MATERIALE PER IL CORSO “DIDATTICA DEL CALCOLO

MATERIALE PER IL CORSO “DIDATTICA DEL CALCOLO
DIFFERENZIALE E INTEGRALE”
GABRIELE BIANCHI
Links ad alcune applets inerenti il calcolo e a siti con materiale di
didattica della matematica (aggiornato 8 Maggio 2013)
1. Introduzione
• Breve storia dei concetti: J. V. Grabiner,The changing concept of change:
the derivative from Fermat to Weierstrass [Gra]
• Alcune idee sul modo in cui si apprende e si pensa la matematica:
– S. Vinner, Concept definition, concept image and the notion of function, [Vin];
– D. Tall e S. Vinner, Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to Limits and continuity, [TaVi];
– D. Tall, Three worlds, [TMR, pp. 1–9];
– M. Berni, Note per un corso di Analisi zero, [Ber].
2. Riflessione critica su alcuni argomenti di Analisi
2.1. Numeri reali.
• Un minimo di storia ([Giu1, cap 7] o appendice al cap 1 di [Giu2]).
• Tre modi di introdurli ([Wik1] o [Giu2, Capp. 1, 2]): Assiomatico (mostrare
gli assiomi, riflessione sulla forma dell’assioma di completezza); Costruttivo
con sezioni di Dedekind; Costruttivo con classi di equivalenza di successioni
di Cauchy di razionali;
• Sviluppare in dettaglio la costruzione come estensioni decimali illimitate
– aspetti teorici (T. Gowers, What is so wrong with thinking of real
numbers as infinite decimals? [Gow1])
– la costruzione in ogni dettaglio (M. Burchi, Numeri reali: che c’è di
sbagliato nel pensarli come decimali infiniti?, Tesi di Laurea Magistrale, a.a. 2012-13 [Bur])
– aspetti didattici (T. Leviatan, Introducing real numbers: when and
how?, ICME 04 [Lev]),
• Perché é necessario introdurre i numeri reali (T. Gowers, A dialogue concerning the need for the real number system [Gow2])
• Varie forme equivalenti per l’assioma di completezza. ([Giu2, Cap. 1 §4,
Cap. 2 §13])
• Razionali e rappresentazioni
decimali periodiche ([CoRo, pag. 109])
√
• Irrazionalitá di 2 ([Ric]) π ed e ([AiZi] Aigner, Ziegler, Proofs from the
book, Springer)
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2.2. Funzioni.
• modelli associati alle funzioni elementari: modelli lineari, regressione lineare, esponenziale, crescita o decadimento, logaritmo, scale logaritmiche,
semplificazione delle moltiplicazioni, regoli calcolatori, ph e decibel, scale
musicali, datazione con il carbonio (Wikipedia: Logarithms [Wik2]).
• Storia del logaritmo [Edw, capitolo 6 e paragrafo 10.2];
• Una visione unificata della definizione delle funzioni esponenziali, logaritmiche e goniometriche [Kle, p. 162 e ss.];
• Formula asintotica per n! ([Bal, capitolo 6];
• Modelli: alcuni problemi inversi legati alla Legge di Torricelli ([Gro]);
• Un esempio tratto dal progetto KleinProject Blog: Come funziona Google
[Rou, Eis].
2.3. Limite.
• uno dei concetti più difficili: descrizione del processo mentale necessario
per comprendere appieno il concetto di limite e la sua definizione rigorosa
(David Tall et al, Calculus and Technology
• un percorso didattico a partire dall’analisi dei misconcetti tipici (F. Magnanini, Il concetto matematico di limite: un percorso didattico a partire
dall’analisi dei misconcetti tipici, Tesi di Laurea Magistrale, a.a. 201314 [Mag]);
• Applet che mostra visivamente usando il grafico il “gioco” degli e δ e
la convergenza di una successione (MathDL: Applets and Activities for
real analysis: sequence convergence; continuity http://mathdl.maa.org/
mathDL/47/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3320) Applet che costruisce tabelle numeriche di funzioni ( Visual Calculus)
• Applet per passare dalla definizione intuitiva di limite a quella rigorosa (preparata in Geogebra da F. Magnanini durante la tesi di laurea magistrale)
http://web.math.unifi.it/users/bianchi/didattica_del_calcolo/applets_
magnanini/index.html
2.4. Derivata.
• aspetti principali: pendenza della retta tangente al grafico (chiarire il concetto di retta tangente) e rapidità di variazione istantanea;
• intuizione del concetto di derivata: definizione di derivata alla “David Tall”
(facendo zoom successivi del grafico di f in (c, f (c)), il grafico sembra
“sempre di più” una retta: la derivata di f in c è la pendenza della retta);
• una possibile definizione di derivata che non usa il concetto di limite (J.
Marsden, A. Weinstein, Calculus unlimited [MaWe, pagg.ix–xii e cap. 2]);
• Si puo’ definire la “crescenza in un punto”? E che relazione c’e’ con la
crescenza in un intervallo (J. Marsden, A. Weinstein, Calculus unlimited
[MaWe, cap. 5, pp. 62-69])
• attenzione a chiarire bene il passaggio dal concetto di derivata in un punto
a quello di derivata come funzione;
• una funzione continua ma non derivabile in alcun punto ([Puc, sez. 3.4])
• Applets: Derivative plotter (MathDl, stesso nome); Applets su problemi
di massimo e minimo (http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/
Derivate_Max_Min) etc
2.5. Integrale.
• Definizione di integrale alla Riemann e alla Darboux ed equivalenza tra
le due definizioni. E’ possibile semplificare la definizione restringendo la
classe delle partizioni, ma non troppo per evitare il rischio di ottenere un
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integrale diverso (ad esempio se si prendono solo partizioni equispaziate e
si valuta la funzione sempre negli estremi destri). (Wikipedia: Riemann
integral [Wik3]; Wikipedia: Darboux integral[Wik4]);
Esempi: la funzione di Dirichlet (funzione caratteristica dei razionali in
[0, 1]) non è integrabile secondo Riemann ([Wik3]); la funzione su [0, 1]
definita come f (x) = 1/n se x = m/n (con m e n coprimi) e 0 altrove è
discontinua esattamente nei razionali ed è integrabile ([Ric, p.36]);
Una funzione limitata è integrabile secondo Riemann se e solo se l’insieme
dei suoi punti di discontinuità ha misura di Lebesgue nulla ([Tre, pp. 171–
177]);
presentare agli studenti metodi di integrazione approssimata (punti medi,
trapezio, Simpson) e almeno un risultato di stime degli errori. Non concentrarsi troppo sull’ampliare la classe di funzioni di cui si riesce a scrivere
esplicitamente la primitiva. Quest’ultimo è solo un aspetto dell’integrazione e non deve assumere una importanza sproporzionata. Si deve far capire
agli studenti che l’integrale non è un concetto difficile;
Teorema fondamentale del calcolo e sua trasposizione ”applicata” : la variazione totale tra t = a e t = b di una grandezza è uguale all’integrale
tra a e b della velocità istantanea di variazione di quella grandezza. Una
dimostrazione efficace del teorema.
Una proposta didattica: come insegnare gli integrali [Bra].
il problema della clessidra [Ric2]
Applets: Somme di Riemann; Integrals Sketch (http://www.dangries.
com/Flash/IntegralSketch/IntegralSketch.html); Accumulated Change and Antiderivative Plotter (MathDl, stesso nome);
Riferimenti bibliografici
[AiZi]
[Bal]
M. Aigner, G. Ziegler, Proofs from THE BOOK, Springer
K. Ball, Strange curves, counting rabbits and other mathematical explorations, Princeton
University Press
[Bra]
M. Bramanti, Una proposta didattica: come e perché insegnare gli integrali, Emmeciquadro, 36 (2009), 47–53 http://web.math.unifi.it/users/bianchi/didattica_del_
calcolo/mc2_n36_02_nsf_bramanti_integrali.pdf
[Ber]
M. Berni, Note per un corso di Analisi zero, L’insegnamento della matemtica e delle
scienze integrate 25 (2002).
[Bur]
M. Burchi, Numeri reali: che c’è di sbagliato nel pensarli come decimali infiniti?, Tesi di
Laurea Magistrale, a.a. 2012-13 http://web.math.unifi.it/users/bianchi/didattica_
del_calcolo/tesi_manuele_burchi_versione_18mar2014.pdf
[CoRo] Courant, Robbins, Che cos’é la matematica, Boringhieri.
[Edw] C. H. Edwards, The historical development of the calculus, Springer.
[Eis]
M. Eisermann, Comment fonctionne Google?
http://www.igt.uni-stuttgart.de/
eiserm/popularisation/#google
[Giu1] E. Giusti, Piccola storia del calcolo infinitesimale dall’antichità al 900
[Giu2] E. Giusti, Analisi uno, Boringhieri
[Gow1] T. Gowers, What is so wrong with thinking of real numbers as infinite decimals? http:
//www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/decimals.html
[Gow2] T. Gowers, A dialogue concerning the need for the real number system. http://www.
dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/reals.html
[Gra]
J.V.
Grabiner,The
changing
concept
of
change:
the
derivative
from
Fermat
to
Weierstrass,
Mathematics
magazine
56
(1983).
http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/
the-changing-concept-of-change-the-derivative-from-fermat-to-weierstrass.
[Gro]
C.W. Groetsch, Inverse problems and Torricelli’s Law, The College Mathemathics Journal
23 (1992), 146–148, http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/
22/Polya/07468342.di020757.02p00026.pdf.
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[Lev]
[Kle]
[Mag]
[MaWe]
[Puc]
[Ric]
[Ric2]
[Rou]
[TaVi]
[TMR]
[Tre]
[Vin]
[Wik1]
[Wik2]
[Wik3]
[Wik4]
GABRIELE BIANCHI
T. Leviatan, Introducing real numbers: when and how?, ICME 04. BROKEN LINK
http://www.icme-organisers.dk/tsg12/papers/barthel-leviathan.html
F. Klein, Elementary mathematics from an advanced viewpoint, Arithmetic, Algebra and
Analysis, MacMillan and Co.
F. Magnanini, Il concetto matematico di limite: un percorso didattico a partire dall’analisi dei misconcetti tipici (The mathematical concept of limit: from an analysis of common misconceptions to a didactical experience), Tesi di Laurea Magistrale,
a.a. 2013-14 http://web.math.unifi.it/users/bianchi/didattica_del_calcolo/tesi_
francesca_magnanini.pdf
J. Marsden, A. Weinstein, Calculus UNlimited, Benjamin, 1981 http://resolver.
caltech.edu/CaltechBOOK:1981.001
C. Pucci, Dispense del corso di Istituzioni di Analisi superiore
R. Ricci, Appunti per il corso di Analisi SSIS 06-07. http://web.math.unifi.it/ssis/
note_ricci_07.pdf
V.F. Rickey,
The Clepsydra problem.http://fredrickey.info/hm/CalcNotes/
clepsydra.pdf
C. Rousseau, How Google works: Markov Chains and eigenvalues, Klein project Blog
http://blog.kleinproject.org/?p=280.
D. Tall e S. Vinner, Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to Limits and continuity, Educational Studies in Mathematics 12 (1981), 151–169,https://homepages.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/
dot1981a-concept-image.pdf.
D. Tall, J. P. Mejia Ramos, Reflecting on post-calculus reform, ICME 2004 http://www.
warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2004b-tall-meija-icme.pdf
W. F. Trench, Introduction to Real Analysis (2013). Books and Monographs. Book 7.
http://digitalcommons.trinity.edu/mono/7
S. Vinner, Concept definition, concept image and the notion of function, Int. J. Math.
Educ. Sci. Technol. 14 (1983), 293–305.
Wikipedia:
Construction of the real numbers. http://en.wikipedia.org/wiki/
Construction_of_the_real_numbers
Wikipedia: Logarithms. http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm
Wikipedia: Riemann integral. http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral
Wikipedia: Darboux integral. http://en.wikipedia.org/wiki/Darboux_integral
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