposita letteratura specialistica.
Nello sviluppo di tali calcoli è necessario tenere presente il livello di accuratezza e quindi la
conoscenza della storia ambientale, della composizione e delle proprietà dei materiali.
152