Esercitazione III - Cinematica in due dimensioni

Esercitazione III - Cinematica in due dimensioni
Formule
Nel sistema di coordinate XY riportato in figura, consideriamo un corpo lanciato in aria dalla posizione inziale P0 = (x0 , y0 ) e con la velocità iniziale
~v0 = (v0x , v0y ). Al tempo t il corpo si troverà nel punto P (t) = (x(t), y(t))
dove
x(t)
= x0 + v0x t ,
y(t)
1
= y0 + v0y t − gt2 .
2
La velocità al tempo t sarà ~v (t) = (vx (t), vy (t)) dove
vx (t) =
v0x ,
vy (t) =
v0y − gt .
Esercizio 1
Una pallina viene lanciata dall’altezza h = 20m con un angolo ϑ = 20◦ e
una velocità iniziale il cui modulo è v0 = 5m/s. Si calcolino
• il tempo τ impiegato dalla pallina per arrivare all’altezza massima.
• il tempo tv impiegato dalla pallina per arrivare al suolo.
• la distanza d a cui la pallina tocca il suolo.
• la velocità ~v con cui la pallina arriva al suolo e il modulo di tale velocità.
1
Soluzione
Scegliamo un sistema di riferimento come in figura, di modo che x0 = 0 e
y0 = h. Inoltre v0x = v0 cos ϑ e v0y = v0 sin ϑ.
Quando la pallina arriva nel punto più alto della sua traiettoria (il vertice
della parabola) la componente y della velocità è nulla, vy (τ ) = 0. Perciò il
tempo τ è determinato dall’equazione
0 = v0 sin ϑ − gτ ,
da cui
v0 sin ϑ
= 0, 17s .
g
τ=
Il punto in cui la pallina tocca il suolo è P (tv ) = (x(tv ), y(tv )) = (d, 0), cioè
d =
v0 cos ϑtv ,
0
1
h + v0 sin ϑtv − gt2v .
2
=
Studiamo prima la seconda equazione. Essa è una equazione del secondo
grado in tv che ammette due soluzioni,
t+
t−
=
=
v0 sin ϑ −
v0 sin ϑ +
p
(v0 sin ϑ)2 + 2gh
= −1, 85s ,
g
p
(v0 sin ϑ)2 + 2gh
= 2, 20s .
g
Il tempo cercato è ovviamente tv = t− = 2, 20s.
Sostituendo il valore trovato di tv nella prima equazione si ottiene
d = 10, 3m .
Le componenti del vettore velocità al tempo tv sono
vx (tv ) =
v0 cos ϑ = 4, 7m/s ,
vy (tv ) =
v0 sin ϑ − gtv = −19, 8m/s ,
da cui
q
v(tv ) =
(vx (tv ))2 + (vy (tv ))2 = 20, 3m/s .
Esercizio 2
Determinare con quale angolo ϑ deve essere sparata una palla di cannone se
il bersaglio che deve colpire si trova alla distanza d = 200m e la velocità iniziale
del proiettile ha modulo v0 = 50m/s.
2
Soluzione
Scegliamo un sistema di coordinate centrato sul cannone. Allora x0 = 0 e
y0 = 0 mentre v0x = v0 cos ϑ e v0y = v0 sin ϑ.
Detto tv il tempo impiegato dalla palla per arrivare al suolo, il punto in cui
la palla tocca il suolo è P (tv ) = (d, 0). Si ha perciò
d =
v0 cos ϑtv ,
0 =
1
v0 sin ϑtv − gt2v .
2
Dalla seconda equazione si ottiene che il tempo di volo tv è legato all’inclinazione del cannone ϑ dalla relazione
tv =
2v0 sin ϑ
.
g
Sostituendo questa espressione di tv nella prima equazione e usando che
2 sin ϑ cos ϑ = sin 2ϑ si ha
d=
(v0 )2 sin 2ϑ
,
g
che è la formula della gittata. Si ha perciò che
·
¸
1
dg
ϑ = arcsin
.
2
(v0 )2
Si osservi che
dg
= 0, 784 .
(v0 )2
Si ha perciò che ϑ è la metà di quell’angolo il cui seno è 0, 784. Ma di angoli
il cui seno è 0, 784 ce ne sono due: 51,6◦ e 128,4◦ . Perciò il proiettile colpirà il
bersaglio sia se il cannone verrà inclinato di ϑ1 = 25, 8◦ sia se verrà inclinato di
ϑ2 = 64, 2◦ . In generale fissato il modulo della velocità iniziale e la distanza del
bersaglio da colpire si hanno sempre due possibili inclinazioni del cannone.
3
Esercizio 3
Un giocatore di freccette è posto a una distanza d = 2.37m dal bersaglio che
vuole colpire e lancia verso il centro del bersaglio, da una quota iniziale pari a
quella del centro del bersaglio, una freccetta alla velocità v0 = 12m/s. Sapendo
che il diametro del bersaglio è h = 0.453m, dire se il giocatore colpirà o meno il
bersaglio.
Soluzione
Introduciamo un sistema di riferimento centrato nel punto in cui la freccetta
viene lanciata, x0 = y0 = 0. Poiché la freccetta viene lanciata verso il centro del
bersaglio a partire dalla stessa quota del centro, la velocità iniziale ~v0 ha solo
componente lungo l’asse x,
v0x = v0 ,
v0y = 0 .
Le equazioni del moto si riducono a
½
x(t) = v0 t
y(t) = − 12 gt2
.
Per valutare se la freccetta colpirà o no il bersaglio dobbiamo valutare la
quota ỹ a cui essa si trova dopo aver percorso la distanza d rispetto l’asse x. Se
|ỹ| ≤ h/2, cioè se la freccetta ha percorso lungo l’asse delle y una distanza che
è minore o uguale al raggio del bersaglio, allora la freccetta colpirà il bersaglio.
Il tempo t̃ impiegato dalla freccietta per percorrere la distanza d nella direzione x è dato da
t̃ =
d
= 0.2s .
v0
Al tempo t̃ la quota ỹ a cui si trova la freccetta è
1
gd2
h
ỹ = − g t̃2 = − 2 = −0.19m ⇒ |ỹ| = 0.19m < = 0.23m .
2
2v0
2
Perciò la freccetta colpirà il bersaglio.
4