Rischio di longevità e longevity derivatives

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Rischio di longevità e longevity
derivatives
Prof. Massimiliano Menzietti
Università della Calabria
Università Cattolica - Milano, 12 maggio 2011
Agenda
Il longevity risk
● Definizione e caratteristiche
● I trend demografici e il rischio di longevità
● I modelli per rappresentarlo
La gestione del longevity risk tramite i longevity derivatives:
● Gli strumenti di gestione del longevity risk
● La nascita del mercato delle longevity-linked securities
● Il panorama dei prodotti derivati sulla longevità
● Un focus sui survivor swap
I modelli di pricing:
● La trasformata di Wang
● L’approccio risk-neutral
Menzietti
Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011
2
Agenda
Il longevity risk
Menzietti
3
Il longevity risk
Il longevity risk è un rischio caratteristico di enti (compagnie di assicurazione / enti
di previdenza) che erogano prestazioni in caso di vita (ed in particolare rendite) ad
un soggetto assicurato / iscritto
Può essere definito a livello individuale o aggregato (cf. Stallard 2006).
● In particolare a livello aggregato esso si sostanzia nel rischio che l’insieme dei percettori
di rendita vivano in media di più di quanto assunto nelle basi tecniche
Si manifesta laddove la mortalità osservata è sistematicamente inferiore a quella
osservata
E’ la conseguenza dell’incertezza insita nel fenomeno della mortalità e della sua
rappresentazione tramite un modello di proiezione
Menzietti
4
Il longevity risk
“Non pooling” risk (non diversificabile) opera nella stessa direzione per tutti gli
assicurati
E’ un rischio sistematico, non-hedgeable
Menzietti
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I trend demografici e il longevity risk
Trend
demografici
Invecchiamento
della popolazione
Longevity risk
Menzietti
• Cambiamento nella
struttura per età della
popolazione
• Incremento del peso
percentuale degli anziani
• Incremento progressivo
nell’aspettativa di vita e
quindi potenziale
incremento del
longevity risk
Vita
più
lunga
Bassa
fertilità
Invecchia
-mento
Incertezza
Incremento nel numero
degli esposti al rischio di
sopravvivenza
Crescente
longevity risk
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I trend demografici e il longevity risk
Menzietti
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L’impatto del longevity risk
Le principali conseguenze per i fondi pensione e gli erogatori di rendite sono:
● Estensione del periodo di pagamento della rendita e quindi del valore attuale della stessa
Elaborazione dell’autore su dati ISTAT
Menzietti
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L’impatto del longevity risk
Le principali conseguenze per i fondi pensione e gli erogatori di rendite sono:
● Incremento della passività attuariali
Elaborazione dell’autore su dati ISTAT
Menzietti
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Il processo di risk management
• Individuazione e classificazione del rischio
Identificazione
• Misurazione tramite modelli deterministici o stocastici
Valutazione
Gestione
Menzietti
• Individuazione delle strategie di gestione del rischio: o tramite tecniche di
controllo delle perdite o tramite tecniche di finanziamento delle stesse. Si
può operare a livello di disegno del prodotto o con strategie di protezione
del portafoglio
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Il management del longevity risk
Un management responsabile del longevity risk implica che le compagnie di
assicurazione e gli enti previdenziali devono misuralo e gestirlo
Per modellizzare e misurare il longevity risk è necessario sviluppare un modello
stocastico di proiezione della mortalità
In effetti i trend decrescenti della mortalità impongono l’adozione di tavole proiettate di
mortalità per calcolare i valori attuariali delle rendite
Qualsiasi modello di proiezione sia stato adottato, il trend futuro della mortalità trend è
random possono verificarsi deviazioni sistematiche della mortalità
Si richiedono proiezioni stocastiche per quantificare esplicitamente l’incertezza della
mortalità proiettata
Menzietti
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I modelli di proiezione della mortalità
Fonte: Olivieri - Pitacco “Life annuities and longevity dynamics” WP n. 36,
CERAP 2006
Metodi estrapolativi
Modelli stocastici
• Interpolazione dei trend di mortalità
osservati in passato
• Ipotesi: I trend osservati si ripeteranno in
futuro estrapolazione dei trend
• La natura stocastica della mortalità non
viene considerata
Menzietti
• I tassi di mortalità osservati sono estrazioni di
variabili casuali che rappresentano la mortalità
passata
• I tassi di mortalità proiettati sono stime di variabili
casuali che rappresentano la mortalità futura
• Si definiscono un insieme di ipotesi circa la mortalità
e un legame tra osservazioni e proiezioni
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I modelli stocastici di proiezione della mortalità
In un modello stocastico i
risultati
delle
proiezioni
forniscono sia stime puntuali
che intervalli di confidenza dei
futuri tassi di mortalità
Source: Olivieri - Pitacco “Life annuities and longevity dynamics”
WP n. 36, CERAP 2006
Menzietti
• Le principali caratteristiche di uno
scenario di mortalità possono essere
ben rappresentate
• Esempi di leggi di mortalità: Gompertz,
Makeham, Weibull, Heligman-Pollard
• Modello Lee-Carter e sue estensioni E’ un esempio significativo di
approccio stocastico nella proiezione
della mortalità
• Il tasso centrale di mortalità è
modellizzato come un processo
stocastico
Modelli basati su
leggi di mortalità
Modelli
distribution-free
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Il modello Lee-Carter (log bilineare)
I tassi centrali di mortalità sono rappresentati da:
ln (m x (t )) = α x + β x k t + ε x ,t
con errori
kt
ε x,t
iid con distribuzione
N (0 , σ ε )
processo stocastico proiettato con un modello ARIMA(0,1,0)
k t = k t −1 + µ k + σ k et
con errori
Menzietti
et
iid con distribuzione
N (0 ,1)
14
Il modello Poisson log bilineare
Proposto da Brouhns et al. nel 2002 I tassi centrali di mortalità sono modellizzati
tramite il modello Lee-Carter
ln (m x (t )) = α x + β x k t
I decessi sono distribuiti come una Poisson
D x (t ) ~ Poisson ( N x (t ) ⋅ m x (t ))
Impiegato bootstrap non parametrico
Applicato ai dati italiani (Levantesi, Menzietti, Torri, 2010a) mostra un buon
adattamento e consente di rappresentare differenti fonti di incertezza:
● La variabilità poissoniana dei decessi
● La variabilità dei parametri del modello LC e del modello ARIMA
● L’incertezza nella proiezione del fattore temporale kt
Menzietti
15
Una panoramica sui modelli di proiezione della mortalità
I principali modelli proposti in letteratura sono di seguito rappresentati
 q(t , x ) 
 , q(t , x ) ≈ 1 − e m (t , x )
con γ t − x fattore di coorte, logit q(t , x ) = log
 p(t , x ) 
Menzietti
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I criteri di scelta del modello
Cairns et al. (2008) suggeriscono dei criteri per scegliere tra i vari modelli di proiezione della
mortalità:
● I tassi di mortalità devono essere positivi.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Menzietti
Il modello deve essere coerente con i dati storici.
Le dinamiche a lungo termine future del modello devono essere biologicamente ragionevoli.
Le stime dei parametri devono essere robuste rispetto al periodo di dati e intervalli di età impiegati.
Le previsioni del modello devono essere robuste rispetto al periodo di dati e classi di età impiegati
I livelli di previsione dell’incertezza e le traiettorie centrali dovrebbero essere plausibili e coerenti
con le tendenze storiche e la variabilità dei dati di mortalità.
Il modello dovrebbe essere semplice da attuare mediante metodi analitici o veloci algoritmi numerici.
Il modello dovrebbe essere relativamente parsimonioso.
Dovrebbe essere possibile utilizzare il modello per generare percorsi campione e calcolare intervalli
di previsione.
La struttura del modello dovrebbe consentire di integrare l'incertezza del parametro nelle simulazioni.
Almeno per alcuni Paesi, il modello dovrebbe incorporare un effetto stocastico di coorte.
Il modello dovrebbe essere abbastanza completo per affrontare in modo appropriato il pricing
corrente, la valutazione o un problema di copertura.
Dovrebbe essere possibile valutare i più comuni derivati mortality-linked utilizzando metodi analitici
o veloci metodi numerici.
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Agenda
Il longevity risk
Menzietti
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La gestione del longevity risk
Il longevity risk può essere gestito da
una compagnia di assicurazione o da
un ente di previdenza trattenendolo o
trasferendolo ad altre controparti
Menzietti
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Uso e limiti del mercato delle longevity-linked securities
Blake e Burrows (2001) sono stati i primi a sostenere l'uso di mortality /(longevity)linked securities per il trasferimento del rischio di longevità al mercato dei capitali
Difficoltà di affermazione del nuovo mercato:
● squilibrio di scala tra le esposizioni esistenti e la volontà dei fornitori di copertura
● mortality-linked securities devono soddisfare le diverse esigenze degli hedgers e degli
investitori (difficili da conciliare - i primi richiedono l’efficacia della copertura, mentre gli
ultimi domandano liquidità)
● assenza di un prezzo di mercato per il rischio di longevità
Menzietti
20
La nascita del mercato delle longevity-linked securities
Loeys et al. (2007) spiegano che per istituire un nuovo mercato del capitale di
successo, esso deve:
● fornire un'esposizione o copertura efficace (minore il numero di contratti scambiati,
maggiore la liquidità in ogni contratto, ma più bassa l’efficacia della copertura, indici
nazionali e rischio base)…
● ad un rischio del mondo che è economicamente importante (buon equilibrio tra domanda e
offerta di longevità: questo influenzerà la dimensione complessiva del mercato, nonché il
prezzo del rischio di longevità - Il coinvolgimento dei mercati del capitale ridurrà i costi di
gestione del rischio di longevità: aumento di capacità, insieme a una maggiore trasparenza
dei prezzi (arbitraggisti) e maggiore liquidità (speculatori))…
● che non può essere coperto attraverso gli strumenti del mercato esistente …
● e deve utilizzare un contratto omogeneo e trasparente per consentire gli scambi tra gli agenti
Menzietti
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Le soluzioni di prima generazione del mercato dei
capitali : prodotti Bond-based
Mortality bonds
● Breve scadenza, rappresentano titoli negoziabili a livello di mercato i cui pagamenti sono
legati a un indice di mortalità. Sono simili ai catastrophe bond. Es. Swiss Re mortality bond
Longevity bonds (o survivor bonds)
● Principal-at-risk longevity bonds o coupon based longevity bonds
● Scadenza fissa o scadenza stocastica
● Es EIB – BNP Paribas 2004 (se la mortalità fosse stata inferiore a quanto previsto, le cedole
previste sul bond sarebbero diminuite e viceversa). Carenze di progettazione (Il rischio di
base troppo grande). Premio per il rischio di longevità. Carenze istituzionali (dimensione
dell'emissione troppo piccola per creare un mercato liquido) (favore per la copertura della
longevità, sfavore per la copertura legata al bond).
● Lezioni: necessità di una buona serie di indici di mortalità (LifeMetrics) oggettivamente
calcolati, trasparenti e rilevanti; modelli di previsione stocastici della mortalità più
trasparenti.
Menzietti
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Esempio di longevity bond
Obblighi dell’erogatore della rendita:
● Rendita immediata ad una coorte di l x0 percettori di rendita di età x0 al tempo 0
● R è l’importo annuo della rendita individuale
● in t the l’erogatore della rendita pagherà l’ammontare aleatorio Rl x0 +t
● esposizione al rischio di deviazioni sistematiche tra l x0 +t e lˆx0 +t
Straight coupon bond:
● Flusso di cassa aggregato RCt ad ogni scadenza t
● Rimborso pari a RF alla scadenza finale T
● Lin and Cox (2005) ipotizzano cedole costanti di importo RC
Menzietti
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Esempio di un coupon-based longevity bond con coupons a rischio e principal
garantito
Menzietti
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Tramite la SPC il flusso di cedole C è ripartito tra erogatore della rendita e
investitori
R ⋅ C = R ⋅ (Bt + Dt )
• Flussi ricevuti dall’erogatore della rendita
C

Bt =  l x0 +t − lˆx0 +t
0

l x0 +t − lˆx0 +t > C
0 < l x0 +t − lˆx0 +t ≤ C
l − lˆ ≤ 0
x0 + t
x0 + t
• Flussi ricevuti dagli investitori
0

Dt = C − l x0 +t − lˆx0 +t
C

(
Menzietti
)
l x0 +t − lˆx0 +t > C
0 < l x0 +t − lˆx0 +t ≤ C
l − lˆ ≤ 0
x0 + t
Dt = C − Bt
x0 + t
25
Il pricing del longevity bond
Prezzo valore atteso scontato dei payoff futuri sotto una misura di probabilità
aggiustata per il rischio
(Hp: rischio demografico e finanziario sono indipendenti)
• W : Bond Price pagato dalla SPC per acquistare lo bond
T
W = RFd (0, T ) + RC ∑ d (0, t )
t =1
• P : Premium pagato dall’erogatore della rendita per gestire il suo LR
T
~
P = R ∑ E [Bt ]d (0, t )
t =1
• V: Price pagato dagli investitori per acquistare il LB
T
~
W = RFd (0, T ) + R ∑ E [Dt ]d (0, t )
d(0,t) : fattore di sconto risk-free
Menzietti
t =1
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Le soluzioni di seconda generazione del mercato dei
capitali: prodotti derivatives-based
I longevity derivatives sono strumenti del mercato dei capitali che hanno payoffs
legati al livello di un indice di mortalità
I soggetti interessati alla creazione di un mercato per i longevity derivatives sono
hedgers, investitori istituzionali, speculatori, arbitraggisti, Governo, regolatori
q-Forwards
● E’ il più semplice longevity derivative. Un q-forward è un accordo tra due parti per lo
scambio a una data futura di un importo proporzionale al tasso di mortalità realizzato di una
determinata popolazione contro un importo proporzionale a un tasso di mortalità fisso
reciprocamente concordato all’ inizio. E’ un zero-coupon swap che scambia mortalità fissa e
mortalità realizzata alla scadenza. Copertura value hedge vs cash flow hedge.
Survivor swaps
Menzietti
27
I survivor swaps
Survivor swap (basic): accordo tra due controparti per scambiare in futuro un flusso di cassa
fisso in cambio di un singolo flusso di cassa casuale dipendente dalla mortalità (Dowd et al.
2006)
● I cash-flows sono collegati al numero di sopravviventi di una data coorte
● Confrontato con altre mortality-linked securities – p.e. longevity bonds – i survivor swaps :
o Comportano costi di transazione più bassi
o Sono più flessibili e tagliati su misura per venire incontro alle varie esigenze
o Non richiedono l’esistenza di un mercato liquido
Vanilla survivor swaps (insieme di basic survivor swaps): le controparti si accordano per
scambiarsi una serie di pagamenti periodici (per ogni t = 1, 2, . . . , S ) fino alla scadenza dello
swap S
● Fixed leg dipende dai sopravviventi attesi di una data coorte
● Floating leg dipende dai sopravviventi effettivi alle scadenze future
Menzietti
28
I survivor swaps emessi tra il 2008-2009
Date
Hedger
Term (years)
Intermediary
Jan-08
Lucida
10
JPMorgan
Jul-08
Canada Life
40
JPMorgan
Feb-09
Abbey Life
Run-off
Deutsche Bank
Mar-09
Aviva
10
RBS
Jun-09
Babcock
50
Credit Suisse
Jul-09
Royal & Sun
Alliance
Run-off
Goldman Sachs
Source: Biffis & Blake (2009),“Mortality-Linked Securities and Derivatives”
Menzietti
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La struttura di un vanilla survivor swap
L’erogatore di rendita deve pagare rendite immediate ad una coorte di l x percettori
di età x al tempo zero
● Rendita fissa di importo1€
● lˆx + t : numero atteso di sopravviventi all’età x + t al tempo t
● l x + t : numero effettivo di sopravviventi all’età x + t al tempo t
Esposizione al rischio sistematico di deviazioni tra l x + t e lˆx + t
l x + t − lˆx + t : perdite subite dall’erogatore della rendita ad ogni scadenza t
π ( π <≥ 0 ) : aliquota di premio fisso dello swap fissat in modo che il valore dello
swap in sia zero all’emissione valore di mercato del fixed leg = valore di mercato
del floating leg
(1 + π ) lˆ
x+t
Flussi di cassa
del survivor
swap
Menzietti
lx +t
30
Il pricing del vanilla survivor swap
Il valore del vanilla survivor swap al tempo zero per il fixed-rate payer è:
[
valore dello swap = V [ l x + t ] − V (1 + π )lˆx + t
Prezzo di mercato del
floating leg in t=0
]
Prezzo di mercato
del fixed leg in t=0
Ipotizzando l’indipendenza tra tassi d’interesse e mortalità:
[
T
]
V (1 + π )lˆx + t = (1 + π ) ∑ lˆx + t d ( 0, t )
t =1
T
V [ l x + t ] = ∑ E ∗ (l x + t ) d ( 0, t )
t =1
Valore attuale atteso del fixed leg sotto la
misura di probabilità del mondo reale
Valore attuale atteso del floating leg sotto la
misura di probabilità risk-adjusted
T
d (0, t ) : fattore di sconto risk-free
Premio del vanilla
survivor
Swap
∑ E ∗ (l x + t ) d (0, t )
π =
t =1
T
−1
∑ lˆx + t d (0, t )
t =1
Menzietti
31
Rappresentazione del flusso di pagamenti
di un vanilla survivor swap
Menzietti
32
Longevity options. Ad oggi non ci sono mercati di opzioni su strumenti longevitylinked. Le longevity options producono dei payoff che non sono funzioni lineari di
variabili sottostanti.
Nel caso di longevity (o survivor) caps e floors, il sottostante è un indice di
sopravvivenza S(t,x). Sia sc(t) un cap rate per la data d’esercizio t e sf(t) il
corrispondente floor rate. Un caplet pagherà max{S(t,x) - sc(t), 0} al tempo t mentre un
floorlet pagherà max{sf(t) - S(t,x), 0}. I survivor caplets e floorlets possono essere
inglobati in longevity caps e floors.
Menzietti
33
Survivor caps and floors
Survivor caps e floor = serie di survivor caplets and floorlets
Payoff di un survivor caplet :
{
}
(
)
(
)
con cap rate per la scadenza t: ktc = 1 + π tc lˆx + t
xtc = max l x +t − ktc ; 0
Payoff del Survivor floorlet:
{
}
f
f
con floor rate per la scadenza t: kt = 1 + π t lˆx + t
xtf = max kt f − l x +t ; 0
Ipotizzando l’indipendenza tra tassi d’interesse e mortalità :
Prezzo del
survivor cap
PTc
T
=∑E
*
[ xtc ] d (0, t )
t =1
d ( 0, t ) : fattore di sconto risk-free
Menzietti
Prezzo del
survivor floor
T
PT = ∑ E *[ xtf ] d (0, t )
f
t =1
Valore attuale atteso dei payoff dei caplets/floorlets
payoff sotto la misura di rischio risk-adjusted
34
Longevity futures. Ad oggi non ci sono mercati di futures su strumenti longevity-linked.
Fattori chiave per il successo di contratti futures sono :
● Esistenza di un mercato spot del sottostante grande, liquido e attivo, con una buona
trasparenza dei prezzi.
● i prezzi spot devono essere sufficientemente volatili per rendere attraenti sia le attività di
copertura che la speculazione.
● il sottostante deve essere omogeneo.
● il mercato del sottostante e dei contratti futures non deve essere fortemente concentrato né
sul lato dell’acquisto né su quello della vendita, per non incorrere nella manipolazione dei
prezzi.
● deve esserci attiva partecipazione di hedgers e speculatori.
● In Blake e al. (2006) si suggerisce l’uso dei prezzi dei longevity bonds, o di indici di
sopravvivenza come sottostante.
Menzietti
35
Coperture Standardizzate vs Personalizzate
Menzietti
36
Agenda
Il longevity risk
Menzietti
37
Il pricing delle longevity-linked securities
Esistono principalmente tre approcci di pricing
● Trasformata di Wang (Wang (2002))
o Le probabilità risk adjusted sono ottenute tramite un operatore di distorsione
● Approccio risk-neutral
o Si applicano alle longevity-linked securities gli stessi principi di pricing usati per il
pricing dei derivati finanziari,
● Sharpe ratio
o Si ipotizza che gli investitori chiedano per assumere il rischio di longevità un premio
per il rischio (Sharpe ratio) pari a quello richiesto per il rischio non diversificabile di
altri strumenti finanziari
Menzietti
38
La trasformata di Wang
Wang definisce il seguente operatore di distorsione
g λ (u ) = Φ [Φ −1 (u ) − λ ]
dove 0<u<1 e λ è un parametro che riflette il rischio insito nei data (il prezzo di
mercato del rischio)
La distribuzione di probabilità del mondo reale è distorta per produrre valori
attesi risk-adjusted che possono essere scontati con fattori di sconto risk-free .
Approccio usato da:
● Lin and Cox (2005), Cox-Lin-Wang (2006), Denuit-Devolder-Goderniaux (2007)
● Su dati italiani applicato da Levantesi-Menzietti-Torri (2010a, 2010c)
Menzietti
39
Il “prezzo di mercato” del rischio
Possiamo usare il prezzo di mercato delle rendite per stimare λ:
● Mancanza di un mercato secondario delle rendite in Italia
● HP: il valore di mercato delle rendite supposto uguale al valore di mercato
calcolato impiegando le basi tecniche di maggiore diffusione (IPS55)
Menzietti
40
L’approccio risk neutral
Scarsità di longevity-linked securities trattate sul mercato
● Impossibilità di stimare un’unica misura di probabilità risk adjusted.
● Se il mercato globale è arbitrage-free, esiste almeno una misura di tipo neutrale
verso il rischio Q utilizzabile per calcolare il prezzo equo
Menzietti
41
L’approccio risk neutral
Incompletezza del mercato delle longevity-linked securities i pagamenti
connessi con la mortalità non possono essere replicati
Scarsità di longevity-linked securities trattate sul mercato
● Problemi ad impiegare metodi arbitrage-free
● Impossibilità di stimare un’unica misura di probabilità risk adjusted.
● Se il mercato globale è arbitrage-free, esiste almeno una misura di tipo neutrale
verso il rischio Q utilizzabile per calcolare il prezzo equo
Menzietti
42
L’approccio risk neutral: il modello CBD
Hp su le probabilità di decesso:
Con
Menzietti
random walk bivariata con drift
43
L’approccio risk neutral: il modello CBD
Se specifichiamo le dinamiche della mortalità sotto una misura Q di
probabilità risk-adjusted equivalente, alla misura fisica P
● dove
,
è una variabile aleatoria normale standard bivariata sotto Q
rappresenta il prezzo di mercato del longevity risk associato rispettivamente ai
●
processi Z
A questo punto il valore di una LLS con singola scadenza all’emissione (in
zero) in ipotesi di indipendenza tra rischio finanziario e rischio demografico è
dato da:
Vλ (0 ) = P (0, T )EQ (λ ) [S [T ] F0 ]
Menzietti
44
Alcuni approfondimenti
LEVANTESI S., MENZIETTI M., TORRI T. (2010a). Longevity Bond Pricing
Models: an Application to the Italian Annuity Market and Pension Schemes. XVIII
International AFIR Colloquium. Rome, September 30th - October 3rd 2008. p. 1-17 In
stampa sul Giornale dell’Istituto Italiano degli Attuari vol. 72 n. 1 (2009); p. 119141. ISSN: 0390-5780.
LEVANTESI S., MENZIETTI M., TORRI T. (2010b). The securitization of
longevity risk in pension schemes: the case of Italy. In: GREGORIOU G. et al.
“Pension Fund Risk Management: Financial and Actuarial Modeling”. P. 331-362.
Chapman & Hall, CRC Finance Series, New York. ISBN/ISSN: 978-14-398-1752-0.
LEVANTESI S., MENZIETTI M., TORRI T. (2010c). On longevity risk
securitization and solvency requirements in life annuities. International Conference
MAF 2010, Ravello (SA), April 7-9 2010.
Menzietti
45
Contatti
Massimiliano Menzietti
Dipartimento di Scienze aziendali, Università della Calabria
[email protected]
Dipartimento di Statistica, Sapienza - Università di Roma
[email protected]
Cell.: +39-3288829068
Seminario IIA
Milano 12 maggio 2011

Rischio di longevità e longevity derivatives

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