Analisi Funzionale Lingua insegnamento: Italiano
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Analisi Funzionale Lingua insegnamento: Italiano
Titolo insegnamento: Analisi Funzionale Lingua insegnamento: Italiano - Contenuti: Spazi metrici. Spazi di Banach. Spazi di Hilbert. - Testi di riferimento: • H. Brezis: Analisi Funzionale, Liguori Editore, 1986. • • • • E. Giusti: Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 1983. B.V. Limaye: Functional analysis. New Age international, 1996. R. E. Megginson: An introduction to Banach space theory, Springer, 1998. H. L. Royden: Real Analysis, Collier Macmillan,1988. - Obiettivi formativi: L'obiettivo del corso è introdurre la conoscenza degli strumenti dell'Analisi Funzionale. Il corso si propone, infatti, di fornire gli elementi fondamentali degli spazi di Banach e di Hilbert. Lo studente dovrà acquisire solide competenze teoriche, saper svolgere esercizi e problemi dell'Analisi Funzionale. - Prerequisiti: Nozioni di base sugli spazi vettoriali; nozioni di base di teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue. E' utile una buona conoscenza di base della topologia negli spazi reali. - Metodi didattici: lezioni in aula. - Eventuali ulteriori informazioni - Modalità di verifica dell'apprendimento: esame orale. - Programma esteso: Spazi metrici. Disuguaglianza di Hölder e disuguaglianza di Minkowski per somme finite. Gli spazi l^p e l^∞. Metrica lagrangiana. Metriche equivalenti. Separabilit à, completezza, compattezza. Insiemi equicontinui di funzioni: definizione ed esempi. Equicontinuit à e uniforme convergenza; Teorema tipo Ascoli-Arzel à e sue conseguenze. Insiemi di prima e di seconda categoria; il teorema di Baire. Principio di uniforme limitatezza per gli spazi metrici. Spazi Vettoriali: Il Teorema di Hahn-Banach per gli spazi vettoriali reali e complessi. Insiemi convessi. Funzionali (positivamente) omogenei, sub-additivi, convessi e relazioni tra essi. Il funzionale di Minkowski. Separazione di insiemi convessi. Teorema di Hahn-Banach: prima e seconda formulazione geometrica. Spazi di Banach: Spazi normati: definizione ed esempi. Metriche che inducono una norma. Spazi di Banach. Teorema di caratterizzazione degli spazi di Banach. Spazi quoziente di uno spazio normato (cenni). Operatori lineari tra spazi normati: legame tra limitatezza e continuit à. La norma di un operatore lineare; lo spazio B(X,Y). Il Teorema di Hahn-Banach per gli spazi normati e sue conseguenze. L'operatore aggiunto. Teorema relativo allo studio dell'equazione funzionale Tx = b. Operatori a codominio chiuso. Teorema di Banach-Steinhaus. Il teorema dell'applicazione aperta e sue conseguenze. Operatori lineari chiusi. Relazione tra gli operatori chiusi e il proprio grafico. Il teorema del grafico chiuso. Spazi L^p(X,µ ). Funzioni essenzialmente limitate. Spazio L^∞(X,µ). Lo spazio duale di uno spazio normato. Il teorema di rappresentazione di Riesz in L^p. Spazi riflessivi: definizione ed esempi. Operatori invertibili in B(X). Spettro di un operatore in B(X). Condizione sufficiente per l'invertibilit a di un operatore in B(X). Serie di Neumann. Compattezza dello spettro. Spazi di Hilbert: Spazi con prodotto scalare. Identit à di polarizzazione. Disuguaglianza di CauchySchwartz. Norma indotta dal prodotto scalare. Identit à del parallelogrammo. Teorema di Jordan e Neumann. Spazi di Hilbert: definizione ed esempi. Insiemi ortogonali. Insiemi ortonormali. Generalizzazione del Teorema di Pitagora. Il Teorema di ortonormalizzazione di Gram-Schimdt. Disuguaglianza di Bessel. Il teorema di Riesz-Fisher. Basi ortonormali. Serie di Fourier negli spazi di Hilbert. Uguaglianza di Parseval. Teorema di caratterizzazione degli spazi di Hilbert. Il Sistema trigonometrico. Proiezioni. Il teorema di proiezione. Funzionali lineari e continui su uno spazio con prodotto scalare. Il Teorema di rappresentazione di Riesz-Frechet e sue conseguenze. Il teorema di HahnBanach per gli spazi di Hilbert. Convergenza debole. Insiemi debolmente limitati.