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review: i
limiti
I limiti rappresentano, forse, l'argomento più ostico per gli studenti delle scuole superiori. Questo
perché il linguaggio utilizzato è estremamente tecnico, e per certi aspetti, lascia poco spazio
all'intuito. Per contro, resta uno dei concetti più importanti, che quindi dovrebbe essere ben
compreso, al di là dei tecnicismi, che potrebbero rientrare in una formalizzazione più rigorosa da
insegnare in seguito solo a coloro che decideranno di proseguire gli studi nelle discipline tecnicoscientifiche (matematica, fisica, ingegneria, ...).
La definizione usuale, che in realtà si scinde in più definizioni, a seconda che si parli di ±∞ o di
numeri reali limitati, è francamente poco comprensibile alla stragrande maggiorana dei nostri
studenti.
I limiti risultano più interessanti se, contestualmente, se ne visualizza il significato grafico.
Si può utilizzare un linguaggio più semplice? I matematici se ne sono interessati a lungo,
introducendo l'analisi non standard, i numeri iperreali, i numeri surreali, la retta reale estesa, e tanto
altro. Qui non vogliamo discutere di tali metodi, ma proporre la lettura di un paio di brevi citazioni
da un testo di un autore che ha tentato di costruire un percorso in tal senso: "Calculus without
limit"1, di John C. Sparks (AuthorHouse, Indiana); il prezzo appare abbordabile ai curiosi (16$, al
cambio attuale2 circa 12€, più spese di spedizione), e si può acquistare qui:
http://www.authorhouse.com/Bookstore/BookDetail.aspx?BookId=SKU-000346590
Riporterò alcune brevi citazioni, che ho trovato interessanti, con le relative traduzioni.
A p.37-38 si legge:
"What is a limit? Simply put, a limit is a numerical target that has been acquired and locked.
Consider the expression x → 7 where x is an independent variable. The arrow ( → ) points
to a target on the right, in this case the number 7 ...
This means x is moving, is moving towards target...
Notice that x is a true variable: in that it has been launched and set in motion towards a target, a
target that cannot escape from its sights. Now, our independent variable usually finds itself
embedded inside an algebraic (or transcendental) expression of some sort, which is being used as a
processing rule for a function.
Consider the expression 2 x3 where the independent variable x is about to be sent on the
mission x → −5 . Does the entire expression 2 x3 in turn target a numerical value as
x → −5 ? ...
Mathematical judgment says yes; the output stream targets −7 "
Traduzione:
"Che cosa è un limite? In poche parole, un limite è un bersaglio numerico che è stato acquisito e
bloccato. Si consideri l'espressione x → 7 dove x è una variabile indipendente. La freccia (
→ ) punta a un bersaglio sulla destra, in questo caso il numero 7 ...
Questo significa che x è in movimento, si muove verso il bersaglio...
Si noti che x è una vera variabile: nel senso che è stata lanciata e messa in moto verso un
bersaglio, un bersaglio che non può sfuggire dal suo sguardo. Ora, la nostra variabile indipendente
si trova di solito inserita all'interno di un'espressione algebrica (o trascendentale) di qualche tipo,
che viene utilizzata come regola di elaborazione per una funzione.
Si consideri l'espressione 2 x3 , dove la variabile indipendente x sta per essere inviata nella
missione x →−5 . Punta l'intera espressione 2 x3 a sua volta a un valore numerico per
x →−5 ? ...
Il giudizio matematico dice di sì; il flusso di output designa come bersaglio −7 ".
1 http://edoutreach.wpafb.af.mil/ed_outreach/pages/ed-resources/calculus_wo_limits.pdf
2 al cambio di oggi, 10/12/2010.
A p.67 leggiamo:
"...I, as a young man, took a lot of pride in mastering mathematical rigor. The whole body of
calculus was built up via the route of definition, lemma, theorem, proof, example, and application
— if one was lucky enough to see an application. Definitions were as impenetrable to the
mathematically uninitiated as Egyptian Hieroglyphics would have been to me.
An example of one such definition for a function f having a limit L at x=a is
lim x  a f  x = L⇒ ∀ 0, ∃=    s.t. f  x  ∈ N '  L ,   ∀ x ∈N '  a , 
Using modern jargon, you might call the above a “Please don’t go there!” limit definition. "
Traduzione:
"...io, da giovane, fui molto orgoglioso nel padroneggiare il rigore matematico. L'intero impianto
del calcolo era costruito tramite definizione, lemma, teorema, dimostrazione, esempio, ed
applicazione — se uno era tanto fortunato da vedere un'applicazione. Le definizioni erano così
impenetrabili ai non matematicamente iniziati come gli Geroglifici Egiziani lo sarebbero stati per
me.
Un esempio di una tale definizione per una funzione f che ha un limite L in x=a è
lim x  a f  x = L⇒ ∀ 0, ∃=    s.t. f  x  ∈ N '  L ,   ∀ x ∈N '  a , 
Utilizzando il gergo moderno, potreste chiamare quella sopra sopra una definizione di limite "Per
favore non andarci!"."