Antitrasformate di Laplace - Automazione@ingre

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CONTROLLI AUTOMATICI
Ingegneria Gestionale
http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/ControlliAutomaticiGestionale.htm
ANTITRASFORMATA DI LAPLACE
MODI DI UN SISTEMA
Ing. Federica Grossi
Tel. 059 2056333
e-mail: [email protected]
http://www.dii.unimore.it/wiki/index.php/Federica_Grossi
Antitrasformate di Laplace
•
La determinazione dell'evoluzione libera e, in molti casi, dell'evoluzione forzata di
un sistema lineare stazionario si riportano all'antitrasformazione di un rapporto di
polinomi in s, cioè di una funzione del tipo
in cui si è posto, senza ledere la generalità,
polinomio a denominatore monico
an = 1
•
Si definisce
Controlli Automatici
n-m
n>m
grado relativo della funzione razionale F(s)
n–m>0
Introduzione -- 2
Se:
•
•
grado relativo >= 1
Frazione strettamente propria: si può scomporre il rapporto di P(s) e Q(s) in una
somma di termini facilmente antitrasformabili, detta somma di fratti semplici.
Esempio:
grado relativo = 0
Dividendo i polinomi si ottiene la somma di una costante e di una frazione
strettamente propria, che si possono antitrasformare indipendentemente
(l'antitrasformata della costante è la stessa moltiplicata per un impulso di Dirac).
Esempio:
Introduzione -- 3
Antitrasformata di Laplace
• E’ noto che un polinomio di grado n a coefficienti reali ammette n zeri reali o
complessi, cioè l'equazione algebrica ottenuta imponendo l'annullarsi di un
polinomio
ammette n radici reali o complesse. Se fra tali radici ve n‘è una complessa, vi è
pure la sua coniugata.
•
Data una
l’equazione
si dice equazione caratteristica relativa alla funzione di trasferimento F(s).
Introduzione -- 4
•
Siano p1, … , pn le sue radici, per cui il polinomio
forma fattorizzata
(s) si può scrivere nella
In particolare, se z1, … ,zm e p1, …,pn sono rispettivamente gli zeri di P(s) e
Q(s) (polinomio a numeratore e a denominatore di F(s)) si ha la forma
fattorizzata
in cui con K (=bm) si è indicato un opportuno coefficiente reale.
Si definiscono le costanti complesse:
z1, …, zm
p1, …, pn
•
zeri di F(s)
poli di F(s)
Una funzione razionale è completamente determinata, a meno di un fattore
costante K, una volta assegnati i suoi zeri e i suoi poli.
Introduzione -- 5
•
Esempio
•
Esempio
Introduzione -- 6
•
•
Antitrasformazione in caso di poli semplici
• Molteplicità = 1
Antitrasformazione in caso di poli multipli
• Molteplicità > 1
Introduzione -- 7
Antitrasformate di Laplace – Poli semplici
•
Lo sviluppo della F(s) in somma di fratti semplici corrisponde all'espressione
Reali
in corrispondenza di poli reali
Ki :
residui relativi ai vari poli pi
Complessi coniugati
in corrispondenza di poli complessi
coniugati
•
I residui si possono ricavare facilmente da
Introduzione -- 8
• Infine, si ottiene l'antitrasformata della F(s) per la proprietà di linearità e
utilizzando la
•
Complessivamente, si ha:
Introduzione -- 9
ESEMPIO
•
Sia
I residui sono:
f(t)
0.7
e infine, antitrasformando i singoli termini,
si ottiene
0.6
0.5
f(t)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0
2
4
Tempo
6
(sec)
8
10
Introduzione -- 10
•
Quando si hanno coppie di poli complessi coniugati, nella antitrasformata f(t) sono presenti
esponenziali complesse moltiplicate per coefficienti complessi: essi si possono però
facilmente ricondurre a prodotti di esponenziali reali per funzioni trigonometriche applicando
le formule di Eulero.
j
ej
e -j
Si abbiano infatti i poli complessi coniugati
a cui corrispondono i residui
La somma di fratti semplici ad essi relativa è
Introduzione -- 11
•
Posto
mettendo in forma polare i residui (u1+j v1
= M ej ) si può scrivere
da cui, antitrasformando, si ottiene
funzione che, infine, si può porre nella forma
Introduzione -- 12
•
Sia
Scomponendo in fratti semplici e calcolando i residui si deduce
e pertanto
da cui, antitrasformando,
Introduzione -- 13
f(t)
7
6
5
4
f(t)
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
2
4
Tempo
6
(sec)
8
10
Introduzione -- 14
•
Dovendo antitrasformare l'espressione generale
si può ricorrere all'impiego di tabelle, che riportano le antitrasformate di alcuni fratti
elementari.
Per usare tali tabelle, anzitutto si pone lo sviluppo in fratti semplici nella forma
•
in cui:
• il primo termine si riferisce ad un eventuale polo nell'origine,
• la prima sommatoria ai cosiddetti termini del primo ordine, relativi agli h poli reali non
nulli
• la seconda sommatoria ai cosiddetti termini del secondo ordine, relativi alle k coppie di
poli complessi coniugati.
Introduzione -- 15
• Per ottenere i termini del primo ordine dai corrispondenti termini della F(s) basta
eseguire opportune posizioni.
Infatti in questo caso i poli pi sono reali e quindi:
dove il parametro
costante di tempo
i
caratterizza la risposta al gradino unitario del sistema elementare del primo ordine.
j
Per t = l’uscita
raggiunge il 63.2%
del valore di regime
x
i
= -1/
Piano s
i
Introduzione -- 16
Risposta al gradino unitario di un sistema elementare del primo ordine.
•
Se per esempio:
•
Antitrasformando i due termini si ha:
•
A parte un guadagno, la risposta è del tipo
•
La risposta è dunque caratterizzata dal valore di
f(t) = 1 – e-t/
(costante di tempo)
Introduzione -- 17
• Andamento di f(t) = 1 – e-t/ per diversi valori di (=5, 4, 3, 2, 1)
1-exp(-t/ )
1
0.9
=1
0.8
j
0.7
Piano s
63,2%
0.6
=5
0.5
x x x xx
0.4
= -1/
=1
0.3
=5
0.2
0.1
0
0
Al diminuire di , la “velocità”
dell’uscita aumenta
2
4
Tempo
6
8
10
(sec)
Introduzione -- 18
•
Per quanto riguarda i termini relativi ai poli complessi coniugati, si ha
che equivale ad un termine del tipo
in cui si è posto
•
I parametri
i
ni
coefficiente di smorzamento (0 <
pulsazione naturale
i
< 1)
caratterizzano la risposta al gradino unitario del sistema elementare del secondo ordine.
Introduzione -- 19
• Risposta al gradino di un termine del secondo ordine
1.5
1
0.5
0
0
2
4
Tempo
6
(sec)
8
10
Introduzione -- 20
• Avendo posto lo sviluppo in fratti nella forma
si può eseguire la antitrasformazione impiegando la seguente tabella.
Introduzione -- 21
Antitrasformate di Laplace – Poli multipli
•
Si suppone che gli n poli della funzione razionale F(s) si possano dividere in h
gruppi, ciascuno formato da ri (i = 1, … ,h) poli coincidenti.
In altre parole, si suppone che si abbiano h poli diversi pi (i = 1, … , h), ciascuno
caratterizzato da un ordine di molteplicità ri >1. Naturalmente è
•
Lo sviluppo in fratti semplici in questo caso è dato da
•
in cui le costanti Kil si ricavano mediante la formula
Introduzione -- 22
•
Facendo uso della proprietà di linearità e della relazione
si può infine ottenere l'antitrasformata come
Anche in questo caso i coefficienti Ki sono complessi coniugati in corrispondenza
di poli complessi coniugati, per cui le esponenziali complesse possono essere
sostituite con prodotti di esponenziali reali e funzioni trigonometriche, con
procedimento analogo a quello seguito nel caso di poli distinti.
Introduzione -- 23
•
Esempio: Sia
Calcolando i residui si deduce
e pertanto
da cui, antitrasformando
Introduzione -- 24
•
Si ottiene:
f(t)
0.18
0.16
0.14
0.12
f(t)
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
2
4
Tempo
6
(sec)
8
10
Introduzione -- 25
Qualche considerazione:
•
•
L'antitrasformazione delle funzioni razionali fratte si effettua con operazioni
completamente di routine: l'unica difficoltà può essere il calcolo numerico dei poli (se il
polinomio a denominatore è di grado superiore a due o a tre non si può effettuare in
modo semplice). In questi casi è inevitabile ricorrere a procedimenti iterativi per la
determinazione delle radici delle equazioni polinomiali.
Il comportamento dell'antitrasformata per t tendente all’infinito è legato alla posizione dei
poli in rapporto all'asse immaginario.
Infatti si è mostrato che l'antitrasformata di una funzione razionale è costituita da una
somma di termini dei tipi
K e t,
K e t cos( t + )
A)
K,
poli semplici
B)
K th, K th e t, K th e t cos( t + ) poli multipli
in cui 1 <= h <= (r-1), essendo r l'ordine di molteplicità dei poli considerati.
I primi termini di queste relazioni corrispondono a poli nell'origine e possono
considerarsi un caso particolare dei secondi ( = 0).
Introduzione -- 26
•
Nel calcolo di una antitrasformata si ottengono termini del tipo:
K e t,
K,
B)
K th, K th e t, K th e
Ke
t
A)
cos( t + )
t
cos( t + )
poli semplici
poli multipli
Introduzione -- 27
Antitrasformata di Laplace – Modi di un sistema
K * exp( t)
5
4.5
>0
t
Ke
4
2
3.5
Poli
0
semplici
>0
<0
f(t)
f(t)
=0
1
3
2.5
2
-1
1.5
t
Ke
=0
1
cos( t + )
-2
<0
0.5
0
0
2
4
6
K * t * exp( t)
8
-3
0
10
2.5
2
2
6
t + f)
K * t *4 exp( t) * sin(w
2.5
Ktj e
t
2
Ktj e
t
0.5
1
Poli
-0.5
multipli -1
f(t)
f(t)
1.5
< 0, j = 1
< 0, j = 2
4
Tempo
0
-1.5
< 0, j = 0
2
10
1
< 0, j = 2
0.5
8
cos( t + )
1.5
2
0
0
K * exp ( t) * sin(w t + f)
3
-2
6
(sec)
8
10
-2.5
0
2
4
Tempo
6
(sec)
8
10
Introduzione -- 28
Antitrasformata di Laplace
Risultato fondamentale:
• l'antitrasformata di una funzione razionale fratta rimane limitata se e solo se la
funzione da antitrasformare
•
•
non presenta alcun polo a parte reale positiva e
gli eventuali poli a parte reale nulla sono semplici,
diverge in caso contrario.
•
I poli che caratterizzano la trasformata della risposta di un sistema dinamico
lineare stazionario a un segnale di ingresso la cui trasformata di Laplace sia una
funzione razionale fratta (come l'impulso di Dirac, il gradino, la sinusoide) sono
quelli della funzione di trasferimento, più quelli relativi al segnale di ingresso.
Introduzione -- 29
Risposta di un sistema
•
Come si è visto, la posizione dei poli della funzione di trasferimento (i poli del
sistema) rispetto all'asse immaginario influisce sulla proprietà del sistema di
ritornare in una posizione di quiete dopo una perturbazione, cioè sulla
stabilità del sistema.
Dopo una perturbazione dello stato, il sistema può presentare tre comportamenti
diversi:
• risposta limitata: esiste una costante My tale che sia:
|y(t)| < My, per ogni t > t0
•
•
(1)
risposta divergente: non esiste alcuna costante My che verifichi la
condizione (1).
risposta convergente asintoticamente a zero: esiste una costante My che
verifichi la condizione (1) ed inoltre è
Introduzione -- 30
Stabilità di un sistema lineare stazionario
Risposta limitata
Sistema stabile
Risposta divergente
Sistema instabile
Risposta convergente
asintoticamente a zero
Sistema asintoticamente
stabile
• Per la stabilità di un sistema lineare stazionario a parametri
concentrati è necessario e sufficiente che la funzione di
trasferimento non presenti alcun polo a parte reale positiva e che gli
eventuali poli a parte reale nulla siano semplici
• Per la stabilità asintotica è necessario e sufficiente che tutti i poli
abbiano parte reale negativa
Introduzione -- 31
Stabilità i.l.u.l.
•
Stabilità ingresso limitato – uscita limitata:
un sistema, riferito a uno stato di equilibrio in cui ingresso e uscita sono
identicamente nulli, si dice stabile ingresso limitato – uscita limitata in tale
stato di equilibrio se ad ogni segnale di ingresso che non superi un
determinato limite presenta una risposta limitata
•
In termini matematici:
Un sistema è i.l.u.l. se:
Mx, My , 0< Mx, My < ∞:
x(t), |x(t)|<Mx, t > t0
x(t)
Mx
-Mx
t0
allora |y(t)| < My,
y(t)
t >t0
My
-My
t0
t
Per i sistemi lineari stazionari descritti da funzioni di trasferimento
razionali fratte la stabilità asintotica implica la stabilità i.l.u.l.
t
Introduzione -- 32
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ANTITRAFORMATE DI LAPLACE
MODI DI UN SISTEMA
FINE
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