lezione n° 46 - Sezione STRUTTURE del DICA

LEZIONE N° 46
LA TORSIONE ALLO S.L.U.
Supponiamo di sottoporre a prova di carico una trave di cemento armato avente
sezione rettangolare b x H soggetta a momento torcente uniforme.
All’interno di ogni sua sezione trasversale si sviluppano delle tensioni tangenziali che
sono nulle in corrispondenza dell’asse ed assumono il valore massimo:

 max   3 

 T
2, 6

0, 45  H b  Hb 2
Quando la tensione tangenziale raggiunge il valore massimo compatibile con la
resistenza a trazione del calcestruzzo la trave si fessura, sviluppando lesioni ad elica
che si avvolgono intorno alla trave stessa (II stadio).
Il modello di calcolo adottato per studiare il comportamento a torsione allo stato limite
ultimo (III stadio) è costituito da una trave reticolare tubolare.
Si tratta, in sostanza, di un traliccio di Mörsch spaziale formato da correnti
longitudinali di acciaio, da montanti di acciaio (staffe) e da puntoni di calcestruzzo.
A differenza del taglio tutti i correnti longitudinali risultano tesi, mentre le staffe
continuano ad essere tese e le bielle di calcestruzzo compresse.
Questo comportamento verrà meglio chiarito nel seguito
Si suppone reagente esclusivamente la “crosta” di calcestruzzo disposta all’esterno
della sezione, di spessore t.
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Difatti il contributo alla capacità resistente a torsione della parte più interna non
fessurata è trascurabile, in virtù del valore esiguo dei bracci delle tensioni tangenziali.
Consideriamo una sezione trasversale della trave cava (poiché tubolare) che così si
viene a determinare.
Il valore delle tensioni tangenziali che agiscono su di essa può essere determinato
applicando la formula di Bredt:

T
2 At
in cui T è il momento torcente e A è l’area del poligono tratteggiato in figura, avente
perimetro um (non necessariamente passante per le armature longitudinali).
La Norma Italiana suggerisce di calcolare lo spessore della sezione cava come:
t = Ac/u, in cui Ac è l’area della sezione di carpenteria ed u è il perimetro esterno della
sezione . Noto t è evidentemente possibile determinare A ed um.
A = (b-t)(H-t)
um=[(b-t)+(H-t)]x 2
Sulla generica lastra che compone la sezione cava agisce pertanto la forza
tangenziale:
F  t z 
T
z
2A
in cui z è la altezza della lastra.
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La diagonale di calcestruzzo è sottoposta, per soddisfare l’equilibrio alla traslazione,
alla forza di compressione:
Fd 
F
T
z

sin  2 A sin 
Per l’equilibrio del nodo A la forza Fl nella barra superiore è di trazione:
Fl  Fd cos  
T cos 
T cot g 
z
z
2 A sin 
2A
così come quella Fs nella staffa:
Fs  Fd sin  
T
z
2A
Con riferimento alla figura a lato la forza nella
barra inferiore è anch’essa di trazione e vale
anch’essa:
Fl  Fd cos  
La
forza
T cos 
T cot g 
z
z
2 A sin 
2A
complessiva
in
tutte
le
barre
longitudinali si ottiene facilmente considerando
al posto dell’altezza z della lastra, il perimetro medio um:
F 
l
T cot g 
um
2A
Nel caso in cui il passo delle staffe sia inferiore a z cot g  , è possibile considerare la
presenza di n tralicci multipli sfalsati fra di loro del passo s, con:
n
z cot g 
s
e determinare quindi:
Fs 
T z
T

s
2 A n 2 A cot g 
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La verifica a torsione nel III stadio consiste nel confrontare fra loro il valore della
torsione di calcolo esterna TEd, dovuta ai carichi “di calcolo” applicati, e la torsione di
calcolo interna TRd, dovuta al contributo resistente dell’acciaio, sia quello delle staffe,
che quello delle barre longitudinali.
Dovrà inoltre essere accertato che le bielle di calcestruzzo compresse non si
rompano per schiacciamento.
I valori della torsione di calcolo interna TRd sono dunque tre:
a) quella dovuta all’armatura longitudinale tesa che ha raggiunto lo snervamento;
b) quella dovuta all’armatura trasversale tesa che ha raggiunto lo snervamento;
c) quella dovuta alle bielle oblique di calcestruzzo compresso, considerato alla
soglia dello stato limite ultimo.
Utilizzando la simbologia della Normativa Italiana, la torsione di calcolo esterna TEd
deve essere confrontata separatamente con ognuno dei valori di calcolo interni TRsd,
TRld e TRcd, rispettivamente corrispondenti all’armatura trasversale, all’armatura
longitudinale ed alle bielle di calcestruzzo:
TEd  TRsd (armatura trasversale)
TEd  TRld (armatura longitudinale)
TEd  TRcd (calcestruzzo delle bielle)
Nel caso della verifica dell’armatura longitudinale evidentemente si ha:
F  f A
l
in cui
yd
l
A
l
,
è il simbolo adottato dalla Normativa italiana per indicare l’area
complessiva delle barre longitudinali.
Utilizzando l’espressione:
F 
l
T cot g 
um  f yd  Al
2A
si ricava il momento torcente ultimo per le barre longitudinali:
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A
TRld  2 A  l  f yd cot g 
um
Nel caso della verifica dell’armatura trasversale (staffe) si ha:
Fs  As f yd
ed utilizzando la:
Fs 
T
s
2 A cot g 
si ricava il momento torcente ultimo per le staffe:
TRsd  2  A
As
f yd  cot g 
s
Per quanto riguarda la verifica del calcestruzzo delle bielle si osserva che una biella
di calcestruzzo si rompe quando
Fd   cu Abiella   cu t hbiella
Come si può vedere dall’esame della
figura, l’altezza della biella è:
hbiella  z cot g   sin 
e quindi:
Fd   cu Abiella   cu t z cot g   sin 
Poiché la forza nelle bielle è pari a:
Fd 
F
T
z,

sin  2 A sin 
si ottiene:
TRcd  2  A  t   cu  cot g   sin 2 
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Si può poi scrivere:
sin 2  
sin 2 
1
1
1



2
2
2
2
2
cos  1  cot g 2
sin   cos  sin   cos 

1
sin 2 
sin 2 
e quindi si ottiene:

TRcd  2  A  t   cu  cot g  1  cot g 2

Le Norme Tecniche Italiane assumono:
 cu  f cd'  0,5 f cd
Si giunge quindi alla espressione:

TRcd  A  t  f cd  cot g  1  cot g 2

E’ opportuno precisare che la Norma Italiana pone:
t = Ac/u
e consente di variare l’inclinazione  delle bielle di calcestruzzo nei limiti:
0, 4  cotg   2,5
che corrisponde ad imporre i seguenti limiti su :
68, 2   21,8
Si osserva che 68,2° = 90° - 21,8° e che quindi il campo di variazione dell’angolo  è
simmetrico rispetto al valore medio 45°.
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Nel caso, peraltro frequente nelle applicazioni, di presenza di sollecitazioni
composte, la Norma Italiana fornisce le seguenti indicazioni:
a) Torsione, flessione e sforzo normale.
Le armature longitudinali di torsione calcolate come sopra indicato si sommano a
quelle di flessione.
Si applicano inoltre le seguenti regole:
- nella zona tesa all’armatura longitudinale richiesta dalla sollecitazione di flessione e
sforzo normale, deve essere aggiunta l’armatura richiesta dalla torsione;
- nella zona compressa, se la tensione di trazione dovuta alla torsione è minore della
tensione di compressione nel calcestruzzo dovuta alla flessione e allo sforzo
normale, non è necessaria armatura longitudinale aggiuntiva per torsione.
b) Torsione e taglio.
Per la verifica delle bielle compresse deve risultare:
TEd VEd

1
TRcd VRcd
Il calcolo delle staffe può effettuarsi separatamente per la torsione e per il taglio,
cumulando quindi le aree delle sezioni.
Per l’angolo  delle bielle compresse deve essere naturalmente utilizzato lo stesso
valore per la torsione e per il taglio.
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