il regno di regiomonte - Dipartimento di Matematica "U.Dini"

IL GIARDINO DI ARCHIMEDE. UN MUSEO PER LA MATEMATICA
IL REGNO DI REGIOMONTE
Laboratori di introduzione alla topologia
Percorsi, strategie e geometrie in gioco
Nell’ambito dei Laboratori de
Il Giardino di Archimede. Un Museo per la matematica
Testo: Raffaella Petti. Disegni: Lorenzo Donati.
aprile 2008
IL REGNO DI REGIOMONTE
1
2
3
4
Questo è il disegno della nostra storia, che inizia dal capitolo 1, dove incontriamo il
Principe protagonista.
Le storie, in realtà sono due, o forse tre. La prima, la più semplice e breve, ti farà
conoscere il Regno di Regiomonte con i suoi quattro ponti. La puoi leggere seguendo il
percorso verde: dal capitolo 1 al capitolo 2. Se ancora non sai leggere bene ed è un grande
che ti narra questa storia, fermati qui.
L’altra storia, più lunga e complessa, racconta dei sette ponti. Alla fine del primo capitolo,
scegli tu la strada da seguire.
Se sei grande e coraggioso ma ami affrontare i pericoli gradualmente, segui la traccia
azzurra: prosegui per il capitolo 2 e poi, quando ti senti pronto, prosegui per il 3 e il 4.
Se sei impaziente e ami lanciarti subito nelle imprese più difficili, segui la traccia rossa:
dopo il primo capitolo puoi saltare il 2 e il 3 ed andare subito al 4: ti aspettano sette ponti
e sette dragoni e ... tanto altro ancora.
Capitolo 1: il Principe e Regiomonte
C’era una volta un tempo in cui il Sole e le Tenebre si erano
spartirti il mondo, e sulle loro terre ognuno regnava incontrastato.
Un giorno, nel Regno del Sole, nacque un Principe bello, forte e
coraggioso. Quando questo Principe, figlio del Sole, fu giunto alla
maggiore età, il Sole intrecciò per lui una corona fatta di raggi
dorati e lo portò in giro per il suo Regno, affinché scegliesse le terre
su cui regnare. Girando in lungo e in largo, il Principe non trovò
niente che lo soddisfacesse, finché, nell’ultimo e più lungo dei viaggi,
1
giunse al confine tra il Regno del Sole e il Regno delle Tenebre e
degli Abissi. Qui sorgevano dalle più azzurre acque quattro isole
bellissime.
L’alternarsi della luce e del buio, del calore e del gelo, aveva
reso queste isole spettacolarmente ricche e varie. L’isola più a sud
aveva meravigliose spiagge calde e dorate e profumatissime pinete;
dove il mare toccava l’isola più a nord vi erano ciottoli di ogni
forma e colore che nell’interno lasciavano posto a distese di fiori
di altrettante forme e colori; l’isola ad est era un dolce susseguirsi
di colline dove crescevano i più dolci frutti della Terra; l’isola al
centro, infine, era un’altissima montagna, con splendide foreste,
verdi pascoli, e nevi di cristallo. Era il Regno di Regiomonte, ossia
il Regno del Monte del Re. Ma, a dispetto del nome, nessun Re vi
regnava. E da secoli nessuno vi aveva più messo piede.
Il Principe, nel vedere quelle isole meravigliose, non ebbe dubbi:
egli sarebbe divenuto Re di quelle isole.
Il Sole però cercò di dissuaderlo. Quelle terre, oggetto di aspre
contese tra il Sole e le Tenebre, erano circondate da acque che
rimanevano sotto il dominio del Re delle Tenebre ed erano insidiate
dai più temibili mostri marini.
Ma il Principe fu irremovibile. Le quattro isole avevano conquistato il suo cuore. E cosı̀ iniziò a pensare alla costruzione del nuovo
Regno.
2
Su ognuna delle quattro isole avrebbe fatto edificare una reggia, in cui dimorare tre mesi l’anno. Ogni Reggia avrebbe avuto
una torre molto alta, da cui si potessero vedere le altre tre isole.
Una col tetto rosso rubino, una col tetto giallo oro, una col tetto
verde smeraldo e l’ultima col tetto blu cobalto. Sarebbero serviti
poi dei ponti che collegassero le isole tra loro, passando sopra i
pericolosissimi abissi marini.
Mentre i maggiori esperti del Regno studiavano la realizzazione
delle opere, il Sole, chiamando ad arbitro il Tempo, mandò i suoi
ambasciatori a patteggiare con il Re delle Tenebre le condizioni alle
quali il Principe si sarebbe potuto insediare in quelle terre.
Dopo lunghe trattative gli accordi furono scritti. Il Tempo
avrebbe scandito le giornate: per metà queste sarebbero state avvolte dalle Tenebre, per l’altra invece illuminate dal Sole. Quando
il Tempo segnalava il giungere della sera, il Principe doveva deporre la sua corona di raggi luminosi. Solo quando il Tempo dava il
segnale che era giunto il momento dell’alba, la corona poteva di
nuovo essere sollevata: quello sarebbe stato il segnale che il Sole
poteva tornare a illuminare e riscaldare le quattro isole.
Il Re delle Tenebre acconsentı̀ dunque all’insediamento del nuovo Regno di Regiomonte ed anche alla costruzione di ponti che
3
passassero sopra le sue acque.
Ma non fu per atto di generosità: egli sperava invece cosı̀ di aver
procurato del buon cibo per i suoi mostri. Questi brutti mostri,
infastiditi dalla luce, se ne stavano di giorno acquattati sotto i ponti, per catturare chi passasse di lı̀. Per fortuna erano goffi e lenti,
e dal momento in cui si accorgevano che un passante si stava avventurando per il ponte a quello in cui tiravano fuori un enorme
tentacolo, c’era abbastanza tempo per passare dall’altra parte, purché si procedesse di corsa e non si avesse l’idea, per nessun motivo,
di tornare indietro a metà strada.
Ben peggio stavano le cose nella notte. Nell’oscurità più completa i poteri del Re del Tenebre potevano dispiegarsi in tutta la
loro potenza. All’arrivo del buio gli abitanti degli abissi si affacciavano in superficie e godevano dello spettacolo delle onde enormi
sollevate dal Re delle Tenebre, onde cosı̀ possenti da trascinare via
tutto ciò che si trovasse vicino al mare, compresi i ponti, che volteggiavano in alto per poi ricadere come il capriccio del Re delle
Tenebre di volta in volta ordinava. Una danza infernale di piccoli
mostri si scatenava allora su di essi, finché qualcosa di terribile li
ricacciava lontano. Erano i feroci draghi marini, fidati compagni
del Re delle Tenebre. Dal profondo delle acque facevano emergere
4
le loro enormi teste e le adagiavano su ciascuno dei ponti, protendendosi minacciosi fino alle isole. Un’unica cosa temevano: la luce
e il calore.
Giorno o notte, la vita nel Regno di Regiomonte non si prospettava dunque certo facile. Dovete però sapere che i poteri del Re
delle Tenebre, pur essendo molto grandi, non erano illimitati. Egli
poteva tendere agli umani ogni tipo di trappola o tranello, ma dovevano essere difficoltà che con l’accortezza, l’ingegno e il coraggio,
ogni uomo avrebbe potuto superare.
Cosı̀ per sfuggire di giorno agli agguati dei piccoli mostri che
dimoravano sotto i ponti bastava ricordarsi di aspettare che nessun tentacolo affiorasse dalle acque, fare un bel respiro, e poi attraversare il ponte con passo svelto e sicuro senza mai voltarsi
indietro.
Per quanto riguardava la notte, il Principe pensò di procedere cosı̀: al calar della sera, avrebbe diviso la deposta corona in
tanti pezzi, lasciandoli su ciascuno dei ponti prima dell’arrivo dei
dragoni. Il bagliore e il tepore che da essi continuava a emanare avrebbe fatto assopire i terribili mostri. L’impresa più difficile
sarebbe stato, all’alba del giorno dopo, recuperarli tutti dalle loro
fauci per ricomporre la corona e permettere al Sole di tornare a
visitare Regiomonte.
Il piano era questo. Al calar della sera, i quattro più valorosi
cavalieri del Regno si appostavano ciascuno in una delle quattro
altissime torri delle quattro Regge. Da là era possibile osservare,
anche al buio, tutti i ponti, e vedere le altre torri. Giunto il momento dell’alba, uno - soltanto uno - dei prodi cavalieri avrebbe
potuto tentare l’impresa, compiendo il giro dei ponti in un’unica
veloce cavalcata, senza mai fermarsi e tornare indietro. Ovviamente non poteva neppure passare due volte dallo stesso ponte, perché
una volta recuperato il pezzo della corona il dragone di quel ponte
si sarebbe svegliato.
5
Insomma, confidando nel valore dei suoi cavalieri, dopo aver
ben pensato, al Principe parve che tutte le difficoltà sarebbero
state superabili e dunque, senza lasciarsi scoraggiare, decise di non
tirarsi indietro. Cosı̀ Principe, Sole, Tenebre e Tempo, firmarono
gli accordi.
Nella data fissata come inizio del nuovo Regno di Regiomonte,
ci fu, come potete immaginare, una grande festa sulle Quattro Isole. Giunse poi la sera, e con essa il momento in cui gli abitanti
di Regiomonte dovettero salutare il Sole, con la speranza di presto
rivederlo all’indomani. Il Principe, secondo quanto stabilito, depose la corona. Poi la divise, e ne lasciò i pezzi sui ponti. Si fece
notte. Subito un sordo rombare dal profondo del mare, annunciò
l’inizio delle stregonerie del Re delle Tenebre, il ballo dei flutti, dei
ponti e sui ponti, e infine l’arrivo dei terribili dragoni. Emersero
dagli Abissi fiammeggiando e appoggiarono le loro orribili teste sui
ponti.
6
Ma ecco che, come il Principe aveva immaginato, la pur flebile
luce e il debole calore che i raggi della dispersa corona ancora
emanavano, stordı̀ i dragoni che ricaddero assopiti con le mostruose
teste appoggiate proprio al centro di ogni ponte.
Dall’alto delle loro torri i cavalieri intanto si preparavano all’impresa, studiando il da farsi e ripassavano le indicazioni che il
Principe aveva loro dato. Sarebbe stato necessario compiere il giro dei ponti in un colpo solo, passando al
galoppo e sfilando il pezzo di corona da sotto il muso
dei dragoni, senza tornare indietro e senza ripassare
due volte per un ponte. I dragoni infatti, al loro passaggio,
si sarebbero svegliati e avrebbero incenerito chi avesse tentato di
passare una seconda volta per lo stesso ponte. Si trattava dunque
di studiare bene il percorso.
Chi per primo avesse trovato un buon percorso e lo avesse ben in
mente l’avrebbe segnalato agli altri cavalieri accendendo una torcia,
e al momento dell’alba sarebbe partito. Quella prima notte sembrò
a tutti lunghissima, ma finalmente il suo tempo era trascorso, e
giunse l’ora tanto attesa. Il Tempo diede il segnale.
7
Capitolo 2: i quattro ponti
*Qui prosegue la storia più semplice e corta.
I quattro ponti che il Re delle Tenebre aveva concesso, per quella
notte erano disposti cosı̀:
* Quale cavaliere faresti partire? E quale potrebbe essere il percorso compiuto (che attraversi
tutti i ponti una sola volta)?
Ed ecco. Fu il cavaliere della torre rossa a partire al galoppo.
Velocissimo recuperò tutti i pezzi della corona. Appena messi
insieme questi iniziarono a risplendere più nitidi che mai. La corona
fu sollevata e il Sole accorse. E con grande soddisfazione e sollievo
di tutti, iniziò il secondo felice giorno del Regno di Regiomonte.
* Quale percorso per il cavaliere rosso? Trovane tu uno. In fondo al libro troverai quello compiuto
dal cavaliere nella storia.
Arrivò poi la seconda sera, con un rapidissimo tramonto. Il
Principe depose i pezzi della corona sui ponti. Appena fattosi buio,
il Re delle Tenebre, con un turbine di gigantesche onde, sollevò i
ponti e li lasciò ricadere pesantemente, cosı̀:
Subito, come la notte precedente, arrivarono i dragoni. E ognuno
si assopı̀ sul proprio ponte, col muso sui pezzi di corona.
8
*Scegli quale cavaliere far partire e trova un percorso che attraversi tutti i ponti una sola volta.
In fondo al libro troverai quello compiuto dal cavaliere nella storia.
Quella notte fu il cavaliere della torre blu che si dichiarò pronto
a partire. Arrivato il momento dell’alba si lanciò al galoppo. E ...,
uno, due, tre, quattro! Il suo vittorioso giro riportò ancora la luce
alle Quattro Isole.
La terza notte, la storia si ripeté. Il principe depose la corona e
ne disperse i raggi sui ponti. Dal profondo degli abissi il turbine di
onde sollevò i ponti come fossero fuscelli. E li fece ricadere cosı̀:
Il cavaliere della torre verde si preparò a partire. Ecco l’alba. E
con un rapidissimo giro il terzo cavaliere conquistò la terza giornata
di luce per il Regno.
E certo anche voi, rapidissimamente, avrete trovato il vostro percorso.
Passavano i giorni. Ogni sera il Principe deponeva la corona e
ne disperdeva i raggi sui ponti. Di volta in volta le onde altissime
scompaginavano i ponti, che si trovavano ora cosı̀
o cosı̀:
9
o cosı̀:
*Scegli quale cavaliere far partire e trova un percorso che attraversi tutti i ponti una sola volta.
Giunto il momento dell’alba sempre un cavaliere era pronto a
partire, e mai falliva nell’impresa.
Cosı̀ la minaccia di quelle notti buie finı̀ presto per diventare
un’abitudine con cui convivere senza paura, mentre i giorni conquistati grazie all’accortezza, l’ingegno e il coraggio, si susseguivano
lieti e tranquilli nel Regno di Regiomonte dove il Principe e i suoi
sudditi vivevano sempre felici e contenti.
*Qui finisce la storia più semplice e corta.
Capitolo 3: il dono del Re delle Tenebre
*Qui si spiega come da quattro ponti gli abitanti di Regiomonte ne ebbero sette.
Un giorno il Re delle Tenebre mandò un’ambasciata al Principe:
- In segno di amicizia, visto il valore dei Vostri cavalieri, il Re
delle Tenebre vuol farvi un dono, anzi due. Durante l’estate vi
10
concederà tre ore di luce in più, ed anche la costruzione e l’uso di tre
nuovi ponti. Il resto degli accordi rimarrà immutato. Accettate?
Il Principe fu sorpreso ed incerto. Benissimo per le ore di luce
in più. E i ponti? Faceva certo comodo avere altri collegamenti
fra le isole. Tre ponti in più significavano però anche tre nuovi
dragoni da scavalcare la notte. Ma per i suoi valentissimi cavalieri,
che tanta abilità e coraggio avevano mostrato fino ad allora e che
quasi quasi iniziavano a considerare l’impresa notturna un banale
e noioso giochetto, non sarebbe stato certo un problema affrontare
tre nuovi mostri. Infine dunque accettò. E presto giunse la prima
notte dell’estate.
Capitolo 4: i sette ponti
*Qui inizia la storia più lunga e complessa.
I sette ponti che il Re delle Tenebre aveva concesso, per quella
notte prima notte erano disposti cosı̀:
* Quale cavaliere faresti partire? E quale potrebbe essere il percorso compiuto (che attraversi
tutti i ponti una sola volta)?
Ed ecco. Fu il cavaliere della torre rossa a partire al galoppo.
Velocissimo recuperò tutti i pezzi della corona che il Principe,
secondo gli accordi, aveva disperso la sera prima sui sette ponti.
Appena messi insieme questi iniziarono a risplendere più nitidi che
mai. La corona fu sollevata e il Sole accorse. E con grande soddisfazione e sollievo di tutti, iniziò il secondo felice giorno della lunga
estate del Regno di Regiomonte.
11
* Quale percorso per il cavaliere rosso? Trovane tu uno. In fondo al libro troverai quello compiuto
nella storia.
Arrivò poi la seconda sera, con un rapidissimo tramonto. Il
Principe depose i pezzi della corona sui ponti. Appena fattosi buio,
il Re delle Tenebre, con un turbine di gigantesche onde, sollevò i
ponti e li lasciò ricadere pesantemente, cosı̀:
Subito, come la notte precedente, arrivarono i dragoni. E ognuno
si assopı̀ sul proprio ponte, col muso sui pezzi di corona.
*Scegli quale cavaliere far partire e trova un percorso che attraversi tutti i ponti una sola volta.
Quella notte fu il cavaliere della torre blu che si dichiarò pronto
a partire. Arrivato il momento dell’alba si lanciò al galoppo. E
..., uno, due, tre, quattro, cinque, sei, sette! Il suo vittorioso giro
riportò ancora la luce alle Quattro Isole.
La terza notte, la storia si ripeté. Il principe depose la corona e
ne disperse i raggi sui ponti. Dal profondo degli abissi il turbine di
onde sollevò i ponti come fossero fuscelli. E li fece ricadere cosı̀:
Il cavaliere della torre verde accese la fiaccola. Ecco l’alba. E
con un rapidissimo giro il terzo cavaliere conquistò la terza giornata
di luce per il Regno.
*E certo anche voi, rapidissimamente, avrete trovato il vostro percorso.
12
Passavano i giorni. Ogni sera il principe deponeva la corona e
ne disperdeva i raggi sui ponti. Di volta in volta le onde altissime
scompaginavano i ponti, che si trovavano ora cosı̀
o cosı̀:
o cosı̀:
*Scegli quale cavaliere far partire e trova un percorso che attraversi tutti i ponti una sola volta.
Giunto il momento dell’alba sempre un cavaliere era pronto a
partire, e mai falliva nell’impresa.
Finché un giorno, anzi una notte, le cose andarono diversamente.
Quella notte i ponti si trovavano cosı̀:
13
*Scegli quale cavaliere far partire e cerca un percorso che attraversi tutti i ponti una sola volta.
All’avvicinarsi dell’alba, nessuna delle quattro fiaccole si era ancora accesa. Eppure i cavalieri non dormivano. Quando il Tempo
diede il segnale niente si mosse. Nessuno dei cavalieri era ancora
riuscito a capire come fare il giro dei ponti. I minuti passavano.
Passarono le ore. Poi i giorni. I mesi. Gli anni. Il buio regnava
sulle Quattro Isole, senza che nessuno trovasse il percorso.
Anno dopo anno si erano fatti secoli. Gli alberi, senza luce, erano
imbianchiti. Anche il Principe aveva la barba lunga e bianca, ed
era afflitto dal dolore di aver condannato per sempre al buio i suoi
sudditi, per la troppa fiducia nell’ingegno umano.
14
Gli abitanti di Regiomonte restavano quasi sempre chiusi in casa, mentre i dragoni continuavano a presidiare i ponti. Solo pochi
ardivano ogni tanto attraversare le strade, rischiando brutti incontri, per recarsi da qualche amico. Per combattere la noia avevano
inventato un gioco: uno doveva proporre tre figure, mentre gli altri
dovevano indovinare quale si tracciava senza staccare la matita dal
foglio.
*Conosci il gioco della casetta?
La casetta va disegnata con un unico tratto, senza staccare la penna dal foglio e senza tracciare
due volte una linea già percorsa.
*Prova poi a trovare quale delle tre figure si può disegnare con un unico tratto, come la casetta.
15
In una di queste giornate, buie e nere, passò di là un viandante
cieco. Il figlio del Sole lo accolse e gli raccontò le tristi vicende del
suo Regno. Il viandante ascoltava silenzioso. Quando il Principe
per caso si trovò a narrare come grandi e piccini si dilettassero nel
gioco che era divenuto cosı̀ popolare che tutti lo chiamavano ormai
“il gioco di Regiomonte”, lo straniero si mostrò molto incuriosito,
e chiese di provare. Il Principe, con tutta la delicatezza possibile,
cercò di fargli capire che per lui non sarebbe stato possibile giocare,
non potendo vedere i tre disegni. Ma lo straniero insistette a tal
punto che il Principe dovette cedere.
E giocarono. Anche senza vedere la forma dei tre disegni che il
Principe via via proponeva, facendo solo poche precise domande,
lo straniero trovava sempre subito il disegno fatto senza stacca16
re la penna dal foglio. Giocarono a lungo, senza che lo straniero commettesse mai un errore, fino all’ultima sfida proposta dal
Principe:
A questo punto, lo straniero disse:
- Abbiamo giocato a lungo. Ma ora forse è tempo di vedere
l’alba.
Il Principe lo guardò perplesso. Già aveva spiegato al viandante
in quale difficoltà il suo Regno fosse imprigionato; forse, per la sua
cecità, non aveva capito cosa significasse “buio”.
Ma lo straniero, indicando il disegno centrale, aggiunse:
- Questa è la soluzione: il cuore imprigionato.
Il Principe esitò a contraddirlo: a quella figura, il cuore imprigionato, era molto affezionato, forse perché davvero cosı̀ sentiva il
suo cuore, e la proponeva spesso. Ma per disegnarla tracciava il
cuore e poi, staccando la penna, la croce. Non era dunque quella la
risposta giusta. Lo straniero intanto, presa carta e penna, disegnò:
Il Principe iniziò allora a capire che lo straniero vedeva in quei
disegni qualcos’altro. Non si trattava più della soluzione del gioco, ma di una ben più importante soluzione: le eterne tenebre su
Regiomonte.
17
E con tutta l’attenzione possibile, il Principe, seguendone il ritmo, si mise ad ascoltare ognuna delle parole che lo straniero aveva
iniziato a scandire:
- Il tuo cuore imprigionato nient’altro è che Regiomonte. Ogni
linea qui è un ponte, dal dragone è presidiato. Se un’isola ha un
ponte solo, là ... accortezza ti segnalo. Il cavaliere che qui vi entrerà
mai uscirne più potrà...
“Certo: passando da quel ponte, il cavaliere avrà svegliato il
dragone e si troverà sull’isola dove non vi sono altri ponti da cui
passare ...” pensò il Principe.
- ... a meno che, come ultimo quel ponte percorrendo, della
corona l’ultimo pezzo vada prendendo.
“Certo: se quel ponte è il solo che manca, quando il cavaliere ci
passa recupera il solo pezzo di corona che ancora mancava; giunto
nell’isola può rimetterli tutti insieme e ... il gioco è fatto!” pensò
il Principe.
- Dunque là occorre finire o, al contrario semmai partire: da là
iniziare per non più vi ritornare.
‘Certo: se il cavaliere parte proprio dall’isola con un ponte solo,
lo attraversa subito, e non avrà poi bisogno di tornare su quell’isola,
...” pensò il Principe.
- Se due isole un solo ponte hanno allora due dei cavalieri l’impresa tentar potranno.
“Certo: potrà partire uno dei due cavalieri che stanno su una
delle due isole con un solo ponte. Quello che parte passerà subito
da uno dei due ponti soli, e terminerà il suo giro recuperando come
ultimo il pezzo di corona sull’altro dei due ponti soli ...”
- Se ancora un ponte solo su un’altra isola avrai, mai raggiungerlo
potrai. Il Re delle Tenebre allora, condannato vi avrebbe ad eterna
sventura.
“Certo: posso avere al più due isole con un solo ponte; se ce
ne fosse un’altra davvero non vi ci si potrebbe arrivare...”, pensò
ancora il Principe, “ma questo non è il nostro caso ...”
18
- Nel giro poi i ponti a coppie consumar vedrai, poiché per uno
entrar e per l’altro uscir dovrai.
Il Principe ancora dentro di sé annuiva.
- Le isole che imprigionano sono quelle dove si mette un ponte
solamente, oppure anche tre, o cinque, o sette.
“Certo: se in un’isola ho tre ponti, entrando e uscendo, ne rimarrà uno solo da cui poter passare; se ne ho cinque, entrando e
uscendo, e poi ancora entrando e uscendo, ancora ne rimarrà uno
solo. Dunque le isole con un numero dispari di ponti si comportano
come isole con un ponte solo” pensò ancora il Principe.
- Conta dunque or le isole con ponti spaiati, se più di due saranno
voi siete condannati.
Il Principe contò, sulla cartina del suo Regno, isola per isola
i ponti come si trovavano da secoli. Cinque, tre, tre, tre: tutti
numeri dispari.
3
5
3
3
Un momento di sconforto lo colse: il timore che quel buio durasse
in eterno era divenuto certezza: nessuno al mondo avrebbe mai
trovato il percorso. Ma un istante dopo, esclamò:
- Per quel che tu hai provato, l’inganno è disvelato!
Il ragionamento dello straniero era infatti la prova che i cavalieri
non riuscivano a compiere la loro impresa non per mancanza di accortezza, ingegno o coraggio, ma perché l’impresa era impossibile.
Ma questo significava che il Re delle Tenebre era andato al di là
dei poteri che gli erano concessi.
Il Principe chiese allo straniero di mettere per scritto quel ragionamento che non lasciava spazio a repliche, e con il quale l’inganno
del Re delle Tenebre era stato scoperto e sconfitto.
19
Le carte dello straniero furono fatte recapitare al Tempo e al
Re delle Tenebre.Ecco che dal profondo del mare si sentı̀ un urlo
feroce. I dragoni sprofondarono negli abissi. I raggi della corona
magicamente si intrecciarono nel cielo. E il Sole accorse.
Da allora in poi il Principe regnò sereno, giorno e notte. Già,
perché gli abitanti di Regiomonte non vollero rinunciare a quell’alternarsi di luce e di buio tanto feconda. E cosı̀ ogni sera il
Tempo continuava a dare il segnale, il Sole si allontanava, e una
dolce ombra abbracciava le quattro isole, per garantire a tutti, cavalieri compresi, sereni riposi fino all’alba del nuovo felicissimo e
luminossisimo giorno.
20
Appendice 1
Quel viandante, era in realtà un Principe, un Principe dei Matematici. Si chiamava Leonhard Euler. Quello che aveva scritto sul
foglio era la seguente affermazione:
“Il giro dei ponti si può fare solo se le isole con un numero dispari
di ponti sono al più due”.
L’affermazione era seguita da una cosa che nel Regno dei Matematici si chiama “dimostrazione”. Fu davanti a questa che il Re
delle Tenebre cacciò il suo terribile urlo di rabbia. Se una dimostrazione è ben scritta infatti non ci sono se o ma: tutti possono
vedere che quello che vi è affermato è vero, basta seguirlo passo
passo.
Alla dimostrazione seguiva lo schizzo delle Quattro Isole con i
ponti come da secoli rimanevano. Ciascuna delle quattro isole,
come tutti potevano verificare, aveva un numero dispari di ponti.
Conclusione: il percorso era impossibile.
Il Re delle Tenebre si nascose per sempre nel profondo degli abissi. Se avesse avuto meno disprezzo per l’ingegno umano e avesse
letto un articoletto latino che lo stesso viandante aveva scritto poco
prima di passare per Regiomonte (Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, 1735), forse non avrebbe commesso quella
ingenuità, e si divertirebbe ancora a insidiare i Regiomontani.
Appendice 2
La scoperta dell’inganno del Re del Tenebre aveva riportato la
felicità a Regiomonte, ma purtroppo aveva privato i regiomontani
delle loro occupazioni principali e preferite. I cavalieri non avevano
più occasione di mettere alla prova quotidianamente il loro ingegno,
e, quel che è più grave, anche il passatempo preferito, il “gioco di
Regiomonte” perse il suo interesse.
Il gioco dei disegni e il problema del percorso dei cavalieri attraverso i ponti sono infatti in realtà la stessa cosa: ogni disegno
21
si può trasformare in isole con ponti (espandendo i punti in cui si
incrociano le linee e ispessendo le linee fino a farle diventare ponti),
e ogni regno fatto di isole e ponti si può trasformare in un disegno
con linee che si incrociano.
Il teorema di Euler, che svelava quando il percorso dei ponti era
impossibile, rendeva anche il gioco banale: bastava guardare gli
incroci e vedere se ve ne erano più di due con un numero di linee
dispari. In questo caso il disegno era sicuramente fatto staccando
la penna dal foglio.
Appendice 3
Euler, prima di lasciare Regiomonte, suggerı̀ però un nuovo gioco,
che potesse esercitare l’ingegno dei cavalieri e divertire tutti gli
altri.
Si trattava della “passeggiata del cavallo”. Il cavallo questa volta non era un fido destriero, ma il classico pezzo del gioco degli
scacchi, e non doveva muoversi attraverso i ponti di Regiomonte,
ma attraverso le sessantaquattro caselle della scacchiera. Partendo
da una casella a scelta, si doveva compiere il giro di tutte la caselle,
senza potersi fermare due volte sulla stessa. Ovviamente il cavallo
doveva muoversi come ogni cavallo che si rispetti: due passi avanti
e uno di lato.
Questo gioco tenne impegnati gli abitanti di Regiomonte molto
molto a lungo. Passarono i giorni, i mesi, gli anni. Qualche malizioso a un certo punto iniziò a insinuare che Euler si fosse preso
gioco di loro, proponendo una nuova sfida impossibile.
Che un simile dubbio non colga anche voi: la passeggiata del
cavallo esiste, anzi ne esistono tante diverse. Euler, per mettere a
tacere le malignità, ne inviò una al Principe, perché la custodisse
a prova della sua onestà. Cosı̀ la sfida continuò.
E voi? Avete trovato la vostra passeggiata?
22
I percorsi dei cavalieri sui quattro ponti
Ecco i percorsi compiuti dai cavalieri nelle imprese del Capitolo 2.
I percorsi dei cavalieri sui sette ponti
Ecco i percorsi compiuti dai cavalieri nelle imprese del Capitolo 4.
23