GEOMETRIA COMPLESSA - (Superfici di Riemann

GEOMETRIA COMPLESSA
(Superfici di Riemann - prima parte)
anno acc. 2010/2011
Cristina Turrini
GEOMETRIA COMPLESSA
Superfici di Riemann: definizione
Una varietà (analitica) complessa di dimensione n, X, è uno spazio
topologico X di Hausdorff, a base numerabile e connesso, dotato di
una struttura complessa (ovvero classe di equivalenza di atlanti
complessi compatibili) di dimensione n.
Un atlante complesso A su X è una collezione di omeomorfismi
A = {ϕα : Uα → Vα } con Uα aperti che ricoprono X e Vα aperti di
Cn , con la condizione di compatibilità tra (Uα , ϕα ) e (Uβ , ϕβ ) :
Tαβ = ϕβ ◦ ϕ−1
α : ϕα (Uα ∩ Uβ ) −→ ϕβ (Uα ∩ Uβ ) è olomorfa.
Una superficie di Riemann X è una varietà complessa di dimensione
uno.
Uα si dice dominio della carta ϕα . Se p ∈ Uα , ϕα (p) ∈ C viene detta
coordinata locale di p nella carta ϕα .
Tαβ viene detta funzione di transizione o cambiamento di coordinate.
Tαβ è un diffeomorfismo e pertanto ha derivata mai nulla.
Tαβ ha come inversa Tβα : ∀z ∈ ϕα (Uα ∩ Uβ ) si ha Tβα (Tαβ (z)) = z
0 (T (z))T 0 (z) = 1, ⇒ T 0 (z) 6= 0, ∀z.
⇒ Tβα
αβ
αβ
αβ
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Superfici di Riemann: primi esempi
ESEMPIO 1 - X = C, o più in generale X = U, con U aperto
connesso di C, è una superficie di Riemann (non compatta),con
atlante dato da una sola carta ϕ = identità id : U → U.
ESEMPIO 2 - La superficie sferica X = S2 ⊂ R3 , è una varietà
differenziabile (compatta),con atlante costituito da due domini
U = S2 \ {N} e V = S2 \ {S} e dalle due proiezioni stereografiche
ϕ : U → C e ψ : V → C.
S2 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |x12 + x22 + x32 = 1},
N ≡ (0, 0, 1), S ≡ (0, 0, −1)
x1
x2
ϕ((x1 , x2 , x3 ) =
+i
1 − x3
1 − x3
x1
x2
ψ((x1 , x2 , x3 ) =
+i
.
1 + x3
1 + x3
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Le funzioni di transizione di tale atlante però non sono olomorfe:
ψ ◦ ϕ−1 (x + iy) =
x2
x
y
+i 2
= u(x, y) + iv(x, y),
2
+y
x + y2
che non soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann, essendo
uy = vx = (x−2xy
2 +y2 )2 .
Per avere un atlante complesso si può allora sostituire ψ con
ψ(x1 , x2 , x3 ) =
x1
x2
−i
.
1 + x3
1 + x3
La funzione di transizione vista sopra diviene
z = x + iy 7→
x
y
1
−i 2
= ,
x2 + y2
x + y2
z
che è olomorfa in ϕ(U ∩ V) = C \ {0}.
S2 con la struttura complessa data dall’atlante (ϕ, ψ) è una superficie
di Riemann (compatta) che verrà indicata con C∞ .
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ESEMPIO 3 - Consideriamo la retta proiettiva complessa P1C , ottenuta
come quoziente da C2 \ {(0, 0)} modulo la relazione di equivalenza
(z0 , z1 ) ∼ (λz0 , λz1 ), λ ∈ C∗ , e denotiamo con (z0 : z1 ) la classe di
equivalenza rappresentata da (z0 , z1 ). Indichiamo poi con U0 e U1 gli
aperti affini di P1C ,
U0 = {(z0 : z1 )|z0 6= 0},
U1 = {(z0 : z1 )|z1 6= 0}.
P1C è una superficie di Riemann
ϕ0 : U0 → C, (z0 : z1 ) 7→ zz01
(compatta) con atlante {ϕ0 , ϕ1 }, ove
e ϕ1 : U1 → C, (z0 : z1 ) 7→ zz10 .
La funzione di transizione ϕ1 ◦ ϕ0 −1 è definita da z 7→ 1z .
Dal punto di vista topologico C∞ ≈ P1C (per spazi topologici di
Hausdorff e compatti
T \ {p} ≈ T 0 \ {p0 }
⇒
T ≈ T 0,
e C∞ \ {p} ≈ C ≈ P1C \ {p0 }).
Più avanti mostreremo che tali superfici sono la stessa anche come
varietà complesse. Anzi vedremo che, a meno di biolomorfismi, esiste
un’unica struttura complessa possibile su S2 (si dice allora che la sfera
S2 è rigida).
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ESEMPIO 4 - Siano w1 , w2 due numeri
complessi linearmente indipendenti sui
reali, ordinati in modo tale che sia
τ = ww21 ∈ H (semipiano dei numeri
complessi a parte immaginaria positiva).
Consideriamo il reticolo da essi generato
Λ = Z < w1 > +Z < w2 >=
{n1 w1 + n2 w2 |n1 , n2 ∈ Z}.
Consideriamo poi il gruppo quoziente
X = C/Λ come spazio topologico dotato
della topologia quoziente e la proiezione
naturale π : C → X. Ovviamente dal
punto di vista topologico X è un toro
T1 ≈ S1 × S1 .
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π è un omeomorfismo locale. Infatti è continua, aperta e, detta δ la
minima distanza tra due elementi del reticolo, ∀ < δ e ∀z ∈ C la
restrizione di π al disco aperto D(z, ) di centro z e raggio è
biunivoca.
Fissato < δ, ∀p ∈ X consideriamo un
z ∈ C tale che π(z) = p, e poniamo
U = π(D(z, )), ϕ = π|D(z,) −1 .
L’insieme {(U, ϕ)} è un atlante
complesso per X.
Verifichiamolo. Consideriamo
(U = π(D(z0 , )), ϕ = π|D(z0 ,) −1 ) e
(V = π(D(z1 , )), ψ = π|D(z1 ,) −1 ).
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Si ha π(T(z)) = π(ψ ◦ ϕ−1 (z)) = ϕ−1 (z) = π(z), ∀z ∈ ϕ(U ∩ V).
Quindi (T(z) − z) ∈ Λ . Si può allora definire η : ϕ(U ∩ V) → Λ
ponendo η(z) = T(z) − z. Poiché η è continua e Λ è discreto, η è
localmente costante, cioè localmente si ha T(z) = z + k, k ∈ Λ.
Pertanto T è olomorfa.
X = C/Λ è quindi una superficie di Riemann (compatta) che viene
detta toro complesso 1−dimensionale.
Vedremo più avanti che, in generale, se Λ1 6= Λ2 sono due reticoli, le
superfici di Riemann X1 = C/Λ1 e X2 = C/Λ2 non sono isomorfe
come varietà complesse (mentre ovviamente come spazi topologici
X1 ≈ X2 ≈ T1 ).
T1 ammette diverse strutture complesse non equivalenti fra loro.
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Curve algebriche come superfici di Riemann
ESEMPIO 5 - Sia V un aperto connesso di C, e consideriamo n
funzioni olomorfe gi : V → C, i = 1, . . . , n. Si può considerare la
funzione (g1 , . . . , gn ) : V → Cn ed il suo grafico
Γ = Γ(g1 ,...,gn ) = {(z, g1 (z), . . . , gn (z)) ∈ C × Cn , z ∈ V}.
Come spazio topologico (con la topologia indotta da Cn+1 ) si ha
Γ ≈ V.
Γ può essere dotato di un atlante con un’unica carta (U = Γ, ϕ), con
ϕ = restrizione a Γ della proiezione sul primo fattore
π1 : C × Cn → C.
Γ è una superficie di Riemann (non compatta)
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ESEMPIO 6 - Consideriamo una curva algebrica piana affine
complessa C ⊂ A2 , irriducibile ridotta e non singolare.
C = V(f ), con f ∈ C[z, w], polinomio irriducibile e tale che, ∀p ∈ C
∂f
si abbia Gradp (f ) = ( ∂f
∂z (p), ∂w (p)) 6= (0, 0).
∂f
Sia p ≡ (z, w) ∈ C e supponiamo ∂w
(p) 6= 0. Per il teorema del Dini,
in un intorno Up di p, l’equazione f (z, w) = 0 definisce
implicitamente una funzione olomorfa w = w(z), definita da un
intorno U di z, a valori in un intorno V di w.
Pertanto, localmente intorno p, la curva C è grafico di una funzione
olomorfa. Come nell’esempio 5 si può prendere la carta locale intorno
p data da (Up , ϕp ) ove ϕp è la restrizione a Up della prima proiezione
π1 : C × C → C, (z, w) 7→ z.
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Analogamente in tutti i punti q in cui ∂f
∂z (q)) 6= 0, si otterrà una carta
locale del tipo (Vq , ψq ) con ψq = π2 |Vq .
Si è costruito così un atlante per C in cui le funzioni di transizione
sono
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T = π1 ◦ π1 −1 = id, nel caso di aperti del tipo Up e Up0 ,
T = π2 ◦ π2 −1 = id, nel caso di aperti del tipo Vq e Vq0 ,
T = π2 ◦ π1 −1 : z 7→ (z, w) 7→ w nel caso di aperti del tipo Up e
Vq ,
T = π1 ◦ π2 −1 : w 7→ (z, w) 7→ z nel caso di aperti del tipo Vq e
Up .
In ogni caso, per il teorema del Dini, le funzioni di transizione sono
olomorfe.
La curva C è una superficie di Riemann (non compatta).
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ESEMPIO 7 - Consideriamo una curva algebrica piana proiettiva
complessa C ⊂ P2 , irriducibile ridotta e non singolare.
C = V(F) con F ∈ C[z0 , z1 , z2 ], polinomio omogeneo irriducibile e
tale che, ∀p ∈ C si abbia
Gradp (F) = (
∂F
∂F
∂F
(p),
(p),
(p)) 6= (0, 0, 0).
∂z0
∂z1
∂z2
Se si considera uno dei tre aperti affini
Ui = {(z0 : z1 : z2 )|zi 6= 0}, i =, 0, 1, 2, la parte affine Ui ∩ C di C, è
una curva algebrica piana affine di equazione
f0 (u, v) = F(1, u, v) = 0, per i = 0
f1 (s, t) = F(s, 1, t) = 0, per i = 1
f2 (α, β) = F(α, β, 1) = 0, per i = 2.
Inoltre tali curve affini sono non singolari (poichè lo è C), pertanto,
per quanto visto nell’esempio 6, si può costruire un atlante complesso
su ciascuna delle tre parti affini.
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L’atlante che complessivamente si ottiene per C ha funzioni di
transizione del tipo di quelle viste nell’esempio 6, e, oltre a queste, ha
carte che nascono, ad esempio in corrispondenza di coppie di aperti
presi uno nel ricoprimento di U0 ed uno nel ricoprimento di U1 . In U0
le carte sono del tipo p ≡ (z0 : z1 : z2 ) 7→ u = zz01 oppure
p ≡ (z0 : z1 : z2 ) 7→ v = zz02 . In U1 le carte sono del tipo
p ≡ (z0 : z1 : z2 ) 7→ s = zz01 oppure p ≡ (z0 : z1 : z2 ) 7→ t = zz12 . Si
avranno quindi anche funzioni di transizione del tipo u 7→ s = 1u ,
u 7→ t = uv = v(u)
s 7→ u = 1s e s 7→ v = st = t(s)
u ,
s . In ogni
caso di ottengono funzioni di transizione olomorfe (come quozienti di
funzioni olomorfe, com denominatore che non si annulla). Lo stesso
accade nel caso di coppie di aperti di U0 e U2 o di U1 e U2 .
Ne segue che anche C è una superficie di Riemann (compatta).
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RICHIAMI (Insiemi e varietà algebriche proiettive)
Si dice insieme algebrico proiettivo complesso il luogo
Y = V(F1 , F2 , . . . , Fk ) ⊂ Pn degli zeri di un numero finito di
polinomi omogenei Fj ∈ C[z0 , . . . , zn ], j = 1, . . . , k . Un insieme
algebrico proiettivo complesso Y viene detto varietà algebrica
proiettiva complessa se è irriducibile, ovvero non è unione di insiemi
algebrici proiettivi diversi da Y.
La matrice Jacobiana
J(p) = (
∂Fi
)(p), i = 1, . . . k, j = 0, . . . , n,
∂zj
per p ∈ Pn è una matrice di tipo k × (n + 1) il cui rango è ben definito
in Pn (indipendente dalle coordinate omogenee del punto).
Se tale rango è costante al variare di p ∈ Y, si dice che Y è una varietà
algebrica proiettiva liscia.
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ESEMPIO 8 - Si dice curva intersezione completa una varietà
algebrica proiettiva liscia definita da n − 1 polinomi omogenei,
V(F1 , . . . , Fn−1 ) ⊂ Pn , in cui il rango di J(p) sia n − 1.
i
Ad esempio, nel caso n = 3, l’ipotesi rk(( ∂F
∂zj )(p)) = 2 vuol dire
∂F1
∂F1
1
Gradp (F1 ) = ( ∂F
∂z0 (p), ∂z1 (p), ∂z2 (p)) 6= (0, 0, 0), ovvero la
superficie V(F1 ) ha piano tangente in p,
analogamente la superficie V(F2 ) ha piano tangente in p,
i due piani tangenti sono distinti (le due righe della matrice
jacobiana non sono proporzionali) e quindi si intersecano in una
retta (la retta tangente a X in p.)
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Ricordiamo che, se F ∈ C[z0 , . . . , zn ] è un polinomio omogeneo di
grado d si ha
dF = z0
∂F
∂F
+ · · · + zn
∂z0
∂zn
(formula di Eulero).
Mostriamo che se X è una curva intersezione completa allora è anche
una superficie di Riemann (compatta). Verifichiamolo su un aperto
affine. Il risultato segue poi come nell’esempio 7.
Consideriamo l’aperto affine U0 , definito da z0 6= 0, e la
deomogenizzazione di Fi , fi (u1 , . . . , un ) = Fi (1, u1 , . . . , un ). Si ha
(
∂fi
∂Fi
)(u1 , . . . , un ) = (
)(1, u1 , . . . , un ).
∂uj
∂zj
Sui punti di X, le due matrici jacobiane
∂fi
( ∂u
), i = 1, . . . , n − 1, j = 1, . . . , n, e
j
i
( ∂F
∂zj ), i = 1, . . . , n − 1, j = 0, . . . , n, hanno lo stesso rango.
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(1)
Infatti sui punti di X la prima colonna della seconda matrice è
combinazione lineare delle altre. Per la formula di Eulero, posto
(z0 : · · · : zn ) = (1 : u1 : · · · : un ), risulta
∂F
∂F
∂F
= −u1
− · · · − un
,
∂z0
∂z1
∂zn
inoltre le rimanenti colonne della seconda matrice coincidono con le
colonne della prima matrice.
∂fi
∂fi
Quindi rk(( ∂u
)) = n − 1, e pertanto nella matrice ( ∂u
) esiste un
j
j
minore massimale non nullo. Ad esempio, sia
∂fi
)) 6= 0, i, j = 1, . . . , n − 1. Allora si può applicare il
det(( ∂u
j
teorema del Dini a
F = (f1 , . . . , fn−1 ) : Cn−1 × C → Cn−1 ,
con fi = fi (u1 , . . . , un−1 , un ), ricavandone che V(f1 , . . . , fn−1 ) è
localmente grafico di (u1 (un ), . . . , un−1 (un )) : U → Cn−1 . Ne segue
che X è una superficie di Riemann (compatta).
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Il modello di Riemann
Primo caso: la conica
Consideriamo la conica affine non singolare di equazione w2 − z = 0.
Vogliamo ottenere un modello topologico del grafico di w = w(z).
Ad ogni z 6= 0 √
in C corrispondono
due valori di
√
w ∈ C : w1 = z, w2 = − z e cioè due punti del grafico.
Grossolanamente possiamo pensare al grafico di w = w(z) come a
due copie del piano complesso (due "fogli") che denoteremo con
C1 = {(z, w1 (z))} e C2 = {(z, w1 (z))}.
Si tratta di capire come questi due fogli debbano essere attaccati per
tenere conto del fatto che in corridpondenza di z = 0 la radice
w = w(z) è unica.
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Anzitutto ovviamente C1 e C2 non devono essere considerati come
disgiunti, dal momento che (0, 0) appartiene ad entrambi.
√
Inoltre
√ la divisione delle determinazioni della radice di z in + z e
− z è innaturale dal punto di vista topologico. Consideriamo infatti
un punto z0 = ρeiθ0 6= 0 con 0 ≤ θ0 < 2π e le due radici
θ0
θ0
√
√
w1 = ρ0 ei 2 e w2 = ρ0 ei( 2 +π) .
Se si fa compiere al punto z0 un giro
completo intorno all’origine, ovvero si
considera il cammino chiuso per z0
α : I → C definito da α(t) = ρ0 ei(θ0 +2πt) , e
si considerano le due determinazioni della
radice al variare del punto in α(I) :
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w1 (α(t)) =
√
ρ0 e i
θ0 +2πt
2
,
w2 (α(t)) =
√
ρ0 ei(
θ0 +2πt
+π)
2
si nota che le due determinazioni della radice si scambiano, infatti
w1 (α(1) =
w2 (α(1)) =
√
ρ0 ei(
√
ρ0 ei
θ0 +2π
2
θ0 +2π
+π)
2
=
= w2 (α(0))
√
θ0
ρ0 ei 2 = w1 (α(0)).
Per ottenere un buon modello topologico del grafico di w bisogna
quindi tenere conto di questo fenomeno e far sì che dopo un giro
attorno all’origine nel piano della variabile z il corrispondente punto
del grafico nel foglio C1 passi nel foglio C2 e viceversa. Ciò può
essere fatto, ad esempio, immaginando di operare un taglio in
ciascuno dei due fogli in corrispondenza di un semiretta per l’origine
nel piano delle z e di identificare il lembo "inferiore " del taglio nel
foglio C1 con il lembo "superiore" del taglio nel foglio C2 e viceversa.
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Il modello topologico del grafico di w = w(z) (la Superficie di
Riemann definita implicitamente da w2 − z = 0) risulta pertanto
omeomorfo a C, come era facile intuire dal momento che z è funzione
di w.
Se si vuole ottenere la Superficie di Riemann della conica proiettiva di
equazione z22 − z1 z0 = 0 si deve solo aggiungere un punto all’infinito,
compattificare cioè il modello precedente con l’aggiunta dell’unico
punto all’infinito Z∞ della conica.
La Superficie di Riemann di una
conica proiettiva non singolare è
omeomorfa a S2 .
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Secondo caso: la cubica
Consideriamo la cubica piana affine non singolare di equazione
w2 − (z − α)(z − β)(z − γ) = 0, con α, β, γ ∈ C, distinti a due a due.
Anche in questo csaso vogliamo
ottenere un modello topologico del
grafico di w = w(z).
Fissato un valore di z 6= α, β, γ, si possono rifare ragionamenti uguali
a quelli visti per z 6= 0 nel caso della conica. Il fenomeno dello
scambio delle determinazioni della radice che lì accadeva per effetto
di un giro intorno all’origine, in questo caso si verifica per effetto di
un giro che avvolga uno qualsiasi degli zeri di w (ovvero α, β, γ o un
numero dispari di questi)
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Per ottenere la superficie di Riemann della
cubica proiettiva di equazione
z0 z22 − (z1 − αz0 )(z1 − βz0 )(z1 − γz0 ) = 0,
basta aggiungere l’unico punto all’infinito
W∞ .
In generale si potrebbe studiare in modo analogo il modello
topologico del grafico della funzione definita implicitamente da
un’equazione algebrica della forma
a0 (z)wn + a1 (z)wn−1 + a2 (z)wn−2 + · · · + an (z) = 0.
Per un generico valore di z0 si hanno n radici
w1 , w2 , · · · , wn , · · · si ottengono n fogli
C1 , C2 · · · Cn , · · · si costruiscono
identificazioni tra i fogli in modo da rispettare
il fenomeno della diramazione · · · .
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TEOREMA - Lo spazio topologico T soggiacente ad una superficie di
Riemann compatta è omeomorfo a S2 o a una somma connessa di tori
dimostrazione - Sappiamo già che T è una superficie topologica
compatta; per il teorema di classificazione delle superfici topologiche
compatte, l’unica cosa da dimostrare è allora che T è orientabile. Per
una varietà differenziabile, una condizione sufficiente per
l’orientabilità è l’avere una atlante in cui tutti i cambiamenti di carta
sono diffeomorfismi con determinante jacobiano positivo. Nel caso
delle superfici di Riemann i cambiamenti di coordinate sono funzioni
olomorfe T(z) = T(x
u(x, y) + iv(x, y), allora il determinante
+ iy) =
ux uy
jacobiano è |J| = v v
= ux vy − uy vx = u2x + u2y > 0, per le
x
y
condizioni di Cauchy-Riemann (ux = vy , uy = −vx ). Cristina Turrini
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Applicazioni olomorfe tra superfici di Riemann
Sia X una superficie di Riemann, p ∈ X, e W un intorno aperto di p in
X.
Sia f : W → C una funzione a valori complessi.
Si dice che f è olomorfa in p se esiste
una carta (Uα , ϕα ) intorno a p tale che la
composizione f ◦ ϕα −1 sia olomorfa in
ϕα (p).
La condizione di essere olomorfa è indipendente dall’intorno
coordinato scelto: se f ◦ ϕα −1 è olomorfa, anche
f ◦ ϕβ −1 = (f ◦ ϕα −1 ) ◦ (ϕα ◦ ϕβ −1 ) lo è (come composizione di
funzioni olomorfe).
Si dice che f è olomorfa in W se lo è in tutti i punti di W.
L’insieme O(W) delle funzioni olomorfe in W è una C− algebra.
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Siano ora X ed Y due superfici di Riemann ed f : X → Y
un’applicazione con f (p) = q, p ∈ X, q ∈ Y. Si dice che f è olomorfa
in p se esistono una carta (U, ϕ) intorno a p ed una carta (V, ψ)
intorno a q tali che la composizione ψ ◦ f ◦ ϕ−1 sia olomorfa in ϕ(p).
La funzione complessa di variabile
complessa ψ ◦ f ◦ ϕ−1 viene detta
espressione locale di f nelle carte (U, ϕ)
e (V, ψ).
Si dice che l’applicazione f è olomorfa
se lo è in tutti i punti di X.
Sono le ovvie estensioni (dal caso delle superfici di Riemannn al caso
di varietà complesse di dimensione > 1) dei concetti di funzione
olomorfa definita su una varietà complessa, e di applicazione
olomorfa tra varietà complesse.
Data un’applicazione olomorfa f : X → Y, vogliamo trovare
una’espressione locale (intorno a p) particolarmente semplice per f .
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Possiamo supporre che le carte locali (U, ϕ) e (V, ψ) siano centrate
(rispettivamente in p e in q), ovvero che sia ϕ(p) = ψ(q) = 0.
Posto F = ψ ◦ f ◦ ϕ−1 , si ha F(0) = 0 e quindi, in un opportuno
intorno di 0,
F(z) = ah zh + ah+1 zh+1 + · · · = ah zh (1 + c1 z + . . . ),
con ah 6= 0.
L’intero h sopra definito viene detto molteplicità di f in p e si scrive
h = multp (f ).
La definizione di molteplicità appena data è ben posta (indipendente
cioè dalle carte locali scelte), in quanto le funzioni di transizione sono
diffeomorfismi, quindi non alterano l’ordine di zero.
TEOREMA - Sia f : X → Y un’applicazione olomorfa non costante
tra superfici di Riemann, con f (p) = q, e sia h = multp (f ). Esistono
una carta locale intorno a p ed una intorno a q tali che l’espressione
locale di f in tali carte sia della forma (detta forma normale) z 7→ zh .
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dimostrazione - Possiamo supporre che l’espressione locale di f in
opportune carte sia della forma
F(z) = ah zh (1 + c1 z + . . . ) = ah zh (g(z)) con ah 6= 0 e g funzione
olomorfa definita e non nulla in un opportuno disco. Esiste una radice
h− esima di g, ovvero esiste una funzione olomorfa k tale
(k(z))h = g(z). Indicata poi con bh una radice h− esima di ah e posto
α(z) = bh zk(z), si ha F(z) = (α(z))h . Per come è definita. α è una
funzione olomorfa ed invertibile (α0 (0) 6= 0,) (α localmente, in un
intorno D di 0, è un biolomorfismo). Si può allora considerare una
e ϕ)
e = ϕ−1 (D) e
nuova carta locale intorno a p della forma (U,
e con U
ϕ
e = α ◦ ϕ. Con questa carta l’espressione locale di f diventa
e =ψ◦f ◦ϕ
F(z)
e−1 (z) = ψ(f (ϕ−1 (α−1 (z)))) =
= F(α−1 (z)) = (α(α−1 (z)))h = zh .
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TEOREMA (della mappa aperta) - Sia f : X → Y una funzione
olomorfa non costante tra superfici di Riemann, allora f è aperta
dimostrazione - Sia A ⊂ X un aperto. Si deve verificare che f (A) ⊂ Y
è pure un aperto. Dato q ∈ f (A) si deve quindi provare che esiste un
intorno aperto Vq di q contenuto in f (A). Sia p ∈ A tale che f (p) = q.
Si prendano carte (U, ϕ) e (V, ψ), intorno a p e a q rispettivamente, in
cui f si esprime nella forma normale z 7→ zh , con h ≥ 1. Considerato
un disco aperto D(0, ) contenuto in ϕ(A ∩ U) si ha
F(D(0, )) = D(0, h ), e quindi q ∈ ψ −1 (D(0, h )) = Vq ⊂ f (A). Cristina Turrini
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COROLLARIO - Sia f : X → Y un’applicazione olomorfa non
costante tra superfici di Riemann, con X compatta. Allora f è
suriettiva e Y è compatta.
dimostrazione - Per il teorema della mappa aperta f (X) è un aperto,
d’altra parte, essendo f continua e X compatto, f (X è anche compatto
e quindi chiuso (Y è di Hausdorff). Allora f (X) è un aperto e chiuso e
non vuoto in Y che è connesso, e di conseguenza f (X) = Y. COROLLARIO - Sia X una superficie di Riemann compatta e
f : X → C una funzione olomorfa. Allora f è costante.
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GEOMETRIA COMPLESSA
Applicazioni olomorfe della retta proiettiva in sè
Sia f ∈ C[z] un polinomio di grado d ≥ 1,
f = a0 + a1 z + · · · + ad zd , ad 6= 0. Nell’esempio 3 abbiamo visto che
un atlante per P1 è dato dalle carte {(U0 , ϕ0 ), (U1 , ϕ1 )}, ove
ϕ0 : U0 → C,
ϕ1 : U1 → C,
(z0 : z1 ) 7→ z =
(z0 : z1 ) 7→
z1
z0
z0
1
= .
z1
z
Identifichiamo P1 con U0 ∪ {∞}.
f induce un’applicazione ef : P1 → P1 definita da (1 : z) 7→ (1 : f (z))
e da ∞ 7→ ∞.
Verifichiamo che ef è olomorfa. Sui punti di U0 ciò segue dal fatto che
f lo è, infatti
ϕ0 ◦ ef ◦ ϕ0 −1 (z) = ϕ0 ◦ ef (1 : z) = ϕ0 (1 : f (z)) = f (z).
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GEOMETRIA COMPLESSA
Verifichiamolo in ∞. Si ha
ϕ1 ◦ ef ◦ ϕ1 −1 (z) = ϕ1 ◦ ef (z : 1) = ϕ1 ◦ ef (1 : 1/z) = ϕ1 (1 : f (1/z)) =
=
1
zd
=
.
a0 + a1 (1/z) + · · · + ad (1/zd )
a0 zd + a1 zd−1 + · · · + ad
Essendo ad 6= 0, f è olomorfa.
Si noti inoltre che mult∞ef = d, infatti ϕ1 ◦ ef ◦ ϕ1 −1 (z) = zd (g(z))
1
con g(0) 6= 0 (g(z) = a zd +a zd−1
).
+···+a
0
1
d
COROLLARIO(Teorema fondamentale dell’Algebra) - Sia f ∈ C[z]
un polinomio non costante, allora f ha uno zero in C.
dimostrazione - f definisce un’applicazione olomorfa ef : P1 → P1 che
non è costante e quindi è suriettiva. In particolare quindi esiste
almeno un punto p ∈ P1 tale che f (p) = 0 = (1 : 0). Non può essere
p = ∞ perché ef (∞) = ∞, quindi p ∈ C e f (p) = ef (p) = 0. Cristina Turrini
GEOMETRIA COMPLESSA
Punti di ramificazione di un’applicazione olomorfa
Siano X ed Y due superfici di Riemann e f : X → Y un’applicazione
olomorfa non costante. Fissato un p ∈ X, abbiamo definito multp f
l’intero h ≥ 1 tale che la forma normale di f intorno a p sia z 7→ zh .
Se è h ≥ 2, si dice che p è un punto di ramificazione per f e che
q = f (p) è un punto di diramazione, o branch point per f .
Rf = {p ∈ X|multp f ≥ 2} si dice insieme di ramificazione e
∆f = f (Rf ) si dice insieme di diramazione di f .
Sia F = ψ ◦ f ◦ ϕ−1 un’espressione locale di f intorno a p, non
necessariamente l’espressione in forma normale. Posto z0 = ϕ(p), e
indicato con o(F 0 (z0 )) l’ordine di zero di F 0 in z0 , si ha
multp f = 1 + o(F 0 (z0 )). Tale ordine infatti è invariante per
cambiamenti di carta e, nella forma normale, si ha F 0 (z) = hzh−1 .
Di conseguenza p è di ramificazione per f se e solo se F 0 (z0 ) = 0.
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GEOMETRIA COMPLESSA
ESEMPIO - Sia X la curva algebrica piana affine non singolare di
equazione g(z, w) = 0 e sia Y = C. Sia poi f = π1 : X → Y la prima
proiezione f (z, w) = z. Un punto p è di ramificazione per f se e solo
∂g
(p) = 0. Infatti
se ∂w
∂g
se ∂w
(p) 6= 0, si può prendere π1 come carta locale intorno a p e
in tale carta l’espressione locale è
F = f ◦ ϕ−1 = f ◦ π1 −1 : z 7→ z, quindi p non è di ramificazione.
∂g
se ∂w
(p) = 0, allora ∂g
∂z (p) 6= 0, quindi si può prendere come
carta la seconda proiezione π2 e z = z(w) è una funzione
olomorfa. In tale carta l’espressione locale è
F = f ◦ ϕ−1 : w 7→ z. Quindi è F(w) = z(w), e, per il teorema
del Dini,
∂g ∂g
z0 (w)|p = −( / )|p = 0,
∂w ∂z
da cui segue che p è un punto di ramificazione per f .
Cristina Turrini
GEOMETRIA COMPLESSA
Grado di un’applicazione olomorfa non costante
TEOREMA - Siano X ed Y superfici di Riemann compatte e
f : X → Y un’applicazione olomorfa non costante. Allora
i) Rf è finito;
ii) ∀q ∈ Y la fibra f −1 (q) è finita;
P
iii)
p∈f −1 (q) multp f non dipende da q, e viene detto grado di f .
dimostrazione - Conviene premettere alcune considerazioni. ∀p ∈ X
denotiamo con (Up , ϕp ) una carta in cui f si esprime in forma normale
z 7→ zhp .
Nella carta Up c’è al più un punto di ramificazione per f e questo è p,
infatti la derivata di F non si annulla mai salvo che, eventualmente, in
0.
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GEOMETRIA COMPLESSA
Nella carta Up la proprietà iii) è verificata perché q ha come unica
controimmagine p con molteplicità hp e tutti gli altri punti di f (Up )
hanno hp controimmagini di molteplicità 1.
i) {Up }p∈X è un ricoprimento aperto di X da cui si può
F estrarre un
sottoricoprimento finito (X è compatta). Sia X = i=1,...,N Upi .
In ciascun Upi c’è al più un punto di ramificazione, quindi la
cardinalità di Rf è ]Rf ≤ N.
ii) Sia q ∈ Y. In
Pogni Upi q ha al più hpi controimmagini, quindi
]f −1 (q) ≤ i=1,...,N hpi .
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GEOMETRIA COMPLESSA
iii) Sia q ∈ Y e f −1 (q) = {p1 , . . . , pn }. Consideriamo Up1 , . . . , Upn .
Si può supporre che sia Upi ∩ UpT
∀i, j (X è T2 ).
j = ∅,
Essendo f aperta, si ha che V = i=1,...,n f (Upi ) è un aperto e
q ∈ V.
Consideriamo Up0 i = Upi ∩ f −1 (V). Mostriamo che, pur di restringere
`
V, si può supporre che sia f −1 (V) = Up0 i .
Infatti anzitutto ovviamente vale
l’inclusione ⊇ . Per assurdo, non valga ⊆ .
In tal caso si costruirebbe
` una successione
di punti xj ∈ (f −1 (V) \ Up0 i ) tale che
f (xj ) → q. X è compatto ⇒ da {xj } si può
estrarre una sottosuccessione {xjk }
convergente a x∗ ∈ X.
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GEOMETRIA COMPLESSA
Per la continuità di f si ha f (x∗) = q e quindi x∗ ∈ {p1 , . . . , pn }. Sia,
ad esempio, x∗ = ph . Allora definitivamente xjk ∈ Up0 h , ma ciò è
`
assurdo perché xjk non appartiene a Up0 i e quindi neanche a Up0 h .
`
In conclusione f −1 (V) = Up0 i .
Per quanto visto nelle premesse, iii) vale in ciascun Up0 i ⇒ vale in
P
P
f −1 (V), cioè ∀q ∈ V si ha p∈f −1 (q) multp f = i=1,...,n hpi =
costante inP
V. Allora l’applicazione deg : Y → Z definita da
deg(q) = p∈f −1 (q) multp f è localmente costante e quindi costante (Y
è connessa). OSSERVAZIONE - Per q generico la fibra su q non contiene punti di
ramificazione, quindi il grado di f rappresenta il numero di
controimmagini del punto generico di Y.
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GEOMETRIA COMPLESSA
Funzioni meromorfe
Sia X una superficie di Riemannn e U ⊂ X, un aperto connesso. Una
funzione meromorfa f in U è una funzione olomorfa in U \ J, ove J è
un opportuno sottoinsieme discreto di U e tale che, localmente in U, f
si possa ottenere come quoziente di funzioniSolomorfe.
In altri termini f ∈ O(U \ J) e inoltre U = Uα con f|Uα = hgαα ,
g
gα , hα ∈ O(Uα ) e hgαα = hββ in Uα ∩ Uβ .
Se f è meromorfa in U scriveremo f ∈ M(U).
Sia p ∈ U e φ una carta tale che ϕ(p) = 0.
L’espressione locale di f in tale carta è
f ◦ϕ−1 (z) =
g ◦ ϕ−1 (z)
zn (a0 + a1 z + . . . )
= m
= zn−m (c0 +c1 z+. . . ),
−1
z (b0 + b1 z + . . . )
h ◦ ϕ (z)
ove si è supposto a0 , b0 6= 0 e quindi c0 6= 0 e la funzione
c0 + c1 z + . . . è olomorfa in un opportuno intorno di 0.
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GEOMETRIA COMPLESSA
Poniamo νp (f ) = n − m.
se νp (f ) > 0, si dice che la funzione f ha uno zero di ordine
νp (f ) in p;
νp (f ) = 0, la funzione f è olomorfa e non nulla in p;
se νp (f ) < 0, si dice che la funzione f ha un polo di ordine
−νp (f ) in p; .
Sia f ∈ M(X). Ad f si può associare un’applicazione ef : X → P1
definendola essenzialmente così:
ef (p) = f (p), se p non è un polo di f , e
ef (p) = ∞, se p è un polo di f .
Più precisamente si ha:
TEOREMA - C’è una corrispondenza biunivoca tra M(X) e
l’insieme delle applicazioni olomorfe ef : X → P1 diverse
dall’applicazione costante di valore ∞.
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GEOMETRIA COMPLESSA
S
dimostrazione - Sia f ∈ M(X), X = Uα con f|Uα = ghαα ,
gα , hα ∈ O(Uα ) (e hα non identicamente nulla in Uα .)
Si definisca ef : X → P1 come segue: se p ∈ Uα , si pone
ef (p) = (hα (p) : gα (p)).
g
La definizione è ben posta perché, in Uα ∩ Uβ si ha ghαα = hββ .
ef è olomorfa perché, componendo con le carte locali ϕ0 e ϕ1
dell’atlante di P1 , si ottiene ghαα oppure hgαα , e queste, ove definite, sono
olomorfe.
ef non è la funzione costante di valore ∞ perché hα non è
identicamente nulla in Uα .
Viceversa sia ϑ : X → P1 un’applicazione olomorfa e diversa dalla
costante ∞. Sia (Uα , ϕα ) una carta dell’atlante di X.
∗
∗
Per z ∈ ϕα (Uα ), si avrà ϑ ◦ ϕα −1 (z) = (h∗α (z) : g∗α (z)), con hg∗α o gh∗α
α
α
olomorfa (a seconda della carta affine). Si noti che in generale non è
detto che g∗α e h∗α siano funzioni olomorfe. Tuttavia, se, ad esempio, è
∗
∗
olomorfa ϕ ◦ ϑ ◦ ϕα −1 = ghα∗ , posto kα (z) = ghα∗ , a ϑ si può associare la
α
α
funzione meromorfa su X che, localmente in ϕα Uα ), è data da
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GEOMETRIA COMPLESSA
kα
1 .
Funzioni meromorfe su superfici di Riemann compatte
COROLLARIO - Sia X una superficie
P di Riemann compatta ed
f ∈ M(X), f non costante. Allora p∈X νp (f ) = 0.
Si dice brevemente che f ha tanti zeri quanti poli.
dimostrazione - f induce ef : X → P1 olomorfa e non costante. Sia d il
grado di ef . Si ha in particolare
X
X
d=
multpef =
multp f .
p∈e
f −1 (0)
p∈e
f −1 (∞)
Se p ∈ ef −1 (0), si ha multpef = νp (f ), mentre se p ∈ ef −1 (∞), si ha
multpef = −νp (f ), quindi, dal momento che νp (f ) è non nullo solo per
p ∈ ef −1 (0) ∪ ef −1 (∞),
X
X
X
νp (f ) =
νp (f ) +
νp (f ) =
p∈X
p∈e
f −1 (0)
X
p∈e
f −1 (0)
p∈e
f −1 (∞)
X
multpef −
multpef = 0.
p∈e
f −1 (∞)
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GEOMETRIA COMPLESSA
LEMMA - Sia X una superficie di Riemann compatta e siano
f , g ∈ M(X) funzioni non costanti. Se ∀p ∈ X si ha νp (f ) = νp (g),
allora ∃λ ∈ C∗ tale che sia f = λg.
Si dice brevemente che una funzione memomorfa è determinata, a
meno di costanti, dai suoi zeri e poli.
dimostrazione - La funzione f /g non ha (zeri e nemmeno) poli, quindi
f /g ∈ O(X). Essendo X compatta si deduce f /g ∈ C, cioè f /g = λ,
con λ 6= 0, altrimenti f sarebbe identicamente nulla.
TEOREMA - Si ha M(P1 ) = C(z), campo delle funzioni razionali in
z.
dimostrazione - Si ha M(P1 ) ⊇ C(z), infatti se
m
1 z+···+am z
φ(z) = ab00+a
+b1 z+···+bn zn ∈ C(z), φ è quoziente di funzioni olomorfe e
pertanto definisce una funzione meromorfa su P1 .
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GEOMETRIA COMPLESSA
Viceversa M(P1 ) ⊆ C(z), infatti, sia f ∈ M(P1 ), e siano α1 , . . . , αr
i suoi zeri di ordini n1 , . . . Q
, nr e β1 , . . . , βs i suoi poli di ordini
(z−αi )ni
m1 , . . . , ms . Posto g(z) = Q (z−β
mj ∈ C(z), f e g hanno gli stessi zeri
j)
e poli, quindi f = λg ∈ C(z). Dal teorema appena visto si deduce, in particolare, che una funzione
meromorfa non è globalmente quoziente di funzioni olomorfe: ad
esempio, in P1 , si ha O(P1 ) = C, mentre M(P1 ) = C(z).
OSSERVAZIONE - Il grado d dell’applicazione olomorfa
ef : P1 → P1 associata a f = p/q ∈ C(z), con p, q ∈ C[z] (e con p/q
ridotta ai minimi termini), è uguale al massimo tra i gradi dei
polinomi p e q.
dimostrazione - d è la cardinalità della fibra di ef sopra un punto
generico (non di diramazione). Preso un punto non di diramazione
y ∈ P1 tale che ef (∞) 6= y, si ha allora
d = ]{z|f (z) = y} = ]{z| p(z)
q(z) = y} = ]{z|p(z) − yq(z) = 0} da cui la
tesi. Cristina Turrini
GEOMETRIA COMPLESSA
TEOREMA - Siano X ed Y superfici di Riemann compatte e
f : X → Y un’applicazione olomorfa non costante.
f è un biolomorfismo se e solo se ha grado 1.
dimostrazione - Se f è un biolomorfismo allora è biunivoca e quindi
ha grado 1.
Viceversa, un’applicazione olomorfa non costante tra superfici di
Riemann compatte è necessariamente suriettiva, ma, avendo grado 1 è
anche iniettiva e perciò biunivoca. L’espressione (locale) normale di f
è z 7→ zh con h = 1 (f ha grado 1). Pertanto f è biunivoca e
localmente biolomorfa, pertanto è un biolomorfismo. COROLLARIO - Sia X una superficie di Riemann compatta tale che
∃f ∈ M(X), con un solo polo semplice (cioè di ordine 1). Allora X è
biolomorfa a P1 .
dimostrazione - f induce ef : X → P1 . f ha un solo polo, quindi
]{ef −1 (∞)} = 1 e perciò ef ha grado 1 ed è un biolomorfismo.
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GEOMETRIA COMPLESSA
COROLLARIO - Il gruppo Aut(P1 ) dei biolomorfismi (ovvero
automorfismi) di P1 è isomorfo al gruppo proiettivo lineare
PGL(2, C) = GL(2, C)/C∗ .
dimostrazione - Sia ef ∈ Aut(P1 ). ef ha grado 1 quindi corrisponde ad
una f ∈ M(P1 ) = C(z) della forma f = p/q con p e q polinomi di
grado ≤ 1. Quindi f (z) = az+b
cz+d , con ad − bc 6= 0, per l’invertibilità.
Quindi
lineare C2 → C2 definita da
f èindotto dall’applicazione
1
d c
1
z 7→ b a
z .
d c
d c
Inoltre b a e λ b a , con λ 6= 0, inducono la stessa f e
perciò ef individua un elemento di PGL(2, C).
Viceversa ovviamente f (z) = az+b
cz+d , con ad − bc 6= 0, definisce
un’applicazione biolomorfa su P1 .
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GEOMETRIA COMPLESSA
Topologia delle superfici di Riemann compatte
Sia X una superficie di Riemann compatta. Abbiamo già visto che,
topologicamente, X è S2 o una somma connessa Tg di g tori.
Ricordo che la caratteristica di Eulero (o caratteristica topologica) χ
vale χtop (S2 ) = 2 e χtop (Tg ) = 2 − 2g.
La caratteristica topologica di una superficie compatta S può essere
calcolata a partire da una triangolazione finita di S, come
χtop (S) = n0 − n1 + n2 , ove n0 è il numero dei vertici , n1 è il numero
dei lati e n2 è il numero dei triangoli della triangolazione.
TEOREMA (formula di Riemann Hurwitz) - Siano X e Y superfici di
Riemann compatte e f : X → Y, un’applicazione olomorfa non
costante di grado d. Si ha
X
χtop (X) = dχtop (Y) −
(multp f − 1).
p∈X
dimostrazione - Costruiamo una triangolazione di Y in modo tale che i
suoi ni simplessi di dimensione i verifichino:
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GEOMETRIA COMPLESSA
ogni punto di diramazione per f è tra i vertici della
triangolazione;
ogni triangolo è contenuto in un aperto V ⊂ Y tale che f −1 (V)
sia unione disgiunta di aperti Ui in cui f si esprime in forma
normale z 7→ zhi .
Questa triangolazione si solleva (tramite f ) ad una triangolazione di X.
Ad ogni 2− simplesso in Y corrispondono hi 2− simplessi in X. Lo
stesso accade per gli 1− simplessi e per tutti gli 0− simplessi che non
sono punti di diramazione di f .
Invece i punti di diramazione hanno
una sola controimmagine tramite
l’espressione locale di f . Pertanto la
triangolazione diP
X ha dn2 triangoli,
dn1 lati e dn0 − (hi − 1) vertici.
Si ha cioè
P
χ(X) = dχ(Y) − (hi − 1). Cristina Turrini
GEOMETRIA COMPLESSA
Se tutti i punti di ramificazione
sono di molteplicità minima, cioè con
P
multp f = 2, si ha p∈X (multp f − 1) = ](Rf ).
P
D’ora in poi chiameremo rf = p∈X (multp f − 1) ordine totale di
ramificazione.
Se è rf = 0, diremo che f è non ramificato o anche che f è un
rivestimento topologico.
COROLLARIO - Nelle ipotesi del teorema di Riemann Hurwitz, e
detto g(X) (rispett. g(Y) il genere topologico della superficie X
(rispett. Y), si ha
i) rf è pari;
ii) g(X) ≥ g(Y);
iii) se g(Y) ≥ 1 si ha g(X) = g(Y) se e solo se o g(X) = g(Y) = 1 e
rf = 0, oppure d = 1 e ovviamente rf = 0.
(La ii) dice che un’applicazione olomorfa tra superfici di Riemann
compatte X ed Y con g(X) < g(Y) è necessariamente costante)
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GEOMETRIA COMPLESSA
dimostrazione i) ovvio
ii) se g(Y) = 0 non vi è nulla da dimostrare. Supponiamo g(Y) ≥ 1
e poniamo r = rf . Si ha 2g(x) − 2 = d(2g(Y) − 2) + r, da cui
g(X) = dg(Y) + 1 − d + r/2. Pertanto g(X) ≥ g(Y) ⇔
dg(Y) + 1 − d + r/2 ≥ g(Y) ⇔ (d − 1)(g(Y) − 1) + r/2 ≥ 0 e
l’ultima relazione è sempre verificata.
iii) se g(Y) ≥ 1, allora nelle relazioni di prima vale = se e solo se
(d − 1)(g(Y) − 1) + r/2 = 0 e questo implica che sia o
g(Y) = g(X) = 1, r = 0 oppure d = 1, r = 0.
COROLLARIO (teorema di Weber) - Sia X una superficie di Riemann
compatta di genere topologico g(X) ≥ 2, e f : X → X un’applicazione
olomorfa non costante. Allora f è un biolomorfismo (cioè
f ∈ Aut(X)).
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GEOMETRIA COMPLESSA
dimostrazione - Per quanto visto sopra al punto iii) si ha
necessariamente d = 1.
Allora f è olomorfa e di grado 1 e quindi un biolomorfismo. Abbiamo visto che il gruppo degli automorfismi di P1 è infinito. Più
avanti vedremo che anche nel caso dei tori complessi il gruppo degli
automorfismi risulta infinito. Questi due fatti, uniti al teorema di
Weber, non devono indurre a pensare che sia così in generale: se X è
una superficie compatta di genere g(X) ≥ 2, allora il gruppo Aut(X) è
finito.
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GEOMETRIA COMPLESSA
Sia C = V(F) ∈ P2 una curva algebrica piana non singolare, con
F(z0 , z1 , z2 ) polinomio omogeneo di grado d. Supponiamo che il
sistema di riferimento sia stato scelto in modo che (0 : 0 : 1) non
appartenga a C e che la retta z0 = 0 non sia tangente a C. Passando in
coordinate affini z = z1 /z0 e w = z0 /z1 , le ipotesi fatte dicono che C
non passa per W∞ e che la retta impropria non è tangente a C.
Consideriamo la proiezione di C da W∞ sull’asse z, π : C → P1 ,
definita da π(z0 : z1 : z2 ) = (z0 : z1 ), ovvero per i punti al finito
π(z, w) = z, mentre tutti i punti impropri vengono mandati in ∞. π è
un’applicazione olomorfa non costante di grado d, infatti la fibra
generica contiene d punti nessuno dei quali è improprio, perché W∞
non appartiene a C.
Abbiamo visto che al finito la ramificazione di π si ha in
corrispondenza dei punti con tangente parallela all’asse w. Tali rette
possono essere tangenti solo al finito perché W∞ non appartiene a C.
Inoltre ∞ non è di diramazione perché la retta impropria non è
tangente a C.
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GEOMETRIA COMPLESSA
Ne segue che Rπ è tutto al finito.
Abbiamo visto che p ∈ Rπ se e solo se, indicata con f la
(z,w)
deomogenizzazione di F, ∂f ∂w
)(p) = 0.
Quindi rπ = d(d − 1).
La formula di Riemann Hurwitz in questo caso diviene
2 − 2g(C) = 2d − d(d − 1), da cui si ricava la formula di Clebsch
g=
(d − 1)(d − 2)
.
2
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GEOMETRIA COMPLESSA
Applicazioni olomorfe tra tori complessi
Abbiamo visto che un toro complesso è un quoziente C/Λ con Λ ⊂ C
reticolo e che la struttura complessa su C/Λ è data dalle carte
ϕ = π −1 inverse locali della proiezione naturale π : C → C/Λ.
Siano ora X = C/Λ, e Y = C/Λ0 , due tori complessi.
OSSERVAZIONE - Se f : X → Y è olomorfa e non costante, allora f
è un rivestimento non ramificato, infatti
g(X) = g(Y) = 1
⇒
rf = 0.
Sia dunque f olomorfa e non
costante. La composizione f ◦ π
è un rivestimento topologico (f e
π lo sono). Lo stesso vale per π 0 .
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GEOMETRIA COMPLESSA
Sia f ◦ π : C → Y che π 0 : C → Y sono
rivestimenti universali di Y. Per la
proprietà dei rivestimeni universali
f ◦ π : C → Y e π 0 : C → Y sono
isomorfi come rivestimenti, cioè esiste
F : C → C che fa commutare il
diagramma.
Inoltre F è olomorfa (anzi biolomorfa)
perché lo è f infatti il fatto che f sia
olomorfa vuol dire che lo è ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ,
ove ψ e ϕ sono inverse locali di π 0 e π
rispettivamente. E, a meno di traslazioni,
si ha F = ψ ◦ f ◦ ϕ−1 (segue da
π 0 ◦ F = f ◦ π).
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GEOMETRIA COMPLESSA
Il fatto che F passi ai quozienti dice che, se Λ =< w1 , w2 > e
Λ0 =< w01 , w02 >, si ha
(?)
F(z + w1 ) = F(z) + ξ 0 ,
F(z + w2 ) = F(z) + σ 0
con ξ 0 , σ 0 ∈ Λ0 .
Si noti che ξ 0 = F(z + w1 ) − F(z) (e analogamente σ 0 ) non dipende
da z poiché la funzione F(∗ + w1 ) − F(∗) è continua, C è connesso e
Λ0 è discreto.
Derivando si ottiene
F 0 (z + w1 ) = F 0 (z) F 0 (z + w2 ) = F 0 (z).
Pertanto F 0 : C → C passa al quoziente
modulo Λ e definisce un’applicazione
olomorfa Fe0 : C/Λ → C. Ma C/Λ è
compatto, quindi Fe0 è costante e pertanto
anche F 0 lo è. Sia F 0 = a. Si ha
F(z) = az + b.
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GEOMETRIA COMPLESSA
Sostituendo z = 0 nelle (?) si ottiene
F(w1 ) = F(0) + ξ 0 , F(w2 ) = F(0) + σ 0 .
Ricordando che F(z) = az + b, si ricava aw1 = ξ 0 ,
Pertanto aw1 , aw2 ∈ Λ0 , e quindi aΛ ⊂ Λ0 .
aw2 = σ 0 .
Riassumendo, si ha
TEOREMA - Ogni applicazione olomorfa f : C/Λ → C/Λ0 tra tori
complessi è indotta da un’applicazione F : C → C del tipo
z 7→ az + b, con a tale che aΛ ⊂ Λ0 , con a, b ∈ C.
OSSERVAZIONE - L’applicazione F non è unica (è definita a meno
di elementi del reticolo Λ0 ).
OSSERVAZIONE - In particolare, se Λ e Λ0 sono reticoli tali che non
esiste a ∈ C∗ con aΛ ⊂ Λ0 , allora non esiste alcuna applicazione
olomorfa non costante f : C/Λ → C/Λ0 . Pertanto esistono infiniti tori
complessi non biolomorfi tra loro, cioè esistono infinite strutture
complesse non equivalenti sul toro.
OSSERVAZIONE - Nel caso dei biolomorfismi la condizione sui
reticoli diviene aΛ = Λ0 . Infatti l’esisteza di un w0 ∈ Λ0 tale che
z = w0 /a ∈
/ Λ contraddirrebbe l’iniettività di f .
Cristina Turrini
GEOMETRIA COMPLESSA
w0
Ricordiamo che abbiamo supposto τ = ww21 , τ 0 = w20 ∈ H.
1
Consideriamo F(z) = az + b, e poniamo
aw1 = ξ 0 = a11 w01 + a12 w02 , aw2 = σ 0 = a21 w01 + a22 w02 , con
a11 , a12 , a21 , a22 ∈ Z. Si ha
a21 w01 + a22 w02
w2
a21 + a22 τ 0
=
=
.
w1
a11 w01 + a12 w02
a11 + a12 τ 0
a
a
La condizione τ, τ 0 ∈ H si traduce in det a11 a12 > 0.
τ=
21
Cristina Turrini
22
GEOMETRIA COMPLESSA
a11 a12
a21 a22 è il grado
dell’applicazione f : C/Λ → C/Λ0 . Per dare un’idea di come si possa
dimostrare tale assezione, consideriamo il caso b = 0, ovvero
supponiamo che sia F(z) = az (negli altri casi il ragionamento è
analogo). Il grado di f è il numero di controimmagini [z]Λ ∈ C/Λ di
[0]Λ0 ∈ C/Λ0 , cioè il numero di [z]Λ ∈ C/Λ tali che az ∈ Λ0 . Questo
numero è δ (δ rappresenta l’area (con segno) del parallelogramma di
lati aw1 e aw2 rispetto a quella del parallelogramma di lati w01 e w02 ).
OSSERVAZIONE - δ = det
In
il caso
figura è rappresentato
a11 a12
2 −1
=
,
a
a
1 1
21
22
quindi δ = 3.
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GEOMETRIA COMPLESSA
In particolare,
f è unbiolomorfismo se e solo se δ = 1, ovvero se e
a11 a12
∈ SL(2, Z).
solo se a
21 a22
TEOREMA
w2
1 C/ < w , w > e C/ < 1, τ >, con τ =
1
2
w1 ∈ H, sono
biolomorfi.
2 C/ < 1, τ > e C/ < 1, τ >, con τ , τ ∈ H, sono biolomorfi se
1
2
1 2
e solo se τ1 e τ2 sono equivalenti sotto l’azione
SL(2, Z) × H → H,
Cristina Turrini
a21 + a22 τ
a
a
( a11 a12 , τ ) 7→
21
22
a11 + a12 τ
GEOMETRIA COMPLESSA
Una regione fondamentale per
l’azione di SL(2, Z) su H è
rappresentata in figura
(triangolo modulare).
In particolare, nel caso Λ = Λ0 , si possono considerare gli
automorfismi di un toro complesso.
Tra questi sicuramente vi sono quelli indotti da traslazioni
F(z) = z + b, in quanto la condizione aΛ = Λ0 è ovviamente
verificata (e pertanto il gruppo degli automorfismi di un toro
complesso è sempre un gruppo infinito). Le applicazioni
f ([z]) = [z + b] vengono ancora dette traslazioni.
Per cercare automorfismi di tipo diverso da queste, pur di comporre
con una traslazione, ci si può limitare a supporre che sia f (0) = 0. La
condizione aΛ = Λ impone forti condizioni su Λ e su a, infatti si
dimostra che, salvo particolari simmetrie nel reticolo (casi armonico e
equianarmonico), l’unica possibilità è che sia a = ±1.
Cristina Turrini
GEOMETRIA COMPLESSA