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LONGEVITY RISK: GESTIONE E REQUISITI DI
SOLVIBILITÀ
MASSIMILIANO MENZIETTI
UNIVERSITÀ DELLA CALABRIA
ROMA, 4 MAGGIO 2015
INDICE
Le gestione del longevity risk
►
Tariffazione e disegno del prodotto
►
Natural hedging
►
Riassicurazione
►
Longevity linked securities
►
Strategie di allocazione del capitale Trend demografici e longevity risk
Massimiliano Menzietti - I modelli attuariali per il controllo del longevity risk
2
TREND DEMOGRAFICI E LONGEVITY RISK
• Cambiamento strutturale della popolazione
Trend
Demografici
Invecchiamento
della
popolazione
Longevity risk
• Aumento del peso degli anziani sulla popolazione
• Aumento speranza di vita
• Diminuzione natalità
• Aumento progressivo della speranza di vita
• Incremento del numero degli esposti al rischio di sopravvivenza
• Incertezza
3
LONGEVITY RISK: CONSEGUENZE
►
Influenza fortemente enti previdenziali, casse di previdenza, fondi pensione e prodotti
assicurativi di rendita
• Estensione del periodo di pagamento della rendita e conseguente incremento della passività attuariali
• E’ presente nella fase di accumulo nei fondi a prestazione definita
• E’ presente nella fase di decumulo (erogazione della rendita) nei fondi a contribuzione definita
►
In passato le proiezioni della mortalità hanno sottostimato la tendenza all’aumento
della longevità della popolazione
►
Necessità di adottare tavole proiettate di mortalità per il calcolo dei valori attuariali
delle rendite
• Da tavole di mortalità statiche basate su un solo anno di calendario a tavole dinamiche che
incorporano la proiezione della mortalità
4
IL PROCESSO DI RISK MANAGEMENT
• Individuazione e classificazione del rischio
Identificazione
• Misurazione tramite modelli deterministici o stocastici
Valutazione
Gestione
• Individuazione delle strategie di gestione del rischio
• Tecniche di controllo delle perdite o tecniche di finanziamento
• A livello di disegno del prodotto o strategie di protezione del portafoglio
5
MISURARE IL LONGEVITY RISK
Individuazione di grandezze che rappresentino lo stato di “salute” o di
“sofferenza” dei soggetti erogatori di rendite
• Funzione di perdita
Scelta di un’adeguata “misura di rischio”
•
•
•
•
Varianza
Coefficiente di variazione
Quantili, VaR, TVaR
Probabilità di rovina
Definizione di un orizzonte temporale di analisi e delle modalità di indagine
• Annuale, pluriennale,….
• Alla scadenza, su tutto l’intervallo temporale
6
MISURARE IL LONGEVITY RISK: APPROCCIO DETERMINISTICO
►
Portafoglio composto da una coorte di contratti di rendita immediata a premio unico
►
Valore attuale aleatorio al tempo 0 delle prestazioni
Y  j   Rax
j-mo assicurato
►
j 1
H : scenario di mortalità ipotizzato
 
Y   H   R  a H 
E Y  j  H  RE ax H 
2
j
2

CV Y

H 
Portafoglio di N0 contratti
2
x
 
Y     Y  j 
Valore atteso e varianza
j-mo assicurato
►
N0

 2 Y   H

E Y   H



1
N0

 2 Y  j H

E Y  j H


   
Y   H   N  Y   H 
E Y   H  N 0 E Y  j  H
2

2
j
0


lim CV Y   H  0
N 0 
7
MISURARE IL LONGEVITY RISK: APPROCCIO STOCASTICO
►
~
H : insieme degli scenari di mortalità ipotizzati
Valore atteso e varianza
   E Y
j-mo assicurato
   E EY

Y     E  Y   H~   EY   H~ 
EY
2
 j
p
j
2
j
~
H
2
EY
 Y
j
2
p
Fluttuazioni casuali
intorno al valore atteso
►
 j
 
p
  E  Y
2
p
 

 
~
H  N0 E Y  j 


~
2
  ~
H  p E Y H

Deviazioni sistematiche
dei valori osservati da
quelli attesi

 
 

 



2
  ~
2
  ~
E

Y
H

E
Y
H
p
 Y
1 p
 
CV Y



 
2
 j
EY
N0
E Y
E2 Y  j
2
  ~
Misura la parte del rischio di mortalità che non è rimovibile semplicemente

E
Y
H
p
  ~
aumentando la grandezza del portafoglio (parte sistematica del rischio)
lim CV Y H 
2
 j
N 
E Y 



2


 



 
 
0
8
LA GESTIONE DEL LONGEVITY RISK
Fonte: Pitacco E., Denuit M., Haberman S., Olivieri A. (2009) “Modelling Longevity Dynamics for Pensions and Annuity Business”. Oxford University Press.
9
LA GESTIONE DEL LONGEVITY RISK
►
Il longevity risk può essere gestito da una
compagnia di assicurazione o da un ente di
previdenza trattenendolo o trasferendolo ad
altre controparti
10
TARIFFAZIONE
►
Connesso ai benefici ed alle garanzie (esplicite o implicite)
►
Necessità di tavole di mortalità proiettate
►
Necessità di fattori di selezione
►
Margine di rischio
•
•
Implicito nell’uso di basi tecniche conservative o esplicito con espressioni matematiche
E’ espressamente necessario quando il tasso di rendita è garantito
11
COSTRUZIONE DEL PRODOTTO: L’ESPERIENZA ITALIANA
►
Tipo di prestazioni: rendita vitalizia, rendita certa (5,10 anni) + rendita vitalizia,…
►
Prestazioni aggiuntive: rendita di sopravvivenza, pensione maggiorata (LTC), …
►
Il longevity risk è concentrato durante il periodo di erogazione della rendita  Reg
n. 21/2008 dell’ISVAP: il tasso di rendita deve essere stabilito 3 anni prima del
pensionamento (prima può essere cambiato). Ad oggi non ci sono casi di GAR
(guaranteed annuity rate).
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L’USO DELLE TAVOLE PROIETTATE IN ITALIA
L’ ANIA pubblica periodicamente nuove tavole di mortalità proiettate per i percettori di rendita
► 1998: “RG48”
• Basata su un metodo di estrapolazione applicato alla popolazione generale, adottando lo scenario
pessimistico (Ragioneria Generale dello Stato – 1996). La coorte di riferimento è quella delle persone
nate nel 1948. Le altre coorti sono ottenute attraverso una correzione per età (age-shifting) specifica di
coorte.
•
I fattori di selezione sono stati presi dall’esperienza inglese del 1980 (Pensioners Lives, PML80 per gli
uomini e PFL80 per le donne, si veda il “Continuous Mortality Investigation Report n°10” pubblicato
dall’Institute of Actuaries e la Faculty of Actuaries nel 1990).
► 2005: “IPS55”
• Basata su un’estensione del modello Lee-Carter applicato alla popolazione generale dall’ISTAT
(ISTAT, 2002), adottando lo scenario centrale. La coorte di riferimento è quella delle persone nate nel
1955. Le altre coorti sono ottenute attraverso un age-shifting specifico di coorte.
•
I fattori di selezione sono stati presi dall’esperienza inglese del 1992 (Pensioners Lives, PML92 per gli
uomini e PFL92 per le donne, ma anche Immediate Annuitants, IML92 per gli uomini e IML92 per le
donne, si veda il “Continuous Mortality Investigation Report n°17” pubblicato dall’Institute of Actuaries
e la Faculty of Actuaries nel 1999).
13
L’USO DELLE TAVOLE PROIETTATE IN ITALIA
► 2012: “A62”
• Basata su un’estensione del modello Lee-Carter applicato alla popolazione generale dall’ISTAT
(ISTAT, 2010), adottando lo scenario centrale. La coorte di riferimento è quella delle persone nate nel
1962. Le altre coorti sono ottenute attraverso un age-shifting specifico di coorte.
•
I fattori di selezione sono stati presi dall’esperienza inglese del 2000 (Pensioners Lives, PNMA00 per
gli uomini e PNFA00 per le donne, ma anche Immediate Annuitants, IML00 per gli uomini e IFL00 per
le donne).
14
LO STUDIO SUI PERCETTORI DI RENDITA IN ITALIA
► 2011-2012
• Basato su dati di mortalità dei percettori di rendita di diversi Enti previdenziali (INPS, Ex INPDAP, Ex
ENPALS, ENPAM, Cassa Forense) e di imprese di assicurazione relativi al periodo 1980-2009.
•
La mortalità è stata stimata e poi proiettata sulla base del modello Lee-Carter con e senza effetto
coorte (Renshaw-Haberman), 2 varianti del modello di Cairns-Blake e Dowd sono state testate.
•
I fattori di selezione sono stati ricavati rapportando la mortalità delle popolazioni specifiche a quella
delle popolazione generale italiana. Non sono stati proiettati.
► 2014-in corso
15
NATURAL HEDGING
►
Strategia ottenuta attraverso la diversificazione dei rischi, combinando prestazioni non
perfettamente correlate rispetto alla durata di vita, ottenendo una mitigazione del rischio:
►
►
per es.: attraverso un adeguato mix di prestazioni caso vita e caso morte all’interno di una polizza o di un portafoglio o
diversificando il rischio tra paesi differenti,…
Natural hedging sul prodotto
►C’è una reale domanda per questi prodotti?
►Una combinazione di prestazioni caso morte e assicurazione caso vita è costosa per
l’assicurato
►
Natural hedging di portafoglio
►Non c’è un age-matching perfetto tra assicurati caso vita e caso morte
►E’ difficile compensare il rischio combinando assicurazioni temporanee caso morte e rendite
vitalizie (dimensione dei portafogli, rischio base)
16
RIASSICURAZIONE TRADIZIONALE
►
Gli erogatori di rendita possono parzialmente trasferire il rischio tramite trattati di
riassicurazione
►
I trattati di riassicurazione che affrontano il rischio demografico sono:
►
►
Surplus (S)
►
Excess of Loss (XL)
►
Stop Loss sull’Attivo (SLA)
►
Stop Loss sui Cash Flows (SLCF)
Alcuni aspetti critici
►
Capacità di sottoscrizione limitata
►
I riassicuratori spesso non desiderano offrire coperture di lungo termine che implicano un’alta
esposizione al rischio di longevità
17
RIASSICURAZIONE TRADIZIONALE: SURPLUS
■ E’ una copertura riassicurativa proporzionale in cui ogni anno il riassicuratore paga una quota della
rendita. La quota è specifica di ogni singolo contratto, e mira a rendere le prestazioni delle
polizze omogenee.
■ Indicando con M l’ammontare massimo che il cedente desidera pagare per ciascuna rendita, il
riassicuratore pagherà l’ammontare che eccede M
■ Riduce la volatilità delle prestazioni e le fluttuazioni casuali intorno al valore atteso (pooling
risk)
18
RIASSICURAZIONE TRADIZIONALE: EXCESS OF LOSS (XL)
■ E’ un trattato in cui il riassicuratore paga la parte della rendita che eccede una data scadenza “m” (tail risk). Le
rendite a vita intera dell’erogatore di rendita sono convertite in rendite vitalizie temporanee, il riassicuratore
prende in carico una rendita vitalizia differita.
■ “x0+m” deve essere sufficientemente alto (ad es.: il punto di Lexis).
■ Il riassicuratore si fa carico della parte peggiore del rischio: l’incertezza sulla mortalità è più forte ad età
avanzate (longevity risk)
►
Forte risk margin sul premio di riassicurazione
19
RIASSICURAZIONE TRADIZIONALE : STOP LOSS ON ASSETS (SLA)
►
E’ un trattato di portafoglio, che mira a prevenire l’insolvenza del cedente causata da deviazioni sistematiche
della mortalità:
►
La copertura del riassicuratore è basata sul confronto tra attivo del portafoglio ad una data prestabilita (At) con la
riserva di portafoglio richiesta per far fronte agli impegno dell’assicuratore a quella data (Vt).
Il riassicuratore paga se At < (1+r) Vt con 0<r<1. La perdita è definita come insufficienza dell’attivo.
Tipicamente definita su un periodo di riferimento di durata breve/media.
►
Breve periodo  enfatizza l’effetto delle deviazioni casuali
►
Medio periodo  genera una forte esposizione al longevity risk per il riassicuratore e quindi premi
riassicurativi molto alti.
Fonte: Pitacco E., Denuit M., Haberman S., Olivieri A. (2009) “Modelling
Longevity Dynamics for Pensions and Annuity Business”. Oxford
University Press.
20
RIASSICURAZIONE TRADIZIONALE: STOP LOSS SUI CASH
FLOWS (SLCF)
►
E’ un trattato di portafoglio, che mira a prevenire l’insolvenza del cedente causata da deviazioni
sistematiche della mortalità.
►
►
La copertura del riassicuratore inizia quando i pagamenti aleatori delle prestazioni annuali ai percettori di rendita
sono superiori ad un ammontare prefissato: L’t = E(Rt)(1+r) dove E(Rt) è il valore atteso dei pagamenti del
portafoglio di rendite e r > 0
E’ fissato un limite superiore per il trattato di riassicurazione L”t.
Fonte: Pitacco E., Denuit M., Haberman S., Olivieri A. (2009)
“Modelling Longevity Dynamics for Pensions and
Annuity Business”. Oxford University Press.
21
USO E LIMITI DEL MERCATO DELLE LONGEVITY-LINKED
SECURITIES
►
Blake e Burrows (2001) sono stati i primi a sostenere l'uso di mortality /(longevity)-linked
securities per il trasferimento del rischio di longevità al mercato dei capitali
►
Difficoltà di affermazione del nuovo mercato:
►
►
►
squilibrio di scala tra le esposizioni esistenti e la volontà dei fornitori di copertura
mortality-linked securities devono soddisfare le diverse esigenze degli hedgers e degli investitori
(difficili da conciliare - i primi richiedono l’efficacia della copertura, mentre gli ultimi domandano
liquidità)
assenza di un prezzo di mercato per il rischio di longevità
22
LA NASCITA DEL MERCATO DELLE LONGEVITY-LINKED
SECURITIES
►
Loeys et al. (2007) spiegano che per istituire un nuovo mercato del capitale di successo, esso
deve:
►
►
►
►
fornire un'esposizione o copertura efficace (minore il numero di contratti scambiati, maggiore la
liquidità in ogni contratto, ma più bassa l’efficacia della copertura, indici nazionali e rischio base)…
ad un rischio del mondo che è economicamente importante (buon equilibrio tra domanda e offerta di
longevità: questo influenzerà la dimensione complessiva del mercato, nonché il prezzo del rischio di
longevità - Il coinvolgimento dei mercati del capitale ridurrà i costi di gestione del rischio di longevità:
aumento di capacità, insieme a una maggiore trasparenza dei prezzi (arbitraggisti) e maggiore
liquidità (speculatori))…
che non può essere coperto attraverso gli strumenti del mercato esistente
deve utilizzare un contratto omogeneo e trasparente per consentire gli scambi tra gli agenti
23
LE SOLUZIONI DI PRIMA GENERAZIONE DEL MERCATO DEI
CAPITALI : PRODOTTI BOND-BASED
►
Mortality bonds
►
►
Breve scadenza, rappresentano titoli negoziabili a livello di mercato i cui pagamenti sono legati a un
indice di mortalità. Sono simili ai catastrophe bond. Es. Swiss Re mortality bond
Longevity bonds (o survivor bonds)
►
►
►
►
Principal-at-risk longevity bonds o coupon based longevity bonds
Scadenza fissa o scadenza stocastica
Es EIB – BNP Paribas 2004 (se la mortalità fosse stata inferiore a quanto previsto, le cedole previste
sul bond sarebbero diminuite e viceversa). Carenze di progettazione (Il rischio di base troppo grande).
Premio per il rischio di longevità. Carenze istituzionali (dimensione dell'emissione troppo piccola per
creare un mercato liquido) (favore per la copertura della longevità, sfavore per la copertura legata al
bond).
Lezioni: necessità di una buona serie di indici di mortalità (LifeMetrics) oggettivamente calcolati,
trasparenti e rilevanti; modelli di previsione stocastici della mortalità più trasparenti.
24
ESEMPIO DI LONGEVITY BOND
►
Obblighi dell’erogatore della rendita:
► Rendita immediata ad una coorte di l x percettori di rendita di età x0 al tempo 0
0
►
►
►
►
R è l’importo annuo della rendita individuale
in t l’erogatore della rendita pagherà l’ammontare aleatorio Rl x0 t
esposizione al rischio di deviazioni sistematiche tra l x0  t e lˆx0  t
Straight coupon bond:
►
►
►
Flusso di cassa aggregato RCt ad ogni scadenza t
Rimborso pari a RF alla scadenza finale T
Lin and Cox (2005) ipotizzano cedole costanti di importo RC
25
►
Esempio di un coupon-based longevity bond con coupons a rischio e principal garantito
26
►
Tramite la SPC il flusso di cedole C è ripartito tra erogatore della rendita e investitori
•
R  C  R  Bt  Dt 
Flussi ricevuti dall’erogatore della rendita
C

Bt   l x0 t  lˆx0 t
0

•
l x0 t  lˆx0 t  C
0  l x0 t  lˆx0 t  C
l
 lˆ
0
x0  t
x0  t
Flussi ricevuti dagli investitori
0

Dt  C  l x0 t  lˆx0 t
C



l x0  t  lˆx0 t  C
0  l x0  t  lˆx0 t  C
l
 lˆ
0
x0  t
Dt  C  Bt
x0  t
27
IL PRICING DEL LONGEVITY BOND
►
Prezzo  valore atteso scontato dei payoff futuri sotto una misura di probabilità aggiustata
per il rischio
(Hp: rischio demografico e finanziario sono indipendenti)
• W : Bond Price pagato dalla SPC per acquistare lo bond
T
W  RFd 0, T   RC  d 0, t 
t 1
• P : Premium pagato dall’erogatore della rendita per gestire il suo LR
T
~
P  R  E Bt d 0, t 
t 1
• V: Price pagato dagli investitori per acquistare il LB
T
~
W  RFd 0, T   R  E Dt d 0, t 
d(0,t) : fattore di sconto risk-free
t 1
28
LE SOLUZIONI DI SECONDA GENERAZIONE DEL MERCATO DEI
CAPITALI: PRODOTTI DERIVATIVES-BASED
►
I longevity derivatives sono strumenti del mercato dei capitali che hanno payoffs legati al livello
di un indice di mortalità
►
I soggetti interessati alla creazione di un mercato per i longevity derivatives sono hedgers,
investitori istituzionali, speculatori, arbitraggisti, Governo, regolatori
►
q-Forwards
►
►
E’ il più semplice longevity derivative. Un q-forward è un accordo tra due parti per lo scambio a una
data futura di un importo proporzionale al tasso di mortalità realizzato di una determinata popolazione
contro un importo proporzionale a un tasso di mortalità fisso reciprocamente concordato all’ inizio. E’
un zero-coupon swap che scambia mortalità fissa e mortalità realizzata alla scadenza. Copertura
value hedge vs cash flow hedge.
Survivor swaps
29

Longevity options. Ad oggi non ci sono mercati di opzioni su strumenti longevitylinked. Le longevity options producono dei payoff che non sono funzioni lineari di
variabili sottostanti.

Nel caso di longevity (o survivor) caps e floors, il sottostante è un indice di
sopravvivenza S(t,x). Sia sc(t) un cap rate per la data d’esercizio t e sf(t) il
corrispondente floor rate. Un caplet pagherà max{S(t,x) - sc(t), 0} al tempo t
mentre un floorlet pagherà max{sf(t) - S(t,x), 0}. I survivor caplets e floorlets
possono essere inglobati in longevity caps e floors.
30
SURVIVOR CAPS AND FLOORS

Survivor caps e floor = serie di survivor caplets and floorlets
 Payoff di un survivor caplet :


xtc  max l x t  ktc ; 0





ktc  1   tc lˆx t
con floor rate per la scadenza t:
kt f  1   t f lˆx t
 Payoff del Survivor floorlet:
xtf  max kt f  l x t ; 0

con cap rate per la scadenza t:
 Ipotizzando l’indipendenza tra tassi d’interesse e mortalità :
Prezzo del
► survivor cap
PTc
T
E
t 1
*
[ xtc ] d (0, t )
d (0, t ) : fattore di sconto risk-free
Prezzo del
survivor floor
PTf
T
  E *[ xtf ] d (0, t )
t 1
Valore attuale atteso dei payoff dei caplets/floorlets payoff
sotto la misura di rischio risk-adjusted
31
I SURVIVOR SWAPS
►
Survivor swap (basic): accordo tra due controparti per scambiare in futuro un flusso di cassa
fisso in cambio di un singolo flusso di cassa casuale dipendente dalla mortalità (Dowd et al.
2006)
•
•
I cash-flows sono collegati al numero di sopravviventi di una data coorte
Confrontato con altre mortality-linked securities – p.e. longevity bonds – i survivor swaps :
o
o
o
►
Comportano costi di transazione più bassi
Sono più flessibili e tagliati su misura per venire incontro alle varie esigenze
Non richiedono l’esistenza di un mercato liquido
Vanilla survivor swaps (insieme di basic survivor swaps): le controparti si accordano per
scambiarsi una serie di pagamenti periodici (per ogni t = 1, 2, . . . , S ) fino alla scadenza dello
swap S
•
•
Fixed leg dipende dai sopravviventi attesi di una data coorte
Floating leg dipende dai sopravviventi effettivi alle scadenze future
32
LA STRUTTURA DI UN VANILLA SURVIVOR SWAP
►
L’erogatore di rendita deve pagare rendite immediate ad una coorte di lx percettori di età x al
tempo zero
•
•
•
►
Rendita fissa di importo1€
lˆx t : numero atteso di sopravviventi all’età x  t al tempo t
l x t : numero effettivo di sopravviventi all’età x  t al tempo t
Esposizione al rischio sistematico di deviazioni tra l x t e lˆx t
►
l x t  lˆx t : perdite subite dall’erogatore della rendita ad ogni scadenza t
►
 : aliquota di premio fisso dello swap fissata in modo che il valore dello swap sia zero
all’emissione  valore di mercato del fixed leg = valore di mercato del floating leg
1    lˆxt
Flussi di cassa del
survivor swap
l x t
33
IL PRICING DI UN VANILLA SURVIVOR SWAP
►
Il valore del vanilla survivor swap al tempo zero per il fixed-rate payer è:

V  l x t   V 1   lˆx t
Prezzo di mercato del floating
leg in t=0
►

Prezzo di mercato del fixed
leg in t=0
Ipotizzando l’indipendenza tra tassi d’interesse e mortalità:


T
V 1   lˆx t  1     lˆx t d (0, t )
t 1
T
V  l x t    E  l x t  d (0, t )
t 1
Valore attuale atteso del fixed leg sotto la misura di
probabilità del mondo reale
Valore attuale atteso del floating leg sotto la misura di
probabilità risk-adjusted
T
d (0, t )
: fattore di sconto risk-free
Premio del vanilla
survivor
Swap
 
 E  l x t  d (0, t )
t 1
T
 lˆx t d (0, t )
1
t 1
34
RAPPRESENTAZIONE DEL FLUSSO DI PAGAMENTI
DI UN VANILLA SURVIVOR SWAP
35
ALCUNE EMISSIONI DI SURVIVOR SWAPS
Date
Hedger
Term (years)
Intermediary
Jan-08
Lucida
10
JPMorgan
Jul-08
Canada Life
40
JPMorgan
Feb-09
Abbey Life
Run-off
Deutsche Bank
Mar-09
Aviva
10
RBS
Jun-09
Babcock
50
Credit Suisse
Jul-09
Royal & Sun Alliance
Run-off
Goldman Sachs
Fonte: Biffis & Blake (2009),“Mortality-Linked Securities and Derivatives”
36
►
Longevity futures
Fattori chiave per il successo di contratti futures sono :
►
Esistenza di un mercato spot del sottostante grande, liquido e attivo, con una buona
trasparenza dei prezzi.
►
i prezzi spot devono essere sufficientemente volatili per rendere attraenti sia le attività di
copertura che la speculazione.
►
il sottostante deve essere omogeneo.
►
il mercato del sottostante e dei contratti futures non deve essere fortemente concentrato né
sul lato dell’acquisto né su quello della vendita, per non incorrere nella manipolazione dei
prezzi.
►
deve esserci attiva partecipazione di hedgers e speculatori.
►
In Blake e al. (2006) si suggerisce l’uso dei prezzi dei longevity bonds, o di indici di
sopravvivenza come sottostante.
37
COPERTURE STANDARDIZZATE VS PERSONALIZZATE
38
IL PRICING DELLE LONGEVITY-LINKED SECURITIES
►
Esistono principalmente tre approcci di pricing
►
Trasformata di Wang (Wang (2002))
►
►
Approccio risk-neutral
►
►
Le probabilità risk adjusted sono ottenute tramite un operatore di distorsione
Si applicano alle longevity-linked securities gli stessi principi di pricing usati per il pricing dei
derivati finanziari
Sharpe ratio
►
Si ipotizza che gli investitori chiedano per assumere il rischio di longevità un premio per il rischio
(Sharpe ratio) pari a quello richiesto per il rischio non diversificabile di altri strumenti finanziari
39
LA TRASFORMATA DI WANG
 Wang definisce il seguente operatore di distorsione

g  (u )    1 (u )  

dove 0<u<1 e λ è un parametro che riflette il rischio insito nei data (il prezzo di mercato del
rischio)
 La distribuzione di probabilità del mondo reale è distorta per produrre valori attesi riskadjusted che possono essere scontati con fattori di sconto risk-free .
 Approccio usato da:
● Lin and Cox (2005), Cox-Lin-Wang (2006), Denuit-Devolder-Goderniaux (2007)
● Su dati italiani applicato da Levantesi-Menzietti-Torri (2010a, 2010c)
40
IL “PREZZO DI MERCATO” DEL RISCHIO
 Possiamo usare il prezzo di mercato delle rendite per stimare :
● Mancanza di un mercato secondario delle rendite in Italia
● HP: il valore di mercato delle rendite supposto uguale al valore di mercato calcolato
impiegando le basi tecniche di maggiore diffusione (IPS55)
41
L’APPROCCIO RISK NEUTRAL

Scarsità di longevity-linked securities trattate sul mercato
● Impossibilità di stimare un’unica misura di probabilità risk adjusted.
● Se il mercato globale è arbitrage-free, esiste almeno una misura di tipo neutrale verso il rischio
Q utilizzabile per calcolare il prezzo equo
42
L’APPROCCIO RISK NEUTRAL

Incompletezza del mercato delle longevity-linked securities  i pagamenti connessi con
la mortalità non possono essere replicati

Scarsità di longevity-linked securities trattate sul mercato
● Problemi ad impiegare metodi arbitrage-free
● Impossibilità di stimare un’unica misura di probabilità risk adjusted.
● Se il mercato globale è arbitrage-free, esiste almeno una misura di tipo neutrale verso il rischio
Q utilizzabile per calcolare il prezzo equo
43
L’APPROCCIO RISK NEUTRAL: IL MODELLO CBD

Hp su le probabilità di decesso:

Con
random walk bivariata con drift
44
L’APPROCCIO RISK NEUTRAL: IL MODELLO CBD

Se specifichiamo le dinamiche della mortalità sotto una misura Q di probabilità
risk-adjusted equivalente, alla misura fisica P
● dove
●
,
è una variabile aleatoria normale standard bivariata sotto Q
rappresenta il prezzo di mercato del longevity risk associato rispettivamente ai processi Z
 A questo punto il valore di una LLS con singola scadenza all’emissione (in zero) in
ipotesi di indipendenza tra rischio finanziario e rischio demografico è dato da:
V 0  P0, T EQ   S T  F0 
45
STRATEGIE DI ALLOCAZIONE DEL CAPITALE
►
Strategia di allocazione del capitale adeguata  fissare un capitale risk-based che preservi la
compagnia dal fallimento con un predefinito livello di confidenza
►
Risk-Based Capital (RBC): metodo per assicurare la solvibilità di una compagnia determinando
requisiti di capitale che riflettano la dimensione dell’esposizione al rischio complessiva
dell’assicuratore
►
Solvibilità = la capacità di far fronte, con un assegnato (alto) livello di probabilità, le future
passività aleatorie
Kt
allocazione (Kt > 0)/rilascio (Kt < 0) di capitale al/dal portafoglio al
tempo t
Rt
Prestazioni in uscita casuali annue per il portafoglio al tempo t
At
Attivo al tempo t
Vt
Riserve matematiche di portafoglio aleatorie al tempo t
Mt
Margine di solvibilità al tempo t
Portafoglio di rendite
immediate
At = (At-1 – Rt-1)(1+it) + Kt
Mt = At – Vt
46
STRATEGIE DI ALLOCAZIONE DEL CAPITALE
►
Requisiti di capitale risk-based: il capitale richiesto ad un dato tempo t che assicura la solvibilità
della compagnia su orizzonte temporale prestabilito e ad un predefinito livello di confidenza
►
Strategia di allocazione del capitale: una sequenza di flussi di capitale Kt che permette di raggiungere il
margine di solvibilità richiesto
►
E’ necessario che l’orizzonte temporale e la probabilità di default ammessa siano
definiti ex-ante
■ Requisito di solvibilità all’anno T
■ Requisiti di solvibilità sull’orizzonte temporale (0,T): la solvibilità dell’assicuratore è verificata se il
margine di solvibilità non è mai negativo nell’intervallo (0, T)
Mt
Mt
T
Tempo
T
Tempo
47
BIBLIOGRAFIA
► Brouhns, N., Denuit, M. and Vermunt, J. K. (2002). A Poisson Log-Bilinear Approach to the Construc- tion of
Projected Life Tables. Insurance: Mathematics and Economics 31: 373-393.
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comparison of stochastic mortality models using data from England & Wales and the United States. North American
Actuarial Journal 13: 1-35.
► Cairns, A. J. G., Blake, D., Dowd, K., (2008). Modelling and management of Mortality Risk: a review. Scandinavian
Actuarial Journal 2-3: 79-113.
► Cairns, A. J. G., Blake, D., Dowd, K., Coughlan, G. D., Epstein, D., Khalaf-Allah, M. (2011): Mortality density
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goodness of fit of stochastic mortality models, Insurance: Mathematics and Economics, 47: 255–265.
► Dowd, K., Cairns, A. J. G., Blake, D., Coughlan, G. D., Epstein, D., Khalaf-Allah, M. (2010): Backtesting stochastic
mortality models: An ex-post evaluation of multi-period-ahead density forecasts, North American Actuarial Journal,
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48
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Demographic Research, Rostock (Germany).
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della mortalità dal 1980 al 2009 e previsioni al 2040.
► Pitacco E., Denuit M., Haberman S., Olivieri A. (2009) “Modelling Longevity Dynamics for Pensions and Annuity
Business”. Oxford University Press.
► Renshaw, A.E., Haberman, S. (2003). On the forecasting of mortality reduction factors. Insurance: Mathematics and
Economics 32: 379-401.
► Renshaw, A.E., Haberman, S. (2006). A cohort-based extension to the Lee-Carter model for mortality reduction
factors. Insurance: Mathematics and Economics 38: 556–570.
49

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