Misura - Dipartimento di Scienze Umane per la Formazione

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Istituzioni di matematiche 2
Diego Noja ([email protected])
Misura
10 marzo 2009
CDL Scienze della Formazione Primaria
Istituzioni di matematiche 2 – pagina 1
Come facciamo a misurare?
Per esempio per procedere alla misurazione di
lunghezza e larghezza della stanza in cui ci troviamo,
dobbiamo scegliere un campione
Il modo migliore per introdurre il concetto di misura è
proporre una attività pratica di misurare.
Se vogliamo ad esempio misurare la lunghezza di
questa stanza, l’operazione di misura equivale a
valutare il rapporto tra la lunghezza che vogliamo
misurare e la lunghezza di un campione (quante volte
il campione ci sta nella stanza).
un metro
un pezzo di corda
una sciarpa
un foglio di carta
...
Piano pratico/concreto
Se il campione non è contenuto un numero intero di
volte (avanza un pezzettino), suddividiamo il
campione in parti uguali più piccole procediamo con
questo nuovo campione. Procediamo alla stessa
maniera, fino a che non otteniamo un campione
contenuto un numero intero di volte.
Il procedimento ha sempre termine nella pratica
perché la misurazione ha una approssimazione
sufficiente;
perché lo strumento di misura non ci permettere
di suddividere ulteriormente il campione.
Ma è sempre possibile?
Questa procedura ha un termine?
Piano teorico/astratto
Dal punto di vista teorico
il procedimento ha termine se e solo se la
grandezza da misurare e il campione hanno un
sottomultiplo comune;
in altre parole, il procedimento ha termine se e
solo se la misura è espressa da un numero
razionale.
Se ho diviso l’unità di misura (la “corda”) in 17 parti
uguali e mi accorgo che questa parte (il
diciassettesimo di corda) ci sta 25 volte nel tavolo,
allora posso dire che rispetto alla “corda” il tavolo
misura
25
17
Teorema di Pitagora
Nel caso in cui il procedimento ha termine, le due
grandezze (cioè la grandezza da misurare e il
campione) sono dette commensurabili.
Teorema – In un triangolo rettangolo, l’area del
quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla
somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti.
ATTENZIONE: esistono coppie di grandezze per cui
il procedimento non ha termine, ad esempio
il lato e la diagonale del quadrato sono grandezze
incommensurabili.
Diagonale del quadrato
Notiamo che l’espressione incommensurabili non significa affatto
che non si può misurare o non si può determinare
disegniamo il
con il compasso
quadrato
con
riportiamo la
1 lato di lunghezza
3 lunghezza della
1
diagonale sulla
retta
2
la diagonale
√ ha
lunghezza 2
0
√
Formule
2
1
Formule
Saper leggere una formula
Il passaggio alle misure ci permette di utilizzare le
formule.
Infatti misurando “trasformiamo” le grandezze
geometriche in numeri, su cui poi possiamo operare
con le normali operazioni (somma, prodotto, . . . ) per
correlare tra loro grandezze diverse.
Cosa è necessario sapere circa le “formule”?
Sono fondamentalmente due le cose su cui è necessario acquisire
scioltezza:
Area (in quadretti) pari a 7 × 3
Esiste una formula?
(M. Dedò, Misura, proporzionalità, similitudine, dispense
stampate a cura del Dipartimento di Matematica “F. Enriques”,
settembre 2001)
Esiste una formula?
Può esistere una formula che permette di calcolare l’area di un
rombo conoscendo solo la lunghezza del suo lato?
Osserviamo che risposte del tipo “non esiste, perché non la
conosco” o “non esiste, perché non l’ho trovata su nessun libro”
lasciano una certa insoddisfazione in chi le riceve (potrebbero
non essere convincenti). È utile in questi casi costruire
spiegazioni che taglino la testa al toro e non lascino dubbi ai
nostri interlocutori.
rendersi conto di quando può esistere una formula che lega
certi dati e quando no;
saper “leggere” la formula e saperla usare con la minor fatica
possibile.
Esiste una formula che permette di ricavare l’area di
un triangolo conoscendo solo le lunghezze dei suoi tre
lati?
Anche se non conosciamo una formula siffatta,
sappiamo che la conoscenza della lunghezza dei tre
lati individua univocamente il triangolo.
Questo significa che è ragionevole pensare che una
tale formula si possa trovare.
Usare la formula
Usare la formula
È molto utile riconoscere nelle formule certe regolarità, la più
importante di tutte è la relazione di proporzionalità tra
grandezze.
Per i rettangoli vale una relazione di proporzionalità: se h indica
la misura dell’altezza di un rettangolo, b indica la misura della
base del medesimo rettangolo e A indica la misura della sua area
allora
Se, come accade spesso in geometria, due grandezze dipendono
l’una dall’altra (esiste cioè una formula che le lega) se la legge è
del tipo moltiplicazione per una costante possiamo
immediatamente riconoscere la proporzionalità.
Ad esempio per i rettangoli, se h indica la misura dell’altezza di
un rettangolo, b indica la misura della base del medesimo
rettangolo e A indica la misura della sua area allora
A=b·h
Esempi
A=b·h
se ho un rettangolo che ha altezza h area tot, allora per
ottenere un rettangolo con area doppia sappiamo che è
sufficiente prendere un rettangolo con altezza h e base
doppia di quella del primo rettangolo
ma è anche possibile prendere un rettangolo che ha altezza
doppia e base uguale a quella del primo rettangolo.
Esempi
La formula che lega la lunghezza del perimetro p di
un quadrato alla lunghezza del suo lato l (misurati
rispetto alla stessa unità di misura) è
p=4·l
A = l2
riconosciamo nella formula un legame di
proporzionalità diretta
se l raddoppia, allora anche p raddoppia
se voglio che p raddoppi, allora so che devo
raddoppiare l
La formula che lega la misura A dell’area di un
quadrato alla lunghezza del suo lato l è
il legame non è un legame di proporzionalità
diretta
se l raddoppia, allora A. . .
se voglio che A raddoppi, allora l. . .
Ulteriori esempi saranno trattati nella prima
esercitazione.
Approssimazioni di numeri reali
I numeri razionali sono densi nei numeri reali. Questo
significa che ogni numero reale può essere
approssimato in maniera efficiente da un numero
razionale.
Approssimazioni
Questo giustifica il fatto che quando effettuiamo una
misurazione possiamo essere sicuri che, anche se la
procedura non dovesse aver termine, raggiungiamo
comunque un livello in cui l’approssimazione è
adeguata.
√
Vediamo il caso di 2. Consideriamo
√ una approssimazione con
due cifre decimali: il numero reale 2 è compreso tra i √
numeri
razionali 1, 41 e 1, 42, quindi il punto corrispondente a 2 sarà
uno dei punti compresi tra il punto corrispondente a 1, 41 e il
punto corrispondente a 1, 42.
Se effettuiamo un disegno molto ingrandito, siamo in grado di
percepire la differenza tra 1, 41 e 1, 42 e quindi
l’approssimazione a due cifre non è sufficiente
a permetterci di
√
individuare il punto corrispondente a 2
√
2
1, 41
1, 42
1
√
2
1, 41
1, 42
1
2
Se il disegno è di dimensioni “normali” non siamo più in grado di
percepire la differenza
√
2 1, 42
1, 41
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
In quest’ultimo disegno l’approssimazione
a una cifra è più che
√
sufficiente e possiamo assumere 2 = 1, 4.
2
Riflessioni sulle conoscenze di base
dimensioni foglio A4: larghezza 20, 99 cm, altezza 29, 7 cm
Area: 20, 99 × 29, 7 cm2
–
il calcolo dell’area darebbe 623, 7 cm2
alcuni di voi hanno risposto 619, 5 cm2
–
ovvero 623, 403 cm2
ma 20, 99 ≈ 21, 0, se avessimo utilizzato la misura di 21 cm?
–
Carta formato A4
che è il risultato della moltiplicazione 21 × 29, 5
Chi ha ragione?
Approssimazione del 20%
da un minimo di 504
a un massimo di 756
il 10% di 630 è 63
quindi se ci accontentiamo di una misura con margine di
approssimazione del 10% sono ‘esatte’ tutte le misure
comprese tra 567 e 693
– se ci accontentiamo di un margine di approssimazione del
10% il dato base di 630 non si discosta poi molto del
dato base di 623, 403, che darebbe l’intervallo delle
misure comprese tra 561 e 685
–
–
Misurazioni
Partendo, per semplicità, dal dato base di 630 cm2 ,
una approssimazione del 20% significa considerare
misure a meno di 126 cm2
Approssimazione per approssimazione, cominciamo con lo
scegliere una approssimazione “comoda”: larghezza 21 cm e
altezza 30 cm
con questa approssimazione l’area risulterebbe di 630 cm2 .
Ma come possiamo valutare l’approssimazione
della misurazione
se non sappiamo qual è il dato base “corretto”?
Qual è un margine di errore “accettabile”?
Il margine di errore è principalmente determinato
dallo strumento utilizzato.
Ad esempio se misuriamo il foglio di carta A4 con un
righello, possiamo ottenere una misura “a meno di un
millimetro”.
La nostra misurazione dell’area del foglio A4 sarà
perciò 21, 0 ± 0, 1 cm di larghezza e 29, 7 ± 0, 1 cm di
altezza
Misurazioni
Misurazioni
Osserviamo che scrivendo che una misura è 21, 0 ± 0, 1 cm
intendiamo che la misura “esatta” è un valore compreso
Per quel che riguarda le aree, l’errore riportato nelle misurazioni
lineari si ripercuote sulla misura dell’area. Si ha infatti
tra 20, 9 cm e 21, 1 cm
Valutiamo l’errore percentuale, cioè confrontiamo l’errore
nella misurazione con la grandezza che si vuole misurare:
Un errore dello 0, 5% è intrinseco nella misurazione che stiamo
effettuando.
Misurazioni
Ne consegue che i numeri dati per la misurazione delle aree
623, 403
623, 7
619, 5
non hanno senso: la parte decimale è del tutto irrilevante.
Ha senso scrivere che la misura dell’area è 623 ± 5 cm2 .
la misura dell’area è un valore compreso tra 618, 64 cm2 e
628, 78 cm2
con un margine di errore di 10, 14 cm2 (ovvero ±5, 07 cm2 ).
Carta formato A4
Un errore di ±0, 1 cm nella misurazione delle lunghezze ci porta
un errore di ±5 cm2 nella misurazione dell’area
la misura della larghezza è un valore compreso tra 20, 9 cm e
21, 1 cm
la misura dell’altezza è un valore compreso tra 29, 6 cm e
29, 8 cm
Applicando la formula dell’area del rettangolo si ha
0, 1
= 0.0047619048 ≈ 0, 5%
21
Approssimativamente un foglio di carta A4 misura
21 cm per 30 cm.
Se misuriamo il foglio di carta A4 con un righello,
possiamo ottenere una misura “a meno di un
millimetro”
Dovremmo allora scrivere che le dimensioni del foglio
A4 sono perciò
21, 0 ± 0, 1 cm per 29, 7 ± 0, 1 cm
Quanto misura la diagonale del foglio di carta A4?

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