Problemi Conduttori

Conduttori e correnti
Problema 1
Si determini l’energia elettrostatica di una carica Q distribuita uniformemente su una superficie
sferica di raggio R
R
a) considerando la formula U1 = ε20 E 2 d3 x,
R
b) considerando la formula U2 = 21 ϕ ρ d3 x. I risultati devono coincidere?
c) Come cambiano le risposte alle domande precedenti se la carica Q è distribuita in modo uniforme su tutta la palla di raggio R?
d) A un certo istante la distribuzione di cui al punto c) viene “liberata” e per repulsione elettrostatica si ridistribuisce sulla superficie della sfera. Quanto vale il lavoro L compiuto dal campo
elettrico durante questo processo?
Problema 2
Un conduttore sferico A di raggio R si trova all’interno di un conduttore sferico cavo B con
raggi R1 < R2 , vedi figura. Sul conduttore A si trova la carica QA e sul conduttore B si trova
la carica QB .
a) Si determini la distribuzione di carica sui due conduttori.
b) Si determini il campo elettrico in tutto lo spazio.
c) Si determini la differenza di potenziale tra i conduttori ϕ(B) − ϕ(A).
d) Si determinino le differenze di potenziale ϕ(B) − ϕ(∞) e ϕ(A) − ϕ(∞).
e) Mettendo a terra il conduttore B, come cambiano le risposte alle domande precedenti?
f) Cosa succede se invece di collegare a terra il conduttore B, si collegano i due conduttori con
un sottile filo?
Problema 3
Due sfere conduttrici di raggi R1 ≡ 3R e R2 = 2R sono poste a una distanza d R. Sulla sfera
1 viene depositata una carica Q e successivamente le due sfere vengono collegate attraverso un
filo conduttore molto sottile.
a) Si determinino le cariche Q1 e Q2 sulle sfere dopo il collegamento.
1
b) Si determini il potenziale ϕS delle sfere rispetto al potenziale dell’infinito.
c) Si determini l’energia ∆ε dissipata durante il collegamento.
d) Una carica di prova si trova in equilibrio a una distanza di r = 50cm > R1 dal centro della
sfera 1. In quale posizione si trova? Si determini il valore numerico di d. L’equilibrio è stabile?
La risposta all’ultima domanda dipende dal segno della carica?
Problema 4
a) Si dimostri che un disco uniformemente carico con asse parallelo al versore ~n e con dis~ =
tribuzione superficiale di carica σ crea nelle vicinanze del suo centro il campo elettrico E
±σ~n/2ε0 , indipendente dal raggio del disco. Suggerimento:
un disco uniformemente carico di
√
raggio R crea sul suo asse il noto potenziale ϕ(z) = σ( z 2 + R2 − |z|)/2ε0 .
b) Si concluda che un generico campo elettrostatico nel passaggio attraverso una superficie car~ = σ(P )~n/ε0 , ~n essendo la normale alla superficie
ica in un punto P subisce la discontinuità ∆E
in P e σ(P ) la densità superficiale di carica in P .
c) Si verifichi la proprietà generale di cui al quesito precedente nel caso di una distribuzione i)
sferica, ii) piana, iii) cilindrica.
Problema 5
Si può dimostrare che un campo elettrico costante e uniforme E~ = E~u, con ~u versore dell’asse
z, induce su una biglia conduttrice di raggio r centrata nell’origine avente carica totale nulla la
densità superficiale di carica non uniforme
σ(ϑ) = 3ε0 E cosϑ,
(1)
dove ϑ è l’angolo tra il vettore radiale ~r e l’asse z. Ciò significa in particolare che questa
distribuzione crea all’interno della biglia un campo elettrico costante e uniforme.
a) Si verifichi che il momento di dipolo associato alla distribuzione σ(ϑ) vale
~
p~ = 4πε0 r3 E.
b) Si dimostri che la carica sui due emisferi vale rispettivamente
Q± = ±3πε0 r2 E.
c) Si calcoli la distanza d tra i centri delle cariche positive e negative.
~ 0 generato dalle cariche positive nel centro della biglia.
d) Si determini il campo elettrico E
~ r) in un generico punto situato nelle immediate
e) Si determini il campo elettrico totale E(~
vicinanze della superficie “esterna” della biglia.
Problema 6
Il centro di una biglia conduttrice di raggio r si trova a una distanza D dal centro di un disco
isolante di raggio R uniformemente carico, con carica totale Q > 0. Il centro della biglia si trova
sull’asse del disco, vedi figura. Si supponga che sia R D, r D.
2
a) Supponendo che inizialmente la biglia sia isolata – con carica totale nulla – si determini il
valore massimo σM della densità superficiale di carica sulla superficie della biglia, giustificando
le approssimazioni fatte. Suggerimento: si ricorra all’espressione (1) del Problema 5.
b) Si determini la carica totale q che fluisce sulla biglia quando la si collega a terra, considerando
note solo le quantità Q e D/r.
c) Si determini la distribuzione superficiale di carica σ(ϑ) presente sulla superficie della biglia
dopo che è stata messa a terra, dove ϑ è l’angolo tra il raggio vettore ~r della biglia e l’asse del
disco.
d) Come cambiano le risposte ai quesiti precedenti se valgono invece le relazioni R = D, r D?
Problema 7
Nel circuito in figura i vari componenti hanno i valori E = 25V , C = 3µF , R1 = 1Ω, R2 = 4Ω,
R3 = 8Ω, R4 = 2Ω, R5 = 5Ω. Si supponga che inizialmente il condensatore sia scarico e che
l’interruttore venga chiuso all’istante t = 0.
a) Si calcolino i valori delle correnti I1 e I2 a regime, ovvero nel limite di t → ∞.
b) Si determini il valore a regime Q∞ della carica del condensatore.
3
c) Raggiunto il regime, a un certo istante t1 si sconnette il generatore riaprendo l’interruttore.
Si determini l’istante t2 al quale la carica del condensatore vale Q∞ /10.
Problema 8
Nel circuito in figura si considerino noti i valori dei componenti E, C1 , C2 , R1 , R2 . Si supponga
che i condensatori siano inizialmente scarichi e che all’istante t = 0 si chiuda l’interruttore.
a) Si disegni un opportuno circuito equivalente.
b) Si determini la differenza di potenziale V0 ai capi di R2 all’istante t = 0.
c) Si determini la differenza di potenziale V∞ ai capi di R2 a regime.
d) Si determini la carica Q2∞ del condensatore C2 a regime.
e) Si determini la carica totale Q(t) dei condensatori a un generico istante t.
4
Soluzioni
Problema 1
b) Vale in tutta generalità U1 = U2 .
c) Se la carica è distribuita in modo uniforme in tutta la palla il campo elettrico per r > R
mantiene l’espressione E(r) = Q/4πε0 r2 della distribuzione superficiale, mentre per r < R non
è più zero, valendo in modulo Ei (r) = Qr/4πε0 R3 . L’energia elettrostatica è quindi maggiore
R
di quella della distribuzione superficiale della quantità Ui = ε20 r<R Ei2 (r)d3 x.
d) Vale L = −∆Ue = −[U1 − (U1 + Ui )] = Ui > 0.
Problema 2
a) La carica QA si dispone sulla sfera di raggio R. Considerando una superficie gaussiana sferica
con raggio r compreso tra R1 ed R2 si trova che sulla sfera di raggio R1 si dispone la carica
−QA . Conseguentemente sulla sfera di raggio R2 si dispone la carica QA + QB .
e) Se si mette il conduttore B a terra il suo potenziale ϕB = ϕ(R2 ) deve uguagliare il potenziale
dell’infinito ϕ(∞). Chiamando QT la carica totale dei due conduttori, per r > R2 il campo
elettrico è dato da E(r) = QT /4πε0 r2 e il potenziale da ϕ(r) = QT /4πε0 r. Affinché si abbia
ϕ(∞) = ϕ(R2 ) deve quindi valere QT = 0. Il conduttore B cede quindi carica alla “terra” fino a
quando la sua carica raggiunge il valore a QB = −QA , che si dispone tutta sulla sfera di raggio
R1 .
f) Se si collegano i due conduttori essi equivalgono a un unico conduttore con potenziale ϕ0 .
Affinché valga ϕA = ϕB = ϕ0 la carica totale QA + QB deve disporsi sulla sfera di raggio R2 .
Problema 3
a) I potenziali delle due sfere devono essere uguali e, visto che d R, le due distribuzioni
possono essere assunte a simmetria sferica e il potenziale creato dalla sfera 1 (2) sulla sfera 2 (1)
può essere trascurato. Vale quindi
Q2
Q1
=
,
4πε0 R1
4πε0 R2
Q1 + Q2 = Q.
c) L’energia ∆ε dissipata durante il collegamento è ugugale alla differenza delle energie elettrostatiche prima e dopo il collegamento. Per valutare l’energia elettrostatica dopo il collegamento
può essere conveniente usare la formula generale (si veda il Problema 1)
Ue =
1
2
Z
ϕ(~x)ρ(~x) d3 x.
Problema 5
P
a) Per una distribuzione continua di carica il momento di dipolo p~ = j qj ~rj assume la forma
R
R
p~ = ~x ρ(~x) d3 x = ~x dq(~x). Nel caso in questione per motivi di simmetria p~ ha la forma
5
p~ = (0, 0, pz ) e vale (z(ϑ) = rcosϑ)
Z
pz = 2
2
z(ϑ) σ(ϑ)r dΩ = 2r
3
Z
2π
Z
π/2
σ(ϑ)cosϑsenϑdϑ.
dϕ
0
0
b) Q± = ± 0<ϑ<π/2 σ(ϑ)r2 dΩ.
~
c) p~ = Q+ d.
R
d) All’interno della biglia il campo elettrico totale è nullo. Per motivi di simmetria vale quindi
~ 0 = −E/2.
~
E
e) In base al risultato generale del quesito b) del Problema 4, visto che all’interno della biglia il
~ r) = σ(ϑ) ~n/ε0 , dove ~n è il versore radiale uscente.
campo totale è nullo si ha E(~
Problema 6
a) Per D R il campo elettrico E~ generato dal disco nel centro della biglia può essere approssimato con quello di una carica puntiforme Q posta nel centro del disco, ovvero E~ ≈ Q~u/4πε0 D2 .
Se vale inoltre r D tale campo è praticamente costante su tutta la biglia. Dalla (1) del
Problema 5 si trova allora
3Q
σM = 3ε0 E =
.
4πD2
b) Essendo un conduttore la biglia costituisce un volume equipotenziale. Per determinare il suo
potenziale ϕi prima della messa a terra possiamo allora valutarlo, ad esempio, nel suo centro
C. Il disco crea in C il potenziale ϕD = Q/4πε0 D, mentre la distribuzione σ(ϑ) per motivi
di simmetria in C crea potenziale nullo. La biglia prima della messa a terra possiede quindi il
potenziale ϕi = Q/4πε0 D.
Se la biglia viene messa a terra acquista una carica totale q < 0 di modo tale da costituire
di nuovo un volume equipotenziale, ma con potenziale ϕf = 0. Ciò è possibile solo se q si
distribuisce sulla superficie della biglia in modo isotropo, creando in tutta la biglia il potenziale
costante ϕq = q/4πε0 r. Deve valere
ϕf = ϕ q + ϕi =
q
Q
+
=0
4πε0 r 4πε0 D
⇒
q=−
r
Q.
D
c) Sfruttando l’equazione (1) del Problema 5 si ricava
Q
q
=−
σ(ϑ) = −3ε0 Ecosϑ +
2
4πr
4πDr
3r
cosϑ + 1 ,
D
dove ϑ = 0 corrisponde al punto della biglia più vicino al disco.
d) Per D = R il campo elettrico E~ generato dal disco deve essere determinato calcolando il
campo esatto generato dal disco sul suo asse.
Problema 7
a) A regime la carica del condensatore è costante, sicché non vi passa corrente; per quanto
riguarda il calcolo delle correnti il condensatore non gioca dunque alcun ruolo.
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b) È sufficiente calcolare la differenza di potenziale ai capi del condensatore, usando le leggi di
Kirchhoff.
c) Una volta aperto l’interruttore tutte le correnti vanno quasi-istantaneamente a zero e il
processo che si innesca è equivalente alla scarica di un condensatore attraverso un’opportuna
resistenza equivalente Req .
Problema 8
a) Gli elementi C1 , C2 ed R2 sono in parallelo fra loro e sono a loro volta in serie con R1 .
In particolare i due condensatori equivalgono a un condensatore con capacità equivalente C =
C1 + C2 .
b) V0 = 0, poiché inizialmente i condensatori sono scarichi e la differenza di potenziale ai capi
di R2 deve uguagliare quella dei condensatori.
c) A regime per i condensatori non passa corrente. Dalle leggi di Kirchhoff si trova V∞ =
ER2 /(R1 + R2 ).
d) Q2∞ = C2 V∞ .
e) Occorre risolvere l’equazione del circuito equivalente completo (si veda il problema svolto in
aula).
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