Esame scritto di Matematica per la Formazione di Base 14 giugno

Esame scritto di Matematica per la Formazione di Base
14 giugno 2013
1. Siano a e b due numeri naturali che si scrivono nel modo seguente
a =10123 b= 1245
a) si scrivano a e b in base dieci;
b) si scriva il numero a in base due e il numero b in un sistema si numerazione additivo (anche di
propria invenzione)
2.L’immagine che segue rappresenta un motivo del pavimento di una antica casa romana e la sua
schematizzazione geometrica:
Il motivo è rappresentato da un dodecagono composto da un esagono regolare interno, sei quadrati
uguali e sei triangoli equilateri uguali. Si commentino le seguenti affermazioni, giustificando in maniera
appropriata se sono corrette oppure no:
a)L’area di ciascun triangolo è un sesto dell’area dell’esagono interno
b)L’area di un quadrato è il doppio dell’area del triangolo
c)Il perimetro e l’area del dodecagono sono il doppio del perimetro e dell’area dell’esagono
3. Calcolare il massimo comun divisore tra 126 e 1155 usando l’algoritmo euclideo.
4. 1. E’ vero che “Due interi a, b si dicono primi tra loro se ammettono come divisori solo l’unità e se
stessi”? Se si ritiene che l’affermazione sia sbagliata, correggerla opportunamente.
2. Costruire le negazioni delle seguenti proposizioni usando i quantificatori opportuni
“Tutte le strade portano a Roma”
“A New York c’è almeno un grattacielo senza ascensore”
5. Nei supermercato A e B sono vendita bottiglie di vino della stessa marca. Nel negozio A fanno
l’offerta “Compri 3 e paghi 2”, nel negozio B c’è lo sconto del 40% su ogni bottiglia. Dovendo
comprare 3 bottiglie di vino, in quale negozio mi conviene andare?
1
6. Consideriamo un sacchetto che contiene 20 gettoni rossi, 10 neri e 15 bianchi. Si calcoli la probabilità
(in frazione e in percentuale) che si verifichino i seguenti eventi:
E1: “viene estratto prima un gettone rosso e poi, senza rimetterlo nel sacchetto, viene estratto un
gettone bianco”
E2: “vengono estratti contemporaneamente due gettoni neri”
7. Spiegare ed illustrare che cosa si intende per “contratto didattico” (personalizzare l'esposizione e
fornire esempi significativi).
Ricordarsi di scrivere COGNOME e NOME ben visibili e leggibili sull'elaborato. Durante l'esame
scritto è possibile consultare testi ed appunti. E' inoltre consentito l'uso di calcolatrici tascabili, purché
non “incorporate” in un telefono cellulare. Invece è vietato l'uso di telefoni cellulari, macchine
fotografiche, telecamere in qualsiasi loro funzione. Tutte le risposte vanno adeguatamente
argomentate. Tempo massimo per la consegna dell'elaborato: 90'.
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Esame scritto di Matematica per la Formazione di Base
5 Luglio 2013
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Cognome:
Nome:
Data dell’orale: 5 luglio, 8 luglio, 12 luglio
1.[1] Enunciare il criterio di divisibilità per 4.
2. [4] Enunciare il criterio di divisibilità per 8 spiegando il procedimento seguito per arrivare a
formularlo (suggerimento: estendere il tipo di ragionamento che si è utilizzato per costruire il
criterio di divisibilità per 4)
3. [1] La somma di 215+215 è uguale a: A) 230; B) 216; C) 415; D) un numero irrazionale; E) Altro
(specificare). Motivare la risposta
4. [4] Se una certa operazione sugli elementi di un insieme ha come risultato un elemento
dell’insieme, si usa dire che tale insieme è chiuso rispetto a questa operazione. L’insieme X dei
quadrati degli interi positivi
{
}
è chiuso rispetto
A. All’addizione?
3
B. Alla moltiplicazione?
C. Alla divisione?
D. All’estrazione di radice?
Motivare ogni risposta, esibendo eventualmente esempi o controesempi.
5. [4] Completare la tabella trasformando i diversi numeri nelle basi indicate. Scrivere il
procedimento.
Base dieci
Base due
18
27
1111
1010
6. [2] Se un triangolo rettangolo ha perimetro lungo 24 cm., allora i suoi cateti sono lunghi:
A) 3 e 4 cm.; B) 6 e 6 cm., C) 6 e 8 cm.; D) non si può stabilire perché i triangoli che soddisfano
le la richiesta sono più di uno
Motivare la risposta
7. [3] Un cono circolare retto ha raggio di base r e altezza h. Se si raddoppia il raggio di base e si
dimezza l’altezza, il volume del cono:
A) si raddoppia; B) si quadruplica; C) aumenta di
Motivare la risposta
4
; D) si dimezza; E) non cambia.
8. [2] E’ possibile fare il seguente disegno senza staccare la penna dal foglio e senza ripassare sulle
stesse linee? Motivare la risposta (enunciando, se è il caso, anche un o i teoremi opportuni) e, in
caso affermativo, spiegare il procedimento
9. [1] Scrivere la negazione e il contrario della proposizione Ogni uomo ha un nemico (usando gli
opportuni quantificatori)
10. [2] A quale delle proposizioni equivale l’enunciato Esistono infiniti numeri naturali primi?
A) Ci sono numeri primi maggiori di ogni numero primo considerato
B) Qualche numero primo è maggiore di qualche numero naturale primo
C) Per ogni numero naturale primo p esiste un numero primo p’ maggiore di n dato.
Sfruttando il ragionamento illustrato da Euclide nella proposizione IX.20 degli Elementi, costruire
un numero primo usando opportunamente i primi 4 numeri primi.
11. [3] Un’urna contiene 8 palline bianche, 5 nere e 7 rosse. Calcolare la probabilità che
A) non esca una pallina nera
B) esca una pallina bianca oppure rossa
C) estraendo due palline contemporaneamente siano entrambe rosse.
Motivare le risposte.
5
12. [3] Dati due punti A e B, sono stati tracciati, con lo stesso raggio maggiore della metà del
segmento AB, due archi di circonferenza, uno con centro in A e uno con centro in B. E’ stato
chiamato C uno dei punti di intersezione tra i due archi. Se l’angolo ̂ misura 40° quanto misura
l’angolo ̂ segnato? Motivare la risposta.
Durante l'esame scritto è possibile consultare testi ed appunti. E' inoltre consentito l'uso di calcolatrici
tascabili, purché non “incorporate” in un telefono cellulare. Invece è vietato l'uso di telefoni cellulari,
macchine fotografiche, telecamere in qualsiasi loro funzione. Tutte le risposte vanno adeguatamente
argomentate. Tempo massimo per la consegna dell'elaborato: 90'.
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Esame scritto di Matematica per la Formazione di Base
6 Settembre 2013
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Cognome:
Nome:
Data dell’orale: 6 settembre, 9 settembre
1.[2] A che altezza poggerà sulla parete della casa una scala lunga 15 m, se il piede della scala è a 5
m dalla parete? (Spiegare il procedimento per arrivare al risultato)
2. [2] Sia ABCD un quadrato e BE il prolungamento di AB tale che AB=BE. E’ vero che i triangoli
ABD e BED sono equiestesi? E’ vero che i triangoli ABD e DCE sono equiestesi? Giustificare la
risposta.
7
3. [2] Una giacca del prezzo di 120 € viene venduta in saldo con uno sconto del 30%. Al prezzo
scontato si deve aggiungere però l’IVA del 20 %. Quanto si pagherà per quella giacca?
4. [2] Spiegare perché è errato scrivere
(anche se si fa comunemente!)
5. [3] Completare la tabella trasformando i diversi numeri nelle basi indicate. Scrivere il
procedimento.
Base dieci
Base tre
34
243
222
1012
6. [3] Quali operazioni non sempre si possono eseguire in
? E quali non sempre si possono
eseguire in ? Esiste un insieme numerico in cui la divisione 5:0 ammette un risultato? (Motivare le
risposte e produrre opportuni controesempi)
8
7. [2] In un esame, per decidere quale studente interrogare per primo, si estrae una delle lettere
dell’alfabeto italiano. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi
a. esce una vocale
b. esce una vocale che precede la lettera ‘l’
c. esce una vocale o una consonante
d. esce una vocale o la consonante che precede la lettera ‘e’
8. [2] Il commissario incaricato delle indagini di un furto dichiara: “Il ladro è un uomo giovane
oppure è mancino”. Vengono portate in commissariato quattro persone sospette
1. Un giovane mancino
2. un giovane non mancino
3. Un vecchio non mancino
4. Un vecchio mancino
Quali persone verranno trattenute per ulteriori interrogatori e quali verranno rilasciate
immediatamente? (Motivare la risposta)
9. [4] Su Marte gli uomini dicono sempre il vero e le donne il falso; su Venere gli uomini dicono
sempre il falso e le donne il vero.
A. Per sapere se un abitante dei due pianeti è uomo o donna, basta domandare: “Sei di Marte?”
Se la risposta è sì, allora si tratta di ……………….; se la risposta è no si tratta di
………………
B. Per sapere se qualcuno è di Marte o di Venere, basta domandare “Sei uomo?”. Se risponde sì
è un abitante di …………. …….., se risponde no è di ………………………..
C. Se qualcuno dice “sono un uomo di Venere” allora significa che è un/una ……………. di
………..
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10. [4] Si considerino due numeri naturali a e b. Si dimostri che se le due cifre finali di a e b sono
uguali, allora a e b sono congrui modulo 100.
11. [4] Si consideri il quadrilatero ABCD. Le sue diagonali si incontrano nel punto O e formano
l’angolo COB retto. Spiegare per quale motivo la somma dei quadrati di due lati opposti del
quadrilatero è uguale alla somma dei quadrati dei due rimanenti lati opposti.
Durante l'esame scritto è possibile consultare testi ed appunti. E' inoltre consentito l'uso di calcolatrici
tascabili, purché non “incorporate” in un telefono cellulare. Invece è vietato l'uso di telefoni cellulari,
macchine fotografiche, telecamere in qualsiasi loro funzione. Tutte le risposte vanno adeguatamente
argomentate. Tempo massimo per la consegna dell'elaborato: 90'.
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Esame scritto di Matematica per la Formazione di Base
20 Settembre 2013
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Cognome:
Nome:
Data dell’orale: 20 settembre, 27 settembre
1.[2] Una maestra ha vinto 175 cioccolatini a una lotteria: sua figlia è molto ghiotta e ne ruba un
certo numero. Per evitare che la ragazza ingrassi troppo, la maestra distribuisce i rimanenti il più
possibile ai suoi 23 alunni, in modo che tutti ne abbiano una quantità uguale. Quelli che avanzano
se li mangia lei. Quanti cioccolatini mangia al massimo la maestra? Giustificare la risposta.
2.[3] Occorre confezionare una tenda da sole per un balcone. La tenda deve essere fissata al muro a
3m di altezza dal pavimento del balcone, che è largo 1 m. La tenda deve sporge 0,5 m dalla
ringhiera che è alta 1 m. Calcolare la lunghezza indicata con x.
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3.[2] H è il punto medio del lato AB del triangolo ABC. I triangoli AHC e HBC hanno la stessa
area? Perché?
4.[3] In un cassetto ci sono 16 biglie numerate da 1 a 16. Estraiamo una biglia a caso e
consideriamo gli eventi:
E1: «estrazione di un numero dispari e divisibile per 3»;
E2: «estrazione di un numero dispari o divisibile per 3».
Calcolare P(E1) e P(E2) usando i teoremi opportuni e verificare il risultato ottenuto elencando
esplicitamente gli elementi dell’insieme degli eventi favorevoli a E1 e dell’insieme degli eventi
favorevoli a E2.
5.[2] Marco vuole acquistare un nuovo motorino e un amico gli offre 400 euro per il vecchio. Due
rivenditori gli fanno le seguenti offerte per lo stesso modello di motorino:
Offerta A: prezzo di 2500 e il 10% di sconto se consegna al rivenditore il vecchio motorino;
Offerta B: prezzo di 2950 euro, sul quale è praticato uno sconto del 20%.
A Marco conviene accettare l’offerta di A oppure quella di B (vendendo all’amico il motorino
vecchio)? Scrivere esplicitamente i calcoli fatti per formulare la risposta.
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6.[4] Indica se le affermazioni seguenti sono corrette o no, attraverso opportune argomentazioni o
controesempi:
Se un numero è pari allora è multiplo di 4
Se un numero è multiplo di 9 allora è multiplo di 3
Un numero è multiplo di 6 solo se è pari
Un numero è multiplo di 5 se e solo se è multiplo di 10
7.[3] Eseguire le seguenti operazioni
(2012)3 + (1211)3 = (
(134)5 + (
)3
)5 = (400)5
In quale o in quali basi possono essere rappresentati i numeri che compaiono nella seguente
operazione? Argomentare la risposta
(2234)x + (1541)x = (4105)x
8.[3] Nell’isola dei cavalieri (che dicono sempre la verità) e dei furfanti (che mentono sempre)
alcuni abitanti sono lupi mannari e hanno la spiacevole abitudine di trasformarsi talvolta durante la
notte in lupi e divorare la gente. Un lupo mannaro può essere indifferentemente un cavaliere o un
furfante. Un giorno incontrate due abitanti A e B e solo uno di essi è un lupo mannaro. Essi fanno le
seguenti affermazioni
A: Il lupo mannaro è un cavaliere
B: Il lupo mannaro è un furfante
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Chi scegliereste come compagno di viaggio? Spiegate il ragionamento su cui si basa la vostra
risposta.
9. [4] Considerato il poliedro convesso formato da un prisma a base esagonale regolare e
sormontato sulle due basi opposte da due piramidi regolari con basi esagonali regolari coincidenti
con quelle del prisma, determinare quanti sono i vertici, gli spigoli e le facce e verificare in questo
caso la relazione di Eulero.
10.[4] Delle seguenti proprietà, riconosci – argomentando la risposta -- quali dipendono dalla
rappresentazione decimale dei numeri e quali invece sono indipendenti dalla rappresentazione.
a] Se un numero è divisibile per quattro, è divisibile anche per due.
b] Un numero è divisibile per tre se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per tre.
c] Sette è un numero primo.
d] I numeri divisibili per dieci sono quelli che finiscono con 0.
Durante l'esame scritto è possibile consultare testi ed appunti. E' inoltre consentito l'uso di calcolatrici
tascabili, purché non “incorporate” in un telefono cellulare. Invece è vietato l'uso di telefoni cellulari,
macchine fotografiche, telecamere in qualsiasi loro funzione. Tutte le risposte vanno adeguatamente
argomentate. Tempo massimo per la consegna dell'elaborato: 90'.
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